Хаа сайгүй үргэлжилдэг боловч хаана ч ялгагдахгүй функц. Шинжилгээний эсрэг жишээ

Нарийн төвөгтэй функц Weierstrass шиг харагдаж байна

хаана - зарим нь бодит тоо, гэхдээ , эсвэл гэж бичдэг. Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг косинус ба Вейерштрассын синусоид гэж нэрлэдэг.

Функц нь тасралтгүй боловч хаана ч ялгагдахгүй. Гэсэн хэдий ч түүний албан ёсны ерөнхий ойлголт нь үргэлжилсэн бөгөөд ялгаатай байдаг.

Энэ хэсэгт функцээс гадна түүний зарим сонголтуудыг авч үзэх болно; Тэдний танилцуулга хийх хэрэгцээ нь фракталын онол Вейерштрассын функцэд өгсөн шинэ утга учиртай холбоотой юм.

Функцийн давтамжийн спектр."Спектр" гэсэн нэр томъёо нь миний бодлоор хэт их утгатай. Давтамжийн спектр нь багцыг хэлнэ хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудхаргалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайцыг харгалзахгүйгээр давтамж.

Тогтмол функцийн давтамжийн спектр нь эерэг бүхэл тоонуудын дараалал юм. Брауны функцийн давтамжийн спектр нь . Weierstrass функцийн давтамжийн спектр нь -ээс - хүртэлх салангид дараалал юм.

Функцийн энергийн спектр.Дэд энергийн спектрийг холбогдох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн энергийн утгатай (квадрат далайц) хамт зөвшөөрөгдсөн давтамжийн утгуудын багц гэж ойлгодог. Функц дэх хэлбэрийн давтамжийн утга бүрийн хувьд хэлбэрийн энергийн спектрийн шугам байдаг . Үүний үр дүнд давтамж дахь нийт энергийн утга нь нийлж, пропорциональ байна .

Бутархай Брауны хөдөлгөөнтэй харьцуулах.Нийт энерги нь бидний өмнө авч үзсэн бусад хэд хэдэн тохиолдлуудад пропорциональ байна: бутархай үечилсэн санамсаргүй Фурье-Браун-Винер функцууд, тэдгээрийн зөвшөөрөгдөх давтамжууд нь , харгалзах Фурье коэффициентүүд нь тэнцүү байна; санамсаргүй үйл явц-тэй пропорциональ тасралтгүй спектрийн популяцийн нягтралтай. Хамгийн сүүлийн үеийн процессуудЭдгээр нь 27-р бүлэгт тайлбарласан броуны бутархай функцээс өөр зүйл биш юм. Жишээлбэл, ердийн броуны хөдөлгөөн дэх Вейерштрассын функцийн хуримтлагдсан спектрийг нэг удаа илрүүлж, спектрийн нягт нь -тэй пропорциональ байна. Нэг чухал ялгаа: Брауны спектр нь туйлын тасралтгүй, Фурье-Браун-Винер, Вейерштрассын функцүүдийн спектрүүд салангид байдаг.

Ялгарахгүй байх.Функцид ямар ч утгын төгсгөлөг дериватив байхгүй гэдгийг батлахын тулд Вейерштрасс хоёр утгыг нэгтгэх шаардлагатай болсон. дараах нөхцөлүүд: нь сондгой бүхэл тоо бөгөөд үүний үр дүнд функц нь Фурьегийн цуврал ба . Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл(болон)-ыг бид Хардигийн нийтлэлээс авсан.

Энерги зарцуулалт.Спектрүүдэд дассан физикчдэд Хардигийн нөхцөл байдал ойлгомжтой мэт санагддаг. Функцийн деривативыг түүний Фурье коэффициентийг үржүүлж тооцдог эмпирик дүрмийг хэрэглэснээр физикч Фурьегийн коэффициентийн квадрат далайц нь в-тэй тэнцүү болохыг физикч функцийн албан ёсны деривативыг олжээ. . θ-ээс их давтамжийн нийт энерги хязгааргүй тул деривативыг тодорхойлох боломжгүй гэдэг нь физикчдэд тодорхой болсон.

Риманн ялгах чадваргүй байдлын жишээг хайж олохын тулд функцийг гаргаж ирсэн нь сонирхолтой юм. , -ээс их давтамжтай спектрийн энерги нь , -тэй пропорциональ байна, энд . Тиймээс ижил эвристик үндэслэлийг ашиглан деривативыг ялгах боломжгүй гэж үзэж болно. Энэ дүгнэлт нь зөвхөн хэсэгчлэн үнэн юм, учир нь тодорхой утгуудад дериватив хэвээр байна (харна уу).

Хэт ягаан туяаны ялгарал / сүйрэл."Сүйрэл" гэсэн нэр томъёо нь 20-р зууны эхний арван жилд физикт гарч ирсэн бөгөөд Рэйлей, Жинс нар хар биетийн цацрагийн онолыг бие даан боловсруулсан бөгөөд үүний дагуу давтамжийн ойролцоох өргөний давтамжийн хүрээний энерги нь -тэй пропорциональ байна. Энэ нь спектрийн нийт энерги байна гэсэн үг өндөр давтамжуудхязгааргүй - энэ нь онолын хувьд маш их сүйрэл болж хувирдаг. Асуудлын эх үүсвэр нь спектрийн хэт ягаан туяанаас давсан давтамжаас үүдэлтэй байдаг тул энэ үзэгдлийг хэт ягаан туяаны сүйрэл гэж нэрлэдэг.

Планк өөрөө барьсан гэдгийг бүгд мэднэ квант онолхэт ягаан туяаны сүйрэл цацрагийн онолыг эргүүлсэн балгас дээр.

