Teorija atsitiktiniai procesai vadinamas matematikos mokslu, tiriančiu modelius atsitiktiniai reiškiniai jų raidos dinamikoje.
Atsitiktinių procesų teorija (kita terminija - teorija atsitiktinės funkcijos) yra palyginti nauja tikimybių teorijos šaka, ypač sparčiai besivystanti paskutiniais dešimtmečiais dėl nuolat didėjančio praktinio pritaikymo spektro.
Tyrinėdami supančio pasaulio reiškinius dažnai susiduriame su procesais, kurių eigos iš anksto tiksliai nuspėti neįmanoma. Šis neapibrėžtumas (nenuspėjamumas) atsiranda dėl atsitiktinių veiksnių įtakos, turinčios įtakos proceso eigai. Pateiksime keletą tokių procesų pavyzdžių.
1. Įtampa elektros tinkle, nominaliai pastovi ir lygi 220 V, faktiškai kinta laikui bėgant, svyruodama apie nominalią vertę, veikiant tokiems atsitiktiniams veiksniams kaip prie tinklo prijungtų įrenginių skaičius ir tipas, jų įjungimo momentai. įjungimas ir išjungimas ir kt.
2. Miesto (ar regiono) gyventojų skaičius laikui bėgant kinta atsitiktinai (neprognozuojamai), veikiant tokiems veiksniams kaip gimstamumas, mirtingumas, migracija ir kt.
3. Vandens lygis upėje (arba rezervuare) laikui bėgant kinta atsitiktinai, priklausomai nuo oro sąlygų, kritulių kiekio, sniego tirpimo, drėkinimo veiklos intensyvumo ir kt.
4. Dalelė, kuri mikroskopo regėjimo lauke patiria Brauno judėjimą, atsitiktinai keičia savo padėtį dėl susidūrimų su skysčio molekulėmis.
5. Vyksta kosminės raketos skrydis, kurį reikia paleisti į kosmosą. šiuo metu V duotas taškas erdves su nurodyta kryptimi ir absoliuti vertė greičio vektorius. Tikrasis raketos judėjimas nesutampa su apskaičiuotuoju dėl tokių atsitiktinių veiksnių kaip atmosferos turbulencija, kuro nevienalytiškumas, komandų apdorojimo klaidos ir kt.
6. Veikimo metu kompiuteris gali atsitiktinai pereiti iš būsenos į būseną, pvz.:
S 1- veikia tinkamai;
S 2- yra gedimas, bet jis nebuvo aptiktas;
S 3- aptiktas gedimas, ieškoma jo šaltinio;
S 4- remontuojamas ir kt.
Perėjimai iš būsenos į būseną vyksta atsitiktinių veiksnių įtakoje, pavyzdžiui, įtampos svyravimai kompiuterio maitinimo tinkle, gedimas atskiri elementai, gedimų aptikimo momentas, jų pašalinimo laikas ir kt.
Griežtai kalbant, gamtoje nėra visiškai neatsitiktinių, tiksliai deterministinių procesų, tačiau yra procesų, kurių eigoje atsitiktiniai veiksniai įtakoja tiek mažai, kad jų galima nepaisyti tiriant reiškinį (pavyzdys: planetos revoliucijos aplink Saulė). Tačiau yra ir procesų, kuriuose atsitiktinumas vaidina pagrindinį vaidmenį (pavyzdys: Brauno dalelės judėjimo procesas, aptartas aukščiau). Tarp dviejų ekstremalūs atvejai yra visas spektras procesų, kuriuose atsitiktinumas vaidina didesnį ar mažesnį vaidmenį. Ar atsižvelgti (ar neatsižvelgti) į proceso atsitiktinumą priklauso ir nuo ko praktinė problema nusprendžiame. Pavyzdžiui, planuojant orlaivius tarp dviejų taškų, jų trajektorijos gali būti laikomos tiesiomis, o judėjimas vienodas; tos pačios prielaidos nebus taikomos, jei bus sprendžiama autopiloto, skirto valdyti orlaivio skrydį, projektavimo problema.
Galime išskirti du pagrindinius problemų tipus, kurių sprendimui reikia pasinaudoti atsitiktinių funkcijų (atsitiktinių procesų) teorija.
Tiesioginė užduotis (analizė): tam tikro įrenginio parametrai ir jo tikimybinės charakteristikos(matematiniai lūkesčiai, koreliacinės funkcijos, pasiskirstymo dėsniai) funkcijos (signalo, proceso), patenkančios į jos „įvestį“; būtina nustatyti įrenginio „išvesties“ charakteristikas (jos naudojamos sprendžiant apie įrenginio veikimo „kokybę“).
Atvirkštinė problema (sintezė): nurodomos „įvesties“ ir „išvesties“ funkcijų tikimybinės charakteristikos; reikia suprojektuoti optimalų įrenginį (rasti jo parametrus), kuris duotą įvesties funkciją paverčia tokiu išvesties funkcija, kuri turi nurodytas charakteristikas. Šios problemos sprendimas, be atsitiktinių funkcijų aparato, reikalauja atrakcionų ir kitų disciplinų.
