Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд ямар шинж чанартай байдаг вэ? Хичээл: Кубоид

Параллелепипед бол геометрийн дүрс бөгөөд бүх 6 нүүр нь параллелограмм юм.

Эдгээр параллелограммын төрлөөс хамааран дараахь төрлийн параллелепипедийг ялгадаг.

• Чигээрээ;
• налуу;
• тэгш өнцөгт.

Баруун параллелепипед нь дөрвөлжин призм бөгөөд ирмэг нь суурийн хавтгайтай 90 ° өнцөг үүсгэдэг.

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь дөрвөн өнцөгт призм бөгөөд бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Куб бол олон янз байдаг дөрвөлжин призм, бүх нүүр ба ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Зургийн онцлог нь түүний шинж чанарыг урьдчилан тодорхойлдог. Үүнд дараах 4 мэдэгдлийг багтаасан болно.

Өгөгдсөн бүх шинж чанарыг санах нь энгийн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход хялбар бөгөөд төрөл, шинж чанарт үндэслэн логикоор гаргаж авдаг геометрийн бие. Гэсэн хэдий ч энгийн мэдэгдлүүд шийдвэр гаргахад маш их тустай байж болно ердийн даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалт, шалгалтанд тэнцэхэд шаардагдах цаг хугацааг хэмнэх болно.

Параллелепипед томъёо

Асуудлын хариултыг олохын тулд зөвхөн зургийн шинж чанарыг мэдэх нь хангалтгүй юм. Геометрийн биеийн талбай, эзэлхүүнийг олохын тулд танд зарим томъёо хэрэгтэй байж магадгүй юм.

Суурийн талбайг параллелограмм эсвэл тэгш өнцөгтийн харгалзах үзүүлэлттэй ижил аргаар олно. Та параллелограммын суурийг өөрөө сонгож болно. Дүрмээр бол асуудлыг шийдэхдээ суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй призмтэй ажиллах нь илүү хялбар байдаг.

Туршилтын даалгаварт параллелепипедийн хажуугийн гадаргууг олох томъёо шаардлагатай байж болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын ердийн даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ

Дасгал 1.

Өгсөн: 3, 4, 12 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед.
Шаардлагатайзургийн гол диагональуудын уртыг ол.
Шийдэл: Аливаа шийдэл геометрийн асуудалзөв, тодорхой зураг зурахаас эхлэх ёстой бөгөөд үүнд "өгөгдсөн" болон хүссэн утгыг зааж өгнө. Доорх зураг нь жишээг харуулж байна зөв дизайнажлын нөхцөл.

Хийсэн зургийг судалж, геометрийн биеийн бүх шинж чанарыг санаж, бид цорын ганц зүйлд хүрэв зөв замшийдлүүд. Параллелепипедийн 4-р шинж чанарыг ашигласнаар бид дараах илэрхийллийг олж авна.

Энгийн тооцоолол хийсний дараа бид b2=169 илэрхийллийг авна, тиймээс b=13. Даалгаврын хариулт олдлоо, та үүнийг хайж, зурахад 5 минутаас илүүгүй хугацаа зарцуулах хэрэгтэй.

Геометрийн хувьд гол ойлголтуудхавтгай, цэг, шулуун шугам, өнцөг. Эдгээр нэр томъёог ашиглан та ямар ч геометрийн дүрсийг дүрсэлж болно. Полиэдрүүдийг ихэвчлэн илүү олон зүйлээр тайлбарладаг энгийн тоонуудтойрог, гурвалжин, дөрвөлжин, тэгш өнцөгт гэх мэт нэг хавтгайд байрлах . Энэ нийтлэлд бид параллелепипед гэж юу болохыг авч үзэх, параллелепипедийн төрөл, түүний шинж чанар, ямар элементүүдээс бүрдэх, мөн өгөх болно. үндсэн томъёопараллелепипедийн төрөл тус бүрийн талбай ба эзэлхүүнийг тооцоолох.

Тодорхойлолт

Параллелепипээр оруулав гурван хэмжээст орон зайпризм бөгөөд бүх талууд нь параллелограммууд юм. Үүний дагуу энэ нь зөвхөн гурван хос параллелограмм эсвэл зургаан нүүртэй байж болно.

