Raskite atkarpos trigonometrinės lygties sprendimą. Trigonometrinės lygtys – formulės, sprendiniai, pavyzdžiai

Trigonometrinės lygtys– tema ne pati paprasčiausia. Jie yra per įvairūs.) Pavyzdžiui, šie:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = vaikiška lovelė (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Ir panašiai...

Tačiau šie (ir visi kiti) trigonometriniai monstrai turi du bendrus ir privalomus bruožus. Pirma – nepatikėsite – lygtyse yra trigonometrinių funkcijų.) Antra: randamos visos išraiškos su x atliekant tas pačias funkcijas. Ir tik ten! Jei kur nors pasirodo X lauke, Pavyzdžiui, sin2x + 3x = 3, tai jau bus lygtis mišrus tipas. Tokios lygtys reikalauja individualus požiūris. Mes jų čia nenagrinėsime.

Šioje pamokoje irgi nespręsime blogio lygčių.) Čia nagrinėsime paprasčiausias trigonometrines lygtis. Kodėl? Taip, nes sprendimas bet koks trigonometrinės lygtys susideda iš dviejų etapų. Pirmajame etape blogio lygtis redukuojama į paprastą per įvairias transformacijas. Antruoju atveju ši paprasčiausia lygtis išspręsta. Kitaip niekaip.

Taigi, jei turite problemų antrajame etape, pirmasis etapas nėra prasmingas.)

Kaip atrodo elementarios trigonometrinės lygtys?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Čia A reiškia bet kokį skaičių. Bet koks.

Beje, funkcijos viduje gali būti ne grynas X, o kažkokia išraiška, pvz.:

cos(3x+π /3) = 1/2

ir panašiai. Tai apsunkina gyvenimą, bet neturi įtakos trigonometrinės lygties sprendimo būdui.

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis?

Trigonometrines lygtis galima išspręsti dviem būdais. Pirmasis būdas: naudojant logiką ir trigonometrinis ratas. Mes apžvelgsime šį kelią čia. Antrasis būdas – naudojant atmintį ir formules – bus aptartas kitoje pamokoje.

Pirmasis būdas yra aiškus, patikimas ir sunkiai pamirštamas.) Jis tinka sprendžiant trigonometrines lygtis, nelygybes ir visokias sudėtingas nestandartinių pavyzdžių. Logika stipresnė už atmintį!)

Lygčių sprendimas naudojant trigonometrinį apskritimą.

Įtraukiame elementarią logiką ir galimybę naudotis trigonometriniu apskritimu. Nežinai kaip? Tačiau... Tau bus sunku trigonometrijoje...) Bet tai nesvarbu. Pažiūrėkite į pamokas "Trigonometrinis ratas...... Kas tai?" ir „Kampų matavimas trigonometriniame apskritime“. Ten viskas paprasta. Kitaip nei vadovėliuose...)

O, žinai!? Ir net įvaldęs „Praktinį darbą su trigonometriniu apskritimu“!? Sveikinu. Ši tema bus jums artima ir suprantama.) Ypač džiugina tai, kad trigonometriniam apskritimui nesvarbu, kokią lygtį išspręsite. Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas – jam viskas vienoda. Yra tik vienas sprendimo principas.

Taigi imame bet kurią elementariąją trigonometrinę lygtį. Bent jau šita:

cosx = 0,5

Turime rasti X. Jei kalbėsime žmonių kalba, reikia raskite kampą (x), kurio kosinusas yra 0,5.

Kaip mes anksčiau naudojome ratą? Ant jo nubrėžėme kampą. Laipsniais arba radianais. Ir iš karto pamačiau šio kampo trigonometrinės funkcijos. Dabar darykime atvirkščiai. Ant apskritimo nubrėžkime kosinusą, lygų 0,5 ir iš karto pamatysime kampe. Belieka tik užsirašyti atsakymą.) Taip, taip!

Nubrėžkite apskritimą ir pažymėkite kosinusą, lygų 0,5. Žinoma, kosinuso ašyje. kaip tai:

Dabar nubrėžkime kampą, kurį mums suteikia šis kosinusas. Užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos (arba palieskite paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje) ir pamatysišiame kampelyje X.

Kurio kampo kosinusas yra 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Kai kas skeptiškai kikens, taip... Kaip, ar buvo verta sukti ratą, kai jau viskas aišku... Galima, žinoma, kikenti...) Bet faktas, kad tai klaidingas atsakymas. O tiksliau, nepakankamai. Apskritimo žinovai supranta, kad čia yra visa krūva kitų kampų, kurie taip pat suteikia 0,5 kosinusą.

