Заавар
Юуны өмнө пирамидын хажуугийн гадаргууг хэд хэдэн гурвалжингаар төлөөлдөг гэдгийг ойлгох нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн талбайг хамгийн их ашиглан олж болно. янз бүрийн томъёомэдэгдэж байгаа өгөгдлөөс хамааран:
S = (a*h)/2, энд h нь а тал руу буулгасан өндөр;
S = a*b*sinβ, энд a, b нь гурвалжны талууд, β нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг;
S = (r*(a + b + c))/2, энд a, b, c нь гурвалжны талууд, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус;
S = (a*b*c)/4*R, энд R нь тойргийг тойрон хүрээлэгдсэн гурвалжны радиус;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал);
S = S = (a²*√3)/4 (хэрэв гурвалжин тэгш талт бол).
Үнэндээ эдгээр нь зөвхөн хамгийн энгийн зүйл юм мэдэгдэж байгаа томъёонуудгурвалжны талбайг олох.
Дээрх томъёог ашиглан пирамидын нүүр царай болох бүх гурвалжны талбайг тооцоолсны дараа та энэ пирамидын талбайг тооцоолж эхлэх боломжтой. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: та пирамидын хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны талбайг нэмэх хэрэгтэй. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.
Sp = ΣSi, энд Sp нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, Si нь хажуугийн гадаргуугийн хэсэг болох i-р гурвалжны талбай юм.
Илүү тодорхой болгохын тулд бид жижиг жишээг авч үзэж болно: ердийн пирамид, түүний хажуугийн нүүр нь тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх ба түүний суурь дээр дөрвөлжин байрладаг. Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь 17 см бөгөөд энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг олох шаардлагатай.
Шийдэл: Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд түүний нүүр нь тэгш талт гурвалжин гэдгийг мэддэг. Тиймээс, хажуугийн гадаргуу дээрх бүх гурвалжны бүх талууд 17 см-тэй тэнцүү байна гэж хэлж болно, тиймээс эдгээр гурвалжны аль нэгний талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²
Пирамидын ёроолд дөрвөлжин байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс дөрвөн тэгш талт гурвалжин байгаа нь тодорхой байна. Дараа нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Хариулт: Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 500.548 см²
Эхлээд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё. Хажуугийн гадаргуу нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл суурь нь энгийн олон өнцөгттэй, орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолохын тулд периметрийг үржүүлэхэд хангалттай. суурь (өөрөөр хэлбэл суурийн пирамид дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр апотем гэж нэрлэдэг) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb = 1/2P* h, энд Sb нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, P нь суурийн периметр, h нь хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).
Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолсны дараа пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.
Дараа нь та пирамидын суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллын томъёоны сонголт нь пирамидын суурь дээр аль олон өнцөгт байхаас хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл бүх тал нь ижил урттай) эсвэл жигд бус. Ердийн олон өнцөгтийн талбайг периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, үүссэн утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, Sn нь олон өнцөгтийн талбай юм. олон өнцөгт, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.
Таслагдсан пирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолоос үүссэн олон өнцөгт юм. суурьтай зэрэгцээ. Пирамидын хажуугийн гадаргууг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ нь маш энгийн: талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Бидэнд ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Суурийн урт нь b = 5 см, c = 3 см Apothem a = 4 см пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд та эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй. Том сууринд p1=4b=4*5=20 см-тэй тэнцүү байх болно. жижиг суурьтомьёо нь дараах байдалтай байна: p2=4c=4*3=12 см Тиймээс талбай нь: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см байна.
Хэрэв пирамидын суурь дээр жигд бус олон өнцөгт байгаа бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд эхлээд олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй. Бусад тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд та түүний хажуугийн гадаргуу бүрийн талбайг олж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Зарим тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олох ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой. Хэрэв нэг талын нүүр нь сууринд перпендикуляр эсвэл хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүр нь сууринд перпендикуляр байвал пирамидын суурь гэж үзнэ. ортогональ проекцтүүний хажуугийн гадаргуугийн хэсгүүд ба тэдгээр нь томъёогоор холбогддог.
