Тэгш өнцөгт параллелепипед ямар элементүүдээс бүрдэх вэ? Тэгш өнцөгт параллелепипед – Мэдлэгийн гипермаркет

Та бага байхдаа шоо дөрвөлжин тоглож байхдаа 154-р зурагт үзүүлсэн дүрсүүдийг хийсэн байж магадгүй. Эдгээр тоо баримт нь санааг өгдөг тэгш өнцөгт параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хэлбэр нь жишээлбэл, шоколадны хайрцаг, тоосго, шүдэнзний хайрцаг, сав баглаа боодлын хайрцаг, шүүсний багц.

Зураг 155-д ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 тэгш өнцөгт параллелепипедийг үзүүлэв.

Тэгш өнцөгт параллелепипедзургаагаар хязгаарлагдана ирмэгүүд. Нүүр бүр нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуу нь зургаан тэгш өнцөгтөөс бүрдэнэ.

Нүүрний хажуу талууд гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгүүд, нүүрний орой − тэгш өнцөгт параллелепипедийн оройнууд. Жишээлбэл, AB, BC, A 1 B 1 сегментүүд нь ирмэгүүд, B, A 1, C 1 цэгүүд нь ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипедийн оройнууд юм (Зураг 155).

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь 8 орой, 12 ирмэгтэй.

AA 1 B 1 B ба DD 1 C 1 C нүүр нь нийтлэг оройгүй байна. Ийм ирмэгийг нэрлэдэг эсрэг. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед дээр өөр хоёр хос эсрэг талын нүүр байдаг: ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 тэгш өнцөгтүүд, түүнчлэн AA 1 D 1 D ба BB 1 C 1 C тэгш өнцөгтүүд.

Эсрэг нүүр царайтэгш өнцөгт параллелепипед тэнцүү байна.

155-р зурагт нүүр царайг ABCD гэж нэрлэдэг суурьтэгш өнцөгт параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Параллелепипедийн гадаргуугийн талбай нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хэмжээсийн талаар ойлголттой байхын тулд гурван ирмэгийг авч үзэхэд хангалттай. нийтлэг дээд. Эдгээр ирмэгүүдийн уртыг нэрлэдэг хэмжилттэгш өнцөгт параллелепипед. Тэдгээрийг ялгахын тулд нэрсийг ашигладаг: урт, өргөн, өндөр(Зураг 156).

Бүх хэмжээсүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг шоо(Зураг 157). Кубын гадаргуу нь зургаагаас бүрдэнэ тэнцүү квадратууд.

Хэрэв тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй хайрцгийг онгойлгож (Зураг 158) дөрвөн босоо ирмэгийн дагуу зүсэж (Зураг 159), дараа нь задлах юм бол бид зургаан тэгш өнцөгтөөс бүрдэх дүрсийг авна (Зураг 160). Энэ дүрсийг нэрлэдэг тэгш өнцөгт параллелепипедийн хөгжил.

Зураг 161-д зургаан тэнцүү квадратаас бүрдсэн зургийг үзүүлэв. Энэ бол кубын хөгжил юм.

Хөгжүүлэлтийг ашиглан та тэгш өнцөгт параллелепипедийн загварыг хийж болно.

Үүнийг жишээлбэл, иймэрхүү байдлаар хийж болно. Түүний тоймыг цаасан дээр зур. Үүнийг хайчилж, тэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгтэй тохирох сегментүүдийн дагуу нугалж (159-р зургийг үз) нааж, наа.

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь олон өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт хэлбэртэй дүрс юм. 162-р зурагт олон өнцөгтийг үзүүлэв.

Полиэдронуудын нэг төрөл пирамид.

Энэ тоо таны хувьд шинэ зүйл биш юм. Курс судалж байна Эртний ертөнц, та дэлхийн долоон гайхамшгийн нэг болох Египетийн пирамидуудтай танилцсан.

Зураг 163-т MABC, MABCD, MABCDE пирамидуудыг үзүүлэв. Пирамидын гадаргуу нь дараахь зүйлсээс бүрдэнэ хажуугийн нүүрнүүд− нийтлэг оройтой гурвалжин ба үндэслэл(Зураг 164). Хажуугийн нүүрний нийтлэг оройг нэрлэдэг пирамидын суурийн ирмэгүүд, мөн суурьт хамаарахгүй хажуугийн нүүрний талууд нь пирамидын хажуугийн ирмэгүүд.

