Хэрэв зарим дараалал нь төгсгөлтэй a тоонд нийлдэг бол бичнэ үү
.
Өмнө нь бид хязгааргүй том дарааллыг харгалзан үзсэн. Бид тэдгээрийг нийлдэг гэж таамаглаж, хязгаарыг болон тэмдэгтээр тэмдэглэв. Эдгээр тэмдгүүд нь илэрхийлдэгхязгааргүй цэгүүд

. Тэд бодит тооны багцад хамаарахгүй. Гэхдээ хязгаарын тухай ойлголт нь бидэнд ийм цэгүүдийг нэвтрүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд бодит тоо ашиглан тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгслээр хангадаг.
Тодорхойлолт Эцэс төгсгөлгүй алсын цэг
, эсвэл тэмдэггүй хязгааргүй байдал нь хязгааргүй том дарааллын чиглэх хязгаар юм.Хязгааргүй дээр нэмэх нь хязгааргүй дээр зааж өгнө үү
, эерэг гишүүнтэй хязгааргүй том дарааллын хандлагатай хязгаар юм.Хязгааргүйг хасаж хязгааргүйг заа

, сөрөг гишүүнтэй хязгааргүй том дарааллын чиглэх хязгаар юм. Хэнд ч зориулавбодит тоо
;
.

a дараах тэгш бус байдал нь: Бодит тоо ашиглан бид ойлголтыг танилцуулсан.
хязгааргүй цэгийн хөрш
Цэгийн хөрш нь олонлог юм.
Эцэст нь цэгийн хөрш нь олонлог юм.

Энд M нь дурын, дур зоргоороо том бодит тоо юм. Тиймээс бид бодит тоонуудын багцад шинэ элементүүдийг оруулан өргөжүүлэв. Үүнтэй холбогдуулан, байдаг:

дараах тодорхойлолтӨргөтгөсөн тооны шугам эсвэлбодит тоонуудын өргөтгөсөн багц
.

нь дараах элементүүдээр нөхөгддөг бодит тоонуудын олонлог юм. Юуны өмнө бид ба .Дараа нь бид хатуу чанга байдлын асуудлыг авч үзэх болно

математикийн тодорхойлолт

Эдгээр цэгүүдэд зориулсан үйлдлүүд болон эдгээр шинж чанаруудын нотолгоо..
; ;
; ;

Хязгааргүй цэгийн шинж чанарууд.
; ; ;
;
;
; ; .

Нийлбэр ба ялгаа.
Бүтээгдэхүүн ба хэмжээ
; ;
; ; ; .
Бодит тоонуудын хамаарал > 0 a нь дурын бодит тоо байг. Дараа нь
; ; .
Бодит тоонуудын хамаарал < 0 a нь дурын бодит тоо байг. Дараа нь
; .

А.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

Дараа нь

Хязгааргүй цэгийн тодорхойлолтыг бид аль хэдийн өгсөн. Одоо бид тэдэнд зориулсан математик үйлдлүүдийг тодорхойлох хэрэгтэй. Бид эдгээр цэгүүдийг дараалал ашиглан тодорхойлсон тул эдгээр цэгүүдтэй хийх үйлдлийг мөн дараалал ашиглан тодорхойлох ёстой.

Тэгэхээр, хоёр цэгийн нийлбэр
c = a + b,
бодит тоонуудын өргөтгөсөн багцад хамаарах,
,
Бид хязгаарыг дуудах болно
,
Энд ба хязгаартай дурын дараалал
Мөн .

Хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Зөвхөн хуваах тохиолдолд бутархайн хуваагч дахь элементүүд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.
Дараа нь хоёр цэгийн зөрүү:
- энэ бол хязгаар: .
Онооны бүтээгдэхүүн:
- энэ бол хязгаар: .
Хувийн:
- энэ бол хязгаар: .
Энд болон хязгаар нь тус тус a ба b байх дурын дараалал юм. IN сүүлчийн тохиолдол, .

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа

Хязгааргүй цэгийн шинж чанарыг батлахын тулд бид хязгааргүй том дарааллын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.

Үл хөдлөх хөрөнгийг авч үзье:
.
Үүнийг батлахын тулд бид харуулах ёстой
,

Өөрөөр хэлбэл, нэмэх хязгаарт нийлдэг хоёр дарааллын нийлбэр нь нэмэх хязгаарт нийлдэг гэдгийг батлах хэрэгтэй.