Пирамидын гадаргуугийн тооцоог дуусгахын тулд пирамидын хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайг нэмнэ.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (суурь) нь дурын олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь (хажуугийн) гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Өнцгийн тоогоор пирамидын суурь нь гурвалжин (тетраэдр), дөрвөлжин гэх мэт.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй суурьтай олон өнцөгт бөгөөд үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Апотем бол хажуугийн нүүрний өндөр юм. ердийн пирамид, түүний оройгоос зурсан.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй, суурь нь олон өнцөгт, хажуугийн нүүр нь нэг нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Дөрвөлжин гадаргуу пирамидуудхажуугийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.
Танд хэрэгтэй болно
- Цаас, үзэг, тооны машин
Заавар
Эхлээд бид хажуугийн талбайг тооцоолно гадаргуу . Хажуугийн гадаргуу гэж бид бүх хажуугийн нүүрний нийлбэрийг хэлнэ. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл ердийн олон өнцөгт байрладаг ба орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуу талыг бүхэлд нь тооцоолох хэрэгтэй. гадаргуусуурийн периметрийг үржүүлэхэд хангалттай (өөрөөр хэлбэл суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр). пирамидууд) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр нэрлэнэ) гарч ирсэн утгыг 2-т хуваана: Sb=1/2P*h, Sb нь хажуугийн талбай юм. гадаргуу, P - суурийн периметр, h - хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).
Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Хажуу тал нь тулгардаг тул пирамидуудГурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолоход хажуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг. гадаргуу пирамидууд.
Дараа нь та суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй пирамидууд. Тооцооллын сонголт нь олон өнцөгт нь пирамидын суурь дээр байгаа эсэхээс хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл талууд нь бүгд ижил урттай) эсвэл. ДөрвөлжинЕрдийн олон өнцөгтийн периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, гарсан утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, энд Sn нь олон өнцөгтийн талбай, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.
Хэрэв суурь дээр байвал пирамидууджигд бус олон өнцөгт байрладаг бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд та олон өнцөгтийг дахин гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно.
Талбайн тооцоог дуусгахын тулд гадаргуу пирамидууд, дөрвөлжин талыг нугалав гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.
Сэдвийн талаархи видео
Олон өнцөгт нь олон шугамыг хаах замаар бүтээгдсэн геометрийн дүрс юм. Хэд хэдэн төрлийн олон өнцөгт байдаг бөгөөд тэдгээр нь оройнуудын тооноос хамаарч өөр өөр байдаг. Талбайг олон өнцөгтийн төрөл тус бүрээр тодорхой аргаар тооцдог.
Заавар
Хэрэв та дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох шаардлагатай бол талуудын уртыг үржүүлнэ. Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олох шаардлагатай бол түүнийг тэгш өнцөгт болгон өргөжүүлж, талбайг нь тооцоод хоёр хуваа.
Хэрэв зураг нь 180 градусаас ихгүй (гүдгэр олон өнцөгт) бүх орой нь координатын сүлжээнд байгаа бөгөөд өөрөө огтлолцохгүй бол талбайг тооцоолохдоо дараах аргыг ашиглана уу.
Ийм олон өнцөгтийг тойруулан тэгш өнцөгт зурж, талууд нь торны шугамуудтай (координатын тэнхлэгүүд) параллель байна. Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн оройн дор хаяж нэг нь тэгш өнцөгтийн орой байх ёстой.
Зөвхөн тайрсан нэг нь хоёр суурьтай байж болно пирамидууд. Энэ тохиолдолд хоёр дахь суурь нь том суурьтай параллель зүсэлтээр үүсгэгддэг пирамидууд. Аль нэгийг нь олоорой шалтгаануудмэдэгдэж байгаа бол боломжтой эсвэл шугаман элементүүдхоёрдугаарт.
Танд хэрэгтэй болно
- - пирамидын шинж чанар;
- - тригонометрийн функцууд;
- - тоонуудын ижил төстэй байдал;
- - олон өнцөгтийн талбайг олох.
Заавар
Хэрэв суурь нь бол тогтмол гурвалжин, олоорой дөрвөлжинталын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж 4-т хуваах замаар. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол түүний талыг хоёр дахь зэрэгт өргө. IN ерөнхий тохиолдол, аливаа энгийн олон өнцөгтийн хувьд S=(n/4) a² ctg(180º/n) томъёог хэрэглэнэ, энд n нь ердийн олон өнцөгтийн талуудын тоо, a нь хажуугийн урт юм.
b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) томъёогоор жижиг суурийн талыг ол. Энд - илүү том суурь, h - таслагдсан өндөр пирамидууд, α – хоёр талт өнцөгтүүний суурь дээр, n – талуудын тоо шалтгаанууд(энэ нь адилхан). Хоёрдахь суурийн талбайг эхнийхтэй адилаар, түүний талын уртыг S=(n/4) b² ctg(180º/n) томъёогоор ол.
