Бид энэ цэгийн ойр орчмыг гарал үүсэл дээр төвлөрсөн тойрогуудын гаднах хэсэг гэж тодорхойлсон. У
(∞, ε
) = {z
∈ | |z
| > ε). Цэг z
= ∞ нь тусгаарлагдсан ганц цэг юм аналитик функц w
= е
(z
), хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт энэ функцийн өөр ганц цэг байхгүй бол. Энэ ганц цэгийн төрлийг тодорхойлохын тулд бид хувьсагч болон цэгийн өөрчлөлтийг хийдэг z
= ∞ цэг рүү очно z
1 = 0, функц w
= е
(z
) хэлбэрийг авна 
. Ганц цэгийн төрөл z
= ∞ функцууд w
= е
(z
) бид ганц цэгийн төрлийг дуудах болно z
1 = 0 функц w
= φ
(z
1). Хэрэв функцийн өргөтгөл w
= е
(z
) градусаар z
цэгийн ойролцоо z
= ∞, өөрөөр хэлбэл. хангалттай том модулийн утгууд дээр z
, дараа нь орлуулж буй хэлбэртэй байна z
дээр , бид хүлээн авах болно. Тиймээс хувьсагчийн ийм өөрчлөлтөөр Лоран цувралын үндсэн ба ердийн хэсгүүд байрлаж, ганц цэгийн төрөл өөрчлөгддөг. z
= ∞ нь Лоранын цуврал дахь функцийн өргөтгөлийн зөв хэсгийн гишүүний тоогоор тодорхойлогдоно. z
цэгийн ойролцоо z
= 0. Тиймээс
1. Цэг z
= ∞ - зөөврийн онцгой цэг, хэрэв энэ өргөтгөлд зөв хэсэг байхгүй бол (хэрэв нэр томъёог эс тооцвол А
0);
2. Цэг z
= ∞ - туйл n
-баруун хэсэг нь нэр томъёогоор төгссөн бол-р дараалал А н
· z n
;
3. Цэг z
Хэрэв ердийн хэсэг нь хязгааргүй олон гишүүнийг агуулж байвал = ∞ нь үндсэндээ ганц цэг болно.
Энэ тохиолдолд утгаараа ганц цэгийн төрлүүдийн шалгуур хүчинтэй хэвээр байна: хэрэв z= ∞ нь зөөврийн ганц цэг, тэгвэл энэ хязгаар нь байгаа бөгөөд хэрэв байвал төгсгөлтэй байна z= ∞ нь туйл, хэрэв энэ хязгаар нь хязгааргүй болно z= ∞ нь үндсэндээ ганц цэг, тэгвэл энэ хязгаар байхгүй (хязгааргүй ч биш).
Жишээ нь: 1. е
(z
) = -5 + 3z
2 - z
6. Функц нь аль хэдийн олон гишүүнт хүчин чадалтай z
, хамгийн дээд зэрэг нь зургаа дахь, тиймээс z
Үүнтэй ижил үр дүнг өөр аргаар авч болно. Бид солих болно z
дээр, дараа нь 
. Функцийн хувьд φ
(z
1) цэг z
1 = 0 нь зургаа дахь эрэмбийн туйл, тиймээс е
(z
) цэг z
= ∞ - зургаа дахь эрэмбийн туйл.
2. . Энэ функцийн хувьд эрчим хүчний өргөтгөлийг аваарай z
хэцүү, тиймээс олъё: 
; хязгаар нь байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг тул цэг z
3. . Эрчим хүчний өргөтгөлийн хэсгийг засах z
хязгааргүй олон нэр томьёо агуулсан тул z
= ∞ нь үндсэндээ ганц цэг юм. Үгүй бол энэ баримт байхгүй гэдгийг үндэслэн тогтоож болно.
Хязгааргүй алслагдсан ганц цэг дэх функцийн үлдэгдэл.
