Įrodymas
Pirmiausia nubrėžkime įstrižainę AC. Gauname du trikampius: ABC ir ADC.
Kadangi ABCD yra lygiagretainis, tai tiesa:
AD || BC \Rightarrow \kampas 1 = \kampas 2 lyg guli skersai.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\kampas 4 lyg guli skersai.
Todėl \triangle ABC = \triangle ADC (pagal antrąjį kriterijų: ir AC yra bendras).
Todėl \trikampis ABC = \trikampis ADC, tada AB = CD ir AD = BC.
Įrodyta!
2. Priešingi kampai yra identiški.
Įrodymas
Pagal įrodymą savybės 1 mes tai žinome \kampas 1 = \kampas 2, \kampas 3 = \kampas 4. Taigi priešingų kampų suma yra: \kampas 1 + \kampas 3 = \kampas 2 + \kampas 4. Atsižvelgdami į tai, kad \triangle ABC = \triangle ADC gauname \angle A = \angle C , \angle B = \kampas D .
Įrodyta!
3. Įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.
Įrodymas
Nubrėžkime dar vieną įstrižainę.
Autorius nuosavybė 1 mes tai žinome priešingos pusės yra identiški: AB = CD. Dar kartą atkreipkite dėmesį į skersai gulinčius vienodus kampus.
Taigi aišku, kad \trikampis AOB = \trikampis COD pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų (du kampai ir kraštinė tarp jų). Tai yra, BO = OD (priešais kampus \kampas 2 ir \kampas 1) ir AO = OC (priešais atitinkamai kampus \angle 3 ir \angle 4).
Įrodyta!
Lygiagretainio ženklai
Jei jūsų uždavinyje yra tik viena ypatybė, tada figūra yra lygiagretainis ir galite naudoti visas šios figūros savybes.
Už geresnis įsiminimas, atkreipkite dėmesį, kad lygiagretainio ženklas reaguos į kitas klausimas — "Kaip sužinoti?". Tai yra, kaip sužinoti, ką ši figūra tai lygiagretainis.
1. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygios ir lygiagrečios.
AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD yra lygiagretainis.
Įrodymas
Pažiūrėkime atidžiau. Kodėl AD || BC?
\trikampis ABC = \trikampis ADC pagal nuosavybė 1: AB = CD, AC - bendras ir \kampas 1 = \kampas 2 yra skersai su lygiagrečiai AB ir CD bei sekantine AC.
Bet jei \trikampis ABC = \trikampis ADC , tai \kampas 3 = \kampas 4 (atitinkamai priešais AB ir CD). Ir todėl AD || BC (\kampas 3 ir \kampas 4 – gulintys skersai taip pat lygūs).
Pirmasis ženklas yra teisingas.
2. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygios.
AB = CD, AD = BC \Rodyklė dešinėn ABCD yra lygiagretainis.
Įrodymas
Pasvarstykime šis ženklas. Vėl nubrėžkime įstrižainę AC.
Autorius nuosavybė 1\trikampis ABC = \trikampis ACD .
Iš to išplaukia, kad: \kampas 1 = \kampas 2 \Rightarrow AD || B.C. Ir \kampas 3 = \kampas 4 \Rightarrow AB || CD, tai yra, ABCD yra lygiagretainis.
Antrasis ženklas yra teisingas.
3. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingi kampai yra lygūs.
\kampas A = \kampas C , \kampas B = \kampas D \Rodyklė dešinėn ABCD- lygiagretainis.
Įrodymas
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(kadangi ABCD yra keturkampis, o \kampas A = \kampas C , \kampas B = \kampas D pagal sąlygą).
Pasirodo, \alpha + \beta = 180^(\circ) . Tačiau \alpha ir \beta yra vidinės vienpusės sekantoje AB.
Ir tai, kad \alpha + \beta = 180^(\circ) taip pat reiškia, kad AD || B.C.