Түүхэн ухралт.Хуучин физик болон хуучин математикийн үхлийн шалтгаан нь ижил гэдгийг тэмдэглэе (хэдийгээр хэн ч үүнийг урьд өмнө нь хийгээгүй гэдгийг би сайн ойлгохгүй байна; ямар ч байсан надад байгаа эх сурвалжаас үүнтэй төстэй зүйл олоогүй байна) Үргэлжилсэн функцүүд зүгээр л ялгагдах ёстой гэсэн итгэл үнэмшлийг сулруулсан зөрүү. Физикчид хариу үйлдэл үзүүлэв энгийн өөрчлөлтТоглоомын дүрмийн дагуу математикчид дифференциал бус функцүүд болон тэдгээрийн албан ёсны деривативуудтай амьдарч сурах ёстой байв. (Сүүлийнх нь физикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг ерөнхий Schwarz функцийн цорын ганц жишээ юм.)

Хуваарийн хувьд өөрчлөгддөггүй салангид спектрийг хайж байна. Хэт улаан туяаны ялгаа.Хэдийгээр давтамжийн спектрБроуны функц нь тасралтгүй, хуваарийн хувьд өөрчлөгддөггүй бөгөөд -д оршино, ижил утгатай харгалзах Вейерштрассын функцийн давтамжийн спектр нь салангид бөгөөд доороос утгаараа хязгаарлагддаг. Доод хязгаар байгаа нь зөвхөн Weierstrass-ийн тоо нь бүхэл тоо байсан бөгөөд функц нь үе үе байсантай холбоотой юм. Энэ нөхцөл байдлыг арилгахын тулд -ээс ямар ч утгыг авахыг зөвшөөрөх нь ойлгомжтой. Эрчим хүчний спектр нь масштабаар өөрчлөгддөггүй байхын тулд давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг далайцтай холбоход хангалттай.

Харамсалтай нь, үүссэн цувралууд нь ялгаатай бөгөөд бага давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд буруутай. Энэ согогийг хэт улаан туяаны (IR) ялгаа (эсвэл "сүйрэл") гэж нэрлэдэг. Ямар ч байсан бид энэ зөрүүг тэвчих хэрэгтэй, эс тэгвээс доод хязгаар нь энергийн спектрийн өвөрмөц байдалтай зөрчилддөг.

Өөрчлөгдсөн Weierstrass функц, фокусын цаг хугацааны хувьд өөртөө хамааралтай. Weierstrass функцийн давтамжийн спектрийг утгаар нь үргэлжлүүлж, гамшгийн үр дагавраас зайлсхийх боломжийг олгодог хамгийн энгийн процедур нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ: эхлээд бид илэрхийлэлийг олж авна. , зөвхөн дараа нь -ээс ямар ч утгыг авахыг зөвшөөрнө. Утгад тохирох нэмэлт нэр томъёо нь нийлж, тэдгээрийн нийлбэр нь тасралтгүй бөгөөд ялгах боломжтой. Функцийг ийм байдлаар өөрчилсөн

тасралтгүй хэвээр байгаа боловч хаана ч ялгагдахгүй.

Үүнээс гадна, энэ нь гэсэн утгаараа масштабаар өөрчлөгддөггүй

.

Тиймээс функц -аас хамаардаггүй. Та үүнийг өөрөөр хэлж болно: хэзээ функц -аас хамаардаггүй. Энэ нь функц юм , түүний бодит болон төсөөллийн хэсгүүд нь хэлбэр, фокусын цаг хугацааны үнэ цэнийн хувьд бие даасан байдаг.

Гаусс санамсаргүй функцуудВейерштрассын ерөнхий спектртэй.Бодит байдал, өргөн хэрэглээний дараагийн алхам бол Weierstrass-ийн ерөнхий функцийг санамсаргүй болгох явдал юм. Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн байгалийн аргаЭнэ нь Фурье коэффициентийг бие даасан Гауссын цогцолбороор үржүүлэхээс бүрдэнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн 0 математикийн хүлээлт ба нэгж дисперстэй. Үүссэн функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг Weierstrass-Gauss (өөрчлөгдсөн) функцууд гэж нэрлэж болно. Зарим утгаараа эдгээр функцийг ойролцоогоор бутархай Броуны функц гэж үзэж болно. Утга нь давхцах үед тэдгээрийн спектр нь эдгээр спектрүүдийн аль нэг нь тасралтгүй, нөгөө нь салангид байхыг зөвшөөрдөгтэй ижил төстэй байдаг. Түүгээр ч зогсохгүй Ори, Маркус нарын үр дүн (490-р хуудсыг үз) Вейерштрасс-Гаусын функцүүдэд хамаарах бөгөөд тэдгээрийн түвшний олонлогийн фрактал хэмжээсүүд нь бутархай Брауны функцүүдийн түвшний олонлогийн фрактал хэмжигдэхүүнтэй давхцдаг.

Бутархайгаар илэрхийлэгдсэн урьдал нөхцөлийг авч үзвэл Брауны хөдөлгөөн, Weierstrass-Rademacher функцын тэг олонлогийн хэмжээс нь -тэй тэнцүү байна гэж бид үзэж болно. Энэ таамаглал нь зөвхөн бүхэл тоонуудын хувьд батлагдсан.

Сингх Weierstrass функцийн өөр олон хувилбаруудыг дурьдсан. Тэдгээрийн заримын багцын тэг хэмжээсийг тооцоолоход хялбар байдаг. Ерөнхийдөө энэ сэдэв нь орчин үеийн онолын сэтгэлгээний ололт амжилтыг харгалзан илүү нарийвчилсан судалгаа хийх нь зүйтэй юм.

