Išvestinė taške pagal apibrėžimą. Išvestinė pagal apibrėžimą (per limitą)

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, kurį mes naudojame kaip jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Išties, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba krissime skirtingi kiekiai metrų jūros lygio atžvilgiu (išilgai ordinačių ašies).

Pažymime progresą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra, tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Teisingai, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės!

Tai yra, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau. Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jeigu pabaigos taškas

pasirodė mažesnis nei pradinis, jis bus neigiamas - tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai netiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

IN Tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvojai didžiausią galimi skaičiai, tiesiog padauginkite iš dviejų ir gausite dar daugiau. Ir dar begalybė Be to kas nutiks. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo maža nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalinsite vienas iš kito, gausite gana įprastas numeris, Pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartus didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir nurodoma, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies per atstumą funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkcija, tik pirminiu ženklu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Tas pats su vediniu: vedinys pastovi funkcija(konstantos) yra lygus nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad galima išilgai išdėstyti segmento galus skirtingos pusės iš viršaus, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Bet tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį keičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina ir apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip dėl funkcijos padidėjimo? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

IN skirtingus taškus su tuo pačiu argumento prieaugiu, funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kurioje argumentas yra tam tikru laipsniu (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis- tai kai eksponentas:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinę funkciją (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti galios funkcija su savavališku rodikliu, net ne sveikuoju skaičiumi:

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija yra „tikslas“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažiau, tuo artimesnę vertę santykis su

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi gauname kita taisyklė:sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios išvestinė iš bet kurios reikšmės yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas yra konstanta – ji begalinė dešimtainis, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli neikime, pažiūrėkime iš karto atvirkštinė funkcija. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią analizuosime vėliau, po eikime per taisykles diferenciacija.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei – kai kurie pastovus skaičius(nuolatinis), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime sumažinti savo funkciją į naują bazę:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunkus“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus Atvirkštinė tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums duodamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji, ką gavau (suriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra pavyzdys sudėtinga funkcija: kai, norėdami rasti jo reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Pritaikyta originalus pavyzdys atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

IŠVEDINĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Pateikiame du naujus apibrėžimus. Jei? linkęs į nulį, imant tik teigiamas reikšmes, tada santykio riba

(jei jis yra) vadinamas dešinysis vedinys arba dešinysis vedinys iš funkcijos ѓ() taške?, o jei? linkęs į nulį, imant tik neigiamos reikšmės, tada to paties santykio riba (jei ji yra) yra kairysis vedinys arba kairysis vedinys. Išvestinė dešinėje žymima simboliu, o išvestinė kairėje – simbolizuota.

Jei išvestinė dešinėje ir išvestinė kairėje yra lygios, tai funkcija akivaizdžiai turi išvestinę taške 0 įprastine to žodžio prasme.

Dauguma paprasti pavyzdžiai funkcijos, kurios tam tikru momentu turi dešiniąją ir kairę išvestines, kurios nesutampa viena su kita, suteikia mums funkcijas, kurių grafikai yra trūkinės linijos.

Tiesą sakant, tegul 1, 2, ..., k, ..., s yra tam tikras skaičius skirtingų ašies taškų. Nukreipkime liniją taip, kad jos viršūnės turėtų abscises, lygias x 1, 2, ..., k, ..., s (12 pav.). Funkcija ѓ(), kurios grafikas yra ši trūkinė linija *), taškuose 1, 2, …, k, …, s neturi išvestinės.

*) Akivaizdu, kad kiekviena tiesė, statmena Ox ašiai, kerta trūkinę liniją daugiausia viename taške, o trūkinė yra kokios nors vienos reikšmės funkcijos grafikas.

Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite kurį nors tašką Q su abscise k. Funkcijos grafikas, esantis šalia šio taško, turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 13.

Bet kuriai tiesei sekantas tam tikrame taške, taigi ir liestinė (kaip ribinė šio sekanto padėtis), sutampa su pačia tiesia linija; Tai reiškia, kad sekanto kampas, taigi ir tiesės liestinė su ašimi, yra toks pat kaip ir pačios tiesės kampas su x ašimi.

