Олонлог хаалттай гэдгийг хэрхэн батлах вэ. Хаалттай ба нээлттэй багц

Цэгийн олонлогын онолын нэг гол ажил бол шинж чанарыг судлах явдал юм янз бүрийн төрөлцэгийн багцууд. Энэ онолтой хоёр жишээн дээр танилцаж, хаалттай ба нээлттэй олонлогийн шинж чанарыг судалцгаая.

Бүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлогийг хаалттай гэж нэрлэдэг. Хэрэв багцад нэг хязгаарын цэг байхгүй бол түүнийг мөн хаалттай гэж үзнэ. Хаалттай багц нь хязгаарын цэгүүдээс гадна тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулж болно. Цэг бүр нь түүний дотор байгаа олонлогийг нээлттэй гэж нэрлэдэг.

Битүү болон нээлттэй багцуудын жишээг өгье.  сегмент бүр нь хаалттай олонлог бөгөөд $(a,b)$ интервал бүр нь нээлттэй олонлог юм. Буруу хагас интервалууд $(-\infty,b]$ ба  , олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй $F$ ба $a=-\infty$ эсвэл $a\in) F$ . Now it is clear that the interval $(a,b)$ contains the point $x$ and is an adjacent interval of the set $F$ It is easy to see that if $ (a_1,b_1)$ ба $(a_2,b_2)$ нь $F$ олонлогийн зэргэлдээх хоёр интервал бөгөөд эдгээр интервалууд нь давхцах эсвэл огтлолцохгүй.

Өмнөхөөс харахад шугам дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамаас тодорхой тооны интервалууд, тухайлбал олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг хасснаар олж авдаг $F$ . Интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулж, шугаман дээрх бүх рационал цэгүүдийн тоолж болох олонлог байдаг тул зэргэлдээх бүх интервалуудын тоог дээд тал нь тоолох боломжтой эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид олонлогийг шугамаас хассанаар олж авна.

4-р саналын дагуу шугам дээрх нээлттэй олонлог бүр нь салангид интервалуудын тоолж болох нийлбэрээс өөр зүйл биш гэдгийг шууд харуулж байна. 1 ба 2-р саналын дагуу дээр дурдсанчлан зохион байгуулагдсан аливаа багц нь үнэхээр хаалттай (нээлттэй) байх нь тодорхой байна.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Cantor төгс иж бүрдэл

Цувралтай нэг тусгай хаалттай багц байгуулцгаая гайхалтай шинж чанарууд. Юуны өмнө мөрнөөс $(-\infty,0)$ болон $(1,+\infty)$ зохисгүй интервалуудыг хасъя. Энэ үйлдлийн дараа бид сегменттэй үлдэх болно  . Дараа нь энэ сегментээс интервалыг хас $\зүүн(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\баруун)$, дунд гуравны нэгийг эзэлж байна. Үлдсэн хоёр сегмент бүрээс $\зүүн$Тэгээд $\зүүн[\frac(2)(3),1\баруун]$Түүний дунд гуравны нэгийг хасъя. Бид үлдсэн сегментүүдээс дундын гуравны нэгийг хасах энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлнэ. Эдгээр бүх интервалыг арилгасны дараа үлдсэн шугам дээрх цэгүүдийн багцыг Cantor perfect set гэж нэрлэдэг; бид үүнийг үсгээр тэмдэглэнэ $P$ .

Энэ багцын зарим шинж чанарыг авч үзье. $P$ олонлог нь салангид интервалуудын тодорхой багцыг шугамаас хасснаар үүссэн тул хаалттай байна. $P$ багц хоосон биш байна; ямар ч тохиолдолд энэ нь бүх хаягдсан интервалуудын төгсгөлийг агуулна.

Хаалттай олонлог $P$ гэж нэрлэгддэг төгс, хэрэв энэ нь тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулаагүй бол, өөрөөр хэлбэл түүний цэг бүр хязгаарын цэг байвал. $P$ олонлог төгс болохыг харуулъя. Үнэхээр ч $x$ цэг байсан бол тусгаарлагдсан цэг$P$ олонлог бол энэ олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервалын нийтлэг төгсгөл болж үйлчилнэ. Гэхдээ барилгын дагуу $P$ багцын зэргэлдээх интервалууд нь нийтлэг төгсгөлгүй байдаг.