"S мэдэгдэл үнэн үү?" Математикийн хамгийн түгээмэл асуулт бол "А ангийн бүх элемент мөн В ангилалд хамаарна: А В." Ийм мэдэгдлийг үнэн гэдгийг нотлох нь А-г В-д оруулсан болохыг нотлох, худал гэдгийг батлах нь В ангилалд хамаарахгүй А ангиллын элементийг олох, өөрөөр хэлбэл эсрэг жишээ өгөх гэсэн үг юм. Жишээлбэл, S хэллэг нь: "Тасралтгүй функц бүр хэзээ нэгэн цагт дифференциалагдах боломжтой" бол А ба В олонлогууд нь үргэлжилсэн функцууд болон зарим цэгүүдэд дифференциалагдах бүх функцуудаас бүрддэг f нь A-г B-д оруулахын эсрэг жишээ юм, учир нь f нь B-д хамаарахгүй А элемент юм. Хэт хялбарчлах эрсдэлтэй тул математик (тодорхойлолт, мэдэгдэл, тооцооллоос бусад) хоёр хэсгээс бүрддэг гэж хэлж болно. хэсгүүд - нотолгоо ба эсрэг жишээнүүд, мөн математикийн нээлтүүднотлох баримт олох, эсрэг жишээг бий болгохоос бүрдэнэ.

Энэ нь математик үүсэх, хөгжүүлэх явцад эсрэг жишээнүүдийн хамаарлыг тодорхойлдог.

Ихэнх нь математикийн номуудүнэн мэдэгдлийг нотлоход зориулагдсан.

Ерөнхийдөө математикийн жишээнүүд нь тайлбарласан жишээ ба эсрэг жишээ гэсэн хоёр төрөлтэй. Эхнийх нь энэ эсвэл тэр мэдэгдэл яагаад утга учиртай болохыг харуулж байгаа бөгөөд сүүлийнх нь яагаад энэ эсвэл тэр мэдэгдэл утгагүй болохыг харуулж байна. Аливаа жишээ нь нэгэн зэрэг зарим мэдэгдэлд, тухайлбал ийм жишээг ашиглах боломжгүй гэсэн мэдэгдлийн эсрэг жишээ болно гэж маргаж болно. Эсрэг жишээ гэдэг нэр томьёонд ийм түгээмэл утга учрыг өгөхийг бид хүсэхгүй байгаа ч түүний утга нь үнэн теоремуудыг тайлбарлахаар хязгаарлагдахгүй бүх жишээг багтаах хангалттай өргөн гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, тасралтгүй функцийн жишээ болох олон гишүүнт нь эсрэг жишээ биш, харин хязгааргүй эсвэл үечилсэн бус функцийн жишээ болох олон гишүүнт нь эсрэг жишээ юм. Үүнтэй адилаар, интегралдах функцүүдийн анги болох хязгаарлагдмал хаалттай интервал дээрх бүх монотон функцуудын анги нь эсрэг жишээ биш, харин функционалын жишээ болох энэ ижил анги харин вектор орон зай нь эсрэг жишээ юм.

Энэхүү ажлын зорилго нь дүн шинжилгээ хийх функцийн монотон байдлын эсрэг жишээ, нөхцөлийг авч үзэх явдал юм.

Зорилгодоо хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг тавьсан.

1. Шинжилгээнд эсрэг жишээг авч үзье

2. Эсрэг жишээний тухай ойлголтыг тодорхойл

3. Ялгахдаа эсрэг жишээг ашиглах талаар авч үзье

4. Функцийн нэгэн хэвийн байдлын тухай ойлголтыг тодорхойлно уу

5. Функцийн монотон байх нөхцөлийг тодорхойлно уу

6. Орон нутгийн экстремумын зайлшгүй нөхцөлийг анхаарч үзээрэй

7. Орон нутгийн экстремумын хангалттай нөхцөлийг авч үзэх

1. Шинжилгээний эсрэг жишээ

1.1. Эсрэг жишээний тухай ойлголт

"Жишээнээс суралц", "Үлгэр жишээний хүч" гэсэн алдартай хэллэгүүд нь зөвхөн өдөр тутмын утгыг агуулдаггүй. "Жишээ" гэдэг үг нь "хэмжих", "хэмжих", "хэмжих" гэсэн үгтэй нэг язгууртай боловч энэ нь математикт анхнаасаа байсаар ирсэн цорын ганц шалтгаан биш юм. Жишээ нь үзэл баримтлалыг дүрслэн харуулж, түүний утгыг ойлгоход тусалдаг, мэдэгдлийн үнэнийг түүний тодорхой илрэлээр баталгаажуулдаг; хуурамч мэдэгдлийг үгүйсгэсэн сөрөг жишээ нь нотлох хүчин чадалтай.

Эсрэг жишээ нь тодорхой мэдэгдлийн үнэнийг үгүйсгэсэн жишээ юм.

Эсрэг жишээг бий болгох нь таамаглалыг үгүйсгэх нийтлэг арга юм. Хэрэв “М олонлогийн аль ч X-ийн хувьд А шинж чанарыг агуулна” гэх мэт хэллэг байгаа бол энэ мэдэгдлийн эсрэг жишээ нь М олонлогоос А өмч агуулаагүй X 0 объект байж болно.

Тооцооллын түүхэн дэх сонгодог сөрөг жишээ бол Бернард Болзаногийн бүтээсэн функц бөгөөд энэ нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээр үргэлжилдэг бөгөөд ямар ч цэг дээр ялгах боломжгүй байдаг. Энэ функц нь функцийн ялгавартай байдал нь түүний тасралтгүй байдлын байгалийн үр дагавар юм гэсэн таамаглалын эсрэг жишээ болсон юм.

2.2. Эсрэг жишээг ялгахад ашиглах

Дифференциал нь математик шинжилгээний үндсэн элемент учраас энэ хэсгийг сонгосон.

Энэ бүлгийн зарим жишээн дээр дериватив гэсэн нэр томъёо нь мөн хязгааргүй хязгаарт хамаарах болно.