Tiesės AQ kampą su ašimi pažymėkime b, o tiesės QB kampą su ašimi – c. Nubrėžiame sekantą per tašką Q ir taškus M 1 ir M 2, esančius Q kairėje ir dešinėje. Kairysis sekantas sutampa su tiese AQ, o dešinysis – su tiese QB.

Akivaizdu, kad jei Q laikysime sąlyčio tašku, sekantas turės dvi ribines pozicijas arba, kaip kartais sakoma, kreivė šiame taške turės dešinioji liestinė, sutampa su QB linija ir kairioji liestinė, sutampa su linija AQ. Kampas tarp ašies ir kairiosios liestinės akivaizdžiai lygus b, o kampas tarp ašies ir dešiniosios liestinės lygus c. Kadangi b ir c yra skirtingi, tada

Taigi taške Q mūsų tiesė neturi apibrėžtos liestinės, o kadangi išvestinė lygi liestinės kampo liestine su ašimi, tai išvestinė kairėje nėra lygi išvestinei dešinėje ir nėra taške Q.

Pažvelkime į kitą funkcijų pavyzdį su skirtingomis išvestinėmis kairėje ir dešinėje. Tarkime, kad turime rasti funkcijos išvestinę

Funkcija akivaizdžiai apibrėžta intervale -1??+1. Jo grafikas parodytas fig. 14. Kreivė baigiasi taškuose M(-1, +1) ir N(+1, +1), nes ||>1 funkcija neapibrėžta.

Raskite išvestinę taške x:

Darant prielaidą, kad x=0, randame išvestinės reikšmę taške O(0, 0):

Norėdami rasti ribą, skaitiklį ir vardiklį padauginame iš

Kadangi atsižvelgiama į aritmetinę (teigiama) reikšmę kvadratinė šaknis, tada 2 =?, jei?x>0, bet 2 =-?, jei?<0.

Todėl jei?>0, tada

ir jeigu?<0, то

Matome, kad išvestinė kairėje nėra lygi išvestinei dešinėje, todėl mūsų funkcija išvestinės neturi. Taškas (0, 0) yra kampinis taškas, kuriame kreivė neturi apibrėžtos liestinės.

Išvestinės samprata

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžtas tam tikru intervalu X. Pateikime argumento vertę taške x 0 X savavališkas prieaugis Δ x kad taškas x 0 + Δ x taip pat priklausė X. Tada atitinkamas funkcijos f(x) padidėjimas bus Δ adresu = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

1 apibrėžimas.Funkcijos f(x) išvestinė taške x 0 vadinama funkcijos padidėjimo santykio šiame taške ir argumento prieaugio prie Δ riba. x 0 (jei tokia riba yra).

Funkcijos išvestinei žymėti naudojame simbolius tu (x 0) arba f‘(x 0):

Jei tam tikru momentu x 0 riba (4.1) yra begalinė:

tada jie sako, kad taške x 0 funkcija f(x) Tai turi begalinis vedinys.

Jei funkcija f(x) kiekviename aibės taške turi išvestinę X, tada išvestinė f"(x) taip pat yra argumento funkcija X, apibrėžta X.

Norėdami išsiaiškinti geometrinę išvestinės reikšmę, turime nustatyti funkcijos grafiko liestinę tam tikrame taške.

2 apibrėžimas.Tangentasį funkcijos grafiką y = f(x) taške M MN, kada esmė N linkęs į tašką M išilgai kreivės f(x).

Tegul taškas M ant kreivės f(x) atitinka argumento reikšmę x 0, ir taškas N- argumento vertė x 0 + Δ x(4.1 pav.). Iš liestinės apibrėžimo išplaukia, kad už jos egzistavimą taške x 0 būtina, kad būtų tam riba lygus kampui ašies liestinės polinkis Oi. Iš trikampio M.N.A. seka tuo

Jei funkcijos išvestinė f(x) taške x 0 egzistuoja, tada pagal (4.1) gauname

Iš to išplaukia aiški išvada, kad vedinys f‘(x 0) lygus funkcijos y grafiko liestinės kampiniam koeficientui (pasvirimo kampo liestinė su teigiama Ox ašies kryptimi) = f(x) V taškas M(x 0, f(x 0)). Šiuo atveju liestinės kampas nustatomas pagal (4.2) formulę:

Fizinė prasmė išvestinė

Tarkime, kad funkcija l = f(t) aprašo materialaus taško judėjimo tiesia linija dėsnį kaip priklausomybę nuo kelio l nuo laiko t. Tada skirtumas Δ l = f(t +Δ t) – f(t) – yra kelias, nueitas per laiko intervalą Δ t, ir santykis Δ l/Δ t- vidutinis greitis laikui bėgant Δ t. Tada riba apibrėžia momentinis taško greitis tam tikru momentu t kaip kelio išvestinė laiko atžvilgiu.