Пирамидуудыг суурийн талуудын тоогоор нь ангилж болно: гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт (163-р зургийг үз) гэх мэт.

Гадаргуу гурвалжин пирамиддөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Эдгээр гурвалжингийн аль нэг нь пирамидын суурь болж чаддаг. Энэ суурь нь пирамидын нэг төрөл бөгөөд аль ч нүүр нь түүний суурь болж чаддаг.

Зураг 165-д үйлчлэх боломжтой дүрсийг харуулав шүүрдэх дөрвөлжин пирамид . Энэ нь дөрвөлжин ба дөрвөн ижил тэгш өнцөгт гурвалжнаас бүрдэнэ.

Зураг 166-д тэнцүү дөрвөн хэсгээс бүрдсэн дүрсийг харуулав тэгш талт гурвалжин. Энэ зургийг ашиглан та гурвалжин пирамидын загварыг хийж болно, бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Үүний жишээ бол олон өнцөгт юм геометрийн биетүүд.

Зураг 167-д олон талт биш танил геометрийн биетүүдийг үзүүлэв. Та 6-р ангиасаа эдгээр биеийн талаар илүү ихийг мэдэх болно.

Параллелепипед бол геометрийн дүрс бөгөөд бүх 6 нүүр нь параллелограмм юм.

Эдгээр параллелограммын төрлөөс хамааран дараахь төрлийн параллелепипедийг ялгадаг.

• шууд;
• налуу;
• тэгш өнцөгт.

Баруун параллелепипед нь дөрвөлжин призм бөгөөд ирмэг нь суурийн хавтгайтай 90 ° өнцөг үүсгэдэг.

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь дөрвөн өнцөгт призм бөгөөд бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Куб бол олон янз байдаг дөрвөлжин призм, бүх нүүр ба ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Зургийн онцлог нь түүний шинж чанарыг урьдчилан тодорхойлдог. Үүнд дараах 4 мэдэгдлийг багтаасан болно.

Өгөгдсөн бүх шинж чанарыг санах нь энгийн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход хялбар бөгөөд төрөл, шинж чанарт үндэслэн логикоор гаргаж авдаг геометрийн бие. Гэсэн хэдий ч энгийн мэдэгдлүүд шийдвэр гаргахад маш их тустай байж болно ердийн даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалт, шалгалтанд тэнцэхэд шаардагдах цаг хугацааг хэмнэх болно.

Параллелепипед томъёо

Асуудлын хариултыг олохын тулд зөвхөн зургийн шинж чанарыг мэдэх нь хангалтгүй юм. Геометрийн биеийн талбай, эзэлхүүнийг олохын тулд танд зарим томъёо хэрэгтэй байж магадгүй юм.

Суурийн талбайг параллелограмм эсвэл тэгш өнцөгтийн харгалзах үзүүлэлттэй ижил аргаар олно. Та параллелограммын суурийг өөрөө сонгож болно. Дүрмээр бол асуудлыг шийдэхдээ суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй призмтэй ажиллах нь илүү хялбар байдаг.

Туршилтын даалгаварт параллелепипедийн хажуугийн гадаргууг олох томъёо шаардлагатай байж болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын ердийн даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар 1.

Өгсөн: 3, 4, 12 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед.
Шаардлагатайзургийн гол диагональуудын уртыг ол.
Шийдэл: Аливаа шийдэл геометрийн асуудалзөв, тодорхой зураг зурахаас эхлэх ёстой бөгөөд үүнд "өгөгдсөн" болон хүссэн утгыг зааж өгнө. Доорх зураг нь жишээг харуулж байна зөв дизайнажлын нөхцөл.

Хийсэн зургийг судалж, геометрийн биеийн бүх шинж чанарыг санаж, бид цорын ганц зүйлд хүрэв зөв замшийдлүүд. Параллелепипедийн 4-р шинж чанарыг ашигласнаар бид дараах илэрхийллийг олж авна.

Энгийн тооцоолол хийсний дараа бид b2=169 илэрхийллийг авна, тиймээс b=13. Даалгаврын хариулт олдлоо, та үүнийг хайж, зурахад 5 минутаас илүүгүй хугацаа зарцуулах хэрэгтэй.

