Norėdami išspręsti daugelį praktines problemas būtina žinoti sąlygų kompleksą, dėl kurio atsiranda kumuliacinio poveikio rezultatas didelis kiekis atsitiktiniai veiksniai beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo. Šios sąlygos aprašytos keliose teoremose, vadinamose bendras vardasįstatymas dideli skaičiai, kur atsitiktinis dydis k yra lygus 1 arba 0, priklausomai nuo to, ar k-ojo bandymo rezultatas yra sėkmingas ar nesėkmingas. Taigi Sn yra n tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, kurių kiekvienas įgyja reikšmes 1 ir 0 su tikimybėmis p ir q.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, teigianti, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Puasono teorema teigia, kad serijos įvykio dažnumas nepriklausomi testai linksta į savo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, Moivre-Laplace teorema paaiškina įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo prigimtį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalus pasiskirstymas.

Centrinė ribos teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio paplitimą. Teorema teigia, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl sudėjimo didelis skaičius nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra beveik normalus dėsnis.

Liapunovo teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio paplitimą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro sudėjus daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos sklaida, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. yra beveik normalus įstatymas. Ir nuo tada atsitiktiniai dydžiai visada generuojami begalinis skaičius Priežastys ir dažniausiai nė viena iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, tada daugumai praktikoje pasitaikančių atsitiktinių dydžių galioja normalaus skirstinio dėsnis.

Didžiųjų skaičių dėsnio kokybiniai ir kiekybiniai teiginiai yra pagrįsti Čebyševo nelygybė. Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio yra didesnis už tam tikrą duotas numeris. Pastebėtina, kad Čebyševo nelygybė apskaičiuoja įvykio tikimybę atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymas nežinomas, tik jo matematinis lūkestis ir dispersija.

Čebyševo nelygybė. Jei atsitiktinis dydis x turi dispersiją, tai bet kurio x > 0 nelygybė yra teisinga, kur M x ir D x – atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis ir dispersija.

Bernulio teorema. Tegu x n yra sėkmingų n Bernulio bandymų skaičius, o p – individualaus bandymo sėkmės tikimybė. Tada bet kuriai s > 0 tai tiesa.

Liapunovo teorema. Tegu s 1, s 2, …, s n, …- neribota seka nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais m 1, m 2, …, m n, … ir dispersijomis s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Pažymėkime.

Tada = Ф(b) - Ф(a) bet kuriai realūs skaičiai a ir b, kur Ф(x) yra normaliojo skirstinio funkcija.

Tegu pateikiamas diskretinis atsitiktinis dydis. Panagrinėkime sėkmės skaičiaus Sn priklausomybę nuo bandymų skaičiaus n. Kiekvieno bandymo metu Sn padidėja 1 arba 0. Šis teiginys gali būti parašytas taip:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Didžiųjų skaičių dėsnis. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Jei egzistuoja matematinė lūkestis = M(k), tai bet kuriai > 0 n

Kitaip tariant, tikimybė, kad vidutinis S n /n skiriasi nuo matematinio lūkesčio mažiau nei savavališkai nurodyta reikšmė, linkusi į vieną.

Centrinės ribos teorema. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Tarkime, kad jie egzistuoja. Tegul Sn = 1 +…+ n , Tada bet kuriam fiksuotam

F () – F () (1.3)

Čia F (x) -- normali funkcija Aš platinu. Šią teoremą suformulavo ir įrodė Linlbergas. Lyapunovas ir kiti autoriai tai įrodė anksčiau, griežtesnėmis sąlygomis. Reikia įsivaizduoti, kad aukščiau suformuluota teorema yra tik labai ypatingas atvejis daug daugiau bendroji teorema, kuris savo ruožtu yra glaudžiai susijęs su daugeliu kitų ribinių teoremų. Atkreipkite dėmesį, kad (1.3) yra daug stipresnis už (1.2), nes (1.3) apskaičiuoja tikimybę, kad skirtumas yra didesnis nei. Kita vertus, didelių skaičių dėsnis (1.2) yra teisingas, net jei atsitiktiniai dydžiai k neturi baigtinės dispersijos, todėl jis galioja daugiau bendras atvejis nei centrinės ribos teorema (1.3). Paskutines dvi teoremas iliustruosime pavyzdžiais.

