Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas. Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Trupmenos yra įprasti skaičiai, kurias taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau dėl to, kad juose yra vardiklis, daugiau sudėtingos taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.

Panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos su vienodais vardikliais. Tada:

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios dalies skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vėl palikti vardiklį nepakeistą.

Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Pagal trupmenų pridėjimo ir atėmimo apibrėžimą gauname:

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo: tiesiog sudedame arba atimame skaitiklius ir viskas.

Bet net ir tokiuose paprasti veiksmaižmonės sugeba padaryti klaidų. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, juos pridedant, jie taip pat pradeda didėti, ir tai iš esmės neteisinga.

Atsikratykite blogas įprotis Sudėti vardiklius yra gana paprasta. Išbandykite tą patį atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.

Todėl atsiminkite kartą ir visiems laikams: sudėjus ir atimant vardiklis nesikeičia!

Be to, daugelis žmonių daro klaidų pridėdami kelis neigiamos trupmenos. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.

Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:

Plius prie minuso duoda minusą;
Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju viskas paprasta, tačiau antruoju trupmenų skaitiklius įvedame minusus:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi

Tiesiogiai pridedant trupmenas su skirtingus vardiklius tai draudžiama. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.

Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsiribosime. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju trupmenas sumažiname iki bendras vardiklis naudojant „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime NOC. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių plėtimų veiksniai yra lygūs, o pirmieji yra santykinai pirminiai. Todėl LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių

Galiu jus pamaloninti: turėti skirtingus vardiklius trupmenose nėra daugiausia didelis blogis. Daug daugiau klaidų atsiranda, kai paryškinamos trupmenos-dėmenys visa dalis.

Žinoma, tokioms trupmenoms yra savi sudėties ir atimties algoritmai, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgas tyrimas. Geriau naudoti paprasta diagrama, pateikta žemiau:

Konvertuokite visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į netinkamas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie apskaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
Jei tai viskas, ko reikėjo užduotyje, mes atliekame atvirkštinė konversija, t.y. atsikratyti netinkama trupmena, išryškindamas visą jos dalį.

Perėjimo prie netinkamų trupmenų ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Čia viskas paprasta. Vardikliai kiekvienos išraiškos viduje yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti netinkamomis ir suskaičiuoti. Turime:

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, paskutiniuose pavyzdžiuose praleidau keletą akivaizdžių žingsnių.

Maža pastaba apie du naujausi pavyzdžiai, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik jos dalis.

Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Štai čia pripažįsta pradedantieji didžiulė suma klaidų. Jie mėgsta duoti tokias užduotis bandymai. Taip pat keletą kartų su jais susidursite atliekant šios pamokos testus, kurie netrukus bus paskelbti.

Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Baigdamas duosiu bendrasis algoritmas, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:

Jei viena ar kelios trupmenos turi sveikąją dalį, konvertuokite šias trupmenas į netinkamas;
Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemų autoriai);
Sudėkite arba atimkite gautus skaičius pagal trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles;
Jei įmanoma, sutrumpinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.

Atminkite, kad geriau visą dalį paryškinti pačioje užduoties pabaigoje, prieš pat užrašant atsakymą.

Vienas iš svarbiausi mokslai, kurio taikymas gali būti matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia išsiugdyti kai kurias psichines savybes ir pagerinti gebėjimą susikaupti. Viena iš vertų temų ypatingas dėmesys matematikos kurse – trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Daugeliui studentų sunku mokytis. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.

Kaip atimti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi

Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairias operacijas. Jų skirtumas nuo sveikųjų skaičių yra vardiklio buvimas. Štai kodėl, atlikdami operacijas su trupmenomis, turite išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Dauguma paprastas atvejis yra atimtis paprastosios trupmenos, kurių vardikliai pavaizduoti kaip tas pats skaičius. Atlikti šį veiksmą nebus sunku, jei žinosite paprastą taisyklę:

Norint iš vienos trupmenos atimti sekundę, reikia iš redukuojamos trupmenos skaitiklio atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k/m - b/m = (k-b)/m.

Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Iš trupmenos „7“ skaitiklio atimame atimamos trupmenos „3“ skaitiklį, gauname „4“. Šį skaičių įrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje įdedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose - „19“.

Žemiau esančioje nuotraukoje pateikti dar keli panašūs pavyzdžiai.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su panašiais vardikliais:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Iš trupmenos skaitiklio „29“ sumažinamas paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius - „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį užrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose - „47“.

