Natūralaus logaritmo žymėjimas. Natūralus logaritmas

1.1. Sveikojo skaičiaus rodiklio rodiklio nustatymas

1.2. Nulinis laipsnis.

1.3. Neigiamas laipsnis.

1.4. Trupmeninė galia, šaknis.

Pavyzdžiui: X 1/2 = √X.

1.5. Galių pridėjimo formulė.

1.6.Laipsnių atėmimo formulė.

1.7. Galių dauginimo formulė.

1.8. Formulė trupmenai pakelti į laipsnį.

2. Skaičius e.

E = lim(1+1/N), kaip N → ∞.

17 skaitmenų tikslumu skaičius e yra 2,71828182845904512.

3. Eilerio lygybė.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentinė funkcija exp(x)

5. Eksponentinės funkcijos išvestinė

(exp (x))" = exp (x)

6. Logaritmas.

6.1. Logaritminės funkcijos apibrėžimas

Y = Log b(x).

Logaritmas parodo, kokia galia turi būti padidintas skaičius – logaritmo bazė (b), kad gautume tam tikrą skaičių (X). Logaritmo funkcija apibrėžiama, kai X didesnis už nulį.

Pavyzdžiui: 10 žurnalas (100) = 2.

6.2. Dešimtainis logaritmas

Y = Log 10 (x) .

Žymima Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Dešimtainio logaritmo naudojimo pavyzdys yra decibelas.

6.3. Decibelas

6.4. Dvejetainis logaritmas

Y = 2 žurnalas (x).

Žymima Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Natūralus logaritmas

Y = Log e (x) .

Žymima Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Natūralusis logaritmas – atvirkštinė funkcija į eksponentinį funkcijos exp(X).

6.6. Būdingi taškai

6.7. Produkto logaritmo formulė

6.8. Dalinio logaritmo formulė

6.9. Galios formulės logaritmas

6.10. Formulė konvertavimui į logaritmą su skirtinga baze

Pavyzdys:

2 žurnalas (8) = 10 žurnalas (8) / 10 žurnalas (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Gyvenime naudingos formulės

Dažnai kyla problemų konvertuojant tūrį į plotą ar ilgį ir atvirkštinė problema-- ploto konvertavimas į tūrį. Pvz., lentos parduodamos kubeliais (kubiniais metrais), ir reikia paskaičiuoti, kiek sienų ploto galima uždengti lentomis, esančiomis tam tikrame tūryje, žr. lentų skaičiavimą, kiek lentų yra kube. Arba, jei žinomi sienos matmenys, reikia apskaičiuoti plytų skaičių, žr. plytų skaičiavimą.

Leidžiama naudoti svetainės medžiagą, jei yra įdiegta aktyvi nuoroda į šaltinį.

Natūralaus logaritmo funkcijos grafikas. Funkcija pamažu artėja prie teigiamos begalybės, kai ji didėja x ir greitai artėja prie neigiamos begalybės, kai x linkęs į 0 („lėtas“ ir „greitas“, palyginti su bet kuriuo galios funkcija iš x).

Natūralus logaritmas yra logaritmas iki pagrindo , Kur e (\displaystyle e)- neracionalioji konstanta, lygi maždaug 2,72. Jis žymimas kaip ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) arba kartais tiesiog log ⁡ x (\displaystyle \log x), jei pagrindas e (\displaystyle e) numanoma . Kitaip tariant, natūralusis skaičiaus logaritmas x- tai eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių e gauti x. Šis apibrėžimas gali būti išplėstas iki kompleksinių skaičių.

Natūralųjį logaritmą taip pat galima apibrėžti geometriškai bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) tarpais [1; a ] (\displaystyle ). Šio apibrėžimo paprastumas, atitinkantis daugelį kitų formulių, naudojančių šį logaritmą, paaiškina pavadinimo „natūralus“ kilmę.

Jei natūralųjį logaritmą laikysime realia tikrojo kintamojo funkcija, tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, kuri veda į tapatybes:

Kaip ir visi logaritmai, natūralusis logaritmas priskiria daugybą ir sudėjimą:

Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Atkreipkite dėmesį: logaritmas iš neteigiamas skaičius neapibrėžtas. Be to, logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, nelygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2, gauname skaičių 4, bet tai nereiškia, kad logaritmas iki 4 bazės -2 yra lygus 2.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Svarbu, kad šios formulės dešinės ir kairės pusės apibrėžimo apimtis būtų skirtinga. Kairė pusė apibrėžta tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė yra apibrėžtas bet kuriam b, bet visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti OD pasikeitimą.

Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės

Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.

Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Norėčiau perspėti moksleivius, kad sprendžiant šias formules neapgalvotai taikytų logaritmines lygtis ir nelygybės. Naudojant juos „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o pereinant nuo logaritmų sumos ar skirtumo prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.

Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.

Transformuojasi ši išraiškaį sumą log a f (x) + log a g (x) , esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Yra teritorijos susiaurėjimas priimtinos vertės, ir tai kategoriškai nepriimtina, nes tai gali lemti sprendimų praradimą. Panaši problema yra su (6) formule.

Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo

Ir vėl norėčiau paraginti tikslumo. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Iš logaritmo išėmę laipsnį, vėl susiauriname ODZ. Atvirkštinė procedūra leidžia išplėsti priimtinų verčių diapazoną. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lygiai galiai.

Perėjimo prie naujo pagrindo formulė

Tas retas atvejis, kai transformacijos metu ODZ nesikeičia. Jei išmintingai pasirinkote bazę c (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.

Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų ypatingas atvejis formulės (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: log2 + log50.
Sprendimas. log2 + log50 = log100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.

Pavyzdys 2. Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. log125/log5 = log 5 125 = 3. Naudojome perėjimo į naują bazę formulę (8).

Su logaritmais susijusių formulių lentelė

Natūralus logaritmas

Natūralaus logaritmo funkcijos grafikas. Funkcija pamažu artėja prie teigiamos begalybės, kai ji didėja x ir greitai artėja prie neigiamos begalybės, kai x linkęs į 0 („lėtas“ ir „greitas“, palyginti su bet kokia galios funkcija x).

Natūralus logaritmas yra logaritmas iki pagrindo , Kur e- neracionalioji konstanta, lygi maždaug 2,718281 828. Natūralusis logaritmas paprastai rašomas kaip ln( x), žurnalas e (x) arba kartais tiesiog prisijunk ( x), jei pagrindas e numanoma.

Natūralusis skaičiaus logaritmas x(parašyta kaip ln(x)) yra rodiklis, iki kurio skaičius turi būti padidintas e gauti x. Pavyzdžiui, ln(7 389...) yra lygus 2, nes e 2 =7,389... . Natūralusis paties skaičiaus logaritmas e (ln(e)) yra lygus 1, nes e 1 = e, o natūralusis logaritmas yra 1 ( ln(1)) yra lygus 0, nes e 0 = 1.

Natūralųjį logaritmą galima apibrėžti bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1/x nuo 1 iki a. Dėl šio apibrėžimo paprastumo, kuris atitinka daugelį kitų formulių, naudojančių natūralųjį logaritmą, atsirado pavadinimas „natūralus“. Šis apibrėžimas gali būti išplėstas iki kompleksinių skaičių, kaip bus aptarta toliau.

Jei natūralųjį logaritmą laikysime realia tikrojo kintamojo funkcija, tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, kuri veda į tapatybes:

Kaip ir visi logaritmai, natūralusis logaritmas priskiria daugybą ir sudėjimą:

Taigi logaritminė funkcija yra teigiamų realiųjų skaičių grupės izomorfizmas daugybos iš grupės atžvilgiu. realūs skaičiai pridedant, kuri gali būti pavaizduota kaip funkcija:

Logaritmas gali būti apibrėžtas bet kuriai teigiamai bazei, išskyrus 1, o ne tik e, tačiau kitų bazių logaritmai nuo natūraliojo logaritmo skiriasi tik pastoviu koeficientu ir paprastai apibrėžiami natūraliojo logaritmo požiūriu. Logaritmai yra naudingi sprendžiant lygtis, kurių eksponentai yra nežinomi. Pavyzdžiui, logaritmai naudojami skilimo konstantai nustatyti žinomo pusinės eliminacijos periodui arba skilimo laikui sprendžiant radioaktyvumo problemas. Jie žaidžia svarbus vaidmuo daugelyje matematikos sričių ir taikomieji mokslai, yra naudojami finansų srityje sprendžiant daugelį problemų, įskaitant paiešką sudėtines palūkanas.

Istorija

Pirmą kartą natūralųjį logaritmą paminėjo Nikolajus Merkatorius savo darbe Logaritmotechnika, išleistas 1668 m., nors matematikos mokytojas Johnas Spidellas natūraliųjų logaritmų lentelę sudarė dar 1619 m. Anksčiau jis buvo vadinamas hiperboliniu logaritmu, nes atitinka plotą po hiperbole. Kartais jis vadinamas Napier logaritmu, nors pradinė šio termino reikšmė buvo kiek kitokia.

