Pradžia Moksleiviai Jau žinoma, kad pagal platinimo dėsnį galima rasti

, ...., X p, :

= (kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje. 1 Nagrinėjamų atsitiktinių dydžių aritmetinį vidurkį pažymėkime 2 X)+X

+…+X n kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje./n.

1. Šios trys nuostatos nustato ryšį tarp skaitinių aritmetinio vidurkio charakteristikų ir atitinkamas kiekvieno atskiro dydžio charakteristikas. Matematinis vidurkio lūkestis

aritmetinis vienas()Kovariai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra lygūs kiekvieno iš dydžių matematiniams lūkesčiams:

M =aĮrodymas. Naudojant matematinio lūkesčio savybes (

pastovus veiksnys( )gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas; matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai), turime

M = M Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio matematinė lūkestis pagal sąlygą yra lygus

aritmetinis vienas()A,

2. gauname

=na/n=a.()=n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio dispersija yra n kartų mažesnė už kiekvienos reikšmės dispersiją D:(* )

D D/n.Įrodymas. Naudojant dispersijos savybes (pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu; sumos dispersija

=na/n=a.( )nepriklausomi kiekiai

lygus terminų dispersijų sumai), turime =D Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno dydžio matematinė lūkestis pagal sąlygą yra lygus

=na/n=a.( )Atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno kiekio sklaida pagal sąlygą yra lygi 2 D,

3. = nD/n =D/n. Vidutinis standartinis nuokrypis n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis yra kelis kartus mažesnis už vidutinį kvadratinį nuokrypį

s =na/n=a.()kiekvienas kiekis:Įrodymas. Nes

= D/n, ( )= .

tada standartinis nuokrypis lygus iš (*) ir (**) formulių: prisimindami, kad dispersija ir standartinis nuokrypis yra atsitiktinio dydžio sklaidos matai, darome išvadą, kad pakanka aritmetinio vidurkio didelis skaičius vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai turi žymiai mažesnę sklaidą nei kiekvienas atskiras kintamasis.

Paaiškinkime pavyzdžiu šios išvados reikšmę praktikai.

Pavyzdys. Paprastai išmatuoti kai kuriuos fizinis kiekis atlikite kelis matavimus, tada suraskite gautų skaičių aritmetinį vidurkį, kuris imamas kaip apytikslė išmatuotos vertės reikšmė. Darant prielaidą, kad matavimai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, įrodykite:

a) aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei atskiri matavimai;

b) padidėjus matavimų skaičiui, didėja šio rezultato patikimumas.

Sprendimas. a) Yra žinoma, kad atskiri matavimai suteikia skirtingas išmatuoto kiekio vertes. Kiekvieno matavimo rezultatas priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių (temperatūros pokyčių, prietaiso svyravimų ir kt.), į kurias iš anksto visiškai atsižvelgti negalima.

Todėl mes turime teisę apsvarstyti galimus rezultatus n individualūs matavimai kaip atsitiktiniai dydžiai kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje. 1 vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai 2 , ..., X p(indeksas rodo matavimo numerį). Šie dydžiai turi tą patį tikimybių pasiskirstymą (matavimai atliekami tuo pačiu metodu ir tais pačiais instrumentais), todėl ir skaitinės charakteristikos yra vienodos; be to, jie yra vienas nuo kito nepriklausomi (kiekvieno atskiro matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų matavimų).

Jau žinome, kad tokių dydžių aritmetinis vidurkis turi mažesnę dispersiją nei kiekvienas atskiras dydis. Kitaip tariant, aritmetinis vidurkis pasirodo artimesnis tikroji prasmė išmatuotas dydis nei vieno matavimo rezultatas. Tai reiškia, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei vienas matavimas.

b) Jau žinome, kad didėjant atskirų atsitiktinių dydžių skaičiui, aritmetinio vidurkio sklaida mažėja. Tai reiškia, kad didėjant matavimų skaičiui, kelių matavimų aritmetinis vidurkis vis mažiau skiriasi nuo tikrosios išmatuotos vertės vertės. Taigi, padidinus matavimų skaičių, gaunamas patikimesnis rezultatas.

Pavyzdžiui, jei atskiro matavimo standartinis nuokrypis yra s= 6 m, o iš viso n= 36 matavimai, tada šių matavimų aritmetinio vidurkio standartinis nuokrypis yra tik 1 m.

= D/n, ( )=

Matome, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis, kaip ir buvo galima tikėtis, pasirodė esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės nei vieno matavimo rezultatas.

Aukščiau nagrinėjome klausimą, kaip rasti PDF statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumai. Šioje dalyje vėl nagrinėsime statistiškai nepriklausomų kintamųjų sumą, tačiau mūsų požiūris bus kitoks ir nepriklauso nuo sumoje esančių atsitiktinių dydžių dalinių PDF. Visų pirma, tarkime, kad sumos nariai yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, kurių kiekvienas turi ribotas priemones ir ribotą dispersiją.

Leisti būti apibrėžta kaip normalizuota suma, vadinama imties vidurkiu

Pirmiausia nustatysime viršutines uodegos tikimybės ribas, o tada įrodysime labai svarbią teoremą, kuri nustato PDF ribą, kai ji linkusi į begalybę.

Su (2.1.187) apibrėžtu atsitiktiniu dydžiu dažnai susiduriama vertinant atsitiktinio dydžio vidurkį per daugybę stebėjimų, . Kitaip tariant, gali būti laikomas nepriklausomu imties realizavimu iš skirstinio ir yra vidurkio įvertinimas.

Matematinis lūkestis yra

Skirtumas yra

Jei laikysime jį vidurkio įvertinimu, pamatysime, kad jo matematinis lūkestis yra lygus , o jo sklaida mažėja didėjant imties dydžiui. Jei jis didėja be apribojimų, dispersija linkusi į nulį. Parametrų įvertinimas (in šiuo atveju), kuris tenkina sąlygas, kad jo matematinis lūkestis yra linkęs į tikrąją parametro reikšmę, o dispersija griežtai artėja prie nulio, vadinamas nuosekliu įvertinimu.

Atsitiktinio dydžio uodegos tikimybę galima įvertinti iš viršaus, naudojant skyriuje pateiktas ribas. 2.1.5. Čebyševo nelygybė atžvilgiu turi formą

. (2.1.188)

Riboje kai , iš (2.1.188) išplaukia

. (2.1.189)

Vadinasi, tikimybė, kad vidurkio įvertis skiriasi nuo tikrosios vertės daugiau nei , linksta į nulį, jei jis auga be apribojimų. Ši nuostata yra įstatymo forma dideli skaičiai. Kadangi viršutinė riba į nulį konverguoja gana lėtai, t.y. atvirkščiai proporcingas. vadinama išraiška (2.1.188). silpnas didelių skaičių dėsnis.

Jei taikysime Černoffo ribą, turinčią eksponentinę priklausomybę nuo atsitiktinio dydžio, gausime tankią viršutinė riba už vienos uodegos tikimybę. Laikantis procedūros, nurodytos skyriuje. 2.1.5, nustatome, kad uodegos tikimybę lemia išraiška

kur ir. Tačiau yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę. Vadinasi,

kur yra vienas iš kiekių. Parametras , kuris suteikia tiksliausią viršutinę ribą, gaunamas diferencijuojant (2.1.191) ir išvestinę prilyginant nuliui. Tai veda prie lygties

(2.1.192)

Sprendimą (2.1.192) pažymėkime . Tada viršutinės uodegos tikimybės riba yra

, . (2.1.193)

Panašiai pamatysime, kad apatinė uodegos tikimybė turi ribą

, . (2.1.194)

2.1.7 pavyzdys. Tegu , yra statistiškai nepriklausomų atsitiktinių dydžių serija, apibrėžta taip:

Norime apibrėžti griežtą viršutinę tikimybės, kad suma yra didesnė už nulį, ribą. Nuo , suma turės neigiama vertė matematiniam lūkesčiui (vidurkiui), todėl ieškosime viršutinės uodegos tikimybės. Nes (2.1.193) turime

, (2.1.195)

kur yra lygties sprendinys

Vadinasi,

. (2.1.197)

Vadinasi, (2.1.195) ribai gauname

Matome, kad viršutinė riba eksponentiškai mažėja su , kaip ir tikėtasi. Priešingai, pagal Čebyševo ribą, uodegos tikimybė mažėja atvirkščiai proporcingai .

Centrinė ribos teorema. Šiame skyriuje nagrinėjame itin naudingą teoremą, susijusią su atsitiktinių dydžių sumos IDF riboje, kai sumos narių skaičius didėja neribotai. Yra keletas šios teoremos versijų. Įrodykime teoremą tuo atveju, kai atsitiktiniai suminiai kintamieji , , yra statistiškai nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, kiekvienas iš jų turi ribotą vidurkį ir ribotą dispersiją.

Patogumui apibrėžiame normalizuotą atsitiktinį kintamąjį

Taigi jis turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją.

Dabar leisk

Kadangi kiekviena sumos suma turi nulinį vidurkį ir vieneto dispersiją, vertė, normalizuota (pagal koeficientą ), turi nulinę vidurkį ir vieneto dispersiją. Norime apibrėžti FMI ribą, kai .

Charakteristinė funkcija yra lygi

, (2.1.200).

arba lygiaverčiai

. (2.1.206)

Bet tai tik tiek būdinga funkcija Gauso atsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir vieneto dispersija. Taip mes turime svarbus rezultatas; Statistiškai nepriklausomų ir identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių su ribotu vidurkiu ir dispersija sumos PDF artėja prie Gauso ties . Šis rezultatas žinomas kaip centrinės ribos teorema.

Nors manėme, kad atsitiktiniai dydžiai sumoje yra pasiskirstę vienodai, šią prielaidą galima sušvelninti, jei sumuojamų atsitiktinių dydžių savybėms vis dar taikomi tam tikri papildomi apribojimai. Yra vienas teoremos variantas, pavyzdžiui, kai atsisakoma identiško atsitiktinių dydžių pasiskirstymo prielaidos, o trečiajam sumos atsitiktinių dydžių absoliučiam momentui taikoma sąlyga. Norėdami aptarti šią ir kitas centrinės ribos teoremos versijas, skaitytojas remiasi Cramer (1946).

Tegul žinomi kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai. Kaip rasti šių dydžių sumos standartinį nuokrypį? Atsakymą į šį klausimą duoda tokia teorema.

Teorema. Sumos standartinis nuokrypis baigtinis skaičius vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai yra lygūs kvadratinė šaknis nuo šių dydžių standartinių nuokrypių kvadratų sumos“.

Įrodymas. Pažymėkime pagal kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje. nagrinėjamų tarpusavyje nepriklausomų dydžių suma:

Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi terminų dispersijų sumai (žr. § 5, 1 išvada), todėl

arba pagaliau

Identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai

Jau žinoma, kad pagal pasiskirstymo dėsnį galima rasti atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos.

skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos. vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X prieš X v ..., Xfi, kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje.

, ...., X p, kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje.:

Šios trys nuostatos nustato ryšį tarp skaitinių aritmetinio vidurkio charakteristikų kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje. ir atitinkamas kiekvieno atskiro dydžio charakteristikas.

1. Identiškai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio matematinis lūkestis yra lygus kiekvieno iš kintamųjų matematiniam tikėjimui a:

Įrodymas. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo; matematinė sumos lūkesčiai lygi terminų matematinių lūkesčių sumai), gauname

M A, gauname

2. n vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio dispersija yra n kartų mažesnė už kiekvieno kintamojo dispersiją D:

Įrodymas. Pasinaudoję dispersijos savybėmis (pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu; nepriklausomų dydžių sumos sklaida lygi dėmenų dispersijų sumai), gauname

§ 9. Identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai 97

Atsižvelgdami į tai, kad kiekvieno dydžio dispersija pagal sąlygą yra lygi D, gauname

3. Standartinis nuokrypis nuo n vienodai pasiskirstyto viena nuo kitos nepriklausomos atsitiktinės aritmetinio vidurkio

vertės yra 4n kartus mažesnės už kiekvienos vertės standartinį nuokrypį a:

Įrodymas. Nes D(X) = D/n tada standartinis nuokrypis kurių skirstiniai yra vienodi, taigi ir charakteristikos (matematiniai lūkesčiai, sklaida ir kt.). Didžiausią susidomėjimą kelia šių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinių charakteristikų tyrimas, kurį ir padarysime šiame skyriuje. lygus

Bendra išvada iš (*) ir (**) formulių: prisimindami, kad dispersija ir standartinis nuokrypis yra atsitiktinio dydžio sklaidos matai, darome išvadą, kad pakankamai didelio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis turi

žymiai mažiau sklaidos nei kiekviena atskira vertė.

Paaiškinkime pavyzdžiu šios išvados reikšmę praktikai.

Pavyzdys. Dažniausiai tam tikram fizikiniam dydžiui išmatuoti atliekami keli matavimai, o tada randamas gautų skaičių aritmetinis vidurkis, kuris imamas apytiksle išmatuoto dydžio reikšme. Darant prielaidą, kad matavimai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, įrodykite:

a) aritmetinis vidurkis duoda patikimesnį rezultatą nei atskiri matavimai;
b) padidėjus matavimų skaičiui, didėja šio rezultato patikimumas.

Sprendimas, a) Yra žinoma, kad atskiri matavimai duoda nevienodas išmatuoto dydžio vertes. Kiekvieno matavimo rezultatas priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių (temperatūros pokyčių, prietaiso svyravimų ir kt.), į kurias iš anksto visiškai atsižvelgti negalima.

Todėl mes turime teisę apsvarstyti galimus rezultatus atsitiktinis kintamasis. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos. individualūs matavimai kaip atsitiktiniai dydžiai X prieš X 2,..., X p(indeksas rodo matavimo numerį). Šie dydžiai turi tą patį tikimybių pasiskirstymą (matavimai atliekami ta pačia technika ir tais pačiais instrumentais), todėl ir skaitinės charakteristikos yra vienodos; be to, jie yra vienas nuo kito nepriklausomi (kiekvieno atskiro matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų matavimų).

Jau žinome, kad tokių dydžių aritmetinis vidurkis turi mažesnę dispersiją nei kiekvienas atskiras dydis. Kitaip tariant, aritmetinis vidurkis pasirodo esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės vertės nei atskiro matavimo rezultatas. Tai reiškia, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis duoda daugiau atvejo rezultato nei vienas matavimas.

Pavyzdžiui, jei atskiro matavimo standartinis nuokrypis yra a = 6 m, o bendras atsitiktinis kintamasis. Iš to išplaukia, kad jei keli atsitiktiniai dydžiai turi vienodus skirstinius, tai jų skaitinės charakteristikos yra vienodos.= 36 matavimai, tada šių matavimų aritmetinio vidurkio standartinis nuokrypis yra tik 1 m.

Matome, kad kelių matavimų aritmetinis vidurkis, kaip ir buvo galima tikėtis, pasirodė esąs arčiau tikrosios išmatuotos vertės nei vieno matavimo rezultatas.

Norėdami išspręsti daugelį praktines problemas būtina žinoti sąlygų kompleksą, dėl kurio atsiranda kumuliacinio poveikio rezultatas didelis kiekis atsitiktiniai veiksniai beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo. Šios sąlygos aprašytos keliose teoremose, vadinamose bendras vardas didelių skaičių dėsnį, kur atsitiktinis dydis k yra lygus 1 arba 0, priklausomai nuo to, ar k-ojo bandymo rezultatas yra sėkmingas ar nesėkmingas. Taigi Sn yra n tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, kurių kiekvienas įgyja reikšmes 1 ir 0 su tikimybėmis p ir q.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, teigianti, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Puasono teorema teigia, kad serijos įvykio dažnumas nepriklausomi testai linksta į savo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, Moivre-Laplace teorema paaiškina įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo prigimtį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalus pasiskirstymas.

Centrinės ribos teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio paplitimą. Teorema teigia, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis pridėjimo, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasirodo kaip beveik normalus dėsnis.

Liapunovo teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio paplitimą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro sudėjus daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos sklaida, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. yra beveik normalus įstatymas. Ir kadangi atsitiktiniai dydžiai visada generuojami begalinis skaičius dėl priežasčių ir dažniausiai nė viena iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, tada dauguma praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių yra pavaldūs normalus įstatymas paskirstymus.

Didžiųjų skaičių dėsnio kokybiniai ir kiekybiniai teiginiai yra pagrįsti Čebyševo nelygybė. Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio yra didesnis už tam tikrą duotas numeris. Pastebėtina, kad Čebyševo nelygybė apskaičiuoja atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nežinomas, tik jo matematinė prognozė ir dispersija, tikimybę.

Čebyševo nelygybė. Jei atsitiktinis dydis x turi dispersiją, tai bet kuriai x > 0 yra teisinga ši nelygybė, kur aritmetinis vienas x ir =na/n=a. x - atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis ir dispersija.

Bernulio teorema. Tegu x n yra sėkmingų n Bernulio bandymų skaičius, o p – individualaus bandymo sėkmės tikimybė. Tada bet kuriai s > 0 tai tiesa.

Liapunovo teorema. Tegu s 1, s 2, …, s n, …- neribota seka nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais m 1, m 2, …, m n, … ir dispersijomis s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Pažymėkime.

Tada = Ф(b) - Ф(a) bet kuriai realūs skaičiai a ir b, kur Ф(x) yra normaliojo skirstinio funkcija.

Tegu pateikiamas diskretinis atsitiktinis dydis. Panagrinėkime sėkmės skaičiaus Sn priklausomybę nuo bandymų skaičiaus n. Kiekvieno bandymo metu Sn padidėja 1 arba 0. Šis teiginys gali būti parašytas taip:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Didžiųjų skaičių dėsnis. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Jei egzistuoja matematinė lūkestis = M(k), tai bet kuriai > 0 n

Kitaip tariant, tikimybė, kad vidutinis S n /n skiriasi nuo matematinio lūkesčio mažiau nei savavališkai nurodyta reikšmė, linkusi į vieną.

Centrinės ribos teorema. Tegu (k) yra viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių su vienodais skirstiniais seka. Tarkime, kad jie egzistuoja. Tegul Sn = 1 +…+ n , Tada bet kuriam fiksuotam

F () – F () (1.3)

Čia F (x) -- normali funkcija Aš platinu. Šią teoremą suformulavo ir įrodė Linlbergas. Lyapunovas ir kiti autoriai tai įrodė anksčiau, griežtesnėmis sąlygomis. Reikia įsivaizduoti, kad aukščiau suformuluota teorema yra tik labai ypatingas atvejis daug daugiau bendroji teorema, kuris savo ruožtu yra glaudžiai susijęs su daugeliu kitų ribinių teoremų. Atkreipkite dėmesį, kad (1.3) yra daug stipresnis už (1.2), nes (1.3) apskaičiuoja tikimybę, kad skirtumas yra didesnis nei. Kita vertus, didelių skaičių dėsnis (1.2) yra teisingas, net jei atsitiktiniai dydžiai k neturi baigtinės dispersijos, todėl jis galioja daugiau bendras atvejis nei centrinės ribos teorema (1.3). Iliustruosime paskutines dvi teoremas pavyzdžiais.

Pavyzdžiai. a) Apsvarstykite nepriklausomų simetrinio kauliuko metimų seką. Tegu k yra taškų, gautų per k-ąjį metimą. Tada

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 = 35/12 ir S n /n

yra vidutinis taškų skaičius, gautas iš n metimų.

Didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad tikėtina, jog dideliems n šis vidurkis bus artimas 3,5. Centrinės ribos teorema nurodo tikimybę, kad |Sn – 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Mėginių ėmimas. Tarkime, kad į gyventojų,

susidedančios iš N šeimų, Nk šeimų turi lygiai po k vaiku

(k = 0, 1...; Nk = N). Jei šeima pasirenkama atsitiktinai, tai vaikų skaičius joje yra atsitiktinis dydis, kuris įgauna reikšmę su tikimybe p = N/N. Atrankos metu n dydžio imtį galima žiūrėti kaip n nepriklausomų atsitiktinių dydžių rinkinį arba "stebėjimus" 1, ..., n, kurie visi turi tą patį pasiskirstymą; S n /n yra imties vidurkis. Didelių skaičių dėsnis teigia, kad pakankamai dideliam atsitiktinis pavyzdys jo vidurkis tikriausiai bus artimas, tai yra, gyventojų vidurkiui. Centrinė ribinė teorema leidžia įvertinti galimą šių vidurkių neatitikimo dydį ir nustatyti imties dydį, reikalingą patikimam įvertinimui. Praktiškai ir ir dažniausiai nežinomi; tačiau daugeliu atvejų lengva gauti preliminarią sąmatą ir visada gali būti įtraukta į patikimas ribas. Jei norime 0,99 ar didesnės tikimybės, kad imties vidurkis S n /n skiriasi nuo nežinomos populiacijos vidurkio mažiau nei 1/10, tada imties dydis turi būti toks, kad

Lygties Ф(x) - Ф(-- x) = 0,99 x šaknis yra lygi x = 2,57 ..., todėl n turi būti tokia, kad 2,57 arba n > 660. Kruopštus preliminarus įvertinimas leidžia rasti reikiamą imties dydį.

c) Puasono pasiskirstymas.

Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai k turi Puasono skirstinį (p(k;)). Tada Sn turi Puasono skirstinį su matematinis lūkestis o dispersija lygi n.