Pavyzdžiai. a) Apsvarstykite nepriklausomų simetrinio kauliuko metimų seką. Tegu k yra taškų, gautų per k-ąjį metimą. Tada

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 = 35/12 ir S n /n

yra vidutinis taškų skaičius, gautas iš n metimų.

Didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad tikėtina, kad dideliems n šis vidurkis bus artimas 3,5. Centrinės ribos teorema nurodo tikimybę, kad |Sn – 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Mėginių ėmimas. Tarkime, kad į gyventojų,

susidedančios iš N šeimų, Nk šeimų turi lygiai po k vaiku

(k = 0, 1...; Nk = N). Jei šeima pasirenkama atsitiktinai, tai vaikų skaičius joje yra atsitiktinis dydis, kuris įgauna reikšmę su tikimybe p = N/N. Atrankos metu n dydžio imtį galima žiūrėti kaip n nepriklausomų atsitiktinių dydžių rinkinį arba "stebėjimus" 1, ..., n, kurie visi turi tą patį pasiskirstymą; S n /n yra imties vidurkis. Didelių skaičių dėsnis teigia, kad pakankamai dideliam atsitiktinis pavyzdys jo vidurkis tikriausiai bus artimas, tai yra, gyventojų vidurkiui. Centrinė ribinė teorema leidžia įvertinti galimą šių vidurkių neatitikimo dydį ir nustatyti imties dydį, reikalingą patikimam įvertinimui. Praktiškai ir ir dažniausiai nežinomi; tačiau daugeliu atvejų lengva gauti preliminarią sąmatą ir visada gali būti įtraukta į patikimas ribas. Jei norime 0,99 ar didesnės tikimybės, kad imties vidurkis S n /n skiriasi nuo nežinomos populiacijos vidurkio mažiau nei 1/10, tada imties dydis turi būti toks, kad

Lygties Ф(x) - Ф(-- x) = 0,99 x šaknis yra lygi x = 2,57 ..., todėl n turi būti tokia, kad 2,57 arba n > 660. Kruopštus preliminarus įvertinimas leidžia rasti reikiamą imties dydį.

c) Puasono pasiskirstymas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai k turi Puasono skirstinį (p(k;)). Tada Sn turi Puasono skirstinį, kurio vidurkis ir dispersija lygi n.

Rašydami vietoj n, darome išvadą, kad n

Sumavimas atliekamas per visus k nuo 0 iki. Ph-la (1,5) taip pat galioja, kai yra savavališkai.

Kursiniai darbai

tema: „Didžiųjų skaičių dėsniai“

Identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai

Norint išspręsti daugelį praktinių problemų, būtina žinoti aibę sąlygų, dėl kurių daugelio atsitiktinių veiksnių bendros įtakos rezultatas beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo. Šios sąlygos aprašytos keliose teoremose, bendrai vadinamose didelių skaičių dėsniu, kur atsitiktinis dydis k yra lygus 1 arba 0, priklausomai nuo to, ar k-ojo bandymo rezultatas yra sėkmingas ar nesėkmingas. Taigi Sn yra n tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, kurių kiekvienas įgyja reikšmes 1 ir 0 su tikimybėmis p ir q.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, teigianti, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Puasono teorema teigia, kad įvykio dažnis nepriklausomų bandymų serijoje yra linkęs į jo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, Moivre-Laplace teorema paaiškina įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo prigimtį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalus pasiskirstymas.

Centrinė ribinė teorema paaiškina plačiai paplitusį normaliojo skirstinio dėsnio pasiskirstymą. Teorema teigia, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis pridėjimo, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasirodo kaip beveik normalus dėsnis.

Liapunovo teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio pasiskirstymą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro sudėjus daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos sklaida, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. yra beveik normalus įstatymas. Ir kadangi atsitiktinius dydžius visada generuoja begalinis priežasčių skaičius ir dažniausiai nė vienas iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, daugumai praktikoje pasitaikančių atsitiktinių dydžių galioja normalaus pasiskirstymo dėsnis.

Didžiųjų skaičių dėsnio kokybiniai ir kiekybiniai teiginiai yra pagrįsti Čebyševo nelygybė. Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio vertės yra didesnis už tam tikrą nurodytą skaičių, ribą. Pastebėtina, kad Čebyševo nelygybė apskaičiuoja atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nežinomas, tik jo matematinė prognozė ir dispersija, tikimybę.

