Norint sumažinti frakcijas iki daugiau, būtina sumažinti frakcijas paprastas vaizdas, pavyzdžiui, atsakyme, gautame sprendžiant išraišką.
Mažinančios trupmenos, apibrėžimas ir formulė.
Kas yra frakcijų mažinimas? Ką reiškia sumažinti dalį?
Apibrėžimas:
Mažinančios frakcijos- tai trupmenos skaitiklio ir vardiklio padalijimas į tą patį dalyką teigiamas skaičius nelygu nuliui ir vienetui. Dėl sumažinimo gaunama trupmena su mažesniu skaitikliu ir vardikliu, lygi ankstesnei trupmenai pagal.
Frakcijos mažinimo formulė pagrindinis turtas racionalūs skaičiai.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Sumažinti trupmeną \(\frac(9)(15)\)
Sprendimas:
Mes galime išplėsti trupmeną į pagrindiniai veiksniai ir sumažinti bendrus veiksnius.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(raudona) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Atsakymas: po sumažinimo gavome trupmeną \(\frac(3)(5)\). Pagal pagrindinę racionaliųjų skaičių savybę pradinė ir gautosios trupmenos yra lygios.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kaip sumažinti frakcijas? Dalies redukavimas iki neredukuojamos formos.
Kad gautume neredukuojamą trupmeną, mums reikia rasti didžiausią bendras daliklis(NOD) trupmenos skaitikliui ir vardikliui.
Yra keletas būdų, kaip rasti GCD. Pavyzdyje mes naudosime skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.
Gaukite neredukuojamąją trupmeną \(\frac(48)(136)\).
Sprendimas:
Raskime GCD(48, 136). Surašykime skaičius 48 ir 136 į pirminius koeficientus.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6
' \times 17)=\frac(\spalva(raudona) (6) \kartai 2 \kartai 3)(\spalva(raudona) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Trupmenos sumažinimo į neredukuojamą formą taisyklė.
- Turite rasti didžiausią bendrą skaitiklio ir vardiklio daliklį.
- Skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš didžiausio bendro daliklio, kad padalijus gautumėte nesumažinamą trupmeną.
Pavyzdys:
Sumažinkite trupmeną \(\frac(152)(168)\).
Sprendimas:
Raskime GCD(152, 168). Surašykime skaičius 152 ir 168 į pirminius koeficientus.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\spalva(raudona) (6) \kartų 19)(\spalva(raudona) (6) \kartų 21)=\frac(19)(21)\)
Atsakymas: \(\frac(19)(21)\) neredukuojama trupmena.
Sumažinti netinkamas trupmenas.
Kaip sumažinti netinkamą trupmeną?
Trupmenų mažinimo taisyklės yra vienodos tinkamoms ir netinkamoms trupmenoms.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Sumažinkite netinkamą trupmeną \(\frac(44)(32)\).
Sprendimas:
Surašykime skaitiklį ir vardiklį į paprastus veiksnius. Ir tada sumažinsime bendrus veiksnius.
\(\frac(44)(32)=\frac(\spalva(raudona) (2 \kartai 2 ) \kartai 11)(\spalva(raudona) (2 \kartai 2 ) \kartai 2 \kartai 2 \kartai 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Sumaišytų frakcijų mažinimas.
Mišrioms trupmenoms taikomos tos pačios taisyklės kaip ir paprastosioms trupmenoms. Vienintelis skirtumas yra tas, kad mes galime nelieskite visos dalies, o sumažinkite trupmeninę dalį arba Paverskite mišrią trupmeną į netinkamą, sumažinkite ją ir paverskite ją atgal į tinkamą trupmeną.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Atšaukti mišrią trupmeną \(2\frac(30)(45)\).
Sprendimas:
Išspręskime tai dviem būdais:
Pirmas būdas:
Trupmeninę dalį surašykime į paprastus veiksnius, bet visos dalies neliesime.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \kartai \spalva(raudona) (5 \kartai 3))(3 \kartai \spalva(raudona) (5 \kartai 3))=2\ frac(2)(3)\)
Antras būdas:
Pirmiausia konvertuokime jį į netinkamą trupmeną, o tada įrašykime į pirminius veiksnius ir sumažinkime. Paverskime gautą netinkamąją trupmeną į tinkamą trupmeną.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(raudona) (5 \kartai) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color (raudona) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2) (3)=\frac(8) (3)= 2\frac(2)(3)\)
Susiję klausimai:
Ar galite sumažinti trupmenas pridėdami arba atimdami?