Tam tikra prasme funkcijos išvestinė adresu = f(x) taip pat gali būti interpretuojamas kaip funkcijos kitimo greitis: kuo didesnė reikšmė f‘(x), kuo didesnis kreivės liestinės polinkio kampas, tuo grafikas statesnis f(x) ir funkcija auga greičiau.

Dešinysis ir kairysis dariniai

Analogiškai su funkcijos vienpusių ribų sąvokomis, įvedamos funkcijos dešiniosios ir kairiosios išvestinių taške sąvokos.

3 apibrėžimas.Dešinė Kairė) funkcijos išvestinė adresu = f(x) taške x 0 vadinama dešiniąja (kairiąja) ryšio (4.1) riba Δ x 0, jei ši riba yra.

Ši simbolika naudojama vienpusiams dariniams žymėti:

Jei funkcija f(x) turi taške x 0 išvestinė, tada ji turi kairę ir dešinę vedinius, kurie sutampa.

Pateiksime pavyzdį funkcijos, kuri taške turi vienpuses išvestines, kurios nėra lygios viena kitai. Tai f(x) = |x|. Tiesą sakant, taške x = 0 mes turime f'+(0) = 1, f'-(0) = -1 (4.2 pav.) ir f'+(0) ≠ f' —(0), t.y. funkcija neturi išvestinės at X = 0.

Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija; vadinama funkcija, kuri taške turi išvestinę skiriasi.

Funkcijos diferencialumo ir tęstinumo ryšį taške nustato tokia teorema.

1 TEOREMA . Jei funkcija yra diferencijuojama taške x 0, tai šiame taške ji yra ištisinė.

Netiesa atvirkščiai: funkcija f(x), ištisinis taške, tame taške gali neturėti išvestinės. Toks pavyzdys yra funkcija adresu = |x|; jis yra ištisinis taške x= 0, bet šiuo metu neturi išvestinės.

Taigi funkcijos diferencijavimo reikalavimas yra stipresnis nei tęstinumo reikalavimas, nes antrasis automatiškai išplaukia iš pirmosios.

Funkcijos grafiko liestinės tam tikrame taške lygtis

Kaip nurodyta 3.9 skirsnyje, tiesės, einančios per tašką, lygtis M(x 0, y 0) Su nuolydis k atrodo kaip

Tegu funkcija duota adresu = f(x). Tada nuo jo išvestinės tam tikru momentu M(x 0, y 0) yra šios funkcijos grafiko liestinės nuolydis taške M, tada išplaukia, kad funkcijos grafiko liestinės lygtis f(x) šiuo metu turi formą

⇐ Ankstesnis19202122232425262728Kitas ⇒

y yra funkcija y = y(x)
C = konstanta, konstantos išvestinė (y’) yra 0

y = C => y' = 0

pavyzdys: y = 5, y' = 0

Jei y yra y = x n tipo funkcija, išvestinės formulė yra tokia:

y = x n => y’ = nx n-1

pavyzdys: y = x 3 y' = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4

Iš aukščiau pateiktos formulės galime pasakyti, kad funkcijos y = x = x 1 išvestinei y':

jei y = x, tada y'=1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y’ = f’ 1 (x) + f’ 2 (x) + f’ 3 (x) ...

Ši formulė parodo funkcijos išvestinę, kuri yra funkcijų suma.
Pavyzdys: jei turime dvi funkcijas f(x) = x 2 + x + 1 ir g(x) = x 5 + 7 ir y = f(x) + g(x), tada y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Jei funkcija yra dviejų funkcijų sandauga, išvestinė formulė atrodo taip:

y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

Jei f(x) = C(C yra pastovus) ir y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y' = C.f"(x)

Išvestinės apskaičiavimo formulės

y = ln x => y' = 1 / x

y = e x => y’ = e x

y = sin x => y' = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = įdegis x => y' = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x

ATSAKYMAS: turime dvi funkcijas h(x) = x 10 ir g(x) = 4,15 + cos x
funkcija f(x) yra h(x) padalinta iš g(x).

