Trapecijos metodu rasti apibrėžtąjį integralą, plotą lenkta trapecija taip pat suskyla į n stačiakampės trapecijos su aukščiais h ir pagrindais y 1, y 2, y 3,..y n, kur n yra stačiakampės trapecijos skaičius. Integralas bus skaitinis lygi sumai stačiakampių trapecijų plotai (4 pav.).
Ryžiai. 4
n - pertvarų skaičius
Trapecijos formulės paklaida įvertinama pagal skaičių
Trapecijos formulės paklaida didėjant mažėja greičiau nei stačiakampės formulės paklaida. Todėl trapecijos formos formulė leidžia pasiekti didesnį tikslumą nei stačiakampio metodas.
Simpsono formulė
Jei kiekvienai segmentų porai sudarome antrojo laipsnio polinomą, tada integruojame jį į atkarpą ir panaudojame integralo adityvumo savybę, gauname Simpsono formulę.
Simpsono metodu, norint apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, visas integravimo intervalas yra padalintas į subintervalus vienodo ilgio h=(b-a)/n. Skyriaus segmentų skaičius yra lyginis skaičius. Tada kiekvienoje gretimų subintervalų poroje integrando funkcija f(x) pakeičiama antrojo laipsnio Lagranžo daugianario (5 pav.).
Ryžiai. 5 Funkcija y=f(x) atkarpoje pakeičiama 2 eilės daugianario
Panagrinėkime segmento integrandą. Pakeiskime šį integrandą antrojo laipsnio Lagranžo interpoliacijos polinomu, sutampančiu su y= taškuose:
Integruokime į segmentą:
Įveskime kintamųjų pakeitimą:
Atsižvelgiant į pakeitimo formules,
Atlikę integraciją, gauname Simpsono formulę:
Gauta integralo vertė sutampa su kreivinės trapecijos plotu, kurį riboja ašis, tiesės ir parabolė, einanti per taškus, Simpsono formulė atrodys taip:
Parabolės formulėje funkcijos f(x) reikšmė nelyginiuose skaidinio x 1, x 3, ..., x 2n-1 taškuose turi koeficientą 4, lyginiuose taškuose x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeficientas 2 ir dviejuose ribiniuose taškuose x 0 =a, x n =b - koeficientas 1.
Simpsono formulės geometrinė reikšmė: kreivinės trapecijos plotas po funkcijos f(x) grafiku atkarpoje apytiksliai pakeičiamas figūrų, esančių po parabolėmis, plotų suma.
Jei funkcija f(x) turi ištisinę išvestinę ketvirta tvarka, Tai absoliuti vertė Simpsono formulės paklaidos yra ne daugiau kaip
kur M- didžiausia vertė segmente. Kadangi n 4 auga greičiau nei n 2, Simpsono formulės paklaida mažėja didėjant n daug greičiau nei trapecijos formulės paklaida.
Apskaičiuokime integralą
Šį integralą lengva apskaičiuoti:
Paimkime n lygų 10, h=0,1, apskaičiuokime integrando reikšmes skaidinių taškuose, taip pat pusės sveikojo skaičiaus taškus.
Naudojant vidutinių stačiakampių formulę, gauname I tiesus = 0,785606 (paklaida 0,027%), naudojant trapecijos formulę I trap = 0,784981 (paklaida apie 0,054. Taikant dešiniojo ir kairiojo stačiakampių metodą, paklaida didesnė nei 3 proc.
Norėdami palyginti apytikslių formulių tikslumą, dar kartą apskaičiuokime integralą
bet dabar pagal Simpsono formulę su n=4. Padalinkime atkarpą į keturias lygias dalis taškais x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 ir apytiksliai apskaičiuokime funkcijos reikšmes. f(x)=1/(1+x) šiuose taškuose: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.
