Apibrėžtasis integralas kaip viršutinės dalies funkcija. Integravimas dalimis

Dar nėra kūrinio HTML versijos.

Panašūs dokumentai

Būtinas ir pakankama būklė apibrėžtojo integralo buvimas. Dviejų funkcijų algebrinės sumos (skirtumo) apibrėžtojo integralo lygybė. Vidutinės reikšmės teorema – pasekmė ir įrodymas. Geometrinė reikšmė apibrėžtasis integralas.

pristatymas, pridėtas 2013-09-18


Integralios sumos sampratos studijavimas. Viršutinė ir apatinė integracijos ribos. Apibrėžtinio integralo savybių analizė. Vidutinės vertės teoremos įrodymas. Kintamojo kaita apibrėžtajame integrale. Integralo išvestinė kintamojo viršutinės ribos atžvilgiu.

pristatymas, pridėtas 2013-11-04


Supažindinimas su apibrėžtojo integralo samprata ir pagrindinėmis savybėmis. Funkcijos y=f(x) integralios sumos apskaičiavimo formulės atkarpoje [a, b] pristatymas. Integralas yra lygus nuliui, jei apatinė ir viršutinė integravimo ribos yra lygios.

pristatymas, pridėtas 2013-09-18


Problemos, vedančios į apibrėžtojo integralo sampratą. Apibrėžtasis integralas, kaip integralios sumos riba. Ryšys tarp apibrėžtųjų ir neapibrėžtųjų integralų. Niutono-Leibnizo formulė. Geometriniai ir mechaninis pojūtis apibrėžtasis integralas.

santrauka, pridėta 2010-10-30


Integracijos metodai senovėje. Antiderivatinės funkcijos samprata. Pagrindinė teorema integralinis skaičiavimas. Neapibrėžtinių ir apibrėžtųjų integralų savybės ir jų skaičiavimo metodai, savavališkos konstantos. Elementariųjų funkcijų integralų lentelė.

pristatymas, pridėtas 2011-11-09


Antiderivatyvinės funkcijos samprata, teorema apie antidarinius. Neapibrėžtas integralas, jo savybės ir lentelė. Apibrėžtinio integralo samprata, jo geometrinė reikšmė ir pagrindinės savybės. Apibrėžtinio integralo ir Niutono-Leibnizo formulės išvestinė.

kursinis darbas, pridėtas 2011-10-21


Refleksinės funkcijos samprata ir savybės. Pirmasis diferencialinės sistemos ir egzistavimo sąlygų integralas. Trikdymo sąlygos diferencialinės sistemos, kurios nekeičia laiko simetrijos. Ryšio tarp pirmosios integralios ir ekvivalentinės sistemos nustatymas.

kursinis darbas, pridėtas 2009-08-21


Lyginių, nelyginių ir simetrinių santykinių ašių funkcijų samprata ir tyrimas. Pastovaus ženklo intervalų samprata. Išgaubtumas ir įdubimas, vingio taškai. Vertikalus ir įstrižai asimptotai. Mažiausiai ir didžiausia vertė funkcijos ir integralai.

praktinis darbas, pridėtas 2011-03-25


Vieno nepriklausomo kintamojo funkcija. Ribų savybės. Išvestinės ir diferencinės funkcijos, jų taikymas problemų sprendimui. Antidarinio samprata. Niutono-Leibnizo formulė. Apytiksliai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai. Vidutinės vertės teorema.

pamokos užrašai, papildyti 2013-10-23


Bendra koncepcija skaičių seka. Funkcijos riba taške. Be galo didelė ir maža funkcija. Funkcijos, jos ribos ir begalybės ryšys maža funkcija. Ribų buvimo požymiai. Pagrindinės teoremos apie ribas: trumpas aprašymas.