Be to, \alpha ir \beta yra vidinės vienpusės sekantoje AD. O tai reiškia AB || CD.
Trečiasis ženklas yra teisingas.
4. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.
AO = OC; BO = OD\Rightarrow lygiagretainis.
Įrodymas
BO = OD; AO = OC , \kampas 1 = \kampas 2 kaip vertikalus \Rodyklė dešinėn \trikampis AOB = \trikampis COD, \Rodyklė dešinėn \kampas 3 = \kampas 4, ir \Rightarrow AB || CD.
Panašiai BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \kampas 6 \Rodyklė dešinėn \trikampis AOD = \trikampis BOC \RightArrow \angle 7 = \kampas 8, ir \Rightarrow AD || B.C.
Ketvirtasis ženklas yra teisingas.
Geometrija yra visiškai pagrįsta teoremomis ir įrodymais. Norėdami įrodyti, kad savavališka figūra ABCD yra lygiagretainis, turite žinoti šios figūros apibrėžimą ir charakteristikas.
Instrukcijos
Geometrijoje lygiagretainis yra figūra su keturiais kampais, kurių priešingos kraštinės yra lygiagrečios. Taigi rombas, kvadratas ir stačiakampis yra šio keturkampio variantai.
Įrodykite, kad dvi priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios viena kitai. Lygiagretainyje ABCD šis ženklas atrodo taip: AB=CD ir AB||CD. Nubrėžkite įstrižainę AC. Gauti trikampiai bus lygūs pagal antrąjį kriterijų. AC - bendra pusė, kampai BAC ir ACD, taip pat BCA ir CAD yra lygūs gulint skersai lygiagrečių tiesių AB ir CD (duota sąlygoje). Bet kadangi šie skersiniai kampai taip pat priklauso kraštinėms AD ir BC, tai reiškia, kad šios atkarpos taip pat yra lygiagrečiose tiesėse, kas buvo įrodyta.
Svarbūs elementaiįrodymas, kad ABCD yra lygiagretainis, yra įstrižainės, nes šiame paveiksle, kai jos susikerta taške O, jos yra padalintos į vienodi segmentai(AO=OC, BO=OD). Trikampiai AOB ir COD yra kongruentiški, nes dėl šių sąlygų ir jų kraštinės yra lygios vertikalūs kampai. Iš to išplaukia, kad kampai DBA ir CDB, taip pat CAB ir ACD yra lygūs.
Tačiau tie patys kampai yra skersai, nepaisant to, kad linijos AB ir CD yra lygiagrečios, o įstrižainės vaidmenį atlieka sekantas. Taip įrodę, kad kiti du trikampiai, sudaryti iš įstrižainių, yra sutampa, gausite, kad šis keturkampis yra lygiagretainis.
Kita savybė, pagal kurią galima įrodyti, kad keturkampis ABCD yra lygiagretainis, skamba taip: šios figūros priešingi kampai yra lygūs, tai yra kampas B lygus kampui D, o kampas C lygus A. Trikampių kampų suma, kurią gauname nubrėžę įstrižainę AC, yra 180°. Remdamiesi tuo, nustatome, kad visų šios figūros ABCD kampų suma yra lygi 360°.
Prisimindami uždavinio sąlygas, nesunkiai suprasite, kad kampas A ir kampas D sudarys 180°, taip pat kampas C + kampas D = 180°. Tuo pačiu metu šie kampai yra vidiniai, jie yra toje pačioje pusėje, su atitinkamomis tiesiomis linijomis ir sekantais. Iš to išplaukia, kad tiesės BC ir AD yra lygiagrečios, o pateikta figūra yra lygiagretainis.
Dėmesio, tik ŠIANDIEN!
Viskas įdomu
Stačiakampis vaizduoja ypatingas atvejis lygiagretainis. Kiekvienas stačiakampis yra lygiagretainis, bet ne kiekvienas lygiagretainis yra stačiakampis. Galite įrodyti, kad lygiagretainis yra stačiakampis, naudodami lygybės testus...