Funkcijų diferencialinis skaičiavimas

h"(x) = 10x 9 g"(x) = 0 — sin x = -sin x

Daugiau apie išvestines skaitykite matematinio forumo puslapiuose

Išvestinių priemonių forumas

Kas yra darinys

Išvestinės samprata

Išvestinė - svarbiausia sąvoka matematinė analizė. Jis apibūdina argumento funkcijos pasikeitimą x tam tikru momentu. Be to, pati išvestinė yra argumento funkcija x

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji egzistuoja ir yra baigtinė), jei pastarasis linkęs į nulį.

Dažniausiai naudojami šie išvestinis žymėjimas :

1 pavyzdys. Pasinaudodamas išvestinės apibrėžimas, raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš išvestinės finansinės priemonės apibrėžimo seka tokia jos apskaičiavimo schema.

Suteikime argumentui prieaugį (delta) ir suraskime funkcijos prieaugį:

Raskime funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykį:

Apskaičiuokime šio santykio ribą su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, tai yra, problemos teiginyje reikalaujama išvestinė:

Išvestinio fizinė reikšmė

KAM darinio samprata vadovaujama Galilėjaus Galilėjaus teisės studijoms laisvas kritimas kūnai ir kt plačiąja prasme— neuniformos momentinio greičio problemos tiesinis judėjimas taškų.

Tačiau laisvai krintančio kūno judėjimas yra aiškiai netolygus. Greitis v kritimas nuolat didėja. O vidutinio greičio jau nebeužtenka apibūdinti judėjimo greitį įvairiose maršruto atkarpose. Ši charakteristika yra tikslesnė mažesnis tarpas laikas

Funkcijos išvestinė

Todėl įvedama tokia sąvoka: momentinis tiesinio judėjimo greitis (arba greitis į Šis momentas laikas t) vadinamas vidutiniu greičio apribojimu, kai:

(su sąlyga, kad ši riba egzistuoja ir yra baigtinė).

Taigi išeina, kad momentinis greitis yra funkcijos prieaugio santykio riba s(t) iki argumento prieaugio t prie Tai išvestinė, kuri in bendras vaizdas parašyta taip:

.

Nurodytos problemos sprendimas yra fizinė išvestinės reikšmė . Taigi, funkcijos išvestinė y=f(x) taške x vadinamas funkcijos didėjimo iki argumento prieaugio riba (jei ji egzistuoja ir yra baigtinė), jei pastarasis linkęs į nulį.

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš išvestinės priemonės apibrėžimo seka tokia jos apskaičiavimo schema.

1 veiksmas. Padidinkime argumentą ir raskime

2 veiksmas. Raskite funkcijos prieaugį:

3 veiksmas. Raskite funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykį:

4 veiksmas. Apskaičiuokite šio santykio ribą ties , tai yra išvestinė:

Neturite laiko įsigilinti į sprendimą? Galite užsisakyti darbą!

Geometrinė išvestinės reikšmė

Jei yra

tada tiesė su kampiniu koeficientu

einantis per tašką vadinamas sekanto ribine padėtimi PONAS adresu (arba ).

Funkcijos grafiko liestinė taške M vadinama sekanto ribine padėtimi PONAS, arba, kuris yra tas pats adresu .

Iš apibrėžimo matyti, kad liestinės egzistavimui pakanka, kad būtų riba

,

o riba lygi ašies liestinės polinkio kampui.

Dabar duokime tikslus apibrėžimas liestinė.

Tangentas funkcijos grafikui taške yra tiesė, einanti per tašką ir turinti nuolydį, t.y. tiesė, kurios lygtis

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad funkcijos išvestinė yra lygus šios funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui taške su abscisėmis x. Tai yra geometrine prasme išvestinė:

kur yra abscisių ašies liestinės polinkio kampas, t.y. liestinės nuolydis.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę ir šios išvestinės reikšmę .