Параллелепипедийг төсөөлөхийн тулд ердийн стандарт тоосго гэж төсөөлөөд үз дээ. Тоосго - сайн жишээхүүхэд ч гэсэн төсөөлж чадах тэгш өнцөгт параллелепипед. Бусад жишээнд олон давхар самбар байшин, шүүгээ, хадгалах сав орно хүнсний бүтээгдэхүүнтохиромжтой хэлбэр гэх мэт.

Төрөл бүрийн дүрс

Зөвхөн хоёр төрлийн параллелепипед байдаг:

1. Тэгш өнцөгт, бүгд хажуугийн нүүрнүүдсуурьтай 90° өнцгөөр байрлах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй.
2. Налуу, хажуугийн ирмэг нь доор байрладаг тодорхой өнцөгсуурь руу.

Энэ дүрсийг ямар элементүүдэд хувааж болох вэ?

• Бусад геометрийн дүрсийн нэгэн адил параллелепипедийн нийтлэг ирмэгтэй дурын 2 нүүрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнтэй адилгүй хэсгийг зэрэгцээ гэж нэрлэдэг (хос параллель параллелограммын шинж чанарт үндэслэн). эсрэг талууд).
• Нэг нүүрэн дээр байрладаггүй параллелепипедийн оройг эсрэг гэж нэрлэдэг.
• Ийм оройг холбосон сегмент нь диагональ юм.
• Нэг оройд нийлдэг шоо хэлбэрийн гурван ирмэгийн урт нь түүний хэмжээс (жишээлбэл, урт, өргөн, өндөр) юм.

Хэлбэрийн шинж чанарууд

1. Энэ нь диагональ дундын дагуу үргэлж тэгш хэмтэй баригдсан байдаг.
2. Бүх диагональуудын огтлолцлын цэг нь диагональ бүрийг хоёр тэнцүү сегмент болгон хуваадаг.
3. Эсрэг нүүр царайурттай тэнцүү ба зэрэгцээ шугамууд дээр хэвтэнэ.
4. Хэрэв та параллелепипедийн бүх хэмжээсийн квадратуудыг нэмбэл гарсан утга нь диагональ уртын квадраттай тэнцүү байх болно.

Тооцооллын томъёо

Параллелепипедийн тодорхой тохиолдол бүрийн томъёо нь өөр өөр байх болно.

Дурын параллелепипедийн хувьд эзлэхүүн нь тэнцүү байх нь үнэн юм үнэмлэхүй үнэ цэнэгурав дахин цэгийн бүтээгдэхүүннэг оройноос гарах гурван талын векторууд. Гэсэн хэдий ч дурын параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо байдаггүй.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дараахь томъёог хэрэглэнэ.

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V нь зургийн эзэлхүүн;
• Sb - хажуугийн гадаргуугийн талбай;
• Sp - талбай бүрэн гадаргуу;
• a - урт;
• b - өргөн;
• в - өндөр.

Бүх тал нь дөрвөлжин хэлбэртэй параллелепипедийн өөр нэг онцгой тохиолдол бол шоо юм. Хэрэв дөрвөлжингийн аль нэг талыг a үсгээр тэмдэглэсэн бол энэ зургийн гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүний хувьд дараахь томъёог ашиглаж болно.

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- зургийн талбай,
• V нь зургийн эзэлхүүн,
• a нь дүрсийн нүүрний урт юм.

Бидний авч үзэж байгаа хамгийн сүүлийн төрлийн параллелепипед бол шулуун параллелепипед юм. Баруун параллелепипед ба куб хэлбэрийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ гэж та асууж байна. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн суурь нь ямар ч параллелограмм байж болох ч шулуун параллелепипедийн суурь нь зөвхөн тэгш өнцөгт байж болно. Бүх талын уртын нийлбэртэй тэнцүү суурийн периметрийг По гэж тэмдэглэж, өндрийг h үсгээр тэмдэглэвэл бид ашиглах эрхтэй. дараах томъёонуудбүтэн ба хажуугийн гадаргуугийн эзэлхүүн ба талбайг тооцоолох.

