Trikdžiai ryšių sistemose aprašomi atsitiktinių procesų teorijos metodais.

Funkcija vadinama atsitiktine, jei dėl eksperimento ji įgauna vienokią ar kitokią formą ir iš anksto nežinoma, kuri. Atsitiktinis procesas yra atsitiktinė laiko funkcija. Konkretus vaizdas, kuris prisiima atsitiktinį procesą kaip eksperimento rezultatą, vadinamas atsitiktinio proceso realizavimu.

Fig. 1.19 paveiksle parodyta kelių (trijų) atsitiktinio proceso realizacijų rinkinys , , . Tokia kolekcija vadinama realizacijų ansambliu. Su fiksuota laiko momento verte pirmame eksperimente gauname konkrečią reikšmę, antrajame - , trečiame - .

Atsitiktinis procesas yra dvejopo pobūdžio. Viena vertus, kiekviename konkrečiame eksperimente jį reprezentuoja jo įgyvendinimas – neatsitiktinė laiko funkcija. Kita vertus, atsitiktinį procesą apibūdina aibė atsitiktiniai dydžiai.

Iš tiesų, panagrinėkime atsitiktinį procesą tam tikru momentu. Tada kiekviename eksperimente ji turi vieną reikšmę, ir iš anksto nežinoma, kuri. Taigi atsitiktinis procesas, nagrinėjamas fiksuotu laiko momentu, yra atsitiktinis kintamasis. Jei įrašomi du laiko momentai ir, tada kiekviename eksperimente gausime dvi ir reikšmes. Šiuo atveju bendras šių verčių svarstymas sukuria dviejų atsitiktinių dydžių sistemą. Analizuodami atsitiktinius procesus N laiko momentu, gauname N atsitiktinių dydžių aibę arba sistemą .

Atsitiktinio proceso matematinės lūkesčių, sklaidos ir koreliacijos funkcijos Kadangi atsitiktinis procesas, nagrinėjamas fiksuotu laiko momentu, yra atsitiktinis dydis, galime kalbėti apie atsitiktinio proceso matematinį lūkestį ir sklaidą:

, .

Kaip ir atsitiktinio dydžio atveju, dispersija apibūdina atsitiktinio proceso verčių sklaidą, palyginti su vidutine verte. Kuo daugiau, tuo didesnė tikimybė labai didelių teigiamų ir neigiamos reikšmės procesas. Patogesnė charakteristika yra vidutinė standartinis nuokrypis(RMS), kurios matmenys yra tokie patys kaip ir pats atsitiktinis procesas.

Jei atsitiktinis procesas apibūdina, pavyzdžiui, atstumo iki objekto pokytį, tai matematinis lūkestis yra vidutinis diapazonas metrais; dispersija matuojama kvadratiniais metrais, o Sco matuojama metrais ir apibūdina galimų diapazono verčių sklaidą, palyginti su vidurkiu.

Vidurkis ir dispersija yra labai svarbios charakteristikos, leidžiančios spręsti apie atsitiktinio proceso elgesį tam tikru momentu. Tačiau jei reikia įvertinti proceso pokyčio „greitį“, tada stebėjimų vienu momentu neužtenka. Šiuo tikslu naudojami du atsitiktiniai dydžiai, nagrinėjami kartu. Kaip ir atsitiktinių dydžių atveju, įvedama ryšio arba priklausomybės tarp ir charakteristika. Atsitiktinio proceso atveju ši charakteristika priklauso nuo dviejų laiko momentų ir vadinama koreliacijos funkcija: .

Stacionarūs atsitiktiniai procesai. Daugelis procesų valdymo sistemose laikui bėgant vyksta vienodai. Pagrindinės jų savybės nesikeičia. Tokie procesai vadinami stacionariais. Tikslus apibrėžimas gali būti pateiktas taip. Atsitiktinis procesas vadinamas stacionariu, jei toks yra tikimybinės charakteristikos nepriklauso nuo laiko kilmės poslinkio. Stacionariam atsitiktiniam procesui matematinis lūkestis, dispersija ir standartinis nuokrypis yra pastovūs: , .

Koreliacijos funkcija stacionarus procesas nepriklauso nuo kilmės t, t.y. priklauso tik nuo laiko skirtumo:

Stacionaraus atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija turi šias savybes:

1) ; 2) ; 3) .