1. Atsitiktinės funkcijos samprata, stochastiniai procesai
Tiriant daugelį reiškinių, sistemingai tenka susidurti su atsitiktiniais dydžiais, kurie testo metu kinta per tam tikrą laiką. Su tokių reiškinių pavyzdžiais jau susidūrėme 6.2 pastraipose. ir 9.2. ryšium su Puasono paskirstymo įstatymu.
Tokių r.v. yra: radioaktyviosios medžiagos skilimas cheminės reakcijos metu, signalas radijo imtuvo išėjime veikiant trukdžiams, eilės gauti bilietą ilgis. futbolo rungtynes, kainų svyravimai būtiniausių prekių prekybos sistemoje, studentų darbo krūvis akademinio semestro metu, dalelių trajektorija m. Brauno judesys, kandidatų reitingas rinkimų procesuose, gautų skambučių skaičius telefono stotyje ir kt.
Tokie atsitiktiniai dydžiai, kurie keičiasi eksperimento (stebėjimo, testavimo) metu, vadinami atsitiktiniai procesai (atsitiktinis funkcijas). Šiuo metu nemažai technologijų ir mokslo šakų (fizinė statistika, difuzijos procesai, cheminių reakcijų procesai ir kt.) tikimybių teorijai iškėlė naujus uždavinius, kurie netelpa į klasikinės tikimybių teorijos rėmus. Tuo metu daugelis žmogaus veiklos šakų domėjosi procesų, tai yra laikui bėgant vykstančių reiškinių, tyrimu. Jie reikalavo iš tikimybių teorijos mokslo sukurti bendrą vadinamųjų atsitiktinių procesų teoriją. Kitaip tariant, teorijos, kuri tirtų atsitiktinius dydžius, priklausomai nuo vieno ar kelių nuolat kintančių laiko parametrų, sukūrimas. Pateiksime tokių problemų pavyzdžių, iliustruojančių poreikį sukurti atsitiktinių procesų teoriją.
Įsivaizduokime, kad norime sekti bet kurios dujų ar skysčio molekulės judėjimą. Ši molekulė yra atsitiktiniai momentai laikas susiduria su kitomis molekulėmis ir tuo pačiu keičia savo greitį bei padėtį. Akivaizdu, kad molekulės būsena kiekvienu laiko momentu kinta atsitiktinai. Jų tyrimui daugeliui gamtos reiškinių reikia mokėti apskaičiuoti tikimybes, kad tam tikras reiškinių skaičius (molekulės, kainų pokyčiai, radijo signalų atėjimas ir kt.) pakeičia vieną ar kitą padėtį. Į visus šiuos ir daugelį kitų klausimų atsako statistinė atsitiktinių procesų teorija arba, kaip paprastai vadinama, „ stochastinių procesų teorija ». Akivaizdu, kad panašių problemų kyla fizikoje, chemijoje, astronomijoje, ekonomikoje, genetikoje ir kt. Pavyzdžiui, tiriant cheminės reakcijos procesą kyla teisėtas klausimas:
Kokia molekulės dalis jau sureagavo?
Kaip ši reakcija pasireiškia laikui bėgant?
Kada reakcija praktiškai pasibaigė?
Daugybė reiškinių vyksta pagal principą radioaktyvusis skilimas. Šio reiškinio esmė ta, kad radioaktyviosios medžiagos atomai akimirksniu suyra, virsdami kito cheminio elemento atomais. Kiekvienas atomas suyra greitai ir dideliu greičiu, kaip sprogimas, išskiriant tam tikrą energijos kiekį. Paprastai daugybė stebėjimų rodo, kad įvairių atomų skilimas stebėtojui įvyksta atsitiktiniu laiku. Be to, šių laiko momentų vieta tikimybių teorijos prasme nepriklauso vienas nuo kito. Norint ištirti radioaktyvaus skilimo procesą, būtina nustatyti, kokia yra tikimybė, kad tam tikras atomų skaičius per tam tikrą laikotarpį suirs? Formaliai, jei tik bandysite išsiaiškinti matematinį tokių reiškinių vaizdą, galite rasti paprastą matematinių problemų, kurias sukelia tokie reiškiniai, sprendimą.
Trumpai apibūdinkime, kaip, remdamiesi tiesia linija einančių dalelių problemos svarstymu, mokslininkai Planckas ir Fokkeris difuzijos teorijoje gavo diferencialinę lygtį.
Tegul dalelė laiko momentu taške 
, akimirksniu 
patiria atsitiktinius smūgius, dėl kurių kiekvieną kartą juda su tikimybe 
pagal sumą 
į dešinę ir su tikimybe 
taip pat pagal sumą 
į kairę.
Pažymėkime pagal 
tikimybę, kad atsiras dalelė 
sukrėtimai įvyks tuo metu 
pozicijoje 
(aišku, kad su lyginiu smūgių skaičiumi vertė 
gali būti lygus tik lyginiam žingsnių skaičiui 
, ir kada 
tik nelyginis nelyginis skaičiusžingsniai 
. 
