Kvadratas lenkta trapecija skaitine prasme lygus apibrėžtajam integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

tai yra apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integralas apibrėžia tam tikrą kreivę plokštumoje (jei norima ją visada galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitinis lygus plotui atitinkama lenkta trapecija.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmiausia ir svarbiausias momentas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, su technologijomis taškas po taško statyba galima rasti etaloninė medžiaga.

Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Išlenktos trapecijos neperėsiu, čia akivaizdu koks plotas mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. IN šiuo atveju„iš akies“ suskaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gautume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tada akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida - 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotas linijomis, , ir ašis

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi, tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:
Šiuo atveju:

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokių geometrine prasme, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje, taigi, nuo paprasčiausio mokyklos problemos Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Rasti sritį plokščia figūra, apribotas linijomis , .

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra viršutinė riba integracija
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti.

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Grafikai ir savybės elementarios funkcijos . Nepaisant to, analitinis metodas vis tiek kartais tenka naudoti ribas, jei, pavyzdžiui, grafikas yra gana didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra tam tikra ištisinė funkcija didesnis arba lygus kai kurie nuolatinė funkcija, tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente, pasak atitinkama formulė:

Atsakymas:

Tiesą sakant mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) – ypatingas atvejis formules . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra žemiau ašies, tada

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Čia tikras atvejis iš gyvenimo:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Pirmiausia padarykime piešinį:

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(įdėmiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai iškyla taip, kad reikia rasti užtamsintos figūros plotą žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtieji integralai. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gali buti? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais jūs turite išleisti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

Vadinasi,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,

Sprendimas: pavaizduokime ši figūra ant piešinio.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidų (ir paprastai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė . Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:

(1) Pamokoje galima pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelyginius laipsnius Integralai iš trigonometrinės funkcijos . Tai tipinė technika, nuspaudžiame vieną sinusą.

(2) Naudokite pagrindinį trigonometrinė tapatybė formoje

(3) Pakeiskime kintamąjį , tada:

Naujos integracijos sritys:

Visi, kurie tikrai blogai elgiasi su pakaitalais, pasimokykite. Pakeitimo būdas neapibrėžtas integralas . Tiems, kurie ne visai supranta pakeitimo algoritmą tam tikru integralu, apsilankykite puslapyje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tegul funkcija yra neneigiama ir tęstinė intervale. Tada pagal geometrinę apibrėžtojo integralo reikšmę kreivinės trapecijos plotas, kurį viršuje riboja šios funkcijos grafikas, žemiau ašies, kairėje ir dešinėje tiesiomis linijomis ir (žr. 2 pav.) apskaičiuojamas pagal formulę

9 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linija ir ašis.

Sprendimas. Funkcijų grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Pastatykime jį (3 pav.). Integravimo riboms nustatyti randame tiesės (parabolės) susikirtimo su ašimi (tiesia linija) taškus. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą

Mes gauname: , kur , ; vadinasi, , .

Ryžiai. 3

Figūros plotą randame pagal (5) formulę:

Jei funkcija yra neteigiama ir tęstinė atkarpoje , tada kreivinės trapecijos plotas, apribotas žemiau šios funkcijos grafiko, viršuje - ašimi, kairėje ir dešinėje - tiesėmis ir , apskaičiuojamas pagal formulę

. (6)

Jei funkcija tęsiasi segmente ir keičiasi, prisijunkite baigtinis skaičius taškų, tada užtamsintos figūros plotas (4 pav.) lygus algebrinė suma atitinkami apibrėžtieji integralai:

Ryžiai. 4

10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja ašis ir funkcijos grafikas ties .

Ryžiai. 5

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.). Reikalingas plotas yra plotų ir suma. Raskime kiekvieną iš šių sričių. Pirmiausia, išspręsdami sistemą, nustatome integracijos ribas Gauname,. Taigi:

;

.

Taigi, užtamsintos figūros plotas yra

(kv. vnt.).

Ryžiai. 6

Galiausiai, leiskite kreivinę trapeciją virš ir žemiau apriboti funkcijų grafikais, kurie tęsiasi segmente ir ,
o kairėje ir dešinėje – tiesios linijos ir (6 pav.). Tada jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę

. (8)

11 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos ir.