Энэ хичээлээр хүн бүр сэдвийг судлах боломжтой болно " Тэгш өнцөгт параллелепипед" Хичээлийн эхэнд бид дурын ба шулуун параллелепипед гэж юу болохыг давтаж, тэдгээрийн эсрэг талын нүүр ба параллелепипедийн диагональуудын шинж чанарыг санах болно. Дараа нь кубоид гэж юу болохыг судалж, түүний үндсэн шинж чанаруудын талаар ярилцах болно.

Сэдэв: Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр байдал

Хичээл: Кубоид

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 хоёр тэнцүү параллелограмм ба ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 дөрвөн параллелограммаас бүрдэх гадаргууг гэнэ. параллелепипед(Зураг 1).

Цагаан будаа. 1 Параллелепипед

Энэ нь: бидэнд ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 (суурь) гэсэн хоёр тэнцүү параллелограммууд байна. зэрэгцээ хавтгайнуудТэгэхээр хажуугийн хавирга AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 нь зэрэгцээ байна. Тиймээс параллелограммуудаас бүрдэх гадаргууг гэж нэрлэдэг параллелепипед.

Тиймээс параллелепипедийн гадаргуу нь параллелепипедийг бүрдүүлдэг бүх параллелограммын нийлбэр юм.

1. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.

(дүрсүүд нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг давхцуулж нэгтгэж болно)

Жишээлбэл:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( тэнцүү параллелограммууд a-priory),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ба DD 1 C 1 C-аас хойш - эсрэг талын нүүр царайпараллелепипед),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D ба BB 1 C 1 C нь параллелепипедийн эсрэг талын нүүр тул).

2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцдог ба энэ цэгээр хуваагдана.

Параллелепипедийн диагональ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B нь нэг O цэгт огтлолцох ба диагональ бүрийг энэ цэгээр хагасаар хуваана (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2 Параллелепипедийн диагональууд огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хагасаар хуваагдана.

3. Параллелепипедийн гурван дөрвөлжин тэнцүү ба зэрэгцээ ирмэгүүд байдаг: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал параллелепипедийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн ирмэг AA 1 нь сууринд перпендикуляр байх ёстой (Зураг 3). Энэ нь AA 1 шулуун нь суурийн хавтгайд байрлах AD ба AB шулуун шугамуудад перпендикуляр байна гэсэн үг юм. Энэ нь хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгтийг агуулдаг гэсэн үг юм. Мөн суурь нь дурын параллелограммуудыг агуулдаг. ∠BAD = φ гэж тэмдэглэе, φ өнцөг нь дурын байж болно.

Цагаан будаа. 3 Баруун параллелепипед

Тиймээс баруун параллелепипед нь хажуугийн ирмэгүүд нь параллелепипедийн суурьтай перпендикуляр байрладаг параллелепипед юм.

Тодорхойлолт. Параллелепипедийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал. Суурь нь тэгш өнцөгт юм.

Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 тэгш өнцөгт хэлбэртэй (Зураг 4), хэрэв:

1. AA 1 ⊥ ABCD (суурийн хавтгайд перпендикуляр хажуугийн ирмэг, өөрөөр хэлбэл шулуун параллелепипед).

2. ∠BAD = 90°, өөрөөр хэлбэл суурь нь тэгш өнцөгт байна.

Цагаан будаа. 4 Тэгш өнцөгт параллелепипед

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь дурын параллелепипедийн бүх шинж чанартай байдаг.Гэхдээ кубоидын тодорхойлолтоос үүдэлтэй нэмэлт шинж чанарууд байдаг.

Тэгэхээр, куб хэлбэртэйхажуу ирмэг нь сууринд перпендикуляр байрладаг параллелепипед юм. Кубоидын суурь нь тэгш өнцөгт юм.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн зургаан нүүр бүгд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 нь тодорхойлолтоор тэгш өнцөгт юм.

2. Хажуугийн хавирга нь суурьтай перпендикуляр байдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хоёр өнцөгт өнцөг зөв байна.

Жишээлбэл, AB ирмэгтэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн хоёр талт өнцгийг, өөрөөр хэлбэл ABC 1 ба ABC хавтгайн хоорондох хоёр талт өнцгийг авч үзье.