Jei per 
pažymėkite dalelės žingsnių skaičių į dešinę (tada
yra žingsnių, kuriuos dalelė nuėjo į kairę, skaičius), tada pagal Bernulio formulę ši tikimybė yra lygi 
Akivaizdu, kad šie dydžiai yra susiję lygybe 
Tiesiogiai galite patikrinti, ar veikia
tenkina skirtumo lygtį 
su pradinėmis sąlygomis 
ir pas 
. Fizinis problemos pobūdis privers mus priimti tam tikrus natūralius parametrų santykio apribojimus . Kai kurių būtinų sąlygų, kurios bus aptartos vėliau, nesilaikymas gali lemti tai, kad per ribotą laiko tarpą dalelė, kurios tikimybė lygi vienetui, gali patekti į begalybę. Norėdami atmesti šią galimybę, nustatome parametrus 
šias sąlygas 
adresu kur yra vertė
išreiškia greitis 
srovės
, A 
difuzijos koeficientas.
Iš abiejų lygybės (1) pusių atimkime kiekį 
, gauname 
Tarkime, kad funkcija 
skiriasi atžvilgiu
du kartus ir vieną kartą
Iš čia pereinama prie ribos 
ir remdamiesi sąlygomis (2) galiausiai gauname
(4)
Taigi mes gavome gerai žinomą lygtį, kuri difuzijos teorijoje vadinama Fokerio-Plancko lygtys.
Bendrosios stochastinių procesų teorijos pradžia buvo nustatyta esminiuose A. N. darbuose. Kolmogorovas ir A.Ya. Khinchinas 30-ųjų pradžioje. Straipsnyje A.N. Kolmogorovas „Apie analitinius tikimybių teorijos metodus“ pateikė sistemingą ir griežtą stochastinių procesų teorijos pagrindų konstravimą. be poveikio arba, kaip dažnai sakoma, Markovo tipo procesai. Daugelyje Khinchino darbų buvo sukurta vadinamųjų stacionarių procesų teorija.
Taigi, matematikos šaka, tirianti atsitiktinius reiškinius jų dinamikoje
vystymasis vadinamas atsitiktinių procesų teorija(atsitiktinės funkcijos). Jos metodai dažnai naudojami: automatinio valdymo teorijoje, įmonių ir ūkių finansinės veiklos analizėje ir planavime, reikalingos informacijos (signalų radijo įrenginiuose, palydovinio ryšio ir kt.) apdorojime ir perdavimu, ekonomikoje. ir teoriškai. eilėje.
Trumpai panagrinėkime pagrindines atsitiktinių procesų (SP) teorijos sąvokas.
Jei kiekviena vertė 
, Kur 
žymi tam tikrą realiųjų skaičių aibę, suderintą su r.v. 
, tada jie tai sako filmavimo aikštelėje 
duota atsitiktinė funkcija (s.f.). 
. Atsitiktiniai procesai, kuriems 
, yra ypač svarbūs programose. Tais atvejais, kai parametras 
interpretuojama kaip laiko parametras, tada iškviečiama atsitiktinė funkcija atsitiktinis procesas, t.y. atsitiktinis procesas paskambino r.v. 
priklausomai nuo parametro 
ir elementarūs įvykiai, apibrėžti toje pačioje erdvėje 
Paskirta 
arba 
Atsitiktinis procesas gali būti nurodytas formulės (analitinio žymėjimo) forma, jei žinomas atsitiktinės funkcijos tipas. Pavyzdžiui, s.f. yra r.p., kur atsitiktinis kintamasis 
turi vienodas paskirstymas. Už fiksuotą vertę 
, s.p. 
, tada s.p. kreipiasi į s.v. 
kuris vadinamas atsitiktinio proceso skerspjūviu.
Įgyvendinimas arba trajektorija atsitiktinis procesas 
paskambino neatsitiktinis laiko funkcija 
fiksuotame 
, t.y. dėl testavimo s.p. priima konkretus tipas
, o įgyvendinant s.p. žymimas 
,
kur apatiniai indeksai nurodo testo numerį.
59 paveiksle pavaizduoti trys įgyvendinimai 
atsitiktinis procesas 
;
Jie primena trijų tipų sinusiniai virpesių reiškiniai tam tikrame mechaniniame procese, kai kiekvienas toks įgyvendinimas (trajektorija) yra įprasta funkcija 
Pav.59 (Rašytas).