Хэрэв суурь нь өөр төрлийн олон өнцөгт байвал тэдгээрийн аль нэгнийх нь бүх талууд нь мэдэгддэг шалтгаанууд, ба нөгөө талынх нь аль нэгийг, дараа нь үлдсэн талуудыг ижил төстэй байдлаар тооцоол. Жишээлбэл, том суурийн талууд нь 4, 6, 8 см байна. Том талжижиг суурь шарх 4 см-ийн пропорциональ коэффициентийг тооцоолно, 4/8 = 2 (тал тус бүрийг авна шалтгаанууд), бусад талуудыг 6/2=3 см, 4/2=2 см-ээр тооцож, хажуугийн жижиг суурь дээр 2, 3, 4 см талуудыг авна. Одоо тэдгээрийг гурвалжны талбайгаар тооцоол.
Хэрэв тайрсан элементийн харгалзах элементүүдийн харьцаа мэдэгдэж байгаа бол талбайн харьцааг тодорхойлно шалтгаануудЭдгээр элементүүдийн квадратуудын харьцаатай тэнцүү байх болно. Жишээлбэл, холбогдох талууд нь мэдэгдэж байгаа бол шалтгаанууд a ба a1, дараа нь a²/a1²=S/S1.
Доод талбай пирамидуудихэвчлэн түүний хажуугийн талбайг хэлнэ эсвэл бүрэн гадаргуу. Үүний үндсэн дээр геометрийн биеолон өнцөгт байрладаг. Хажуугийн нүүр царайбайна гурвалжин хэлбэртэй. Тэдэнд байгаа нийтлэг орой, энэ нь бас дээд тал юм пирамидууд.
Танд хэрэгтэй болно
- - хуудас цаас;
- - үзэг;
- - тооцоолуур;
- - өгөгдсөн параметр бүхий пирамид.
Заавар
Даалгаварт өгөгдсөн пирамидыг авч үзье. Олон өнцөгт нь суурь дээрээ тогтмол эсвэл жигд бус эсэхийг тодорхойл. Зөв нь бүх тал нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд талбай нь периметр ба радиусын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. l талын уртыг n талуудын тоогоор үржүүлж периметрийг ол, өөрөөр хэлбэл P=l*n. Суурийн талбайг So=1/2P*r томъёогоор илэрхийлж болох ба P нь периметр, r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.
Тогтмол бус олон өнцөгтийн периметр ба талбайг өөр өөрөөр тооцдог. Хажуугийн урт нь өөр өөр байдаг. руу
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ оюутнууд алгебр, геометрийн мэдлэгээ системчлэх ёстой. Би бүх мэдэгдэж байгаа мэдээллийг нэгтгэхийг хүсч байна, жишээлбэл, пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох талаар. Түүнээс гадна суурь ба хажуугийн ирмэгээс эхлээд бүх гадаргуугийн талбай хүртэл. Хэрвээ гурвалжин хэлбэртэй тул хажуугийн нүүрний байдал тодорхой байвал суурь нь үргэлж өөр байдаг.
Пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь ямар ч тоо байж болно: -аас дурын гурвалжин n-gon руу. Мөн энэ үндэс нь өнцгийн тооны зөрүүгээс гадна байж болно зөв зурагэсвэл буруу. Сургуулийн сурагчдын сонирхлыг татдаг улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт зөвхөн үндсэн дээр зөв дүрс бүхий даалгавар байдаг. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.
Ердийн гурвалжин
Өөрөөр хэлбэл, тэгш талт. Бүх талууд тэнцүү бөгөөд "а" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ тохиолдолд пирамидын суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.
S = (a 2 * √3) / 4.
Дөрвөлжин
Түүний талбайг тооцоолох томъёо нь хамгийн энгийн бөгөөд энд "a" нь дахин тал юм.
Дурын тогтмол n-gon
Олон өнцөгтийн тал нь ижил тэмдэглэгээтэй байна. Ашигласан өнцгийн тооны хувьд латин үсэг n.
S = (n * a 2) / (4 * тг (180º/n)).
Хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо юу хийх вэ?
Суурь нь ердийн дүрс тул пирамидын бүх нүүр нь тэнцүү байна. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм хажуугийн хавиргатэнцүү байна. Дараа нь тооцоолохын тулд хажуугийн талбайпирамид, танд ижил мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх томъёо хэрэгтэй болно. Нэр томъёоны тоог суурийн талуудын тоогоор тодорхойлно.
Дөрвөлжин тэгш өнцөгт гурвалжинСуурийн бүтээгдэхүүний талыг өндрөөр үржүүлсэн томъёогоор тооцоолно. Пирамидын энэ өндрийг апотем гэж нэрлэдэг. Түүний тэмдэглэгээ нь "А" юм. Ерөнхий томъёохажуугийн гадаргуугийн талбайн хувьд дараах байдалтай байна.
S = ½ P*A, энд P нь пирамидын суурийн периметр юм.
Суурийн талууд тодорхойгүй ч хажуугийн ирмэгүүд (c) ба түүний орой дээрх хавтгай өнцгийг (α) өгсөн тохиолдол байдаг. Дараа нь та пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
2 sin α-д S = n/2 * .
Даалгавар №1
Нөхцөл байдал.Хай нийт талбайпирамид, хэрэв түүний суурь нь 4 см талтай бол апотем нь √3 см-ийн утгатай бол.
Шийдэл.Та суурийн периметрийг тооцоолж эхлэх хэрэгтэй. Энэ нь ердийн гурвалжин тул P = 3 * 4 = 12 см, апотем нь мэдэгдэж байгаа тул бид бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайг шууд тооцоолж болно: ½ * 12 * √3 = 6√3 см 2.
Суурийн гурвалжны хувьд та дараах талбайн утгыг авна: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2.
Талбайг бүхэлд нь тодорхойлохын тулд 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 гэсэн хоёр утгыг нэмэх шаардлагатай.
Хариулах. 10√3 см 2.
Асуудал №2
Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамид байдаг. Суурийн хажуугийн урт нь 7 мм, хажуугийн ирмэг нь 16 мм байна. Түүний гадаргуугийн талбайг олж мэдэх шаардлагатай.
Шийдэл.Полиэдрон нь дөрвөлжин хэлбэртэй, тогтмол байдаг тул түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Суурийн болон хажуугийн нүүрний талбайг мэдсэний дараа та пирамидын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дөрвөлжингийн томъёог дээр өгөв. Мөн хажуугийн нүүрний хувьд гурвалжны бүх талыг мэддэг. Тиймээс тэдгээрийн талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглаж болно.
Эхний тооцоо нь энгийн бөгөөд дараах тоонд хүргэдэг: 49 мм 2. Хоёр дахь утгын хувьд та хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 мм. Одоо та ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 мм 2. Зөвхөн дөрвөн ийм гурвалжин байдаг тул эцсийн тоог тооцоолохдоо 4-өөр үржүүлэх шаардлагатай болно.
Энэ нь: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 мм 2 болж байна.
Хариулт. Хүссэн утга нь 267.576 мм 2 байна.
Асуудал №3
Нөхцөл байдал. Зөв нь дөрвөлжин пирамидТа талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Талбайн тал нь 6 см, өндөр нь 4 см гэдгийг мэддэг.
Шийдэл.Хамгийн хялбар арга бол периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүнтэй томъёог ашиглах явдал юм. Эхний утгыг олоход хялбар байдаг. Хоёр дахь нь арай илүү төвөгтэй юм.
Бид Пифагорын теоремыг санаж, энэ нь пирамидын өндөр ба гипотенуз болох апотемоос үүсдэг гэж үзэх хэрэгтэй. Хоёр дахь хөл хагастай тэнцүүдөрвөлжин талууд, учир нь олон өнцөгтийн өндөр нь дунд хэсэгтээ унадаг.
Шаардлагатай апотем (тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз) нь √(3 2 + 4 2) = 5 (см) -тэй тэнцүү байна.
Одоо та шаардлагатай утгыг тооцоолж болно: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Хариулах. 96 см 2.
Асуудал №4
Нөхцөл байдал.Дана зөв талтүүний суурь нь 22 мм, хажуугийн хавирга нь 61 мм. Энэ олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?