Sprendimas. Naudokime 1 pavyzdyje pateiktą diagramą.

Išraiška po ribiniu ženklu neapibrėžta (formos neapibrėžtis 0/0), todėl ją transformuojame atsikratydami neracionalumo skaitiklyje ir sumažindami trupmeną:

Raskime išvestinės išvestinės vertę:

Puslapio viršuje

Atlikite testą tema Išvestinė, diferencialas ir jų taikymas

Visas „Išvestinės“ blokas

Ši pažintis leis jums:

— suprasti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

— sėkmingai sprendžiant tas pačias problemas sunkių užduočių;

— pasiruošti rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra paprasta matematinis veiksmas virš funkcijos. Mes priimame bet kokią funkciją ir, atsižvelgiant į tam tikros taisyklės, pakeiskite jį. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas— veiksmas, susijęs su funkcija.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma yra pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti išvestinę; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir taip toliau. Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. Kaip šitas: tu arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)', (x 3 )’ , (sinx)' ir tt

Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Dar kartą priminsiu: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Tai yra trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

2. Diferencijavimo taisyklės.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje - begalinis rinkinys funkcijas. Tarp šios įvairovės yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Jie prieš mus apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestis. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė - elementari funkcija, dešinėje yra jo išvestinė.

Šioje išvestinių lentelėje rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite nuspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Išvestinės lentelės reikšmės radimas, kaip suprantate, nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendros formos galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) ‘= 3 x 3-1 = 3x 2

Viskas.

Atsakymas: y' = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į tą patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Leiskite jums priminti, kad išvestinė yra nauja funkcija.

Naudodami planšetinį kompiuterį randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y' = (sin x)' = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti.

Išvestinė, pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.

Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra kosinusas dvigubas kampas , tada viskas iš karto pagerės!

Taip taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir šis - stalo funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y' = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimeni pagrindinė matematika, veiksmai su laipsniais... Tada šią funkciją visiškai įmanoma supaprastinti. Kaip šitas:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

Kitas puslapis: Kaip rasti išvestinę priemonę? Diferencijavimo taisyklės. >>>>

Tema. Darinys. Geometriniai ir mechaninis pojūtis išvestinė

Jei ši riba egzistuoja, sakoma, kad funkcija taške yra diferencijuojama. Funkcijos išvestinė žymima (2 formulė).

1. Geometrinė išvestinės reikšmė. Pažiūrėkime į funkcijos grafiką. Iš 1 pav. aišku, kad bet kuriems dviem funkcijos grafiko taškams A ir B galima parašyti 3) formulę. Jame yra sekanto AB pasvirimo kampas.

Taigi skirtumo santykis yra lygus sekanto nuolydžiui. Jei fiksuosite tašką A ir perkelsite tašką B link jo, tada jis mažėja be apribojimų ir artėja prie 0, o sekantas AB artėja prie liestinės AC. Todėl skirtumo santykio riba lygi liestinės nuolydžiui taške A. Tai leidžia daryti išvadą.

Funkcijos išvestinė taške yra šios funkcijos grafiko liestinės nuolydis tame taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

1. Tangento lygtis . Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį taške. IN bendras atvejis tiesės su kampiniu koeficientu lygtis turi tokią formą: . Norėdami rasti b, pasinaudojame tuo, kad liestinė eina per tašką A: . Tai reiškia:. Pakeitę šią išraišką vietoj b, gauname liestinės lygtį (4 formulė).

Kai žmogus žengia pirmuosius savarankiškus žingsnius studijuodamas matematinę analizę ir pradeda klausinėti nepatogių klausimų, nebėra taip paprasta išsisukti nuo frazės, kad „ diferencialinis skaičiavimas rasti kopūstuose“. Todėl atėjo laikas nustatyti ir atskleisti gimdymo paslaptį išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelės. Pradėta straipsnyje apie vedinio reikšmę, kurią labai rekomenduoju išstudijuoti, nes ten tik pažiūrėjome išvestinės sąvoką ir pradėjome spustelėti temos problemas. Ta pati pamoka turi ryškią praktinę orientaciją, be to,

toliau aptariami pavyzdžiai iš esmės gali būti įsisavinti grynai formaliai (pvz., kai nėra laiko/noro gilintis į darinio esmę). Taip pat labai pageidautina (bet vėlgi nebūtina), kad būtų galima rasti išvestines naudojant „įprastą“ metodą – bent jau dviejų pagrindinių pamokų lygiu: Kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę ir išvestinę.