Šiame pavyzdyje r.v. 
trijuose eksperimentuose atitinkamai paėmė tris reikšmes: 1, 2, 0,5, t.y. Nurodomi trys bendros įmonės įgyvendinimo būdai:. Visos trys funkcijos yra neatsitiktinės. Jei šiame pavyzdyje nustatome laiko momentą, tuo 
, tada gauname skyrių: 
- atsitiktinis dydis arba at 
,-atsitiktiniai kintamieji. Atkreipkite dėmesį, kad vadinamasis atsitiktinio proceso vienmačio pasiskirstymo dėsnis 
nėra išsamus s.p. aprašymas. Atsitiktinis procesas
reiškia visų skyrių visumą skirtingomis vertėmis 
, todėl norint visapusiškai jį apibūdinti, reikėtų atsižvelgti į bendrą proceso skerspjūvių paskirstymo funkciją:
vadinamasis baigtinių matmenų pasiskirstymo dėsnis s.p. akimirkomis 
. Kitaip tariant, atsiranda daugiamačiai r.v.s.
Taigi, s.p. yra tiesioginis atsitiktinių dydžių sistemos sampratos apibendrinimas, kai šių kintamųjų yra begalinė aibė.
Įvadas
Atsitiktinių procesų (atsitiktinių funkcijų) teorija yra skyrius matematikos mokslas, tiriant atsitiktinių reiškinių dėsningumus jų vystymosi dinamikoje.
Šiuo metu yra didelis skaičius literatūra, tiesiogiai skirta eilių teorijai, jos matematiniams aspektams plėtoti, taip pat įvairiose srityse jo taikymo sritis – karinė, medicinos, transporto, prekybos, aviacijos ir kt.
Eilių teorija remiasi tikimybių teorija ir matematine statistika. Pirminė eilių teorijos raida siejama su danų mokslininko A.K. vardu. Erlangas (1878-1929), su savo darbais telefono stočių projektavimo ir eksploatavimo srityje.
Eilių teorija – taikomosios matematikos sritis, nagrinėjanti gamybos, aptarnavimo ir valdymo sistemų procesų analizę, kuriose vienarūšiai įvykiai kartojasi daug kartų, pavyzdžiui, vartotojų aptarnavimo įmonėse; informacijos priėmimo, apdorojimo ir perdavimo sistemose; automatinės gamybos linijos ir kt.. Prie šios teorijos kūrimo daug prisidėjo rusų matematikai A.Ya. Khinchinas, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorovas, E.S. Wentzel ir kt.
Eilių teorijos dalykas – nustatyti priklausomybes tarp užklausų srauto pobūdžio, paslaugų kanalų skaičiaus, atskiro kanalo našumo ir efektyvios paslaugos, siekiant rasti geriausius būdus šiems procesams valdyti. Eilių teorijos problemos yra optimizavimo pobūdžio ir galiausiai apima ekonominiu aspektu pagal apibrėžimą – sisteminis variantas, kuris užtikrins minimalias bendrąsias išlaidas, atsirandančias dėl aptarnavimo laukimo, sugaištų laiko ir išteklių aptarnavimui bei paslaugų kanalų prastovų.
IN komercinė veikla eilių teorijos taikymas dar nerado norimo sklaidos.
Tai daugiausia lemia užduočių nustatymo sunkumas, gilaus komercinės veiklos turinio supratimo poreikis, taip pat patikimi ir tikslūs įrankiai, leidžiantys apskaičiuoti įvairias galimas pasekmes komercinėje veikloje. valdymo sprendimai.
1. Atsitiktinio proceso apibrėžimas ir jo charakteristikos
Atsitiktinis procesas X(t) yra procesas, kurio reikšmė bet kuriai argumento t reikšmei yra atsitiktinis kintamasis.
Kitaip tariant, atsitiktinis procesas – tai funkcija, kuri dėl testavimo gali įgauti vienokią ar kitokią specifinę, iš anksto nežinomą formą. Esant fiksuotam t = to, X(to) yra įprastas atsitiktinis dydis, t.y. atsitiktinio proceso skerspjūvis momentu to.
Atsitiktinio proceso X (t, w) įgyvendinimas yra neatsitiktinė funkcija x(t), į kurią atsitiktinis procesas X(t) virsta testavimo rezultatu (fiksuotam w), t.y. atsitiktinio proceso X(t) konkreti forma, jo trajektorija.
Taigi atsitiktinis procesas X (t, w) sujungia požymius atsitiktinis kintamasis ir funkcijas. Jei fiksuojame argumento t reikšmę, atsitiktinis procesas virsta įprastu atsitiktiniu dydžiu, jei pataisysime w, tai kiekvieno testo rezultatu jis virsta įprasta neatsitiktine funkcija.
Kaip ir atsitiktinį kintamąjį, atsitiktinį procesą galima apibūdinti skaitinės charakteristikos.
Atsitiktinio proceso X(t) matematinis lūkestis yra neatsitiktinė funkcija a x (t), kuri bet kuriai kintamojo t reikšmei yra lygi atsitiktinio proceso X(t) atitinkamo skerspjūvio matematiniam lūkesčiui, t.y. kirvis (t) = M.
Atsitiktinio proceso dispersija X(t) yra neatsitiktinė funkcija. D x (t), bet kuriai kintamojo t vertei lygus dispersijai atitinkamą atsitiktinio proceso X(t) atkarpą, t.y. Dx (t) = D.