Dažnai ryšių sistemų procesų koreliacinės funkcijos turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 1.20.

Ryžiai. 1.20. Procesų koreliacinės funkcijos

Laiko intervalas, per kurį veikia koreliacijos funkcija, t.y. ryšio tarp atsitiktinio proceso verčių dydis sumažėja M kartų, vadinamas atsitiktinio proceso intervalu arba koreliacijos laiku. Paprastai arba. Galima sakyti, kad atsitiktinio proceso reikšmės, kurios laike skiriasi koreliacijos intervalu, yra silpnai susijusios viena su kita.

Taigi koreliacijos funkcijos žinojimas leidžia spręsti apie atsitiktinio proceso kitimo greitį.

Kita svarbi charakteristika yra atsitiktinio proceso energijos spektras. Jis apibrėžiamas kaip koreliacijos funkcijos Furjė transformacija:

.

Akivaizdu, kad galioja ir atvirkštinė transformacija:

.

Energijos spektras rodo atsitiktinio proceso, pavyzdžiui, trukdžių, galios pasiskirstymą dažnio ašyje.

Analizuojant ACS, labai svarbu nustatyti atsitiktinio proceso charakteristikas tiesinės sistemos išvestyje su žinomomis proceso charakteristikomis ACS įėjime. Tarkime, kad tiesinė sistema yra impulsinė žingsninis atsakas. Tada išėjimo signalas laiko momentu nustatomas pagal Duhamelio integralą:

,

kur yra procesas sistemos įėjime. Norėdami rasti koreliacijos funkciją, rašome o padauginę randame matematinį lūkestį

9. Koreliacinė funkcija ir jos pagrindinės savybės.

Už pilnas aprašymas atsitiktiniai procesai, pristatoma koreliacijos f-i sąvoka.

lygus matematiniam lūkesčiui, dispersijai, standartiniam nuokrypiui

Daroma prielaida, kad skirstymo dėsnis yra normalus. Grafikai rodo ryškų skirtumą tarp procesų, nepaisant jų vienodų tikimybinių charakteristikų.

Pavyzdžiui, sekti lėktuvą. Jei jis yra 1 padėtyje momentu t, tai jo galima 2 padėtis kitą momentą t 2 yra ribota, ty įvykiai (x 1 ,t 1 ) ir (x 2 ,t 2 ) nebus nepriklausomi. Kuo inerciškesnis tiriamas objektas, tuo didesnė ši tarpusavio priklausomybė arba koreliacija. Corr funkcija matematiškai išreiškia dviejų funkcijų koreliaciją arba funkcijos koreliaciją su savimi (autokorekcijos funkcija). Funkcija aprašyta taip:

kur t 1 ir t 2 yra bet kokie laiko momentai, tai yra t 1 ir t 2 T

Koreliacija - statistinis ryšys du ar daugiau atsitiktinių dydžių.

Koreliacijos funkcija– tokia neatsitiktinė dviejų argumentų funkcija R x (t 1 ,t 2 ), kuri bet kuriai fiksuotų argumentų t 1 ir t 2 reikšmių porai yra lygi koreliacijos momentas, atitinkančias šias atsitiktinių dydžių x (t 1) ir x (t 2) dalis.

Koreliacijos funkcija yra laiko funkcija, kuri nurodo koreliaciją sistemose su atsitiktiniais procesais.

Kai momentai t 1 ir t 2 sutampa, koreliacijos funkcija lygi dispersijai. Normalizuota koreliacijos funkcija apskaičiuojama pagal formulę:

Koreliacinių funkcijų savybės

1. Koreliacijos funkcija R x (t 1 , t 2 ) yra simetriškas savo argumentų atžvilgiu:

pagal koreliacinės funkcijos X(t) apibrėžimą.

2. Pridėjus prie atsitiktinės funkcijos X (t) savavališko neatsitiktinio termino

(t), koreliacijos funkcija Z (t) X (t) (t),

tada Rz (t 1 , t 2 ) = R x (t 1 , t 2 ).

3. Atsitiktinę funkciją X (t) dauginant iš savavališko neatsitiktinio koeficiento ψ(t), koreliacinė funkcija R x (t 1,t 2) dauginama iš ψ(t 1)ψ(t 2).