Геометрийн хувьд гол ойлголтуудхавтгай, цэг, шулуун шугам, өнцөг. Эдгээр нэр томъёог ашиглан та ямар ч геометрийн дүрсийг дүрсэлж болно. Полиэдрүүдийг ихэвчлэн илүү олон зүйлээр тайлбарладаг энгийн тоонуудтойрог, гурвалжин, дөрвөлжин, тэгш өнцөгт гэх мэт нэг хавтгайд байрлах . Энэ нийтлэлд бид параллелепипед гэж юу болохыг авч үзэх, параллелепипедийн төрөл, түүний шинж чанар, ямар элементүүдээс бүрдэх, мөн өгөх болно. үндсэн томъёопараллелепипедийн төрөл тус бүрийн талбай ба эзэлхүүнийг тооцоолох.

Тодорхойлолт

Параллелепипээр оруулав гурван хэмжээст орон зайпризм бөгөөд бүх талууд нь параллелограммууд юм. Үүний дагуу энэ нь зөвхөн гурван хос параллелограмм эсвэл зургаан нүүртэй байж болно.

Параллелепипедийг төсөөлөхийн тулд ердийн стандарт тоосго гэж төсөөлөөд үз дээ. Тоосго - сайн жишээхүүхэд ч гэсэн төсөөлж чадах тэгш өнцөгт параллелепипед. Бусад жишээнд олон давхар самбар байшин, шүүгээ, хадгалах сав орно хүнсний бүтээгдэхүүнтохиромжтой хэлбэр гэх мэт.

Төрөл бүрийн дүрс

Зөвхөн хоёр төрлийн параллелепипед байдаг:

1. Тэгш өнцөгт, бүгд хажуугийн нүүрнүүдсуурьтай 90° өнцгөөр байрлах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй.
2. Налуу, хажуугийн ирмэг нь доор байрладаг тодорхой өнцөгсуурь руу.

Энэ дүрсийг ямар элементүүдэд хувааж болох вэ?

• Бусад геометрийн дүрсүүдийн нэгэн адил параллелепипедийн хувьд нийтлэг ирмэг бүхий 2 нүүрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнтэй адилгүй хэсгийг зэрэгцээ гэж нэрлэдэг (параллелограммын шинж чанарт үндэслэн, эсрэг талын хос параллель байдаг).
• Нэг нүүрэн дээр байрладаггүй параллелепипедийн оройг эсрэг гэж нэрлэдэг.
• Ийм оройг холбосон сегмент нь диагональ юм.
• Нэг оройд нийлдэг шоо хэлбэрийн гурван ирмэгийн урт нь түүний хэмжээс (тухайлбал, урт, өргөн, өндөр) юм.

Хэлбэрийн шинж чанарууд

1. Энэ нь диагональ дундын дагуу үргэлж тэгш хэмтэй баригдсан байдаг.
2. Бүх диагональуудын огтлолцлын цэг нь диагональ бүрийг хоёр тэнцүү сегмент болгон хуваадаг.
3. Эсрэг нүүрнүүд нь ижил урттай бөгөөд зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг.
4. Хэрэв та параллелепипедийн бүх хэмжээсийн квадратуудыг нэмбэл гарсан утга нь диагональ уртын квадраттай тэнцүү байх болно.

Тооцооллын томъёо

Параллелепипедийн тодорхой тохиолдол бүрийн томъёо нь өөр өөр байх болно.

Дурын параллелепипедийн хувьд эзлэхүүн нь тэнцүү байх нь үнэн юм үнэмлэхүй үнэ цэнэгурав дахин цэгийн бүтээгдэхүүннэг оройноос гарах гурван талын векторууд. Гэсэн хэдий ч дурын параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо байдаггүй.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дараахь томъёог хэрэглэнэ.

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - зургийн эзлэхүүн;
• Sb - хажуугийн гадаргуугийн талбай;
• Sp - талбай бүрэн гадаргуу;
• a - урт;
• b - өргөн;
• в - өндөр.

Бүх тал нь дөрвөлжин хэлбэртэй параллелепипедийн өөр нэг онцгой тохиолдол бол шоо юм. Хэрэв дөрвөлжингийн аль нэг талыг a үсгээр тэмдэглэсэн бол энэ зургийн гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүний хувьд дараахь томъёог ашиглаж болно.

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- зургийн талбай,
• V нь зургийн эзэлхүүн,
• a нь дүрсийн нүүрний урт юм.