Standartinis nuokrypis vadinamas atsitiktinis procesas X(t). aritmetinė vertė jo dispersijos kvadratinė šaknis, t.y.
Atsitiktinio proceso matematinis lūkestis apibūdina vidutinę visų galimų jo įgyvendinimų trajektoriją, o jo sklaida arba standartinis nuokrypis – realizacijų sklaidą vidutinės trajektorijos atžvilgiu.
Atsitiktinio proceso X(t) koreliacinė funkcija yra neatsitiktinė funkcija
du kintamieji t1 ir t 2, kuri kiekvienai kintamųjų porai t1 ir t2 yra lygi atitinkamų sekcijų X(t1) ir X(t) kovariacijai 2) atsitiktinis procesas.
Normalizuotas koreliacijos funkcija atsitiktinis procesas X(t) vadinamas funkcija
Atsitiktiniai procesai gali būti klasifikuojami priklausomai nuo to, ar sistemos, kurioje jie vyksta, būsenos keičiasi sklandžiai ar staigiai, ar šių būsenų aibė yra baigtinė (skaičiuojama), ar begalinė ir pan. Tarp atsitiktinių procesų ypatinga vieta priklauso Markovo atsitiktiniam procesui. Tačiau pirmiausia susipažinkime su pagrindinėmis eilių teorijos sąvokomis
2. Pagrindinės sąvokos eilių teorija
Praktikoje sprendžiant panašias problemas dažnai susiduriama su sistemomis, skirtomis daugkartiniam naudojimui. Atsirandantys procesai vadinami aptarnavimo procesais, o sistemos – eilių sistemomis (QS). Tokių sistemų pavyzdžiai yra telefono sistemos, remonto dirbtuvės, kompiuterių kompleksai, bilietų kasos, parduotuvės, kirpyklos ir kt.
Kiekvienas SMO susideda iš tam tikras skaičius aptarnavimo padaliniai (prietaisai, įrenginiai, taškai, stotys), kuriuos vadinsime aptarnavimo kanalais. Kanalai gali būti ryšio linijos, veikimo taškai, kompiuteriai, pardavėjai ir kt. Pagal kanalų skaičių BRO skirstomi į vieno kanalo ir kelių kanalų.
Paraiškas QS paprastai gauna ne reguliariai, o atsitiktinai, suformuojant vadinamąjį atsitiktinį paraiškų srautą (reikalavimus). Programų aptarnavimas, paprastai kalbant, taip pat kurį laiką tęsiasi. atsitiktinis laikas. Atsitiktinis programų srauto ir aptarnavimo laiko pobūdis lemia tai, kad QS apkraunamas netolygiai: tam tikrais laikotarpiais susikaupia labai daug programų (jos arba patenka į eilę, arba palieka QS neaptarnaujamą), o kitais laikotarpiais. QS veikia esant per mažai apkrovai arba tuščiąja eiga.
Eilių teorijos dalykas – jungiančių matematinių modelių konstravimas duotomis sąlygomis QS veikimas (kanalų skaičius, jų produktyvumas, užklausų srauto pobūdis ir kt.) su QS veiklos rodikliais, apibūdinančiais jo gebėjimą susidoroti su užklausų srautu.
Kaip QS veiklos rodikliai naudojami: vidutinis aptarnaujamų programų skaičius per laiko vienetą; vidutinis eilėje esančių prašymų skaičius; vidutinis paslaugos laukimo laikas; galimybė atsisakyti teikti paslaugą nelaukiant; tikimybė, kad paraiškų skaičius eilėje viršys tam tikrą reikšmę ir kt.
QS skirstomas į du pagrindinius tipus (klases): QS su gedimais ir QS su laukimu (eiliu). QS su atsisakymais, prašymas, gautas tuo metu, kai visi kanalai yra užimti, gauna atsisakymą, palieka QS ir nedalyvauja tolesniame aptarnavimo procese (pavyzdžiui, prašymas pokalbis telefonu tuo metu, kai visi kanalai yra užimti, jis gauna atsisakymą ir palieka QS neaptarnaujamą). Laukiančiame QS užklausa, gauta tuo metu, kai visi kanalai yra užimti, neišeina, o patenka į aptarnavimo eilę.
QS su lūkesčiais skirstomi į skirtingų tipų priklausomai nuo to, kaip eilė organizuojama: su ribotu arba neribotu eilės ilgiu, su ribotas laikas lūkesčiai ir kt.
3. Markovo atsitiktinio proceso samprata
QS procesas yra atsitiktinis procesas.
Procesas vadinamas procesu su diskrečiomis būsenomis, jei galimas jo būsenas S1, S2, S3... galima išvardinti iš anksto, o sistemos perėjimas iš būsenos į būseną įvyksta akimirksniu (šuoliu). Procesas vadinamas procesu su nuolatinis laikas, jeigu galimų sistemos perėjimų iš būsenos į būseną momentai nėra iš anksto fiksuoti, o atsitiktiniai.
QS veikimo procesas yra atsitiktinis procesas su atskiromis būsenomis ir nuolatiniu laiku. Tai reiškia, kad QS būsena staigiai pasikeičia atsitiktiniais momentais, kai įvyksta kokie nors įvykiai (pavyzdžiui, gaunama nauja užklausa, baigiasi paslauga ir pan.).
Matematinė analizė QS darbas žymiai supaprastėja, jei šio darbo procesas yra Markovin. Atsitiktinis procesas vadinamas Markovo arba atsitiktiniu procesu be pasekmių, jei bet kurį laiko momentą proceso tikimybinės charakteristikos ateityje priklauso tik nuo jo būsenos konkrečiu momentu ir nepriklauso nuo to, kada ir kaip sistema atsirado. šią būseną.
Pavyzdys Markovo procesas: sistema S - taksometras. Sistemos būsena momentu t apibūdinama iki šio momento automobilio nuvažiuotų kilometrų (dešimtųjų kilometrų) skaičiumi. Tegul skaitiklis rodo Taigi šiuo metu į. Tikimybė, kad šiuo metu t > į skaitiklį parodys tą ar tą kilometrų skaičių (tiksliau, atitinkamą rublių skaičių) S1 priklauso nuo So, bet nepriklauso nuo to, kuriuo laiko momentu skaitiklio rodmenys pasikeitė prieš akimirka iki.
Daugelis procesų apytiksliai gali būti laikomi Markovo. Pavyzdžiui, žaidimo šachmatais procesas; sistema S yra šachmatų figūrų grupė. Sistemos būsena apibūdinama tuo metu lentoje likusių priešo figūrų skaičiumi. Tikimybė, kad tuo momentu t > materialiu pranašumu bus vieno iš oponentų pusėje, pirmiausia priklauso nuo būsenos, kurioje šiuo metu yra sistema, o ne nuo to, kada ir kokia seka figūros dingo iš lenta į akimirką.
Kai kuriais atvejais nagrinėjamų procesų priešistorę galima tiesiog nepaisyti ir joms tirti pasitelkti Markovo modelius.
Analizuojant atsitiktinius procesus su diskrečiomis būsenomis, patogu naudoti geometrinę schemą – vadinamąjį būsenų grafiką. Paprastai sistemos būsenos vaizduojamos stačiakampiais (apskritimais), o galimi perėjimai iš būsenos į būseną – rodyklėmis (orientuoti lankai), jungiančias būsenas.
Norėdami matematiškai aprašyti Markovo atsitiktinį procesą su diskrečiomis būsenomis ir nuolatiniu laiku, tekančiu QS, susipažinkime su vienu iš svarbios sąvokos tikimybių teorija – įvykių tėkmės samprata.
. Renginių srautai
Įvykių srautas suprantamas kaip viena po kitos sekančių vienalyčių įvykių seka tam tikrais atsitiktiniais laiko momentais (pavyzdžiui, skambučių srautas telefono stotelė, kompiuterio gedimų srautas, klientų srautas ir kt.).
Srautas apibūdinamas intensyvumu X – įvykių pasireiškimo dažnumu arba vidutiniu įvykių, patenkančių į QS, skaičius per laiko vienetą.
Įvykių srautas vadinamas reguliariu, jei įvykiai seka vienas kitą tam tikrais vienodais laiko intervalais. Pavyzdžiui, produktų srautas surinkimo linijoje (su pastovus greitis judėjimas) yra reguliarus.
Įvykių srautas vadinamas stacionariu, jeigu jo tikimybinės charakteristikos nepriklauso nuo laiko. Visų pirma, pastovaus srauto intensyvumas yra pastovi reikšmė: Pavyzdžiui, automobilių srautas miesto prospekte dienos metu nejuda, tačiau šį srautą galima laikyti nejudančiu. tam tikrą laiką dienomis, tarkime, piko valandomis. Šiuo atveju tikrasis pravažiuojančių automobilių skaičius per laiko vienetą (pavyzdžiui, kas minutę) gali ryškiai skirtis, tačiau vidutinis jų skaičius yra pastovus ir nuo laiko nepriklausys.
Įvykių srautas vadinamas srautu be pasekmių, jei per bet kuriuos du nesutampančius laiko periodus T1 ir T2 įvykių, patenkančių į vieną iš jų, skaičius nepriklauso nuo įvykių, patenkančių į kitus, skaičiaus. Pavyzdžiui, į metro įvažiuojančių keleivių srautas praktiškai neturi jokio pasekmio. O, tarkime, klientų, išeinančių iš prekystalio su pirkiniais, srautas jau turi atoveiksmį (jei tik dėl to, kad laiko intervalas tarp atskirų klientų negali būti mažesnis už minimalų kiekvieno iš jų aptarnavimo laiką).
Įvykių srautas vadinamas įprasta, jei tikimybė dviejų ar daugiau įvykių įvykimas per nedidelį (elementarų) laiko intervalą At palyginus yra nereikšmingas Suvieno įvykio tikimybė. Kitaip tariant, įvykių srautas yra įprastas, jei įvykiai jame atsiranda pavieniui, o ne grupėmis. Pavyzdžiui, prie stoties artėjančių traukinių srautas įprastas, tačiau automobilių srautas – ne įprastas.
