V. ŽVIRBLIS
Bedugnis naktinis dangus ir nenutrūkstamas banglenčių garsas, prieš savo valią, verčia susimąstyti apie begalybę. Erdvės begalybė ir laiko begalybė.
Tačiau begalybė ne tiek patraukli, kiek gąsdinanti. Iš tiesų, kai bandote įsivaizduoti, šaltis apšliaužia jūsų odą. Ir, matyt, todėl žmogus nuo seniausių laikų iki šių dienų nenuilstamai ieško ir mintyse kuria aplink save jaukų baigtinį pasaulį.
Iš pradžių žmogus, norėdamas apsaugoti pasaulį, pastatė plokščia žemė ant trijų banginių ar trijų dramblių ir sugalvojo legendą apie pasaulio sukūrimą ir pasaulio pabaigą. Tačiau kaip senais laikais niekas negalėjo atsakyti į klausimą, kur plaukia banginiai ar kur stovi drambliai, kas vyko iki pasaulio sukūrimo ir kas bus po pasaulio pabaigos, taip ir dabar, nepaisant daugybės egzistavimo sudėtingos visatos teorijos, fizinę reikšmę Iš pažiūros paprasta „begalybės“ sąvoka ir toliau lieka labai miglota, ir atrodo, kad niekas dar nerado būdo, kaip begalybę pavaizduoti tikrai vizualiai.
Nors matematikai yra žmonės kaip ir visi, jie jau seniai drąsiai klajojo po begalybės platybes.
Kaip jie tai daro? Ko reikia, tarkime, norint visiškai tiksliai užrašyti skaičių? e, reiškiantis natūraliųjų logaritmų bazę?
Į šį klausimą gali būti du atsakymai.
Atsakymas vienas: be galo didelis popieriaus lapas ir be galo didelis laikas, nes kad ir kaip mažus ir greitai rašytume skaičius, užpildydami jais be galo didelį paviršių begalinėje eilėje e= 2,71828... užtruks amžinai. Šiuo atveju jie kalba apie potencialią begalybę, tai yra begalybę, kuri egzistuoja tik potencialiai, taip sakant, iš principo, bet niekada negali pasibaigti.
Antras atsakymas: bet koks popieriaus lapas ir kelios sekundės, per kurias galite nubrėžti formulę, leidžiančią apskaičiuoti skaičių e bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu. Norėdami tai padaryti, formulėje (ją galite rasti žinyne) tereikia paeiliui pakeisti natūralių serijų skaičius, didėjančius iki begalybės. Ši operacija paprastai žymima simbolių deriniu n→ ∞; šiuo atveju begalybė vadinama aktualia, tai yra, tarsi kartą ir visiems laikams, tikrai užbaigta, tikrai egzistuojančia, nors ir neprilygsta niekam apibrėžtam.
Paskutinės technikos gudrybė ta, kad visa begalybė slypi trumpame simbolių derinyje, kuriame laikas dalyvauja užmaskuota forma: juk n mes turime jį nuolat didinti! Tačiau fizikai, kurie susiduria su realiu pasauliu, negali sekti matematikų pavyzdžiu, kurie elgiasi savaip logiškai, visiškai nepaisydami laiko.
IN fizines formules begalybė iškyla karts nuo karto, o norint jos atsikratyti (juk in realus pasaulis visi dydžiai turi būti baigtiniai), fizikai tam tikru mastu yra netikri, be galo didelius kiekius tyliai pakeičiantys labai dideliais, bet vis tiek baigtiniais ir tiesiog ignoruojantys be galo mažus kiekius. Kaip sakoma, jei nėra begalybės, tai nėra su ja susijusių problemų.
Šis begalybių „apvalinimas“ yra teisėtas, kai mes kalbame apie apie interpretaciją eksperimentiniai rezultatai(juk matavimų tikslumas visada yra baigtinis), bet tai visiškai nepriimtina „grynoje“ teorijoje. Pavyzdžiui, gana dažnai tenka susidurti su visiškai beprasmėmis, tiesą sakant, tokiais posakiais kaip „be galo didelė (maža) masė“ arba „be galo mažas (didelis) greitis“. Juk tai reiškia, kad masė nuolat didėja arba mažėja, kad greitis visą laiką mažėja arba didėja, tai yra, kad masė ir energija ateina iš nežinomų vietų arba išnyksta į nežinomas vietas. Ar galime įsivaizduoti raketą, kurios greitis nuolat didėja, bet varikliai nenaudoja degalų?
Tai reiškia, kad čia iš tikrųjų turima omenyje ne be galo dideli ar be galo maži kiekiai, o baigtiniai kiekiai – arba neįsivaizduojamai dideli, arba nežymiai maži. Priešingu atveju, kaip fizikai galėtų apibūdinti situacijas, kurios niekada neįvyksta?
Pats žodis „begalybė“ tarsi rodo, kad tai yra kažkas, kas neturi nei pradžios, nei pabaigos. Begalinė eilutė begalinė plokštuma, begalinė erdvė... Tai vizualinis potencialios begalybės vaizdas. Ar baigtinis segmentas gali būti laikomas begaliniu? Tarkim, vieno centimetro ilgio?
Grynosios matematikos požiūriu tiek vieno centimetro ilgio atkarpa, tiek atkarpa, lygi vandenilio atomo ar elektrono skersmeniui, iš tikrųjų gali būti laikoma be galo dideliu. Ir apskritai bet koks, kad ir koks mažas, bet baigtinis segmentas – esmė tik kaip jį išmatuoti. Juk jei matavimo vienetas yra be galo mažas (tiksliau, linkęs į nulį), tai bet kurio atkarpos dydis, išmatuotas jo pagalba, yra be galo didelis (tiksliau, linkęs į begalybę).
Kitaip tariant, be galo didelė vertė ji nebūtinai turi būti neįsivaizduojamai didelė, ji gali turėti bet kokius baigtinius (ir net labai mažus mūsų požiūriu) matmenis, jeigu jai matuoti naudojama be galo maža vertė, tai yra, laike nuolat mažėjanti; bet tas pats baigtinis dydis taip pat gali būti laikomas be galo mažu, jei jis matuojamas naudojant dydį, kuris be galo didėja laike.
Tai reiškia, kad iš esmės tikroji fizinė begalybė turi turėti dvi neatsiejamai susijusias sritis – be galo didelę sritį ir be galo mažą sritį – todėl jos negalima skirstyti į potencialią ir faktinę. Tokia begalybė tiesiog turi egzistuoti.
Tiesą sakant, mes žinome, kad medžiaga susideda iš molekulių, molekulės yra sudarytos iš atomų, atomai yra pagaminti iš elektronų ir branduolių, branduoliai yra pagaminti iš protonų ir neutronų. Iš ko sudaryti patys elektronai, protonai ir neutronai? Iš kvarkų? Ir iš ko jie pagaminti? Tai yra, kad ir kaip giliai įsiskverbtume į materijos dalelių struktūrą, be galo galėsime kelti tą patį sakramentinį klausimą: nuo ko?
Pasirodo, banginiai ir drambliai aptinkami ne tik be galo didelių, bet ir be galo mažų...