Lūkesčiai ir sklaida yra svarbios atsitiktinio proceso charakteristikos, tačiau jos nesuteikia pakankamai supratimo apie atskirų atsitiktinio proceso įgyvendinimų prigimtį. Tai matyti iš fig. 9.3, kuris parodo dviejų atsitiktinių procesų, visiškai skirtingų savo struktūra, įgyvendinimą, nors ir turi

tos pačios matematinių lūkesčių ir dispersijos reikšmės. Brūkšninės linijos pav. 9.3 paveiksle parodytos atsitiktinių procesų reikšmės.

Procesas, parodytas fig. 9.3, a, iš vienos sekcijos į kitą vyksta gana sklandžiai, o procesas Fig. 9.3, b turi didelį kintamumą tarp pjūvių, todėl statistinis ryšys tarp sekcijų pirmuoju atveju yra didesnis nei antruoju, tačiau to negali nustatyti nei matematiniai lūkesčiai, nei dispersija.

Tam tikru mastu charakterizuoti vidinė struktūra atsitiktinis procesas, t.y. atsižvelgti į ryšį tarp atsitiktinio proceso verčių įvairių akimirkų laiko arba, kitaip tariant, norint atsižvelgti į atsitiktinio proceso kintamumo laipsnį, būtina įvesti atsitiktinio proceso koreliacijos (autokoreliacijos) funkcijos sampratą.

Atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija vadinama neatsitiktine dviejų argumentų funkcija, kuri kiekvienai savavališkai pasirinktų argumentų reikšmių porai (laiko momentais) yra lygi dviejų atsitiktinių dydžių, esančių atitinkamų atsitiktinių atkarpų, sandaugos matematiniam lūkesčiui. procesas:

kur yra dvimatis tikimybės tankis; - centruotas atsitiktinis procesas; - atsitiktinio proceso matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė).

Įvairūs atsitiktiniai procesai, priklausomai nuo to, kaip laikui bėgant keičiasi jų statistinės charakteristikos, skirstomi į stacionarius ir nestacionarius. Padalinkite stacionarumą į siaurąja prasme ir stacionarumas plačiąja prasme.

Stacionarus siaurąja prasme vadinamas atsitiktiniu procesu, jei jo n-mačio pasiskirstymo funkcijos ir bet kurio laiko tikimybių tankiai nepriklauso nuo visų taškų poslinkio

Išilgai laiko ašies tokio pat dydžio t.y.

Tai reiškia, kad abu procesai turi tas pačias statistines savybes bet kuriam t.y. stacionaraus atsitiktinio proceso statistinės charakteristikos laikui bėgant yra pastovios.

Stacionarus atsitiktinis procesas yra tam tikras pastovaus proceso analogas deterministines sistemas. Bet koks perėjimo procesas nėra stacionarus.

Stacionarus plačiąja prasme yra atsitiktinis procesas, kurio matematinis lūkestis yra pastovus:

o koreliacijos funkcija priklauso tik nuo vieno kintamojo – argumentų skirtumai šiuo atveju koreliacijos funkcija žymima

Procesai, kurie yra stacionarūs siaurąja prasme, būtinai yra stacionarūs plačiąja prasme; tačiau atvirkštinis teiginys paprastai yra klaidingas.

Atsitiktinio proceso sąvoka, stacionari plačiąja prasme, įvedama, kai kaip atsitiktinio proceso statistinės charakteristikos naudojamos tik matematinės lūkesčiai ir koreliacijos funkcija. Atsitiktinių procesų teorijos dalis, apibūdinanti atsitiktinio proceso savybes per jo matematinę lūkesčio ir koreliacijos funkciją, vadinama koreliacijos teorija.

Atsitiktiniam procesui su normalus įstatymas pasiskirstymas, matematinės lūkesčių ir koreliacijos funkcijos visiškai lemia jos n-matės tikimybės tankį.

Todėl normalių atsitiktinių procesų stacionarumo sąvokos plačiąja ir siaurąja prasme sutampa.