1 Дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
;
.
Дараа нь бид дараах байдалтай байна:
.
Үүнийг тавья.
Дараа нь
цагт,
Хаана.

Энэ нь гэсэн үг.

Бусад шинж чанаруудыг ижил төстэй аргаар нотолж болно. Жишээ болгон өөр нэг нотолгоо хэлье.
.
Үүнийг баталцгаая:
,
Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг харуулах ёстой

Энд ба нь дурын дараалал, хязгаартай ба .

Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр хязгааргүй том дарааллын үржвэр нь хязгааргүй том дараалал гэдгийг батлах хэрэгтэй. 1 Дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
;
.
Дараа нь бид дараах байдалтай байна:
.
Үүнийг тавья.
Дараа нь
цагт,
Хаана.

Үүнийг баталъя. ба , тэгвэл ямар нэгэн эерэг тоо М-ийн хувьд зарим функцууд ба гэсэн байна

Тодорхойгүй үйлдлүүд Хэсэгматематик үйлдлүүд

хязгааргүй цэгүүд тодорхойлогдоогүй байна. Тэдний тодорхой бус байдлыг харуулахын тулд үйл ажиллагааны үр дүн нь тэдгээрт багтсан дарааллын сонголтоос хамаарах тохиолдолд хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг өгөх шаардлагатай.
.
Энэ үйлдлийг авч үзье:

Хэрэв ба бол дарааллын нийлбэрийн хязгаар нь дарааллын сонголтоос хамаарна гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

Нээрээ авч үзье.

Эдгээр дарааллын хязгаар нь .

Хэмжээний хязгаар.

хязгааргүйтэй тэнцүү. Одоо авч үзье.Эдгээр дарааллын хязгаар нь мөн адил байна.

Гэхдээ тэдний хэмжээ хязгаар

Хязгааргүй цэг.

Хязгааргүй алслагдсан цэгийн ойролцоо (цэгээс бусад) функц аналитик байг. Тэд тийм гэж хэлдэгзөөврийн ганц цэг, туйл эсвэл үндсэндээ ганц цэг-аас хамаарнахязгаарлагдмал, хязгааргүй эсвэл байхгүй .

Бид тавьж үзье, дараа нь энэ нь цэгийн зарим хөрш аналитик байх болно Сүүлийнх нь хувьд ижил төрлийн ганц цэг байх болно. Лорентын хорооллын өргөтгөлийг Лорентын хорооллын өргөтгөлийг энгийн орлуулах замаар олж авч болно. Гэхдээ ийм орлуулалтаар зөв хэсгийг үндсэн хэсэгээр нь сольж, эсрэгээр нь солино. Тиймээс шударга байна

Теорем 1. Infinitely-д зөөврийн онцгой байдлын хувьд алсын цэг, Энэ цэгийн хөрш дэх функцийн Лорент өргөтгөл агуулаагүй байна эерэг зэрэг, шонгийн хувьдтэдгээрийн хязгаарлагдмал тоог агуулсан ба тохиолдолдчухал шинж чанар - хязгааргүй.

Хэрэв энэ нь цэг дээр байгаа болзөөврийн онцлог, Энэ нь ихэвчлэн энэ гэж хэлсэнхязгааргүй аналитик, хүлээн зөвшөөр. Энэ тохиолдолд функц нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт хязгаарлагдах нь ойлгомжтой.

Функцийг бүрэн хавтгайд аналитик болгоё. Хязгааргүй цэгийн функцийн аналитик байдлаас үзэхэд энэ нь энэ цэгийн ойролцоо хязгаарлагддаг; зөвшөөрөх. Нөгөө талаас аналитикаас эхлээд харгис тойрогэнэ тойрог дахь хязгаарлалтыг дагаж мөрддөг; дотор нь байг. Гэхдээ дараа нь функц нь бүхэл бүтэн хавтгайд хязгаарлагддаг: бидэнд байгаа бүх хүмүүст зориулагдсан. Тиймээс Лиувиллийн теоремдараах хэлбэрээр өгч болно.

Теорем 2. Хэрэв функц бүрэн хавтгайд аналитик бол энэ нь тогтмол байна.

Одоо ойлголтыг танилцуулъяхязгааргүйд үлдэгдэл. Функц нь тухайн цэгийн ойролцоо аналитик байх болтугай (энэ цэгээс бусад тохиолдолд); доорфункцийг хязгааргүйд хасахойлгох

Энд хангалттай том тойрог цагийн зүүний дагуу (цэгний тойрог зүүн тийш үлдэнэ).