Visi puikiai žino, kad žmonės, kurie veikia kosmose, nėra tie patys. fiziniai dėsniai, kuris yra mikrokosmose. Ten - specialioji ir bendroji reliatyvumo teorija: čia - kvantinė mechanika. Ir nors abi teorijas vienija reliatyvistinė kvantinė mechanika, tai to nepalengvina: visos šios neklasikinės teorijos teisingai atspindi rezultatus. tikrų eksperimentų, bet aiškiai įsivaizduokite reliatyvistinį ir kvantiniai efektai neįmanoma, nes mintyse galima įsivaizduoti tik reiškinius, vykstančius ribotame vidutinių dydžių ir greičių kasdieniame pasaulyje, aprašytą vadinamojo „sveiko proto“ (skaityk – fizinio pojūčio) požiūriu. klasikinė mechanika Niutonas. Ir jei taip, ar tikrai įmanoma pabandyti įsivaizduoti tikrąją fizinę begalybę?
Reliatyvistinis kvantas nuo klasikinio skiriasi tik tuo, kad jame yra du papildomi postulatai – apie šviesos greičio baigtinumą ir nekintamumą bei veiksmo kvanto baigtinumą – Planko konstantą. Kuo didesnis kūno greitis ir mažesnė jo masė, tuo neįprastesnis jo elgesys. Ir atvirkščiai: nei daugiau masės kūnas ir kuo mažesnis jo greitis, tuo tiksliau apibūdinamas jo elgesys klasikinė mechanika ir tuo lengviau mintyse tai įsivaizduoti. Lygiai taip pat klasikinė mechanika tiksliau apibūdintų elgesį fiziniai objektai, tuo didesnis šviesos greitis ir mažesnė Planko konstanta.
Taigi ką tuomet apibūdina klasikinė mechanika? Pasirodo, kad jis nieko neapibūdina: tinka tik aprašyti arba tikrai neegzistuojančius objektus (su begaliniu didelė masė ir be galo mažą greitį), esančius realiame pasaulyje, arba realius esamus objektus, esančius realiame pasaulyje esamą pasaulį(su be galo maža Plancko konstanta ir be galo didelis greitis Sveta)...
Argi ne keista išvada? Tačiau jį galima interpretuoti ir taip: klasikinė mechanika mums pateikia grynai spekuliatyvų realaus pasaulio modelį, tarsi jį matytų stebėtojas „iš išorės“, iš begalybės. Natūralu, kad tokio modelio savybės negali būti tiriamos eksperimentiškai, nes stebėtojas negali atlikti tikrų eksperimentų su įsivaizduojamais ar be galo nutolusiais objektais. Tačiau neklasikinės teorijos aprašo tą patį pasaulį, bet tik tarsi „iš vidaus“, tikro stebėtojo, kuris su tiriama sistema sudaro vieną visumą ir gali jai aktyviai daryti įtaką, požiūriu. atvejis, teorija ir eksperimentas duoda rezultatus, kurie griežtai atitinka vienas kitą, tačiau tik šie rezultatai nebegali būti įsivaizduojami spekuliatyviai, griežtai laikantis „sveiko proto“.
Kitaip tariant, pasaulio vaizdas „iš vidaus“ suteikia stebėtojui tik santykinai teisingą informaciją apie stebimą objektą, neišvengiamai iškreipiamą dėl to, kad stebėtojas ir objektas sudaro vieną. fizinę sistemą ir daryti įtaką vienas kitam. Priešingai, žiūrėdamas į pasaulį „iš išorės“, iš begalybės, stebėtojas gautų absoliučiai teisingą informaciją apie objektą. Tačiau norint persikelti į begalybę, reikia be galo daug laiko... Ar tai nėra specifinė fizinė filosofinių samprotavimų apie absoliučios tiesos pažinimo proceso begalybę prasmė?
Pasaulis yra vienas – skiriasi tik požiūriai į jį. Bet jei absoliučiai tikro pasaulio vaizdo iš principo neįmanoma stebėti, tai galbūt jį galima apskaičiuoti? Pavyzdžiui, radus koordinačių transformacijas, panašias į Galilėjos ar Lorenco, kurios leistų nekintamą perėjimą nuo pasaulio požiūrio taško „iš išorės“ į pasaulio požiūrį „iš vidaus“ ir atvirkščiai. Ar tada nepasirodys, kad keistų, mūsų kasdienine nuomone, neklasikinių teorijų postulatai ir išvados yra tik numanomos, o ne pačios svarbiausios geriausias būdas atsikratyti begalybių, kurios, šiuolaikinio teorinio fiziko nuomone, yra ne mažiau keistos klasikinis modelis taika?
Žmonės dažniausiai galvoja apie begalybę žiūrėdami į žvaigždėtą dangų be mėnulio. Tačiau dangaus begalybė tėra, galima sakyti, pusė tikrosios fizinės begalybės, besitęsiančios ne tik be galo didelių, bet ir be galo mažų kiekių srityje. Ir net ne pusė, o be galo maža jo dalis.
Su tikros fizinės begalybės įvaizdžiu žmonėms teko susidurti ne po atviru dangumi, o jaukioje erdvėje namų aplinka, su ateities spėjimu ant veidrodžių, madinga senais laikais. Tai buvo daroma taip: visiškoje tyloje ir visi vieni mergina atsisėdo prie stalo, pasistačiusi vieną veidrodį priešais save ir kitą už savęs; Iš abiejų pusių ji padėjo uždegtas žvakes, apšviesdamos jos veidą mirgančia šviesa. Ir tada ji įdėmiai žvilgtelėjo į savo be galo besikartojantį apmąstymą, galvodama apie klausimą, į kurį norėtų gauti atsakymą. Žinoma, klausimas buvo susijęs su santuoka...
Sakoma, kad po kurio laiko būrėja ėmė įsivaizduoti kažką nežinomo ir, laiku nenumetusi specialiai tokiam atvejui paruošto rankšluosčio ant vieno iš veidrodžių, iš išgąsčio apalpdavo.
Nejuokink, tiesiog pasistenk bent penkiolika minučių pasėdėti tyloje ir tamsoje tarp dviejų veidrodžių, žvelgdamas į judančią begalybę, ir tu esi šiuolaikiškas, racionalus. mąstantis žmogus– taip pat jausitės labai labai nepatogiai. Anksčiau ar vėliau nustosite suprasti, kur esate ir kur yra jūsų atspindys, o tada prarasite realybės jausmą, susipainiodami begalinėje identiškų veidų eilėje...
Aš pats netyčia susidūriau su dar tikslesniu tikrosios fizinės begalybės vaizdu savo tolimoje vaikystėje, in prieškario metais. Man, tuomet ketverių metų, paštininkas atnešė kitą „Murzilkos“ numerį, ant kurio viršelio buvo išspausdinta tokia nuotrauka: kambarys, jame ant sofos sėdi berniukas ir žiūri žurnalą „Murzilka“. , ant kurio viršelio vėl ir vėl vaizduojamas tas pats kambarys ant to paties Ant sofos sėdi berniukas su „Murzilka“ rankose - ir taip toliau, matyt, be galo.