Įvykių srautas vadinamas paprasčiausias(arba stacionarus Puasonas), jei jis tuo pačiu metu yra nejudantis, įprastas ir neturi jokio šalutinio poveikio. Pavadinimas „paprasčiausias“ paaiškinamas tuo, kad QS su paprasčiausiais srautais turi paprasčiausią matematinis aprašymas. Reguliarus srautas nėra pats paprasčiausias, nes jis turi pasekmę: įvykių atsiradimo momentai tokiame sraute yra griežtai fiksuoti.
Paprasčiausias srautas kaip riba atsitiktinių procesų teorijoje atsiranda taip pat natūraliai, kaip ir tikimybių teorijoje normalusis pasiskirstymas gaunamas kaip atsitiktinių dydžių sumos riba: primetus (superpoziciją) pakanka didelis skaičius n nepriklausomų, stacionarių ir įprastų srautų (palyginamų vienas su kitu pagal intensyvumą Аi (i = 1,2...п)) gaunamas srautas, artimas paprasčiausiam, kurio intensyvumas X, lygus sumaiįeinančių srautų intensyvumas, t.y.:
Binominis dėsnis paskirstymai:
su parametrais
Binominis skirstinys yra linkęs į Puasono skirstinį su parametru
už kurį matematinis lūkestis atsitiktinio dydžio dydis yra lygus jo dispersijai:
Visų pirma, tikimybė, kad per laiką t (t = 0) neįvyks joks įvykis, yra lygi
Tikimybių tankio arba pasiskirstymo funkcijos pateiktas skirstinys yra eksponentinis. Taigi laiko intervalas tarp dviejų gretimų atsitiktinių paprasčiausio srauto įvykių turi eksponentinį pasiskirstymą, kurio matematinis lūkestis yra lygus vidurkiui kvadratinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis:
ir atvirkščiai pagal srauto intensyvumą
Svarbiausias turtas eksponentinis skirstinys (būdingas tik eksponentiniam skirstiniui) yra toks: jei pagal eksponentinį dėsnį paskirstytas laiko tarpas jau truko tam tikrą laiką t, tai tai jokiu būdu neturi įtakos likusios dalies pasiskirstymo dėsniui. intervalas (T - t): jis bus toks pat kaip ir viso intervalo T pasiskirstymo dėsnis.
Kitaip tariant, bet kokia informacija apie tai, kiek laiko truko šis intervalas, neturi įtakos likusios dalies pasiskirstymo dėsniui laiko intervalui T tarp dviejų iš eilės gretimų srauto įvykių, kurių pasiskirstymas yra eksponentinis. Šis turtas parodomoji teisė iš esmės yra dar viena formuluotė, nurodanti „pasekmės nebuvimą“ – pagrindinę paprasčiausio srauto savybę.
Paprasčiausio srauto su intensyvumu tikimybė, kad bent vienas srauto įvykis įvyks per elementarų (mažą) laiko intervalą At yra:
(Ši apytikslė formulė, gauta funkciją pakeitus tik dviem pirmaisiais jos išplėtimo At laipsniais nariais, yra tikslesnė, kuo mažesnė At).
5. Kolmogorovo lygtys. Apriboti būsenų tikimybes
Atitinkamas proceso būsenos grafikas parodytas Fig. į užduotį. Darysime prielaidą, kad visi sistemos perėjimai iš būsenos Si į Sj vyksta veikiant paprastiems įvykių srautams, kurių intensyvumas (i , j = 0, 1, 2, 3); Taigi sistemos perėjimas iš būsenos S0 į S1 įvyks veikiant pirmojo mazgo gedimų srautui, o atvirkštinis perėjimas iš būsenos S0 į S1 įvyks veikiant pirmojo mazgo „remonto užbaigimo“ srautui ir kt.
Sistemos būsenų grafikas, kurio intensyvumas pažymėtas ties rodyklėmis, bus vadinamas pažymėtu (žr. paveikslėlį aukščiau). Nagrinėjama sistema S turi keturias galimos būsenos: S0 , S1 S2, S3. I-osios būsenos tikimybė yra tikimybė pi(t), kad momentu t sistema bus Si būsenoje. Akivaizdu, kad bet kuriuo momentu t visų būsenų tikimybių suma yra lygi vienetui:
Panagrinėkime sistemą momentu t ir, nustatę nedidelį intervalą At, suraskime tikimybę po (t + At), kad sistema momentu t+At bus S0 būsenoje. Tai pasiekiama įvairiais būdais.
1.Sistema momentu t su tikimybe po (t) buvo S0 būsenoje, bet nepaliko jos per laiką At.