Эцсийн ганц цэгийн хувьд а
, Хаана γ
- бусад зүйл агуулаагүй хэлхээ а
, ганц цэгүүд, түүгээр хязгаарлагдах ба ганц цэгийг агуулсан талбай зүүн талд (цагийн зүүний эсрэг) хэвээр байхаар дамжин өнгөрнө.
Үүнтэй төстэй байдлаар тодорхойлъё: 
, энд Γ − нь ийм хөршийг хязгаарлаж буй контур юм У
(∞, r
) оноо z
= ∞, энэ нь бусад онцгой цэгүүдийг агуулаагүй бөгөөд энэ хөрш зүүн талд (жишээ нь, цагийн зүүний дагуу) хэвээр байхаар дамжин өнгөрөх боломжтой. Тиймээс функцын бусад бүх (эцсийн) онцгой цэгүүд нь контурын дотор байрлах ёстой Γ − . Γ − контурыг туулах чиглэлийг өөрчилье: 
. Үлдэгдлийн үндсэн теоремоор 
, энд нийлбэр нь бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дээр хийгддэг. Тиймээс, эцэст нь
,
тэдгээр. хязгааргүй алслагдсан ганц цэг дэх үлдэгдэл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭсрэг тэмдгээр авсан бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дээрх үлдэгдэл.
Үүний үр дүнд бий нийт нийлбэр теорем: хэрэв функц w = е (z ) нь онгоцны хаа сайгүй аналитик юм ХАМТ , хязгаарлагдмал тооны ганц цэгээс бусад z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , дараа нь бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дэх үлдэгдлийн нийлбэр ба хязгааргүй дэх үлдэгдэл тэгтэй тэнцүү байна.
гэдгийг анхаарна уу z
= ∞ нь зөөврийн цорын ганц цэг бөгөөд түүний үлдэгдэл нь тэгээс өөр байж болно. Тэгэхээр функцийн хувьд мэдээжийн хэрэг, ; z
= 0 нь энэ функцийн цорын ганц хязгаарлагдмал цэг юм 
, гэсэн хэдий ч, i.e. z
= ∞ нь зөөврийн ганц цэг юм.
Тодорхойлолт
Бодит x цэгийн хөрш 0
Энэ цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалыг:
.
Энд ε 1
ба ε 2
- дурын эерэг тоо.
Эпсилон - x цэгийн хөрш 0
нь x цэг хүртэлх зайн цэгүүдийн багц юм 0
ε-ээс бага:
.
x цэгийн цоорсон хөрш 0
x цэг өөрөө хасагдсан энэ цэгийн хөрш 0
:
.
Төгсгөлийн цэгүүдийн хөршүүд
Хамгийн эхэнд цэгийн ойр орчмын тодорхойлолтыг өгсөн. гэж тодорхойлсон.
(1)
.
Гэхдээ та тохирох аргументуудыг ашиглан хөрш хоёр тооноос хамаардаг гэдгийг тодорхой зааж өгч болно.
Өөрөөр хэлбэл, хөрш нь нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм. 1
ε-г тэнцүүлэх 2
ε хүртэл
(2)
.
, бид epsilon - хөрш авдаг:
Эпсилон хороолол нь төгсгөлүүд нь тэнцүү зайтай нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм.
Мэдээжийн хэрэг, эпсилон үсгийг өөр ямар ч үсгээр сольж болох бөгөөд δ - хөрш, σ - хөрш гэх мэтийг анхаарч үзээрэй.
Мөн зүүн тал, баруун тал, цоорсон хороолол гэсэн ойлголтууд өргөн хэрэглэгддэг. төгсгөлийн цэгүүд. Тэдний тодорхойлолтууд энд байна.
Бодит x цэгийн зүүн хөрш 0
дээр байрлах хагас задгай интервал юм бодит тэнхлэг x цэгийн зүүн талд 0
, үүнд цэг өөрөө:
;
.