$P$ багц нь нэг интервал агуулаагүй. Үнэн хэрэгтээ $\дельта$ ямар нэг интервал нь $P$ олонлогт бүрэн харьяалагдана гэж үзье. Дараа нь энэ нь бүхэлдээ $P$ багцыг бүтээх $n$ -р шатанд олж авсан сегментүүдийн аль нэгэнд хамаарна. Гэхдээ энэ боломжгүй, учир нь $n\to\infty$ үед эдгээр сегментүүдийн урт тэг болох хандлагатай байдаг.

$P$ олонлог нь тасралтгүй байдлын үндсэн шинж чанартай болохыг харуулж болно. Тодруулбал, Cantor perfect багц нь зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлөөс гадна бусад цэгүүдийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлүүд нь зөвхөн тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг.

Математикийн янз бүрийн салбаруудад янз бүрийн төрлийн цэгийн багцууд байнга тулгардаг бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг мэдэх нь олон зүйлийг судлахад зайлшгүй шаардлагатай байдаг. математикийн асуудлууд. Ялангуяа их ач холбогдолнь цэг багцын онолтой математик шинжилгээба топологи.

Шинжилгээний сонгодог хэсгүүдэд цэгийн олонлог харагдах хэд хэдэн жишээг өгье. $f(x)$ нь  интервал дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц байг. $\альфа$ тоог засаад $f(x)\geqslant\alpha$ болох $x$ цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ багц нь дур зоргоороо байж болохыг харуулахад хялбар байдаг хаалттай багц, сегмент дээр байрладаг  . Үүний нэгэн адил, $f(x)>\alpha$ нь ямар ч нээлттэй олонлог байж болох $x$ цэгүүдийн багц $G\ дэд олонлог$ . Хэрэв $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots$дараалал байдаг тасралтгүй функцууд, сегмент дээр өгөгдсөн , дараа нь энэ дараалал нийлдэг $x$ цэгүүдийн олонлог нь дур зоргоороо байж болохгүй, гэхдээ маш тодорхой төрөлд хамаарна.

Цэгийн олонлогийн бүтцийг судалдаг математикийн салбарыг нэрлэдэг дүрслэх олонлогын онол. Дүрслэх олонлогын онолыг хөгжүүлэхэд маш том ололт амжилтууд хамаарна Зөвлөлтийн математикчид- Н.Н.Лузин ба түүний шавь нар П.С.Александров, М.Я.Суслин, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, П.С.Новиков, Л.В.Келдыш, А.А.Ляпунов гэх мэт.

Н.Н.Лузин болон түүний шавь нарын хийсэн судалгаагаар дүрслэх олонлогын онол ба түүний хооронд гүн гүнзгий холбоо байдгийг харуулсан математик логик. Дүрслэх олонлогийн онолын хэд хэдэн асуудлыг (ялангуяа тодорхой олонлогийн үндсэн байдлыг тодорхойлох асуудлууд) авч үзэхэд гарч ирдэг бэрхшээлүүд нь логик шинж чанартай хүндрэлүүд юм. Эсрэгээр нь аргууд математик логикдүрслэх олонлогын онолын зарим асуултад илүү гүнзгий нэвтрэх боломжийг бидэнд олгоно.

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!