AB нь ирмэг бөгөөд A 1 цэг нь нэг хавтгайд - ABB 1 хавтгайд, нөгөө нь D цэг нь A 1 B 1 C 1 D 1 хавтгайд байрладаг. Дараа нь авч үзэж буй хоёр өнцөгт өнцгийг мөн дараах байдлаар тэмдэглэж болно: ∠A 1 ABD.

AB ирмэг дээрх А цэгийг авъя. AA 1 - АВВ-1 хавтгайд AB ирмэгтэй перпендикуляр, AD дахь AB ирмэгтэй перпендикуляр ABC онгоц. Тиймээс, ∠А 1 МЭ - шугаман өнцөгөгөгдсөн хоёр талт өнцөг. ∠A 1 AD = 90°, энэ нь AB ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг 90° байна гэсэн үг.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгт параллелепипедийн аль ч хоёр талт өнцөг нь зөв болох нь батлагдсан.

Кубоидын квадрат диагональ нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний гурван хэмжээст квадратууд.

Анхаарна уу. Кубоидын нэг оройноос гарах гурван ирмэгийн урт нь куб хэлбэрийн хэмжүүр юм. Тэдгээрийг заримдаа урт, өргөн, өндөр гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - тэгш өнцөгт параллелепипед (Зураг 5).

Нотлох: .

Цагаан будаа. 5 Тэгш өнцөгт параллелепипед

Нотолгоо:

CC 1 шулуун шугам нь ABC хавтгайд перпендикуляр, тиймээс AC шулуун шугамтай. Энэ нь CC 1 A гурвалжин тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Пифагорын теоремын дагуу:

Ингээд авч үзье зөв гурвалжин ABC. Пифагорын теоремын дагуу:

Харин BC ба AD нь тэгш өнцөгтийн эсрэг тал юм. Тэгэхээр BC = AD. Дараа нь:

Учир нь , А , Тэр. CC 1 = AA 1 тул үүнийг батлах шаардлагатай.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд тэнцүү байна.

ABC параллелепипедийн хэмжээсийг a, b, c (6-р зургийг үз), дараа нь AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 = гэж тэмдэглэе.

Эсвэл (тэнцүү) зургаан нүүртэй олон талт, тэдгээр нь тус бүр нь - параллелограмм.

Параллелепипедийн төрлүүд

Хэд хэдэн төрлийн параллелепипедүүд байдаг:

• Кубоид бол бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипед юм.
• Баруун параллелепипед нь 4 тал нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипед юм.
• Налуу параллелепипед нь хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр биш параллелепипед юм.

Чухал элементүүд

Параллелепипедийн нийтлэг ирмэггүй хоёр нүүрийг эсрэг талын, нийтлэг ирмэгтэйг нь зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй параллелепипедийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Холбогч сегмент эсрэг талын оройнууд, параллелепипедийн диагональ гэж нэрлэдэг. Гурван урттэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгүүд нийтлэг дээд, үүнийг хэмжилт гэж нэрлэнэ.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Параллелепипед нь диагональынхаа дунд тэгш хэмтэй байна.
• Параллелепипедийн гадаргууд хамаарах төгсгөлүүдтэй, диагональ дундуур нь дамждаг аливаа сегментийг хагасаар нь хуваана; ялангуяа параллелепипедийн бүх диагональууд нэг цэгт огтлолцож, түүгээр хуваагдана.
• Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.
• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ уртын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үндсэн томъёо

Баруун параллелепипед

Хажуугийн гадаргуугийн талбай S b =P o *h, P o нь суурийн периметр, h нь өндөр

Нийт гадаргуугийн талбай S p =S b +2S o, S o нь суурийн талбай

Эзлэхүүн V=S o *h

Тэгш өнцөгт параллелепипед

Хажуугийн гадаргуугийн талбай S b =2c(a+b), энд a, b нь суурийн талууд, c нь тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуугийн ирмэг юм.

Нийт гадаргуугийн талбай S p =2(ab+bc+ac)

Эзлэхүүн V=abc, энд a, b, c нь тэгш өнцөгт параллелепипедийн хэмжээс юм.

