Pamoka ir pranešimas tema: "Nelygybių sistemos. Sprendimų pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Interaktyvus vadovėlis 9 klasei „Geometrijos taisyklės ir pratimai“
Elektroninis vadovėlis „Suprantama geometrija“ 7-9 kl

Nelygybių sistema

Pateikiame nelygybių sistemos apibrėžimą.
Kelios nelygybės su kokiu nors kintamuoju x sudaro nelygybių sistemą, jei reikia rasti visas x reikšmes, kurioms kiekviena iš nelygybių sudaro teisingą skaitinė išraiška.

Bet kuri x reikšmė, kuriai kiekviena nelygybė turi teisingą skaitinę išraišką, yra nelygybės sprendimas. Galima vadinti ir privačiu sprendimu.
Kas yra privatus sprendimas? Pavyzdžiui, atsakyme gavome išraišką x>7. Tada x=8 arba x=123 arba bet koks kitas skaičius, didesnis nei septyni, yra tam tikras sprendimas, o išraiška x>7 yra bendras sprendimas. Bendrą sprendimą sudaro daugybė privačių sprendimų.

Kaip mes sujungėme lygčių sistemą? Teisingai, garbanotas petnešas, todėl jie tą patį daro ir su nelygybėmis. Pažiūrėkime į nelygybių sistemos pavyzdį: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jei nelygybių sistema susideda iš identiškų išraiškų, pavyzdžiui, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Taigi, ką tai reiškia: rasti sprendimą dėl nelygybių sistemos?
Nelygybės sprendimas yra dalinių nelygybės sprendinių rinkinys, kuris tenkina abi sistemos nelygybes iš karto.

Bendrąją nelygybių sistemos formą rašome $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Pažymime $Х_1$ kaip bendrąjį nelygybės f(x)>0 sprendinį.
$X_2$ yra bendras nelygybės g(x)>0 sprendimas.
$X_1$ ir $X_2$ yra tam tikrų sprendimų rinkinys.
Nelygybių sistemos sprendimas bus skaičiai, priklausantys ir $X_1$, ir $X_2$.
Prisiminkime operacijas su aibėmis. Kaip rasti aibės elementus, priklausančius abiem aibėms iš karto? Teisingai, tam yra sankryžos operacija. Taigi, mūsų nelygybės sprendimas bus aibė $A= X_1∩ X_2$.

Nelygybių sistemų sprendimų pavyzdžiai

Išspręskite nelygybių sistemą.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Sprendimas.
a) Išspręskite kiekvieną nelygybę atskirai.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1 USD.
$5x-10
Pažymėkime savo intervalus vienoje koordinačių tiesėje.

Sistemos sprendimas bus mūsų intervalų susikirtimo segmentas. Nelygybė griežta, tada segmentas bus atviras.
Atsakymas: (1;3).

B) Kiekvieną nelygybę taip pat spręsime atskirai.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.


Sistemos sprendimas bus mūsų intervalų susikirtimo segmentas. Antroji nelygybė yra griežta, tada segmentas bus atviras kairėje.
Atsakymas: (-5; 5].

Apibendrinkime tai, ką sužinojome.
Tarkime, reikia išspręsti nelygybių sistemą: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Tada intervalas ($x_1; x_2$) yra pirmosios nelygybės sprendimas.
Intervalas ($y_1; y_2$) yra antrosios nelygybės sprendimas.
Nelygybių sistemos sprendimas yra kiekvienos nelygybės sprendinių sankirta.

Nelygybių sistemas gali sudaryti ne tik pirmos eilės nelygybės, bet ir bet kokios kitos nelygybės rūšys.

Svarbios nelygybių sistemų sprendimo taisyklės.
Jei viena iš sistemos nelygybių neturi sprendinių, tai visa sistema neturi sprendinių.
Jei viena iš nelygybių tenkinama bet kuriai kintamojo vertei, tada sistemos sprendimas bus kitos nelygybės sprendimas.