Tegul funkcija f(t) yra apibrėžtas ir tęstinis tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a. Tada kiekvienas skaičius x iš šio intervalo galite suderinti skaičių ,

taip apibrėžiant intervale funkciją aš(x), kuris paprastai vadinamas apibrėžtuoju integralu su kintama viršutine riba. Atkreipkite dėmesį, kad taške x = aši funkcija lygi nuliui. Apskaičiuokime šios funkcijos išvestinę taške x. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apsvarstykite funkcijos padidėjimą taške x stiprindamas argumentą D x:

D aš(x) = aš(x+ D x) – aš(x) =

.

Kaip parodyta pav. 4, paskutinio integralo reikšmė prieaugio D formulėje aš(x) yra lygus kreivinės trapecijos plotui, pažymėtam brūkšniu. Esant mažoms D vertėms x(čia, kaip ir kitur šiame kurse, kalbėdami apie nedidelius argumento ar funkcijos žingsnius, turime omenyje absoliučios vertėsžingsniais, nes patys žingsniai gali būti teigiami ir neigiami), šis plotas yra maždaug lygus stačiakampio, pažymėto paveikslėlyje su dvigubu brūkšniu, plotui. Stačiakampio plotas apskaičiuojamas pagal formulę f(x)D x. Iš čia gauname ryšį

.

Paskutinėje apytikslėje lygybėje aproksimacijos tikslumas yra didesnis, tuo mažesnė D reikšmė x.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia funkcijos išvestinės formulė aš(x):

.

Apibrėžtinio integralo išvestinė viršutinės ribos atžvilgiu taške x yra lygi integrando reikšmei taške x. Iš to išplaukia, kad funkcija yra funkcijos antidarinys f(x), ir toks antidarinys, kuris ima taške x = a prasmė, lygus nuliui. Šis faktas leidžia formoje pavaizduoti apibrėžtąjį integralą

. (1)

Leisti F(x) taip pat yra funkcijos antidarinys f(x), tada pagal teoremą apie bendras vaizdas visi funkcijų antidariniai aš(x) = F(x) + C, Kur C- ne skaičius. Kuriame dešinioji dalis(1) formulė įgauna formą

aš(x) – aš(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)

Iš (1) ir (2) formulių po pakeitimo xįjungta b vadovaujasi funkcijos apibrėžtojo integralo apskaičiavimo formule f(t) išilgai intervalo [ a;b]:

,

kuri paprastai vadinama formule Niutonas-Leibnicas. Čia F(x)- bet koks funkcijos antidarinys f(x).

Norint apskaičiuoti funkcijos apibrėžtąjį integralą f(x) išilgai intervalo [ a;b], reikia rasti antidarinį F(x) funkcijas f(x) ir apskaičiuokite skirtumą tarp antidarinės verčių taškuose b Ir a. Skirtumas tarp šių antidarinių reikšmių paprastai žymimas simboliu ᴛ.ᴇ. .

Pateiksime apibrėžtųjų integralų skaičiavimo pavyzdžius naudojant Niutono-Leibnizo formulę.

1 pavyzdys. .

Skaičiuodami apibrėžtuosius integralus galite naudoti kintamoji pakeitimo formulė:

.

Čia a Ir b atitinkamai nustatomi iš lygčių j(a) = a; j(b) = b, ir funkcijas f,j, j¢ turi būti nenutrūkstami atitinkamais intervalais.

2 pavyzdys..

Pakeiskime: ln x = t arba x = e t, tada jei x = 1, tada t = 0, o jei x = e, Tai t = 1. Rezultate gauname:

.

Tačiau apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą naudojant kintamųjų pasikeitimą, nėra itin svarbu grįžti prie ankstesnio integravimo kintamojo. Užtenka tik įvesti naujas integracijos ribas.