Paskyrimo sutartys

Natūralus logaritmas paprastai žymimas "ln( x)“, logaritmas iki 10 bazės – per „lg( x)“, o kitos priežastys paprastai aiškiai nurodomos simboliu „rąstas“.

Daugelyje darbų apie diskrečiąją matematiką, kibernetiką ir informatiką autoriai naudoja žymėjimą „log( x)“ logaritmams iki 2 bazės, tačiau ši nuostata nėra visuotinai priimta ir ją reikia paaiškinti naudojamų žymėjimų sąraše arba (jei tokio sąrašo nėra) išnašoje ar komentare pirmą kartą naudojant.

Skliaustai aplink logaritmų argumentą (jei dėl to formulės neskaitoma klaidingai) dažniausiai praleidžiami, o keliant logaritmą į laipsnį, eksponentas priskiriamas tiesiai logaritmo ženklui: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerikos sistema

Matematikai, statistikai ir kai kurie inžinieriai paprastai vartoja terminą „natūralus logaritmas“ arba „log( x)“ arba „ln( x)“, o baziniam 10 logaritmui žymėti – „log 10 ( x)».

Kai kurie inžinieriai, biologai ir kiti specialistai visada rašo „ln( x)“ (arba kartais „log e ( x)"), kai jie reiškia natūralųjį logaritmą ir žymėjimą "log( x)" jie reiškia log 10 ( x).

žurnalas e yra „natūralus“ logaritmas, nes jis atsiranda automatiškai ir labai dažnai pasirodo matematikoje. Pavyzdžiui, apsvarstykite išvestinę problemą logaritminė funkcija:

Jei pagrindas b lygus e, tada išvestinė yra tiesiog 1/ x, ir kada x= 1 ši išvestinė lygi 1. Kita priežastis, kodėl bazė e Natūraliausias logaritmo dalykas yra tai, kad jį galima apibrėžti gana paprastai paprastas integralas arba Taylor serijos, ko negalima pasakyti apie kitus logaritmus.

Tolesni natūralumo pagrindimai nėra susiję su žymėjimu. Pavyzdžiui, yra keletas paprastų eilučių su natūraliaisiais logaritmais. Pietro Mengoli ir Nicholas Mercator juos pavadino natūralus logaritmas keletą dešimtmečių, kol Niutonas ir Leibnicas sukūrė diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Apibrėžimas

Formaliai ln( a) gali būti apibrėžtas kaip plotas po grafiko kreive 1/ x nuo 1 iki a, ty kaip integralas:

Tai iš tikrųjų yra logaritmas, nes jis tenkina pagrindinė nuosavybė logaritmas:

Tai galima įrodyti darant prielaidą, kad:

Skaitinė reikšmė

Skaičiavimui skaitinė reikšmė natūralų skaičiaus logaritmą, galite naudoti savo Taylor serijos išplėtimą tokia forma:

Norėdami gauti geresnį konvergencijos rodiklį, galite naudoti šią tapatybę:

Dėl ln( x), kur x> 1 nei artimesnę vertę x tada iki 1 greitesnis greitis konvergencija. Su logaritmu susietos tapatybės gali būti naudojamos tikslui pasiekti:

Šie metodai buvo naudojami dar prieš atsirandant skaičiuotuvams, kuriems jie buvo naudojami skaitines lenteles ir buvo atliktos panašios į aukščiau aprašytas manipuliacijos.

Didelis tikslumas

Norėdami apskaičiuoti natūralųjį logaritmą su didelis skaičius tikslumo skaičiai, Taylor serija nėra efektyvi, nes jos konvergencija yra lėta. Alternatyva yra naudoti Niutono metodą, kad būtų galima invertuoti į eksponentinę funkciją, kurios eilutės konverguoja greičiau.

Alternatyva labai dideliam skaičiavimo tikslumui yra formulė:

Kur Mžymi aritmetinį-geometrinį vidurkį 1 ir 4/s, ir

m pasirinkta taip p pasiekiami tikslumo ženklai. (Daugeliu atvejų pakanka m reikšmės 8.) Tiesą sakant, jei naudojamas šis metodas, norint efektyviai apskaičiuoti eksponentinę funkciją, galima taikyti natūraliojo logaritmo atvirkštinę Niutono vertę. (Konstantos ln 2 ir pi gali būti iš anksto apskaičiuotos norimu tikslumu, naudojant bet kurią iš žinomų greitai konvergencinių eilučių.)