Čebyševo nelygybė. Jei atsitiktinis dydis x turi dispersiją, tai bet kurio x > 0 nelygybė yra teisinga, kur M x ir D x – atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis ir dispersija.

Bernulio teorema. Tegu x n yra sėkmingų n Bernulio bandymų skaičius, o p – individualaus bandymo sėkmės tikimybė. Tada, jei s > 0, .

Liapunovo teorema. Tegu s 1 , s 2 , …, s n , … yra neribota nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka su matematiniais lūkesčiais m 1 , m 2 , …, m n , … ir dispersijomis s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Pažymime , , , .

Tada = Ф(b) - Ф(a) bet kokiems realiesiems skaičiams a ir b, kur Ф(x) yra normaliojo skirstinio funkcija.

Tegu pateikiamas diskretinis atsitiktinis dydis. Panagrinėkime sėkmės skaičiaus Sn priklausomybę nuo bandymų skaičiaus n. Kiekvieno bandymo metu Sn padidėja 1 arba 0. Šis teiginys gali būti parašytas taip:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Didelių skaičių dėsnis. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Jei egzistuoja matematinė lūkestis = M(k), tai bet kuriai > 0 n

Kitaip tariant, tikimybė, kad vidutinis S n /n skiriasi nuo matematinio lūkesčio mažiau nei savavališkai pateikta reikšmė, linkusi į vienetą.

Centrinės ribos teorema. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Tarkime, kad jie egzistuoja. Tegul Sn = 1 +…+ n , Tada bet kuriam fiksuotam

F () – F () (1.3)

Čia Ф(х) yra normalaus pasiskirstymo funkcija. Šią teoremą suformulavo ir įrodė Linlbergas. Lyapunovas ir kiti autoriai tai įrodė anksčiau, griežtesnėmis sąlygomis. Reikia įsivaizduoti, kad aukščiau suformuluota teorema yra tik labai ypatingas daug bendresnės teoremos atvejis, kuris savo ruožtu yra glaudžiai susijęs su daugeliu kitų ribinių teoremų. Atkreipkite dėmesį, kad (1.3) yra daug stipresnis už (1.2), nes (1.3) apskaičiuoja tikimybę, kad skirtumas yra didesnis nei . Kita vertus, didelių skaičių dėsnis (1.2) yra teisingas, net jei atsitiktiniai dydžiai k neturi baigtinės dispersijos, todėl jis taikomas bendresniam atvejui nei centrinė ribinė teorema (1.3). Iliustruosime paskutines dvi teoremas pavyzdžiais.

Pavyzdžiai. a) Apsvarstykite nepriklausomų simetrinio kauliuko metimų seką. Tegu k yra taškų, gautų per k-ąjį metimą. Tada

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 ir S n /n

yra vidutinis taškų skaičius, gautas iš n metimų.

Didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad tikėtina, jog dideliems n šis vidurkis bus artimas 3,5. Centrinė ribos teorema nurodo tikimybę, kad |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Mėginių ėmimas. Tarkime, kad bendroje populiacijoje

susidedančios iš N šeimų, Nk šeimų turi lygiai po k vaiku

(k = 0, 1...; Nk = N). Jei šeima pasirenkama atsitiktinai, tai vaikų skaičius joje yra atsitiktinis dydis, kuris įgauna reikšmę su tikimybe p = N /N. Atrankos metu n dydžio imtį galima žiūrėti kaip n nepriklausomų atsitiktinių dydžių rinkinį arba "stebėjimus" 1, ..., n, kurie visi turi tą patį pasiskirstymą; S n /n yra imties vidurkis. Didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad pakankamai didelės atsitiktinės imties vidurkis greičiausiai bus artimas , tai yra, populiacijos vidurkiui. Centrinė ribinė teorema leidžia įvertinti galimą šių vidurkių neatitikimo dydį ir nustatyti imties dydį, reikalingą patikimam įvertinimui. Praktiškai ir ir dažniausiai nežinomi; tačiau daugeliu atvejų lengva gauti preliminarią sąmatą ir visada gali būti įtraukta į patikimas ribas. Jei norime 0,99 ar didesnės tikimybės, kad imties vidurkis S n /n skiriasi nuo nežinomos populiacijos vidurkio mažiau nei 1/10, tada imties dydis turi būti toks, kad

Lygties F(x) - F(- x) = 0,99 x šaknis yra x = 2,57..., todėl n turi būti tokia, kad 2,57 arba n > 660. Kruopštus preliminarus įvertinimas leidžia rasti reikiamą imties dydį.

c) Puasono pasiskirstymas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai k turi Puasono skirstinį (p(k; )). Tada Sn turi Puasono skirstinį, kurio vidurkis ir dispersija lygi n.