Sudėjus trupmenas, turinčias tą patį vardiklį

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.

Norėdami pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, turite pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išliks toks pat: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo, naudodami pavyzdį:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - „1“ - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - „2“. Rezultatas - "3" - įrašomas į sumos skaitiklį, o vardiklis paliekamas toks pat kaip ir trupmenose - "4".

Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas

Veiksmas su trupmenomis, kurios turi tas pats vardiklis, mes jau svarstėme. Kaip matome, žinodami paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti operaciją su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelis vidurinių mokyklų moksleivių glumina tokie pavyzdžiai. Bet ir čia, žinant sprendimo principą, pavyzdžiai tau nebebus sunkūs. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios išspręsti tokias trupmenas tiesiog neįmanoma.

Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, jas reikia sumažinti iki to paties mažiausio vardiklio.

Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.

Trupmenos savybė

Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš tas pats numeris gausite trupmeną, lygią duotajai.

Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti vardiklius, tokius kaip „6“, „9“, „12“ ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra „3“ kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš „3“, gauname 6/9, o atlikę panašią operaciją su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Vieną lygybę galima parašyti taip:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį

Pažiūrėkime, kaip sumažinti kelias trupmenas iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui, paimkime trupmenas, parodytas paveikslėlyje žemiau. Pirmiausia turite nustatyti, kuris skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad būtų lengviau, esamus vardiklius suskaidykime faktoriais.

Trupmenos 1/2 ir trupmenos 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7/(3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5/(2 x 3). Dabar turime nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms trupmenoms. Kadangi pirmosios trupmenos vardiklyje yra skaičius „2“, tai reiškia, kad ji turi būti visuose vardikliuose 7/9 yra du trejetai, o tai reiškia, kad jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18.

Panagrinėkime pirmąją trupmeną – 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra nė vieno „3“ skaitmens, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Su likusiomis trupmenomis atliekame tas pačias operacijas.

2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 arba 7/(3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
5/6 arba 5/(2 x 3) – vardiklyje trūksta trijų:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Viskas kartu atrodo taip:

Kaip atimti ir pridėti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius

Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aptartas trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atėmimo taisykles.

Pažvelkime į tai kaip pavyzdį: 4/18 – 3/15.

Skaičių 18 ir 15 kartotinių radimas:

Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
Bendrasis kartotinis bus šie veiksniai: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Suradus vardiklį, reikia apskaičiuoti koeficientą, kuris skirsis kiekvienai trupmenai, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, rastą skaičių (bendrąjį kartotinį) padalinkite iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.

90 padalytas iš 15. Gautas skaičius „6“ bus daugiklis 3/15.
90 padalytas iš 18. Gautas skaičius „5“ bus daugiklis 4/18.

Kitas mūsų sprendimo etapas yra sumažinti kiekvieną trupmeną iki vardiklio „90“.

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:

(4 x 5)/(18 x 5) – (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jei trupmenos turi mažus skaičius, galite nustatyti bendrą vardiklį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

Tas pats pasakytina ir apie tuos, kurie turi skirtingus vardiklius.

Atimtis ir sveikųjų dalių turėjimas

Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi sveikąją dalį? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:

Konvertuoti visas trupmenas, turinčias sveikąją dalį, į netinkamas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio ir gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris pasirodo po šių veiksmų, yra netinkamos trupmenos skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.
Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio.
Sudėti arba atimti su tais pačiais vardikliais.
Gavę netinkamą trupmeną, pasirinkite visą dalį.

Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o veiksmai su trupmenomis atskirai, o rezultatai registruojami kartu.

Pateiktame pavyzdyje yra trupmenų, turinčių tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, jie turi būti suvienodinti, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.

Trupmenų atėmimas iš sveikųjų skaičių

Kitas veiksmas su trupmenomis yra atvejis, kai trupmeną reikia atimti iš Iš pirmo žvilgsnio panašus pavyzdys atrodo sunku išspręsti. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, turite paversti sveikąjį skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimtoje trupmenoje. Toliau atliekame atimtį, panašų į atimtį su vienodais vardikliais. Pavyzdyje tai atrodo taip:

7 – 4/9 = (7 x 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.