Skaičiavimo sudėtingumas

Natūralių logaritmų skaičiavimo sudėtingumas (naudojant aritmetinį-geometrinį vidurkį) yra O( M(n)ln n). Čia n yra tikslumo skaitmenų skaičius, kuriam turi būti įvertintas natūralusis logaritmas, ir M(n) yra dviejų padauginimo sudėtingumas n- skaitmenų skaičius.

Tęstinės trupmenos

Nors logaritmui pavaizduoti nėra paprastų tęstinių trupmenų, gali būti naudojamos kelios apibendrintos tęstinės trupmenos, įskaitant:

Sudėtingi logaritmai

Eksponentinė funkcija gali būti išplėsta iki funkcijos, kuri suteikia kompleksinį formos skaičių e x bet kuriam savavališkam kompleksiniam skaičiui x, šiuo atveju begalinė serija su kompleksu x. Tai eksponentinė funkcija gali būti apverstas, kad susidarytų sudėtingas logaritmas, kuris turės dažniausiaiįprastų logaritmų savybės. Tačiau yra du sunkumai: nėra x, kuriam e x= 0, ir paaiškėja, kad e 2πi = 1 = e 0 . Kadangi daugialypumo savybė galioja sudėtingai eksponentinei funkcijai, tada e z = e z+2nπi visiems kompleksams z ir visa n.

Logaritmas negali būti apibrėžtas visoje kompleksinėje plokštumoje, ir net tada jis yra daugiareikšmis – bet kurį sudėtingą logaritmą galima pakeisti „ekvivalentišku“ logaritmu, pridedant bet kurį sveikąjį skaičių kartotinį iš 2 πi. Sudėtinis logaritmas gali būti tik vienos vertės pjūvyje sudėtinga plokštuma. Pavyzdžiui, ln i = 1/2 πi arba 5/2 πi arba −3/2 πi ir tt, ir nors i 4 = 1,4 log i galima apibrėžti kaip 2 πi, arba 10 πi arba –6 πi ir pan.

Taip pat žr

• Johnas Napier - logaritmų išradėjas

Pastabos

1. Matematika fizinei chemijai. – 3-ioji. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,9 puslapio ištrauka
2. J. J. O. Connoras ir E. F. Robertsonas Skaičius e. MacTutor matematikos istorijos archyvas (2001 m. rugsėjis). Suarchyvuota
3. Cajori Florian Matematikos istorija, 5 leidimas. - AMS knygynas, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmanas, Martinas Integralų įvertinimas naudojant polinomus. Suarchyvuota nuo originalo 2012 m. vasario 12 d.

Logaritmas duotas numeris vadinamas eksponentu, į kurį turi būti pakeltas kitas skaičius, vadinamas pagrindu logaritmas, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, 10 bazinis 10 logaritmas yra 2. Kitaip tariant, 10 turi būti padalytas kvadratu, kad gautumėte 100 (10 2 = 100). Jeigu n- duotas numeris, b– bazė ir l– tada logaritmas b l = n. Skaičius n dar vadinamas baziniu antilogaritmu b numeriai l. Pavyzdžiui, antilogaritmas nuo 2 iki 10 bazės yra lygus 100. Tai galima parašyti ryšių žurnalo forma b n = l ir antilog b l = n.

Pagrindinės logaritmų savybės:

Bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną, gali būti logaritmų pagrindas, bet, deja, paaiškėja, kad jei b Ir n yra racionalieji skaičiai, tada retais atvejais yra toks racionalus skaičius l, Ką b l = n. Tačiau galima nustatyti neracionalus skaičius l Pavyzdžiui, 10 l= 2; tai neracionalus skaičius l galima apytiksliai apskaičiuoti bet kokiu reikiamu tikslumu racionalūs skaičiai. Pasirodo, kad aukščiau pateiktame pavyzdyje l yra apytiksliai lygus 0,3010, o šį 2 bazinio 10 logaritmo aproksimaciją galima rasti keturženklėse lentelėse dešimtainiai logaritmai. 10 bazinių logaritmų (arba 10 bazinių logaritmų) taip dažnai naudojami skaičiavimai, kad jie vadinami įprastas logaritmus ir parašyta kaip log2 = 0,3010 arba log2 = 0,3010, nenurodant logaritmo pagrindo. Logaritmai iki pagrindo e, transcendentinis skaičius, apytiksliai lygus 2,71828, yra vadinami natūralus logaritmus. Jų daugiausia galima rasti darbuose apie matematinė analizė ir jo taikymas įvairių mokslų. Natūralūs logaritmai taip pat rašomi aiškiai nenurodant pagrindo, o naudojant specialų žymėjimą ln: pavyzdžiui, ln2 = 0,6931, nes e 0,6931 = 2.