Гэсэн хэдий ч, дифференциалагдах функц гэсэн нэр томъёог тухайн функц нь тодорхойлох муж дахь цэг бүрт хязгаарлагдмал деривативтай тохиолдолд л хэрэглэнэ. Функц нь өөрийн муж дахь цэг бүрт дурын дарааллын (хязгаарлагдмал) деривативтай бол түүнийг хязгааргүй дифференциал гэж нэрлэдэг.

e суурьтай экспоненциал функцийг ex x эсвэл exp(x) тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Домэйн болон функцын утгын багц зэрэг бүх багцууд нь R-ийн дэд олонлогууд гэж таамаглаж байна. Үгүй бол зохих тодруулга хийх болно.

1. Үүсмэл бус функц

sgnA функц: ерөнхийдөө үсрэлт хэлбэрийн тасалдалтай аливаа функц нь командгүй, өөрөөр хэлбэл бүх завсрын утгыг авах Коши шинж чанартай байдаггүй тул ямар ч функцийн дериватив биш бөгөөд энэ нь шинж чанар нь зөвхөн тасралтгүй функцүүдэд төдийгүй деривативуудад ч мөн адил байдаг (х. 84, өмнөх 40, мөн I боть, 224-р хуудсыг үзнэ үү). Тасралтгүй деривативын жишээг доор харуулав.

2. Тасралтгүй дериватив бүхий дифференциалагдах функц

Функцийг авч үзье

Түүний дериватив

x = 0 цэг дээр тасархай.

3. Хаа сайгүй деривативтай тасархай функц (заавал төгсгөлтэй байх албагүй)

Ийм жишээг бий болгохын тулд деривативын тодорхойлолтыг ± утгыг багтаахын тулд өргөжүүлэх шаардлагатай. Дараа нь тасалдсан функц sgn x (жишээ 1) нь деривативтай

4. Хэт цэгийн аль ч нэг талт хөршид дериватив нь тэмдгийг хадгалдаггүй дифференциалагдах функц

х = 0 цэг дээр үнэмлэхүй минимумтай. Мөн түүний дериватив

аль нэг талт 0 хөршид эерэг ба аль алиныг нь авдаг сөрөг утгууд. f функц нь x = 0 цэгийн аль ч нэг талт хөршид монотон биш юм.

5. Дифференциалагдах функц, дериватив нь аль нэг цэгт эерэг боловч функц нь энэ цэгийн аль ч хэсэгт монотон биш юм.

-тэй тэнцүү дериватив байна

Тэгийн аль ч хэсэгт f/(x) дериватив нь эерэг ба сөрөг утгатай байна.

6. Үүсмэл нь төгсгөлтэй боловч хаалттай интервалаар хязгаарлагдахгүй функц

Функцийг авч үзье

Түүний дериватив

[-1, 1]-ээр хязгаарлагдахгүй.

7. Дериватив нь байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал боловч хаалттай интервал дээр (үнэмлэхүй) экстремумгүй функц.

деривативтай

Тэгтэй ойролцоох аль ч хэсэгт энэ дериватив нь дур мэдэн 24 ба -24 гэсэн утгатай байна. Нөгөө талаас, 0-ийн хувьд

Тиймээс тэгш бус байдлаас 0< h 1 следует, что

8. Хаа сайгүй тасралтгүй, гэхдээ хаана ч ялгагдахгүй функц

Чиг үүрэг | x | хаа сайгүй үргэлжилдэг боловч x - 0 цэгт дифференциалагдах боломжгүй. Энэ функцийг шилжүүлснээр дурын төгсгөлтэй олонлогийн цэг бүрт дифференциалагдах боломжгүй хаа сайгүй тасралтгүй функцийг тодорхойлж болно. Энэ хэсэгт бид функцийн хязгааргүй тооны шилжилтийг ашиглан жишээ өгөх болно x |.

Функц гэдгийг харуулъя

хаана ч ялгагдахгүй. a нь дурын бодит тоо байх ба n натурал тоо бүрт 4 -n эсвэл –4 -n -тэй тэнцүү h n тоог сонговол хэмжигдэхүүн нь ижил утгатай байна | h n | бүх m n-ийн хувьд m > n-ийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна. Тэгвэл ялгааны харьцаа нь n нь тэгш байх үед тэгш, n нь сондгой үед сондгой байх бүхэл тоо юм.

Энэ нь хязгаарыг дагаж мөрддөг

байхгүй, тиймээс байхгүй ба

Өгөгдсөн жишээ бол 1930 онд Б.Л.Ван дер Ваерденийн бүтээсэн жишээний өөрчлөлт юм (х. 394-ийг үзнэ үү). Үргэлжилсэн, хаана ч ялгагдахгүй функцийн анхны жишээг К.В.Т.Вейерштрасс (Германы математикч, 1815-1897) бүтээжээ.

a нь бүхэл тоо юм сондгой тоо, мөн b тоо нь ийм байна

Жишээ нь одоогоор мэдэгдэж байна тасралтгүй функцууд, ямар ч үед бүр нэг талт төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй дериватив байдаггүй. Эдгээр жишээнүүд болон бусад эшлэлүүдийг (х. 392-394), (х. 61 - 62, 115, 126), (II боть, 401-412 хуудас) -аас олж болно.

Одоогийн жишээний функц нь ямар ч интервал дээр монотон биш юм. Түүгээр ч барахгүй хаана ч ялгаагүй, хаана ч нэг хэвийн бус функцийн жишээ бий (II боть, 412-421-р хуудсыг үз). Энэ жишээний бүтээн байгуулалт нь маш нарийн төвөгтэй бөгөөд хаа сайгүй ялгагдах боломжтой функцэд хүргэдэг өтгөн багцхарьцангуй максимум ба харьцангуй минимумын нягт багц.

9. Дундаж утгын теорем биелдэггүй дифференциалагдах функц

Энэ жишээн дээр бид дахин нарийн төвөгтэй функц руу шилжихээс өөр аргагүй болсон. Чиг үүрэг

Бодит x хэмжигдэхүүн нь хаа сайгүй үргэлжилдэг бөгөөд ялгах боломжтой байдаг (х. 509-513-ыг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүсийн хувьд тэгш байдлыг хангадаг тийм интервал байдаггүй

Хэрэв бид энэ тэгш байдлыг боломжтой гэж үзвэл түүний хоёр хэсгийн модулиудын квадратуудыг (үнэмлэхүй утгыг) тэнцүүлэх замаар бид тэгш байдлыг олж авна.