Энэ тодорхойлолтоос харахад функцийн хязгааргүйд үлдэгдэл нь эсрэг тэмдгээр авсан цэгийн ойролцоох Лорентын тэлэлтийн коэффициенттэй тэнцүү байна.

Теорем 3. Хэрэв функц бүрэн хавтгайд хязгаарлагдмал тооны ганц цэгтэй бол түүний бүх үлдэгдлийн нийлбэр, түүний дотор хязгааргүй дэх үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Үнэндээ болъё a 1 ,…a n функцийн эцсийн ганц цэгүүд ба - дотор нь бүгдийг агуулсан тойрог. Интегралын шинж чанараар үлдэгдэл теорем ба үлдэгдлийн тодорхойлолт нь хязгааргүй цэгийн хувьд:

гэх мэт.

Үлдэгдэл онолын интегралыг тооцоолоход ашиглах.

-ийн интегралыг тооцоолох шаардлагатай байг бодит функцзарим (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй) сегментийн дагуу ( a,b) x тэнхлэг. Нэмье (a, b ) зарим муруй нь (а, б ) бүс нутаг, мөн аналитик байдлаар үргэлжлүүлнэ.

Бид үлдэгдэл теоремыг үүсгэсэн аналитик үргэлжлэлд хэрэглэнэ.

(1)

Хэрэв интегралыг хүссэн интегралаар тооцож эсвэл илэрхийлж чадвал тооцооны асуудал шийдэгдэнэ.

Хязгааргүй сегментүүдийн хувьд (а, б ) ихэвчлэн хязгаарыг давсаны үр дүнд бид ((а, б ). Энэ тохиолдолд (1) харьцаатай интегралыг тооцоолох боломжгүй, зөвхөн түүний хязгаарыг олох боломжтой бөгөөд энэ нь ихэвчлэн тэг болж хувирдаг.

Дараах нь маш ашигтай:

Лемма (Жордан). Хэрэв дугуй нумын зарим дараалал дээр байвал,(,А тогтмол) функц нь дараа нь төлөө, дараа нь хувьд жигд тэг рүү чиглэдэг

. (2)

Баталгаа. гэж тэмдэглэе

Леммийн нөхцлөөр, хэзээ мөн тэг рүү чиглэдэг ба Let a >0; AB ба CD нумууд дээр бид байна.

Үүний үр дүнд нумын интеграл AB, CD үед тэглэх хандлагатай байна.

Тэгш бус байдал нь хүчинтэй тул нуман дээр BE

Тиймээс, мөн тийнхүү мөн тэглэх хандлагатай байна. Хэрэв нуман дээр байвал SE Хэрэв туйлын өнцгийг цагийн зүүний дагуу тоолвол ижил тооцоолол гарна. Нотлох баримтыг хялбаршуулсан тохиолдолд, учир нь нуман дээрх интегралыг тооцоолох шаардлагагүй болно AB ба CD. Лемма нь батлагдсан.

Тайлбар 1. Лемм дэх дугуй нумын дарааллыг сольж болнонумын гэр бүл

дараа нь, хэрэв үед функц нь then for-той харьцуулахад жигд тэг болох хандлагатай бол

. (3)

Нотлох баримт нь хэвээр байна.

Тайлбар 2. Хувьсагчийг орлъё: iz=p , дараа нь леммийн тойргийн нумууд нумаар солигдох бөгөөд бид үүнийг дурын функцийн хувьд олж авна. F(х ), жигд харьцангуй ба аливаа эерэг утгыг тэг рүү чиглүүлэхт

. (4)

(4) дахь p-г (-p)-ээр сольж байна ) бид үүнийг ижил нөхцлөөр авдаг

, (5)

Тойргийн нум хаана байна (зураг харна уу).

Интегралыг тооцоолох жишээг авч үзье.

Жишээ 1.

Туслах функцийг сонгоцгооё. Учир нь функц нь тэгш бус байдлыг хангадаг, дараа нь тэгш бус байдлаар тэг рүү чиглэдэг ба Жорданы леммагаар:

Учир нь бид үлдэгдэл теоремоор

Хязгаарт бид дараахь зүйлийг авна.