Нээлттэй ба хаалттай багц

Хавсралт 1 . Нээлттэй ба хаалттай багц

Цөөн хэдэн Мшулуун шугам дээр гэж нэрлэдэг нээлттэй, хэрэв түүний цэг бүр тодорхой интервалын хамт энэ багцад агуулагдаж байвал. Хаалттайбүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлогийг (өөрөөр хэлбэл, энэ цэгийг агуулсан аливаа интервал нь олонлогийг дор хаяж нэг цэгээр огтолж байхаар) гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, сегмент нь хаалттай олонлог боловч нээлттэй биш, харин интервал нь эсрэгээрээ нээлттэй олонлог боловч хаалттай биш юм. Нээлттэй ч биш, хаалттай ч биш багцууд байдаг (жишээлбэл, хагас интервал). Хаалттай, нээлттэй хоёр багц байдаг - энэ нь хоосон, тэгээд л болоо З(бусад байхгүй гэдгийг батлах). Үүнийг харахад амархан Мнээх, дараа нь [` М] (эсвэл З \ М- багцад нэмэлт Мөмнө З) хаалттай байна. Үнэхээр, хэрэв [` М] хаалттай биш, тэгвэл энэ нь өөрийн гэсэн хязгаарын цэгийг агуулаагүй болно м. Харин дараа нь мТУХАЙ М, мөн интервал бүрийг агуулна м, [` олонлогтой огтлолцоно М], өөрөөр хэлбэл худал хэлэхгүй байх санаатай М, мөн энэ нь гэсэн баримттай зөрчилдөж байна М- нээлттэй. Үүний нэгэн адил, мөн шууд тодорхойлолтоос, энэ нь нотлогдсон байна уу Мхаагдсан бол [` М] нээх (шалгах!).

Одоо бид дараах чухал теоремыг батлах болно.

Теорем. Аливаа нээлттэй багц Моновчтой төгсгөлүүдтэй (өөрөөр хэлбэл оновчтой цэгүүдийн төгсгөлүүдтэй) интервалуудын нэгдэл хэлбэрээр төлөөлж болно.

Баталгаа . Холбоог бодоорой УМанай олонлогийн дэд олонлогууд болох оновчтой төгсгөл бүхий бүх интервалууд. Энэ нэгдэл нь бүхэл бүтэн багцтай давхцаж байгааг баталцгаая. Үнэхээр, хэрэв м- зарим цэгээс М, дараа нь интервал байна ( м 1 , м 2) М Магуулсан м(энэ нь үүнээс үүдэлтэй М- нээлттэй). Ямар ч интервал дээр та оновчтой цэгийг олох боломжтой. үргэлжлүүлье ( м 1 , м) - Энэ м 3, дээр ( м, м 2) - энэ бол м 4 . Дараа нь зааж өгнө үү мэвлэлд хамрагдана У, тухайлбал, интервал ( м 3 , м 4). Тиймээс бид оноо бүрийг нотолсон м-аас Мэвлэлд хамрагдана У. Үүнээс гадна, энэ нь мэдээжийн хэрэг барилгын дараах байдлаар У, агуулаагүй цэг байхгүй М, хамрагдаагүй У. гэсэн үг, УТэгээд Мтаарах.

Энэ теоремын чухал үр дагавар нь аливаа нээлттэй олонлог байдаг тоолох боломжтойинтервалуудыг нэгтгэх.

Хаана ч байхгүй нягт олонлогууд болон хэмжүүрүүд тэг. Кантор багц>

Хавсралт 2 . Хаана ч байхгүй нягт олонлогууд болон хэмжүүрүүд тэг. Канторын багц

Цөөн хэдэн Адуудсан хаана ч өтгөн биш, хэрэв ямар нэгэн өөр цэгийн хувьд аТэгээд бхэсэг байна [ в, г] М [ а, б], огтлолцохгүй А. Жишээлбэл, дараалсан цэгүүдийн багц а n = [ 1/(n)] нь хаана ч нягт биш, харин багц юм рационал тоо- Үгүй.

Байрын теорем. Сегментийг хаана ч байхгүй нягт олонлогуудын тоолж болох нэгдэл хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй.

Баталгаа . Дараалал байна гэж бодъё А кхаана ч ийм өтгөн багц And би А би = [а, б]. Дараах сегментүүдийн дарааллыг байгуулъя. Болъё I 1 – зарим сегментийг [-д суулгасан а, б] ба огтлолцдоггүй А 1 . Тодорхойлолтоор бол интервал дээр хаана ч байхгүй нягт олонлог I 1 олонлогтой огтлолцдоггүй сегмент байна А 2. Түүнийг дуудъя I 2. Цаашилбал, сегмент дээр I 2, ижил төстэй сегментийг авна I 3, огтлолцоогүй А 3 гэх мэт дараалал I күүрлэсэн сегментүүд байдаг нийтлэг цэг(энэ бол үндсэн шинж чанаруудын нэг юм бодит тоо). Барилгын хувьд энэ цэг нь аль ч багцад ороогүй болно А к, энэ нь эдгээр багц нь сегментийг бүхэлд нь хамардаггүй гэсэн үг юм [ а, б].