Atsakymas: ne, pirmiausia turite pagal taisykles sudėti arba atimti trupmenas, o tik tada jas mažinti. Pažiūrėkime į pavyzdį:
Įvertinkite išraišką \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Sprendimas:
Jie dažnai daro klaidą sutrumpindami tie patys skaičiai Mūsų atveju skaitiklis ir vardiklis turi skaičių 20, tačiau jų negalima sumažinti, kol nebaigsite sudėties ir atimties.
\(\frac(50+\spalva(raudona) (20)-10)(\spalva(raudona) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Kokiais skaičiais galite sumažinti trupmeną?
Atsakymas: trupmeną galite sumažinti didžiausiu bendruoju koeficientu arba bendruoju skaitiklio ir vardiklio dalikliu. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(100)(150)\).
Surašykime skaičius 100 ir 150 į pirminius koeficientus.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Didžiausias bendras daliklis bus skaičius GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Gavome neredukuojamąją trupmeną \(\frac(2)(3)\).
Tačiau ne visada reikia dalyti iš gcd, kad trupmeną būtų galima sumažinti paprastu skaitiklio ir vardiklio dalikliu. Pavyzdžiui, skaičių 100 ir 150 turi bendras daliklis 2. Sumažinkime trupmeną \(\frac(100)(150)\) 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Gavome redukuojamą trupmeną \(\frac(50)(75)\).
Kokias frakcijas galima sumažinti?
Atsakymas: Galite sumažinti trupmenas, kuriose skaitiklis ir vardiklis turi bendrą daliklį. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(4)(8)\). Skaičius 4 ir 8 turi skaičių, iš kurio jie abu dalijasi – skaičių 2. Todėl tokią trupmeną galima sumažinti skaičiumi 2.
Pavyzdys:
Palyginkite dvi trupmenas \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(8)(12)\).
Šios dvi trupmenos yra lygios. Pažvelkime atidžiau į trupmeną \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Iš čia gauname \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dvi trupmenos yra lygios tada ir tik tada, kai viena iš jų gaunama sumažinus kitą trupmeną bendras daugiklis skaitiklis ir vardiklis.
Pavyzdys:
Jei įmanoma, sumažinkite šias trupmenas: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Sprendimas:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\spalva(raudona) (5) \times 13)=\frac (2 \kartai 3 \kartai 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\spalva(raudona) (3 \kartai 3) \kartai 3)(\spalva(raudona) (3 \kartai 3) \kartai 7)=\frak (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) neredukuojama trupmena
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\spalva(raudona) (2 \kartai 5 \kartai 5) \kartai 2)(\spalva (raudona) (2 \kartai 5 \kartai 5) \ kartus 5)=\frac(2)(5)\)
Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas, pirmiausia pažvelkime į pavyzdį.
Sumažinti trupmeną reiškia padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties. Tiek 360, tiek 420 baigiasi skaitmeniu, todėl šią trupmeną galime sumažinti 2. Naujoje trupmenoje 180 ir 210 taip pat dalijasi iš 2, todėl šią trupmeną sumažiname iš 2. Skaičiuose 90 ir 105 suma skaitmenų dalijasi iš 3, todėl abu šie skaičiai dalijasi iš 3, trupmeną sumažiname 3. Naujoje trupmenoje 30 ir 35 baigiasi 0 ir 5, tai reiškia, kad abu skaičiai dalijasi iš 5, todėl sumažiname trupmeną 5. Gauta šešių septintųjų trupmena yra neredukuojama. Tai yra galutinis atsakymas.
Mes galime gauti tą patį atsakymą kitu būdu.
Tiek 360, tiek 420 baigiasi nuliu, o tai reiškia, kad jie dalijasi iš 10. Sumažiname trupmeną iš 10. Naujoje trupmenoje tiek skaitiklis 36, tiek vardiklis 42 dalijami iš 2. Trupmeną sumažiname iš 2. sekanti trupmena, tiek skaitiklis 18, tiek vardiklis 21 dalinami iš 3, vadinasi, trupmeną sumažiname 3. Priėjome prie rezultato – šešios septintos.
Ir dar vienas sprendimas.
Kitą kartą pažvelgsime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Jis pagrįstas jų pagrindine savybe: jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra padalinti iš to paties nenulinio daugianario, tada bus gauta lygi trupmena.
Galite tik sumažinti daugiklius!
Daugiavardžių nariai negali būti trumpinami!
Norint sumažinti algebrinę trupmeną, skaitiklio ir vardiklio daugianariai pirmiausia turi būti koeficientai.