Бодит хэсгүүдийг салгаж, функцийн паритетыг ашиглан бид олдог

Жишээ 2. Интегралыг тооцоолох

Туслах функцийг авч үзье. Интеграцийн контур нь ганц цэгийг тойрч гардаг z =0. Коши теоремоор

Жорданы хэлснээс энэ нь тодорхой байна. Тооцоолохын тулд тухайн цэгийн ойролцоох Лорентын тэлэлтийг авч үзье z =0

нэг цэг дээр тогтмол хаана байна z =0 функц. Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна

Тиймээс Коши теоремыг дараах байдлаар дахин бичиж болно

Эхний интегралд орлуулах x-ээр x , энэ нь тэнцүү гэдгийг бид олж мэдсэн тул бид байна

Хязгаар болон эцэст нь:

. (7)

Жишээ 3. Интегралыг тооцоол

Туслах функцийг танилцуулж, өмнөх жишээний адил интеграцийн контурыг сонгоцгооё. Энэ контурын дотор логарифм нь нэг утгатай салбарыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог салбарыг тэмдэглэе. Функц нь цэг дээр байна z=i үлдэгдэлтэй хоёрдугаар эрэмбийн шон

Үлдэгдэл теоремоор.

Хэзээ, зарим нь хангалттай том эхлэнР , иймээс, .

Үүний нэгэн адил, зарим нь хангалттай жижиг эхлэн r, тиймээс

Орлуулсны дараа эхний интегралд z=-x бид дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс бид хязгаарт:

Бодит болон зохиомол хэсгүүдийг харьцуулах нь дараахь зүйлийг өгдөг.

, .

Жишээ 4. Интегралын хувьд

Туслах функц болон зурагт үзүүлсэн контурыг сонгоцгооё. Хэрэв бид үүнийг тооцвол контурын дотор талд хоёрдмол утгагүй байна.

Энэ контурт багтсан зүсэлтийн дээд ба доод эрэг дээр утгыг авч, улмаар интегралууд бие биенээ үгүйсгэдэг бөгөөд энэ нь шаардлагатай интегралыг тооцоолох боломжтой болгодог. Контур дотор эхний эрэмбийн функцын хоёр туйл байдаг бөгөөд үлдэгдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

Хаана. Үлдэгдэл теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дээр дурдсан зүйлсийн дагуу бид:

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид үүнийг нотолж, дараа нь хязгаарт дараах байдалтай байна:

Эндээс төсөөлж буй хэсгүүдийг харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 5. Тусгай интегралын үндсэн утгыг тооцоол

Туслах функц болон зурагт үзүүлсэн контурыг сонгоцгооё. Контурын дотор функц тогтмол байна. Эерэг хагас тэнхлэгийн дагуу зүсэлтийн доод эрэг дээр. Тиймээс Кошигийн теоремын дагуу:

(8).

Мэдээжийн хэрэг, хэзээ, хэзээ. Хамтдаа, бид байна, тус тус, болон, хаана 0-ээс болон хооронд тус тус өөрчлөгдөнө. Тиймээс,

Тиймээс бид (8)-д заасан хязгаарт хүрч,

эндээс шаардлагатай интеграл нь тэнцүү байна

Жишээ 6. Интегралыг тооцоол

Функцийг авч үзье. Бид зүсэлт хийцгээе*) .

Үүнийг тавья. Хаалттай замаар цагийн зүүний эсрэг явахдаа (зураг, тасархай шугамыг харна уу) болон өсөлтийг авах,

тиймээс arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 бас нэмэгддэг. Тиймээс, зүсэлтийн гадаад төрхөөр функц нь 3 ердийн салбар болгон хуваагддаг бөгөөд энэ нь функцийн анхны элементийг сонгохдоо бие биенээсээ ялгаатай, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт үнэ цэнэ.

Бид зүсэлтийн дээд талд (-1,1) авах функцийн салбарыг авч үзэх болно эерэг утгууд, мөн контурыг авах,

___________________

*) Үнэн хэрэгтээ хоёр зүсэлт хийсэн: гэхдээ тэнхлэг дээр x цэгийн баруун талд =1 функц тасралтгүй: зүсэлтийн дээгүүр, зүсэлтийн доор.

зурагт үзүүлэв. Бидэнд байгаа эрэг дээр, i.e. , эрэг дээр II (цэгийг тойрсоны дараа z =1 цагийн зүүний дагуу) (өөрөөр хэлбэл), i.e. , тойрог дээрх интегралууд нь тэг болох хандлагатай байгаа нь ойлгомжтой**) цагт. Тиймээс, Коши теоремоор үржүүлгийн холбогдсон домайнууд

Тооцооллын хувьд бид хязгааргүй дэх цэгийн ойролцоох 1/ салбарыг өргөтгөхийг ашигладаг. Үүнийг язгуур тэмдгийн доороос гаргаж авбал (1,) сегмент дээр эерэг байгаа эдгээр функцүүдийн салбарууд хаана байгааг олж мэдье. бодит тэнхлэг.