Tegul funkcija f(t) yra apibrėžtas ir tęstinis tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a. Tada kiekvienas skaičius x iš šio intervalo galite suderinti skaičių

aš(x) = aš(x+x) – aš(x) =

Kaip parodyta 23 paveiksle, paskutinio integralo reikšmė prieaugio  formulėje aš(x) yra lygus plotui lenkta trapecija, pažymėtas šešėliu. Esant mažoms vertėms x(čia, kaip ir kitur šiame kurse, kalbant apie mažus argumento ar funkcijos prieaugius, turime omenyje absoliučius prieaugių dydžius, nes patys prieaugiai gali būti teigiami ir neigiami) ši sritis pasirodo maždaug lygi plotui stačiakampio, pažymėto paveikslėlyje, dvigubo perėjimo. Stačiakampio plotas apskaičiuojamas pagal formulę f(x)x. Iš čia gauname santykį

.

Paskutinėje apytikslėje lygybėje aproksimacijos tikslumas yra didesnis, tuo mažesnė reikšmė  x.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia funkcijos išvestinės formulė aš(x):

.

Apibrėžtinio integralo išvestinė viršutinės ribos taške atžvilgiux lygi integrando reikšmei taškex. Iš to išplaukia, kad funkcija
yra funkcijos antidarinys f(x), ir toks antidarinys, kuris ima taške x = a vertė lygi nuliui. Šis faktas leidžia formoje pavaizduoti apibrėžtą integralą

. (9)

Leisti F(x) taip pat yra funkcijos antidarinys f(x), tada pagal teoremą apie visų funkcijos antidarinių bendrąją formą aš(x) = F(x) + C, Kur C- tam tikras skaičius. Šiuo atveju dešinė formulės (9) pusė įgauna formą

aš(x) – aš(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (10)

Iš (9) ir (10) formulių po pakeitimo xįjungta b vadovaujasi funkcijos apibrėžtojo integralo apskaičiavimo formule f(t) išilgai intervalo [ a;b]:

,

kuri vadinama formule Niutonas-Leibnicas. Čia F(x)- bet koks funkcijos antidarinys f(x).

Apskaičiuoti funkcijos apibrėžtąjį integralą f(x) išilgai intervalo [ a;b], reikia rasti antidarinį F(x) funkcijas f(x) ir apskaičiuokite skirtumą tarp antidarinės verčių taškuose b Ir a. Skirtumas tarp šių antiderivatinių verčių paprastai žymimas simboliu .

Pateiksime apibrėžtųjų integralų skaičiavimo pavyzdžius naudojant Niutono-Leibnizo formulę.

Pavyzdžiai. 1.
.

2.
.

Pirmiausia apskaičiuokime neapibrėžtą funkcijos integralą f(x) = xe x. Naudodami integravimo dalimis metodą, gauname:
. Kaip antiderivatinė funkcija f(x) pasirinkite funkciją e x (x– 1) ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę:

I = e x (x – 1)= 1.

Skaičiuodami apibrėžtuosius integralus galite naudoti kintamojo keitimo apibrėžtajame integre formulė:

.

Čia  Ir  atitinkamai nustatomi iš lygčių  ( ) = a;  ( ) = b, ir funkcijas f,  ,  turi būti nenutrūkstami atitinkamais intervalais.

Pavyzdys:
.

Pakeiskime: ln x = t arba x = e t, tada jei x = 1, tada t = 0, o jei x = e, Tai t = 1. Rezultate gauname:

.

Keičiant apibrėžtojo integralo kintamąjį, nereikia grįžti prie pradinio integravimo kintamojo.

