Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika, palyginti su aritmetika. Geometrinė progresija yra skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas padauginus ankstesnį iš pastovus skaičius. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina augimo ar progresavimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti
Už užbaigti užduotį geometrinės progresijos, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Už teigiama vertė vardiklio progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir jei monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienam praktikoje neatsižvelgiama, nes turime seką identiški skaičiai, o jų sumavimas praktiškai neįdomus
Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę
Apsvarstykime sprendimus klasikinės problemosį geometrinę progresiją. Pradėkime nuo paprasčiausių, kuriuos reikia suprasti.
1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.
Sprendimas: Parašykime problemos sąlygą formoje
Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę
Remdamiesi juo, randame nežinomus progresavimo terminus
Kaip matote, apskaičiuoti geometrinės progresijos sąlygas nėra sunku. Pati progresija atrodys taip
2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.
Sprendimas: Geomitrinės progresijos vardiklį apskaičiuojame pagal jo apibrėžimą
Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę
Tai išsprendžia problemą.
3 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama dviem jos nariais 
. Raskite dešimtąjį progresijos narį.
Sprendimas:
Užsirašykime nustatytas vertes per formules
Pagal taisykles reikėtų rasti vardiklį ir tada ieškoti norimą vertę, bet jau dešimtą kadenciją turime
Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos terminą padalinkite iš kito ir gausime
Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą
Taigi, už panašias užduotis naudojant paprastas transformacijas į greitas būdas galite rasti tinkamą sprendimą.
4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis
Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.
Sprendimas:
Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma
Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios
Raskime pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties
Apskaičiuokime šiuos penkis terminus, kad surastume geometrinės progresijos sumą
Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.
Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas
Geometrinė progresija.
Be aritmetinės progresijos problemų, matematikos stojamuosiuose egzaminuose taip pat dažnai pasitaiko problemų, susijusių su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia išmanyti geometrinių progresijų savybes ir turėti gerus jo naudojimo įgūdžius.
Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Čia taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai., pasiskolintas iš matematikos stojamųjų egzaminų užduočių.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime labiausiai svarbias formules ir pareiškimai, susijusi su šia sąvoka.
Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Geometrinei progresijaiformulės galioja
, (1)
Kur. Formulė (1) vadinama formule generalinis narys geometrinė progresija, o (2) formulė parodo pagrindinę geometrinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir geometriniu vidurkiu.
Pastaba, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.
Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:
, (3)
Norėdami apskaičiuoti sumą pirma geometrinės progresijos nariaitaikoma formulė
Jei žymėsime , tai
Kur. Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.
Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė
. (7)
Pavyzdžiui, naudodami (7) formulę galime parodyti, Ką
Kur. Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).
Teorema. Jei, tada
Įrodymas. Jei, tada
Teorema įrodyta.
Pereikime prie problemų sprendimo pavyzdžių tema „Geometrinė progresija“.
1 pavyzdys. Atsižvelgiant: , ir . Rasti.
Sprendimas. Jei pritaikysime (5) formulę, tai
Atsakymas:.
2 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.
Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą
Jeigu antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia, kad . Panagrinėkime du atvejus.
1. Jei tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.
2. Jei , tada .
3 pavyzdys. Tegul , ir . Rasti.
Sprendimas. Iš (2) formulės išplaukia, kad arba . Nuo tada arba .
Pagal būklę. Tačiau todėl. Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą
Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .
Kadangi lygtis turi unikalią tinkamą šaknį. Šiuo atveju tai išplaukia iš pirmosios sistemos lygties.
Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.
Atsakymas:.
4 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.
Sprendimas. Nuo tada.
Nuo tada arba
Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .
Tačiau pagal sąlygą, todėl.
5 pavyzdys. Yra žinoma, kad. Rasti.
Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes
Nuo tada arba . Nes tada.
Atsakymas:.
6 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.
Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname
Nuo tada. Nuo , ir tada .
7 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.
Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti
Todėl mes turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .
Atsakymas:.
8 pavyzdys. Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei
Ir .
Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygų gauname lygčių sistemą
Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname
Arba .
Atsakymas:.
9 pavyzdys. Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.
Sprendimas. Tegul , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .
Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .
Patikrinkime: jei, tada , ir ;
jei , tada ir . Pirmuoju atveju turime
ir , o antrajame – ir .
Atsakymas: ,.10 pavyzdys.
, (11)
Išspręskite lygtį
kur ir. Sprendimas. lygtis (11) yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , atsižvelgiant į: ir .
Iš (7) formulės išplaukia, Ką . Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . Tinkama šaknis kvadratinė lygtis yra
Atsakymas:.
11 pavyzdys. P nuoseklumas teigiami skaičiai sudaro aritmetinę progresiją, A – geometrinė progresija, ir čia. Rasti.
Sprendimas. Nes aritmetinė seka, Tai (pagrindinė aritmetinės progresijos savybė). Kadangi, tada arba . Iš to išplaukia, kad geometrinė progresija turi formą. Pagal (2) formulę, tada mes tai užrašome.
Nuo ir tada . Šiuo atveju išraiškaįgauna formą arba . Pagal būklę, taigi iš lygties.gauname vienintelis sprendimas svarstoma problema, t.y. .
Atsakymas:.
12 pavyzdys. Apskaičiuokite sumą
. (12)
Sprendimas. Abi lygybės (12) puses padauginkite iš 5 ir gaukite
Jei iš gautos išraiškos atimsime (12)., Tai
arba .
Norėdami apskaičiuoti, reikšmes pakeičiame formule (7) ir gauname . Nuo tada.
Atsakymas:.
Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai bus naudingi pareiškėjams ruošiantis stojamieji egzaminai. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija, galima naudoti mokymo priemonės iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.
1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika gimnazistams: papildomi skyriai mokyklos mokymo programa. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Pilnas kursas elementarioji matematika užduotyse ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Vis dar turite klausimų?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Aritmetinė ir geometrinė progresija
Teorinė informacija
Teorinė informacija
Aritmetinė progresija |
Geometrinė progresija |
|
Apibrėžimas |
Aritmetinė progresija a n yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus d (d- progresavimo skirtumas) |
Geometrinė progresija b n yra ne nulis skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis) |
Pasikartojimo formulė |
Bet kokiam natūraliam n |
Bet kokiam natūraliam n |
Formulės n-asis terminas |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Būdinga savybė |  |
|
| Pirmųjų n narių suma |  |
 |
Užduočių pavyzdžiai su komentarais
1 užduotis
Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2
Pagal n-ojo nario formulę:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Pagal sąlygą:
a 1= -6, tada a 22= -6 + 21 d.
Būtina rasti progresavimo skirtumą:
d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Atsakymas : a 22 = -48.
2 užduotis
Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...
1-as metodas (naudojant n termino formulę)
Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Nes b 1 = -3,
2-as metodas (naudojant pasikartojančią formulę)
Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Atsakymas : b 5 = -48.
3 užduotis
Aritmetine progresija ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.
Aritmetinei progresijai būdinga savybė atrodo kaip 
.
Iš to išplaukia:
.
Pakeiskime duomenis į formulę:
Atsakymas: 95.
4 užduotis
Aritmetine progresija ( a n ) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.
Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:
.
Kuris yra šiuo atveju patogiau naudoti?
Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galite iš karto rasti ir a 1, Ir a 16 neradus d. Todėl naudosime pirmąją formulę.
Atsakymas: 368.
5 užduotis
Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.
Pagal n-ojo nario formulę:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:
d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Atsakymas : a 22 = -48.
6 užduotis
Parašyti keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:
Raskite progresijos, pažymėtos x, terminą.
Spręsdami naudosime n-ojo nario formulę b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresavimo terminas. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš pateiktų progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galime imti ir padalyti iš. Gauname, kad q = 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį duotosios geometrinės progresijos narį.
Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:
.
Atsakymas:.
7 užduotis
Iš aritmetinės progresijos, pateikta pagal formulę n-tąjį terminą pasirinkite tą, kurio sąlyga tenkinama a 27 > 9:
Nes duota sąlyga turi būti įvykdytas 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:
.
Atsakymas: 4.
8 užduotis
Aritmetine progresija a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausia vertė n, kuriai galioja nelygybė a n > -6.
>>Matematika: geometrinė progresija
Skaitytojo patogumui ši pastraipa sudaryta tiksliai pagal tą patį planą, kurio laikėmės ankstesnėje pastraipoje.
1. Pagrindinės sąvokos.
Apibrėžimas. Skaičių seka, kurios visi nariai skiriasi nuo 0 ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus jį iš to paties skaičiaus, vadinama geometrine progresija. Šiuo atveju skaičius 5 vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Taigi, geometrinė progresija yra skaitinė seka (b n), nuolat apibrėžiama ryšiais
Ar įmanoma, žiūrint skaičių seka, nustatykite, ar tai geometrinė progresija? Gali. Jei esate įsitikinę, kad bet kurio sekos nario ir ankstesnio nario santykis yra pastovus, tada turite geometrinę progresiją.
1 pavyzdys.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
2 pavyzdys.
Tai geometrinė progresija, kuri turi
3 pavyzdys.
Tai geometrinė progresija, kuri turi
4 pavyzdys.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 - 8, q = 1.
Atkreipkite dėmesį, kad ši seka taip pat yra aritmetinė progresija (žr. 3 pavyzdį iš § 15).
5 pavyzdys.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 = 2, q = -1.
Akivaizdu, kad geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q > 1 (žr. 1 pavyzdį), ir mažėjanti seka, jei b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Norint nurodyti, kad seka (b n) yra geometrinė progresija, kartais patogu naudoti šį žymėjimą:
Piktograma pakeičia frazę „geometrinė progresija“.
Atkreipkime dėmesį į vieną keistą ir kartu gana akivaizdžią geometrinės progresijos savybę:
Jei seka 
yra geometrinė progresija, tada kvadratų seka, t.y. 
yra geometrinė progresija.
Antroje geometrinėje progresijoje pirmasis narys yra lygus q 2 ir jam lygus.
Jei geometrinėje progresijoje atmesime visus terminus po b n , gausime baigtinę geometrinę progresiją 
Tolesnėse šios pastraipos dalyse mes apsvarstysime daugiausia svarbios savybės geometrinė progresija.
2. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.
Apsvarstykite geometrinę progresiją 
vardiklis q. Turime:
Nesunku atspėti, kad bet kurio skaičiaus n lygybė yra teisinga
Tai yra geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.
komentuoti.
Jei skaitote svarbi pastaba iš ankstesnės pastraipos ir ją supraskite, tada pabandykite įrodyti (1) formulę naudodami metodą matematinė indukcija taip pat, kaip buvo padaryta aritmetinės progresijos n-ojo nario formulei.
Perrašykime geometrinės progresijos n-ojo nario formulę
ir įveskite žymėjimą: gauname y = mq 2 arba, tiksliau, 
Argumentas x yra eksponente, todėl ši funkcija vadinama eksponentine funkcija. Tai reiškia, kad geometrinė progresija gali būti laikoma eksponentine funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N. Fig. 96a parodytas funkcijos grafikas Fig. 966 - funkcijų grafikas 
Abiem atvejais turime izoliuoti taškai(su abscisėmis x = 1, x = 2, x = 3 ir t. t.) guli ant tam tikros kreivės (abiejuose paveiksluose pavaizduota ta pati kreivė, tik skirtingai išsidėsčiusi ir pavaizduota skirtingomis mastelėmis). Ši kreivė vadinama eksponentine kreive. Skaityti daugiau apie eksponentinė funkcija o jo grafika bus aptariama 11 klasės algebros kurse.