Rašydami vietoj n, darome išvadą, kad n

Sumavimas atliekamas per visus k nuo 0 iki . Ph-la (1,5) taip pat galioja, kai yra savavališkai.

Aukščiau nagrinėjome klausimą, kaip rasti PDF statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumai. Šiame skyriuje dar kartą pažvelgsime į sumą statistiškai nepriklausomi kiekiai, tačiau mūsų požiūris bus kitoks ir nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių dalinių PDF rinkmenų sumoje. Visų pirma, tarkime, kad sumos nariai yra statistiškai nepriklausomi ir identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, kurių kiekvienas turi ribotą vidurkį ir ribinę dispersiją.

Leisti apibrėžti kaip normalizuotą sumą, vadinamą imties vidurkiu

Pirmiausia nustatysime viršutines uodegos tikimybės ribas, o tada įrodysime labai svarbią teoremą, kuri nustato PDF ribą, kai ji linkusi į begalybę.

Su (2.1.187) apibrėžtu atsitiktiniu dydžiu dažnai susiduriama vertinant atsitiktinio dydžio vidurkį per daugybę stebėjimų, . Kitaip tariant, gali būti laikomas nepriklausomu imties realizavimu iš skirstinio ir yra vidurkio įvertinimas.

Matematinis lūkestis yra

.

Skirtumas yra

Jei laikysime jį vidurkio įvertinimu, pamatysime, kad jo matematinė prognozė yra lygi , o jo sklaida mažėja didėjant imties dydžiui. Jei jis didėja be apribojimų, dispersija linkusi į nulį. Parametrų įvertinimas (in šiuo atveju), kuri tenkina sąlygas, kurias tenkina jo matematiniai lūkesčiai tikroji prasmė parametras, o dispersija yra griežtai lygi nuliui, vadinamas nuosekliu įvertinimu.

Atsitiktinio dydžio uodegos tikimybę galima įvertinti iš viršaus, naudojant skyriuje pateiktas ribas. 2.1.5. Čebyševo nelygybė atžvilgiu turi formą

,

. (2.1.188)

Riboje kai , iš (2.1.188) išplaukia

. (2.1.189)

Vadinasi, tikimybė, kad vidurkio įvertis skiriasi nuo tikrosios vertės daugiau nei , linksta į nulį, jei jis auga be apribojimų. Šis teiginys yra didelių skaičių dėsnio forma. Kadangi viršutinė riba į nulį konverguoja gana lėtai, t.y. atvirkščiai proporcingas. vadinama išraiška (2.1.188). silpnas didelių skaičių dėsnis.

Jei taikysime Černoffo ribą atsitiktiniam dydžiui, kuris turi eksponentinę priklausomybę nuo , tada gausime griežtą viršutinę vienos uodegos tikimybės ribą. Laikantis procedūros, nurodytos skyriuje. 2.1.5, nustatome, kad uodegos tikimybę lemia išraiška

kur ir. Tačiau yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę. Vadinasi,

kur yra vienas iš kiekių. Parametras , kuris suteikia tiksliausią viršutinę ribą, gaunamas diferencijuojant (2.1.191) ir išvestinę prilyginant nuliui. Tai veda prie lygties

(2.1.192)

Sprendimą (2.1.192) pažymėkime . Tada viršutinės uodegos tikimybės riba yra

, . (2.1.193)

Panašiai pamatysime, kad apatinė uodegos tikimybė turi ribą

, . (2.1.194)

2.1.7 pavyzdys. Tegu , yra statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių serija, apibrėžta taip:

Norime apibrėžti griežtą viršutinę tikimybės, kad suma iš yra didesnė už nulį, ribą. Nuo , suma turės neigiama reikšmė matematiniam lūkesčiui (vidurkiui), todėl ieškosime viršutinės uodegos tikimybės. Nes (2.1.193) turime

, (2.1.195)

kur yra lygties sprendinys

Vadinasi,

. (2.1.197)

Vadinasi, (2.1.195) ribai gauname

Mes tai matome viršutinė riba mažėja eksponentiškai su , kaip ir tikėtasi. Priešingai, pagal Čebyševo ribą, uodegos tikimybė mažėja atvirkščiai su .