Jei pasukate judančiąją pusę OA pilnas apsisukimas, taškas A grįš į pradinę padėtį. Su tuo pačiu kosinusu, lygiu 0,5. Tie. kampas pasikeis 360° arba 2π radianais ir kosinusas – ne. Naujasis kampas 60° + 360° = 420° taip pat bus mūsų lygties sprendimas, nes

Tokie pilnos revoliucijos tu gali susukti begalinis rinkinys... Ir visi šie nauji kampai bus mūsų trigonometrinės lygties sprendimai. Ir juos visus reikia kažkaip atsakant užrašyti. Visi. Kitu atveju sprendimas neįskaitomas, taip...)

Matematika tai gali padaryti paprastai ir elegantiškai. Užrašykite vienu trumpu atsakymu begalinis rinkinys sprendimus. Štai kaip atrodo mūsų lygtis:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Aš jį iššifruosiu. Vis tiek rašyk prasmingai Tai maloniau nei kvailai piešti paslaptingas raides, tiesa?)

π /3 - tai tas pats kampelis kaip ir mes pamačiau ant apskritimo ir pasiryžusi pagal kosinusų lentelę.

2π yra viena visiška radianų revoliucija.

n - tiek pilnų, t.y. visa aps./min Tai aišku n gali būti lygus 0, ±1, ±2, ±3.... ir pan. Kaip teigiama trumpa pastaba:

n ∈ Z

n priklauso ( ∈ ) sveikųjų skaičių rinkinys ( Z ). Beje, vietoj laiško n raidės gali būti naudojamos k, m, t ir tt

Šis žymėjimas reiškia, kad galite paimti bet kokį sveikąjį skaičių n . Mažiausiai -3, bent 0, bent +55. Ką tik nori. Jei pakeisite šį skaičių į atsakymą, gausite konkretų kampą, kuris tikrai bus mūsų griežtos lygties sprendimas.)

Arba, kitaip tariant, x = π /3 yra vienintelė begalinės aibės šaknis. Norint gauti visas kitas šaknis, pakanka pridėti bet kokį pilnų apsisukimų skaičių prie π /3 ( n ) radianais. Tie. 2π n radianas.

Visi? Nr. Sąmoningai pratęsiu malonumą. Kad geriau prisimintume.) Gavome tik dalį savo lygties atsakymų. Šią pirmąją sprendimo dalį parašysiu taip:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne tik viena šaknis, o visa eilė šaknų, užrašytų trumpa forma.

Tačiau yra ir kampų, kurie taip pat suteikia 0,5 kosinusą!

Grįžkime prie savo paveikslėlio, iš kurio užsirašėme atsakymą. Štai jis:

Užveskite pelės žymeklį ant paveikslėlio ir matome kitas kampas taip pat suteikia kosinusą 0,5. Kaip manote, kam tai lygu? Trikampiai vienodi... Taip! Jis lygus kampui X , ką tik atidėtas neigiama kryptis. Tai yra kampas -X. Bet mes jau suskaičiavome x. π /3 arba 60°. Todėl galime drąsiai rašyti:

x 2 = - π /3

Na, žinoma, pridedame visus kampus, kurie gaunami per visą apsisukimą:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dabar tiek.) Ant trigonometrinio apskritimo mes pamačiau(kas supranta, žinoma)) Visi kampai, kurie suteikia kosinusą 0,5. Ir trumpai surašė šiuos kampus matematinė forma. Atsakymas lėmė dvi begalines šaknų serijas:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tai teisingas atsakymas.

viltis, bendrasis trigonometrinių lygčių sprendimo principas naudoti apskritimą yra aišku. Ant apskritimo pažymime kosinusą (sinusą, liestinę, kotangentą). duota lygtis, nubrėžkite atitinkamus kampus ir užrašykite atsakymą.Žinoma, turime išsiaiškinti, kokie mes užkampiai pamačiau ant rato. Kartais tai nėra taip akivaizdu. Na, aš sakiau, kad čia reikalinga logika.)

Pavyzdžiui, pažvelkime į kitą trigonometrinę lygtį:

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius 0,5 nėra vienintelis galimas skaičius lygtyse!) Man tiesiog patogiau tai rašyti nei šaknis ir trupmenas.