Бодит x цэгийн баруун талын хөрш 0
нь х цэгийн баруун талд байрлах хагас задгай интервал юм 0
, үүнд цэг өөрөө:
;
.
Төгсгөлийн цэгүүдийн цоорсон хөршүүд
x цэгийн цоорсон хөршүүд 0 - эдгээр нь тухайн цэгийг өөрөө хассан хөршүүд юм. Тэдгээрийг үсгийн дээгүүр тойрог хэлбэрээр тэмдэглэв. Тэдний тодорхойлолтууд энд байна.
x цэгийн цоорсон хөрш 0
:
.
Цоорсон эпсилон - x цэгийн хөрш 0
:
;
.
Цоорсон зүүн талын хөрш:
;
.
Баруун талын ойролцоо цоорсон:
;
.
Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүд
Төгсгөлийн цэгүүдийн зэрэгцээ хязгааргүй дэх цэгүүдийн хөршүүдийг мөн танилцуулсан. Хязгааргүйд бодит тоо байдаггүй (хязгааргүйд байгаа цэг нь хязгааргүй том дарааллын хязгаар гэж тодорхойлогддог) учраас тэд бүгд цоорсон байдаг.
.
;
;
.
Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүдийг дараах байдлаар тодорхойлох боломжтой байв.
.
Гэхдээ бид M-ийн оронд -г ашигладаг бөгөөд ингэснээр жижиг ε-тэй хөршүүд нь төгсгөлийн хөршүүдийн хувьд илүү том ε-тэй хөршийн дэд олонлог болно.
Хөршийн өмч
Дараа нь бид цэгийн ойр орчмын тодорхой шинж чанарыг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) ашигладаг. Энэ нь ойролцоох цэгүүдтэй холбоотой юм жижиг утгуудε нь ε-ийн том утгатай хөршүүдийн дэд олонлогууд юм.
Энд илүү хатуу жор байдаг.
Эцсийн эсвэл хязгааргүй алслагдсан цэг байх болтугай. Тэгээд байг.
;
;
;
;
;
;
;
.
Дараа нь
Эсрэг заалт нь бас үнэн юм.
Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолтуудын эквивалент
Одоо бид Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо дурын хөрш болон ижил зайтай төгсгөлтэй хөршүүдийг хоёуланг нь ашиглаж болохыг харуулах болно.
Теорем
Дурын хөршүүд болон ижил зайтай төгсгөлүүдтэй хөршүүдийг ашигладаг функцийн хязгаарын Коши тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Баталгаа Томьёолъё.
функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолт
.
Баталгаа Хэрэв эерэг тоонуудын хувьд а цэгийн харгалзах хөршид хамаарах тоонууд байгаа бол a тоо нь функцийн хязгаар (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй) юм..
функцийн хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолт a тоо нь хэрэв байгаа бол тухайн цэг дээрх функцийн хязгаар юмэерэг тоо
.
Баталгаа 1 ⇒ 2
Хэрэв 1-р тодорхойлолтоор a тоо нь функцийн хязгаар юм бол 2-р тодорхойлолтоор мөн л хязгаар гэдгийг баталъя.
Эхний тодорхойлолтыг хангая. Энэ нь функцууд байдаг гэсэн үг бөгөөд эерэг тоонуудын хувьд дараахь зүйлийг агуулна.
үед , хаана .
Тоонууд нь дур зоргоороо байдаг тул бид тэдгээрийг тэнцүүлж байна:
.
Дараа нь ийм функцууд байдаг ба , тиймээс аль нэгний хувьд дараах үйлдлүүд хэрэгжинэ.
үед , хаана .
Үүнийг анхаарна уу.
Эерэг тоонуудын хамгийн бага нь ба .
.
Дараа нь дээр дурдсаны дагуу,
Хэрэв тийм бол.
үед , хаана .
Өөрөөр хэлбэл, бид ийм функцийг олсон тул дараах зүйлсийн аль нь ч болно.
Энэ нь хоёр дахь тодорхойлолтоор а тоо нь функцийн хязгаар гэсэн үг юм.