Ir staiga pagalvojau: bet aš taip pat berniukas, taip pat sėdžiu ant sofos labai panašiame kambaryje, taip pat žiūriu žurnalą „Murzilka“. O jeigu aš pats esu pavaizduotas ant to paties žurnalo viršelio, o į jį žiūri berniukas, kuris taip pat sėdi ant tos pačios sofos tame pačiame kambaryje, o pats yra pavaizduotas žurnalo „Murzilka“ viršelyje? Tada riaumojau iš siaubo, mečiau žurnalą ir stengiausi daugiau jo nebematyti, nors kažkodėl aistringai norėjau dar kartą pažiūrėti į viršelį...
Bet absurdiškus prietarus palikime į šalį, apsieikime be rizikingų. psichologiniai eksperimentai ir samprotuosime be nereikalingų emocijų. Tarkime, kad aš pats buvau eilinio skaičiaus berniukas n ir rankose laikė žurnalą, ant kurio viršelio pavaizduotas serijos numerio berniukas n– 1. Ir tuo pat metu esu pavaizduotas ant žurnalo viršelio, laikomas berniuko, kurio serijos numeris, rankose n+ 1. Šiuo atveju manysime, kad n nuolat didėja, linksta į begalybę. Tai reiškia, kad pasaulių, esančių vienas kitame, pavyzdžiui, lizdų lėlių, skaičius didėja. Tačiau nesvarbu, koks didelis skaičius n, savo pasaulyje aš visada liksiu savimi ir negalėsiu pastebėti, kad jis nuolat auga; Be to, gal net nežinau apie pasaulių su eilės numeriais egzistavimą n+ 1 ir n– 1. Be to, galiu suplėšyti į mažus gabalėlius žurnalą su viršeliu, kuris mane išgąsdino, iškart sunaikindamas begalę pasaulių...
Bet ką tai pakeis? Jei žurnalas buvo išleistas, tarkime, 1 000 000 egzempliorių tiražu, tai bus išsaugotos 999 999 begalybės; net jei šie egzemplioriai išnyks, tada 999999 serijos numerių pasauliai n+ 1 999999 · Bus išsaugota 1000000 žurnalo egzempliorių, o serijos numerio pasaulių skaičius n+ 1, savo ruožtu, taip pat yra lygus 1000000 – ir taip toliau, iki begalybės. Žodžiu, tokioje begalybėje yra ne tik be galo daug eilės numerių, bet ir kiekvienas iš skaičių atvaizduojamas be galo daug kopijų.
Tokia begalybė gali atrodyti gąsdinanti ne tiek dėl savo platybės ir neišsemiamumo, nesunaikinamumo ir, galima sakyti, nesukuriamumo, kiek dėl savo paprastumo, pasiekiančio absurdo tašką. (Ar dėl to begalybės jausmas žmogui dažnai kyla sunkios ligos metu? Prisiminkite kunigaikščio Bolkonskio kliedesio aprašymą.) Kitaip tariant, tikroji fizinė begalybė – viskas, kas egzistuoja mūsų pasaulyje – negali būti nei sugriauta, nei sukurta: ji. arba visai neegzistuoja (ko neįmanoma įsivaizduoti), arba egzistuoja visada, amžinai (ko irgi neįmanoma įsivaizduoti). Taigi klausimas – ar pasaulis turėjo pradžią ir ar turės pabaigą – neturi ne tik atsakymo, bet ir prasmės, o nepamirštama Kozma Prutkovas buvo teisus, palikęs apie tai tokį palyginimą: „Kartą, kai naktį savo nematoma danga uždengė dangų, garsus prancūzų filosofas Dekartas, sėdėdamas prie savo namų laiptinės laiptų ir su dideliu dėmesiu žvelgdamas į niūrų horizontą, prie jo priėjo praeivis su klausimu: „Pasakyk, išminčius, kiek Ar yra žvaigždžių šiame danguje? - „Niekšas! - atsakė šis, - niekas negali apimti begalybės! Šie su didele ugnimi pasakyti žodžiai padarė praeiviui norimą poveikį.
Žinoma, gyvename ne ant plokščio žurnalo viršelio, o geometriškai trimačiame pasaulyje, kaip sutarėme serijos numeris n. Ir gali būti, kad šis pasaulis yra tik nereikšminga pasaulio plyta su serijos numeriu n+ 1, o mūsų pasaulis savo ruožtu susideda iš neįsivaizduojamai daug pasaulių su serijiniais numeriais n– 1, kurį vadiname dalelėmis. Ir taip iki begalybės – tiek plotyje, tiek gylyje. Apie tokią begalybę Valerijus Bryusovas rašė savo eilėraštyje „Elektronų pasaulis“; Šiais laikais fizikai išsako rimtas hipotezes, pagal kurias egzistuoja tokios dalelės kaip „juodosios skylės“ (pavyzdžiui, akademiko M. A. Markovo „Friedmons“), kurios savo sandara nesiskiria nuo mūsų Visatos, ir hipotezes, kad visa mūsų Visata yra „juodoji skylė“ “ – kažkokio kito, neįsivaizduojamai didesnio pasaulio dalelė...
Matyt, iš tikrųjų gali egzistuoti tik tokia begalybė: tai Didžioji Begalybė, kurios kažkur viduryje (nors kokį vidurį gali turėti begalybė?) mūsų pasaulis yra pasiklydęs; visi Didžiosios Begalybės pasauliai, paimti kartu, egzistuoja tarsi už laiko ribų, nes jei jis teka be galo, tai bet kuri akimirka gali būti laikoma be galo tolima nuo pat pradžių, kurios niekada nebuvo, taip pat kaip ji gali būti laikoma susiliejusia su pradžia.
O jeigu matematika, nebijanti jokių begalybių, aprašo tiksliai Didesnė begalybė, tada fizika apibūdina tik neišmatuojamai mažą jos dalį, kurioje tikrai yra ir mažiausia, ir didžiausia.
Kur tik pasisuks mūsų žvilgsnis, pamatysime materiją. Kiekviename grame yra maždaug 10 dalelių – elektronų, protonų, neutronų. Jei kiekviena iš šių dalelių yra serijos numerio pasaulis n– 1, vadinasi, kiekvienoje iš jų dega begalė žvaigždžių, apšviečiančių nesuskaičiuojamą skaičių planetų, tarp kurių gali būti ir tokių, kuriose gyvos būtybės, galinčios galvoti apie begalybę.
Tik viskas šiame pasaulyje vyksta neišmatuojamai greičiau nei pas mus – tikriausiai tiek kartų, kiek mūsų pasaulis yra didesnis už elektroną (jei, vadovaudamiesi Bryusovu, manysime, kad elektrono pasaulis nesiskiria nuo mūsų), maždaug 10 41 kartą. Tada jei mums akimirka trunka 0,1 sekundės, tai serijos numerio pasaulyje n– 1 už tai laikas praeis apytiksliai 10 23 milijardus metų ir tuos 10 milijardų metų, kai egzistuoja mūsų pasaulis, pasaulio laiko skalėje su serijos numeriu n+ 1 sumirksi per 10–24 sekundes – neišmatuojamai trumpiau nei mūsų akimirksniu.
