Atsitiktinės funkcijos skerspjūvis. Atsitiktinės funkcijos ir jų charakteristikos (pavyzdžiai)

13 paskaita Atsitiktiniai procesai Pagrindinės sąvokos. Paskirstymo dėsnis ir. Stacionarus, ergodiškas

13 paskaita
Atsitiktiniai procesai
Pagrindinės sąvokos. Paskirstymo dėsnis ir pagrindinės charakteristikos
atsitiktiniai procesai. Stacionarus, ergodinis, elementarus atsitiktinis
procesus
(Achmetovas S.K.)

Apibrėžimai

Atsitiktinis procesas X(t) yra procesas, kurio reikšmė ties
bet kuriam fiksuotam t = ti yra SV X(ti)
Atsitiktinio proceso X(t) įgyvendinimas yra neatsitiktinė funkcija
x(t), į kurį atsitiktinis procesas X(t) virsta eksperimento rezultatu
Atsitiktinio proceso skerspjūvis (atsitiktinė funkcija) yra atsitiktinis
X(ti) reikšmė, kai t = ti.

Atsitiktinis procesas X(t) vadinamas procesu su diskrečiu
laiko, jei gali pasikeisti sistema, kurioje tai vyksta
jų būsenos tik momentais t1, t2, t3…..tn, kurių skaičius
baigtinis arba skaičiuojamas

laikas, jei sistema pereina iš būsenos į būseną
įvykti bet kuriuo stebimo laikotarpio t metu
Atsitiktinis procesas X(t) vadinamas tęstiniu procesu
nurodykite, ar jo skerspjūvis bet kuriuo momentu t reiškia
yra ne diskretus, o nuolatinis dydis
Atsitiktinis procesas X(t) vadinamas procesu su diskrečiu
būsena, jei bet kuriuo momentu t jos rinkinys
būsenos yra baigtinės arba skaičiuojamos, tai yra, jei jos atkarpa yra
momentas t apibūdinamas diskrečiu atsitiktiniu dydžiu

Atsitiktinių procesų klasifikacija

Taigi visas bendras įmones galima suskirstyti į 4 klases:
Procesai
laikas;
Procesai
laikas;
Procesai
laikas;
Procesai
laikas.
su diskrečiąja būsena ir diskrečiu
su diskretine būsena ir nuolatine
Su nuolatinė būsena ir diskretiškas
su nuolatine būsena ir nuolatine
Dauguma hidrologinių procesų yra
procesai su nuolatine būsena ir nenutrūkstamu
laikas. Tačiau įvesdami atskirą laiko žingsnį jie
transformuoti iš nuolatinio laiko proceso į
diskretiškas laiko procesas. Tačiau procesas išlieka
tęstinis pagal būseną

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

Bet kurios fiksuotos vertės atsitiktinio proceso skerspjūvis x(t).
argumentas t reiškia SV, turintį paskirstymo dėsnį
F (t, x) = P(X(t)< x}
Tai yra atsitiktinio proceso X(t) vienmatis pasiskirstymo dėsnis.
Tačiau tai nėra išsami bendros įmonės charakteristika, nes
apibūdina bet kurios, bet individualios, skyriaus savybes ir neduoda
idėjos apie bendrą dviejų ar daugiau skyrių paskirstymą.
Tai matyti paveiksle, kuriame pavaizduoti du SP su skirtinga tikimybe
struktūros, bet apytiksliai identiški paskirstymai SV kiekviename
skyrius

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

Todėl išsamesnė SP charakteristika yra dvimatis dėsnis
paskirstymas
F(t1,t2,x1,x2) = P (X(t1)< x1, X(t2) < x2}
IN bendras atvejis baigtinė SP charakteristika yra n-mačio pasiskirstymo dėsnis
Praktiškai vietoj daugiamačių paskirstymo dėsnių jie naudojasi
pagrindinės bendros įmonės charakteristikos, tokios kaip MO, dispersija, pradinė ir
centriniai taškai, tačiau tik bendrai įmonei šios savybės nebus
skaičiai, bet funkcijos
Matematinis SP X(t) lūkestis yra neatsitiktinė funkcija mx(t),
kuri bet kuriai argumento reikšmei t yra lygi matematinei
laukiama atitinkamos bendros įmonės skyriaus:
čia f1(x,t) yra SP X(t) vienmatis pasiskirstymo tankis