бодит тэнхлэгийн сегмент дээр. Хоёр гишүүний томъёог ашиглан сүүлийнхийг өргөжүүлэх:

бид сонгосон салбар 1/ үлдэгдлийг хязгааргүй цэг дээр олно: (коэффицент 1/ z эсрэг тэмдэгтэй). Гэхдээ интеграл нь энэ үлдэгдлийг үржүүлсэнтэй тэнцүү, i.e. эцэст нь бид хаана байна

Жишээ 7. Интегралыг авч үзье.

__________________

**) Жишээлбэл, давсан интегралыг авч үзье. Бидэнд байна, i.e.

Ингээд тавьцгаая,

Тойрог дотор интеграл нь нэг туйлтай байна II хасалттай захиалга

Үлдэгдэл теоремоор бид байна

Жишээ 8. Интегралыг мөн адил тооцоолъё

Орлуулсны дараа бидэнд:

Интегралын нэг туйл нь дотор нь оршдог нэгж тойрог, нөгөө нь түүний гадна байдаг, учир нь үндэс шинж чанараараа квадрат тэгшитгэл, мөн нөхцөл байдлын дагуу эдгээр үндэс нь бодит бөгөөд өөр байдаг. Тиймээс үлдэгдэл теоремоор

(9)

тойрог дотор байрлах шон хаана байна. Учир нь баруун тал(9) хүчинтэй бол шаардлагатай интегралыг өгнө

Тодорхойлолт.Хязгааргүй рүү чиглүүл нарийн төвөгтэй хавтгайдуудсан тусгаарлагдсан ганц цэгхоёрдмол утгагүй аналитик функце(z), Хэрэв гадназарим радиустай тойрог Р,

тэдгээр. -ийн хувьд функцийн хязгаарлагдмал ганц цэг байхгүй е(z).

Хязгааргүй цэг дээрх функцийг судлахын тулд бид орлуулалт хийдэг
Чиг үүрэг

цэг дээр онцгой шинж чанартай байх болно ζ = 0, мөн энэ цэг тусгаарлагдсан байх болно, оноос хойш

тойрог дотор
Нөхцөл байдлын дагуу өөр ганц цэг байхгүй. Үүнд аналитик ханддаг

тойрог (гэж нэрлэгдэхээс бусад ζ = 0), функц
эрх мэдлийн хүрээнд Лорентын цувралаар өргөжүүлж болно ζ . Өмнөх догол мөрөнд тодорхойлсон ангилал бүрэн өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид анхны хувьсагч руу буцах юм бол z, дараа нь эерэг ба сөрөг хүчний цуваа zгазруудыг "солих". Тэдгээр. Хязгааргүй цэгүүдийн ангилал дараах байдалтай байна.

Жишээ. 1.
. z = Цэг би

2.
- 3-р зэрэглэлийн туйл. z = ∞ . Цэг - мэдэгдэхүйц.

онцгой цэг

§18. Тусгаарлагдсан ганц цэг дэх аналитик функцийн үлдэгдэл. zГол нь байя

е(z 0 нь нэг утгатай аналитик функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг юм е(z) Лорентын цувралаар өвөрмөц байдлаар төлөөлж болно:
Хаана

Тодорхойлолт.Суутгаланалитик функц е(z) тусгаарлагдсан ганц цэг дээр z 0

дуудсан нийлмэл тоо, интегралын утгатай тэнцүү байна
, функцийн аналитикийн мужид орших, дотроо ганц ганц цэг агуулсан аливаа хаалттай контурын дагуу эерэг чиглэлд авсан z 0 .

Хасалтыг Res тэмдгээр илэрхийлнэ [е(z),z 0 ].

Тогтмол эсвэл зөөврийн цэг дээрх үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байгааг харахад хялбар байдаг.

Нэг туйл эсвэл үндсэндээ ганц цэг дээр үлдэгдэл нь коэффициенттэй тэнцүү байна -тай-1 эгнээ Лоран:

Жишээ.Функцийн үлдэгдлийг ол
.