Šie nesuskaičiuojami pasauliai dreba kiekvienoje žvakės liepsnoje ir kiekvienoje mūsų kūno ląstelėje. Pasaulių skaičius auga kaip lavina iki begalybės, kai materijos plotis ir gylis juda iš vienos iš jos struktūrinis lygisį kitą. Visi šie pasauliai gyvi pilnakraujiškas gyvenimas, ir net jei Žemė yra vienintelis intelekto lopšys, tai visiškai nereiškia, kad esame vieni Visatoje: net ir kiekvienoje nereikšmingoje dulkių dėmėje, kurioje yra nesuskaičiuojamas skaičius pasaulių, turi būti be galo daug planetų. apgyvendinta protingos būtybės. Ir galbūt kiekvienas elektronų ir pozitronų poros gimimo veiksmas yra nesuskaičiuojamų pasaulių gimimo aktas, o kiekvienas sunaikinimo veiksmas yra jų mirties įrodymas?
Visa tai sukelia pernelyg liūdnas mintis. Grįžkime į savo mažą Žemę, kur dieną šviečia saulė, o naktį žvaigždės, kur yra ir jūra, ir dangus, ir giminės, ir draugai, šalia kurių visai negalvoji apie begalybę, ar apie tai, kad viskas, kas turi pradžią, deja, turi ir pabaigą.
Begalybė: matematikoje...
A. FOMENKO
Kiekviena šiuolaikinės matematikos sritis (geometrija, algebra ir kt.) turi savo „begalybės modelį“ ir susieja savo psichologiniai vaizdai ir emocijos. Natūralu, kad šių vaizdų geometrija yra aiškiausia. Geometrinė begalybė yra labiausiai prieinama demonstravimui ir tuo pat metu nepaprastai sudėtinga, nes ji dažnai prieštarauja mūsų geometrinei intuicijai, pagrįstai kasdienės patirties. Esmė ta fiziologiniai mechanizmai suvokimas tikriausiai nepajėgia adekvačiai reaguoti į abstrakčią intelektualinę užduotį „įsivaizduoti geometrinę begalybę“, o mūsų smegenys priverstos pakeisti „tikrąją begalybę“ intuityviai aiškesniu ir grubesniu geometriniu objektu, kartais padarydamos nepastebimą klaidą, pakeitimą. Todėl geometrinė intuicija, būdama galinga matematinės tiesos suvokimo priemonė, kartais gali klastingai sukelti rimtų klaidų, nuo kurių, kaip rodo patirtis, neapsaugoti net patyrę tyrinėtojai. Paimkime, pavyzdžiui, iš mokyklos žinomą linijos sąvoką. Jei neskubėsite ir atidžiau viską apgalvosite, greitai paaiškės visas jo sudėtingumas. Matematikos kalboje linija (kreivė) yra „vienmatis objektas“, turi „vieną matmenį“. Euklidas bandė apibrėžti liniją kaip „ilgį be pločio“. Klasikinė XVIII...XIX amžiaus mechanika, remdamasi konkrečiais eksperimentais, sukūrė šiuos dalykus. natūralus vaizdavimas apie liniją (kreivę). Jei laikysime pakankamai mažo dydžio erdvėje judantį kūną (be galo mažą tašką), tai jo judėjimo trajektoriją galima pavadinti linija. Taigi linija (kreivė) yra judančio taško pėdsakas. Šiuo atveju, žinoma, pirmiausia verta panagrinėti „nepertraukiamo judėjimo“ atvejį, kai taškas neatlieka momentinių netikėtų šuolių, tai yra, kai jo pėdsakas neturi lūžių. Kadangi taško judėjimas vyksta laike, tai matematiškai galime pasakyti, kad linija yra laiko atkarpos atvaizdas nuolatinis ekranas(segmentas) į erdvę. Tol, kol mes susiduriame su įprastais, nelabai sudėtingais mechaninės sistemos, ši linijos koncepcija mums visai tinka. Intuityviai aišku, kad tęstinis nėra labai sudėtingas judėjimas taškai pavaizduoti vienmačiu objektu – linija. Tačiau kai tik pereiname prie „begalinių procesų“ svarstymo, mūsų formuluotės nepakankamumas ir dėl to mūsų geometrinės bei mechaninės intuicijos, kuria buvo grindžiama ši koncepcija, ribotumas iš karto išryškėja. Esmė ta nurodytos eilutės vaizduoti tik „nelabai vingiuotą“ taško judėjimą. Dabar tarkime, kad jis pradeda labai dažnai keisti judėjimo kryptį, o tokių „kinkų“ daugėja ir linksta į begalybę (visa tai galima apibūdinti gana tiksliai). Tada sudėtingas taško pėdsakas gali pasirodyti visiškai kitoks nei įprastos vienmatės linijos. Pavyzdžiui, gali pasirodyti, kad tai yra kvadratas, rutulys, rutulys ar net vadinamasis n-dimensinė figūra, kur „matmenys“ n gali būti tokio dydžio, kokio norite. Vėlgi, naudodamiesi matematikos kalba, galime pasakyti, kad visi šie objektai yra ištisiniai vienmačio segmento vaizdai. Tuo pačiu metu, pagal mūsų pradinį apibrėžimą, tai yra linijos. Taigi keista aplinkybė pirmą kartą pastebėjo italų matematikas D. Peano 1890 m., jo garbei aprašytos „kreivės“ vadinamos Peano kreivėmis. Taigi mūsų geometrinė intuicija (kuri nubrėžia „vienmates taško judėjimo trajektorijas“) žlunga, kai susiduriame su nesibaigiančiu gana sudėtingos linijos kūrimo procesu.
Šiuolaikinė geometrija žino daugybę tokio pobūdžio pavyzdžių ir visuose vienaip ar kitaip yra begalinė procedūra (faktinė begalybė), kuri galiausiai sugriauna mūsų įprastas idėjas, susiformavusias remiantis kasdiene, „ribine“ patirtimi. Šia aplinkybe jis sėkmingai pasinaudojo kurdamas savo nuostabų grafikos darbai garsus prancūzų menininkas M.K. Escher, kurio graviūros ne kartą buvo publikuotos mūsų mokslo populiarinimo spaudoje. Viena vertus, jis vaizdavo „be galo sudėtingus objektus“, kita vertus, „neįmanomus objektus“ ( amžinieji judesiai ir tt), sumaniai išnaudodami mūsų geometrinės intuicijos netobulumus ir apribojimus. Tai darydamas jis rėmėsi matematinėmis konstrukcijomis, naudojamomis šiuolaikinėje algebroje, geometrijoje, kristalografijoje ir kt. Būtent šis gilus įsiskverbimas į geometrinės begalybės prigimtį paaiškina stiprų Escherio „matematinių“ darbų poveikį žiūrovui. Ir apskritai labai išsivystęs jausmas supančios erdvės begalybė, esanti daugelio didelių menininkų, neturinčių ypatingos, darbuose matematikos išsilavinimą, pagrįsta tuo, kad kiekvienas iš jų sukūrė savo begalybės vaizdavimo „ribinėmis priemonėmis“ techniką. Juk drobėje galima pavaizduoti tik begalybės iliuziją, bet ne pačią begalybę, o pasiekia tas, kuris geriausiai sugeba „apgauti žiūrovą“. didžiausias efektas. Štai kodėl, pradedant Renesansu, daugelis tapytojų rimtai studijavo ne tik perspektyvos teoriją, bet ir gilesnes matematines struktūras, bandydami prasiskverbti už mūsų „patokaus pasaulio“ baigtinumo nustatytų ribų.