Centrinės ribos teorema. Šiame skyriuje nagrinėjame itin naudingą teoremą, susijusią su atsitiktinių dydžių sumos IDF riboje, kai sumos narių skaičius didėja neribotai. Yra keletas šios teoremos versijų. Įrodykime teoremą tuo atveju, kai atsitiktiniai suminiai kintamieji , , yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, kiekvienas iš jų turi ribotą vidurkį ir ribotą dispersiją.

Patogumui apibrėžiame normalizuotą atsitiktinį kintamąjį

Taigi jis turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją.

Dabar leisk

Kadangi kiekviena sumos suma turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją, vertė, normalizuota (faktoriumi ), turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją. Norime apibrėžti FMI ribą, kai .

Charakteristinė funkcija yra lygi

, (2.1.200).

,

arba lygiaverčiai

. (2.1.206)

Bet tai tik tiek būdinga funkcija Gauso atsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir vieneto dispersija. Taip mes turime svarbus rezultatas; Statistiškai nepriklausomų ir identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių su ribotu vidurkiu ir dispersija sumos PDF artėja prie Gauso ties . Šis rezultatas žinomas kaip centrinės ribos teorema.

Nors manėme, kad atsitiktiniai dydžiai sumoje yra pasiskirstę vienodai, šią prielaidą galima sušvelninti, jei sumuojamų atsitiktinių dydžių savybėms vis dar taikomi tam tikri papildomi apribojimai. Yra vienas teoremos variantas, pavyzdžiui, kai atsisakoma identiško atsitiktinių dydžių pasiskirstymo prielaidos, o trečiajam sumos atsitiktinių dydžių absoliučiam momentui taikoma sąlyga. Norėdami aptarti šią ir kitas centrinės ribos teoremos versijas, skaitytojas remiasi Cramer (1946).

Centrinė ribinė teorema yra teoremų grupė, skirta nustatyti sąlygas, kurioms esant normalus įstatymas skirstinius, o jų pažeidimas lemia kitokį nei normalų skirstinį. Įvairių formų Centrinė ribinė teorema viena nuo kitos skiriasi sąlygomis, keliamomis sumą sudarančių atsitiktinių narių skirstiniams. Įrodykime vieną iš labiausiai paprastos formosši teorema, būtent centrinė ribinė teorema nepriklausomiems identiškai paskirstytiems terminams.

Apsvarstykite nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių, turinčių matematinius lūkesčius, seką. Taip pat tarkime, kad dispersija egzistuoja. Supažindinkime su užrašu. Šios sekos didelių skaičių dėsnį galima pavaizduoti tokia forma:

kur konvergencija gali būti suprantama ir tikimybės konvergencijos prasme (silpnas didelių skaičių dėsnis), ir konvergencijos su tikimybe prasme, lygus vienam(sustiprintas didelių skaičių dėsnis).

Teorema (centrinės ribos teorema nepriklausomiems vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių). Leisti būti nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka, . Tada yra vienoda santykinė () konvergencija

kur yra standarto funkcija normalusis pasiskirstymas(su parametrais):

Jei tenkinama tokios konvergencijos sąlyga, seka vadinama asimptotiškai normalia.

Liapunovo ir Lindebergo teoremos

Panagrinėkime atvejį, kai atsitiktiniai dydžiai turi skirtingus skirstinius – jie yra nepriklausomi su skirtingais skirstiniais.

Teorema (Lindebergas). Leisti būti nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis seka. Jei Lindeberg sąlyga tenkinama šiai sekai:

kur, tada jam galioja centrinės ribos teorema.

Kadangi sunku tiesiogiai patikrinti Lindebergo sąlygą, mes atsižvelgiame į kai kurias kitas sąlygas, kurioms esant galioja centrinė ribinė teorema, būtent Lyapunov teoremos sąlyga.

Teorema (Lyapunov). Jei Liapunov sąlyga yra įvykdyta atsitiktinių kintamųjų sekai:

tada seka asimptotiškai normali, t.y. galioja centrinės ribos teorema.