Tačiau yra vienas dalykas, be kurio dabar tikrai negalime apsieiti, tai yra funkcijų ribos. Turite SUPRASTAI, kas yra riba, ir sugebėti jas išspręsti bent jau vidutiniu lygiu. Ir viskas dėl išvestinės

funkcija taške nustatoma pagal formulę:

Leiskite jums priminti pavadinimus ir terminus: jie skambina argumentų prieaugis;

– funkcijos padidėjimas;

- Tai UNITED simboliai(„Delta“ negali būti „nuplėšta“ nuo „X“ arba „Y“).

Akivaizdu, kad tai, kas yra „dinaminis“ kintamasis, yra konstanta ir ribos apskaičiavimo rezultatas – skaičius (kartais - "pliusas" arba "minusas" begalybė).

Kaip tašką galite laikyti bet kurią vertę apibrėžimo sritis funkcija, kurioje egzistuoja darinys.

Pastaba: sąlyga "kurioje yra išvestinė priemonė" yra apskritai tai reikšminga! Taigi, pavyzdžiui, nors taškas yra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį, jo išvestinė

ten neegzistuoja. Todėl formulė

punkte netaikomas

o sutrumpinta formuluotė be išlygos būtų neteisinga. Panašūs faktai galioja ir kitoms funkcijoms su „pertraukomis“ grafike, ypač arcsinui ir arkosinusui.

Taigi, pakeitę , gauname antrą darbo formulę:

Atkreipkite dėmesį į klastingą aplinkybę, kuri gali suklaidinti arbatinuką: šioje riboje „x“, būdamas nepriklausomas kintamasis, atlieka statistikos vaidmenį, o „dinamiką“ vėl nustato prieaugis. Limito skaičiavimo rezultatas

yra išvestinė funkcija.

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta pirmiau, suformuluojame dviejų tipiškų problemų sąlygas:

- Rasti išvestinė taške, naudojant išvestinės apibrėžimą.

- Rasti išvestinė funkcija, naudojant išvestinės apibrėžimą. Ši versija, mano pastebėjimais, yra daug dažnesnė ir jai bus skiriamas pagrindinis dėmesys.

Esminis skirtumas tarp užduočių yra tas, kad pirmuoju atveju reikia rasti skaičių (pasirinktinai, begalybė) o antroje –

funkcija Be to, darinio gali iš viso nebūti.

kaip?

Sukurkite santykį ir apskaičiuokite ribą.

Iš kur jis atsirado? išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė ? Vienintelės ribos dėka

Atrodo kaip magija, bet

realybėje – apgaulė ir jokios apgaulės. Pamokoje Kas yra darinys? Pradėjau žiūrėti konkrečių pavyzdžių, kur, naudodamas apibrėžimą, radau išvestinius iš tiesinės ir kvadratinė funkcija. Kognityvinio apšilimo tikslais ir toliau trikdysime darinių lentelė, tobulinant algoritmą ir techninius sprendimus:

Iš esmės reikia įrodyti ypatinga byla galios funkcijos išvestinė, kuri dažniausiai rodoma lentelėje: .

Sprendimas techniškai įforminamas dviem būdais. Pradėkime nuo pirmojo, jau žinomo požiūrio: kopėčios prasideda nuo lentos, o išvestinė funkcija prasideda nuo išvestinės taške.

Apsvarstykite tam tikrą (konkretų) tašką, priklausantį apibrėžimo sritis funkcija, kurioje yra išvestinė. Šioje vietoje nustatykime prieaugį (žinoma, apimties ribose o/o -ya) ir sudaryti atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime ribą:

Neapibrėžtis 0:0 pašalinama standartine technika, laikoma dar pirmajame amžiuje prieš Kristų. Padauginkime

konjuguotos išraiškos skaitiklis ir vardiklis :

Tokios ribos sprendimo technika yra išsamiai aptarta adresu įvadinė pamoka apie funkcijų ribas.