(Үүнийг харахад хялбар байх болтугай

коэффициент -тайНөхцөлүүдийг үржүүлэхэд -1 гарна n= 0:Res[ е(z),Цэг ] =
}

Ихэнхдээ функцүүдийн үлдэгдлийг тооцоолох боломжтой байдаг энгийн аргаар. Функцийг зөвшөөр е(z) агуулсан байна. zЭхний эрэмбийн 0 туйл. Энэ тохиолдолд Лоранын цуврал дахь функцийн өргөтгөл нь (§16) хэлбэртэй байна. Энэ тэгшитгэлийг (z−z 0)-аар үржүүлээд at хязгаарт хүрье
. Үүний үр дүнд бид: Res[ е(z),z 0 ] =
Тэгэхээр, in

Сүүлийн жишээнд Res[ байна. е(z),Цэг ] =
.

Дээд эрэмбийн туйл дээрх үлдэгдлийг тооцоолохын тулд функцийг үржүүлнэ

дээр
(м− туйлын дараалал) ба үүссэн цувааг ялгах ( м − 1) удаа.

Энэ тохиолдолд бидэнд: Res[ е(z),z 0 ]

Жишээ.Функцийн үлдэгдлийг ол
z= −1 үед.

{Хариу[ е(z), −1] }

Эпсилон - x цэгийн хөрш 0 нь x цэг хүртэлх зайн цэгүүдийн багц юм 0 ε-ээс бага:
.

x цэгийн цоорсон хөрш 0 x цэг өөрөө хасагдсан энэ цэгийн хөрш 0 :
.

Төгсгөлийн цэгүүдийн хөршүүд

Хамгийн эхэнд цэгийн ойр орчмын тодорхойлолтыг өгсөн. гэж тодорхойлсон.
(1) .
Гэхдээ та тохирох аргументуудыг ашиглан хөрш хоёр тооноос хамаардаг гэдгийг тодорхой зааж өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, хөрш нь нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм. 1 ε-г тэнцүүлэх 2 ε хүртэл
(2) .
, бид epsilon - хөрш авдаг:
Эпсилон хороолол нь төгсгөлүүд нь тэнцүү зайтай нээлттэй интервалд хамаарах цэгүүдийн багц юм.

Мэдээжийн хэрэг, эпсилон үсгийг өөр ямар ч үсгээр сольж болох бөгөөд δ - хөрш, σ - хөрш гэх мэтийг анхаарч үзээрэй.

Хязгаарын онолын хувьд олонлог (1) ба олонлог (2) дээр үндэслэн хөршийн тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Эдгээр хөршүүдийн аль нэгийг нь ашиглах нь ижил үр дүнг өгдөг (харна уу). Гэхдээ тодорхойлолт (2) нь илүү хялбар байдаг тул эпсилоныг ихэвчлэн ашигладаг - (2) -аас тодорхойлсон цэгийн ойр орчмыг. Зүүн тал, баруун тал, цоорсон хороолол гэсэн ойлголтууд ч өргөн хэрэглэгддэг.төгсгөлийн цэгүүд

Бодит x цэгийн зүүн хөрш 0 нь x цэгийн зүүн талд бодит тэнхлэгт байрлах хагас задгай интервал юм 0 , үүнд цэг өөрөө:
;
.

Бодит x цэгийн баруун талын хөрш 0 нь х цэгийн баруун талд байрлах хагас задгай интервал юм 0 , үүнд цэг өөрөө:
;
.

Төгсгөлийн цэгүүдийн цоорсон хөршүүд

x цэгийн цоорсон хөршүүд 0 - эдгээр нь тухайн цэгийг хассан ижил хөршүүд юм. Тэдгээрийг үсгийн дээгүүр тойрог хэлбэрээр тэмдэглэв. Тэдний тодорхойлолтууд энд байна.

x цэгийн цоорсон хөрш 0 :
.

Цоорсон эпсилон - x цэгийн хөрш 0 :
;
.

Зүүн талын ойролцоо цоорсон:
;
.

Баруун талын ойролцоо цоорсон:
;
.

Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүд

Төгсгөлийн цэгүүдийн зэрэгцээ хязгааргүй дэх цэгүүдийн хөршүүдийг мөн танилцуулсан. Хязгааргүйд бодит тоо байхгүй тул тэд бүгд цоордог (хязгааргүйд байгаа цэг нь хязгааргүйн хязгаар гэж тодорхойлогддог. том дараалал).

.
;
;
.

Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүдийг дараах байдлаар тодорхойлох боломжтой байв.
.
Гэхдээ бид M-ийн оронд -г ашигладаг бөгөөд ингэснээр жижиг ε-тэй хөршүүд нь төгсгөлийн хөршүүдийн хувьд илүү том ε-тэй хөршийн дэд олонлог болно.