Grįžkime prie ankstesnės pastraipos 1–5 pavyzdžių.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Tai geometrinė progresija, kuriai b 1 = 1, q = 3. Sukurkime n-ojo nario formulę 
2) 
Tai geometrinė progresija, kuriai sukurkime n-ojo nario formulę 
Tai geometrinė progresija, kuri turi 
Sukurkime n-ojo nario formulę 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Tai geometrinė progresija, kuriai b 1 = 8, q = 1. Sukurkime n-ojo nario formulę 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 = 2, q = -1. Sukurkime n-ojo nario formulę 
6 pavyzdys.
Pateikta geometrinė progresija
Visais atvejais sprendimas grindžiamas geometrinės progresijos n-ojo nario formule
a) Įdėję n = 6 į geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname
b) Mes turime
Kadangi 512 = 2 9, gauname n - 1 = 9, n = 10.
d) Mes turime
7 pavyzdys.
Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 48, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma taip pat yra 48. Raskite šios progresijos dvyliktą narį.
Pirmas etapas. Matematinio modelio sudarymas.
Problemos sąlygas galima trumpai parašyti taip:
Naudodami geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname:
Tada antrąją uždavinio sąlygą (b 7 - b 5 = 48) galima parašyti kaip
Trečiąją uždavinio sąlygą (b 5 + b 6 = 48) galima parašyti kaip
Dėl to gauname dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais b 1 ir q:
kuri kartu su aukščiau parašyta 1) sąlyga yra matematinis modelis užduotis.
Antrasis etapas.
Darbas su sudarytu modeliu. Sulyginę abiejų sistemos lygčių kairiąsias puses, gauname:
(abi lygties puses padalijome iš nulinės išraiškos b 1 q 4).
Iš lygties q 2 - q - 2 = 0 randame q 1 = 2, q 2 = -1. Pakeitę reikšmę q = 2 į antrąją sistemos lygtį, gauname 
Pakeitę reikšmę q = -1 į antrąją sistemos lygtį, gauname b 1 1 0 = 48; ši lygtis neturi sprendinių.
Taigi, b 1 =1, q = 2 – ši pora yra sudarytos lygčių sistemos sprendimas.
Dabar galime užrašyti geometrinę progresiją, apie kurią mes kalbame apie uždavinyje: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Trečias etapas.
Atsakymas į problemos klausimą. Reikia apskaičiuoti b 12. Turime
Atsakymas: b 12 = 2048.
3. Baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulė.
Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija
S n pažymėkime jo narių sumą, t.y.
Išveskime formulę, kaip rasti šią sumą.
Pradėkime nuo pat pradžių paprastas atvejis, kai q = 1. Tada geometrinė progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn susideda iš n skaičių, lygių b 1 , t.y. progresija atrodo taip: b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Šių skaičių suma yra nb 1.
Tegu dabar q = 1 Norėdami rasti S n, taikome dirbtinę techniką: atliekame kai kurias išraiškos S n q transformacijas. Turime:
Atlikdami transformacijas, pirmiausia naudojome geometrinės progresijos apibrėžimą, pagal kurį (žr. trečią samprotavimo eilutę); antra, jie pridėjo ir atėmė, todėl posakio reikšmė, žinoma, nepasikeitė (žr. ketvirtą samprotavimo eilutę); trečia, mes panaudojome geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:
Iš (1) formulės randame:
Tai yra geometrinės progresijos n narių sumos formulė (tuo atveju, kai q = 1).
8 pavyzdys.
Duota baigtinė geometrinė progresija
a) progresijos sąlygų suma; b) jos narių kvadratų suma.
b) Aukščiau (žr. p. 132) jau pažymėjome, kad jei visi geometrinės progresijos nariai yra kvadratiniai, tai gauname geometrinę progresiją su pirmuoju nariu b 2 ir vardikliu q 2. Tada šešių naujos progresijos narių suma bus apskaičiuojama pagal
9 pavyzdys.