Lygiašonė trapecija yra plokščias keturkampis. Dvi figūros kraštinės yra lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais, likusios dvi perimetro dalys yra pusės, ir tuo atveju lygiašonė trapecija jie lygūs. Jums reikės -…
Rombas suformuojamas iš kvadrato, ištempus figūrą už viršūnių, esančių toje pačioje įstrižainėje. Du kampai tampa mažesni už stačiuosius. Kiti du kampai didėja, tampa buki. Instrukcija 1 Keturių suma vidiniai kampai rombo kampas yra 360°,...
Lygiagretainis turi keturis kampus. Stačiakampiui ir kvadratui jie visi lygūs 90 laipsnių, tačiau kitų lygiagretainių jų reikšmė gali būti savavališka. Žinant kitus figūros parametrus, šiuos kampus galima apskaičiuoti. Instrukcijos 1 Lygiagretainė...
Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios. Tiesios linijos, jungiančios jos priešingus kampus, vadinamos įstrižainėmis. Jų ilgis priklauso ne tik nuo figūros kraštinių ilgių, bet ir nuo kampų dydžio šios...
Norint greitai ir teisingai išspręsti geometrines problemas, reikia gerai suprasti, kokia figūra ar geometrinis kūnas apie kurią mes kalbame apie ir žinoti jų savybes. Kai kurie paprasti geometrinės problemos pastatytas būtent ant to. ...
Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi yra nelygiagrečios. Jei visos priešingos keturkampio kraštinės yra lygiagrečios poromis, tai yra lygiagretainis. Tau prireiks visko...
Keturkampis yra figūra, susidedanti iš keturių kraštinių ir greta jų esančių kampų. Tokios figūros apima stačiakampį, trapeciją ir lygiagretainį. Daugelyje geometrijos uždavinių reikia rasti vienos iš šių figūrų įstrižainę. Instrukcijos...
Daugiakampis yra plokščias geometrinė figūra, sudarytas iš atkarpų, susikertančių trijuose ar daugiau taškų. Šiuo atveju daugiakampis yra uždara laužta linija. Daugiakampyje taškai yra viršūnės, o linijos atkarpos yra kraštinės. Viršūnės,…
Stačiakampis yra plokščia geometrinė figūra, susidedanti iš keturių taškų, sujungtų vienas su kitu atkarpomis taip, kad jie niekur nesikerta, išskyrus pačius taškus. Stačiakampį galite apibrėžti kitais būdais. Ši figūra yra...
Norint nustatyti, ar tam tikra figūra yra lygiagretainis, yra keletas ženklų. Pažvelkime į tris pagrindinius lygiagretainio požymius.
1 lygiagretainio ženklas
Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai šis keturkampis bus lygiagretainis.
Įrodymas:
Apsvarstykite keturkampį ABCD. Tegul kraštinės AB ir CD yra lygiagrečios. Ir tegul AB=CD. Nubrėžkime jame įstrižainę BD. Jis padalins nurodytą keturkampį į du lygus trikampis: ABD ir CBD.
Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (BD yra bendroji pusė, AB = CD pagal sąlygą, kampas1 = kampas2 kaip skersiniai kampai su lygiagrečių tiesių AB ir CD skersine BD.), taigi kampas3 = kampas4.
Ir šie kampai bus kryžminiai, kai tiesės BC ir AD susikerta su sekante BD. Iš to išplaukia, kad BC ir AD yra lygiagrečiai vienas kitam. Turime, kad keturkampyje ABCD priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios, todėl keturkampis ABCD yra lygiagretainis.
Lygiagrečios ženklas 2
Jei keturkampyje priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai šis keturkampis bus lygiagretainis.
Įrodymas:
Apsvarstykite keturkampį ABCD. Nubrėžkime jame įstrižainę BD. Jis padalins šį keturkampį į du vienodus trikampius: ABD ir CBD.