Baigdamas atkreipiu dėmesį į tai, kad šiuolaikinė matematika Yra daug tokių gilių sąvokų kaip begalybės sąvoka, ir kiekviena iš jų nusipelno savo „istorijos“.
...ir fizikoje
M. HERZENŠTEINAS
Dainos tekstai ir matematika – kas, atrodė, gali būti priešingai. Tačiau priešingybės dažnai susilieja, o kartais lyrikai matematikams užduoda gilius klausimus. Paprastai matematikai (o kartu ir fizikai – juk šiandien fizikos be matematikos nėra ir negali būti) šiuos klausimus tiesiog numeta į šalį. Tačiau kartais po kurio laiko staiga paaiškėja, kad lyrikų klausimai turėjo potekstę, kurios mokslininkai net neįtarė.
Straipsnyje garsus fizikas E. Wigner „Nesuprantamas matematikos efektyvumas in gamtos mokslai„Pažymima, kad matematika yra mokslas apie išradingus veiksmus, atliekamus pagal specialiai sukurtas taisykles pagal specialiai sugalvotas sąvokas. Ką tai turi bendro su realiu pasauliu? O kur ir kada griežtas matematikų sugalvotų taisyklių laikymasis gali privesti fizikus prie klaidingo rezultato?
Paimkime, pavyzdžiui, realių sveikųjų skaičių pasaulį. Žinome, kad prie bet kurio sveikojo skaičiaus galite pridėti vieną ir gauti daugiau didesnis skaičius. Jei atliksite šią operaciją n→ ∞ kartų, tada gauname begalybę; tas pats atsitiks, jei padvigubinsite skaičių. Tačiau bet kurį skaičių galima padalyti per pusę, todėl skaičius yra mažesnis realus skaičius, kurį galima dar padalyti per pusę, pakartojant šią operaciją bent n→ ∞ kartus.
Tačiau realiame pasaulyje, deja, neįmanoma pereiti n→ ∞. Pavyzdžiui, jei pradėsime padvigubinti atkarpą, kurios ilgis yra tik 1 cm, tada tik po maždaug 100 panašių operacijų gausime atkarpą lygus dydžiui visoje mūsų Visatoje, o tolesnis jo padvigubėjimas praras savo fizinę prasmę. Ir atvirkščiai, jei pradėsime dalyti 1 cm ilgio atkarpą per pusę, tada jau po maždaug 50 tokių operacijų gausime atkarpą, lygią mažų atstumų ribai, prie kurios eksperimentiškai priartėjome šiuolaikinė fizika. Taigi kodėl matematika, naudojanti operacijas su begalybėmis, kurios realiame pasaulyje akivaizdžiai neįmanomos, fizikai vis dar suteikia teisingus atsakymus į klausimus apie tą patį realų pasaulį? Tai yra Wignerio iškelto klausimo esmė, jei jis susijęs su begalybės problema.
Atėjo laikas dainų tekstui pasidžiaugti: jei jūs, fizikai, mąstydami naudojatės operacijomis, kurios realiame pasaulyje neįmanomos, tai ar verta stebėtis, jei jūsų teorijos sukuria begalybes, o ne pagrįstus baigtinius dydžius? Pagrįsdami galime pasakyti, kad pačioje matematikoje yra problemų, susijusių su begalybėmis.
Būtent, dar visai neseniai matematikai buvo nuoširdžiai įsitikinę, kad jų griežtame moksle, paremtame baigtine aksiomų sistema, nieko pridėti ar atimti neįmanoma. Bet ne, paaiškėjo, kad baigtinės aksiomų sistemos rėmuose gali būti teiginių, kurių tiesos ar klaidingumo neįmanoma nustatyti, todėl matematiką galima pridėti kuo daugiau naujų aksiomų, ir jos harmonija nebus sutrikdyta...
Lyrikas, mano nuomone, veltui „spardo“ fizikus, net rašo subjunktyvi nuotaika: "...pasirodo, kad klasikinė mechanika nieko neapibūdina." Bet koks gamtos aprašymas yra santykinė tiesa, visada tik artima mums nežinomai absoliučiai tiesai. Apytikslis tiek dėl esminio pobūdžio priežasčių (klasikinės mechanikos lygčių netikslumas), tiek dėl gana proziškų priežasčių (praktikai perdėtas aprašymo tikslumas kartais tiek žalingas, tiek ir nepakankamas).
Man taip pat nepatiko žodžiai apie požiūrį į pasaulį „iš išorės“ ir „iš vidaus“. Manau, kad jie per daug sureikšmina stebėtojo vaidmenį. Tačiau dėl pastarųjų kalti ir mes, fizikai: jie, pristatydami kvantinės mechanikos ir reliatyvumo teorijos pagrindus, per daug kalba apie stebėtojo vaidmenį.
Tiek kvantinėje mechanikoje, tiek reliatyvumo teorijoje pirmiausia turime kažkaip susieti erdvę ir laiką su matematikų tiriamais objektais – paprasčiausiu atveju su skaičiais. Bet kaip? Vakuumas nėra Žemės paviršius; Žinoma, galite palikti objektą ramybėje ir laikyti jį atskaitos tašku. Bet jei šis objektas juda pagal inerciją su kai kuriais pradinis greitis, tada stebėjimo metu atskaitos taškas gali pasislinkti nežinoma kryptimi į nežinomą atstumą. Ką daryti šioje situacijoje? Kaip nutiesti tiltą tarp fizikos ir matematikos?
Todėl reliatyvumo teorijoje turime kalbėti apie koordinačių sistema tas ar kitas stebėtojas, nesigilindamas į tai, ką tai reiškia. Nepaisant to, būtent toks požiūris leido padaryti įdomias išvadas, kurios buvo patvirtintos eksperimentiškai. Atkreipiu dėmesį, kad kai kurios tilto ypatybės, jungiančios matematiką su tikrove, buvo atrastos palyginti neseniai: pavyzdžiui, paaiškėjo, kad nepaisant Lorentzo susitraukimo, judantis rutulys atrodo ne kaip elipsoidas, o kaip rutulys, ir tai taip pat buvo eksperimentiškai patvirtinta. !