Kadangi galite pasirinkti bet kurį intervalo tašką kaip

Tada, atlikę pakeitimą, gauname:

Dar kartą pasidžiaukime logaritmais:

Raskite funkcijos išvestinę, naudodami išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: apsvarstykime kitokį požiūrį į tą pačią užduotį. Tai lygiai toks pat, bet dizaino požiūriu racionalesnis. Idėja yra atsikratyti

apatinį indeksą ir vietoj raidės naudokite raidę.

Apsvarstykite savavališką tašką, priklausantį apibrėžimo sritis funkcija (intervalas) ir nustatykite jos prieaugį. Bet čia, beje, kaip ir daugeliu atvejų, galite apsieiti be jokių išlygų, nes logaritminė funkcija yra diferencijuojama bet kuriame apibrėžimo srities taške.

Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Raskime išvestinę:

Dizaino paprastumą atsveria painiava

pasitaiko tarp pradedančiųjų (ir ne tik). Juk esame įpratę, kad „X“ raidė keičiasi limite! Bet čia viskas kitaip: - senovinė statula, ir - gyvas lankytojas, sparčiai einantis muziejaus koridoriumi. Tai yra, „x“ yra „kaip konstanta“.

Apie neapibrėžtumo pašalinimą pakomentuosiu žingsnis po žingsnio:

(1) Naudojant logaritmo savybę.

(2) Skliausteliuose padalykite skaitiklį iš vardiklio termino.

(3) Vardiklyje dirbtinai padauginame ir padalijame iš „x“, kad

pasinaudokite nuostabia riba , o as be galo mažas aktai.

Atsakymas: pagal darinio apibrėžimą:

Arba trumpai:

Siūlau pačiam susikurti dar dvi lentelės formules:

Raskite išvestinę pagal apibrėžimą

IN tokiu atveju sudarytą prieaugį patogu iš karto vesti į Bendras vardiklis. Apytikslis pavyzdys užduoties atlikimas pamokos pabaigoje (pirmas metodas).

Raskite išvestinę pagal apibrėžimą

Ir čia viskas turi būti sumažinta iki nepaprastos ribos. Sprendimas įforminamas antruoju būdu.

Nemažai kitų lentelės vediniai. Visas sąrašas galima rasti mokyklinis vadovėlis, arba, pavyzdžiui, 1-asis Fichtenholtzo tomas. Nematau prasmės kopijuoti diferenciacijos taisyklių įrodymus iš knygų – jie taip pat generuojami

formulę

Pereikime prie faktiškai iškilusių užduočių: 5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę , naudojant išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: naudokite pirmąjį dizaino stilių. Panagrinėkime tam tikrą tašką, kuris priklauso, ir nustatykime argumento prieaugį. Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Galbūt kai kurie skaitytojai dar nėra iki galo supratę principo, pagal kurį reikia didinti žingsnius. Paimkite tašką (skaičius) ir suraskite jame funkcijos reikšmę: , tai yra, į funkciją

vietoj "X" turėtų būti pakeistas. Dabar paimkime

Sukompiliuota funkcijos prieaugis Gali būti naudinga nedelsiant supaprastinti. Kam? Palengvinkite ir sutrumpinkite sprendimą iki tolesnės ribos.

Mes naudojame formules, atidarome skliaustus ir sumažiname viską, ką galima sumažinti:

Kalakutiena išdarinėta, su kepsniu jokių problemų:

Galiausiai:

Kadangi galite pasirinkti bet kokią kokybę tikras numeris, tada atliekame pakeitimą ir gauname .

Atsakymas : a-prior.

Patvirtinimo tikslais suraskime išvestinę priemonę naudodami taisykles

diferenciacija ir lentelės:

Visada naudinga ir malonu iš anksto žinoti teisingą atsakymą, todėl siūlomą funkciją geriau „greitai“ diferencijuoti mintyse arba juodraštyje, pačioje sprendimo pradžioje.