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

MO SP reiškia tam tikrą „vidutinę“ funkciją
kurios įvyksta SP plitimas
Jei atimsime jo MO iš SP X(t), gausime centruotą SP:
X0(t) = X(t) – mx(t)
SP X(t) dispersija yra neatsitiktinė SP X(t) funkcija, kuri
bet kuriai argumento t vertei yra lygi atitinkamo SP X(t) skerspjūvio sklaidai
SP X(t) = D = M(2)
Standartinis SP X(t) nuokrypis vadinamas neatsitiktiniu
funkcija σx(t), kuri yra lygi SP dispersijos kvadratinei šaknei:
σx(t) = σ = √Dx(t)

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

Norint visapusiškai apibūdinti bendrą įmonę, būtina atsižvelgti į santykius
tarp skirtingų skyrių. Todėl į išvardintų kompleksą
charakteristikas, taip pat turite pridėti SP koreliacijos funkciją:
Vadinama koreliacijos (arba kovariacijos) funkcija SP X(t).
neatsitiktinė funkcija Kx(t,t’), kuri kiekvienai reikšmių porai
argumentai t ir t’ yra lygūs atitinkamų sekcijų X(t) ir X(t’) koreliacijai
Kx(t,t') = M(x)
arba
Kx(t,t') = M = M - mx(t) mx(t')
Koreliacinės funkcijos savybės:
- su lygybe t = t' koreliacijos funkcija lygi SP dispersijai, t.y.
Kx(t,t') = Dx(t)
- koreliacinė funkcija Kx(t,t’) yra simetriška jos atžvilgiu
argumentai, tai yra
Kx(t,t') = Kx(t',t)

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

Vadinama normalizuotos koreliacijos funkcija rx(t,t’) SP X(t).
funkcija, gauta padalijus koreliacijos funkciją iš sandaugos
standartiniai nuokrypiai σx(t) σx(t’)
rx(t,t’) = /(σx(t)σx(t’)) = /(√(Dx(t)Dx(t'))
Normalizuotos koreliacijos funkcijos savybės:
- jei argumentai t ir t’ yra lygūs, normalizuotos koreliacijos funkcija
lygus vienam rx(t,t') = 1
-normalizuota koreliacijos funkcija yra simetriška
jų argumentai, tai yra, rx(t,t') = rx(t',t)
- normalizuotos koreliacijos funkcija absoliučia verte neviršija
vienetas rx(t,t’) ≤ 1

Pagrindinės atsitiktinių procesų charakteristikos

Skaliarinis SP yra kada mes kalbame apie apie vieną bendrą įmonę, kaip ir anksčiau
por.
Vektorinė bendra įmonė yra tada, kai svarstomos 2 ar daugiau bendrų įmonių.
Tarkime, kad vandens srautai laikui bėgant yra nurodyti keliose dalyse
Šiuo atveju, norėdami apibūdinti SP, turite žinoti apie kiekvieną
skaliarinis procesas:
-MO
- koreliacijos funkcija
-kryžminės koreliacijos funkcija
Dviejų atsitiktinių dydžių kryžminės koreliacijos funkcija Ri,j(t,t’).
procesai X(t) ir X(t') yra neatsitiktinė dviejų funkcija
argumentai t ir t’, kurie kiekvienai t ir t reikšmių porai yra lygūs
kovariacijos ( linijinis ryšys) dvi bendros įmonės X(t) ir X(t) skyriai
Ri,j(t,t') = M

Stacionarūs atsitiktiniai procesai

Stacionarios bendros įmonės yra bendros įmonės, kuriose visos tikimybės
charakteristikos nepriklauso nuo laiko, tai yra:
- mx = konst
- Dx = pastovus
Skirtumas tarp stacionarių ir nestacionarių bendrų įmonių parodytas paveikslėlyje
a) stacionarus SP
b) nestacionari bendra įmonė Maskvos regionui
c) nestacionarus SP dispersijoje

Stacionarios SP koreliacinės funkcijos savybės

Funkcijos lygybė pagal jos argumentą, ty kx(τ) = kx(-τ)
τ – visų SP laiko argumentų poslinkis tuo pačiu dydžiu Θ
k – SP koreliacinė funkcija, kai Kx(t1,t2) = kx(τ)
Stacionarios SP koreliacinės funkcijos reikšmė nuliui
poslinkis τ yra lygus SP dispersijai
Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)
|kx(τ)| ≤ kx(0)
Be koreliacijos funkcijos, normalizuotas
stacionarios SP koreliacinė funkcija, kuri vadinama
autokoreliacijos funkcija
rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)