Šie du trikampiai bus lygūs vienas kitam iš trijų kraštinių (BD yra bendroji pusė, AB = CD ir BC = AD pagal sąlygą). Iš to galime daryti išvadą, kad kampas1 = kampas2. Iš to seka, kad AB lygiagreti CD. O kadangi AB = CD ir AB yra lygiagreti CD, tai pagal pirmąjį lygiagretainio kriterijų keturkampis ABCD bus lygiagretainis.
3 lygiagretainio ženklas
Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir yra perkirstos per susikirtimo tašką, tai šis keturkampis bus lygiagretainis.
Apsvarstykite keturkampį ABCD. Nubraižykime jame dvi įstrižaines AC ir BD, kurios susikirs taške O ir yra padalintos per šį tašką.
Trikampiai AOB ir COD bus lygūs vienas kitam pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą. (AO = OC, BO = OD pagal sąlygą, kampas AOB = kampas COD kaip vertikalūs kampai.) Todėl AB = CD ir kampas1 = kampas 2. Iš 1 ir 2 kampų lygybės gauname, kad AB yra lygiagreti CD. Tada turime, kad keturkampyje ABCD kraštinės AB lygios CD ir lygiagrečios, o pagal pirmąjį lygiagretainio kriterijų keturkampis ABCD bus lygiagretainis.
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Lygiagretainio apibrėžimas ir pagrindinės savybės
Pradėkime primindami para-ral-le-lo-gram apibrėžimą.
Apibrėžimas. Lygiagretainis- what-you-rekh-gon-nick, kuris turi kas dvi pro-ti-false puses, kurios yra lygiagrečios (žr. .1 pav.).
Ryžiai. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Prisiminkime pagrindinės pa-ral-le-lo-gram-ma savybės:
Kad galėtumėte naudoti visas šias savybes, turite būti tikri, kad fi-gu-ra, apie ką nors -roy, apie kurį mes kalbame, - par-ral-le-lo-gram. Norėdami tai padaryti, turite žinoti tokius faktus kaip pa-ral-le-lo-gram-ma požymius. Šiais metais žiūrime į pirmuosius du iš jų.
2. Pirmasis lygiagretainio ženklas
Teorema. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas. Jei keturių anglių dvi priešingos pusės yra lygios ir lygiagrečios, tada ši keturių anglių slapyvardis - lygiagretainis. 
.
Ryžiai. 2. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma požymis
Įrodymas. Įdėjome dia-go-nalą į keturių-reh-coal-ni-ke (žr. 2 pav.), ji ją padalino į dvi tri-anglies-ni-ka. Parašykime, ką žinome apie šiuos trikampius:
pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą.
Iš nurodytų trikampių lygybės matyti, kad tiesių linijų lygiagretumo ženklu kertant ch-nii jų s-ku-shchi. Turime tai:
Do-ka-za-but.
3. Antrasis lygiagretainio ženklas
Teorema. Antrasis ženklas yra pa-ral-le-lo-gram-ma. Jei keturių kampų kas dvi pro-ti-false pusės yra lygios, tada šis keturių kampų yra lygiagretainis. 
.
Ryžiai. 3. Antrasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas
Įrodymas. Į keturių kampų kampą įdedame dia-go-nalą (žr. 3 pav.), ji padalija į du trikampius. Remdamiesi teorijos forma, užrašykite, ką žinome apie šiuos trikampius:
pagal trečiąjį trikampių lygybės ženklą.
Iš trikampių lygybės išplaukia, kad pagal lygiagrečių linijų ženklą, kai jos susikerta s-ku-shchey. Valgome:
par-ral-le-lo-gram pagal apibrėžimą. Q.E.D.
Do-ka-za-but.
4. Pirmojo lygiagretainio požymio panaudojimo pavyzdys
Pažvelkime į pa-ral-le-lo-gram ženklų naudojimo pavyzdį.