Raskite 8-ąjį geometrinės progresijos narį, kuriam
Tiesą sakant, mes įrodėme šią teoremą.
Skaičių seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąją teoremą (ir baigtinės sekos atveju paskutinę), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai ( būdinga geometrinės progresijos savybė).
Dabar panagrinėkime begalinės geometrinės progresijos sumavimo klausimą. Duotosios begalinės progresijos dalinę sumą vadinkime jos pirmųjų narių suma. Dalinę sumą pažymėkime simboliu
Kiekvienam begaliniam progresui
galima sudaryti (taip pat begalinę) jos dalinių sumų seką
Tegul seka su neribotu padidėjimu turi ribą
Šiuo atveju skaičius S, ty progresijos dalinių sumų riba, vadinamas begalinės progresijos suma. Įrodysime, kad begalinė mažėjanti geometrinė progresija visada turi sumą, ir išvesime šios sumos formulę (taip pat galime parodyti, kad kai begalinis progresas neturi sumos, neegzistuoja).
Užrašykime išraišką dalinė suma kaip progresijos pagal (91.1) formulę narių sumą ir laikysime dalinės sumos ribą ties
Iš 89 teoremos žinoma, kad mažėjančiai progresijai; todėl taikydami skirtumo ribos teoremą randame
(Taisyklė taip pat naudojama čia: pastovus veiksnys išimamas už ribos ženklo). Egzistavimas įrodytas ir tuo pačiu gaunama be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulė:
Lygybę (92.1) galima parašyti ir formoje
Čia gali atrodyti paradoksalu, kad suma begalinis skaičius terminams priskiriama labai apibrėžta galutinė reikšmė.
Šiai situacijai paaiškinti galima pateikti aiškią iliustraciją. Apsvarstykite kvadratą su šonine lygus vienam(72 pav.). Padalinkime šią kvadratą horizontali linijaį dvi lygias dalis ir viršutinė dalis Užtepkite jį ant apatinio, kad susidarytų stačiakampis su 2 ir . Po to dešinė pusėŠį stačiakampį vėl padalinsime per pusę horizontalia linija, o viršutinę dalį pritvirtinsime prie apatinės (kaip parodyta 72 pav.). Tęsdami šį procesą, pradinį kvadratą, kurio plotas lygus 1, nuolat transformuojame į vienodo dydžio figūros(įgauna laiptų formą su retinimo laipteliais).
Be galo tęsiant šį procesą, visas kvadrato plotas suskaidomas į begalinį skaičių narių - stačiakampių plotai, kurių pagrindai lygūs 1, o stačiakampių plotai tiksliai sudaro begalinę mažėjančią progresiją, jos sumą
y., kaip ir galima tikėtis, lygus aikštės plotui.
Pavyzdys. Raskite šių begalinių progresijų sumas:
Sprendimas, a) Pastebime, kad ši progresija Todėl naudodami (92.2) formulę randame
b) Čia tai reiškia, kad naudojant tą pačią formulę (92.2) turime
c) Mes nustatome, kad ši progresija neturi sumos.
5 pastraipoje parodėme be galo mažėjančios progresijos terminų sumos formulės taikymą periodinio inversijai. dešimtainisį bendrą trupmeną.
Pratimai
1. Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra 3/5, o pirmųjų keturių jos narių suma yra 13/27. Raskite pirmąjį progresijos narį ir vardiklį.
2. Raskite keturis skaičius, kurie sudaro kintamą geometrinę progresiją, kurioje antrasis narys yra mažesnis už pirmąjį 35, o trečiasis yra didesnis už ketvirtą 560.
3. Parodykite, kad jei seka
sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją, tada seką
bet kuriai jis sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Ar šis teiginys pasitvirtins, kai
Išveskite geometrinės progresijos narių sandaugos formulę.