Sprendimas.Šis paveikslas parodytas fig. 7. Apskaičiuokime jo plotą pagal (8) formulę. Išspręsdami lygčių sistemą randame, ; vadinasi, , . Segmente turime: . Tai reiškia, kad formulėje (8) imame kaip x, o kokybe – . Mes gauname:

(kv. vnt.).

Daugiau sudėtingos užduotys Plotų apskaičiavimas išsprendžiamas padalijus figūrą į nesusikertančias dalis ir visos figūros plotą apskaičiuojant kaip šių dalių plotų sumą.

Ryžiai. 7

12 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , , .

Sprendimas. Padarykime piešinį (8 pav.). Ši figūra gali būti laikoma kreivine trapecija, kurią iš apačios riboja ašis, į kairę ir į dešinę - tiesiomis linijomis, o iš viršaus - su funkcijų grafikais ir. Kadangi figūrą iš viršaus riboja dviejų funkcijų grafikai, norėdami apskaičiuoti jos plotą, šią tiesės figūrą padalijame į dvi dalis (1 yra tiesių ir ) susikirtimo taško abscisė. Kiekvienos iš šių dalių plotas randamas pagal (4) formulę:

(kv. vnt.); (kv. vnt.). Taigi:

(kv. vnt.).

Ryžiai. 8

Ryžiai. 9

Apibendrinant pažymime, kad jei kreivinė trapecija yra apribota tiesiomis linijomis ir , ašimi ir ištisine kreive (9 pav.), tada jos plotas randamas pagal formulę

Sukimosi kūno tūris

Tegul kreivinė trapecija, apribota atkarpos, ašies , tiesių linijų ir grafiko, sukasi aplink ašį (10 pav.). Tada pagal formulę apskaičiuojamas gauto sukimosi kūno tūris

. (9)

13 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, ribojamos hiperbole, tiesėmis ir ašimi, ašį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (11 pav.).

Iš problemos sąlygų matyti, kad . Iš (9) formulės gauname

.

Ryžiai. 10

Ryžiai. 11

Kūno tūris, gautas sukantis aplink ašį Oi kreivinė trapecija, apribota tiesiomis linijomis y = c Ir y = d, ašis Oi ir atkarpoje ištisinės funkcijos grafikas (12 pav.), nustatoma pagal formulę

. (10)

Ryžiai. 12

14 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį Oi kreivinė trapecija, apribota linijomis X 2 = 4adresu, y = 4, x = 0 (13 pav.).

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas randame integravimo ribas: , . Naudodami (10) formulę gauname:

Ryžiai. 13

Plokštumos kreivės lanko ilgis

Tegul kreivė pateikta lygtimi, kur , guli plokštumoje (14 pav.).

Ryžiai. 14

Apibrėžimas. Lanko ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios linksta į šį lanką įrašytos trūkinės linijos ilgis, kai trūkinės linijos grandžių skaičius linkęs į begalybę, o didžiausios grandies ilgis linkęs į nulį.

Jei funkcija ir jos išvestinė yra ištisinės atkarpoje, tai kreivės lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę

. (11)

15 pavyzdys. Apskaičiuokite kreivės lanko ilgį tarp taškų, kuriems .

Sprendimas. Iš mūsų turimų probleminių sąlygų . Naudodami (11) formulę gauname:

4. Netinkami integralai
Su begalinės ribos integracija

Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką, buvo daroma prielaida, kad tenkinamos šios dvi sąlygos:

a) integracijos ribos A ir yra baigtiniai;

b) integrandas apribotas intervalu.

Jei bent viena iš šių sąlygų netenkinama, iškviečiamas integralas ne savo.

Pirmiausia panagrinėkime netinkamus integralus su begalinėmis integravimo ribomis.

Apibrėžimas. Tegul funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale o dešinėje neribota (15 pav.).

Jeigu netinkamas integralas suartėja, tada ši sritis yra baigtinė; jei netinkamasis integralas išsiskiria, tai ši sritis yra begalinė.

Ryžiai. 15

Netinkamas integralas su begaline apatine integravimo riba apibrėžiamas panašiai:

. (13)

Šis integralas konverguoja, jei lygybės (13) dešiniosios pusės riba egzistuoja ir yra baigtinė; kitu atveju sakoma, kad integralas yra divergentinis.

Netinkamas integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis apibrėžiamas taip:

, (14)

kur c yra bet kuris intervalo taškas. Integralas konverguoja tik tada, jei abu integralai dešinėje lygybės (14) pusėje susilieja.