Integruotas su kintama viršutine riba. Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo to, kokia raide žymimas integravimo kintamasis: (tam patikrinti užtenka išrašyti integralo sumas; jos sutampa). Šiame skyriuje integracijos kintamasis pažymėsime raide t , ir laiškas x pažymėkime viršutinę integracijos ribą. Darysime prielaidą, kad integralo viršutinė riba gali kisti, t.y. Ką x - kintamasis, todėl integralas bus funkcija Ф( x ) jo viršutinis limitas: . Nesunku įrodyti, kad jei f (t ) yra integruojamas, tada Ф( x ) yra tęstinis, bet mums svarbesnė ši pagrindinė teorema:
Integralų teorema su kintama viršutine riba. Jei funkcija f (t ) yra ištisinis taško kaimynystėje t = x , tada šioje vietoje funkcija Ф( x ) yra diferencijuojamas ir .
Kitaip tariant, tolydžios funkcijos apibrėžtojo integralo išvestinė viršutinės ribos atžvilgiu yra lygi integrando reikšmei šioje riboje.
dokumentas. Nurodykime viršutinę ribą x prieaugis . Tada , Kur c - taškas, esantis tarp x ir (tokio taško buvimą konstatuoja vidutinės reikšmės teorema; skaičiai virš lygybės ženklo yra apibrėžtojo integralo taikomosios savybės skaičius). . Paskubėkime. kur ( c - taškas, esantis tarp x Ir). Nes f (t ) yra ištisinis taške t = x , Tai . Todėl yra , Ir . Teorema įrodyta.

Atkreipkime dėmesį į pirmąjį svarbi pasekmėši teorema. Iš esmės mes įrodėme, kad bet koks nuolatinė funkcija f (x ) turi antidarinį, ir šis antidarinys nustatomas pagal formulę

36. Niutono-Leibnizo formulė.

Jeigu f (x ) yra tęstinis intervale [ a , b ], Ir F (x ) yra tam tikra funkcijos antidarinė .
Dok. Mes nustatėme, kad funkcija - ištisinio antidarinys f (x ). Nes F (x ) taip pat yra antiderivatinis, tada Ф( x ) = F (x ) + C . Įtraukime šią lygybę x = a . Nes , Tai. Lygybėje perskirkime kintamuosius: integravimo kintamajam t grįžkime prie žymėjimo x , viršutinis limitas x pažymėkime b . Pagaliau, .
Skirtumas dešinėje Niutono-Leibnizo formulės pusėje žymimas specialiu simboliu: (čia skaitoma kaip „pakeitimas iš a prieš b “), todėl Niutono-Leibnizo formulė paprastai rašoma taip: .

37. Integravimas dalimis ir kintamojo kaita apibrėžtajame integrale.

Jeigu u(x) Ir v(x) - dvi funkcijos, apibrėžtos intervale [ a, b] ir turint ten ištisines išvestines, tada

Formulė (24) yra apibrėžtųjų integralų integravimo dalimis formulė.

Įrodymas labai paprastas. tiksliai,

Kadangi pagal integravimo dalimis formulę taip ir bus

tada čia seka (24).

Leisti f(zp, q], A φ (x) yra nuolatinė funkcija, apibrėžta intervale [ a, b], kuri ten turi ištisinę išvestinę φ "(x) ir tenkinant nelygybę p ≤ φ (x) ≤ q.

Tokiu atveju

Formulė (22) išreiškia kintamojo keitimo apibrėžtajame integre taisyklę. Ji primena kintamojo pakeitimo neapibrėžtame integrale taisyklę, tačiau skiriasi nuo jos tuo, kad nereikia grįžti prie senojo kintamojo, nes formulė (22) reiškia dviejų pastovių skaičių lygybę. Taip pat atkreipkime dėmesį, kad apibrėžtųjų integralų atveju ši formulė pakeičia abiejų tipų keitimo taisykles neapibrėžtiniuose integraluose; tik taikant praktiškai, kartais tenka skaityti iš kairės į dešinę, o kartais iš dešinės į kairę.

Pereinant prie teoremos įrodymo, integralus, įtrauktus atitinkamai į kairę ir dešinę (22) formulės puses, pažymime taip: aš liūtas ir aš teisingai

Leisti F(z) – antiderivatinė funkcija, skirta f(z). Tada pagal Niutono-Leibnizo formulę/p>

aš teisės = F[φ (b)] - F[φ (a)]. (23)

Kalbant apie aš liūtas tada

Bet pagal teoremą taip ir bus

aš liūtas = F[φ (b)] - F[φ (a)].