Баталгаа 2 ⇒ 1
Хэрэв а тоо 2-р тодорхойлолтоор функцийн хязгаар бол 1-р тодорхойлолтоор мөн л хязгаар гэдгийг баталъя.
.
Хоёр дахь тодорхойлолтыг хангая. Хоёр эерэг тоо ба .
.
Мөн энэ нь тэдний хамгийн бага нь байг. Дараа нь, хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу ийм функц байдаг бөгөөд ингэснээр ямар ч эерэг тоо ба бүхний хувьд дараах байдалтай байна.
.
Харин дагуу, .
Тиймээс, үүний дараах зүйлээс
Дараа нь ямар ч эерэг тоо болон , бид хоёр тоог олсон тул бүгдэд нь:
Энэ нь эхний тодорхойлолтоор а тоо нь хязгаар гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.Ашигласан уран зохиол:
Л.Д. Кудрявцев. Заматематик шинжилгээ . 1-р боть. Москва, 2003 он.Тодорхойлолт. Хязгааргүй рүү чиглүүлнарийн төвөгтэй хавтгай е(zдуудсан тусгаарлагдсан ганц цэгөвөрмөц аналитик функц ), Хэрэв,
гадна е(z).
зарим радиустай тойрог 
Р
тэдгээр. -ийн хувьд функцийн хязгаарлагдмал ганц цэг байхгүй ζ
Хязгааргүй цэг дээрх функцийг судлахын тулд бид орлуулалтыг хийдэг
Чиг үүрэг 
цэг дээр онцгой шинж чанартай байх болно
= 0, мөн энэ цэг тусгаарлагдсан байх болно, оноос хойш ζ
тойрог дотор 
Нөхцөл байдлын дагуу өөр ганц цэг байхгүй. Үүнд аналитик ханддаг ζ
тойрог (гэж нэрлэгдэхээс бусад
= 0), функц zэрх мэдлийн хүрээнд Лорентын цувралаар өргөжүүлж болно z. Өмнөх догол мөрөнд тодорхойлсон ангилал бүрэн өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид анхны хувьсагч руу буцах юм бол 1.
, дараа нь эерэг ба сөрөг хүчний цуваа z =
газруудыг "солих". Тэдгээр. Хязгааргүй цэгийн ангилал дараах байдалтай байна.
Жишээ.
2.
. z =
∞
Цэг
би
- 3-р зэрэглэлийн туйл. z. Цэг
е(z- үндсэндээ онцгой цэг. е(z) Лорентын цувралаар өвөрмөц байдлаар төлөөлж болно: 
Хаана 
Л.Д. Кудрявцев. ЗаСуутгаланалитик функц е(z) тусгаарлагдсан ганц цэг дээр z 0
дуудсан нийлмэл тоо, интегралын утгатай тэнцүү байна 
, функцийн аналитик мужид орших, дотроо ганц ганц цэг агуулсан аливаа хаалттай контурын дагуу эерэг чиглэлд авсан z 0 .
Хасах хэмжээг Res тэмдгээр илэрхийлнэ [е(z),z 0 ].
Үлдэгдэл нь ердийн эсвэл зөөврийн ганц цэг дээр байгааг харахад хялбар байдаг тэгтэй тэнцүү.
Нэг туйл эсвэл үндсэндээ ганц цэг дээр үлдэгдэл нь коэффициенттэй тэнцүү байна -тай-1 эгнээ Лоран:
.
Жишээ.Функцийн үлдэгдлийг ол 
.
(Үүнийг харахад хялбар байх болтугай
коэффициент -тайНөхцөлүүдийг үржүүлэхэд -1 гарна n= 0:Res[ е(z),газруудыг "солих". Тэдгээр. Хязгааргүй цэгийн ангилал дараах байдалтай байна.