Stacionarių procesų teorija buvo labiausiai išplėtota ir leidžia atlikti gana paprastus skaičiavimus daugeliu praktinių atvejų. Todėl kartais patartina daryti stacionarumo prielaidą ir tais atvejais, kai atsitiktinis procesas, nors ir nestacionarus, per nagrinėjamą sistemos veikimo laikotarpį signalų statistinės charakteristikos nespėja reikšmingai pasikeisti. Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjami atsitiktiniai procesai, kurie yra stacionarūs plačiąja prasme.

Tirdami atsitiktinius procesus, kurie yra stacionarūs plačiąja prasme, galime apsiriboti nagrinėdami tik tuos procesus, kurių matematinis lūkestis (vidutinė vertė) lygi nuliui, t. proceso, kurio matematiniai lūkesčiai nuliniai ir pastovi neatsitiktinė (reguliarioji) reikšmė, lygi šio proceso matematiniams lūkesčiams (žr. toliau § 9.6).

Kai koreliacijos funkcijos išraiška

Atsitiktinių procesų teorijoje naudojamos dvi vidutinių verčių sąvokos. Pirmoji vidutinės vertės sąvoka yra vidutinė aibės vertė (arba matematinis lūkestis), kuri nustatoma remiantis atsitiktinio proceso realizacijų aibės stebėjimu tuo pačiu momentu. Vidutinė rinkinio vertė paprastai žymima banguota linija virš atsitiktinę funkciją apibūdinančios išraiškos:

IN bendras atvejis nustatytas vidurkis yra laiko funkcija

Kita vidutinės vertės sąvoka yra vidutinė vertė laikui bėgant, kuri nustatoma stebint atskirą atsitiktinio proceso įgyvendinimą per tam tikrą laikotarpį.

pakankamai ilgas laikas T. Vidutinė vertė laikui bėgant nurodoma tiese virš atitinkamos atsitiktinės funkcijos išraiškos ir nustatoma pagal formulę:

jei ši riba egzistuoja.

Laiko vidurkis paprastai skiriasi atskiroms aibės realizacijoms, kurios apibrėžia atsitiktinį procesą. Paprastai tariant, tam pačiam atsitiktiniam procesui nustatytos vidutinės ir laiko vidutinės vertės skiriasi. Tačiau yra stacionarių atsitiktinių procesų klasė, vadinama ergodiniais, kurių vidurkis per aibę yra lygus vidutiniam laikui, t.y.

Ergodinio stacionaraus atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija absoliučia reikšme mažėja neribotai kaip

Tačiau reikia turėti omenyje, kad ne kiekvienas stacionarus atsitiktinis procesas yra ergodinis, pavyzdžiui, atsitiktinis procesas, kurio kiekvienas įgyvendinimas yra pastovus laike (9.4 pav.), yra stacionarus, bet ne ergodinis. Šiuo atveju vidutinės vertės, nustatytos iš vieno diegimo ir apdorojant kelis diegimus, nesutampa. Bendru atveju tas pats atsitiktinis procesas kai kurių atžvilgiu gali būti ergodiškas statistinės charakteristikos ir neergodiškas kitų atžvilgiu. Toliau darysime prielaidą, kad ergodiškumo sąlygos yra tenkinamos visų statistinių charakteristikų atžvilgiu.

Ergodiciškumo savybė turi labai didelę praktinę reikšmę. Norint nustatyti statistines savybes Kai kuriuos objektus, jei sunku atlikti vienu metu jų stebėjimą savavališkai pasirinktu laiko momentu (pavyzdžiui, jei yra vienas prototipas), jį galima pakeisti ilgalaikiu vieno objekto stebėjimu. Kitaip tariant, atskiras ergodinio atsitiktinumo įgyvendinimas

procesas per begalinį laikotarpį visiškai nustato visą atsitiktinį procesą su begaliniais jo įgyvendinimais. Tiesą sakant, šis faktas yra toliau aprašyto metodo pagrindas eksperimentinis nustatymas stacionaraus atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija pagal vieną įgyvendinimą.

Kaip matyti iš (9.25), koreliacijos funkcija yra vidutinė aibės vertė. Ergodiniams atsitiktiniams procesams koreliacijos funkciją galima apibrėžti kaip sandaugos laiko vidurkį, t.y.

kur yra bet koks atsitiktinio proceso įgyvendinimas; x yra vidutinė vertė laikui bėgant, nustatyta pagal (9.28).