Naudojant įprastų logaritmų lenteles.

Taisyklingasis skaičiaus logaritmas yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti 10, kad gautume nurodytą skaičių. Kadangi 10 0 = 1, 10 1 = 10 ir 10 2 = 100, iš karto gauname, kad log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 ir t.t. sveikųjų skaičių laipsniams didinti 10. Taip pat 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ir todėl log0,1 = –1, log0,01 = –2 ir kt. visiems sveikiesiems skaičiams neigiamų galių 10. Įprasti likusių skaičių logaritmai yra tarp skaičiaus 10 artimiausių sveikųjų laipsnių logaritmų; log2 turi būti nuo 0 iki 1, log20 turi būti nuo 1 iki 2, o log0.2 turi būti nuo -1 iki 0. Taigi logaritmas susideda iš dviejų dalių: sveikojo skaičiaus ir dešimtainis, esantis tarp 0 ir 1. Sveikoji dalis vadinama charakteristika logaritmas ir nustatomas pagal patį skaičių, trupmeninė dalis paskambino mantisa ir galima rasti iš lentelių. Be to, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 logaritmas yra 0,3010, taigi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Panašiai log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Atėmus gauname log0.2 = – 0.6990. Tačiau log0.2 patogiau pavaizduoti kaip 0.3010 – 1 arba kaip 9.3010 – 10; galima suformuluoti ir bendroji taisyklė: visi skaičiai, gauti iš tam tikro skaičiaus padauginus iš laipsnio 10, turi tą pačią mantisą, lygią mantisai duotas numeris. Daugumoje lentelių pateikiamos skaičių mantisos intervale nuo 1 iki 10, nes visų kitų skaičių mantisas galima gauti iš pateiktų lentelėje.

Daugumoje lentelių logaritmai pateikiami su keturiais arba penkiais po kablelio, nors yra septynženklių lentelių ir lentelių su dar didesniu simbolių skaičiumi. Lengviausias būdas išmokti naudotis tokiomis lentelėmis yra pavyzdžiai. Norėdami rasti log3.59, visų pirma pažymime, kad skaičius 3.59 yra tarp 10 0 ir 10 1, taigi jo charakteristika yra 0. Lentelėje randame skaičių 35 (kairėje) ir eilute pereiname į stulpelis, kurio viršuje yra skaičius 9; šio stulpelio ir 35 eilutės sankirta yra 5551, taigi log3,59 = 0,5551. Rasti skaičiaus su keturiais mantisą reikšmingi skaičiai, būtina griebtis interpoliacijos. Kai kuriose lentelėse interpoliaciją palengvina proporcijos, pateiktos paskutiniuose devyniuose stulpeliuose kiekvieno lentelių puslapio dešinėje. Dabar suraskime log736.4; skaičius 736,4 yra tarp 10 2 ir 10 3, todėl jo logaritmo charakteristika yra 2. Lentelėje randame eilutę, kurios kairėje yra 73 ir stulpelį 6. Šios eilutės ir šio stulpelio sankirtoje yra skaičių 8669. Tarp tiesinių dalių randame 4 stulpelį 73 eilutės ir 4 stulpelio sankirtoje yra skaičius 2. Pridėjus 2 prie 8669, gauname mantisą – ji lygi 8671. Taigi log736.4. = 2,8671.

Natūralūs logaritmai.

Natūralių logaritmų lentelės ir savybės yra panašios į įprastų logaritmų lenteles ir savybes. Pagrindinis skirtumas tarp abiejų yra tas, kad natūralaus logaritmo sveikoji dalis nėra reikšminga nustatant padėtį kablelis, todėl skirtumas tarp mantisos ir charakteristikos nevaidina ypatingo vaidmens. Natūralūs skaičių logaritmai 5,432; 54,32 ir 543,2 yra atitinkamai lygūs 1,6923; 3,9949 ir ​​6,2975. Ryšys tarp šių logaritmų taps akivaizdus, ​​jei atsižvelgsime į jų skirtumus: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; paskutinis numeris yra ne kas kita, kaip natūralusis skaičiaus 10 logaritmas (parašytas taip: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; paskutinis skaičius yra 2ln10. Bet 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Taigi pagal tam tikro skaičiaus natūralųjį logaritmą a galima rasti natūralūs logaritmai skaičiai, lygus produktams numeriai a bet kokiam laipsniui n skaičiai 10 jei į ln a pridėkite ln10 padaugintą iš n, t.y. ln( aґ10n) = žurnalas a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Pavyzdžiui, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Todėl natūraliųjų logaritmų lentelėse, kaip ir paprastųjų logaritmų lentelėse, dažniausiai būna tik skaičių logaritmai nuo 1 iki 10. Natūraliųjų logaritmų sistemoje galima kalbėti apie antilogaritmus, bet dažniau kalbama apie eksponentinę funkciją arba laipsnį. Jeigu x= žurnalas y, Tai y = e x, Ir y vadinamas eksponentu x(dėl tipografinio patogumo jie dažnai rašo y= exp x). Rodiklis atlieka skaičiaus antilogaritmo vaidmenį x.