Хөршийн өмч

Дараа нь бид цэгийн ойр орчмын тодорхой шинж чанарыг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) ашигладаг. Энэ нь ойролцоох цэгүүдтэй холбоотой юм жижиг утгуудε нь ε-ийн том утгатай хөршүүдийн дэд олонлогууд юм.

Энд илүү хатуу жор байдаг.
Эцсийн эсвэл хязгааргүй алслагдсан цэг байх болтугай. Тэгээд байг.
;
;
;
;
;
;
;
.

Дараа нь

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм.

Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолтуудын эквивалент

Одоо бид Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо дурын хөрш болон ижил зайтай төгсгөлтэй хөршүүдийг хоёуланг нь ашиглаж болохыг харуулах болно.
Теорем

Дурын хөршүүд болон ижил зайтай төгсгөлүүдтэй хөршүүдийг ашигладаг функцийн хязгаарын Коши тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.

Баталгаа Томьёолъё.
функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолт a тоо нь функцийн хязгаар (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй алслагдсан), хэрэв байгаа болэерэг тоонууд
.

Баталгаа a цэгийн харгалзах хөршид хамаарах ба бүхнээс хамаарч тоонууд байдаг:.
функцийн хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолт
.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд үүнээс хамаарах тоо байгаа бол а тоо нь тухайн цэг дээрх функцийн хязгаар юм.

Баталгаа 1 ⇒ 2

Эхний тодорхойлолтыг хангая. Энэ нь функцууд байдаг гэсэн үг бөгөөд эерэг тоонуудын хувьд дараахь зүйлийг агуулна.
үед , хаана .

Тоонууд нь дур зоргоороо байдаг тул бид тэдгээрийг тэнцүүлж байна:
.
Дараа нь ийм функцууд байдаг ба , тиймээс аль нэгний хувьд дараах үйлдлүүд хэрэгжинэ.
үед , хаана .

Үүнийг анхаарна уу.
Эерэг тоонуудын хамгийн бага нь ба .
.
Дараа нь дээр дурдсаны дагуу,

Хэрэв, тэгвэл.
үед , хаана .
Өөрөөр хэлбэл, бид ийм функцийг олсон тул дараах зүйлсийн аль нь ч болно.

Энэ нь хоёр дахь тодорхойлолтоор а тоо нь функцийн хязгаар гэсэн үг юм.

Баталгаа 2 ⇒ 1

Хэрэв а тоо 2-р тодорхойлолтоор функцийн хязгаар бол 1-р тодорхойлолтоор мөн л хязгаар гэдгийг баталъя.
.

Хоёр дахь тодорхойлолтыг хангая. Хоёр эерэг тоо ба .
.

Мөн энэ нь тэдний хамгийн бага нь байг. Дараа нь, хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу ийм функц байдаг бөгөөд ингэснээр ямар ч эерэг тоо ба бүхний хувьд дараах байдалтай байна.
.

Харин дагуу, .

Тиймээс, үүний дараах зүйлээс

Дараа нь ямар ч эерэг тоо болон , бид хоёр тоог олсон тул бүгдэд нь:
Энэ нь эхний тодорхойлолтоор а тоо нь хязгаар гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.Ашигласан уран зохиол:

Л.Д. Кудрявцев. За математик шинжилгээ (∞, ε ) = {z ∈ | |. 1-р боть. Москва, 2003 он. Бид энэ цэгийн ойр орчмыг гарал үүсэл дээр төвлөрсөн тойрогуудын гаднах хэсэг гэж тодорхойлсон. z У z = е (z | > ε). Цэг z = ∞ нь аналитик функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг юм z w z = е (z ), хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт энэ функцийн өөр ганц цэг байхгүй бол. Энэ ганц цэгийн төрлийг тодорхойлохын тулд бид хувьсагч болон цэгийн өөрчлөлтийг хийдэг = ∞ цэг рүү очно z 1 = 0, функц z = е (z ) хэлбэрийг авна z . Ганц цэгийн төрөл z = φ (z = ∞ функцууд z = е (z ) бид ганц цэгийн төрлийг дуудах болно z 1 = 0 функц z 1). Хэрэв функцийн өргөтгөл z ) градусаар z цэгийн ойролцоо z = ∞, өөрөөр хэлбэл. хангалттай том модулийн утгууд дээр z 1 = 0 функц z , , дараа нь орлуулсан хэлбэртэй байна
дээр , бид хүлээн авах болно. Тиймээс хувьсагчийн ийм өөрчлөлтөөр Лоран цувралын үндсэн ба ердийн хэсгүүд байрлаж, ганц цэгийн төрөл өөрчлөгддөг. z = ∞ нь Лорантын цуврал дахь функцийн өргөтгөлийн зөв хэсгийн гишүүний тоогоор тодорхойлогдоно. = 0. Тиймээс 0);
1. Цэг z = ∞ нь энэ өргөтгөл нь зөв хэсгийг агуулаагүй бол зөөврийн ганц цэг болно (магадгүй нэр томъёоноос бусад). n А 2. Цэг · = ∞ - туйл ;
-баруун хэсэг нь нэр томъёогоор төгссөн бол-р дараалал z А н