Jei atsitiktinio proceso vidutinė reikšmė lygi nuliui, tada

Remiantis ergodiškumo savybe, galima dispersija [žr. (9.19)] apibrėžiamas kaip centruoto atsitiktinio proceso kvadrato laiko vidurkis, t.y.

Lyginant išraiškas (9.30) ir (9.32) galima nustatyti labai svarbus ryšys tarp dispersijos ir koreliacijos funkcijos - stacionaraus atsitiktinio proceso sklaida lygi koreliacijos funkcijos pradinei reikšmei:

Iš (9.33) aišku, kad stacionaraus atsitiktinio proceso sklaida yra pastovi, todėl ir standartinis nuokrypis yra pastovus:

Dviejų atsitiktinių procesų ryšio statistines savybes galima apibūdinti abipusės koreliacijos funkcija, kuri kiekvienai savavališkai pasirinktų argumentų reikšmių porai yra lygi

Ergodiniams atsitiktiniams procesams vietoj (9.35) galime rašyti

kur atitinkamai yra kokios nors stacionarių atsitiktinių procesų realizacijos.

Kryžminės koreliacijos funkcija apibūdina dviejų atsitiktinių procesų tarpusavio statistinį ryšį skirtingais laiko momentais, atskirtų vienas nuo kito tam tikru laikotarpiu. Vertė apibūdina šį ryšį tuo pačiu momentu.

Iš (9.36) išplaukia, kad

Jei atsitiktiniai procesai nėra statistiškai tarpusavyje susiję ir turi lygus nuliui vidutines vertes, tada jų kryžminės koreliacijos funkcija visiems lygi nuliui. Tačiau atvirkštinė išvestis kad jei kryžminės koreliacijos funkcija lygi nuliui, tai procesai yra nepriklausomi, galima atlikti tik in kai kuriais atvejais(ypač procesams, kuriems taikomas normalaus pasiskirstymo dėsnis), bendras stiprumas atvirkštinis dėsnis neturi.

Atkreipkite dėmesį, kad koreliacinės funkcijos gali būti skaičiuojamos ir neatsitiktinėms (įprasto) laiko funkcijoms. Tačiau kai jie kalba apie reguliarios funkcijos koreliacijos funkciją, tai tiesiog suprantama kaip formalios funkcijos rezultatas

taikant reguliariajai funkcijai operaciją, išreikštą integralu:

Pateiksime keletą pagrindinių koreliacinių funkcijų savybių

1. Koreliacijos funkcijos pradinė reikšmė [žr (9.33)] yra lygi atsitiktinio proceso dispersijai:

2. Koreliacijos funkcijos reikšmė negali jos viršyti nė vienai pradinė vertė, t.y.

Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite akivaizdžią nelygybę, iš kurios ji išplaukia

Mes randame vidutines reikšmes laikui bėgant iš abiejų paskutinės nelygybės pusių:

Taigi gauname nelygybę

3. Koreliacinė funkcija yra lyginė funkcija, t.y.

Tai išplaukia iš paties koreliacijos funkcijos apibrėžimo. tikrai,

todėl grafike koreliacijos funkcija visada yra simetriška ordinatės atžvilgiu.

4. Atsitiktinių procesų sumos koreliacinė funkcija nustatoma pagal išraišką

kur yra kryžminės koreliacijos funkcijos

tikrai,

5. Koreliacinė funkcija pastovią vertę lygus šios pastovios reikšmės kvadratui (9.5 pav., a), kas išplaukia iš paties koreliacinės funkcijos apibrėžimo:

6. Pavyzdžiui, periodinės funkcijos koreliacinė funkcija yra kosinusinė banga (9-5 pav., 5), t.y.

turintis tokį patį dažnį kaip ir nepriklausomas nuo fazės poslinkio

Norėdami tai įrodyti, atkreipkite dėmesį, kad ieškant koreliacijos funkcijų periodines funkcijas galite naudoti šią lygybę:

kur yra funkcijos laikotarpis

Paskutinė lygybė gaunama pakeitus integralą su ribomis nuo -T iki T ties T atskirų integralų su ribomis nuo iki , kur ir panaudojus integrandų periodiškumą.

Tada, atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta aukščiau, gauname t.