Naudodami dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų lenteles galite kurti logaritmų lenteles bet kokia baze, išskyrus 10 ir e. Jei žurnalas b a = x, Tai b x = a, todėl užsiregistruokite c b x=log c a arba xžurnalas c b=log c a, arba x=log c a/log c b=log b a. Todėl naudojant šią inversijos formulę iš bazinės logaritmų lentelės c logaritmų lenteles galite sudaryti bet kurioje kitoje bazėje b. Daugiklis 1/log c b paskambino perėjimo modulis nuo pagrindo cį bazę b. Niekas netrukdo, pavyzdžiui, naudoti inversijos formulę arba pereiti iš vienos logaritmų sistemos į kitą, rasti natūralius logaritmus įprastų logaritmų lentelėje arba atlikti atvirkštinį perėjimą. Pavyzdžiui, log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923 / 2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Skaičius 0,4343, iš kurio reikia padauginti natūralųjį tam tikro skaičiaus logaritmą, kad gautume paprastą logaritmą, yra perėjimo prie įprastų logaritmų sistemos modulis.

Specialūs stalai.

Logaritmai iš pradžių buvo išrasti taip, kad naudojant jų savybes log ab=log a+ žurnalas b ir žurnalas a/b=log a– žurnalas b, produktus paverskite sumomis, o dalinius – skirtumais. Kitaip tariant, jei log a ir žurnalas b yra žinomi, tada sudėti ir atimti galime nesunkiai rasti sandaugos logaritmą ir koeficientą. Tačiau astronomijoje taip dažnai duotomis vertybėmisžurnalas a ir žurnalas b reikia rasti žurnalą ( a + b) arba žurnalas ( a – b). Žinoma, pirmiausia būtų galima rasti iš logaritmų lentelių a Ir b, tada atlikite nurodytą sudėjimą arba atimtį ir vėl atsivertę lenteles suraskite reikiamus logaritmus, tačiau tokiai procedūrai reikėtų remtis lenteles tris kartus. Z. Leonelli 1802 metais paskelbė lenteles vadinamųjų. Gauso logaritmai– sumų ir skirtumų sudėjimo logaritmai – tai leido apsiriboti viena prieiga prie lentelių.

1624 metais I. Kepleris pasiūlė lenteles proporcingi logaritmai, t.y. skaičių logaritmai a/x, Kur a– kai kurie teigiami pastovus. Šias lenteles daugiausia naudoja astronomai ir navigatoriai.

Proporciniai logaritmai ties a= 1 yra vadinami pagal logaritmus ir naudojami skaičiuojant, kai tenka spręsti sandaugas ir koeficientus. Skaičiaus klogaritmas n lygus logaritmui abipusis skaičius; tie. colog n= log1/ n= – žurnalas n. Jei log2 = 0,3010, tai colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologaritmų naudojimo pranašumas yra tas, kad skaičiuojant reiškinių logaritmo reikšmę, pvz. pq/r triguba teigiamų dešimtainių skaičių žurnalo suma p+ žurnalas q+odekolas r yra lengviau rasti nei mišrios sumos ir skirtumo žurnalas p+ žurnalas q– žurnalas r.

Istorija.

Principas, kuriuo grindžiama bet kokia logaritmų sistema, buvo žinomas labai ilgą laiką ir gali būti atsektas iki senovės Babilono matematikos (apie 2000 m. pr. Kr.). Tais laikais interpoliacija tarp lentelės reikšmės visa teigiami laipsniai skaičiuojant sudėtines palūkanas buvo naudojami sveikieji skaičiai. Daug vėliau Archimedas (287–212 m. pr. Kr.) panaudojo 10 8 galias, kad surastų viršutinė riba smėlio grūdelių, reikalingų visiškai užpildyti tuomet žinomą Visatą, skaičius. Archimedas atkreipė dėmesį į eksponentų savybę, kuria grindžiamas logaritmų efektyvumas: galių sandauga atitinka eksponentų sumą. Viduramžių pabaigoje ir moderniosios eros pradžioje matematikai vis labiau ėmė nagrinėti geometrinės ir aritmetinės progresijos ryšį. M. Stiefel savo esė Sveikųjų skaičių aritmetika(1544) pateikė skaičiaus 2 teigiamų ir neigiamų galių lentelę:

Stiefelis pastebėjo, kad dviejų skaičių suma pirmoje eilutėje (rodiklio eilutėje) yra lygi dviejų rodikliui, atitinkančiam dviejų atitinkamų skaičių sandaugą apatinėje eilutėje (rodiklio eilutėje). Ryšium su šia lentele Stiefel suformulavo keturias taisykles, lygias keturioms šiuolaikinės taisyklės operacijos su eksponentais arba keturios logaritmų veiksmų taisyklės: suma viršutinėje eilutėje atitinka sandaugą apatinėje eilutėje; atimtis viršutinėje eilutėje atitinka padalijimą apatinėje eilutėje; daugyba viršutinėje eilutėje atitinka eksponenciją apatinėje eilutėje; padalijimas viršutinėje eilutėje atitinka įsišaknijimą apatinėje eilutėje.

Matyt, taisyklės, panašios į Stiefelio taisykles, paskatino J. Naperį savo darbe oficialiai įvesti pirmąją logaritmų sistemą. Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas, išleistas 1614 m. Tačiau Napier mintys buvo užimtos produktų konvertavimo į sumas problema, nes daugiau nei dešimt metų iki jo darbo paskelbimo Napier gavo žinių iš Danijos, kad Tycho Brahe observatorijoje jo padėjėjai turi metodą, kuris padarė galima produktus konvertuoti į sumas. Napier gautame pranešime minimas metodas buvo pagrįstas naudojimu trigonometrines formules tipo

todėl Naperio lenteles daugiausia sudarė logaritmai trigonometrinės funkcijos. Nors bazės sąvoka nebuvo aiškiai įtraukta į Napier pasiūlytą apibrėžimą, logaritmų sistemos bazei lygiavertį vaidmenį jo sistemoje atliko skaičius (1 – 10 –7)ґ10 7, apytiksliai lygus 1/ e.

Nepriklausomai nuo Naperio ir beveik kartu su juo, logaritmų sistemą, gana panašaus tipo, išrado ir paskelbė J. Bürgi Prahoje, išleistą 1620 m. Aritmetinės ir geometrinės progresijos lentelės. Tai buvo antilogaritmų pagal bazę lentelės (1 + 10 –4) ґ10 4, gana geras skaičiaus apytikslis. e.

Naperio sistemoje skaičiaus 10 7 logaritmas buvo laikomas nuliu, o skaičiams mažėjant logaritmai didėjo. Kai G. Briggsas (1561–1631) lankėsi Napieryje, abu sutiko, kad būtų patogiau kaip bazę naudoti skaičių 10 ir paimti vieno logaritmą. lygus nuliui. Tada, padidėjus skaičiams, jų logaritmai padidėtų. Taigi gavome moderni sistema dešimtainiai logaritmai, kurių lentelę Briggsas paskelbė savo darbe Logaritminė aritmetika(1620). Logaritmai iki pagrindo e, nors ir ne visai tie, kuriuos pristatė Naper, dažnai vadinami Naperio. Sąvokas „charakteristika“ ir „mantisa“ pasiūlė Briggsas.

Pirmieji galiojantys logaritmai istorinių priežasčių naudojo apytiksles skaičių 1/ e Ir e. Kiek vėliau natūralių logaritmų idėja buvo pradėta sieti su hiperbolės plotų tyrimu. xy= 1 (1 pav.). XVII amžiuje buvo parodyta, kad šios kreivės apribotas plotas, ašis x ir ordinatės x= 1 ir x = a(1 pav. ši sritis padengta storesniais ir retesniais taškais) didėja aritmetinė progresija, Kada a padidėja geometrinė progresija. Kaip tik ši priklausomybė atsiranda operacijų su eksponentais ir logaritmais taisyklėse. Dėl to Naperio logaritmai buvo vadinami „hiperboliniais logaritmais“.

Logaritminė funkcija.