Dirbame pagal bendrą principą. Nubrėžiame apskritimą, pažymime (žinoma, ant sinuso ašies!) 0,5. Iš karto nubrėžiame visus kampus, atitinkančius šį sinusą. Gauname šį paveikslėlį:

Pirmiausia panagrinėkime kampą X pirmąjį ketvirtį. Prisimename sinusų lentelę ir nustatome šio kampo vertę. Tai paprastas dalykas:

x = π /6

Mes prisimename apie visas revoliucijas ir, su švari sąžinė, užrašome pirmąją atsakymų seriją:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pusė darbo atlikta. Bet dabar turime nuspręsti antras kampas... Tai kebliau nei naudoti kosinusus, taip... Bet logika mus išgelbės! Kaip nustatyti antrąjį kampą per x? Tai lengva! Trikampiai paveikslėlyje yra vienodi, o raudonas kampas X lygus kampui X . Tik jis skaičiuojamas nuo kampo π neigiama kryptimi. Štai kodėl jis raudonas.) O atsakymui mums reikia kampo, teisingai apskaičiuoto, nuo teigiamos pusašies OX, t.y. nuo 0 laipsnių kampo.

Užvedame žymeklį ant piešinio ir viską matome. Pirmą kampą nuėmiau, kad neapsunkinčiau nuotraukos. Mus dominantis kampas (nupieštas žaliai) bus lygus:

π - x

X mes tai žinome π /6 . Todėl antrasis kampas bus:

π - π /6 = 5π /6

Vėl prisimename apie pilnų apsisukimų pridėjimą ir užrašome antrąją atsakymų seriją:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

tiek. Išsamų atsakymą sudaro dvi šaknų serijos:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentines ir kotangentines lygtis galima lengvai išspręsti naudojant tą patį bendrąjį trigonometrinių lygčių sprendimo principą. Jei, žinoma, žinote, kaip trigonometriniame apskritime nubrėžti liestinę ir kotangentą.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose naudojau sinuso ir kosinuso lentelės reikšmę: 0,5. Tie. viena iš tų reikšmių, kurias mokinys žino įpareigotas. Dabar išplėskime savo galimybes iki visos kitos vertybės. Nuspręsk, todėl nuspręsk!)

Taigi, tarkime, kad turime išspręsti šią trigonometrinę lygtį:

Tokia kosinuso reikšmė in trumpos lentelės Nr. Mes šaltai ignoruojame šį baisų faktą. Nubrėžkite apskritimą, pažymėkite 2/3 kosinuso ašyje ir nubrėžkite atitinkamus kampus. Gauname šį paveikslėlį.

Pirmiausia pažvelkime į kampą pirmąjį ketvirtį. Norėčiau žinoti, kodėl lygus x, atsakymas būtų buvęs užrašytas iš karto! Mes nežinome... Nesėkmė!? Ramiai! Matematika nepalieka savų žmonių bėdoje! Ji šiam atvejui sugalvojo lanko kosinusus. Nežinau? Veltui. Sužinokite, tai daug lengviau, nei manote. Šioje nuorodoje nėra nė vieno gudraus burtažodžio apie „atvirkštines trigonometrines funkcijas“... Tai šioje temoje nereikalinga.

Jei žinote, tiesiog pasakykite sau: „X yra kampas, kurio kosinusas yra lygus 2/3“. Ir iš karto, vien pagal lanko kosinuso apibrėžimą, galime parašyti:

Prisimename apie papildomus apsisukimus ir ramiai užrašome pirmąją mūsų trigonometrinės lygties šaknų seriją:

x 1 = lankas 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Antroji antrojo kampo šaknų serija beveik automatiškai užrašoma. Viskas tas pats, tik X (arccos 2/3) bus su minusu:

x 2 = - lankai 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ir viskas! Tai teisingas atsakymas. Net lengviau nei naudojant lentelės reikšmes. Nereikia nieko prisiminti.) Beje, dėmesingiausi pastebės, kad šiame paveikslėlyje sprendimas parodytas per lanko kosinusą iš esmės nesiskiria nuo pavaizduoto lygties cosx = 0,5 paveiksle.

Teisingai! Bendrasis principasŠtai kodėl tai įprasta! Sąmoningai nupiešiau du beveik vienodus paveikslus. Apskritimas rodo mums kampą X pagal jo kosinusą. Nesvarbu, ar tai lentelės kosinusas, ar ne, nežino visi. Koks tai kampas, π /3, arba koks yra lanko kosinusas – tai priklauso nuo mūsų pačių.

Ta pati daina su sinusu. Pavyzdžiui:

Dar kartą nubrėžkite apskritimą, pažymėkite sinusą, lygų 1/3, nubrėžkite kampus. Štai tokį vaizdą gauname:

Ir vėl vaizdas beveik toks pat kaip ir lygties sinx = 0,5. Pirmajame ketvirtyje vėl pradedame nuo kampo. Kam lygus X, jei jo sinusas yra 1/3? Jokio klausimo!