G) = [pasirinkite vardiklyje tobulas kvadratas: ] = [pakeitimas:

] =

Tai reiškia, kad netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė lygi .

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pagrindiniai žodžiai: integralas, kreivinė trapecija, figūrų plotas, apribotas lelijomis

Įranga: žymeklis, kompiuteris, multimedijos projektorius

Pamokos tipas: pamoka-paskaita

Pamokos tikslai:

• edukacinis: formuoti protinio darbo kultūrą, sukurti kiekvieno mokinio sėkmės situaciją, kurti teigiamą mokymosi motyvaciją; ugdyti gebėjimą kalbėti ir klausytis kitų.
• kuriant: savarankiško mokinio mąstymo formavimas taikant žinias skirtingos situacijos gebėjimas analizuoti ir daryti išvadas, logikos plėtra, gebėjimo teisingai kelti klausimus ir rasti atsakymus į juos ugdymas. Tobulinti skaičiavimo įgūdžius, ugdyti mokinių mąstymą atliekant siūlomas užduotis, ugdyti algoritminę kultūrą.
• edukacinis: formuoti sąvokas apie kreivinę trapeciją, apie integralą, įsisavinti plokštumos figūrų plotų skaičiavimo įgūdžius

Mokymo metodas: aiškinamoji ir iliustracinė.

Pamokos eiga

Ankstesnėse pamokose mokėmės skaičiuoti plotus figūrų, kurių ribos yra daugiakampės linijos. Matematikoje yra metodai, leidžiantys apskaičiuoti figūrų, apribotų kreivių, plotus. Tokios figūros vadinamos kreivinėmis trapecijomis, o jų plotas apskaičiuojamas naudojant antidarinius.

Kreivinė trapecija ( skaidrė 1)

Išlenkta trapecija yra figūra, apribota funkcijos grafiku, ( sh.m.), tiesiai x = a Ir x = b ir x ašis

Įvairių tipų lenktos trapecijos ( 2 skaidrė)

Mes svarstome įvairių tipų kreivinės trapecijos ir atkreipkite dėmesį: viena iš tiesių yra išsigimusi iki taško, ribojančios funkcijos vaidmenį atlieka tiesė

Išlenktos trapecijos plotas (3 skaidrė)

Pataisykite kairįjį intervalo galą A, ir teisingas X pakeisime, t.y., perkeliame dešinę kreivinės trapecijos sienelę ir gauname besikeičiančią figūrą. Kintamos kreivinės trapecijos plotas, apribotas funkcijos grafiku, yra antidarinė F už funkciją f

Ir segmente [ a; b] išlenktos trapecijos plotas, suformuota funkcijos f, yra lygus šios funkcijos antidarinės prieaugiui:

1 užduotis:

Raskite kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja funkcijos grafikas: f(x) = x 2 ir tiesiai y = 0, x = 1, x = 2.

Sprendimas: ( pagal algoritmo skaidrę 3)

Nubraižykime funkcijos ir tiesių grafiką

Suraskime vieną iš antiderivatinės funkcijos f(x) = x 2 :

Savęs patikrinimas ant skaidrės

Integralinis

Apsvarstykite kreivinę trapeciją, kurią apibrėžia funkcija f segmente [ a; b]. Suskaidykime šį segmentą į keletą dalių. Visos trapecijos plotas bus padalintas į mažesnių lenktų trapecijos plotų sumą. ( 5 skaidrė). Kiekvieną tokią trapeciją galima apytiksliai laikyti stačiakampiu. Šių stačiakampių plotų suma apytiksliai leidžia susidaryti vaizdą apie visą lenktos trapecijos plotą. Kuo mažesnį segmentą padalinsime [ a; b], tuo tiksliau apskaičiuosime plotą.

Parašykime šiuos argumentus formulių pavidalu.

Padalinkite segmentą [ a; b] į n dalis taškais x 0 = a, x1,…, xn = b. Ilgis k- th žymėti xk = xk – xk-1. Suskaičiuokime sumą

Geometriškai ši suma reiškia figūros plotą, nuspalvintą paveiksle ( sh.m.)

Formos sumos vadinamos integraliomis funkcijos sumomis f. (sh.m.)