Sistemą galima išvesti iš šios būsenos (žr. problemos diagramą paveikslėlyje) naudojant paprasčiausią bendrą srautą su intensyvumu , su tikimybe, maždaug lygia
O tikimybė, kad sistema neišeis iš būsenos S0, lygi . Tikimybė, kad sistema bus S0 būsenoje ir iš jos nepaliks per laiką At, yra lygi, pagal tikimybių daugybos teoremą:
Sistema momentu t su tikimybe p1 (t) (arba p2 (t)) buvo būsenoje S1 arba S2 ir per laiką At perėjo į būseną
Srauto intensyvumas sistema pereis į So būseną su tikimybe, maždaug lygia . Tikimybė, kad sistema bus tokioje būsenoje, pagal šį metodą yra lygi (arba )
Taikydami tikimybių sudėjimo teoremą, gauname:
Perėjimas prie ribos ties 0 (apytikslės lygybės tampa tiksli), gauname išvestinę kairėje lygties pusėje (dėl paprastumo pažymėkime tai):
Gaunama pirmos eilės diferencialinė lygtis, t.y. lygtis, kurioje yra ir pati nežinoma funkcija, ir jos pirmosios eilės išvestinė.
Panašiai samprotaudami apie kitas sistemos S būsenas, galime gauti sistemą diferencialines lygtis Kolmogorovas būsenų tikimybei:
Suformuluokime Kolmogorovo lygčių sudarymo taisyklę. Kiekvieno iš jų kairėje pusėje yra i-osios būsenos tikimybės išvestinė. Dešinėje pusėje yra visų būsenų (iš kurių rodyklės eina į tam tikrą būseną) tikimybių ir atitinkamų įvykių srautų intensyvumo sandaugų suma, atėmus bendrą visų srautų, kurie išveda sistemą, intensyvumą. šią būseną, padauginta iš duotosios (i-osios būsenos) tikimybės
Aukščiau nurodytoje sistemoje yra viena nepriklausoma lygtis mažiau bendras skaičius lygtys. Todėl, norint išspręsti sistemą, reikia pridėti lygtį
Apskritai diferencialinių lygčių sprendimo ypatumas yra tas, kad reikia nustatyti vadinamąsias pradines sąlygas, šiuo atveju- sistemos būsenų tikimybės pradžios momentas t = 0. Taigi, pavyzdžiui, natūralu spręsti lygčių sistemą su sąlyga, kad pradiniu momentu abu valdikliai veikia tinkamai ir sistema buvo So, t.y. adresu pradines sąlygas
Kolmogorovo lygtys leidžia rasti visas būsenų tikimybes kaip laiko funkciją. Ypatingas pomėgis reprezentuoti sistemos tikimybes p i t) ribojančiu stacionariu režimu, t.y. adresu , kurios vadinamos ribinėmis (galutinėmis) būsenų tikimybėmis.
Atsitiktinių procesų teorijoje įrodyta, kad jei sistemos būsenų skaičius yra baigtinis ir iš kiekvienos iš jų įmanoma (už galutinis skaičiusžingsniai) eikite į bet kurią kitą būseną ribines tikimybes egzistuoja.
Ribinė būsenos Si tikimybė turi aiškią reikšmę: rodo vidurkį santykinis laikas sistema išlieka tokioje būsenoje. Pavyzdžiui, jei ribinė būsenos tikimybė Taigi, t.y. p0=0,5, tai reiškia, kad vidutiniškai pusę laiko sistema būna S0 būsenoje.
Kadangi ribinės tikimybės yra pastovios, jų išvestines Kolmogorovo lygtyse pakeitus nulinėmis reikšmėmis, gauname tiesinę sistemą algebrines lygtis, apibūdinantis stacionarų režimą.
Mirties ir dauginimosi procesai
Eilių teorijoje plačiai paplitusi ypatinga atsitiktinių procesų klasė – vadinamoji mirties ir dauginimosi procesai.Šis vardas siejamas su skaičiumi biologines problemas kur šis procesas pasitarnauja matematinis modelis biologinių populiacijų skaičiaus pokyčiai.
Apsvarstykite sutvarkytą sistemos S būsenų rinkinį 0, S1, S2,…, Sk. Perėjimai gali būti atliekami iš bet kurios būsenos tik į būsenas su gretimais skaičiais, t.y. iš Sk-1 būsenos galimi perėjimai arba į būseną, arba į S k+11 būseną .
Pagal tokių lygčių sudarymo taisyklę (Kolmogorovo lygtis) gauname: būsenai S0
Išvada
Ši santrauka atskleidžia sąvokas, vedančias į atsitiktinio eilių proceso teorijos sisteminius elementus, būtent: atsitiktinis procesas, paslauga, paslaugų sistema, eilių sistema.
Naudota literatūra
atsitiktinė masė Markovianas Kolmogorovas
1. N.Sh. Kremer „Tikimybių teorija ir matematinė statistika» Vienybė, Maskva, 2003 m
Mokymas
Reikia pagalbos studijuojant temą?
Mūsų specialistai patars arba teiks kuravimo paslaugas jus dominančiomis temomis.
Pateikite savo paraišką nurodydami temą dabar, kad sužinotumėte apie galimybę gauti konsultaciją.
