Тэгш ба сондгой функцуудын хүснэгт. Тэгш ба сондгой функцүүдийн график

Функцийг тэгш (сондгой) гэж нэрлэдэг ба тэгш байдлын хувьд

.

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
.

Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Жишээ 6.2.Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг шалгана уу

1)
; 2)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог
. Бид олох болно
.

Тэдгээр.
. гэсэн үг, энэ функцтэгш байна.

2) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог

Тэдгээр.
. Тиймээс энэ функц нь хачирхалтай юм.

3) функц нь тодорхойлогдсон, i.e. Учир нь

,
. Тиймээс функц нь тэгш, сондгой биш юм. Үүнийг ерөнхий хэлбэрийн функц гэж нэрлэе.

3. Нэг хэвийн байдлын функцийг судлах.

Чиг үүрэг
Хэрэв энэ интервал тус бүрд байвал тодорхой интервалд нэмэгдэх (багарах) гэж нэрлэдэг илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн том (жижиг) утгатай тохирч байна.

Тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж буй (буурсан) функцийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц
интервалаар ялгах боломжтой
мөн эерэг (сөрөг) деривативтай
, дараа нь функц
энэ интервал дээр нэмэгддэг (буурдаг).

Жишээ 6.3. Функцийн монотон байдлын интервалыг ол

1)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог. Деривативыг олцгооё.

Хэрэв дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна
Тэгээд
. Хамрах хүрээ - тооны тэнхлэг, цэгээр хуваагдана
,
интервалтайгаар. Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.

Интервалд
дериватив нь сөрөг, функц нь энэ интервал дээр буурдаг.

Интервалд
дериватив эерэг тул энэ интервалд функц нэмэгдэнэ.

2) Энэ функц нь хэрэв гэж тодорхойлогддог
эсвэл

.

Бид интервал бүрт квадрат гурвалсан тэмдгийг тодорхойлно.

Тиймээс функцийг тодорхойлох домэйн

Деривативыг олцгооё
,
, Хэрэв
, өөрөөр хэлбэл
, Гэхдээ
. Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё
.

Интервалд
дериватив нь сөрөг тул функц нь интервал дээр буурдаг
. Интервалд
дериватив эерэг бол функц нь интервалаар нэмэгддэг
.

4. Экстремум дахь функцийг судлах.

Цэг
функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг
, цэгийн ийм хөрш байгаа бол энэ нь хүн бүрт зориулагдсан
Энэ хөршөөс тэгш бус байдал бий

.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэнэ.

Хэрэв функц
цэг дээр нь экстремумтай бол энэ цэг дэх функцын дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна (экстремум байх зайлшгүй нөхцөл).

Дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

5. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл.

Дүрэм 1. Шилжилтийн үед (зүүнээс баруун тийш) эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрвөл дериватив
тэмдгийг "+"-ээс "-" болгож, дараа нь цэг дээр өөрчилнө функц
дээд талтай; хэрэв "-" -ээс "+" хүртэл байвал хамгийн бага нь; Хэрэв
тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол экстремум байхгүй болно.

Дүрэм 2. Үүн дээр байя
функцийн анхны дериватив
тэгтэй тэнцүү
, хоёр дахь дериватив нь байгаа бөгөөд тэгээс ялгаатай. Хэрэв
, Тэр – хамгийн дээд цэг, хэрэв
, Тэр – функцийн хамгийн бага цэг.

Жишээ 6.4 . Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг судлах:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Шийдэл.

1) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
.

Деривативыг олцгооё
тэгшитгэлийг шийднэ
, өөрөөр хэлбэл
.Эндээс
- чухал цэгүүд.

Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.
.

Цэгээр дамжин өнгөрөх үед
Тэгээд
Дериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" болж өөрчлөгддөг тул дүрмийн 1-ийн дагуу
- хамгийн бага оноо.

Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг
- хамгийн дээд цэг.

,
.

2) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервалд тасралтгүй байна
. Деривативыг олцгооё
.

Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
, бид олох болно
Тэгээд
- чухал цэгүүд. Хэрэв хуваагч бол
, өөрөөр хэлбэл
, тэгвэл дериватив байхгүй болно. Тэгэхээр,
- гурав дахь чухал цэг. Деривативын тэмдгийг интервалаар тодорхойлъё.

Тиймээс функц нь цэг дээр хамгийн бага утгатай байна
, оноогоор дээд тал нь
Тэгээд
.

3) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд хэрэв үргэлжилсэн бол
, өөрөөр хэлбэл цагт
.