Pažvelkime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra monomijų. Jie atstovauja dirbti(skaičiai, kintamieji ir jų galios), daugikliai galime sumažinti.
Skaičius sumažiname jų didžiausiu bendruoju dalikliu, ty iš didžiausias skaičius, iš kurių kiekvienas iš šių skaičių yra padalintas. 24 ir 36 tai yra 12. Sumažinus iš 24 lieka 2, o iš 36 - 3.
Laipsniai sumažinami laipsniu c mažiausias tarifas. Sumažinti trupmeną reiškia padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties daliklio ir atimti rodiklius.
a² ir a⁷ sumažinami iki a². Šiuo atveju a² skaitiklyje lieka vienas (1 rašome tik tuo atveju, kai po redukavimo nebelieka kitų faktorių. Iš 24 lieka 2, todėl iš a² likęs 1 nerašome). Iš a⁷ po sumažinimo lieka a⁵.
b ir b redukuojami b; gaunami vienetai nerašomi.
c³º ir c⁵ sutrumpinami iki c⁵. Iš c³º tai, kas lieka, yra c²⁵, iš c⁵ yra vienas (mes to nerašome). Taigi,
Šios algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Negalite atšaukti daugianario terminų! (negalite sumažinti, pavyzdžiui, 8x² ir 2x!). Norėdami sumažinti šią dalį, jums reikia. Skaitiklis turi bendrą koeficientą 4x. Išimkime jį iš skliaustų:
Tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi tą patį koeficientą (2x-3). Šiuo koeficientu sumažiname trupmeną. Skaitiklyje gavome 4x, vardiklyje - 1. Už 1 savybę algebrinės trupmenos, trupmena yra 4x.
Galite tik sumažinti daugiklius (sumažinti duota trupmena 25x² tai neįmanoma!). Todėl trupmenos skaitiklio ir vardiklio polinomai turi būti koeficientai.
Skaitiklyje - tobulas kvadratas sumos, vardiklis yra kvadratų skirtumas. Išskaidę naudojant sutrumpintas daugybos formules, gauname:
Sumažiname trupmeną (5x+1) (kad tai padarytumėte, skaitiklyje du išbraukite kaip eksponentą, palikdami (5x+1)² (5x+1)):
Skaitiklis turi bendrą koeficientą 2, išimkime jį iš skliaustų. Vardiklis yra kubelių skirtumo formulė:
Dėl išplėtimo skaitiklis ir vardiklis gavo tą patį koeficientą (9+3a+a²). Juo sumažiname trupmeną:
Dauginamas skaitiklyje susideda iš 4 narių. pirmąjį terminą su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju ir pašalinkite bendrą koeficientą x² iš pirmųjų skliaustų. Vardiklį išskaidome naudodami kubų sumos formulę:
Skaitiklyje išimkime bendrą koeficientą (x+2) iš skliaustų:
Sumažinkite trupmeną (x+2):
Taigi, mes jau žinome, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti ir padalyti iš to paties skaičiaus, trupmena nepasikeis. Apsvarstykite tris būdus:
Prieikite prie vieno.
Norėdami sumažinti, padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš bendro daliklio. Pažiūrėkime į pavyzdžius:
Sutrumpinkime:
Pateiktuose pavyzdžiuose iš karto matome, kokius daliklius imti redukuoti. Procesas paprastas – einame per 2,3,4,5 ir pan. Daugumoje mokyklinių kursų pavyzdžių to visiškai pakanka. Bet jei tai trupmena:
Čia daliklių parinkimo procesas gali užtrukti ilgai;). Žinoma, tokie pavyzdžiai nepatenka į mokyklos programą, bet reikia mokėti su jais susidoroti. Žemiau apžvelgsime, kaip tai daroma. Kol kas grįžkime prie etatų mažinimo proceso.
Kaip aptarta aukščiau, norėdami sumažinti trupmeną, padalinome iš bendro (-ių) daliklio (-ų), kurį (-ius) nustatėme. Viskas teisinga! Tereikia pridėti skaičių dalijimosi ženklus:
- jei skaičius lyginis, tada jis dalijasi iš 2.
- jei skaičius iš paskutinių dviejų skaitmenų dalijasi iš 4, tada pats skaičius dalijasi iš 4.
— jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai pats skaičius dalijasi iš 3. Pavyzdžiui, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvylika dalijasi iš 3, taigi 123031 dalijasi iš 3.