Šiame straipsnyje pateikta trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas spręsti daugiau sudėtingų pavyzdžių, kurie bus aptariami tolesniuose užsiėmimuose. Šios temos žinios vėliau naudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartas operacijas su trupmenomis.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinės problemos.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas, kas yra su įprasti skaičiai. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan., niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai tariant, į bendras vaizdas:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man, tik tuo atveju, pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogu darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia gauname 48 iš 16. Paprasto dauginimo būdu 3. Viskas aišku. Bet mes aptikome kažką panašaus:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalijamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų būti 29/16.

Taigi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Tačiau šis malonumas yra prieinamas tiems, kurie dirbo sąžiningai jaunesniųjų klasių... Ir aš nieko nepamiršau.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atskleistas naujas grėblys, taip...

Taigi turime pridėti du trupmeninės išraiškos:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (būtų malonu!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi viršuje užrašome trupmenos eilutę tuščia vieta Palikime jį, tada pridėkime ir toliau parašykime vardiklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Atkreipkite dėmesį! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip ir skaitinės trupmenos, tada dešinės pusės skaitiklyje atidarykite skliaustus, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie laiku įvaldė trupmenas, visas šias operacijas atlieka viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visa skaičių. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. kaip tai. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuokite:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Čia mes išsiaiškinsime, kaip atimant trupmenas. Pirma, gaukime taisyklę, kaip atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Toliau apžvelgsime trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimą ir pateiksime atėmimo su detalūs sprendimai. Po to sutelkime dėmesį į trupmenos atėmimą iš natūralusis skaičius ir atimant skaičių iš trupmenos. Pabaigoje parodysime, kaip naudojant šio veiksmo savybes atimamos paprastosios trupmenos.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad šiame straipsnyje kalbėsime tik apie atimtį mažesnė dalis iš didesnė frakcija. Kiti atvejai aptariami straipsnyje racionaliųjų skaičių atimtis.

Puslapio naršymas.

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Pirmiausia pateiksime pavyzdį, kuris leis mums sužinoti, kaip tai padaryti atimant trupmenas su panašiais vardikliais.

Tegul lėkštėje būna penkios aštuntosios obuolio, tai yra 5/8 obuolio, po to buvo atimtos dvi aštuntosios obuolio. Pagal atimties reikšmę (žr. bendrą atimties idėją), nurodytas veiksmas aprašoma taip: . Aišku, kad taip lėkštėje lieka 5−2=3 aštuntosios obuolio. Tai yra,.

Nagrinėjamas pavyzdys iliustruoja Taisyklė, kaip atimti trupmenas su panašiais vardikliais: Atimant trupmenas su panašiais vardikliais, mažmeninės dalies skaitiklis atimamas iš miniatiūros skaitiklio, tačiau vardiklis lieka toks pat.

Nurodyta taisyklė parašyta raidėmis taip: . Šią formulę naudosime atimdami trupmenas su panašiais vardikliais.

Pasvarstykime trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo pavyzdžiai.

Pavyzdys.

Iš bendrosios trupmenos 24/15 atimkite bendrąją trupmeną 17/15.

Sprendimas.

Atimamų trupmenų vardikliai yra lygūs. Minuendo skaitiklis yra 24, o poskyrio skaitiklis yra 17, jų skirtumas yra 7 (24−17=7, jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių atimtį). Todėl atėmus trupmenas su tais pačiais vardikliais 24/15 ir 17/15, gaunama trupmena 7/15.

Trumpa versija sprendimas atrodo taip: .

Atsakymas:

Jei įmanoma, reikia sumažinti trupmeną ir (arba) atskirti visą dalį nuo netinkamos trupmenos, kuri gaunama atėmus trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite skirtumą.

Sprendimas.

Naudokime formulę trupmenoms su panašiais vardikliais atimti: .

Akivaizdu, kad gautos trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 2 (žr.), tai yra, 22/12 yra sumažinama trupmena. Sumažinus šią trupmeną 2, gauname trupmeną 11/6.

Frakcija 11/6 yra netinkamas (žr. tinkamas ir netinkamas trupmenas). Todėl iš jo reikia pasirinkti visą dalį: .

Taigi, apskaičiuotas trupmenų, turinčių tuos pačius vardiklius, skirtumas yra lygus .

Štai visas sprendimas: .

Atsakymas:

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas sumažinamas iki trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas. Norėdami tai padaryti, pakanka sumažinti trupmenas su skirtingais vardikliais iki bendro vardiklio.