]
=
}
Ихэнхдээ функцүүдийн үлдэгдлийг тооцоолох боломжтой байдаг энгийн аргаар. Функцийг зөвшөөр е(z) агуулсан байна. zЭхний эрэмбийн 0 туйл. Энэ тохиолдолд Лоранын цуврал дахь функцийн өргөтгөл нь (§16): хэлбэртэй байна. Энэ тэгшитгэлийг (z−z 0)-аар үржүүлээд at хязгаарт хүрье 
. Үүний үр дүнд бид: Res[ е(z),z 0 ] =
Тэгэхээр, in
Сүүлийн жишээнд Res[ байна. е(z),газруудыг "солих". Тэдгээр. Хязгааргүй цэгийн ангилал дараах байдалтай байна.
]
=
.
Дээд эрэмбийн туйл дээрх үлдэгдлийг тооцоолохын тулд функцийг үржүүлнэ
дээр 
(м− туйлын дараалал) ба үүссэн цувааг ялгах ( м −
1) удаа.
Энэ тохиолдолд бидэнд: Res[ е(z),z 0 ]
Жишээ.Функцийн үлдэгдлийг ол 
z= −1 үед.
{
Хариу[ е(z),
−1]
}
Хэрэв зарим дараалал нь нийлбэл хязгаарлагдмал тоо a, дараа нь тэд бичдэг
.
Өмнө нь бид авч үзсэн хязгааргүй урт дараалал. Бид тэдгээрийг нийлдэг гэж таамаглаж, тэдгээрийн хязгаарыг болон тэмдэгтээр тэмдэглэв. Эдгээр тэмдгүүд нь илэрхийлдэгхязгааргүй цэгүүд . Тэд олон түмэнд хамаарахгүйбодит тоо
Тодорхойлолт
. Гэхдээ хязгаарын тухай ойлголт нь бидэнд ийм цэгүүдийг нэвтрүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд бодит тоо ашиглан тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгслээр хангадаг.Хязгааргүй рүү чиглүүл
, эсвэл тэмдэггүй хязгааргүй байдал нь хязгааргүй том дарааллын чиглэх хязгаар юм.Хязгааргүй дээр нэмэх нь хязгааргүй дээр зааж өгнө үү
, эерэг гишүүнтэй хязгааргүй том дарааллын чиглэх хязгаар юм.Хязгааргүйг хасаж хязгааргүйг зааж өгнө
, сөрөг гишүүнтэй хязгааргүй том дарааллын чиглэх хязгаар юм.
;
.
Аливаа бодит тооны хувьд дараах тэгшитгэлүүд байна. Бодит тоонуудыг ашиглан бид ойлголтыг танилцуулсан.
хязгааргүй цэгийн хөрш
Цэгийн хөрш нь олонлог юм.
Эцэст нь цэгийн хөрш нь олонлог юм.
Энд M нь дурын, дур зоргоороо том бодит тоо юм. Тиймээс бид бодит тоонуудын багцад шинэ элементүүдийг оруулан өргөжүүлэв. Үүнтэй холбогдуулан, байдаг:
Өргөтгөсөн тооны шугамэсвэл бодит тоонуудын өргөтгөсөн багцнь дараах элементүүдээр нөхөгддөг бодит тоонуудын олонлог юм.
.
Юуны өмнө бид ба . Дараа нь бид хатуу чанга байдлын асуудлыг авч үзэх болноматематикийн тодорхойлолт
Эдгээр цэгүүдэд зориулсан үйлдлүүд болон эдгээр шинж чанаруудын нотолгоо.
Хязгааргүй цэгийн шинж чанарууд.
;
;
;
;
Нийлбэр ба ялгаа.
;
;
;
;
;
;
;
.
Бүтээгдэхүүн ба хэмжээ.