- jei skaičius baigiasi 5 arba 0, tada skaičius dalijasi iš 5.
— jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai pats skaičius dalijasi iš 9. Pavyzdžiui, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Aštuoniolika dalijasi iš 9, o tai reiškia, kad 623032 dalijasi iš 9.
Antras požiūris.
Trumpai tariant, visas veiksmas yra susijęs su skaitiklio ir vardiklio faktorinavimu, o tada skaitiklio ir vardiklio lygių faktorių sumažinimu (šis metodas yra pirmojo metodo pasekmė):
Vizualiai, siekiant išvengti painiavos ir klaidų, lygiaverčiai veiksniai tiesiog nubraukiami. Klausimas – kaip apskaičiuoti skaičių? Visus daliklius reikia nustatyti ieškant. Tai atskira tema, nesudėtinga, informacijos ieškokite vadovėlyje ar internete. Su faktoringo skaičiais, kurie yra mokyklos trupmenose, nesusidursite su didelėmis problemomis.
Formaliai mažinimo principas gali būti parašytas taip:
Prieiti prie trijų.
Čia įdomiausia pažengusiems ir norintiems jais tapti. Sumažinkime trupmeną 143/273. Išbandykite patys! Na, kaip tai greitai atsitiko? Dabar žiūrėk!
Apverčiame (pakeičiame skaitiklio ir vardiklio vietas). Gautą trupmeną padaliname kampu ir paverčiame mišriu skaičiumi, tai yra, pasirenkame visą dalį:
Jau lengviau. Matome, kad skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti 13:
Dabar nepamirškite dar kartą apversti trupmeną, užrašykite visą grandinę:
Patikrinta – užtrunka mažiau laiko nei daliklių paieška ir tikrinimas. Grįžkime prie mūsų dviejų pavyzdžių:
Pirma. Padalinkite kampu (ne skaičiuoklėje), gauname:
Žinoma, ši dalis yra paprastesnė, tačiau sumažinimas vėl yra problema. Dabar atskirai analizuojame trupmeną 1273/1463 ir apverčiame:
Čia lengviau. Galime svarstyti daliklį, pavyzdžiui, 19. Likusieji netinka, aišku: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurray! Užsirašykime:
Kitas pavyzdys. Sutrumpinkime 88179/2717.
Padalinkite, gausime:
Atskirai analizuojame frakciją 1235/2717 ir apverčiame:
Galime apsvarstyti daliklį, pvz., 13 (iki 13 netinka):
Skaitiklis 247:13=19 Vardiklis 1235:13=95
*Proceso metu pamatėme dar vieną daliklį, lygų 19. Pasirodo, kad:
Dabar užrašome pradinį numerį:
Ir nesvarbu, kas trupmenoje yra didesnis - skaitiklis ar vardiklis, jei jis yra vardiklis, tada mes jį apverčiame ir elgiamės taip, kaip aprašyta. Tokiu būdu galime sumažinti bet kokią trupmeną, trečiąjį metodą galima pavadinti universaliu.
Žinoma, du aukščiau aptarti pavyzdžiai nėra paprasti pavyzdžiai. Išbandykime šią technologiją su „paprastomis“ trupmenomis, kurias jau svarstėme:
Du ketvirčiai.
Septyniasdešimt du šešiasdešimtieji. Skaitiklis yra didesnis už vardiklį, jo nereikia keisti:
Žinoma, tokiems buvo pritaikytas trečiasis požiūris paprasti pavyzdžiai tiesiog kaip alternatyva. Metodas, kaip jau minėta, yra universalus, tačiau nėra patogus ir tinkamas visoms frakcijoms, ypač paprastoms.
Frakcijų įvairovė didžiulė. Svarbu suprasti principus. Tiesiog nėra griežtos darbo su trupmenomis taisyklės. Pažiūrėjome, sugalvojome, kaip būtų patogiau pasielgti, ir judėjome į priekį. Praktikuojant įgūdžiai ateis ir jūs suskaldysite juos kaip sėklas.
Išvada:
Jei matote bendrą (-ius) skaitiklio ir vardiklio daliklį (-ius), naudokite juos, kad sumažintumėte.
Jei žinote, kaip greitai suskaičiuoti skaičių, tada koeficientuokite skaitiklį ir vardiklį, tada sumažinkite.
Jei negalite nustatyti bendro daliklio, naudokite trečiąjį metodą.
*Norint sumažinti trupmenas, svarbu įsisavinti redukavimo principus, suprasti pagrindinę trupmenos savybę, žinoti sprendimo būdus ir būti itin atidiems atliekant skaičiavimus.