анхан шатны өөрчлөлтүүдийн дараа хэлбэрийг авдаг

Гэвч sin h = h гэсэн эерэг тоо байхгүй тул (78-р хуудсыг үз) бид зөрчилтэй болно.

13. Хязгааргүй дифференциалагдах монотон функц f

Хэрэв монотон байх шаардлагагүй бол ийм функцийн өчүүхэн жишээ нь жишээлбэл (sinx 2)/x байж болно. Заасан шинж чанартай монотон функцийн жишээг байгуулъя. f(x) нь 1-тэй тэнцүү ба хаалттай интервалд тэнцүү байг

Маягтын үлдсэн завсрын интервалууд дээр бид функцийг ашиглан f(x)-ийг тодорхойлно

хэвтээ ба босоо шилжилтийг ашиглах, зохих сөрөг хүчин зүйлээр үржүүлэх.

2. Монотон функцууд

2.1. Функцуудын монотон байдал

Хэрэв D интервалаас x 1 ба x 2 тоонуудын хувьд x 1 байвал f (x) функц D интервал дээр нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

D интервалаас x 1 ба x 2 тоонуудын хувьд x 1 байх тохиолдолд f (x) функцийг D интервал дээр буурч байна гэж нэрлэдэг.< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2).

Зураг 1.

Зурагт үзүүлсэн графикт y = f (x) функц нь [ a ; x 1) ба (x 2 ; b ] ба (x 1 ; x 2) интервал дээр буурдаг. Функц нь [ a ; x 1) болон (x 2 ; b ] интервал бүр дээр нэмэгдэх боловч дээр биш гэдгийг анхаарна уу. эвлэлийн цоорхой

Хэрэв функц тодорхой интервалд нэмэгдэж, буурч байвал энэ интервалд үүнийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв f нь D (f (x)) интервал дээр монотон функц байвал f (x) = const тэгшитгэл нь энэ интервал дээр нэгээс олон үндэстэй байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Үнэхээр хэрэв x 1 бол< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Үл хөдлөх хөрөнгийг жагсаацгаая монотон функцууд(бүх функцууд ямар нэг D интервал дээр тодорхойлогддог гэж үздэг).

• Хэд хэдэн нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэр нь нэмэгдэж буй функц юм.
• Сөрөг бус нэмэгдэж буй функцүүдийн үржвэр нь нэмэгдэж буй функц юм.
• Хэрэв f функц нэмэгдвэл cf (c > 0) ба f + c функцууд мөн нэмэгдэж, cf (c) функц нэмэгдэнэ.< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Хэрэв f функц нэмэгдэж, тэмдгээ хадгалж байвал 1/ f функц буурна.
• Хэрэв f функц нь өсөж, сөрөг биш байвал хаана нь бас нэмэгдэж байна.
• Хэрэв f функц нэмэгдэж, n нь сондгой тоо бол f n мөн нэмэгдэж байна.
• Өсөн нэмэгдэж буй f ба g функцүүдийн g(f(x)) бүрэлдэхүүн мөн нэмэгдэнэ.

Үүнтэй төстэй мэдэгдлийг буурах функцийн хувьд томъёолж болно.

Цагаан будаа. 2. Функцийн шинж чанарууд.

Хэрэв а цэгийн ε-хөрш байгаа бол a цэгийг f функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ хөршийн аль ч х-ийн хувьд f (a) ≥ f (x) тэгш бус байдлыг хангана.

Хэрэв энэ хөршийн аль ч х-ийн хувьд f (a) ≤ f (x) тэгш бус байдлыг хангах a цэгийн ε-хөрш байгаа бол a цэгийг f функцийн хамгийн бага цэг гэнэ.

Функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн багад хүрэх цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэнэ.

Экстремум цэг дээр функцийн монотон шинж чанар өөрчлөгддөг. Тиймээс экстремумын зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун тийшээ буурч болно. Тодорхойлолтын дагуу экстремум цэг нь байх ёстой дотоод цэгтодорхойлолтын домэйн.

Хэрэв аль нэг (x ≠ a) хувьд f (x) ≤ f (a) тэгш бус байдал хангагдвал а цэгийг D олонлог дээрх функцийн хамгийн том утгын цэг гэнэ.

Хэрэв аль нэг (x ≠ b) хувьд f (x) > f (b) тэгш бус байдал хангагдсан бол b цэгийг D олонлог дээрх функцийн хамгийн бага утгын цэг гэнэ.

Тодорхойлолт 1. Функцийг дуудна ялгах боломжтой цэг дээр , хэрэв түүний энэ цэг дэх өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

, (2.1)

Хаана
мөн хамаарахгүй
, А
цагт
.

Теорем 1. Үйл ажиллагаа
, цэг дээр ялгах боломжтой хэрэв зөвхөн энэ үед хязгаарлагдмал дериватив байвал
.

Баталгаа.Хэрэгцээ. Функцийг зөвшөөр
цэг дээр ялгах боломжтой , өөрөөр хэлбэл тэгш байдал (2.1) байна. Үүнийг хувааж байна
, бид авдаг
. Хэмжээ рүүгээ явж байна
, бид үүнийг харж байна
, өөрөөр хэлбэл баруун талын хязгаар байдаг ба тэнцүү байна А, энэ нь зүүн талд бас хязгаар байдаг гэсэн үг, i.e.
, ба
.

Хангалттай байдал. Байгаарай
. Дараа нь 1-р бүлгийн § 16-ын 1-р теоремоор
, Хаана - эцэс төгсгөлгүй жижиг функццагт
. Тиймээс, өөрөөр хэлбэл. функц нь цэг дээр дифференциал болно .

Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Теорем 1-ээс үзэхэд төгсгөлтэй дериватив ба дифференциалагдах функцтэй функцийн тухай ойлголтууд тэнцүү байна. Иймд хязгаарлагдмал деривативтай функцийг дифференциал гэж нэрлэж болох бөгөөд үүнийг зарим сурах бичгийн зохиогчид хийдэг.

Функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдлын шинж чанарууд хэрхэн хамааралтай вэ? Тохиолдог

Теорем 2. Хэрэв функц бол
цэг дээр ялгах боломжтой , тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Баталгаа. Учир нь цэг дээр
, бид байна, энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлыг илэрхийлдэг .

Теорем нь батлагдсан.

Эсрэг заалт нь үнэн биш, өөрөөр хэлбэл ялгах боломжгүй тасралтгүй функцүүд байдаг.

Жишээ 1. Функц гэдгийг харуулъя
тасралтгүй боловч нэг цэгт ялгах боломжгүй
.

Шийдэл. Цэг дэх функцийн өсөлтийг олъё
, өсөлттэй харгалзах
маргаан. Бидэнд байгаа. Тийм ч учраас
, өөрөөр хэлбэл функц
нэг цэг дээр тасралтгүй
. Нөгөө талаар,,

, өөрөөр хэлбэл цэг дээр нэг талт дериватив
тэнцүү биш тул энэ үед энэ функцийг ялгах боломжгүй юм.

Математик шинжилгээнд тоон шулууны цэг бүр дээр үргэлжилдэг функцүүдийн жишээнүүд байдаг, гэхдээ ялгах боломжгүй байдаг. Тэд нарийн төвөгтэй дизайнтай.

Теорем 3. Функцийг үзье
цэг дээр байна дериватив
, функц
харгалзах цэг дээр байна
дериватив
. Дараа нь нарийн төвөгтэй функц
цэг дээр байна дериватив

эсвэл товчхондоо,
.

Баталгаа. Үнэ цэнийг нь өгье өсөлт
. Дараа нь бид тохирох өсөлтийг авна
функцууд
ба өсөлт
функцууд
. Теорем 1-ээр бид байна

, Хаана
цагт
.

.

гэдгийг анхаарна уу
, дараа нь
Тиймээс теорем 2-оор
. Тиймээс,.

Тэгш байдлын баруун талд хязгаар байдаг тул зүүн талд ч бас хязгаар байдаг ба

.

Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Комплекс функц байх тохиолдолд теорем 3 батлагдсан
нэг завсрын хувьсагчтай
. Хэрэв хэд хэдэн завсрын хувьсагч байгаа бол деривативыг ижил төстэй аргаар тооцоолно. Жишээлбэл, хэрэв
,
,
, Тэр.

§ 3. Ялгах дүрэм. Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд

Теорем 1. Функцийг үзье
, сегмент дээр тасралтгүй, хатуу монотон
дотоод цэг дээр ялгах боломжтой энэ сегмент ба
. Дараа нь урвуу функц
цэг дээр ялгах боломжтой
, ба
.

Баталгаа. Теоремын нөхцөлд урвуу функц байгааг анхаарна уу
байгаа, сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд хатуу монотон байна
1-р бүлгийн § 19-ийн теоремын ачаар.

Үүний утга учрыг өгье өсөлт
. Дараа нь
нэмэгдэл авах болно

(функцоос хойш
хатуу монотон). Тиймээс бид бичиж болно
. Хэзээнээс
урвуу функцийн тасралтгүй байдлаас шалтгаалан ба
мөн таамаглалаар байдаг
, бидэнд байгаа
. Энэ нь оршихуйг илэрхийлдэг ба тэгш байдал
. Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 1. Функцийн деривативыг ол арксин x,arccos x,arctg x,arcctg x/

Шийдэл. Теорем 1-ээр бид (
, бидэнд байгаа
мөн нэмэх тэмдэг бүхий үндсийг авна).

Үүний нэгэн адил,

Теорем 2. Хэрэв функцууд
Тэгээд
цэг дээр дериватив байна , дараа нь цэг дээр дериватив, функцтэй байна
(Хэрэв
) болон томъёонууд хүчинтэй байна

А)
;б)
;В)
.

Баталгаа.А) Болъё
. өгье өсөлт
. Дараа нь функцууд у,v,yнэмэгдэл авах болно
, ба

. Эндээс
ба тэгш байдал А) нотлогдсон.

б) Болъё
. Цэгтэй адилхан А) бидэнд байгаа

,
,, i.e. томъёог дагаж мөрддөг б).

В) Болъё
. Бидэнд байгаа
,
,
, өөрөөр хэлбэл томъёог дагаж мөрддөг В).

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. 1) Хэрэв
, Тэр
.

2) Томъёо А) аль ч тохиолдолд хамаарна хязгаарлагдмал тоонөхцөл.

Баталгаа. 1) Учир нь
, бидэнд байгаа.

IN ерөнхий тохиолдолҮр дүн 2) ба 3) нь математик индукцийн аргаар нотлогддог.

Экспоненциал функцийг авч үзье
, Хаана у Тэгээд v-аас зарим функцууд X. Функцийн деривативыг олъё цагтфункцуудыг ялгах боломжтой үед у Тэгээд v.Үүний тулд функцийг төсөөлөөд үз дээ цагтзэрэг
.Теорем 2 ба § 1-ийн 1-р жишээнүүдийн дагуу нийлмэл функцийг ялгах дүрмээр бид байна.

Тиймээс,

Үүссэн томъёоны эхний гишүүн нь ялгах үр дүн гэдгийг анхаарна уу Хэрхэн экспоненциал функц, хоёр дахь нь - зэрэг эрчим хүчний функц. Ашигласан ялгах аргыг нэрлэдэг логарифмын дифференциал . Ялгаж буй функц нь хэд хэдэн хүчин зүйлийн үр дүнд бий болсон тохиолдолд ашиглахад тохиромжтой.