Dabar pirmoji šaknų pakuotė yra paruošta:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Panagrinėkime antrąjį kampą. Pavyzdyje, kurio lentelės reikšmė yra 0,5, ji buvo lygi:

π - x

Čia taip pat bus lygiai taip pat! Skiriasi tik x, arcsin 1/3. Taigi ką!? Galite saugiai užsirašyti antrąją šaknų pakuotę:

x 2 = π – arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tai visiškai teisingas atsakymas. Nors atrodo nelabai pažįstama. Bet tai aišku, tikiuosi.)

Taip trigonometrinės lygtys sprendžiamos naudojant apskritimą. Šis kelias yra aiškus ir suprantamas. Būtent jis išsaugo trigonometrinėse lygtyse, pasirinkdamas šaknis tam tikrame intervale, in trigonometrinės nelygybės- paprastai jie beveik visada sprendžiami ratu. Trumpai tariant, atliekant bet kokias užduotis, kurios yra šiek tiek sunkesnės nei standartinės.

Pritaikykime žinias praktiškai?)

Išspręskite trigonometrines lygtis:

Pirma, paprasčiau, tiesiai iš šios pamokos.

Dabar viskas sudėtingiau.

Užuomina: čia teks galvoti apie ratą. Asmeniškai.)

O dabar jie išoriškai paprasti... Jie dar vadinami ypatingais atvejais.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Užuomina: čia reikia ratu išsiaiškinti, kur yra dvi atsakymų serijos, o kur viena... Ir kaip parašyti vieną, o ne dvi atsakymų serijas. Taip, kad nebūtų nei vienos šaknies iš begalinis skaičius neprarasti!)

Na, labai paprasta):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Užuomina: čia reikia žinoti, kas yra arcsinusas ir arkosinas? Kas yra arctangentas, arkotangentas? Labiausiai paprasti apibrėžimai. Bet prisimink ne lentelės reikšmės Nereikia!)

Atsakymai, žinoma, yra netvarka):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne viskas pavyksta? Atsitinka. Dar kartą perskaitykite pamoką. Tik apgalvotai(yra toks pasenęs žodis...) Ir sekite nuorodas. Pagrindinės nuorodos yra apie ratą. Be jos trigonometrija yra tarsi perėjimas užrištomis akimis. Kartais tai veikia.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Pamoka ir pristatymas tema: „Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys yra lygtys, kuriose kintamasis yra po ženklu trigonometrinė funkcija.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1)Jei |a|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |a|≤ 1, tai nuodėmės lygtis(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visų formulių k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T(kx+m)=a, T yra kokia nors trigonometrinė funkcija.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie mūsų kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Sprendimas:

A) Šį kartą pereikime tiesiai prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Mes nuspręsime bendras vaizdas mūsų lygtis: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Ties k Kai k=0, x= π/16, esame duotame atkarpoje.
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pataikome dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k, taip pat akivaizdžiai nepataikėme.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, žymėdami: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime šaknis kvadratinė lygtis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalinkite ją iš cos (x): Negalite dalyti iš kosinuso, jei taip lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nelygu nuliui tuo pačiu metu gauname prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimsime bendras daugiklis: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a=0, mūsų lygtis bus formos cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t=tg(x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr.:3

Abi lygties puses padalinkime iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:4

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:5

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įveskime pakaitalą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo problemos.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: 2 lovelė (x) + 2 lovytė (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Galite užsisakyti detalus sprendimas tavo užduotis!!!

Lygybė, turinti nežinomąjį po trigonometrinės funkcijos ženklu („sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“), vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.

Paprasčiausios lygtys vadinamos „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinis skaičius sprendimus.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

Jei `|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, sprendiniai tarp realūs skaičiai neturi.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

• paverčiant jį paprasčiausiu;
• išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių seka du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

1. „sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
2. „cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

„a sin x+b cos x=0“ ( vienalytė lygtis pirmas laipsnis) arba `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Užsirašykime dešinėje pusėje, pvz., „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.

Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

1. „tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
2. „tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Perėjimas prie pusės kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikykime formules dvigubas kampas, gaunasi: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2''

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikant aukščiau pateiktą algebrinis metodas, gauname:

1. „tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
2. „tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, tada kaip pagalbinis kampas imkime `\varphi=arcsin 4/5`. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin (x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

„x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

1. „sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
2. „1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, todėl pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.