7. Laiko funkcijos koreliacinė funkcija, išplėsta į Furjė eilutę:

Ryžiai. 9.5 (žr. nuskaitymą)

remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, turi tokią formą:

8. Tipinė stacionaraus atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija turi tokią formą, kaip parodyta fig. 9.6. Jį galima apytiksliai apskaičiuoti naudojant šią analitinę išraišką:

Augant ryšys tarp jų silpnėja ir koreliacijos funkcija mažėja. Fig. 9.5, b, c rodo, pavyzdžiui, dvi koreliacijos funkcijas ir dvi atitinkamas atsitiktinio proceso realizacijas. Nesunku pastebėti, kad koreliacijos funkcija atitinka atsitiktinį procesą su daugiau smulki struktūra, mažėja greičiau Kitaip tariant, tuo daugiau aukšti dažniai yra atsitiktiniame procese, tuo greičiau mažėja atitinkama koreliacijos funkcija.

Kartais yra koreliacijos funkcijų, kurias galima aproksimuoti analitine išraiška

kur yra dispersija; - slopinimo parametras; - rezonansinis dažnis.

Šio tipo koreliacinės funkcijos turi, pavyzdžiui, atsitiktinius procesus, tokius kaip atmosferos turbulencija, radaro signalo išblukimas, kampinis taikinio mirgėjimas ir kt. Išraiškos (9.45) ir (9.46) dažnai naudojamos koreliacijos funkcijoms, gautoms apdorojimo metu, aproksimuoti. eksperimentiniai duomenys.

9. Stacionaraus atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija, ant kurios dedama periodinė komponentė su dažniu, taip pat turės to paties dažnio periodinę komponentę.

Šią aplinkybę galima panaudoti kaip vieną iš būdų aptikti „paslėptą periodiškumą“ atsitiktiniuose procesuose, kurie iš pirmo žvilgsnio gali būti neaptikti atskiruose atsitiktinio proceso įgyvendinimo įrašuose.

Apytikslė proceso koreliacinės funkcijos forma, kurioje, be atsitiktinio komponento, yra ir periodinis komponentas, parodyta Fig. 9.7, kur nurodyta atsitiktinę dedamąją atitinkanti koreliacijos funkcija. Norint nustatyti paslėptą periodinį komponentą (ši problema kyla, pavyzdžiui, identifikuojant mažą naudingą signalą didelio triukšmo fone), geriausia nustatyti koreliacijos funkciją didelės vertės kai atsitiktinis signalas jau gana silpnai koreliuoja ir atsitiktinis komponentas turi mažai įtakos koreliacijos funkcijos formai.

Stacionaraus proceso koreliacinė funkcija

Koreliacijos funkcija Atsitiktinis procesas apibrėžiamas kaip matematinis dviejų centre esančių proceso atkarpų sandaugos lūkestis, paimtas akimirkomis t 1 ir t 2. Šiuo atveju matematinis lūkestis apskaičiuojamas naudojant dvimatį tikimybės tankį . Stacionaraus atsitiktinio proceso atveju dvimatis tikimybės tankis ir atitinkamai koreliacijos funkcija nepriklauso nuo t 1 ir t 2 atskirai, bet tik iš jų skirtumo = t 2 - t 1. Pagal tai stacionaraus proceso koreliacijos funkcija nustatoma išraiška

(3.1)

kur yra stacionaraus proceso matematinis lūkestis; X 1 , X 2 - galimas vertes atsitiktinis procesas, atitinkamai, kartais t 1 , t 2 ; = t 2 – t 1 - laiko intervalas tarp sekcijų; - stacionaraus proceso dvimatis tikimybės tankis. Antroji išraiška už gautas atskleidus laužtiniuose skliaustuose pirmąją išraišką ir atsižvelgiant į matematinio lūkesčio savybes.

IN mokslinė ir techninė literatūra tokia atsitiktinio proceso charakteristika taip pat naudojama kaip Kovariacijos funkcija K (t), kuris suprantamas kaip matematinis dviejų proceso verčių sandaugos lūkestis, atitinkamai paimtas momentais t 1 ir t 2:

(3.2)

taigi santykis teisingas

(3.3)

Jeigu , tada sąvokos Ir rungtynės. Jei jis papildomai turi ergodinę savybę, koreliacijos funkciją galima nustatyti iš vieno ilgo įgyvendinimo:

(3.4)

Kur T- vienos realizavimo stebėjimo intervalas x(t) procesas; - tas pats įgyvendinimas x(t), kurį laiką atidėtas.