Naudodami Simpsono formulę gauname
Įvertinkime gauto rezultato paklaidą. Integrando funkcijai f(x)=1/(1+x) turime: f (4) (x)=24/(1+x) 5, o tai reiškia, kad atkarpoje . Todėl galime imti M=24, o rezultato paklaida neviršija 24/(2880 4 4)=0,0004. Palyginus apytikslę reikšmę su tikslia, darome išvadą, kad rezultato, gauto naudojant Simpsono formulę, absoliuti paklaida yra mažesnė nei 0,00011. Tai atitinka aukščiau pateiktą klaidų įvertinimą ir, be to, rodo, kad Simpsono formulė yra daug tikslesnė nei trapecijos formulė. Todėl Simpsono formulė apytiksliui apibrėžtųjų integralų skaičiavimui naudojama dažniau nei trapecijos formulė.
Iškyla skaitinio apibrėžtojo integralo apskaičiavimo problema, kurią galima išspręsti naudojant formules, vadinamas kvadratūra.
Prisiminkime paprasčiausias formules skaitmeninė integracija.
Apskaičiuokime apytikslę skaitinę reikšmę. Integravimo intervalą [a, b] padaliname į n lygių dalių dalijant taškus 
, vadinami kvadratūros formulės mazgais. Tegul reikšmės mazguose yra žinomos 
:
Didumas 
vadinamas integravimo intervalu arba žingsniu. Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje skaičiuojant skaičius i pasirenkamas mažas, paprastai jis yra ne didesnis kaip 10-20 
integrandas pakeičiamas interpoliacijos daugianario
kuri apytiksliai reiškia funkciją f (x) nagrinėjamame intervale.
a) Interpoliacijos daugianario palikime tik vieną pirmąjį narį, tada
Gauta kvadratinė formulė
vadinama stačiakampio formule.
b) Palikime pirmuosius du narius interpoliacijos polinome, tada
(2)
Formulė (2) vadinama trapecijos formule.
c) Integravimo intervalas 
suskirstykime į lyginis skaičius 2n lygios dalys, o integravimo žingsnis h bus lygus 
. Ant intervalo 
ilgio 2h, integrandą pakeičiame antrojo laipsnio interpoliacijos polinomu, t. y. paliekame pirmuosius tris daugianario narius:
Gauta kvadratūros formulė vadinama Simpsono formule
(3)
Formulės (1), (2) ir (3) turi paprastą geometrine prasme. Stačiakampių formulėje intervalo integrando funkcija f(x). 
pakeičiamas tiesės atkarpa y = yk, lygiagrečia abscisių ašiai, o trapecijos formulėje - tiesės atkarpa 
ir atitinkamai apskaičiuojamas stačiakampio ir tiesinės trapecijos plotas, kurie vėliau sumuojami. Simpsono formulėje funkcija f(x) intervale 
ilgis 2h pakeičiamas kvadratiniu trinamiu – parabole 
Apskaičiuojamas kreivinės parabolinės trapecijos plotas, tada plotai sumuojami.
IŠVADA
Darbo pabaigoje norėčiau atkreipti dėmesį į keletą aukščiau aptartų metodų taikymo ypatybių. Kiekvienas apytikslis apibrėžtojo integralo sprendimo būdas turi savų privalumų ir trūkumų, priklausomai nuo atliekamos užduoties, reikėtų naudoti specifinius metodus.
Kintamojo pakeitimo metodas yra vienas iš pagrindinių neapibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodų. Net tais atvejais, kai integruojame kokiu nors kitu metodu, tarpiniuose skaičiavimuose dažnai tenka griebtis kintamųjų kintamųjų. Integracijos sėkmė didele dalimi priklauso nuo to, ar sugebame parinkti tokį sėkmingą kintamųjų pakeitimą, kuris supaprastintų duotą integralą.
Iš esmės integravimo metodų tyrimas yra skirtas išsiaiškinti, kokį kintamąjį reikia pakeisti tam ar kitam integrando tipui.
Taigi, bet kurios racionalios trupmenos integravimas redukuoja iki daugianario ir kelių paprastųjų trupmenų integravimo.