Elektrono banginės savybės nulemia atomo spinduliavimo spektro prigimtį, tačiau spinduliavimo spektras nepriklauso nuo to, ar kas jį stebi. Natūralu, kad jei kvantas yra absorbuojamas vienoje vietoje, jis negali būti tuo pačiu metu absorbuojamas kitur. Jei kvanto kelyje yra ekranas su dviem skylutėmis, tai kvantas, kaip ir bet kuri banga, prasiskverbs per abi skylutes iš karto ir suteiks interferencijos modelį, kurį galima stebėti net kosminiai atstumai. Bet jei fotonų imtuvai bus patalpinti už skylių, tai kvantas privers dirbti tik vieną iš jų, kyla klausimas – kaip antrasis imtuvas sužinojo (superliumininiu greičiu, akimirksniu!), kad pirmasis suveikė?
Tačiau tiek kvantinė mechanika, tiek reliatyvumas yra teorijos be vidinių prieštaravimų ir, nepaisant to, kad jie prieštarauja vadinamiesiems „ sveikas protas“, atspindi tvirtai nusistovėjusias santykines tiesas.
Pabaigai keli žodžiai apie matrioškų pasaulius. Be jokios abejonės, pati idėja yra graži, ji dažnai aptarinėjama rimtojoje fizikos literatūroje. Bet, mano nuomone, tai tik liudija autorių vaizduotės skurdą. Kiekybiniai pokyčiai visada sukelia kokybinius pokyčius: lizdinės lėlės negali būti visiškai identiškos savo savybėmis, skiriasi tik dydžiu. Iš tikrųjų iš šios poetinės hipotezės dar nebuvo įmanoma padaryti jokių konkrečių eksperimentiniam patikrinimui prieinamų pasekmių, o kai kurios jos išvados prieštarauja jau žinomiems faktams.
Lyrinės mintys apie begalybę pasirodė gana gilios ir leido kalbėti apie tai, kas yra priešakyje šiuolaikinis mokslas. Turime tikėtis, kad šis pokalbis tęsis. Bet, žinoma, ne iki galo.
Informacijos šaltinis:
„Technologija jaunimui“, 1990 m., 12, Nr.
Apibrėžimas. Taškas begalybėje sudėtinga plokštuma paskambino izoliuotas vienaskaitos taškas nedviprasmiškas analitinė funkcijaf(z), jei lauke tam tikro spindulio apskritimas R,
tie. už , nėra baigtinio funkcijos vienaskaitos taško f(z).
Norėdami ištirti funkciją begalybės taške, atliekame pakeitimą 
Funkcija
taške turės singuliarumą ζ
= 0, ir šis taškas bus izoliuotas, nes
apskritimo viduje 
Kitų išskirtinių taškų pagal būklę nėra. Būdamas analitiškas šiuo klausimu
ratas (išskyrus vadinamąjį ζ
= 0), funkcija 
gali būti išplėsta Laurent serijoje ζ
. Ankstesnėje pastraipoje aprašyta klasifikacija lieka visiškai nepakitusi.
Tačiau jei grįšime prie pradinio kintamojo z, tada serijos teigiamomis ir neigiamomis galiomis z„pakeisti“ vietas. Tie. klasifikacija be galo nuotoliniai taškai atrodys taip:
Pavyzdžiai. 1.
. z =
Taškas
i
2.
− III eilės stulpas. z =
∞
. Taškas − reikšmingai.
vienaskaitos taškas
§18. Analitinės funkcijos liekana izoliuotame vienaskaitos taške. z Tegul taškas
f(z 0 yra izoliuotas vienos vertės analitinės funkcijos vienaskaitos taškas f(z). Pagal ankstesnįjį, netoli šio punkto 
) gali būti unikaliai pavaizduotas Laurent serijos: 
Apibrėžimas.Kur Išskaičiavimas f(z analitinė funkcija z 0
) izoliuotame vienaskaitos taške paskambino kompleksinis skaičius 
, lygus integralo reikšmei z 0 .
, paimtas teigiama kryptimi išilgai bet kurio uždaro kontūro, esančio funkcijos analitiškumo srityje ir turintį vieną vienintelį tašką [f(z),z 0 ].
Išskaitymas žymimas simboliu Res
Nesunku pastebėti, kad likutis įprastame arba nuimamame vienaskaitos taške yra lygus nuliui. Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui Su
.
-1 eilutė Laurent: Pavyzdys. 
.
Raskite funkcijos likutį
(Tegul tai lengva pamatyti Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui koeficientas n-1 gaunamas dauginant terminus iš f(z),Taškas
]
=
}
= 0:Res[ Dažnai galima apskaičiuoti funkcijų likučius paprastu būdu f(z. Tegul funkcija z) turi įsk. 
0 pirmos eilės polių. Šiuo atveju Laurent serijos funkcijos išplėtimas turi formą (§16):. Padauginkime šią lygybę iš (z−z 0) ir pereikime prie ribos ties f(z),z 0 ] =
. Rezultate gauname: Res[
Taigi, į f(z),Taškas
]
=
.
Paskutiniame pavyzdyje turime Res[
Norėdami apskaičiuoti likučius aukštesnės eilės poliuose, padauginkite funkciją 
(įjungta m įjungta −
− polių tvarka) ir atskirkite gautas eilutes (
1) kartus. f(z),z 0 ]
-1 eilutė Laurent: Pavyzdys. 
Šiuo atveju turime: Res[
{
ties z= −1. f(z),
−1]
}
Res[
.
Jei kuri nors seka susilieja į baigtinį skaičių a, tada parašykite Anksčiau mes įtraukėme be galo dideles sekas. Darėme prielaidą, kad jie susilieja, ir pažymėjome jų ribas simboliais ir .Šie simboliai reprezentuoja taškai begalybėje. Jie nepriklauso daugybei
realūs skaičiai
Taškas begalybėje, arba beženklė begalybė, yra riba, kurios link linksta be galo didelė seka.
Taškas begalybėje plius begalybė, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su teigiamais terminais.
Taškas iš begalybės atėmus begalybę, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su neigiamais terminais.
Bet kuriam realiajam skaičiui a galioja šios nelygybės:
;
.
Naudodami realius skaičius, pristatėme sąvoką taško kaimynystėje begalybėje.
Taško kaimynystė yra aibė.
Galiausiai taško kaimynystė yra aibė.
Čia M yra savavališkas, savavališkai didelis realusis skaičius.
Taigi mes išplėtėme realiųjų skaičių aibę, įtraukdami į ją naujų elementų. Šiuo atžvilgiu yra sekantį apibrėžimą:
Išplėstinė skaičių eilutė arba išplėstinė realiųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių rinkinys, papildytas elementais ir :
.
Pirma, mes užrašysime savybes, kurias taškai ir . Toliau svarstome griežtumo klausimą matematinis apibrėžimas
šių taškų operacijos ir šių savybių įrodymai.
Taškų begalybėje savybės.
;
;
;
;
Suma ir skirtumas.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produktas ir koeficientas.
Ryšys su realiais skaičiais
;
;
;
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada > 0
Tegul a
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada < 0
Tegul a
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Tada
Neapibrėžtos operacijos
Taškų begalybėje savybių įrodymai
Matematinių operacijų apibrėžimas Mes jau pateikėme begalybės taškų apibrėžimus. Dabar jiems reikia apibrėžti matematines operacijas. Kadangi šiuos taškus apibrėžėme naudodami sekas, operacijos su šiais taškais taip pat turėtų būti apibrėžtos naudojant sekas.