Ergodiniai atsitiktiniai procesai

Ergodinė bendrų įmonių savybė yra tada, kai užtenka po vieną
ilgalaikis jungtinės veiklos įgyvendinimas gali būti vertinamas pagal bendrą įmonę kaip visumą
Pakankama SP ergodiškumo sąlyga yra sąlyga
lim kx(τ) = 0
kaip τ → ∞, t.y. didėjant šlyčiai tarp sekcijų
koreliacijos funkcija nyksta
Paveiksle pavaizduotas a) neergodinis ir b) ergodinis SP
Praktikoje (dažniausiai) esame priversti sutikti su hipoteze, kad
hidrologinių procesų stacionarumas ir ergodiškumas, kad
Džiaugiuosi galėdamas viską vertinti gyventojų

Elementarūs atsitiktiniai procesai

Elementarioji SP (e.s.p) yra argumento t, for funkcija
kurios priklausomybę nuo t pavaizduoja įprasta neatsitiktinė funkcija,
kuris kaip argumentas apima vieną ar daugiau įprastų SV
Tai reiškia, kad kiekviena SV sukuria savo SP įgyvendinimą
Pavyzdžiui, jei kurioje nors atkarpoje potvynių mažėjimo šaka yra
stabilus ir aprašytas lygtimi
Q(t) = Qne-at
a – regioninis parametras (a>0)
Qn – vandens įtekėjimas pradžios momentas laikas t = t0
tada potvynių mažėjimo procesą galima laikyti e.s.p., kur a yra neatsitiktinis
reikšmė, Qn – atsitiktinis dydis

Pagrindiniai tikslai

Galime išskirti du pagrindinius problemų tipus, kurių sprendimui reikia pasinaudoti atsitiktinių funkcijų teorija.

Tiesioginė užduotis (analizė): tam tikro įrenginio parametrai ir jo tikimybinės charakteristikos(matematiniai lūkesčiai, koreliacinės funkcijos, pasiskirstymo dėsniai) funkcijos (signalo, proceso), patenkančios į jos „įvestį“; būtina nustatyti įrenginio „išvesties“ charakteristikas (jos naudojamos sprendžiant apie įrenginio veikimo „kokybę“).

Atvirkštinė problema (sintezė): nurodomos „įvesties“ ir „išvesties“ funkcijų tikimybinės charakteristikos; reikia suprojektuoti optimalų įrenginį (rasti jo parametrus), kuris duotą įvesties funkciją paverčia tokiu išvesties funkcija, kuri turi nurodytas savybes. Šios problemos sprendimas, be atsitiktinių traukos funkcijų aparato, reikalauja kitų disciplinų ir Ši knyga neatsižvelgta.

Atsitiktinės funkcijos apibrėžimas

Atsitiktinė funkcija vadinama neatsitiktinio argumento funkcija t, kuri kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei yra atsitiktinis dydis. Atsitiktinės funkcijos argumentas tžymėti didžiosiomis raidėmis X(t), Y(t) ir tt

Pavyzdžiui, jei U- atsitiktinis kintamasis, tada funkcija X(!)=C U – atsitiktinis. Iš tiesų, kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei ši funkcija yra atsitiktinis kintamasis: for t (= 2

gauname atsitiktinį kintamąjį X x = AU adresu t 2= 1,5 – atsitiktinis dydis X 2 = 2,25 U ir tt

Tolimesnio pristatymo trumpumui pristatome skyriaus sąvoką.

Skyrius Atsitiktinė funkcija yra atsitiktinis dydis, atitinkantis fiksuotą atsitiktinės funkcijos argumento reikšmę. Pavyzdžiui, atsitiktinei funkcijai X(t) = t 2 U, pateikta aukščiau, su argumentų reikšmėmis 7, = 2 ir t 2 Atitinkamai buvo gauti = 1,5 atsitiktiniai dydžiai X ( = AUn X 2 = 2.2577, kurios yra nurodytos atsitiktinės funkcijos skyriai.