Iš čia ir iš (23) išplaukia, kad aš liūtas = aš teisingai

38. Lyginių, nelyginių ir periodinių funkcijų integralai.

1 teorija. Tegul f(x) yra integruojamas intervale [-a,a] lygi funkcija:

Norėdami tai įrodyti, pateiksime pradinį integralą kaip dviejų integralų sumą:

Teiginys pasitvirtino.

2 teorija. Tegul f(x) yra nelyginė funkcija, integruojama į intervalą [-a,a]:

Teorema įrodoma panašiai:

nepriklauso nuo λ. Visų pirma,

Apskaičiuokime išvestinę λ atžvilgiu iš išraiškos dešinėje šios lygybės pusėje:

Netinkami integralai

Netinkamas integralas su begaline (-omis) integravimo riba (-omis).

Kartais vadinamas ir toks netinkamas integralas netinkamas pirmosios rūšies integralas. Apskritai netinkamas integralas su begaline riba dažniausiai atrodo taip: . Kuo jis skiriasi nuo apibrėžtojo integralo? Prie viršutinės ribos. Tai begalinis: .

Mažiau paplitę integralai su begaline apatine riba arba dviem begalinės ribos: .

Mes apsvarstysime populiariausią atvejį. Darbo su kitomis veislėmis technika yra panaši, o pastraipos pabaigoje bus nuoroda į tokius pavyzdžius.

Ar visada egzistuoja netinkamas integralas? Ne, ne visada integrandas turi būti tęstinis intervale

Pagalba: griežtai kalbant, teiginys yra klaidingas: jei funkcijoje yra nenutrūkstamumo, tai kai kuriais atvejais galima padalyti pusintervalą į kelias dalis ir apskaičiuoti kelis netinkamus integralus. Paprastumo dėlei toliau pasakysiu, kad netinkamas integralas neegzistuoja.

Brėžinyje pavaizduokime integrando funkcijos grafiką. Tipiškas grafikas ir lenkta trapecija Ši byla atrodo taip:

Čia viskas gerai, integrandas yra tęstinis pusinės intervalo intervale, todėl egzistuoja netinkamas integralas. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų lenkta trapecija yra begalinis(neapsiribojama dešine) figūra.
Netinkamas integralas skaitiniu požiūriu lygus plotui užtamsinta figūra, galimi du atvejai:

1) Pirma, mintis, kuri ateina į galvą: „kadangi figūra yra begalinė, tada “, kitaip tariant, plotas taip pat yra begalinis. Gali buti taip. Šiuo atveju jie sako, kad netinkamas integralas skiriasi.

2) Bet. Kad ir kaip paradoksaliai tai skambėtų, begalinės figūros plotas gali būti lygus... baigtiniam skaičiui! Pavyzdžiui: . Ar tai gali būti tiesa? Lengvai. Antruoju atveju netinkamas integralas suartėja.

Kokiais atvejais netinkamas integralas išsiskiria ir kokiais konverguoja? Tai priklauso nuo integrando ir konkrečių pavyzdžių labai greitai tai išnagrinėsime.

Kas atsitiks, jei begalinė lenkta trapecija yra žemiau ašies? Šiuo atveju netinkamas integralas (skiriasi) arba yra lygus baigtiniam neigiamam skaičiui.

Netinkamas integralas gali būti neigiamas.

Svarbu! Kai sprendiniui jums pasiūlo BET KOKĮ netinkamą integralą, tada paprastai kalbant apie jokią sritį nekalbama ir nereikia konstruoti brėžinio. Jūsų užduotis yra rasti SKAIČIŲ arba įrodyti, kad netinkamas integralas skiriasi. Netinkamo integralo geometrinę reikšmę paaiškinau tik tam, kad būtų lengviau suprasti medžiagą.

Kadangi netinkamas integralas yra labai panašus į apibrėžtąjį integralą, prisiminkite formulę Niutonas-Leibnicas: . Tiesą sakant, formulė taip pat taikoma netinkami integralai, jį reikia tik šiek tiek pakeisti. Koks skirtumas? Prie begalinės viršutinės integracijos ribos: . Tikriausiai daugelis atspėjo, kad tai jau kvepia ribų teorijos taikymu, o formulė bus parašyta taip: .