Taigi,
dviejų taškų suma
,
c = a + b,
,
priklausantys išplėstinei realiųjų skaičių aibei,
vadinsime ribą
kur ir yra savavališkos sekos, turinčios ribas Ir ..
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti
lygus nuliui
Tada dviejų taškų skirtumas:
lygus nuliui
- tai yra riba: .
lygus nuliui
Taškų produktas: Privatus:, .
Čia ir yra savavališkos sekos, kurių ribos yra atitinkamai a ir b . IN
pastarasis atvejis
Savybių įrodymai
.
Norėdami įrodyti begalybės taškų savybes, turime naudoti be galo didelių sekų savybes.
,
Kitaip tariant, turime įrodyti, kad dviejų sekų, kurios susilieja į plius begalybę, suma susilieja su plius begalybe.
1
tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.
Tai reiškia, kad.
Panašiai galima įrodyti ir kitas savybes. Kaip pavyzdį, pateikime kitą įrodymą.
.
Įrodykime, kad:
,
Norėdami tai padaryti, turime tai parodyti
kur ir yra savavališkos sekos, su ribomis ir .
Tai reiškia, kad turime įrodyti, kad dviejų be galo didelių sekų sandauga yra be galo didelė seka. Įrodykime tai. Kadangi ir , tada yra keletas funkcijų ir , taigi bet kuriai teigiamas skaičius 1
tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.
M
Neapibrėžtos operacijos dalis matematines operacijas
su taškais begalybėje nėra apibrėžti. Norint parodyti jų neapibrėžtumą, reikia pateikti keletą ypatingų atvejų, kai operacijos rezultatas priklauso nuo į juos įtrauktų sekų pasirinkimo.
.
Apsvarstykite šią operaciją:
Nesunku parodyti, kad jei ir , tai sekų sumos riba priklauso nuo sekų pasirinkimo ir .
Tikrai, imkim.
Šių sekų ribos yra .
Sumos limitas
lygi begalybei. Dabar paimkime.Šių sekų ribos taip pat lygios.
Tačiau jų kiekio riba
lygus nuliui.
Tikrai viskas buvo pasaka, neneigiu, bet žaidimas nebuvo vertas žvakės, nevertas ašarų ir skausmo naktį, kai šalia buvo tik šalta pagalvė, o kitų kelnaitės buvo gulėdamas kabinete jis net nepastebėjo, kaip jo mergina beveik po nosimi paliko apatinius, bandydama pažymėti mano teritoriją. Na, ji tai padarė, aš palūžau, viduje buvau pasiruošusi verkti ir susikrauti daiktus. Mane sulaiko tik gailestis, meilė ir gailestis, dalykai, kurie lyg ir nėra laimės komponentai, bet turi per daug įtakos santykiams, pasilikau, manydama, kad viskas pasikeis, tikėdama ir velniškai tikėdamasi tik geriausio.
Geriausia buvo dabar ten, klube ar bare, kur yra visko – nuo alkoholio iki prostitučių, kur muzika yra pagrindinė gyvenimo dalis, ir aš tiesiog turėjau su tuo susitaikyti, viską palikti ir judėti toliau. Vaikščiodama paskui jį, įsikibusi į marškinių rankovę, išplėšdama išdidumo ir drąsos likučius – esu palaužta, o priežastis yra jo meilė.
Skambutis, šlykštus balsas kitoje durų pusėje, kvaila viltis puikiai praleisti vakarą kartu vos per porą sekundžių virto dulkėmis. Tai buvo jis, tai jo niekšiškos rankos jėga trenkė į duris, todėl mano širdis sustingo. Bijojau, bijojau, kad jis išprotės, kad nieko nebejaustų, kad aš jam tik žmogus, kvailas, įsimylėjęs. Paskubomis užsimetęs striukę, atidariau duris drebėdamas rankomis, palikdamas grandinėlę vietoje - taip saugiau. Jis atrodė dar blogiau, nei įsivaizdavau – lūžo pirštai, subraižytos rankos, didžiąją veido dalį puošė mėlynės, lūpa buvo baisus vaizdas – kampučiai buvo paskendę krauju, oda šiek tiek patinusi. Dėl muštynių priežasties neabejojau – jis kvepėjo dūmais, kaip sakoma, „už mylios“.
Atsiprašau, Vic, daugiau nepasikartos. – Kaskart grįžęs namo visiškos euforijos būsenoje kartojo šią frazę, net nesusimąsčiau, ar jis teisingai suprato, ar sąvoka „daugiau“ jam reiškia tą patį, ką ir man? Nesuprasdama ką daryti, paspaudžiu spyną ir plačiai ją atidarau priekines duris, Man nesvarbu, koks jis, jis grįžo, svarbiausia, kad jis čia.
Jau pamiršau kaip tu atrodai. Šį rytą tu dingai. – Stengiuosi nešaukti, pasilieku tai savyje, nekalbu apie rytinį skambutį į mobilųjį iš jo meilužės ar ne jo meilužės – nuovargis, tai dabar jaučiu. Jau šiek tiek po dviejų nakties, o aš vietoj lovos žiūriu Igoriui į akis ir ieškau atsakymo pats klausimas– Ar jis mane myli, ar aš jam ką nors reiškiau?
Atsiprašau, mažute, turėjau šiek tiek darbo“, – mane užklumpa žagsulys, o aš skvarbiai dejuoju, jausdama savo kūno sunkumą. Jis man per didelė našta ir aš rėkiu žengdama žingsnį, o paskui skaudžiai krentu kartu su juo ant kilimo. - Šūdas.
Jis lėtai pakyla ir žengia į priekį, vos užlipdamas ant grindų paviršiaus, vis dar vos valdydamas savo judesius. Jis tiesiog peržengia manęs nepastebėdamas, šiuo metu jis įrodo mano prielaidas – jis tiesiog praėjo pro šalį mūsų santykiuose. Jis atliko tik vieną vaidmenį - kalbėjo apie meilę, finansiškai aprūpintą, ir dėl to kyla abejonių - ar tai iš tėčio kišenės? Suspaudžiu galvą rankomis, tai negali taip ilgai tęstis, taip ilgai neištvėriau. Dieve.
Vonioje išgirdau garsą, todėl nusprendžiau nusiprausti. Man irgi nepakenktų paleisti visiškos apatijos būseną ir susitvarkyti save, aš esu moteris. Tu esi niekšelis, jei leisi su savimi taip elgtis – mano pasąmonė rėkia ir aš suprantu, kad tai tiesa. Kad pasaulis yra visiškai kitoks, jam nėra jokių apribojimų keturiose sienose, jis yra visiškai išvystytas, ten yra žmonių, ten yra gyvenimas. Čia, šiuose namuose, gyvenimas jau seniai virto radioaktyviu oru, dėl kurio pamažu mirštate, užmušate dalį savęs, dingsta laimė, o iš plaučių visiškai išgaruoja puikybė.
Kur rankšluostis?