Bet kurios racionalios funkcijos integralas gali būti išreikštas elementariomis funkcijomis galutine forma, būtent:
per logaritmus – 1 tipo paprastųjų trupmenų atvejais;
per racionalias funkcijas – 2 tipo paprastųjų trupmenų atveju
per logaritmus ir arctangentus – 3 tipo paprastųjų trupmenų atveju
per racionalias funkcijas ir arctangentus – 4 tipo paprastųjų trupmenų atveju. Universalus trigonometrinis pakeitimas visada racionalizuoja integrandą, bet dažnai tai sukelia labai sudėtingą, kuriai visų pirma beveik neįmanoma rasti vardiklio šaknų.
Todėl, kai tik įmanoma, naudojami daliniai pakaitalai, kurie taip pat racionalizuoja integrandą ir lemia ne tokias sudėtingas trupmenas. Niutono-Leibnizo formulė atstovauja bendras požiūris
ieškant apibrėžtųjų integralų.
Kalbant apie apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodus, jie praktiškai nesiskiria nuo visų tų metodų ir metodų. Taikyti lygiai taip pat pakeitimo metodai
(kintamojo keitimas), integravimo dalimis metodas, tos pačios technikos ieškant antidarinių trigonometrinėms, iracionaliosioms ir transcendentinėms funkcijoms. Vienintelis ypatumas yra tas, kad naudojant šiuos metodus būtina išplėsti transformaciją ne tik į integrando funkciją, bet ir į integravimo ribas. Keisdami integravimo kintamąjį nepamirškite atitinkamai pakeisti integravimo ribų. Kaip ir turėtų iš teoremos – funkcijos tęstinumo sąlyga yra pakankama funkcijos integralumo sąlyga. Bet tai nereiškia apibrėžtasis integralas egzistuoja tik nuolatinėms funkcijoms. Integruojamų funkcijų klasė yra daug platesnė. Pavyzdžiui, yra tam tikras funkcijų integralas galutinis skaičius
pertraukos taškai. Apskaičiuojant apibrėžtąjį tolydžios funkcijos integralą naudojant Niutono-Leibnizo formulę, reikia rasti antidarinį, kuris visada egzistuoja, bet ne visada elementari funkcija
arba funkcija, kuriai buvo sudarytos lentelės, leidžiančios gauti integralo reikšmę. Daugelyje programų integruojama funkcija yra nurodyta lentelėje, o Niutono-Leibnizo formulė nėra tiesiogiai taikoma. Jei reikia gauti tiksliausią rezultatą, tai idealu.
Simpsono metodas Iš to, ką sužinojome aukščiau, galime padaryti sekantis išėjimas
kad integralas naudojamas tokiuose moksluose kaip fizika, geometrija, matematika ir kituose moksluose. Naudojant integralą, apskaičiuojamas jėgos darbas, randamos masės centro koordinatės ir materialaus taško nueitas kelias. Geometrijoje jis naudojamas kūno tūriui apskaičiuoti, kreivės lanko ilgiui ir kt.
Integralų skaičiavimas naudojant stačiakampių, trapecijos ir Simpsono formules. Klaidos įvertinimas. Gairės
4.1 tema:
Daugelio techninių problemų sprendimas yra susijęs su tam tikrų integralų skaičiavimu, kurių tiksli išraiška yra sudėtinga, reikalauja ilgų skaičiavimų ir ne visada pagrįsta praktikoje. Čia jų apytikslė vertė yra gana pakankama. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti plotą apribota linija, kurio lygtis nežinoma, ašis X ir dvi ordinatės. Tokiu atveju galite pakeisti ši linija paprastesnis, kurio lygtis yra žinoma. Tokiu būdu gautas kreivinės trapecijos plotas imamas kaip apytikslė norimo integralo vertė. Geometriškai apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodo, naudojant stačiakampio formulę, idėja yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas A 1 ABC 1 pakeičiamas vienodo stačiakampio plotu A 1 A 2 B 1 B 2, kuri pagal vidutinės reikšmės teoremą yra lygi
Kur f(c) --- aukštis stačiakampis A 1 A 2 B 1 B 2, atstovaujanti integrando reikšmę kokiame nors tarpiniame taške c (a< c
Tokią vertę rasti beveik sunku Su, kuriame (b-a) f (c) būtų lygiai lygus . Norint gauti tikslesnę vertę, kreivinės trapecijos plotas yra padalintas į n stačiakampiai, kurių aukščiai lygūs y 0, y 1, y 2, …, y n -1 ir pagrindai.