Integralinės sumos suteikia apytikslę ploto vertę. Tiksli vertė gaunamas pereinant prie ribos. Įsivaizduokime, kad tiksliname segmento skaidinį [ a; b], kad visų mažų atkarpų ilgiai būtų lygūs nuliui. Tada sudarytos figūros plotas priartės prie išlenktos trapecijos ploto. Galima sakyti, kad išlenktos trapecijos plotas lygus integralinių sumų ribai, Sc.t. (sh.m.) arba integralas, t.y.

Apibrėžimas:

Funkcijos integralas f(x) iš aį b vadinama integralinių sumų riba

= (sh.m.)

Niutono-Leibnizo formulė.

Prisimename, kad integralinių sumų riba yra lygi kreivinės trapecijos plotui, o tai reiškia, kad galime rašyti:

Sc.t. = (sh.m.)

Kita vertus, išlenktos trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę

S k.t. (sh.m.)

Palyginę šias formules, gauname:

Ši lygybė vadinama Niutono-Leibnizo formule.

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, formulė parašyta taip:

Užduotys: (sh.m.)

1. Apskaičiuokite integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę: ( patikrinkite 5 skaidrę)

2. Sudarykite integralus pagal brėžinį ( patikrinkite 6 skaidrę)

3. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7 skaidrė)

Plokštumos figūrų plotų radimas ( skaidrė 8)

Kaip rasti figūrų, kurios nėra išlenktos trapecijos, plotą?

Pateikiamos dvi funkcijos, kurių grafikus matote skaidrėje . (sh.m.) Raskite užtamsintos figūros plotą . (sh.m.). Ar nagrinėjama figūra yra lenkta trapecija? Kaip galite rasti jo plotą naudodami ploto adityvumo savybę? Apsvarstykite dvi lenktas trapecijas ir atimkite kitos plotą iš vienos iš jų ploto ( sh.m.)

Sukurkime algoritmą, kaip rasti sritį naudojant animaciją skaidrėje:

1. Grafiko funkcijos
2. Suprojektuokite grafikų susikirtimo taškus į x ašį
3. Nuspalvinkite figūrą, gautą, kai grafikai susikerta
4. Raskite kreivines trapecijas, kurių sankirta arba jungtis yra duota figūra.
5. Apskaičiuokite kiekvieno iš jų plotą
6. Raskite skirtumą arba plotų sumą

Žodinė užduotis: Kaip gauti užtamsintos figūros plotą (papasakokite naudojant animaciją, 8 ir 9 skaidrės)

Namų darbai: Perdirbti užrašus, Nr. 353 (a), Nr. 364 (a).

Nuorodos

1. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis vakarinės (pamaininės) mokyklos 9-11 klasei / red. G.D. Glaseris. - M: Švietimas, 1983 m.
2. Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 10-11 vidurinės mokyklos klasėms / Bashmakov M.I. - M: Švietimas, 1991 m.
3. Bašmakovas M.I. Matematika: vadovėlis institucijoms pradžiai. ir trečiadienį prof. išsilavinimas / M.I. Bašmakovas. - M: Akademija, 2010 m.
4. Kolmogorovas A.N. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 10-11 klasei. švietimo įstaigos / A.N. Kolmogorovas. - M: Švietimas, 2010 m.
5. Ostrovskis S.L. Kaip padaryti pamokos pristatymą?/ S.L. Ostrovskis. – M.: 2010 m. rugsėjo 1 d.

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Pereikime prie programų integralinis skaičiavimas. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau ieškome prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, tiek daug daugiau aktuali problema bus jūsų žinios ir gebėjimai piešti. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus ir bent jau turėti galimybę sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) naudojant metodinė medžiaga ir straipsniai apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtąjį integralą nuo mokyklos laikų, ir mes daug toliau neisime. mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įvaldo aukštosios matematikos kursą.

Medžiagos šio seminaro pateikti paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir funkcijos grafikas, ištisinis intervale, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne žemesnė x ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

tai yra apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Neužtemdysiu lenktos trapecijos, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, o tai atrodo tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(arba bent jau ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Šiuo atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus tam tikra ištisinė funkcija, tada figūros plotas, apribotas tvarkaraščiais nurodytas funkcijas ir tieses , galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

...Ech, piešinys išėjo mėšlas, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Figūra, kurios sritį turime rasti, nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai nutinka „gedimas“, kai reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokykloje“ ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gali buti? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:


,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,

Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norint sukurti tašką po taško, būtina žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl: