Apibrėžimas
Realaus taško x kaimynystė 0
Bet koks atviras intervalas, kuriame yra šis taškas, vadinamas:
.
Čia ε 1
ir ε 2
- savavališki teigiami skaičiai.
Epsilonas – taško x kaimynystė 0
yra taškų, nuo kurių iki taško x, rinkinys 0
mažiau nei ε:
.
Pramušta taško x kaimynystė 0
yra šio taško kaimynystė, iš kurios neįtraukiamas pats taškas x 0
:
.
Galinių taškų apylinkės
Pačioje pradžioje buvo pateiktas taško kaimynystės apibrėžimas. Jis žymimas kaip.
(1)
.
Bet jūs galite aiškiai nurodyti, kad kaimynystė priklauso nuo dviejų skaičių, naudodami atitinkamus argumentus:
Tai yra, kaimynystė yra taškų, priklausančių atviram intervalui, rinkinys. 1
Prilyginant ε 2
iki ε
(2)
.
, gauname epsilon - kaimynystė:
Epsiloninė kaimynystė yra taškų, priklausančių atviram intervalui su vienodais galais, rinkinys.
Žinoma, raidę epsilon galima pakeisti bet kuria kita ir atsižvelgti į δ - kaimynystę, σ - kaimynystę ir kt.
Ribų teorijoje galima naudoti kaimynystės apibrėžimą, pagrįstą ir aibėmis (1), ir aibėmis (2). Naudojant bet kurį iš šių rajonų gaunami lygiaverčiai rezultatai (žr.). Tačiau (2) apibrėžimas yra paprastesnis, todėl dažnai naudojamas epsilonas – taško kaimynystė, nustatyta iš (2). Taip pat plačiai vartojamos sąvokos „kairės pusės“, „dešinės pusės“ ir „pradurtos“ apylinkės. galutiniai taškai
. Štai jų apibrėžimai. 0
Kairioji tikrojo taško x kaimynystė yra pusiau atviras intervalas, esantis tikroji ašis 0
į kairę nuo taško x
;
.
, įskaitant patį tašką: 0
Dešinioji tikrojo taško x kaimynystė 0
į kairę nuo taško x
;
.
yra pusiau atviras intervalas, esantis taško x dešinėje
Pramuštos galinių taškų apylinkės 0 Pramuštos taško x apylinkės
- tai tie patys rajonai, iš kurių neįtraukiamas pats taškas. Jie pažymėti apskritimu virš raidės. Štai jų apibrėžimai. 0
:
.
Pramušta taško x kaimynystė 0
:
;
.
Pramuštas epsilonas – taško x kaimynystė:
;
.
Kairės pusės auskaras:
;
.
Pramušta dešinės pusės kaimynystė
Taškų kaimynystės begalybėje Kartu su galutiniais taškais taip pat pristatomi rajonai be galo. Jie visi yra perpjauti, nes begalybėje nėra tikrojo skaičiaus (taškas begalybėje apibrėžiamas kaip be galo didelės sekos riba).
.
;
;
.
Buvo galima nustatyti begalybės taškų apylinkes taip:
.
Tačiau vietoj M mes naudojame , kad kaimynystė su mažesniu ε būtų kaimynystės su didesniu ε poaibis, kaip ir galutinio taško apylinkėse.
Kaimynystės turtas
Toliau naudojame akivaizdžią taško kaimynystės savybę (baigtinėje arba begalinėje). Tai slypi tame, kad taškų apylinkės su mažesnės vertėsε yra apylinkių poaibiai su didelėmis ε reikšmėmis.
Čia yra griežtesnės formuluotės.
Tegul būna galutinis arba be galo tolimas taškas. Ir tegul būna.
;
;
;
;
;
;
;
.
Tada
Priešingai irgi tiesa.
Funkcijos ribos apibrėžimų ekvivalentiškumas pagal Koši
Dabar parodysime, kad nustatydami funkcijos ribą pagal Koši, galite naudoti ir savavališką kaimynystę, ir kaimynystę su vienodais galais.
Teorema
Košiniai funkcijos ribos apibrėžimai, kuriuose naudojami savavališki rajonai ir rajonai su vienodais galais, yra lygiaverčiai.
Įrodymas Suformuluokime.
pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas
.
Įrodymas Skaičius a yra funkcijos riba taške (baigtinėje arba begalybėje), jei bet kokiems teigiamiems skaičiams yra skaičiai, priklausantys nuo ir kad visiems priklauso atitinkama taško a kaimynystė:.
antrasis funkcijos ribos apibrėžimas Skaičius a yra funkcijos riba taške, jei tokia yra teigiamas skaičius
.
yra skaičius, priklausantis nuo to visiems:
Įrodymas 1 ⇒ 2
Įrodykime, kad jei skaičius a yra funkcijos riba pagal 1-ąjį apibrėžimą, tai jis taip pat yra riba pagal 2-ąjį apibrėžimą.
Tegul pirmasis apibrėžimas tenkinamas. Tai reiškia, kad yra funkcijos ir , todėl bet kokiems teigiamiems skaičiams galioja:
adresu, kur.
.
Kadangi skaičiai yra savavališki, juos sulyginame:
Tegul pirmasis apibrėžimas tenkinamas. Tai reiškia, kad yra funkcijos ir , todėl bet kokiems teigiamiems skaičiams galioja:
Tada yra tokios funkcijos ir , taigi bet kuriai galioja šie:
Atkreipkite dėmesį, kad.
.
Leisti būti mažiausias iš teigiamų skaičių ir .
Tada, remiantis tuo, kas buvo pažymėta aukščiau,
Tegul pirmasis apibrėžimas tenkinamas. Tai reiškia, kad yra funkcijos ir , todėl bet kokiems teigiamiems skaičiams galioja:
Jei, tada.
Tai reiškia, kad radome tokią funkciją, todėl galioja bet kuri toliau nurodyta:
Tai reiškia, kad skaičius a yra funkcijos riba pagal antrąjį apibrėžimą.
Tebūnie patenkintas antrasis apibrėžimas. Paimkime du teigiamus skaičius ir .
.
Ir tegul tai būna mažiausias iš jų. Tada pagal antrąjį apibrėžimą yra tokia funkcija , kad bet kuriam teigiamam skaičiui ir visiems , išplaukia, kad
.
Tačiau, pasak .
.
Todėl iš to, kas seka
Tada bet kokiems teigiamiems skaičiams ir , radome du skaičius, taigi visiems:
Tai reiškia, kad skaičius a yra riba pagal pirmąjį apibrėžimą.
Teorema įrodyta. Naudota literatūra: L.D. Kudrjavcevas. Na
matematinė analizė. 1 tomas. Maskva, 2003 m. Apibrėžimas. Taškas į begalybę sudėtinga plokštuma paskambino izoliuotas vienaskaitos taškasnedviprasmiškas(analitinė funkcija f z), jei lauke,
tam tikro spindulio apskritimas nedviprasmiškas(analitinė funkcija).
R 
tie. už , nėra baigtinio funkcijos vienaskaitos taško
Norėdami ištirti funkciją begalybės taške, atliekame pakeitimą ζ
Funkcija
taške turės singuliarumą 
= 0, ir šis taškas bus izoliuotas, nes
apskritimo viduje ζ
Kitų specialių taškų pagal būklę nėra. Būdamas analitiškas šiuo klausimu 
ratas (išskyrus vadinamąjį ζ
= 0), funkcija
gali būti išplėsta Laurent serijoje analitinė funkcija. Ankstesnėje pastraipoje aprašyta klasifikacija lieka visiškai nepakitusi. analitinė funkcija Tačiau jei grįšime prie pradinio kintamojo
, tada serijos teigiamomis ir neigiamomis galiomis 1.
„pakeisti“ vietas. Tie. Taškų klasifikacija begalybėje atrodys taip: analitinė funkcija =
Pavyzdžiai.
.
2.
Taškas analitinė funkcija =
∞
i − III eilės stulpas..