Jei sumuojame kreivinės trapecijos plotą dengiančių stačiakampių plotus su trūkumu, funkcija nemažėjanti, tada vietoj formulės naudojame formulę
Jei perteklius, tada
Vertybės randamos iš lygybių. Šios formulės vadinamos stačiakampio formulės ir pateikti apytikslį rezultatą. Su padidėjimu n rezultatas tampa tikslesnis.
1 pavyzdys . Apskaičiuokite naudodami stačiakampio formulę
Integravimo intervalą padalinkime į 5 dalis. Tada . Naudodami skaičiuotuvą ar lentelę rasime integrando reikšmes (4 skaitmenų po kablelio tikslumu):
Pagal stačiakampių formulę (su trūkumu)
Kita vertus, pagal Niutono-Leibnizo formulę
Raskime santykinę skaičiavimo paklaidą naudodami stačiakampio formulę:
Integralų skaičiavimas naudojant trapecijos formules. Klaidos įvertinimas:
Šio apytikslio integralų skaičiavimo metodo geometrinė prasmė yra rasti maždaug vienodo dydžio „tiesios“ trapecijos plotą.
Tegul reikia skaičiuoti plotą A 1 AmBB 1 kreivinė trapecija, išreikšta formule.
Pakeiskime lanką AmB akordas AB ir vietoj kreivinės trapecijos ploto A 1 AmBB 1 apskaičiuokite trapecijos plotą A 1 ABB 1: 
, Kur AA 1 Ir BB 1 - trapecijos pagrindai ir A 1 B 1 – jo aukštis.
Pažymėkime f(a) = A 1 A, f (b) = B 1 B. trapecijos aukščio A 1 B 1 = b-a, kvadratas 
. Vadinasi, 
arba
Tai yra vadinamasis maža trapecijos formos formulė.
Skaičiuodami apibrėžtąjį integralą, ne visada gauname tikslų sprendimą. Atvaizdavimas elementarios funkcijos forma ne visada įmanomas. Niutono-Leibnizo formulė skaičiavimui netinka, todėl turi būti naudojami skaitinės integracijos metodai. Šis metodas leidžia gauti duomenis labai tiksliai. Simpsono metodas kaip tik toks.
Norėdami tai padaryti, būtina pateikti grafinį formulės išvedimo vaizdą. Toliau pateikiamas absoliučios paklaidos įvertinimas naudojant Simpsono metodą. Pabaigoje palyginsime tris metodus: Simpson, stačiakampiai, trapecijos.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Parabolės metodas – esmė, formulė, vertinimas, klaidos, iliustracijos
Pateikta y = f (x) formos funkcija, kuri turi tęstinumą intervale [ a ; b ] , reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x
Būtina padalinti atkarpą [a; b ] į n atkarpas formos x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n, kurio ilgis 2 h = b - a n ir taškai a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Kiekvienas intervalas x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , integrando n aproksimuojamas naudojant parabolę, apibrėžtą y = a i x 2 + b i x + c i, einančią per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Štai kodėl metodas turi tokį pavadinimą.
Šie veiksmai atliekami siekiant, kad integralas ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x būtų apytikslė reikšmė ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Galime apskaičiuoti pagal Niutono-Leibnizo formulę. Tai yra parabolės metodo esmė. Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.
Grafinė parabolės metodo iliustracija (Simpson)
Naudojant raudoną liniją, pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas, o mėlyna linija yra grafiko y = f (x) aproksimacija naudojant kvadratines paraboles.
Remdamiesi penktąja apibrėžtojo integralo savybe, gauname ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Norint gauti formulę parabolės metodu, reikia atlikti šiuos skaičiavimus:
∫ x 2 i – 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Tegu x 2 i - 2 = 0 . Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.