Ir prisimink! Įprasta trupmeną mažinti tol, kol ji sustoja, tai yra mažinti tol, kol yra bendras daliklis.
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.
Jeigu 497 reikia dalinti iš 4, tai dalindami pamatysime, kad 497 iš 4 nesidalija tolygiai, t.y. lieka likusi padalijimo dalis. Tokiais atvejais sakoma, kad baigta padalijimas su likusia dalimi, o sprendimas parašytas taip:
497: 4 = 124 (1 likutis).
Kairėje lygybės pusėje esantys padalijimo komponentai vadinami taip pat, kaip ir dalijant be liekanos: 497 - dividendas, 4 - skirstytuvas. Vadinamas padalijimo rezultatas, kai padalintas su liekana nepilnas privatus. Mūsų atveju tai yra skaičius 124. Ir galiausiai paskutinis komponentas, kurio nėra eilinis padalijimas, - likutis. Tais atvejais, kai likučio nėra, vienas skaičius yra padalintas iš kito be pėdsakų arba visiškai. Manoma, kad su tokiu padalijimu likusi dalis lygus nuliui. Mūsų atveju likusi dalis yra 1.
Likutis visada yra mažesnis už daliklį.
Dalybą galima patikrinti dauginant. Jei, pavyzdžiui, yra lygybė 64: 32 = 2, tada patikrinimą galima atlikti taip: 64 = 32 * 2.
Dažnai tais atvejais, kai dalijama su likusia dalimi, patogu naudoti lygybę
a = b * n + r,
kur a yra dividendas, b yra daliklis, n yra dalinis koeficientas, r yra liekana.
Natūraliųjų skaičių dalinys gali būti parašytas trupmena.
Trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.
Kadangi trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis, mano, kad trupmenos eilutė reiškia padalijimo veiksmą. Kartais dalybas patogu rašyti kaip trupmeną nenaudojant „:“ ženklo.
Natūraliųjų skaičių m ir n dalybos koeficientas gali būti parašytas trupmena \(\frac(m)(n) \), kur skaitiklis m yra dividendas, o vardiklis n yra daliklis:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Šios taisyklės yra teisingos:
Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia padalinti vienetą į n lygių dalių (akcijų) ir paimti m tokių dalių.
Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia skaičių m padalyti iš skaičiaus n.
Norint rasti visumos dalį, reikia skaičių, atitinkantį visumą, padalyti iš vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, skaitiklio.
Norėdami rasti visumą iš jos dalies, turite padalyti šią dalį atitinkantį skaičių iš skaitiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, vardiklio.
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ši savybė vadinama pagrindinė trupmenos savybė.
Paskutinės dvi transformacijos vadinamos sumažinant dalį.
Jei trupmenas reikia pavaizduoti kaip trupmenas su tuo pačiu vardikliu, tada šis veiksmas vadinamas mažinant trupmenas iki bendras vardiklis .
Tinkamos ir netinkamos trupmenos. Mišrūs skaičiai
Jau žinote, kad trupmeną galima gauti padalijus visumą į lygias dalis ir paėmus kelias tokias dalis. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(3)(4)\) reiškia tris ketvirtadalius vieneto. Daugelyje ankstesnės pastraipos uždavinių trupmenos buvo naudojamos visumos dalims pavaizduoti. Sveikas protas siūlo, kad dalis visada būtų mažesnė už visumą, bet kaip tada su trupmenomis, pvz., \(\frac(5)(5)\) arba \(\frac(8)(5)\)? Akivaizdu, kad tai nebėra įrenginio dalis. Tikriausiai todėl vadinamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus netinkamos trupmenos. Likusios trupmenos, t. y. trupmenos, kurių skaitiklis mažiau nei vardiklis, paskambino teisingos trupmenos.
Kaip žinote, bet koks bendroji trupmena, tiek teisingas, tiek neteisingas, gali būti laikomas skaitiklio padalijimo iš vardiklio rezultatu. Todėl matematikoje, skirtingai nei įprasta kalba, terminas „netinkama trupmena“ nereiškia, kad padarėme kažką ne taip, o tik tai, kad šios trupmenos skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.
Jei skaičių sudaro sveikoji dalis ir trupmena, tada trupmenos vadinamos mišriomis.
Pavyzdžiui:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - visa dalis, o \(\frac(2)(3)\) yra trupmeninė dalis.