. Taškas
− reikšmingai analitinė funkcija vienaskaitos taškas
nedviprasmiškas(analitinė funkcija§18. Analitinės funkcijos liekana izoliuotame vienaskaitos taške. nedviprasmiškas(analitinė funkcija Tegul taškas 
0 yra izoliuotas vienos vertės analitinės funkcijos vienaskaitos taškas 
matematinė analizė). Pagal ankstesnįjį, netoli šio punkto) gali būti unikaliai pavaizduotas Laurent serijos: nedviprasmiškas(analitinė funkcija Kur analitinė funkcija 0
Išskaičiavimas analitinė funkcija) izoliuotame vienaskaitos taške 
paskambino analitinė funkcija 0 .
kompleksinis skaičius [nedviprasmiškas(analitinė funkcija),analitinė funkcija 0 ].
, lygus integralo reikšmei , paimtas teigiama kryptimi išilgai bet kurio uždaro kontūro, esančio funkcijos analitiškumo srityje ir turintį vieną vienintelį tašką.
Išskaitymas žymimas simboliu Res Nesunku pastebėti, kad likutis yra įprastame arba nuimamame vienaskaitos taške lygus nuliui
.
Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui Su 
.
-1 eilutė Laurent:
Pavyzdys. Nesunku pastebėti, kad likutis yra įprastame arba nuimamame vienaskaitos taške Raskite funkcijos likutį (Tegul tai lengva pamatyti koeficientas nedviprasmiškas(analitinė funkcija),Pavyzdžiai.
]
=
}
-1 gaunamas dauginant terminus iš n= 0:Res[ nedviprasmiškas(analitinė funkcija Dažnai galima apskaičiuoti funkcijų likučius analitinė funkcija 0 pirmos eilės polių. Šiuo atveju Laurent serijos funkcijos išplėtimas turi formą (§16):. Padauginkime šią lygybę iš (z−z 0) ir pereikime prie ribos ties 
. Rezultate gauname: Res[ nedviprasmiškas(analitinė funkcija),analitinė funkcija 0 ] =
Taigi, į
Paskutiniame pavyzdyje turime Res[ nedviprasmiškas(analitinė funkcija),Pavyzdžiai.
]
=
.
Norėdami apskaičiuoti likučius aukštesnės eilės poliuose, padauginkite funkciją
įjungta 
(m− polių tvarka) ir atskirkite gautas eilutes ( m −
1) kartus.
Šiuo atveju turime: Res[ nedviprasmiškas(analitinė funkcija),analitinė funkcija 0 ]
Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui Su 
taške z= −1.
{
Res[ nedviprasmiškas(analitinė funkcija),
−1]
}
Šio taško kaimynystę apibrėžėme kaip apskritimų, kurių centras yra ištakoje, išorę: U
(∞, ε
) = {analitinė funkcija
∈ | |z
| > ε). Taškas analitinė funkcija
= ∞ yra izoliuotas analitinės funkcijos vienaskaitos taškas w
= nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
), jei kurioje nors šio taško kaimynystėje nėra kitų šios funkcijos vienaskaitų taškų. Norėdami nustatyti šio vienaskaitos taško tipą, pakeičiame kintamąjį ir tašką analitinė funkcija
= ∞ eina į tašką analitinė funkcija
1 = 0, funkcija w
= nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
) bus tokia forma 
. Vienaskaitos taško tipas analitinė funkcija
= ∞ funkcijos w
= nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
) vienaskaitos taško tipą vadinsime analitinė funkcija
1 = 0 funkcijų w
= φ
(analitinė funkcija
1). Jei funkcijos išplėtimas w
= nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
) pagal laipsnius analitinė funkcija
netoli taško analitinė funkcija
= ∞, t.y. esant pakankamai didelėms modulio vertėms analitinė funkcija
, turi formą , tada pakeičiama analitinė funkcija
, mes gausime . Taigi, pasikeitus kintamajam, pagrindinė ir reguliari Laurent serijos dalys keičiasi vietomis, o vienaskaitos taško tipas. analitinė funkcija
= ∞ yra nustatomas pagal žodžių skaičių teisingoje funkcijos išplėtimo dalyje Laurento eilėje laipsniais analitinė funkcija
netoli taško analitinė funkcija
= 0. Todėl
1. Taškas analitinė funkcija
= ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, jei šiame išplėtime nėra tinkamos dalies (išskyrus galbūt terminą A
0);
2. Taškas analitinė funkcija
= ∞ - polius (Tegul tai lengva pamatyti
-toji eilė, jei dešinioji dalis baigiasi terminu A n
· z n
;
3. Taškas analitinė funkcija
= ∞ yra iš esmės vienaskaitos taškas, jei reguliariojoje dalyje yra be galo daug terminų.
Šiuo atveju lieka galioti vienaskaitos taškų pagal reikšmę tipų kriterijai: jei analitinė funkcija= ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, tada ši riba egzistuoja ir yra baigtinė, jei analitinė funkcija= ∞ yra polius, tada ši riba yra begalinė, jei analitinė funkcija= ∞ yra iš esmės vienaskaitos taškas, tada ši riba neegzistuoja (nei baigtinė, nei begalinė).
Pavyzdžiai: 1. nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
) = -5 + 3z
2 - analitinė funkcija
6. Funkcija jau yra daugianario laipsniai analitinė funkcija
, aukščiausias laipsnis yra šeštasis, todėl analitinė funkcija
Tą patį rezultatą galima gauti ir kitu būdu. Mes pakeisime analitinė funkcija
tada 
. Dėl funkcijos φ
(analitinė funkcija
1) taškas analitinė funkcija
1 = 0 yra šeštos eilės polius, todėl už nedviprasmiškas
(analitinė funkcija
) tašką analitinė funkcija
= ∞ – šeštos eilės polius.
2. . Norėdami atlikti šią funkciją, gaukite galios išplėtimą analitinė funkcija
sunku, todėl suraskime: 
; riba egzistuoja ir yra baigtinė, taigi taškas analitinė funkcija
3. . Teisinga galios išplėtimo dalis analitinė funkcija
yra be galo daug terminų, todėl analitinė funkcija
= ∞ yra iš esmės vienaskaitos taškas. Priešingu atveju šis faktas gali būti nustatytas remiantis tuo, kad jo nėra.
Funkcijos liekana be galo nutolusiame vienaskaitos taške.
Dėl paskutinio vienaskaitos taško a
, Kur γ
- grandinė, kurioje nėra kitų, išskyrus a
, vienaskaitos taškai, kertami taip, kad jo apribota sritis, kurioje yra vienaskaitos taškas, liktų kairėje (prieš laikrodžio rodyklę).
Apibrėžkime panašiai: 
, kur Γ − yra kontūras, ribojantis tokią kaimynystę U
(∞, r
) taškais analitinė funkcija
= ∞, kuriame nėra kitų vienaskaitos taškų, ir galima pereiti taip, kad ši kaimynystė liktų kairėje (ty pagal laikrodžio rodyklę). Taigi visi kiti (galutiniai) funkcijos vienaskaitos taškai turi būti kontūro Γ − viduje. Pakeiskime kontūro važiavimo kryptį Γ − : 
. Pagal pagrindinę likučių teoremą 
, kur sumavimas atliekamas per visus baigtinius vienaskaitos taškus. Todėl pagaliau
,
tie. liekana be galo nutolusiame vienaskaitos taške lygi sumai liekanos per visus baigtinius vienaskaitos taškus, paimtus su priešingu ženklu.
Dėl to yra sumos teorema: jei funkcija w = nedviprasmiškas (analitinė funkcija ) yra analitinis visur plokštumoje SU , išskyrus baigtinį vienaskaitos taškų skaičių analitinė funkcija 1 , analitinė funkcija 2 , analitinė funkcija 3 , …,z k , tada likučių visuose baigtiniuose vienaskaitos taškuose ir likučių begalybėje suma lygi nuliui.
Atkreipkite dėmesį, kad jei analitinė funkcija
= ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, tada likutis jame gali skirtis nuo nulio. Taigi funkcijai, aišku, ; analitinė funkcija
= 0 yra vienintelis baigtinis šios funkcijos vienaskaitos taškas, taigi 
, nepaisant to, kad, t.y. analitinė funkcija
= ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas.
Jei kuri nors seka susilieja su baigtinis skaičius a , tada jie rašo
.
Anksčiau mes pristatėme apsvarstyti be galo ilgos sekos. Darėme prielaidą, kad jie susilieja, ir pažymėjome jų ribas simboliais ir . Šie simboliai reprezentuoja taškai begalybėje . Jie nepriklauso daugybei realūs skaičiai
Apibrėžimas
. Tačiau ribos sąvoka leidžia mums įvesti tokius taškus ir suteikia įrankį jų savybėms tirti naudojant realius skaičius. Taškas į begalybę
, arba beženklė begalybė, yra riba, kurios link linksta be galo didelė seka. Taškas begalybėje plius begalybė
, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su teigiamais terminais. Taškas iš begalybės atėmus begalybę
, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su neigiamais terminais.