Шоо

Гадаргуугийн талбай: $S=6a^2$
Эзлэхүүн: $V=a^3$, Хаана $а$- шоо дөрвөлжин ирмэг.

Аливаа параллелепипед

Эзлэхүүн ба харьцаа налуу параллелепипедихэвчлэн вектор алгебр ашиглан тодорхойлогддог. Параллелепипедийн эзэлхүүн нь холимог бүтээгдэхүүний үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна гурван вектор, нэг оройноос гарч буй параллелепипедийн гурван талаас тодорхойлогддог. Параллелепипедийн талуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн хамаарал нь заасан гурван векторын Грам тодорхойлогч болохыг харуулж байна. квадраттай тэнцүүтэдний холимог бүтээгдэхүүн :215 .

Математик шинжилгээнд

IN математик шинжилгээ n хэмжээст кубоидын доор $Б$олон зүйлийг ойлгох $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$төрлийн $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"Параллелепипед" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй

Тэмдэглэл

Холбоосууд

Параллелепипедийг тодорхойлсон ишлэл

Тодорхойлолт

Олон өнцөгтБид олон өнцөгтөөс бүрдэх, орон зайн тодорхой хэсгийг хязгаарлаж буй битүү гадаргууг нэрлэх болно.

Эдгээр олон өнцөгтүүдийн талууд болох сегментүүдийг нэрлэдэг хавиргаолон өнцөгт, олон өнцөгтүүд нь өөрөө байна ирмэгүүд. Олон өнцөгтийн оройг олон өнцөгт орой гэж нэрлэдэг.

Бид зөвхөн гүдгэр олон өнцөгтийг авч үзэх болно (энэ нь нүүрээ агуулсан хавтгай бүрийн нэг талд байрладаг полиэдр юм).

Олон өнцөгтийг бүрдүүлдэг олон өнцөгтүүд нь түүний гадаргууг бүрдүүлдэг. Өгөгдсөн олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан орон зайн хэсгийг түүний дотоод хэсэг гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт: призм

Хоёрыг авч үзье тэнцүү олон өнцөгт\(A_1A_2A_3...A_n\) ба \(B_1B_2B_3...B_n\) зэрэгцээ хавтгайд байрладаг тул сегментүүд нь \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)Зэрэгцээ. \(A_1A_2A_3...A_n\) ба \(B_1B_2B_3...B_n\) олон өнцөгт, түүнчлэн параллелограммуудаас үүссэн олон өнцөгт. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), (\(n\)-гональ) гэж нэрлэдэг призм.

\(A_1A_2A_3...A_n\) ба \(B_1B_2B_3...B_n\) олон өнцөгтүүдийг призмийн суурь, параллелограмм гэж нэрлэдэг. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- хажуугийн нүүр, сегмент \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- хажуугийн хавирга.
Тиймээс призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо параллель, тэнцүү байна.

Призмийг жишээ болгон авч үзье \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), түүний сууринд гүдгэр таван өнцөгт байрладаг.

ӨндөрПризм нь нэг суурийн аль ч цэгээс нөгөө суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр юм.

Хэрэв хажуугийн ирмэг нь суурьтай перпендикуляр биш бол ийм призмийг дуудна налуу(Зураг 1), эс бөгөөс – Чигээрээ. Шулуун призм дээр хажуугийн ирмэгүүд нь өндөр, хажуугийн нүүрнүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд юм.

Шулуун призмийн суурь нь хэвтэж байвал ердийн олон өнцөгт, дараа нь призмийг дуудна зөв.

Тодорхойлолт: эзлэхүүний тухай ойлголт

Эзлэхүүний хэмжилтийн нэгж нь нэгж шоо (хэмжих \(1\times1\times1\) нэгж\(^3\), нэгж нь тодорхой хэмжих нэгж юм).

Олон өнцөгтийн эзэлхүүн нь энэ олон өнцөгтийн хязгаарласан орон зайн хэмжээ гэж бид хэлж чадна. Үгүй бол: энэ бол тоо хэмжээ тоон утгаЭнэ нь нэгж шоо болон түүний хэсгүүд нь өгөгдсөн олон өнцөгт дотор хэдэн удаа багтаж байгааг харуулдаг.