Pavyzdys 1. Iškilime nėra anglių Raskite: a) anglių kampus; b) šimtaro šulinys.
Sprendimas. Iliustracija Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram pagal pirmąjį pa-ral-le-lo-gram-ma ženklą.
A. 
pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie pro-ti-klaidingus kampus, pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie kampų sumą, kai gulima į vieną pusę.
B. 
pagal melagingų pusių lygybės prigimtį.
re-tiy ženklas pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Apžvalga: lygiagretės apibrėžimas ir savybės
Prisiminkime tai lygiagretainis- tai keturių kvadratų kampas, turintis pro-ti-false puses poromis. Tai yra, jei - par-ral-le-lo-gram, tada 
(žr. 1 pav.).
Lygiagreta-le-lo-grama turi daugybę savybių: priešingi kampai yra lygūs (), priešingi kampai - mes lygūs ( 
). Be to, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma re-se-che-niya taške yra padalintas pagal kampų sumą, at-le- spaudžiant bet kurią šoninis pa-ral-le-lo-gram-ma, lygus ir kt.
Tačiau norint pasinaudoti visomis šiomis savybėmis, būtina būti visiškai tikram, kad ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Šiuo tikslu yra par-ral-le-lo-gram ženklai: tai yra tie faktai, iš kurių galima padaryti vienareikšmę išvadą, kad what-you-rekh-coal-nickas yra par-ral- le-lo-gram-mama. Ankstesnėje pamokoje jau žiūrėjome į du ženklus. Dabar žiūrime trečią kartą.
6. Trečiasis lygiagretainio ženklas ir jo įrodymas
Jei keturių anglių taške yra dia-go-on re-se-che-niya taške jie daro-by-lams, tada duota keturių jums Roh-coal-nicck yra pa-ral-le -lo-gram-mama.
Duota:
What-you-re-anglis-nick; ; .
Įrodykite:
Lygiagretainis.
Įrodymas:
Norint įrodyti šį faktą, būtina parodyti šalių paraleliškumą par-le-lo-gramai. O tiesių lygiagretumas dažniausiai pasireiškia per vidinių kryžminių kampų lygybę šiais stačiais kampais. Taigi, čia yra kitas būdas gauti trečiąjį par-ral -le-lo-gram-ma ženklą: per trikampių lygybę 
.
Pažiūrėkime, kaip šie trikampiai yra lygūs. Iš tiesų, iš sąlygos išplaukia: . Be to, kadangi kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Tai yra:
(pirmasis lygybės ženklastri-coal-ni-cov- išilgai dviejų pusių ir kampe tarp jų).
Iš trikampių lygybės: (kadangi vidiniai skersiniai kampai ties šiomis tiesėmis ir skyrikliais yra lygūs). Be to, iš trikampių lygybės išplaukia, kad . Tai reiškia, kad mes suprantame, kad keturiuose angliuose du šimtai yra lygūs ir lygiagrečiai. Pagal pirmąjį ženklą pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
7. Trečiojo lygiagretainio ženklo uždavinio pavyzdys ir apibendrinimas
Pažvelkime į trečiojo pa-ral-le-lo-gram ženklo naudojimo pavyzdį.
1 pavyzdys
Duota:
- lygiagretainis; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (žr. 2 pav.).
Įrodykite:- pa-ral-le-lo-gram.
Įrodymas:
Tai reiškia, kad keturių anglies-no-dia-go-on-ar tuo re-se-che-niya taško jie daro-by-lam. Pagal trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą iš to išplaukia, kad - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
Jei analizuosite trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą, galite pastebėti, kad šis ženklas yra su-vet- turi par-ral-le-lo-gram savybę. Tai yra faktas, kad dia-go-na-li de-la-xia nėra tik par-le-lo-gram savybė, o jos skiriamoji, kha-rak-te-ri-sti-che- savybė, pagal kurią ją galima atskirti nuo aibės what-you-rekh-coal-ni-cov.
ŠALTINIS
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