Šios dienos paskaitoje toliau nagrinėsime apibrėžtąjį integralą ir gausime jo skaičiavimo formulę. Kaip matysime vėliau, apibrėžtasis integralas yra lygus antidarinės prieaugiui ir reiškia pastovus skaičius, lygus plotui kreivinė trapecija. Todėl visi neapibrėžtinio integralo skaičiavimo metodai galioja ir apibrėžtajam integralui.

1 klausimas. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės

Integralinis

buvo pristatytas bylai a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

1 nuosavybė. .

Ši formulė gaunama iš (1) su sąlyga, kad visi Δx i = 0.

2 nuosavybė. .

Ši formulė gaunama iš (1) su sąlyga, kad atkarpa vykdoma priešinga kryptimi (nuo b iki a), t.y. visi Δx i< 0.

3 savybė (sudėtingumo savybė)

Jei funkcija f(x) yra integruojama intervale ir a< c < b, то

. (2)

Lygybė (2) galioja bet kuriai taškų a, b ir c vietai (manome, kad funkcija f(x) yra integruojama didesnėje iš gautų atkarpų).

4 nuosavybė.

Pastovus daugiklis gali būti išimamas kaip apibrėžtojo integralo ženklas, t.y.

,

kur k = konst.

5 nuosavybė.

Dviejų funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus algebrinė sumašių funkcijų integralai, t.y.

.

komentuoti

1. 5 savybė taikoma bet kurios sumos baigtinis skaičius terminai.
2. 4 ir 5 savybės kartu reiškia tiesiškumo savybė apibrėžtasis integralas.

2 klausimas. Integralo įverčiai. Vidutinės vertės teorema

1. Jei funkcija f(x) ≥ 0 visur intervale, tada .

2. Jei f(x) ≥ g(x) visur intervale, tada .

3. Funkcijai f(x), apibrėžtai intervale , galioja nelygybė .

Visų pirma, jei visur intervale tada Ir .

4. Jei m ir M yra atitinkamai mažiausia ir didžiausia funkcijos f(x) reikšmės atkarpoje , tada .

T.2.1. (vidutinės vertės teorema))

Jei funkcija f(x) yra ištisinė atkarpoje , tai šioje atkarpoje yra taškas c, kad

. (3)

Lygybė (3) vadinama vidutinės vertės formulė, ir iškviečiama reikšmė f(c). funkcijos vidutinė reikšmė f(x) atkarpoje .

3 klausimas: apibrėžtasis integralas kaip viršutinės ribos funkcija

Jei funkcija y = f(x) yra integruojama intervale , tai ji integruojama bet kuriame mažesniame intervale, t.y. „xО“ yra integralas

Kad nebūtų painiojami ribos ir integravimo kintamojo žymėjimai, integravimo kintamąjį žymime t. Tada integralas (4) bus parašytas tokia forma. Šio integralo reikšmė yra viršutinės ribos x funkcija ir žymima Ф(х):

. (5)

Iškviečiama funkcija Ф(х). integralas su kintama viršutine riba.

Panagrinėkime kai kurias funkcijos Ф(х) savybes.

T.3.1.(funkcijos Ф(х) tęstinumas)

Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, tai funkcija Ф(x) taip pat bus ištisinė intervale.

T.3.2.(funkcijos Ф(х) diferenciacija)

Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, tai funkcija Ф(x) yra diferencijuojama bet kuriuo vidinis taškas x šio segmento, ir lygybė yra teisinga

.

Pasekmė

Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, tada šiai funkcijai yra įjungta antidarinė šis segmentas, o funkcija Ф(x) – integralas su kintamąja viršutine riba – yra funkcijos f(x) antidarinė.

Kadangi kiekviena kita funkcijos f(x) antidarinė nuo Ф(x) skiriasi tik pastoviu nariu, galime nustatyti