z n z= ∞ нь зөөврийн ганц цэг бөгөөд энэ хязгаар нь байгаа бөгөөд хэрэв бол төгсгөлтэй байна z= ∞ нь туйл, хэрэв энэ хязгаар нь хязгааргүй болно z= ∞ нь үндсэндээ ганц цэг, тэгвэл энэ хязгаар байхгүй (хязгааргүй ч биш).

Жишээ нь: 1. е (z ) = -5 + 3. 1-р боть. Москва, 2003 он. 2 - z 6. Функц нь аль хэдийн олон гишүүнт хүчин чадалтай z , хамгийн дээд зэрэг нь зургаа дахь, тиймээс z
Үүнтэй ижил үр дүнг өөр аргаар авч болно. Бид солих болно z дараа нь . Функцийн хувьд φ (z 1) цэг z 1 = 0 нь зургаа дахь эрэмбийн туйл, тиймээс е (z ) цэг z = ∞ - зургаа дахь эрэмбийн туйл.
2. . Энэ функцийн хувьд эрчим хүчний өргөтгөлийг аваарай z хэцүү, тиймээс олъё: ; хязгаар нь байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг тул цэг z
3. . Эрчим хүчний өргөтгөлийн хэсгийг засах z хязгааргүй олон нэр томьёо агуулсан тул z = ∞ нь үндсэндээ ганц цэг юм. Үгүй бол энэ баримт байхгүй гэдгийг үндэслэн тогтоож болно.

Хязгааргүй алслагдсан ганц цэг дэх функцийн үлдэгдэл.

Эцсийн ганц цэгийн хувьд а , Хаана γ - бусад зүйл агуулаагүй хэлхээ а , ганц цэгүүд, түүгээр хязгаарлагдах ба ганц цэгийг агуулсан талбай зүүн талд (цагийн зүүний эсрэг) хэвээр байхаар дамжин өнгөрнө.

Үүнтэй төстэй байдлаар тодорхойлъё: , энд Γ − нь ийм хөршийг хязгаарлаж буй контур юм математик шинжилгээ (∞, r ) оноо z = ∞, энэ нь бусад онцгой цэгүүдийг агуулаагүй бөгөөд энэ хөрш зүүн талд (жишээ нь, цагийн зүүний дагуу) хэвээр байхаар дамжин өнгөрөх боломжтой. Тиймээс функцын бусад бүх (эцсийн) онцгой цэгүүд нь контурын дотор байрлах ёстой Γ − . Γ − контурыг туулах чиглэлийг өөрчилье: . Үлдэгдлийн үндсэн теоремоор , энд нийлбэр нь бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дээр хийгддэг. Тиймээс, эцэст нь

тэдгээр. хязгааргүй алслагдсан ганц цэг дэх үлдэгдэл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭсрэг тэмдгээр авсан бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дээрх үлдэгдэл.

Үүний үр дүнд бий нийт нийлбэр теорем: хэрэв функц z = е (z ) нь онгоцны хаа сайгүй аналитик юм ХАМТ , бусад хязгаарлагдмал тооганц бие цэгүүд z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , дараа нь бүх хязгаарлагдмал ганц цэг дэх үлдэгдлийн нийлбэр ба хязгааргүй дэх үлдэгдэл тэгтэй тэнцүү байна.

гэдгийг анхаарна уу z = ∞ нь зөөврийн цорын ганц цэг бөгөөд түүний үлдэгдэл нь тэгээс өөр байж болно. Тэгэхээр функцийн хувьд мэдээжийн хэрэг, ; z = 0 нь энэ функцийн цорын ганц хязгаарлагдмал цэг юм , гэсэн хэдий ч, i.e. z = ∞ нь зөөврийн ганц цэг юм.