Rašydami vietoj n, darome išvadą, kad n

Sumavimas atliekamas per visus k nuo 0 iki. Ph-la (1,5) taip pat galioja, kai yra savavališkai.

Jie sako, kad yra nepriklausomi (ir) vienodai paskirstyti, jei kiekvienas iš jų turi tokį patį pasiskirstymą kaip ir kiti, o visi dydžiai visumoje yra nepriklausomi. Frazė „nepriklausoma vienodai paskirstyta“ dažnai trumpinama kaip i.i.d.(iš anglų kalbos nepriklausomi ir vienodai paskirstyti ), kartais – „n.o.r“.

Programos

Tikimybių teorijoje ir statistikoje plačiai naudojama prielaida, kad atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, nes leidžia labai supaprastinti teorinius skaičiavimus ir įrodyti įdomius rezultatus.

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos teoremų – centrinės ribos teorema – teigia, kad jeigu yra nepriklausomų identiškai pasiskirstytų atsitiktinių dydžių seka, tai, kadangi jie linkę į begalybę, jų vidurkio – atsitiktinių dydžių pasiskirstymas konverguoja į normalųjį skirstinį.

Statistikoje paprastai daroma prielaida, kad statistinė imtis yra i.i.d. kokio nors atsitiktinio dydžio realizacijas (tokia imtis vadinama paprastas).

Wikimedia fondas.

2010 m.
T.y.

Intel 8048

Pažiūrėkite, kas yra „Nepriklausomi identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai“ kituose žodynuose:– Žaidėjo žlugimo problema yra problema iš tikimybių teorijos srities. išsamiai aptarta rusų matematikas A. N. Shiryaev monografijoje „Tikimybė“ ... Vikipedija

Tvarus paskirstymas- tikimybių teorijoje tai yra skirstinys, kurį galima gauti kaip nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų pasiskirstymo ribą. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Pastabos ... Vikipedija

Levy-Khinchin formulė stabiliam pasiskirstymui- Stabilus skirstinys tikimybių teorijoje yra skirstinys, kurį galima gauti kaip nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų pasiskirstymo ribą. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Pastabos 3 Savybės stabilūs paskirstymai... Vikipedija

Be galo dalomas skirstinys- tikimybių teorijoje tai yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymas, kad jį būtų galima pavaizduoti savavališko skaičiaus nepriklausomų, vienodai paskirstytų terminų forma. Turinys 1 Apibrėžimas ... Vikipedija

Cramer-Lundberg modelis- Kramer Lundberg modelis matematinis modelis, kuri leidžia įvertinti draudimo bendrovės žlugimo rizikas. Taikant šį modelį daroma prielaida, kad draudimo įmokos gaunamos vienodai, pagal tarifą nuo sąlyginio piniginių vienetų vienetui... ... Vikipedija

Levy-Chinchin formulė be galo dalijamam skirstymui- Tikimybių teorijoje be galo dalomas skirstinys yra toks atsitiktinio dydžio skirstinys, kurį galima pavaizduoti kaip savavališką nepriklausomų, vienodai paskirstytų terminų skaičių. Turinys 1 Apibrėžimas 2 ... ... Vikipedija

Cramer modelis– Šis straipsnis turėtų būti wikifikuotas. Formatuokite jį pagal straipsnio formatavimo taisykles. Cramer Lundberg modelis yra matematinis modelis, leidžiantis įvertinti draudimo bendrovės bankroto rizikas... Vikipedija

Priėmimo statistinė kontrolė- visuma statistiniais metodais masinių gaminių kontrolę, siekiant nustatyti jų atitiktį nurodytiems reikalavimams. P.S. j. veiksminga priemonė, užtikrinanti gerą masinių produktų kokybę. P.S. iki. Didžioji sovietinė enciklopedija

Multinominis skirstymas- Daugianaris (polinominis) skirstinys tikimybių teorijoje yra apibendrinimas binominis skirstinys nepriklausomų bandymų atveju atsitiktinis eksperimentas su keliais galimais rezultatais. Apibrėžimas Leisti nepriklausomam... ... Vikipedija

Polinominis skirstinys- Daugianaris (polinominis) skirstinys tikimybių teorijoje yra dvinario skirstinio apibendrinimas nepriklausomiems atsitiktinio eksperimento testams su keliais galimais rezultatais. Apibrėžimas: Tegul nepriklausomas yra vienodas... ... Vikipedija

Metų laikai

Identiškai pasiskirstę vienas nuo kito nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai

Programos

Intel 8048