Taigi, atsitiktinė funkcija gali būti laikoma atsitiktinių dydžių rinkiniu (X(?)), priklausomai nuo parametro t. Galima ir kita atsitiktinės funkcijos interpretacija, jei pristatysime jos įgyvendinimo sampratą.

Įgyvendinimas (trajektorija, atrankinė funkcija) atsitiktinė funkcija X(t) iškviesti neatsitiktinių argumentų funkciją t, kuriai testo rezultatas gali būti lygus atsitiktinei funkcijai.

Taigi, jei eksperimente stebima atsitiktinė funkcija, tai realybėje stebimas vienas iš galimų jos įgyvendinimų; Akivaizdu, kad kai eksperimentas kartojamas, bus stebimas kitoks įgyvendinimas.

Funkcijų įgyvendinimas X(t)žymėti mažosios raidės x t (t) t x 2 (t) ir tt, kur indeksas nurodo testo numerį. Pavyzdžiui, jei X(t)= (/sin t, Kur U- nuolatinis atsitiktinis kintamasis, kuris buvo atliktas pirmame bandyme galima prasmė ir (= 3, o antrajame bandyme ir 2 = 4.6, tada diegimai X(t) yra atitinkamai neatsitiktinės funkcijos X ( (t) = 3 nuodėmė t Ir x 2 (t) = 4.6 nuodėmė t.

Taigi atsitiktinė funkcija gali būti laikoma galimų jos įgyvendinimų rinkiniu.

Atsitiktinis (stochastinis) procesas iškvieskite atsitiktinių argumentų funkciją t, kuris interpretuojamas kaip laikas. Pavyzdžiui, jei lėktuvas turi skristi tam tikru pastoviu greičiu, tai realybėje dėl atsitiktinių veiksnių (temperatūros svyravimų, vėjo stiprumo pokyčių ir kt.) įtakos, į kurių įtaką iš anksto negalima atsižvelgti, 2010 m. greitis keičiasi. Šiame pavyzdyje orlaivio greitis yra atsitiktinė nuolat kintančio argumento (laiko) funkcija, t.y. greitis yra atsitiktinis procesas.

Atkreipkite dėmesį, kad jei atsitiktinės funkcijos argumentas pasikeičia diskretiškai, susidaro atitinkamos atsitiktinės funkcijos reikšmės (atsitiktiniai kintamieji). atsitiktinė seka.

Atsitiktinės funkcijos argumentas gali būti ne tik laikas. Pavyzdžiui, jei audimo sriegio skersmuo matuojamas išilgai jo ilgio, tai dėl atsitiktinių veiksnių įtakos sriegio skersmuo pasikeičia. Šiame pavyzdyje skersmuo yra atsitiktinė nuolat kintančio argumento (sriegio ilgio) funkcija.

Akivaizdu, kad paprastai neįmanoma analitiškai (pagal formulę) apibrėžti atsitiktinės funkcijos. Tam tikrais atvejais, jei yra žinoma atsitiktinės funkcijos forma, o ją apibrėžiantys parametrai yra atsitiktiniai dydžiai, ją galima nurodyti analitiškai. Pavyzdžiui, atsitiktinės funkcijos yra:

X(t)= sin Qf, kur Q yra atsitiktinis kintamasis,

X(t)= G/sin t, Kur U- atsitiktinė vertė,

X(t) = G/sin Qt, kur APIE. Ir .

Konkrečiai, jei Y==0 gauname D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), t. y. reikalavimas (**) įvykdytas.

Atsižvelgiant į tai tikėtina vertė suma yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai

D z(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D m(t).

Taigi, sudėtingos atsitiktinės funkcijos dispersija yra lygi jos tikrosios ir įsivaizduojamos dalių dispersijų sumai:

D z ( t)=D x(t)+D m(t).

Yra žinoma, kad tikrosios atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkcija X(t) adresu skirtingos reikšmės argumentai lygūs dispersijai Dx(t). Apibendrinkime koreliacijos funkcijos apibrėžimą į sudėtingas atsitiktines funkcijas Z(t), kad kada vienodos vertės argumentai t 1 =t 2 =t koreliacijos funkcija K z(t,t) buvo lygus dispersijai D z(t), t. y., kad reikalavimas būtų įvykdytas

K z(t,t)=D z(t). (***)

Kompleksinės atsitiktinės funkcijos Z koreliacijos funkcija(t) yra vadinami koreliacijos momentas skyriai ( t 1) ir ( t 2)

K z(t 1 ,t 2)= M.