Шийдэл.Үүний үндэслэл нь 2-р даалгаварт дурдсантай ижил байна. Зөвхөн тэнд дөрвөлжин суурьтай пирамид өгсөн бөгөөд одоо зургаан өнцөгт болжээ.
Юуны өмнө үндсэн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно: (6*22 2) / (4*тг (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2.
Одоо та хажуугийн нүүр болох ижил өнцөгт гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. (22+61*2):2 = 72 см л ийм гурвалжин бүрийн талбайг Хероны томьёогоор тооцоод зургаагаар үржүүлээд суурийн хувьд авсан дээр нэмэхэд л үлддэг.
Хероны томьёо ашиглан хийсэн тооцоо: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг өгөх тооцоо: 660 * 6 = 3960 см 2. Гадаргууг бүхэлд нь олж мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй: 5217.47≈5217 см 2.
Хариулах.Суурь нь 726√3 см 2, хажуугийн гадаргуу 3960 см 2, нийт талбай нь 5217 см 2.
Пирамидын гадаргуугийн талбай. Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Энгийн пирамид бол суурь нь ердийн олон өнцөгт пирамид бөгөөд пирамидын орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг гэдгийг сануулъя.
Ийм пирамидын хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.Энгийн пирамидын оройноос авсан энэ гурвалжны өндрийг apothem, SF - apothem гэж нэрлэдэг.
Доор үзүүлсэн асуудлын төрлөөс та бүх пирамидын гадаргуугийн талбай эсвэл түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. Блогт элементүүдийг (өндөр, суурийн ирмэг, хажуугийн ирмэг) олох асуулт гарч ирсэн ердийн пирамидуудтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг аль хэдийн хэлэлцсэн.
IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварДүрмээр бол ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудыг авч үздэг. Би ердийн таван өнцөгт болон долоон өнцөгт пирамидуудтай холбоотой ямар ч асуудал олж хараагүй.
Бүх гадаргуугийн талбайн томъёо нь энгийн байдаг - та пирамидын суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.
Даалгавруудыг авч үзье:
Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 72, хажуугийн ирмэг нь 164. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
Пирамидын гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
*Хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм.
Бид пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолж болно:
Тиймээс пирамидын гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 28224
Суурийн талууд зөв байна зургаан өнцөгт пирамид 22, хажуугийн ирмэг нь 61. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь нь ердийн зургаан өнцөгт юм.
Энэхүү пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 61,61 ба 22 талтай тэнцүү гурвалжны зургаан хэсгээс бүрдэнэ.
Гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор олъё.
Тиймээс хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 3240
*Дээр дурдсан асуудлуудад хажуугийн нүүрний талбайг өөр гурвалжны томъёог ашиглан олж болох боловч үүний тулд та апотемийг тооцоолох хэрэгтэй.
27155. Суурийн талууд нь 6, өндөр нь 4 байх энгийн дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
Пирамидын гадаргуугийн талбайг олохын тулд бид суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.
Суурийн талбай нь 6 талтай дөрвөлжин тул 36 байна.
Хажуугийн гадаргуу нь дөрвөн нүүрнээс бүрдэнэ тэнцүү гурвалжин. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй (apothem):
*Гурвалжны талбай нь суурийн болон энэ суурийн өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
Суурь нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь зургаатай тэнцүү байна. Өндөрийг олъё. Ингээд авч үзье зөв гурвалжин(шар өнгөөр тодруулсан):
Нэг хөл нь 4-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь пирамидын өндөр, нөгөө нь суурийн ирмэгийн хагастай тэнцүү тул 3-тай тэнцүү байна. Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж болно.
Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
Тиймээс бүх пирамидын гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 96
27069. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 10, хажуугийн ирмэг нь 13. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
27070. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 10, хажуугийн ирмэг нь 13-тай тэнцүү. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо бас байдаг. Ердийн пирамидын суурь нь хажуугийн гадаргуугийн ортогональ проекц юм, тиймээс:
П- суурь периметр, л- пирамидын үг
*Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн томъёонд үндэслэсэн болно.
Хэрэв та эдгээр томъёог хэрхэн гаргаж авсан талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл үүнийг бүү алдаарай, нийтлэлийн нийтлэлийг дагаарай.Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
нь олон талт дүрс бөгөөд түүний суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжингаар дүрслэгдсэн байдаг.
Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамид гэж нэрлэгддэг дөрвөлжин, хэрэв гурвалжин бол - тэгвэл гурвалжин. Пирамидын өндрийг дээд талаас нь суурьтай перпендикуляраар зурдаг. Мөн талбайг тооцоолоход ашигладаг апотем– хажуугийн нүүрний өндөр, дээрээс нь доошлуулсан.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тооцооны аргыг маш ховор ашигладаг. Үндсэндээ пирамидын талбайг суурь ба апотемийн периметрээр тооцоолно.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.
Бидэнд ABCDE суурь ба дээд F-тэй пирамид өгье. AB =BC =CD =DE =EA =3 см Апотем a = 5 см Пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Периметрийг олъё. Суурийн бүх ирмэгүүд тэнцүү тул пентагоны периметр нь дараахтай тэнцүү байна.
Одоо та пирамидын хажуугийн талбайг олж болно. 
Ердийн гурвалжин пирамидын талбай
Ердийн гурвалжин пирамид нь ердийн гурвалжин байрладаг суурь ба талбайн хувьд тэнцүү гурван хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ.
Хажуугийн гадаргуугийн томъёо зөв гурвалжин пирамидтооцоолж болно янз бүрийн аргаар. Та ердийн тооцооллын томъёог периметр ба апотем ашиглан хэрэглэж болно, эсвэл нэг нүүрний талбайг олоод гурваар үржүүлж болно. Пирамидын нүүр нь гурвалжин учраас бид гурвалжны талбайн томъёог ашигладаг. Энэ нь апотем болон суурийн уртыг шаардах болно. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.
a = 4 см, суурь нь b = 2 см хэмжээтэй пирамид өгөгдсөн бөгөөд пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Эхлээд хажуугийн нүүрний аль нэгний талбайг ол. IN энэ тохиолдолдтэр:
Томъёонд утгыг орлуулна уу: 
Бүх зүйл зөв пирамид байгаа тул талуудижил байвал пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь гурван нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Тус тусад нь: 
Таслагдсан пирамидын талбай
ТасалсанПирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолын суурьтай параллель байдаг олон өнцөгт юм.
Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёо нь маш энгийн. Талбай нь суурь ба апотемийн периметрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. 
Энэхүү геометрийн дүрс ба түүний шинж чанарын талаархи асуултуудыг судлахаасаа өмнө зарим нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. Пирамидын тухай сонссон хүн Египетийн асар том барилгуудыг төсөөлдөг. Хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Гэхдээ тэд тохиолддог янз бүрийн төрөлба дүрс, энэ нь геометрийн дүрсийг тооцоолох томъёо өөр байх болно гэсэн үг юм.
Пирамид - геометрийн дүрс , хэд хэдэн нүүр царайг илэрхийлж, төлөөлдөг. Үндсэндээ энэ нь ижил олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд түүний суурь дээр олон өнцөгт байрладаг бөгөөд талууд дээр нэг цэг дээр холбосон гурвалжин байдаг - орой. Зураг нь хоёр үндсэн төрлөөр ирдэг:
- зөв;
- тайрсан.
Эхний тохиолдолд суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. Бүх зүйл энд байна хажуугийн гадаргуутэнцүүӨөрсдийнхөө болон дүр төрхийн хооронд төгс төгөлдөрчдийн нүдийг баясгах болно.
Хоёрдахь тохиолдолд хоёр суурь байдаг - хамгийн доод талд нь том, дээд талынх нь хооронд жижиг, голын хэлбэрийг давтана. Өөрөөр хэлбэл, таслагдсан пирамид нь суурьтай параллель үүссэн хөндлөн огтлолтой олон өнцөгт юм.
Нэр томъёо, тэмдэг
Гол нэр томъёо:
- Тогтмол (тэнцүү талт) гурвалжин- гурван ижил өнцөг бүхий дүрс ба тэнцүү талууд. Энэ тохиолдолд бүх өнцөг нь 60 градус байна. Энэ зураг нь энгийн олон талтуудын хамгийн энгийн зураг юм. Хэрэв энэ зураг суурь дээр байгаа бол ийм олон өнцөгтийг ердийн гурвалжин гэж нэрлэнэ. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамидыг ердийн дөрвөлжин пирамид гэж нэрлэнэ.
- Орой– ирмэгүүдийн нийлдэг хамгийн өндөр цэг. Оройн өндөр нь оройгоос пирамидын суурь хүртэл үргэлжилсэн шулуун шугамаар үүсгэгддэг.