Man beprotiškai skauda galvą, aš jaučiu viską, išskyrus pūkuotą kamuolį ant krūtinės ir antklodę prie kojų. Igorio nejaučiu, net nebandau atspėti jo buvimo vietos. Ėjo išpirkti savo kaltės prieš mamą alkoholiu, taip jis supranta žodį „netektis“, aš taip suprantu žodį „pabaiga“, būtent jis. Vos išlipusi iš lovos pamatau jų bendrą nuotrauką ir šalia raštelį, ar tikrai gero ryto palinkėjimas?
išėjau. Amžinai. Taip bus geriau, pavargau nuo tavęs, nuo tavo amžino verkšlenimo, nuo klausimų, kurių nereikėjo kelti, jei žinai atsakymą. Tu per kvailas. Viso gero.
Igoris.
realūs skaičiai
Pasekmė (βn) vadinama be galo didele seka, jei kam, savavališkai didelis skaičius M, yra toks dalykas natūralusis skaičius N M priklauso nuo M taip, kad visoms natūralioms n > N M galioja ši nelygybė:
|βn | > M.
Šiuo atveju jie rašo
.
Arba adresu.
Jie sako, kad jis linkęs į begalybę arba susilieja į begalybę.
Jei pradedant nuo kurio nors skaičiaus N 0
, Tai
( susilieja į plius begalybę).
Jeigu tada
( susilieja į minus begalybę).
Parašykime šiuos apibrėžimus naudodami loginius egzistavimo ir universalumo simbolius:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Sekos su ribomis (2) ir (3) yra specialūs begalybės atvejai didelė seka(1). Iš šių apibrėžimų išplaukia, kad jei sekos riba yra lygi pliuso arba minuso begalybei, tada ji taip pat lygi begalybei:
.
Atvirkščiai, žinoma, netiesa. Sekos nariai gali turėti kintamus ženklus. Šiuo atveju riba gali būti lygi begalybei, bet be konkretaus ženklo.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei kuri nors savybė galioja savavališkai sekai, kurios riba lygi begalybei, tai ta pati savybė galioja ir sekai, kurios riba lygi pliuso arba minuso begalybei.
Daugelyje skaičiavimo vadovėlių be galo didelės sekos apibrėžimas teigia, kad skaičius M yra teigiamas: M > 0 . Tačiau šis reikalavimas nereikalingas. Jei jis atšaukiamas, nekyla jokių prieštaravimų. Tiesiog mažos ar neigiamos vertybės mums neįdomios. Mus domina savavališkai didelės sekos elgsena teigiamas vertes M. Todėl, jei reikia, M iš apačios gali būti apribotas bet kuriuo, iš anksto
duotas numeris a, tai yra, tarkime, kad M > a. Kada apibrėžėme ε – kaimynystę > 0 pabaigos taškas , tada reikalavimas ε yra svarbus. At
neigiamos reikšmės
, nelygybė iš viso negali būti taikoma.
Taškų kaimynystės begalybėje
Kai svarstėme baigtines ribas, pristatėme taško kaimynystės sąvoką. Prisiminkite, kad pabaigos taško kaimynystė yra atviras intervalas, kuriame yra šis taškas. Taip pat galime pristatyti begalybės taškų apylinkių sąvoką. Tegul M yra savavališkas skaičius.
Taško „begalybė“ kaimynystė Tegul M yra savavališkas skaičius.
, , vadinamas rinkiniu. Tegul M yra savavališkas skaičius.
Taško kaimynystė „plius begalybė“
(4)
,
Netoli taško "minus begalybė" 1
Griežtai tariant, taško „begalybė“ kaimynystė yra rinkinys 2
kur M
Dabar galime pateikti vieningą sekos ribos apibrėžimą, kuris taikomas ir baigtinėms, ir baigtinėms.
iki begalinių ribų
Universalus sekos ribos apibrėžimas galutinis skaičius sekos arba tuščios aibės nariai. Ši sąlyga yra būtina ir pakankama. Šios savybės įrodymas yra lygiai toks pat kaip ir baigtinės ribos.
Konvergencinės sekos kaimynystės savybė
Kad taškas a (baigtinis arba begalybėje) būtų sekos riba, būtina ir pakanka, kad už bet kurios šio taško kaimynystės būtų baigtinis sekos narių skaičius arba tuščia aibė.
Įrodymas .
Taip pat kartais įvedamos ε sąvokos – taškų apylinkės begalybėje.
Prisiminkite, kad baigtinio taško a ε kaimynystė yra aibė .
Įveskime tokį užrašą. Tegul ε žymime taško a kaimynystę.
.
Tada pabaigai,
;
;
.
Dėl taškų begalybėje: Naudodami ε – apylinkių sąvokas, galime pateikti kitą universalus apibrėžimas
sekos riba: > 0
Taškas a (baigtinis arba begalybėje) yra sekos riba, jei bet kuriam teigiamam skaičiui ε
.
yra natūralusis skaičius N ε, priklausantis nuo ε, todėl visiems skaičiams n > N ε terminai x n priklauso taško a ε kaimynystei:
.
Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas taip:
Be galo didelių sekų pavyzdžiai
Pirmiausia pažvelgsime į tris paprastus panašius pavyzdžius, o tada išspręsime sudėtingesnį.
.
.
1 pavyzdys
(1)
.
Užrašykime be galo didelės sekos apibrėžimą:
.
Mūsų atveju
.
Supažindiname su skaičiais ir susiejame juos su nelygybėmis:
.
Pagal nelygybių savybes, jei ir , tada
Atkreipkite dėmesį, kad ši nelygybė galioja bet kuriai n.
Todėl galite rinktis taip:
adresu ;
.
adresu .
Taigi, bet kuriam galime rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę.
Tada visiems,
.
(2)
.
Tai reiškia, kad.
.
Tai yra, seka yra be galo didelė.
.
.
2 pavyzdys
.
Naudodami be galo didelės sekos apibrėžimą, parodykite tai
.
Bendrasis nurodytos sekos terminas turi tokią formą:
Tada visiems,
.
Įveskite skaičius ir:
(3)
.
Tai reiškia, kad.
.
Tai yra, seka yra be galo didelė.
.
Tada kiekvienas gali rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, todėl visiems ,
.
Tai reiškia, kad.
.
3 pavyzdys
.
Užrašykime sekos, lygios minus begalybei, ribos apibrėžimą:
Tada visiems,
.
Iš to aišku, kad jei ir , tada Kadangi bet kuriam iš jų galima rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, tada Atsižvelgiant į , kaip N galime paimti bet kurį natūralųjį skaičių, kuris tenkina šią nelygybę:
.
Užrašykime sekos, lygios plius begalybei, ribos apibrėžimą:
(2)
.
Kadangi n yra natūralusis skaičius, n = 1, 2, 3, ...
, Tai
;
;
.
Įvedame skaičius ir M, sujungdami juos su nelygybėmis:
.
Tada kiekvienas gali rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, todėl visiems ,
.
Taigi, bet kuriam skaičiui M galime rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę.
.
Naudodami be galo didelės sekos apibrėžimą, parodykite tai
Tada visiems,
Naudota literatūra: L.D. Kudrjavcevas. Na matematinė analizė
. 1 tomas. Maskva, 2003 m.