Lyapunov sąlygos įvykdymas reiškia Lindebergo sąlygos įvykdymą, o iš jos išplaukia centrinė ribos teorema.

Jau žinoma, kad pagal platinimo dėsnį galima rasti skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos.

Pasvarstykime n vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , ...., X p, kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje.

Nagrinėjamų atsitiktinių dydžių aritmetinį vidurkį pažymėkime :

= (X 1 +X 2 +…+X n)/n.

Šios trys nuostatos nustato ryšį tarp skaitinių aritmetinio vidurkio charakteristikų X ir atitinkamas kiekvieno atskiro dydžio charakteristikas.

1. Identiškai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio matematinis lūkestis yra lygus kiekvienos iš reikšmių matematiniam lūkesčiui:

M()=a

Įrodymas. Naudojant matematinio lūkesčio savybes ( pastovus veiksnys gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas; matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai), turime

M( )= M

Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio matematinė lūkestis pagal sąlygą yra lygus A, gauname

M()=na/n=a.

2. n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio dispersija yra n kartų mažesnė už kiekvienos reikšmės dispersiją D:

D()=D/n.(* )

Įrodymas. Pasinaudoję dispersijos savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu; nepriklausomų dydžių sumos sklaida lygi dėmenų dispersijų sumai), gauname

D( )=D

Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio dispersija pagal sąlygą yra lygi D, gauname

D( )= nD/n 2 =D/n.

3. Vidutinis standartinis nuokrypis n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis yra kelis kartus mažesnis už vidutinį kvadratinį nuokrypį s kiekvienas kiekis:

Įrodymas. Nes D()= D/n, tada standartinis nuokrypis lygus

s ( )= .

Bendra išvada iš formulių (*) ir (**): atsimindami, kad dispersija ir standartinis nuokrypis yra atsitiktinio dydžio sklaidos matai, darome išvadą, kad pakankamai didelio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis turi žymiai mažesnę dispersiją nei kiekvienas. individualią vertę.

Paaiškinkime pavyzdžiu šios išvados reikšmę praktikai.

Pavyzdys. Paprastai kai kuriuos išmatuoti fizinis kiekis atlikite kelis matavimus, tada suraskite gautų skaičių aritmetinį vidurkį, kuris imamas kaip apytikslė išmatuotos vertės reikšmė. Darant prielaidą, kad matavimai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, įrodykite:

a) aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei atskiri matavimai;

b) padidėjus matavimų skaičiui, didėja šio rezultato patikimumas.

Sprendimas. a) Yra žinoma, kad atskiri matavimai suteikia skirtingas išmatuoto kiekio vertes. Kiekvieno matavimo rezultatas priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių (temperatūros pokyčių, prietaiso svyravimų ir kt.), į kurias iš anksto visiškai atsižvelgti negalima.

Todėl mes turime teisę apsvarstyti galimus rezultatus n individualūs matavimai kaip atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , ..., X p(indeksas rodo matavimo numerį). Šie kiekiai turi vienodas paskirstymas tikimybės (matavimai atliekami tuo pačiu metodu ir tais pačiais instrumentais), taigi ir tos pačios skaitinės charakteristikos; be to, jie yra vienas nuo kito nepriklausomi (kiekvieno atskiro matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų matavimų).

Jau žinome, kad tokių dydžių aritmetinis vidurkis turi mažesnę dispersiją nei kiekvienas atskiras dydis. Kitaip tariant, aritmetinis vidurkis pasirodo esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės vertės nei atskiro matavimo rezultatas. Tai reiškia, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei vienas matavimas.

b) Jau žinome, kad didėjant atskirų atsitiktinių dydžių skaičiui, aritmetinio vidurkio sklaida mažėja. Tai reiškia, kad didėjant matavimų skaičiui, kelių matavimų aritmetinis vidurkis vis mažiau skiriasi nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės. Taigi, padidinus matavimų skaičių, gaunamas patikimesnis rezultatas.

Pavyzdžiui, jei atskiro matavimo standartinis nuokrypis yra s = 6 m, o iš viso n= 36 matavimai, tada šių matavimų aritmetinio vidurkio standartinis nuokrypis yra tik 1 m.

s ( )=

Matome, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis, kaip ir buvo galima tikėtis, pasirodė esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės nei atskiro matavimo rezultatas.