Деривативыг олцгооё

.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Цэгүүдийн хөршүүд
тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй тул тэдгээр нь экстремум биш юм. Тиймээс, чухал цэгүүдийг авч үзье
Тэгээд
.

4) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
. 2-р дүрмийг ашиглая. Деривативыг ол
.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Хоёр дахь деривативыг олъё
цэгүүд дээр түүний тэмдгийг тодорхойлно

Цэгүүд дээр
функц хамгийн бага байна.

Цэгүүд дээр
функц нь дээд талтай.

Тэр ч байтугай ба Үгүй жигд функцдараах шинж чанаруудтай:

Хэрэв функц тэгш бол түүний график ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хэрэв функц сондгой бол түүний график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Шийдэл.Функцийг авч үзье: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ба \(x \) оронд эсрэгээр \(-x \) орлуулна. Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Бусад тохиолдолд Хэрэв аргументыг эсрэг тэмдгээр орлуулбал функц өөрчлөгдөхгүй.

Энэ нь энэ функц нь тэгш, график нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм ( босоо тэнхлэг). Энэ функцийн графикийг зүүн талын зурагт үзүүлэв. Энэ нь график байгуулахдаа зөвхөн хагасыг нь зурж, хоёр дахь хэсгийг нь (босоо тэнхлэгийн зүүн талд, баруун талд нь тэгш хэмтэй зурж болно) гэсэн үг юм. Графикийг зурж эхлэхээсээ өмнө функцийн тэгш хэмийг тодорхойлсноор та функцийг бүтээх эсвэл судлах үйл явцыг ихээхэн хялбарчилж чадна. Хэрэв шалгалтыг ерөнхий хэлбэрээр хийхэд хэцүү бол та үүнийг хялбархан хийж болно: тэгшитгэлд орлуулна уу. ижил утгуудөөр өөр шинж тэмдэг. Жишээ нь -5 ба 5. Хэрэв функцийн утгууд ижил байвал функц тэгш болно гэж найдаж болно. ХАМТ математикийн цэгПрактик талаас нь авч үзвэл энэ арга нь бүрэн зөв биш боловч практик талаас нь харахад тохиромжтой юм. Үр дүнгийн найдвартай байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд та ийм эсрэг утгатай хэд хэдэн хосыг сольж болно.

Шийдэл.Өмнөх жишээн дээрхтэй ижил зүйлийг шалгая: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Энэ нь анхны функц нь сондгой (функцийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн) гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Та зөвхөн нэг талыг барьж, хоёр дахь нь тэгш хэмтэй зурж болно. Энэ төрлийн тэгш хэмийг зурах нь илүү хэцүү байдаг. Энэ нь та хүснэгтийг хуудасны нөгөө талаас, бүр дээрээс нь доош нь харж байна гэсэн үг юм. Эсвэл та үүнийг хийж болно: зурсан хэсгийг аваад эхийг нь цагийн зүүний эсрэг 180 градус эргүүлнэ.

Шийдэл.Өмнөх хоёр жишээн дээрх шиг тэмдгийн өөрчлөлтийг шалгацгаая. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Үүний үр дүнд бид дараах зүйлийг олж авна. Энэ нь: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Мөн энэ функц тэгш, сондгой ч биш гэсэн үг.

Дүгнэлт: функц нь координатын системийн гарал үүсэл эсвэл төвийн хувьд тэгш хэмтэй биш юм. Энэ нь тэгш, сондгой гэсэн хоёр функцийн нийлбэр учраас ийм болсон. Хэрэв та хоёр өөр функцийг хасвал ижил нөхцөл байдал үүснэ. Гэхдээ үржүүлэх эсвэл хуваах нь өөр үр дүнд хүргэнэ. Жишээлбэл, тэгш ба сондгой функцийн үржвэр нь сондгой функцийг үүсгэдэг. Эсвэл хоёр сондгой тооны коэффициент нь тэгш функц руу хүргэдэг.

Нэвтрүүлгийг нуух

Функцийг тодорхойлох аргууд

Функцийг y=2x^(2)-3 томъёогоор өгье. Бие даасан x хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн утгыг өгснөөр та энэ томьёог ашиглан хамааралтай хувьсагчийн y-ийн харгалзах утгуудыг тооцоолж болно. Жишээлбэл, хэрэв x=-0.5 бол томьёог ашиглан y-ийн харгалзах утга нь y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 болохыг олж мэднэ.

y=2x^(2)-3 томьёоны х аргументын авсан дурын утгыг авч үзвэл түүнд тохирох функцийн зөвхөн нэг утгыг тооцоолж болно. Функцийг хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлж болно:

Энэ хүснэгтийг ашигласнаар −1 аргументын утгын хувьд −3 функцийн утга тохирно гэдгийг харж болно; x=2 утга нь y=0 гэх мэт утгатай тохирно. Хүснэгт дэх аргументын утга бүр нь зөвхөн нэг функцийн утгатай тохирч байгааг мэдэх нь бас чухал юм.