Одоо функцүүдийн параметрийн тодорхойлолт руу шилжье. Хэрэв функцээс хамааралтай бол цагтмаргаанаас Xнь шууд тохируулагдаагүй, харин гурав дахь хувьсагчийг ашиглана т, параметр, томъёо гэж нэрлэдэг

, (3.1)

дараа нь тэд функц гэж хэлдэг цагт-аас Xпараметрийн дагуу тодорхойлсон.

Хэрэв XТэгээд цагтХавтгай дээрх цэгийн тэгш өнцөгт координат гэж үзвэл (3.1) тэгшитгэлийг утга тус бүртэй холбоно.
цэг
гадаргуу дээр. Өөрчлөлттэй хамт тцэг
хавтгай дээрх зарим муруйг дүрсэлдэг. (3.1) тэгшитгэлийг энэ муруйн параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, тэгшитгэлүүд

(3.2)

хагас тэнхлэгтэй эллипсийн параметрийн тэгшитгэлүүд юм АТэгээд б.

Хэрэв (3.1) тэгшитгэлд байгаа бол
харьцангуй зөвшөөрөгдсөн т,
, Тэр параметрийн тодорхойлолтфункцуудыг тодорхой болгож багасгаж болно:

.

Деривативыг олцгооё функцийг параметрээр тодорхойлсон. Үүнийг хийхийн тулд функцууд гэж үзье
Тэгээд
ялгах боломжтой ба
зарим интервал дээр, мөн функцийн хувьд
урвуу функц байдаг
, хязгаарлагдмал деривативтай
. Дараа нь цогцолбор ба ялгах дүрмийн дагуу урвуу функцуудбид олдог:
. Тиймээс,

. (3.3)

Жишээлбэл, дериватив (3.2) тэгшитгэлээр тодорхойлсон функц хэлбэртэй байна

.

Нэг цэг дээр параметрээр тодорхойлогдсон муруй руу шүргэгчийн тэгшитгэл
параметрийн утгатай тохирч байна , оронд нь бол (1.4) тэгшитгэлээс авна
орлуулах :

,

эндээс
бидэнд байгаа

. (3.4)

Үүний нэгэн адил (1.5) тэгшитгэлээс бид ердийн тэгшитгэлийг олж авна.

эсвэл. (3.5)

Одоо үндсэн деривативуудын хураангуй хүснэгтүүдийг бичье үндсэн функцуудмөн өмнө нь олж авсан ялгах дүрэм.

Ялгах дүрэм

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

5. Хэрэв
, Тэр
. 6. Хэрэв
Тэр
.

7. Хэрэв
нь урвуу функц юм, тэгвэл
. 8..

Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1.
, Хаана
. 2.
, Тухайлбал,

3.
. 4.
.
.

5.
. 6.
.

7.
. 8.
.

9.
. 10.
.

11.
, Тухайлбал,
. 12.
, Тухайлбал,
.

Сегмент дээр туслах функцийг алхам алхмаар байгуулъя. Тэг алхам дээр бид хоёр цэг тавина:

Тэгээд .

Дараа нь бид параметрийг засна. Эхний болон дараагийн алхамуудад бид заасны дагуу цэгүүдийг тогтооно дараагийн дүрэм: x тэнхлэгийн дагуух өмнө нь баригдсан хоёр цэг бүрийн хувьд бид хоёр шинэ цэгийг байгуулж, тэгш өнцөгтийн төвийг цэгүүдээр тодорхойлсон тэгш хэмтэй, коэффициентээр тогтооно. к. Өөрөөр хэлбэл, эхний алхамд хоёр шинэ цэгийг зааж өгсөн болно.

Тэгээд , гэх мэт.

Асаалттай (м+1)- abscissas бүхий өмнө нь барьсан цэгүүдээс гадна ом алхам

,

зэргэлдээ аль хэдийн баригдсан цэгүүдийн хоорондох x тэнхлэгийн дагуу бүх орон зайд хоёр цэгийг байгуулна. Энэхүү барилгын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: зэргэлдээх цэгүүдийн хоорондох абсцисса тэнхлэгийн дагуух зай (хажуу талтай тэгш өнцөгтүүд) аТэгээд б) тус бүр 3 тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Дараа нь дараах схемүүдийн аль нэгний дагуу хоёр шинэ цэгийг байгуулна.

Хөрш зэргэлдээх цэгүүдийн аль нь өндөр эсвэл өндөр байхаас хамааран бид зүүн эсвэл баруун схемийг ашигладаг. Эхний алхам дээр дээр дурдсанчлан бид хүлээн зөвшөөрч байна a = b = 1.

Бид барилгын ажлыг m = 1, 2, 3, …-ийн хувьд тоолж болох олон удаа давтана. Үүний үр дүнд бид тодорхой хүртэл ижил төстэй фрактал авах болно аффины хувиралТуузан тус бүрт байгаа түүний аль нэг хэсгийг (сунгах, шахах, эргүүлэх):

;

Фрактал байгуулсны үр дүнд бид цэгүүдийн багц дээр тодорхойлогдсон функцийг олж авдаг

сегментийн хаа сайгүй нягт .

Үүсгэсэн функц ямар шинж чанартай вэ?

· (*) маягтын цэг бүрт хатуу дээд хэмжээ эсвэл хатуу доод хэмжээ байдаг, i.e. функц g(x)хаана ч монотон биш, сегмент дээр хатуу хэт цэгүүдийн нягт багцтай;

· g(x) функц нь (*) цэгийн олонлог дээр тасралтгүй, бүр жигд үргэлжилдэг;

· сегмент дээр тасралтгүй баригдсан функц ямар ч цэггүй энэ сегменттэр ч байтугай нэг талын дериватив;

Дээрх шинж чанаруудыг "Математик анализын сонгосон бүлгүүд" хичээлээр нотолсон.