Raskite funkcijos išvestinę pagal išvestinės apibrėžimą

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Rezultatas akivaizdus:

Grįžkime prie 2 stiliaus: 7 pavyzdys

Iškart išsiaiškinkime, kas turėtų nutikti. Autorius sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklė:

Sprendimas: apsvarstykite savavališkas taškas, priklausantis, nustatykite jame argumento prieaugį ir sudarykite prieaugį

Raskime išvestinę:

(1) Mes naudojame trigonometrinę formulę

(2) Po sinusu atveriame skliaustus, po kosinusu pateikiame panašius terminus.

(3) Po sinusu atšaukiame terminus, po kosinusu dalijame skaitiklį iš vardiklio termino pagal terminą.

(4) Dėl sinuso keistumo išimame „minusą“. Pagal kosinusą

nurodome, kad terminas .

(5) Atliekame dirbtinį vardiklio dauginimą, kad galėtume naudoti Pirmas nuostabi riba . Taigi neapibrėžtumas pašalinamas, sutvarkykime rezultatą.

Atsakymas: pagal apibrėžimą, kaip matote, pagrindinis nagrinėjamos problemos sunkumas priklauso nuo to

pačios ribos sudėtingumas + nedidelis pakuotės originalumas. Praktikoje pasitaiko abu projektavimo būdai, todėl kiek įmanoma detaliau aprašysiu abu būdus. Jie yra lygiaverčiai, bet vis tiek, mano subjektyviu įspūdžiu, manekenams labiau patartina laikytis 1 varianto su „X-nulis“.

Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Pavyzdys sukurtas ta pačia dvasia kaip ir ankstesnis pavyzdys.

Pažvelkime į retesnę problemos versiją:

Raskite funkcijos išvestinę taške naudodami išvestinės apibrėžimą.

Pirma, kokia turėtų būti esmė? Skaičius Apskaičiuokime atsakymą standartiniu būdu:

Sprendimas: aiškumo požiūriu ši užduotis yra daug paprastesnė, nes formulėje, o ne

atsižvelgiama į konkrečią vertę.

Nustatykime prieaugį taške ir sudarykime atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime išvestinę taške:

Mes naudojame labai retą liestinės skirtumo formulę ir dar kartą sumažiname tirpalą iki pirmojo

nuostabi riba:

Atsakymas: pagal išvestinės apibrėžimą taške.

Problemą nėra taip sunku išspręsti „apskritai“ - pakanka pakeisti nagą arba tiesiog priklausomai nuo dizaino metodo. Šiuo atveju aišku, kad rezultatas bus ne skaičius, o išvestinė funkcija.

10 pavyzdys Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę taške

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Paskutinė papildomos užduotis pirmiausia skirta studentams, nuodugniai ištyrusiems matematinę analizę, tačiau tai nepakenks ir niekam kitam:

Ar funkcija bus diferencijuota? taške?

Sprendimas: Akivaizdu, kad dalimis duota funkcija yra tolydi taške, bet ar ji ten bus diferencijuota?

Sprendimo algoritmas, ir ne tik dalimis funkcijos, yra:

1) Raskite kairiąją išvestinę duotame taške: .

2) Raskite dešiniąją išvestinę duotame taške: .

3) Jei vienpusės išvestinės yra baigtinės ir sutampa:

, tada funkcija taške yra diferencijuojama

geometriškai čia yra bendra liestinė (žr teorinė dalis pamoka Išvestinio apibrėžimas ir reikšmė).

Jei gaunami du skirtingos reikšmės: (vienas iš jų gali pasirodyti begalinis), tada funkcija taške nesiskiria.

Jeigu abi vienpusės išvestinės lygios begalybei

(net jei jie turi skirtingus ženklus), tada funkcija nėra

yra diferencijuojamas taške, tačiau yra begalinė išvestinė ir bendra vertikalioji grafiko liestinė (žr. 5 pamokos pavyzdįNormali lygtis) .

Nuspręskite fizines užduotis arba matematikos pavyzdžiai yra visiškai neįmanomi be žinios apie išvestinę ir jos skaičiavimo metodus. Darinys yra vienas iš svarbiausios sąvokos matematinė analizė. Tai pagrindinė tema nusprendėme skirti šios dienos straipsnį. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis tam tikrą laiką:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai yra spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Už nugaros trumpalaikis Padėsime išspręsti sudėtingiausius testus ir išspręsti problemas, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.