;
.
Bet kuriam realiajam skaičiui a galioja šios nelygybės: Naudodami realius skaičius, pristatėme sąvoką.
taško kaimynystėje begalybėje
Taško kaimynystė yra aibė.
Galiausiai taško kaimynystė yra aibė.
Taigi mes išplėtėme realiųjų skaičių aibę, įtraukdami į ją naujų elementų. Šiuo atžvilgiu yra sekantį apibrėžimą:
Išplėsta skaičių eilutė arba išplėstinė realiųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių rinkinys, papildytas elementais ir :
.
Pirma, mes užrašysime savybes, kurias taškai ir . Toliau svarstome griežtumo klausimą matematinis apibrėžimas
šių taškų operacijos ir šių savybių įrodymai.
Taškų begalybėje savybės.
;
;
;
;
Suma ir skirtumas.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produktas ir koeficientas.
Ryšys su realiais skaičiais
;
;
;
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada > 0
Tegul a
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada < 0
Tegul a
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Tada
Neapibrėžtos operacijos
Taškų begalybėje savybių įrodymai
Matematinių operacijų apibrėžimas Mes jau pateikėme begalybės taškų apibrėžimus. Dabar jiems reikia apibrėžti matematines operacijas. Kadangi šiuos taškus apibrėžėme naudodami sekas, operacijos su šiais taškais taip pat turėtų būti apibrėžtos naudojant sekas.
Taigi,
dviejų taškų suma
,
c = a + b,
,
priklausantys išplėstinei realiųjų skaičių aibei,
vadinsime ribą
kur ir yra savavališkos sekos, turinčios ribas
Ir .
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
Tada dviejų taškų skirtumas:
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
- tai yra riba: .
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
Taškų produktas: Privatus:, .
Čia ir yra savavališkos sekos, kurių ribos yra atitinkamai a ir b . IN
pastarasis atvejis
Savybių įrodymai
.
Norėdami įrodyti begalybės taškų savybes, turime naudoti be galo didelių sekų savybes.
,
Apsvarstykite turtą:
1
Norėdami tai įrodyti, turime tai parodyti
;
.
Kitaip tariant, turime įrodyti, kad dviejų sekų, kurios susilieja į plius begalybę, suma susilieja su plius begalybe.
.
tenkinamos šios nelygybės:
Tada už ir mes turime:
Padėkime.
Tada
,
Kur.
.
Tai reiškia, kad.
,
Panašiai galima įrodyti ir kitas savybes. Kaip pavyzdį pateikime kitą įrodymą.
Įrodykime, kad: Norėdami tai padaryti, turime tai parodyti.
kur ir yra savavališkos sekos, su ribomis ir . 1
Norėdami tai įrodyti, turime tai parodyti
;
.
Kitaip tariant, turime įrodyti, kad dviejų sekų, kurios susilieja į plius begalybę, suma susilieja su plius begalybe.
.
tenkinamos šios nelygybės:
Tada už ir mes turime:
Padėkime.
Tada
Tai reiškia, kad turime įrodyti, kad dviejų be galo didelių sekų sandauga yra begalinė
didelė seka Įrodykime tai. Kadangi ir , tada yra keletas funkcijų ir , taigi bet kuriam teigiamam skaičiui M su taškais begalybėje nėra apibrėžti. Norint parodyti jų neapibrėžtumą, reikia pateikti keletą ypatingų atvejų, kai operacijos rezultatas priklauso nuo į juos įtrauktų sekų pasirinkimo.
Apsvarstykite šią operaciją:
.
Nesunku parodyti, kad jei ir , tai sekų sumos riba priklauso nuo sekų pasirinkimo ir .
Tikrai, imkim.
Šių sekų ribos yra .
Sumos limitas
lygi begalybei.
Dabar paimkime. Šių sekų ribos taip pat lygios. Tačiau jų kiekio riba
lygus nuliui.