Үзсэн жишээн дээр бид параметрийг авсан. Энэ параметрийн утгыг өөрчилснөөр та өөрийн онцлог шинж чанартай функцүүдийн бүлгийг олж авах боломжтой.

· . Эдгээр функцууд нь тасралтгүй бөгөөд хатуу монотоноор нэмэгддэг. Тэд сегментийн хаа сайгүй нягт байрласан цэгүүдийн багц дээр тэг ба хязгааргүй деривативтай (тус бүр нь гулзайлтын цэгүүд) байдаг.

· . Хүлээн авсан шугаман функц у = x

· . Функцийн гэр бүлийн шинж чанарууд нь эхний мужаас k-ийн утгуудтай ижил байна.

· . Бид өмнө нь нарийвчлан судалсан Cantor функцийг олж авсан.

· . Эдгээр функцууд нь тасралтгүй, хаана ч монотон биш, сегментийн хаа сайгүй нягт байдаг цэгүүдийн багц дээр хатуу минимум ба максимум, тэг ба хязгааргүй (хоёр тэмдгийн) нэг талт деривативтай байна.

· . Энэ функцдээр бид судалж байсан.

· . Энэ муж дахь функцууд нь -ийн функцтэй ижил шинж чанартай байдаг.

Дүгнэлт.

Би ажилдаа “Математик анализын сонгосон бүлгүүд” хичээлийн зарим жишээг хэрэгжүүлсэн. IN энэ ажилМиний дүрсэлсэн программуудын дэлгэцийн агшинг оруулсан. Үнэн хэрэгтээ тэд бүгд интерактив байдаг; тодорхой алхам, тэдгээрийг өөрөө давталттайгаар бүтээж, масштабыг ойртуулна. Барилгын алгоритмууд, түүнчлэн зарим номын сангийн функцууд Араг ястусгайлан сонгож, сайжруулсан энэ төрөласуудлууд (гол төлөв фракталуудыг авч үзсэн).

Энэхүү материал нь багш, оюутнуудад хэрэг болох нь дамжиггүй бөгөөд "Математикийн анализын сонгосон бүлгүүд" хичээлийн лекцийг сайн дагалдуулах болно. Эдгээр дүрслэлүүдийн интерактив байдал нь баригдсан багцын мөн чанарыг илүү сайн ойлгоход тусалдаг бөгөөд оюутнуудад материалыг ойлгох үйл явцыг хөнгөвчлөх болно.

Тайлбарласан програмуудыг www.visualmath.ru төслийн харааны модулиудын номын санд оруулсан болно, жишээлбэл, Cantor функцийг бид өмнө нь авч үзсэн болно.

Цаашид дүрсэлсэн даалгавруудын жагсаалтыг өргөжүүлж, барилгын алгоритмыг сайжруулахаар төлөвлөж байна үр дүнтэй ажилхөтөлбөрүүд. www.visualmath.ru төсөлд ажиллах нь маш их ашиг тус, туршлага, багаар ажиллах ур чадвар, боловсролын материалыг аль болох тодорхой үнэлэх, танилцуулах чадварыг авчирсан нь дамжиггүй.

Уран зохиол.

1. Б.Гелбаум, Ж.Ольмстед, Шинжилгээний эсрэг жишээ. М.: Мир.1967.

2. Б.М. Макаров нар Бодит шинжилгээнд сонгосон асуудлууд. Невскийн аялгуу, 2004 он.

3. Б.Манделброт. Байгалийн фрактал геометр. Компьютер судлалын хүрээлэн, 2002 он.

4. Ю.С. Очан, TFDP-ийн асуудал ба теоремуудын цуглуулга. М .: Гэгээрэл. 1963 он.

5. В.М. Шибинский Математик шинжилгээний явцад жишээ ба эсрэг жишээ. М.: төгссөн сургууль, 2007.

6. R.M Kronover, Фрактал ба эмх замбараагүй байдал динамик системүүд, М.: Postmarket, 2000 он.

7. A. A. Никитин, Математик анализын сонгосон бүлгүүд // Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Тооцооллын математик, математикийн факультетийн залуу эрдэмтдийн нийтлэлийн цуглуулга, 2011 он. С.А.Ложкин. М .: Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Тооцооллын математик, математикийн факультетийн хэвлэлийн хэлтэс. М.В. Ломоносова, 2011. хуудас 71-73.

8. R.M.Kronover, Fractals and chaos in dynamic system, M.: Postmarket, 2000.

9. Фрактал ба хаана ч үргэлжилсэн, гэхдээ хаана ч ялгагдахгүй функцийг бүтээх // XVI Ломоносовын олон улсын уншлага: цуглуулга шинжлэх ухааны бүтээлүүд. – Архангельск: Помераны улсын их сургууль, 2004. P.266-273.

Тоолж болох тооны нээлттэй олонлогуудын нэгдэл (зэргэлдээх интервалууд) нээлттэй, нээлттэй олонлогийн нэмэлт нь хаалттай байна.

Нэг цэгийн аль ч хөрш А Cantor set, -аас өөр, дор хаяж нэг цэг байна А.

Хаалттай, агуулаагүй тусгаарлагдсан цэгүүд(цэг бүр нь хязгаар юм).

-д хаа сайгүй нягт байх хамгийн ихдээ тоолж болох олонлог байдаг.

Хэрэв байгаа бол R орон зайд А олонлог нягт байдаггүй нээлттэй багцЭнэ зай нь А олонлогийн цэгүүдээс бүрэн ангид өөр нэг нээлттэй багцыг агуулна.

Аливаа хөрш нь тухайн олонлогийн тоолж баршгүй олонлогийг агуулсан цэг.

Онгоцонд байгаа багц нь хаана ч нягт байдаггүй гэж бид хэлэх болно метрийн орон зай R, хэрэв энэ орон зайн аль нэг нээлттэй тойрог нь энэ багцын цэгүүдээс бүрэн ангид өөр нээлттэй тойрог агуулж байвал.