Pavaizduokime tai per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) gali praeiti per vieną kvadratinę y = a i x 2 + b i x + c i formos parabolę. Kitaip tariant, būtina įrodyti, kad koeficientus galima nustatyti tik vienu būdu.
Turime x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) yra parabolės taškai, tada galioja kiekviena iš pateiktų lygčių. Mes tai gauname
a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)
Gauta sistema išsprendžiama a i, b i, c i atžvilgiu, kur reikia ieškoti matricos determinanto pagal Vandermonde. Mes tai gauname
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1, ir jis laikomas ne nuliu ir nesutampa su taškai x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Tai ženklas, kad lygtis turi tik vieną sprendinį, tada pasirinkti koeficientai a i ; b i ; c i gali būti nustatytas tik unikaliu būdu, tada per taškus x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) gali praeiti tik viena parabolė.
Toliau galime ieškoti integralo ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.
Tai aišku
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i
Norint atlikti paskutinį perėjimą, būtina naudoti formos nelygybę
∫ x 2 i – 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 8 0 2 h = 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Taigi, formulę gauname naudodami parabolės metodą:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x) 4) +. . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
1 apibrėžimas
Simpsono metodo formulė yra ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
Absoliučios paklaidos įvertinimo formulė turi formą δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Apytikslių apibrėžtųjų integralų skaičiavimo parabolės metodu pavyzdžiai
Simpsono metodas apima apytikslį apibrėžtųjų integralų skaičiavimą. Dažniausiai šis metodas taikomas dviejų tipų problemoms spręsti:
- apytiksliai apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą;
- randant apytikslę reikšmę δ n tikslumu.
Skaičiavimo tikslumui įtakos turi n reikšmė, kuo n didesnis, tuo tikslesnės tarpinės reikšmės.
1 pavyzdys
Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 Simpsono metodu, integravimo atkarpą padalindami į 5 dalis.
Sprendimas
Pagal sąlygą žinoma, kad a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.
Tada į formą įrašome Simpsono formulę
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Norint jį visiškai pritaikyti, reikia apskaičiuoti žingsnį pagal formulę h = b - a 2 n, nustatyti taškus x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n ir raskite integrandinės funkcijos f (x i) reikšmes, i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Tarpiniai skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 5 skaitmenų. Pakeiskime vertes ir gaukime
h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Raskime funkcijos reikšmę taškuose
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795
Aiškumas ir patogumas pateikti žemiau esančioje lentelėje
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Rezultatus būtina pakeisti parabolės metodo formule:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0. 1++0. 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Skaičiavimui pasirinkome apibrėžtąjį integralą, kurį galima apskaičiuoti naudojant Newton-Leibniz. Mes gauname:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Atsakymas: Rezultatai sutampa iki šimtųjų dalių.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite neapibrėžtą integralą ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x Simpsono metodu 0,001 tikslumu.
Sprendimas
Pagal sąlygą turime, kad a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Reikia nustatyti n reikšmę. Tam naudokite Simpsono metodo absoliučios paklaidos įvertinimo formulę formos δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Kai randame n reikšmę, tada nelygybė m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 bus įvykdytas. Tada, naudojant parabolės metodą, skaičiavimo paklaida neviršys 0. 001. Paskutinė nelygybė įgauna formą
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Dabar turime išsiaiškinti, kokia yra didžiausia ketvirtosios išvestinės modulio reikšmė.
f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2
Apibrėžimo sritis f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 priklauso intervalui - 81 16 ; 81 16, o pats integravimo segmentas [0; π) turi ekstremumo tašką, iš to seka, kad m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Mes atliekame pakeitimą:
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Mes nustatėme, kad n - natūralusis skaičius, tada jo reikšmė gali būti lygi n = 5, 6, 7... pirmiausia reikia paimti reikšmę n = 5.