График ашиглан илүү олон функцийг тодорхойлж болно. График ашиглан функцийн аль утга нь тодорхой x утгатай хамааралтай болохыг тогтооно. Ихэнхдээ энэ нь функцийн ойролцоо утгатай байх болно.

Тэгш ба сондгой функц

Функц нь жигд функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=f(x) байх үед. Ийм функц нь Oy тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь сондгой функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=-f(x) байх үед. Ийм функц нь O (0;0) гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь бүр биш, сонин бишгэж нэрлэдэг функц ерөнхий үзэл , тэнхлэг болон гарал үүслийн талаар тэгш хэмгүй байх үед.

Паритын хувьд дараах функцийг авч үзье.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) гарал үүсэлтэй харьцангуй тэгш хэмтэй тодорхойлолтын мужтай. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Энэ нь f(x)=3x^(3)-7x^(7) сондгой гэсэн үг.

Тогтмол функц

Ямар ч х-д f(x+T)=f(x-T)=f(x) тэгш байдал хангагдсан мужид y=f(x) функцийг гэнэ. үечилсэн функц Т үетэй \neq 0 .

T урттай х тэнхлэгийн аль ч сегмент дээр функцийн графикийг давтах.

Функц эерэг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x) > 0 нь абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах функцийн графикийн цэгүүдэд тохирох абсцисса тэнхлэгийн сегментүүд юм.

f(x) > 0 асаалттай (x_(1); x_(2)) \аяга (x_(3); +\infty)

Функц сөрөг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \аяга (x_(2); x_(3))

Хязгаарлагдмал функц

Доороос нь хязгаарласанЯмар ч x \in X-д f(x) \geq A тэнцэхгүй байх А тоо байгаа тохиолдолд y=f(x), x \in X функцийг дуудах нь заншилтай байдаг.

Доороос хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1+x^(2)) учир дурын x хувьд y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 байна.

Дээрээс нь хязгаарласан y=f(x), x \in X функцийг X-ийн дурын x-д f(x) \neq B тэнцэхгүй байх В тоо байгаа тохиолдолд дуудна.

Доор хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]учир нь y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 нь дурын x \in [-1;1] .

Хязгаарлагдмал\left | тэгш бус байдал үүсэх K > 0 тоо байгаа үед y=f(x), x \in X функцийг дуудах заншилтай. f(x)\right | \neq K нь дурын x \in X .

Жишээ хязгаарлагдмал функц: y=\sin x нь бүх тооны тэнхлэгт хязгаарлагдсан тул \left | \sin x \right | \nq 1.

Өсөх, буурах функц

гэж авч үзэж буй интервал дээр нэмэгддэг функцийг ярих нь заншилтай байдаг функцийг нэмэгдүүлэхтэгвэл x-ийн том утга нь y=f(x) функцийн том утгатай тохирч байвал. Эндээс үзэхэд x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэж буй интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) > болно. у(x_(2)).

Харгалзан үзэж буй интервал дээр буурдаг функцийг дуудна буурах функцдараа нь x-ийн том утга тохирох үед бага утга y(x) функцууд. Эндээс харахад x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэж буй интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) болно.< y(x_{2}) .

Функцийн үндэс F=y(x) функц абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (тэдгээрийг y(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэж олно) гэж нэрлэдэг заншилтай.

a) Хэрэв x > 0-ийн хувьд тэгш функц нэмэгдэх бол x-ийн хувьд буурна< 0

b) Тэгш функц x > 0-д буурахад x-ийн хувьд нэмэгдэнэ< 0

c) Сондгой функц x > 0 үед нэмэгдэхэд x үед мөн нэмэгдэнэ< 0

d) Сондгой функц x > 0-д буурахад x-ийн хувьд мөн буурна< 0

Функцийн экстремум

Функцийн хамгийн бага цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөршүүд нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) > f тэгш бус байдал нь тэг болно. сэтгэл хангалуун (x_(0)) . y_(min) - мин цэг дэх функцийн тэмдэглэгээ.