Taigi, vykdyti atimant trupmenas su skirtingais vardikliais, būtina:

sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio (dažniausiai trupmenos sumažinamos iki mažiausio bendro vardiklio);
Atimkite gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pasvarstykime trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo pavyzdžiai.

Pavyzdys.

Iš paprastosios trupmenos 2/9 atimkite bendrąją trupmeną 1/15.

Sprendimas.

Kadangi atimamų trupmenų vardikliai yra skirtingi, tai pirmiausia trupmenas sumažinsime iki mažiausio bendro vardiklio: kadangi LCM(9, 15)=45, tai trupmenos 2/9 papildomas koeficientas yra skaičius 45:9=5 , o trupmenos 1/15 papildomas koeficientas yra skaičius 45:15=3 , tada Ir .

Belieka iš trupmenos 10/45 atimti trupmeną 3/45, gauname , kuris suteikia mums norimą skirtumą tarp trupmenų su skirtingais vardikliais.

Trumpai sprendimas parašytas taip: .

Atsakymas:

Neturėtume pamiršti apie trupmenos, gautos atėmus, sumažinimą, taip pat visos dalies paryškinimą.

Pavyzdys.

Iš trupmenos 19/9 atimkite trupmeną 7/36.

Sprendimas.

Sumažinus trupmenas su skirtingais vardikliais iki mažiausio bendro vardiklio 36, gauname trupmenas 76/9 ir 7/36. Apskaičiuojame jų skirtumą: .

Gauta trupmena sumažinama 3, gauname 23/12. Ir ši trupmena yra netinkama, atskiriant nuo jos visą dalį, mes turime .

Sudėkime visus veiksmus, atliktus atimant pradines trupmenas su skirtingais vardikliais: .

Atsakymas:

Natūralaus skaičiaus atėmimas iš bendrosios trupmenos

Natūralaus skaičiaus atėmimas iš trupmenos gali būti sumažintas iki paprastųjų trupmenų atėmimo. Norėdami tai padaryti, pakanka pavaizduoti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1. Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Iš trupmenos 83/21 atimkite skaičių 3.

Sprendimas.

Kadangi skaičius 3 yra lygus trupmenai 3/1, tada.

Atsakymas:

Tačiau patogiau iš netinkamosios trupmenos atimti natūralųjį skaičių pateikiant trupmeną kaip mišrų skaičių. Tokiu būdu parodykime ankstesnio pavyzdžio sprendimą.

Trupmenos atėmimas iš natūraliojo skaičiaus

Trupmenos atėmimas iš natūraliojo skaičiaus gali būti sumažintas iki paprastųjų trupmenų atėmimo, natūralųjį skaičių pateikus trupmena. Pažvelkime į pavyzdžio, iliustruojančio šį požiūrį, sprendimą.

Pavyzdys.

Iš natūraliojo skaičiaus 7 atimkite bendrąją trupmeną 5/3.

Sprendimas.

Įsivaizduokime skaičių 7 kaip trupmeną 7/1, po kurios atliekame atimtį: .

Išskirdami visą dalį nuo gautos trupmenos, gauname galutinį atsakymą.

Atsakymas:

Tačiau yra ir daugiau racionaliu būdu atimant trupmeną iš natūraliojo skaičiaus. Jo pranašumai ypač pastebimi, kai sumažinamas natūralusis skaičius ir atimamos trupmenos vardiklis yra dideli skaičiai. Visa tai bus aišku iš toliau pateiktų pavyzdžių.

Jei atimama trupmena yra tinkama, tada sumažinamas natūralusis skaičius gali būti pakeistas dviejų skaičių suma, iš kurių vienas yra lygus vienetui, atimti teisinga trupmena iš vieno, o tada atlikite skaičiavimus.

Pavyzdys.

Iš natūraliojo skaičiaus 1065 atimkite bendrąją trupmeną 13/62.

Sprendimas.

Atimama bendroji trupmena yra tinkama. Pakeiskime skaičių 1065 suma 1064+1 ir gausime . Belieka tik apskaičiuoti gautos išraiškos reikšmę (apie tokių išraiškų skaičiavimą plačiau kalbėsime in).

Dėl atimties savybių gautą išraišką galima perrašyti kaip . Apskaičiuokime skirtumo reikšmę skliausteliuose, vienetą pakeitę trupmena 1/1, turime . Taigi,. Tai užbaigia trupmenos 13/62 atėmimą iš natūraliojo skaičiaus 1 065.