Formulė (3.4) gali būti naudojama kaip pagrindas konstravimui Blokinė schema prietaisas, matuojantis koreliacijos funkciją, vadinamas korelometras. Korelometrui sukurti reikalingas daugiklis, uždelsimo įtaisas su kintamu delsos laiku ir integratorius (3.1 pav.). Šis prietaisas matuoja arba priklausomai nuo to, ar jis yra nulis, ar ne.

Koreliacijos funkcija stacionaraus atsitiktinio proceso, kaip ir apskritai atsitiktinio proceso koreliacijos funkcija, yra tikroji funkcija argumentas. Tuo pačiu metu charakterizuoja iš dviejų pusių. Pirma, nustato vidutinę savitąją svyravimų galią. A antra, leidžia spręsti apie laipsnį linijinis ryšys tarp dviejų atsitiktinio proceso sekcijų, atskirtų viena nuo kitos laiko intervalu . Matmenys sutampa su atsitiktinio proceso kvadrato matmeniu. Panagrinėkime koreliacinės funkcijos savybes.

1. Koreliacijos funkcija, kai = 0, yra lygi proceso dispersijai

(3.5)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš (3.1) formulės, jei į ją įdedame = 0.

2. Stacionaraus proceso koreliacinė funkcija yra lygi funkcija argumentas:

(3.6)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš stacionaraus proceso apibrėžimo, kuriam tai nėra momentų ir momentų reikšmės t 2, o vienos atkarpos laiko atstumas nuo kitos |t 2 -t 1 |.

3. Koreliacijos funkcija bet kuriai t negali viršyti jo vertės = 0:

(3.7)

Ši savybė fiziškai tai reiškia didžiausias laipsnis tarp tos pačios sekcijos yra linijinis ryšys, ty esant =0. Tiesa, jei tai periodinis procesas, tai gali būti koks nors kitas, proporcingas proceso laikotarpiui, kuriam yra griežtas funkcinis ryšys tarp ir . Todėl bendruoju atveju (3.7) formulėje gali būti tenkinama ne tik nelygybė, bet ir lygybė.

4. Koreliacijos funkciją galima pavaizduoti kaip

(3.8)

Kur r(t) normalizuotos koreliacijos funkcija, kuri turi koreliacijos koeficiento reikšmę, priklausantį ir esantį joje

. (3.9)

Jis apibūdina tik linijinio ryšio tarp atsitiktinio proceso sekcijų, perimtų per intervalą, laipsnį. Savo ruožtu proceso sklaida apibūdina tik vidutinę specifinę atsitiktinio proceso svyravimų galią.

KORELIACIJOS FUNKCIJA

tikras atsitiktinis procesas – argumentai t,. apibrėžta lygybe

Tam, kad K. f. buvo apibrėžtas, reikėtų daryti prielaidą, kad procesas X(t) turi baigtinę sekundę. Parametras t čia eina per tam tikrą tikrosios linijos poaibį ir paprastai interpretuojamas kaip „laikas“, bet K. funkcija. apibrėžiamas lygiai taip pat. atsitiktinė funkcija, apibrėžta savavališko pobūdžio aibėje, ypač K. f. atsitiktinis laukas kada T - baigtinių matmenų erdvės poaibis. Jei yra daugiamatis (), tai jo K. f. paskambino matricine verte funkcija

Procesų kryžminės koreliacijos funkcija X i(t) , Xj(t).

K. f. yra svarbi savybė atsitiktinis procesas. Jei X(t) - Gauso procesas, tada jo K. f. IN( t, s).ir reikšmė (t. y. pirmasis ir antrasis momentai) vienareikšmiškai lemia baigtinių matmenų skirstinius, taigi ir visą procesą. Bendru atveju pirmųjų dviejų momentų akivaizdžiai nepakanka pilnam atsitiktinio proceso aprašymui. Pavyzdžiui, tas pats K. f. turi Gauso trajektorijas, kurių trajektorijos yra ištisinės, ir vadinamosios. telegrafo signalas – taškas Markovianas stacionarus procesas , imant dvi reikšmes ±1. Tačiau K. f. apibrėžia svarbios savybės procesas – vadinamasis antros eilės ypatybės (t. y. išreiškiamos antraisiais momentais). Dėl to, taip pat dėl ​​jos, santykinis paprastumas koreliacijos metodai yra plačiai naudojami tiek atsitiktinių procesų teorijoje, tiek jos statistikoje. programos (žr).