Функцийн хамгийн дээд цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөрш нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) тэгш бус байдал хангагдана.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Урьдчилсан нөхцөл

Фермагийн теоремоор: x_(0) цэг дээр дифференциал болох f(x) функц энэ цэг дээр экстремумтай байх үед f"(x)=0 байна.

Хангалттай нөхцөл

1. Дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжих үед x_(0) нь хамгийн бага цэг болно;
2. x_(0) - үүсмэлийг дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг хасахаас нэмэх рүү шилжих үед л хамгийн их цэг байх болно. суурин цэг x_(0) .

Интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Тооцооллын алхамууд:

1. f"(x) деривативыг хайж байна;
2. Функцийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэгүүдийг олж, сегментэд хамаарахыг сонгоно;
3. f(x) функцийн утгууд нь суурин ба утгуудаар олддог чухал цэгүүдба сегментийн төгсгөлүүд. Хүлээн авсан үр дүн нь бага байх болно хамгийн бага утгафункцууд, ба түүнээс дээш - хамгийн том.

Эдгээр нь танд нэг талаараа танил байсан. Мөн үйл ажиллагааны шинж чанаруудын нөөцийг аажмаар нөхөх болно гэж тэнд тэмдэглэв. Энэ хэсэгт хоёр шинэ үл хөдлөх хөрөнгийн талаар хэлэлцэх болно.

Тодорхойлолт 1.

X олонлогийн дурын x утгын хувьд f (-x) = f (x) тэгш байдал хангагдсан ч гэсэн y = f(x), x є X функц дуудагдана.

Тодорхойлолт 2.

X олонлогийн дурын x утгын хувьд f (-x) = -f (x) тэгш байдал хангагдсан бол y = f(x), x є X функцийг сондгой гэж нэрлэдэг.

y = x 4 тэгш функц гэдгийг батал.

Шийдэл. Бидэнд: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 байна. Гэхдээ(-x) 4 = x 4. Энэ нь дурын x-ийн хувьд f(-x) = f(x) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. функц нь жигд байна.

Үүний нэгэн адил y - x 2, y = x 6, y - x 8 функцууд тэгш байна гэдгийг баталж болно.

y = x 3 ~ сондгой функц гэдгийг батал.

Шийдэл. Бидэнд: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 байна. Гэхдээ (-x) 3 = -x 3. Энэ нь дурын x-ийн хувьд f (-x) = -f (x) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм. функц нь сондгой юм.

Үүний нэгэн адил y = x, y = x 5, y = x 7 функцууд сондгой болохыг баталж болно.

Математикийн шинэ нэр томъёо нь ихэвчлэн "дэлхийн" гарал үүсэлтэй байдгийг бид нэг бус удаа харсан. тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тайлбарлаж болно. Энэ нь тэгш, сондгой функцүүдийн аль алинд нь тохиолддог. Харна уу: y - x 3, y = x 5, y = x 7 нь сондгой функц, харин y = x 2, y = x 4, y = x 6 нь тэгш функц юм. Ерөнхийдөө y = x" хэлбэрийн аливаа функцийн хувьд (доор бид эдгээр функцийг тусгайлан судлах болно), n нь натурал тоо бол бид дараах дүгнэлтийг хийж болно: хэрэв n нь тийм биш бол. тэгш тоо, тэгвэл y = x" функц сондгой, хэрэв n нь тэгш тоо бол y = xn функц тэгш байна.

Мөн тэгш, сондгой биш функцүүд байдаг. Жишээлбэл, y = 2x + 3 функц байна. Үнэн хэрэгтээ, f(1) = 5, f (-1) = 1. Таны харж байгаагаар энд f(-x) = адилтгал байхгүй байна. f ( x), мөн адилтгах f(-x) = -f(x).

Тэгэхээр функц нь тэгш, сондгой, аль нь ч биш байж болно.

эсэх асуудлыг судалж байна өгөгдсөн функцтэгш эсвэл сондгойг ихэвчлэн паритын функцийн судалгаа гэж нэрлэдэг.

1 ба 2-р тодорхойлолтод бид ярьж байна x ба -x цэг дээрх функцийн утгуудын тухай. Энэ нь функц нь x цэг ба -x цэг дээр тодорхойлогддог гэж үздэг. Энэ нь -x цэг нь х цэгтэй нэгэн зэрэг функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарна гэсэн үг юм. Хэрэв дугаар тогтоосон X нь өөрийн х элемент бүрийн хамт эсрэг талын -x элементийг агуулж байвал X-ийг тэгш хэмтэй олонлог гэж нэрлэдэг. (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) нь тэгш хэмтэй олонлог гэж бодъё, харин )