Бидний авч үзэж байгаа хамгийн сүүлийн төрлийн параллелепипед бол шулуун параллелепипед юм. Баруун параллелепипед ба куб хэлбэрийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ гэж та асууж байна. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн суурь нь ямар ч параллелограмм байж болох ч шулуун параллелепипедийн суурь нь зөвхөн тэгш өнцөгт байж болно. Бүх талын уртын нийлбэртэй тэнцүү суурийн периметрийг По гэж тэмдэглэж, өндрийг h үсгээр тэмдэглэвэл бид ашиглах эрхтэй. дараах томъёонуудбүтэн ба хажуугийн гадаргуугийн эзэлхүүн ба талбайг тооцоолох.

Параллелепипед нь суурь нь параллелограмм хэлбэртэй призм юм. Энэ тохиолдолд бүх ирмэгүүд байх болно параллелограммууд.
Параллелепипед бүрийг гуравтай призм гэж үзэж болно янз бүрийн аргаар, хоёр бүрээс хойш эсрэг нүүр царай(5-р зурагт ABCD ба A"B"C"D" эсвэл ABA"B" ба CDC"D", эсвэл VSV"C" ба ADA"D"-тэй нүүр тулна).
Энэ бие нь арван хоёр ирмэгтэй, дөрөв нь хоорондоо тэнцүү, параллель байна.
Теорем 3 . Параллелепипедийн диагональ нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн дунд хэсэгтэй давхцдаг.
Параллелепипед ABCDA"B"C"D" (Зураг 5) нь AC, BD, CA, DB" дөрвөн диагональтай. Бид тэдгээрийн аль нэгнийх нь дунд цэгүүд, тухайлбал AC ба BD" нь давхцаж байгааг нотлох ёстой. Энэ нь ABC"D" дүрс нь 2-той тэнцүү байдгаас харагдаж байна. зэрэгцээ талууд AB ба C "D" нь параллелограмм юм.
Тодорхойлолт 7 . Баруун параллелепипед нь шулуун призм, өөрөөр хэлбэл параллелепипед юм. хажуугийн хавиргаЭдгээр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт 8 . Тэгш өнцөгт параллелепипед нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипед юм. Энэ тохиолдолд түүний бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болно.
Тэгш өнцөгт параллелепипед нь аль нүүрийг нь суурь болгон авсан нь хамаагүй шулуун призм юм, учир нь түүний ирмэг бүр нь ижил оройноос гарч буй ирмэгүүдтэй перпендикуляр байдаг тул тодорхойлсон нүүрний хавтгайд перпендикуляр байх болно. эдгээр ирмэгүүдээр. Үүний эсрэгээр шулуун, гэхдээ тэгш өнцөгт биш, параллелепипедийг зөвхөн нэг аргаар зөв призм гэж үзэж болно.
Тодорхойлолт 9 . Гурван уртТэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгүүд нь хоорондоо параллель байдаггүй (жишээлбэл, нэг оройноос гарч буй гурван ирмэг) -ийг хэмжээс гэж нэрлэдэг. Тэнцүү хэмжээтэй хоёр тэгш өнцөгт параллелепипед нь хоорондоо тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
Тодорхойлолт 10 .Шоо нь тэгш өнцөгт параллелепипед бөгөөд бүх гурван хэмжээс нь хоорондоо тэнцүү байх тул бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Ирмэгүүд нь тэнцүү хоёр шоо тэнцүү байна.
Тодорхойлолт 11 . Налуу параллелепипед, бүх ирмэгүүд нь өөр хоорондоо тэнцүү, бүх нүүрний өнцөг нь тэнцүү буюу нэмэлт, ромбоэдр гэж нэрлэгддэг.
Ромбоэдрийн бүх нүүр нь ижил ромбууд юм. (Зарим талстууд нь ромбоэдр хэлбэртэй байдаг их үнэ цэнэжишээлбэл, Исландын шөрмөсний талстууд.) Ромбогэдрт та түүнтэй зэргэлдээх бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байх оройг (мөн эсрэг талын хоёр оройг) олж болно.
Теорем 4 . Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд хоорондоо тэнцүү байна. Диагональ квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнагурван хэмжээст квадратууд.
Тэгш өнцөгт параллелепипед ABCDA"B"C"D" (Зураг 6) ABC"D" дөрвөн өнцөгт нь тэгш өнцөгт (АВ шулуун шугам нь ECB хавтгайд перпендикуляр" тул AC" ба BD" диагональууд тэнцүү байна. C", BC оршдог").
Үүнээс гадна гипотенузын квадратын тухай теорем дээр үндэслэсэн AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2. Гэхдээ ижил теорем дээр үндэслэн AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; иймээс бид байх:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.