Эзлэхүүн нь талбайтай ижил шинж чанартай:

1. Ижил дүрсүүдийн эзэлхүүн тэнцүү байна.

2. Хэрвээ олон өнцөгт нь огтлолцдоггүй хэд хэдэн олон өнцөгтүүдээс тогтсон бол түүний эзэлхүүн нь эдгээр олон өнцөгтүүдийн эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

3. Эзлэхүүн нь сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм.

4. Эзлэхүүнийг см-ээр хэмждэг\(^3\) ( шоо см), м\(^3\) ( Куб метр) гэх мэт.

Теорем

1. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Хажуугийн гадаргуугийн талбай нь призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр юм.

2. Призмийн эзэлхүүн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаПризмийн өндөрт ногдох суурийн талбай: \

Тодорхойлолт: параллелепипед

Параллелепипедсуурь нь параллелограммтай призм юм.

Параллелепипедийн бүх нүүр (\(6\): \(4\) хажуугийн нүүр ба \(2\) суурь нь параллелограмм, эсрэг талын нүүр (бие биетэйгээ параллель) тэнцүү параллелограмм байна (Зураг 2) .

Параллелепипедийн диагональЭнэ нь параллелепипедийн нэг нүүрэн дээр байрладаггүй хоёр оройг холбосон сегмент юм (тэдгээрийн \(8\) байдаг: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)гэх мэт).

Тэгш өнцөгт параллелепипедсуурь нь тэгш өнцөгттэй тэгш өнцөгт параллелепипед юм.
Учир нь Энэ нь зөв параллелепипед тул хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Энэ нь ерөнхийдөө тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх диагональууд тэнцүү байна (энэ нь гурвалжны тэгш байдлаас үүдэлтэй) \(\гурвалжин ACC_1=\гурвалжин AA_1C=\гурвалжин BDD_1=\гурвалжин BB_1D\)гэх мэт).

Сэтгэгдэл

Тиймээс параллелепипед нь призмийн бүх шинж чанартай байдаг.

Теорем

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь \

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн нийт гадаргуугийн талбай нь \

Теорем

Кубоидын эзэлхүүн нь түүний нэг оройноос гарч буй гурван ирмэгийн үржвэртэй тэнцүү байна (кубоидын гурван хэмжээс): \

Баталгаа

Учир нь Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуугийн ирмэгүүд нь сууринд перпендикуляр байдаг бол тэдгээр нь мөн түүний өндөр, өөрөөр хэлбэл \(h=AA_1=c\) Учир нь суурь нь тэгш өнцөгт, тэгвэл \(S_(\текст(үндсэн))=AB\cdot AD=ab\). Эндээс л энэ томъёо гарч ирдэг.

Теорем

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ \(d\)-ийг томъёогоор олно (үүнд \(a,b,c\) нь параллелепипедийн хэмжээсүүд) \

Баталгаа

Зураг руу харцгаая. 3. Учир нь суурь нь тэгш өнцөгт, тэгвэл \(\гурвалжин ABD\) тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул Пифагорын теоремоор \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Учир нь бүх хажуугийн ирмэг нь суурийн перпендикуляр, дараа нь \(BB_1\perp (ABC) \Баруун сум BB_1\)Энэ хавтгай дахь дурын шулуун шугамд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл. \(BB_1\perp BD\) . Энэ нь \(\гурвалжин BB_1D\) тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг. Дараа нь Пифагорын теоремоор \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Тодорхойлолт: шоо

Шоонь тэгш өнцөгт параллелепипед бөгөөд бүх нүүр нь тэнцүү квадратууд юм.

Тиймээс гурван хэмжээс нь хоорондоо тэнцүү байна: \(a=b=c\) . Тиймээс дараах зүйлс үнэн юм

Теоремууд

1. \(a\) ирмэгтэй кубын эзэлхүүн нь \(V_(\text(шоо))=a^3\) -тэй тэнцүү байна.

2. Кубын диагональыг \(d=a\sqrt3\) томъёогоор олно.

3. Кубын нийт гадаргуугийн талбай \(S_(\текст(бүтэн шоо))=6a^2\).