- Ирмэг– олон өнцөгтийн хавтгайнуудын нэг. Энэ нь гурвалжин пирамид эсвэл трапец хэлбэрийн хувьд гурвалжин хэлбэртэй байж болно. таслагдсан пирамид.
- Хэсэг – хавтгай дүрс, задралын үр дүнд үүссэн. Хэсэг нь тухайн хэсгийн ард юу байгааг харуулдаг тул үүнийг хэсэгтэй андуурч болохгүй.
- Апотем- пирамидын оройноос суурь хүртэл зурсан сегмент. Энэ нь мөн хоёр дахь өндрийн цэг байрладаг нүүрний өндөр юм. Энэ тодорхойлолтзөвхөн шударга ердийн олон өнцөгт. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь таслагдсан пирамид биш бол нүүр нь гурвалжин болно. Энэ тохиолдолд энэ гурвалжны өндөр нь апотем болно.
Талбайн томъёо
Пирамидын хажуугийн гадаргууг олямар ч төрлийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв зураг нь тэгш хэмтэй биш, олон өнцөгт байвал өөр өөр талууд, дараа нь энэ тохиолдолд гадаргуугийн нийт талбайг бүх гадаргуугийн нийлбэрээр тооцоолоход хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, та нүүр бүрийн талбайг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.
Ямар параметрүүд мэдэгдэж байгаагаас хамааран квадрат, трапец, дурын дөрвөлжин гэх мэтийг тооцоолох томъёо шаардлагатай байж болно. Томъёо нь өөрсдөө өөр өөр тохиолдол бас ялгаа байх болно.
Тогтмол дүрсийн хувьд талбайг олох нь илүү хялбар байдаг. Хэд хэдэн үндсэн параметрүүдийг мэдэхэд л хангалттай. Ихэнх тохиолдолд ийм тоонуудын хувьд тусгайлан тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Тиймээс бид доор өгөх болно харгалзах томъёонууд. Үгүй бол та бүх зүйлийг хэд хэдэн хуудсан дээр бичих хэрэгтэй бөгөөд энэ нь таныг төөрөлдүүлж, төөрөлдүүлэх болно.
Тооцооллын үндсэн томъёоЕрдийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь дараах хэлбэртэй байна.
S=½ Па (P нь суурийн периметр ба апотем)
Нэг жишээг харцгаая. Полиэдр нь A1, A2, A3, A4, A5 сегментүүдтэй суурьтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд 10 см-тэй тэнцүү байна. Эхлээд та периметрийг олох хэрэгтэй. Суурийн бүх таван нүүр нь адилхан тул та үүнийг дараах байдлаар олж болно: P = 5 * 10 = 50 см Дараа нь бид хэрэглэнэ үндсэн томъёо: S =½*50*5=125 см квадрат.
Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайтооцоолоход хамгийн хялбар. Томъёо нь дараах байдлаар харагдаж байна.
S =½* ab *3, энд a нь үгийн тэмдэг, b нь суурийн нүүр юм. Гуравын хүчин зүйл нь суурийн нүүрний тоог илэрхийлдэг бөгөөд эхний хэсэг нь хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. Нэг жишээ авч үзье. Өгөгдсөн дүрс нь 5 см, суурь ирмэг нь 8 см байна: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.
Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайТооцоолоход арай хэцүү. Томъёо нь дараах байдалтай харагдана: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, энд p_01 ба p_02 нь суурийн периметр бөгөөд апотем юм. Нэг жишээ авч үзье. Дөрвөн өнцөгт хэлбэрийн хувьд суурийн хажуугийн хэмжээ 3 ба 6 см, апотем нь 4 см байна гэж бодъё.
Энд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см-ийн утгыг үндсэн томъёонд орлуулахад бид дараахыг авна: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 см квадрат.
Тиймээс та ямар ч нарийн төвөгтэй энгийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Та болгоомжтой байж, төөрөгдүүлэхгүй байх хэрэгтэйЭдгээр тооцоог бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн нийт талбайтай хамт хийнэ. Хэрэв та үүнийг хийх шаардлагатай хэвээр байгаа бол олон өнцөгтийн хамгийн том суурийн талбайг тооцоолж, олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмнэ үү.
Видео
Энэ видео нь янз бүрийн пирамидын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох талаархи мэдээллийг нэгтгэхэд тусална.
Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.