Бодит тоонуудын хамаарал
;
;
;
;
;
.
a нь дурын бодит тоо байг. Дараа нь > 0
А
;
;
.
a нь дурын бодит тоо байг. Дараа нь < 0
А
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Дараа нь
Тодорхойгүй үйлдлүүд
Хязгааргүй цэгийн шинж чанарын баталгаа
Математик үйлдлүүдийг тодорхойлох Хязгааргүй цэгийн тодорхойлолтыг бид аль хэдийн өгсөн. Одоо бид тэдэнд зориулсан математик үйлдлүүдийг тодорхойлох хэрэгтэй. Бид эдгээр цэгүүдийг дараалал ашиглан тодорхойлсон тул эдгээр цэгүүдтэй хийх үйлдлийг мөн дараалал ашиглан тодорхойлох ёстой.
Тэгэхээр,
хоёр цэгийн нийлбэр
,
c = a + b,
,
бодит тоонуудын өргөтгөсөн багцад хамаарах,
Бид хязгаарыг дуудах болно
Энд ба хязгаартай дурын дараалал
Мөн .
Хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Зөвхөн хуваах тохиолдолд бутархайн хуваагч дахь элементүүд тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.
Дараа нь хоёр цэгийн зөрүү:
Хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Зөвхөн хуваах тохиолдолд бутархайн хуваагч дахь элементүүд тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.
- энэ бол хязгаар: .
Хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Зөвхөн хуваах тохиолдолд бутархайн хуваагч дахь элементүүд тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.
Онооны бүтээгдэхүүн: Хувийн:, .
Энд болон хязгаар нь тус тус a ба b байх дурын дараалал юм. IN
сүүлчийн тохиолдол
Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа
.
Хязгааргүй цэгийн шинж чанарыг батлахын тулд бид хязгааргүй том дарааллын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.
,
Үл хөдлөх хөрөнгийг авч үзье:
1
Үүнийг батлахын тулд бид харуулах ёстой
;
.
Өөрөөр хэлбэл, нэмэх хязгаарт нийлдэг хоёр дарааллын нийлбэр нь нэмэх хязгааргүйд нийлдэг гэдгийг батлах хэрэгтэй.
.
Дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
Дараа нь бид дараах байдалтай байна:
Үүнийг тавья.
Дараа нь
цагт,
Хаана.
.
Энэ нь гэсэн үг.
,
Бусад шинж чанаруудыг ижил төстэй аргаар нотолж болно. Жишээ болгон өөр нэг нотолгоо хэлье.
Үүнийг баталцгаая: Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг харуулах ёстой.
Энд ба нь дурын дараалал, хязгаартай ба . 1
Үүнийг батлахын тулд бид харуулах ёстой
;
.
Өөрөөр хэлбэл, нэмэх хязгаарт нийлдэг хоёр дарааллын нийлбэр нь нэмэх хязгааргүйд нийлдэг гэдгийг батлах хэрэгтэй.
.
Дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
Дараа нь бид дараах байдалтай байна:
Үүнийг тавья.
Дараа нь
Өөрөөр хэлбэл, бид хязгааргүй том хоёр дарааллын үржвэр нь хязгааргүй гэдгийг батлах хэрэгтэй
том дараалал Үүнийг баталцгаая. ба , тэгвэл ямар нэгэн эерэг тоо М-ийн хувьд зарим функцууд ба гэсэн байнаТодорхойгүй үйлдлүүд Хэсэгтодорхойлогдоогүй. Тэдний тодорхой бус байдлыг харуулахын тулд үйл ажиллагааны үр дүн нь тэдгээрт багтсан дарааллын сонголтоос хамаарах хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг өгөх шаардлагатай.
Энэ үйлдлийг авч үзье:
.
Хэрэв ба бол дарааллын нийлбэрийн хязгаар нь дарааллын сонголтоос хамаарна гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.
Нээрээ авч үзье.
Эдгээр дарааллын хязгаар нь .
Хэмжээний хязгаар
хязгааргүйтэй тэнцүү.
Одоо авч үзье. Эдгээр дарааллын хязгаар нь мөн адил байна.Гэхдээ тэдний хэмжээ хязгаар
тэгтэй тэнцүү.