Pavyzdžiai.
Išspręskite nelygybių sistemą:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Sprendimas.
Išspręskime kiekvieną nelygybę atskirai.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Išspręskime antrąją nelygybę.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Nelygybės sprendimas yra intervalas.
Nubrėžkime abu intervalus toje pačioje tiesėje ir raskime sankirtą.
Intervalų sankirta yra atkarpa (4; 6]).
Atsakymas: (4;6]).

Išspręskite nelygybių sistemą.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Sprendimas.
a) Pirmoji nelygybė turi sprendinį x>1.
Raskime antrosios nelygybės diskriminantą.
$D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Prisiminkime taisyklę: kai viena iš nelygybių neturi sprendinių, tai ir visa sistema neturi sprendinių.
Atsakymas: sprendimų nėra.

B) Pirmoji nelygybė turi sprendinį x>1.
Antroji nelygybė didesnis už nulį visiems x. Tada sistemos sprendinys sutampa su pirmosios nelygybės sprendiniu.
Atsakymas: x>1.

Nelygybių sistemų uždaviniai savarankiškam sprendimui

Nelygybių sistemaĮprasta vadinti bet kurią dviejų ar daugiau nelygybių aibę, kurioje yra nežinomas dydis.

Šią formuluotę aiškiai iliustruoja, pavyzdžiui, toliau nelygybių sistemos:

Išspręskite nelygybių sistemą - reiškia surasti visas nežinomo kintamojo, kuriame realizuojama kiekviena sistemos nelygybė, reikšmes arba pagrįsti, kad jos nėra .

Tai reiškia, kad kiekvienam asmeniui sistemos nelygybės Apskaičiuojame nežinomą kintamąjį. Toliau iš gautų reikšmių parenkamos tik tos, kurios teisingos ir pirmajai, ir antrajai nelygybei. Todėl, pakeičiant pasirinktą reikšmę, abi sistemos nelygybės tampa teisingos.

Pažvelkime į kelių nelygybių sprendimą:

Padėkime vieną po kitos skaičių eilučių porą; įdėkite vertę viršuje x, kuriai pirmoji nelygybė apie ( x> 1) tampa tiesa, o apačioje – reikšmė X, kurios yra antrosios nelygybės sprendimas ( X> 4).

Palyginus duomenis apie skaičių eilutės, atkreipkite dėmesį, kad sprendimas abiems nelygybės valios X> 4. Atsakymas, X> 4.

2 pavyzdys.

Skaičiuojant pirmąjį nelygybė gauname -3 X< -6, или x> 2, antra - X> -8 arba X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, kuriame realizuojamas pirmasis nelygybės sistema, o į apatinę skaičių eilutę – visos tos reikšmės X, kurioje realizuojama antroji sistemos nelygybė.

Palyginę duomenis, matome, kad abu nelygybės bus įgyvendinta visoms vertybėms X, dedamas nuo 2 iki 8. Vertybių rinkinys Xžymėti dviguba nelygybė 2 < X< 8.

3 pavyzdys. Mes surasime

Programa, skirta spręsti tiesinius, kvadratinius ir trupmeninės nelygybės ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir pateikia išsamų sprendimą su paaiškinimais, t.y. rodomas sprendimo procesas, skirtas matematikos ir (arba) algebros žinioms patikrinti.

Be to, jei sprendžiant vieną iš nelygybių reikia išspręsti, pvz. kvadratinė lygtis, tada rodomas ir jo detalus sprendimas (jame yra spoileris).

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams ruošiantis bandymai, tėvams stebėti savo vaikų sprendimus dėl nelygybės.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurines mokyklas ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai

matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais. Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai

ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.

Nelygybės įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.

Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai. Be to, trupmeniniai skaičiai

galima įvesti ne tik kaip dešimtainę, bet ir kaip paprastąją trupmeną.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės. Dešimtainėmis trupmeninė dalis
nuo visumos galima atskirti tašku arba kableliu. Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio

kaip šis: 2,5x - 3,5x^2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas. Įeinant skaitinė trupmena /
Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: Visa dalis &
atskirtas nuo trupmenos ampersandu:
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5 m + 1/7 m ^ 2

Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Įvesdami išraiškas galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant nelygybes, raiškos pirmiausia supaprastinamos. Pavyzdžiui:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3) Pasirinkite teisingas ženklas

Išspręskite nelygybių sistemą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.

Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas. Palaukite

sek... Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą
, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje. Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką.

įveskite laukelius

Šiek tiek teorijos.

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos. Skaitiniai intervalai

Su sistemos sąvoka susipažinote 7 klasėje ir išmokote spręsti tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Toliau nagrinėsime tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemas. Nelygybių sistemų sprendinių aibės gali būti užrašomos naudojant intervalus (intervalus, pusintervalus, atkarpas, spindulius). Taip pat susipažinsite su skaičių intervalų žymėjimu.

Jei nelygybėse \(4x > 2000\) ir \(5x \leq 4000\) nežinomas numeris x yra vienodi, tada šios nelygybės nagrinėjamos kartu ir sakoma, kad jos sudaro nelygybių sistemą: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(masyvas) \teisingai .$$

Petnešos rodo, kad reikia rasti tokias x reikšmes, kurioms abi sistemos nelygybės virstų teisingomis skaitinėmis nelygybėmis. Ši sistema- tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos pavyzdys.

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos sprendimas yra nežinomybės reikšmė, kuriai esant visos sistemos nelygybės tampa tikros. skaitinės nelygybės. Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus šios sistemos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Nelygybes \(x \geq -2 \) ir \(x \leq 3 \) galima užrašyti kaip dvigubą nelygybę: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendimai yra skirtingi skaičių rinkiniai. Šie rinkiniai turi pavadinimus. Taip, įjungta skaičių ašis skaičių x, kad \(-2 \leq x \leq 3 \) būtų atvaizduota atkarpa, kurios galai yra taškuose -2 ir 3.

Jei \(a yra segmentas ir žymimas [a; b]

Jei \(a yra intervalas ir žymimas (a; b)

Skaičių aibės \(x\), tenkinančios nelygybes \(a \leq x yra pusintervalai ir žymimos atitinkamai [a; b) ir (a; b]

Vadinami segmentai, intervalai, pusintervalai ir spinduliai skaitiniai intervalai.

Taigi, skaitiniai intervalai galima nurodyti nelygybių forma.

Dviejų nežinomųjų nelygybės sprendimas yra skaičių pora (x; y), kuri pasikeičia ši nelygybėį teisingą skaitinę nelygybę. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visų jos sprendimų aibę. Taigi, nelygybės x > y sprendiniai bus, pavyzdžiui, skaičių poros (5; 3), (-1; -1), nes \(5 \geq 3 \) ir \(-1 \geq - 1\)

Nelygybių sistemų sprendimas

Nuspręskite tiesinės nelygybės su vienu nežinomu jau išmokai. Ar žinote, kas yra nelygybių sistema ir sistemos sprendimas? Todėl nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendimo procesas jums nesukels jokių sunkumų.

Ir vis dėlto priminsime: norėdami išspręsti nelygybių sistemą, turite išspręsti kiekvieną nelygybę atskirai ir tada rasti šių sprendinių sankirtą.

Pavyzdžiui, pradinė nelygybių sistema buvo sumažinta iki formos:
$$ \left\(\begin(masyvas)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(masyvas)\right. $$

Norėdami išspręsti šią nelygybių sistemą, skaičių eilutėje pažymėkite kiekvienos nelygybės sprendinį ir raskite jų sankirtą:

Sankryža yra atkarpa [-2; 3] – tai pirminės nelygybių sistemos sprendimas.