Багцыг дуудъя М 0 хэмжигдэхүүнтэй, хэрэв ямар нэгэн эерэг e хувьд дараалал байна I книйт урт e-ээс бага интервалууд, хамрах М. Аливаа тоолж болох олонлог нь тэг хэмжигдэхүүнтэй байх нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч 0 хэмжигдэхүүнтэй тоолж баршгүй олонлогууд бас байдаг. Канторын нэртэй маш алдартай нэгийг байгуулъя.

Цагаан будаа. арван нэгэн

Хэсэг авч үзье. Үүнийг гурван тэнцүү хэсэгт хуваая. Дунд сегментийг хаяцгаая (Зураг 11, А). Нийт урттай хоёр сегмент байх болно [2/3]. Бид тус бүртэй яг ижил үйлдлийг гүйцэтгэх болно (Зураг 11, б). Нийт урт [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 байх дөрвөн сегмент үлдэх болно. Ингэж үргэлжлүүлбэл (Зураг 11, В–д) хязгааргүй хүртэл бид урьдчилан тогтоосон эерэг хэмжигдэхүүнээс бага хэмжигдэхүүнтэй, өөрөөр хэлбэл тэг хэмжигдэхүүнийг авдаг. Энэ олонлогийн цэгүүд болон тэг ба нэгүүдийн хязгааргүй дарааллын хооронд нэгийг харьцах харьцааг тогтоох боломжтой. Хэрэв эхний "хаях" үед бидний цэг баруун сегмент рүү орвол дарааллын эхэнд 1, зүүн талд 0 байвал (Зураг 11, А). Дараа нь, эхний "хаях" -ын дараа бид том сегментийн жижиг хуулбарыг авдаг бөгөөд үүнтэй ижил зүйлийг хийдэг: хэрэв шидсэний дараа бидний оноо баруун сегмент рүү орвол 1, зүүн талд байвал 0, гэх мэт (нэг хүний харилцааг шалгана уу) , будаа. арван нэгэн, б, В. Тэг ба нэгийн дарааллын олонлог нь үндсэн континуумтай байдаг тул Кантор олонлогт мөн үндсэн үргэлжлэл байдаг. Түүнээс гадна, энэ нь хаана ч нягт биш гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ нь хатуу хэмжүүр тэгтэй байдаг нь худлаа (хатуу хэмжүүрийн тодорхойлолтыг үзнэ үү). Энэ баримтыг нотлох санаа нь дараах байдалтай байна: дарааллыг аваарай а n, маш хурдан тэг рүү тэмүүлдэг. Жишээлбэл, дараалал а n = [ 1/(2 2 n)]. Дараа нь бид энэ дараалал нь Cantor багцыг хамарч чадахгүй гэдгийг батлах болно (үүнийг хий!).

Хавсралт 3 . Даалгаврууд

Үйлдлүүдийг тохируулах

Багцууд АТэгээд Бгэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв олонлогийн элемент бүр Абагцад хамаарна Б, мөн эсрэгээр. Зориулалт: А = Б.

Цөөн хэдэн Адуудсан дэд олонлогбагц Б, хэрэв олонлогийн элемент бүр Абагцад хамаарна Б. Зориулалт: АМ Б.

1. Дараах хоёр багц бүрийн хувьд нэг нь нөгөөгийнхөө дэд олонлог мөн эсэхийг заана уу:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Олонлог гэдгийг батал Ахэрэв зөвхөн тухайн олонлогийн дэд олонлог бол Б, элемент бүр хамаарахгүй үед Б, хамаарахгүй А.

3. Үүнийг дурын олонлогуудын хувьд батал А, БТэгээд C

A) АМ А; б) хэрэв АМ БТэгээд БМ C, Тэр АМ C;

V) А = Б, хэрэв зөвхөн хэрэв л бол АМ БТэгээд БМ А.