Korelograma Jei R(t).yra papildomai tęstinis ties t = 0 , (tai atitinka proceso X(t) vidutinį kvadratinį tęstinumą)

Tai kur teigiamas galutinis ; čia l eina per visą tikrąją liniją, jei T = („nepertraukiamo laiko“ atvejis), arba jei T = (..., - 1, 0, 1, . . .) („diskretaus laiko“ atvejis). Priemonė vadinama atsitiktinio proceso spektrinis matas. Taigi koreliacija ir spektrines savybes stacionarus atsitiktinis procesas pasirodo glaudžiai susijęs; pavyzdžiui, koreliacijų mažėjimo greitis atitinka glotnumo laipsnį spektrinis tankis

IN ir tt statistinė mechanika K. f. paskambino taip pat bendras r( x 1 , ..., x t ).skirtingų nagrinėjamos sistemos dalelių radimas taškuose..., x 1, x t

;šių funkcijų rinkinys vienareikšmiškai nustato atitinkamą tašką . Lit. : Dub J., Tikimybiniai procesai, vert. iš anglų k., M., 1956; L o e in M., Tikimybių teorija, vert. iš anglų k., M., 1962; G ikhman I.I., Skorokhod A.V., Įvadas į atsitiktinių procesų teoriją, M., 1965 m.

A. S. Cholevo. Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija

.

I. M. Vinogradovas. 1977–1985 m. Pažiūrėkite, kas yra „KORELIACINĖ FUNKCIJA“ kituose žodynuose: koreliacijos funkcija - NDP. autokoreliacijos funkcija Funkcija lygi kintamojo komponento sandaugos vidutinei vertei atsitiktinis signalas ir tas pats kintamasis komponentas, bet atidėtas

Koreliacijos funkcija yra laiko arba erdvinių koordinačių funkcija, nurodanti koreliaciją sistemose su atsitiktiniais procesais. Nuo laiko priklausoma dviejų atsitiktinių funkcijų X(t) ir Y(t) koreliacija apibrėžiama taip: , kur kampiniai skliaustai ... ... Vikipedija

IN statistinė fizika funkcija, kuri nustato tikimybę. bet kokių skysčių ar dujų molekulių komplekso išdėstymas; esant s = 2 K. f. paskambino porinis arba dvejetainis. Koreliacijų atsiradimas terpės molekulių išdėstyme atsiranda dėl to, kad netoli... Fizinė enciklopedija

Atsitiktinio proceso funkcija B (s, t) = M[ X (s) MX (s)].*, s, [čia MX (t) yra pirmasis proceso momentas, * reiškia kompleksinę konjugaciją; daroma prielaida, kad. Tuo atveju vektorinis procesas K. f. vadinamas koreliu... Fizinė enciklopedija- 1. Funkcija, lygi atsitiktinio signalo kintamo komponento sandaugai ir to paties kintamo komponento sandaugai, tačiau uždelsta tam tikru laiku. Naudojama dokumente: GOST 16465 70 Radijo inžinerijos matavimo signalai.… … Telekomunikacijų žodynas

Žr. Atsitiktinio proceso koreliacijos funkcija. Geologijos žodynas: 2 tomai. M.: Nedra. Redagavo K. N. Paffengoltz ir kt., 1978 m. Geologijos enciklopedija

Atsitiktinio proceso koreliacinė funkcija- 16. Atsitiktinio proceso koreliacijos funkcija Dviejų kintamųjų t ir u funkcija, lygi centruoto atsitiktinio proceso kovariacijos funkcijai Rξ (t, u) = M([ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]), t,uЄT Šaltinis ... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas

Normalizuota koreliacijos funkcija- 25. Normalizuota koreliacijos funkcija NDP. Koreliacijos koeficiento funkcija, lygus santykiui atsitiktinio signalo koreliacijos funkcija su jo dispersija