Visų pirma, esant vienodoms argumentų reikšmėms

K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=D z(t).

y., reikalavimas (***) tenkinamas.

Jei tikrosios atsitiktinės funkcijos X(t) Ir Y(t) yra koreliuojami

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].

Jeigu X(t) Ir Y(t) nėra koreliuojami

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).

Apibendrinkime kryžminės koreliacijos funkcijos apibrėžimą iki sudėtingų atsitiktinių funkcijų Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Ir Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i kad ypač kada Y 1 =Y 2 = 0 reikalavimas įvykdytas

Dviejų sudėtingų atsitiktinių funkcijų kryžminės koreliacijos funkcija funkcijos iškvietimas (neatsitiktinis)

Visų pirma, kai Y 1 =Y 2 = 0 gauname

y., reikalavimas (****) įvykdytas.

Dviejų sudėtingų atsitiktinių funkcijų kryžminės koreliacijos funkcija išreiškiama jų tikrosios ir įsivaizduojamos dalių kryžminės koreliacijos funkcijomis tokią formulę:

Užduotys

1. Raskite atsitiktinių funkcijų matematinį tikėjimą:

a) X(t)=Ut 2 kur U- atsitiktinis kintamasis ir M(U)=5 ,

b)X(t)=U cos2 t+Vt, Kur U Ir V- atsitiktiniai dydžiai ir M(U)=3 ,M(V)=4 .

Rep. a) m x (t) = 5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. K x(t 1 ,t 2) atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinių funkcijų koreliacines funkcijas:

a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)= 4X(t).

Rep. a) K y (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2); b) K y (t 1 , t 2)=(t 1 +1) (t 2 +1) K x (t 1 , t 2); c) K y (t 1 , t 2) = 16 K x (t 1 , t 2) =.

3. Nurodyta dispersija Dx(t) atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinių funkcijų dispersiją: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).

Atsakyti. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 Dx(t).

4. Raskite: a) matematinį lūkestį; b) koreliacijos funkcija; c) atsitiktinės funkcijos dispersija X(t)=Usin 2t, Kur U- atsitiktinis kintamasis ir M(U)=3 ,D(U)=6 .

Atsakyti. A) m x(t) =3nuodėmė 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6nuodėmė 2t 1 nuodėmė 2t 2 ; V) Dx(t)=6nuodėmė 2 2t.

5. Raskite atsitiktinės funkcijos normalizuotą koreliacijos funkciją X(t), žinant jo koreliacijos funkciją K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).

Rep. ρ x (t 1 , t 2) = cos(t 2 -t 1).

6. Raskite: a) tarpusavio koreliacijos funkciją; b) dviejų atsitiktinių funkcijų normalizuotą kryžminės koreliacijos funkciją X(t)=(t+1)U, ir Y ( t)= (t 2 + 1)U, Kur U- atsitiktinis kintamasis ir D(U)=7.

Atsakyti. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.

7. Pateikiamos atsitiktinės funkcijos X(t)= (t- 1)U Ir Y(t)=t 2 U, Kur U Ir V- nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai ir M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Raskite: a) matematinį lūkestį; b) koreliacijos funkcija; c) sumos dispersija Z(t)=X(t)+Y(t).

Pastaba. Įsitikinkite, kad pateiktų atsitiktinių funkcijų kryžminės koreliacijos funkcija yra lygi nuliui, todėl X(t) Ir Y(t) nesusiję.

Atsakyti. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) D z(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.

8. Pateikiamas matematinis lūkestis m x(t)=t 2 +1 atsitiktinė funkcija X(t). Raskite jo išvestinės matematinę lūkesčius.

9. Pateikiamas matematinis lūkestis m x(t)=t 2 +3 atsitiktinė funkcija X(t). Raskite atsitiktinės funkcijos matematinį lūkestį Y(t)=tX"(t)+t 3.

Rep. m y (t) = t 2 (t + 2).

10. Pateikta koreliacijos funkcija K x(t 1 ,t 2)= atsitiktinė funkcija X(t). Raskite jo išvestinės koreliacijos funkciją.

11. Pateikta koreliacijos funkcija K x(t 1 ,t 2)= atsitiktinė funkcija X(t). Raskite kryžminės koreliacijos funkcijas.