Atlikite veiksmus, panašius į ankstesnį pavyzdį. Reikia apskaičiuoti žingsnį. Už tai
h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10
Raskime mazgus x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , tada integrando reikšmė turės formą
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10
Belieka pakeisti reikšmes į sprendimo formulę parabolės metodu ir gauname
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650
Simpsono metodas leidžia gauti apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 0,001 tikslumu.
Skaičiuodami pagal Niutono-Leibnizo formulę, gauname rezultatą
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463
Atsakymas:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
komentuoti
Daugeliu atvejų surandant m a x [ a ; b ] f (4) (x) yra problemiškas. Todėl naudojama alternatyva – parabolės metodas. Jo principas yra išsamiai paaiškintas skyriuje apie trapecijos metodą. Parabolės metodas laikomas tinkamiausiu integralo sprendimo būdu. Skaičiavimo klaida turi įtakos rezultatui n. Kuo mažesnė jo vertė, tuo tikslesnis apytikslis reikalingas skaičius.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Padalinkime integracijos segmentą [ A, b] iki lyginio skaičiaus n lygiomis dalimis žingsniais h. Kiekviename segmente [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] integrando funkcija f(X) pakeičiame antrojo laipsnio interpoliacijos polinomu:
Šių koeficientai kvadratiniai trinariai galima rasti iš daugianario lygybės sąlygų taškuose, atitinkančiuose lentelės duomenis. Galime paimti kaip antrojo laipsnio Lagranžo interpoliacijos polinomą, einantį per taškus 
:
Elementariųjų plotų suma ir (3.3 pav.) gali būti apskaičiuojama naudojant apibrėžtąjį integralą. Atsižvelgdami į gaunamas lygybes
- 
Ryžiai. 3.3. Simpsono metodo iliustracija
Atlikę tokius kiekvieno elementaraus segmento skaičiavimus, apibendriname gautas išraiškas:
Ši išraiška Už S imama kaip apibrėžtojo integralo reikšmė:
(3.35)
Gautas ryšys vadinamas Simpsono formulė arba parabolės formulė.
Šią formulę galima gauti kitais būdais, pavyzdžiui, naudojant trapecijos metodą du kartus skaidant segmentą [ A, b] į dalis su laipteliais h ir 2 h arba derinant stačiakampių ir trapecijų formules (žr. 3.2.6 skyrių).
Kartais Simpsono formulė rašoma naudojant pusės sveikojo skaičiaus indeksus. Šiuo atveju skaidinio segmentų skaičius n savavališkas (nebūtinai net), o Simpsono formulė turi formą
(3.36)
Nesunku pastebėti, kad formulė (3.36) sutampa su (3.35), jei formulė (3.35) taikoma 2 skirsnio segmentų skaičiui n ir žingsnis h/2.
Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą Simpsono metodu
Funkcijų reikšmės n = 10, h = 0,1 pateikti lentelėje. 3.3. Taikydami formulę (3.35), randame
Paaiškėjo, kad skaitmeninės integracijos Simpsono metodu rezultatas sutapo su tikslią vertę(šeši reikšmingi skaičiai).
Vienas iš galimų apibrėžtojo integralo skaičiavimo, naudojant Simpsono metodą, algoritmų parodytas fig. 3.4. Integracijos segmento ribos [ A, b], klaida ε, taip pat integrando reikšmių skaičiavimo formulė y =f(x) .
Ryžiai. 3.4. Simpsono metodo algoritmas
Iš pradžių segmentas yra padalintas į dvi dalis su žingsniu h =(b- a)/2. Apskaičiuojama integralo reikšmė aš 1. Tada žingsnių skaičius padvigubinamas, apskaičiuojama vertė aš 2 žingsniais h/2. Skaičiavimo pabaigos sąlyga paimama formoje . Jei ši sąlyga neįvykdoma, naujas žingsnis dalijamas per pusę ir pan.
Atkreipkite dėmesį, kad parodyta fig. 3.4 algoritmas nėra optimalus: skaičiuojant kiekvieną aproksimaciją aš 2 funkcijų reikšmės nenaudojamos f(x), jau rastas ankstesniame etape. Ekonomiškesni algoritmai bus aptarti skyriuje. 3.2.7.