Buvo laikas, kai logaritmai buvo laikomi tik skaičiavimo priemone, tačiau XVIII amžiuje, daugiausia dėl Eulerio darbų, susiformavo logaritminės funkcijos samprata. Tokios funkcijos grafikas y= žurnalas x, kurio ordinatės didėja aritmetine progresija, o abscisės didėja geometrine progresija, parodyta fig. 2, A. Atvirkštinės arba eksponentinės funkcijos grafikas y = e x, kurio ordinatės didėja geometrine progresija, o abscisės didėja aritmetinėje progresijoje, atitinkamai parodytos fig. 2, b. (Kreivės y=log x Ir y = 10x savo forma panaši į kreives y= žurnalas x Ir y = e x.) Taip pat buvo pasiūlyti alternatyvūs logaritminės funkcijos apibrėžimai, pavyzdžiui,

kpi ; ir, panašiai, skaičiaus -1 natūralūs logaritmai yra kompleksiniai skaičiai formos (2 k + 1)pi, Kur k– sveikasis skaičius. Panašūs teiginiai galioja bendriesiems logaritmams ar kitoms logaritmų sistemoms. Be to, logaritmų apibrėžimas gali būti apibendrintas naudojant Eulerio tapatybes, įtraukiant sudėtingus kompleksinių skaičių logaritmus.

Alternatyvų logaritminės funkcijos apibrėžimą pateikia funkcinė analizė. Jeigu f(x) – nuolatinė funkcija realus skaičius x, turintis šias tris savybes: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), tai f(x) yra apibrėžiamas kaip skaičiaus logaritmas x remiantis b. Šis apibrėžimas turi daug privalumų, palyginti su šio straipsnio pradžioje pateiktu apibrėžimu.

Programos.

Logaritmai iš pradžių buvo naudojami tik skaičiavimams supaprastinti, o ši programa vis dar yra viena iš svarbiausių. Skaičiuoti sandaugas, koeficientus, laipsnius ir šaknis palengvina ne tik platus publikuotų logaritmų lentelių prieinamumas, bet ir vadinamasis naudojimas. slydimo taisyklė– skaičiavimo įrankis, kurio veikimo principas pagrįstas logaritmų savybėmis. Liniuotė aprūpinta logaritminėmis skalėmis, t.y. atstumas nuo 1 iki bet kurio skaičiaus x pasirinktas lygus log x; Perkeliant vieną skalę kitos atžvilgiu, galima nubraižyti logaritmų sumas arba skirtumus, o tai leidžia tiesiogiai iš skalės nuskaityti atitinkamų skaičių sandaugas arba dalinius. Pasinaudokite skaičių vaizdavimu logaritminė forma leidžia ir kt. logaritminis popierius grafikams braižyti (popierius su logaritminėmis skalėmis, atspausdintomis ant abiejų koordinačių ašių). Jei funkcija tenkina formos laipsnio dėsnį y = kxn, tada ji logaritminis grafikas atrodo kaip tiesi linija, nes žurnalas y=log k + nžurnalas x– logo atžvilgiu tiesinė lygtis y ir žurnalas x. Priešingai, jei kokios nors funkcinės priklausomybės logaritminis grafikas atrodo kaip tiesi linija, tai ši priklausomybė yra laipsniška. Pusiau logaritminis popierius (kuriame yra ordinačių ašis logaritminė skalė, o abscisių ašis yra vienoda skalė) yra patogus tais atvejais, kai reikia nustatyti eksponentines funkcijas. Formos lygtys y = kb rx atsiranda, kai tam tikras kiekis, pavyzdžiui, populiacija, kiekis radioaktyvios medžiagos arba banko likutis, mažėja arba didėja proporcingai turimai normai šiuo metu gyventojų skaičius, radioaktyvioji medžiaga arba pinigai. Jei tokia priklausomybė nubraižyta ant pusiau logaritminio popieriaus, grafikas atrodys kaip tiesi linija.

Logaritminė funkcija atsiranda dėl įvairių natūralių formų. Gėlės saulėgrąžų žiedynuose išsidėsčiusios logaritminėmis spiralėmis, moliuskų lukštai susukti Nautilus, kalnų avių ragai ir papūgos snapai. Visos šios natūralios formos gali būti kreivės, žinomos kaip logaritminė spiralė, pavyzdžiai, nes in poliarinė sistema koordinates, jos lygtis turi formą r = ae bq, arba ln r= žurnalas a + bq. Tokią kreivę apibūdina judantis taškas, kurio atstumas nuo ašigalio didėja geometrine progresija, o jo spindulio vektoriumi aprašomas kampas didėja aritmetine progresija. Tokios kreivės, taigi ir logaritminės funkcijos, paplitimą gerai iliustruoja tai, kad ji atsiranda tokioje toli ir visiškai įvairiose srityse, kaip ekscentrinio kumštelio kontūras ir kai kurių vabzdžių, skrendančių link šviesos, trajektorija.