Jei trupmenos \(\frac(a)(b) \) skaitiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus n, tai norint padalyti šią trupmeną iš n, jos skaitiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jei trupmenos skaitiklis \(\frac(a)(b) \) nesidalija iš natūraliojo skaičiaus n, tada norint padalinti šią trupmeną iš n, jos vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
\(\didelis \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Atkreipkite dėmesį, kad antroji taisyklė taip pat galioja, kai skaitiklis dalijasi iš n. Todėl jį galime naudoti, kai iš pirmo žvilgsnio sunku nustatyti, ar trupmenos skaitiklis dalijasi iš n, ar ne.
Veiksmai su trupmenomis. Sudėjus trupmenas.
Su trupmeniniais skaičiais, kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, galite padaryti aritmetines operacijas. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip pridėti trupmenas. Lengvai pridėkite frakcijas su tie patys vardikliai. Raskime, pavyzdžiui, \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3)(7)\) sumą. Nesunku suprasti, kad \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
Naudojant raides, trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingus vardiklius, tada juos pirmiausia reikia suvesti į bendrą vardiklį. Pavyzdžiui:
\(\didelis \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, komutacinės ir asociatyvinės savybės papildymas.
Sumaišytų frakcijų pridėjimas
Iškviečiami tokie žymėjimai kaip \(2\frac(2)(3)\). mišrios frakcijos. Tokiu atveju vadinamas skaičius 2 visa dalis mišri trupmena, o skaičius \(\frac(2)(3)\) yra jos trupmeninė dalis . Įrašas \(2\frac(2)(3)\) skaitomas taip: „du ir du trečdaliai“.
Padalinę skaičių 8 iš skaičiaus 3, galite gauti du atsakymus: \(\frac(8)(3)\) ir \(2\frac(2)(3)\). Jie išreiškia tą patį trupmeninį skaičių, ty \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Taigi netinkama trupmena \(\frac(8)(3)\) vaizduojama kaip mišri trupmena \(2\frac(2)(3)\). Tokiais atvejais sakoma, kad iš netinkamos trupmenos pabrėžė visą dalį.
Trupmenų atėmimas (trupmeniniai skaičiai)
Atimtis trupmeniniai skaičiai, kaip ir natūralūs, nustatomas pagal sudėjimo veiksmą: iš vieno skaičiaus atimti kitą reiškia rasti skaičių, kurį pridėjus prie antrojo gaunamas pirmasis. Pavyzdžiui:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) nuo \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklė yra panaši į tokių trupmenų pridėjimo taisyklę:
Norėdami rasti skirtumą tarp trupmenų su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį.
Naudojant raides, ši taisyklė parašyta taip:
\(\didelis \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Trupmenų dauginimas
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.
Naudojant raides, trupmenų dauginimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Naudodami suformuluotą taisyklę galite padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, iš mišrios trupmenos, taip pat padauginti mišrias trupmenas. Norėdami tai padaryti, turite parašyti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1, o mišrią trupmeną - kaip netinkamą trupmeną.
Daugybos rezultatas turėtų būti supaprastintas (jei įmanoma), sumažinant trupmeną ir išskiriant visą netinkamos trupmenos dalį.
Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir kombinacinės daugybos savybės, taip pat daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.
Trupmenų padalijimas
Paimkime trupmeną \(\frac(2)(3)\) ir „apverskime“ sukeisdami skaitiklį ir vardiklį. Gauname trupmeną \(\frac(3)(2)\). Ši trupmena vadinama atvirkščiai trupmenos \(\frac(2)(3)\).
Jei dabar „atsuksime“ trupmeną \(\frac(3)(2)\), gausime pradinę trupmeną \(\frac(2)(3)\). Todėl tokios trupmenos kaip \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\) vadinamos abipusiai atvirkštinis.
Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac(6)(5) \) ir \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ir \(\frac (18) )(7)\).
Abipusis raidžių naudojimas atvirkštinės trupmenos galima parašyti taip: \(\frac(a)(b) \) ir \(\frac(b)(a) \)
Tai aišku atvirkštinių trupmenų sandauga lygi 1. Pavyzdžiui: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Naudodami abipuses trupmenas, galite sumažinti trupmenų padalijimą iki daugybos.
Trupmenos padalijimo iš trupmenos taisyklė yra tokia:
Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.
Naudojant raides, trupmenų padalijimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jei dividendas arba daliklis yra natūralusis skaičius arba mišri frakcija, tada norint naudoti trupmenų padalijimo taisyklę, ji pirmiausia turi būti pavaizduota kaip netinkama trupmena.