багц гэж нэрлэдэг хоосон, хэрэв энэ нь ямар ч элемент агуулаагүй бол. Тэмдэглэл: Ф.

4. Дараах багц бүр хэдэн элементтэй вэ:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. Гурван элементийн олонлог хэдэн дэд олонлогтой вэ?

6. Олонлог яг a) 0-тэй байж чадах уу; б*) 7; в) 16 дэд бүлэг?

Холбообагц АТэгээд Б x, Юу xТУХАЙ Аэсвэл xТУХАЙ Б. Зориулалт: АБА Б.

хөндлөн гарах замаарбагц АТэгээд Биймээс бүрдсэн олонлог гэж нэрлэдэг x, Юу xТУХАЙ АТэгээд xТУХАЙ Б. Зориулалт: АЗ Б.

Ялгаагаарбагц АТэгээд Биймээс бүрдсэн олонлог гэж нэрлэдэг x, Юу xТУХАЙ АТэгээд xП Б. Зориулалт: А \ Б.

7. Өгөгдсөн багц А = {1,3,7,137}, Б = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, Д= (0,7,23,1998). Багцуудыг олох:

A) АБА Б;	б) АЗ Б;	V) ( АЗ Б) БОЛОН Д;
G) C Z ( ДЗ Б);	г) ( АБА Б)Z ( CБА Д);	д) ( АБА ( БЗ C))З Д;
болон) ( CЗ А) БОЛОН (( АБА ( CЗ Д))З Б);	h) ( АБА Б) \ (CЗ Д);	Тэгээд) А \ (Б \ (C \ Д));
Хэнд) (( А \ (ББА Д)) \ C) БОЛОН Б.

8. Болъё Атэгш тоонуудын олонлог юм, ба Б– 3-т хуваагдах тооны олонлог. Ол АЗ Б.

9. Үүнийг ямар ч багцын хувьд нотлох А, Б, C

A) АБА Б = ББА А, АЗ Б = БЗ А;

б) АБА ( ББА C) = (АБА Б) БОЛОН C, А Z ( БЗ C) = (АЗ Б)З C;

V) А Z ( ББА C) = (АЗ Б) БОЛОН ( АЗ C), АБА ( БЗ C) = (АБА Б)Z ( АБА C);

G) А \ (ББА C) = (А \ Б)Z ( А \ C), А \ (БЗ C) = (А \ Б) БОЛОН ( А \ C).

10. Энэ нь ямар ч багцын хувьд үнэн үү А, Б, C

A) А Z ZH = F, А I F = А;	б) АБА А = А, АЗ А = А;	V) АЗ Б = АЮ АМ Б;
G) ( А \ Б) БОЛОН Б = А; 7 г) А \ (А \ Б) = АЗ Б;	д) А \ (Б \ C) = (А \ Б) БОЛОН ( АЗ C);
болон) ( А \ Б) БОЛОН ( Б \ А) = АБА Б?

Зураглалыг тохируулах

Хэрэв элемент бүр xбагц Xяг нэг элемент таарч байна е(x) багц Ю, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг харуулах еолон хүнээс Xолны дунд Ю. Үүний зэрэгцээ, хэрэв е(x) = y, дараа нь элемент yдуудсан арга замбүрэлдэхүүн xхаруулах үед е, болон элемент xдуудсан прототипбүрэлдэхүүн yхаруулах үед е. Зориулалт: е: X ® Ю.

11. Олонлогоос (7,8,9) олонлог (0,1) хүртэлх бүх боломжит зураглалыг зур.

Болъё е: X ® Ю, yТУХАЙ Ю, АМ X, БМ Ю. Элементийн бүрэн прототип y харуулах үед еолонлог гэж нэрлэдэг ( xТУХАЙ X | е(x) = y). Зориулалт: е - 1 (y). Олон түмний дүр төрхөөр АМ X харуулах үед еолонлог гэж нэрлэдэг ( е(x) | xТУХАЙ А). Зориулалт: е(А). Багцын прототип БМ Ю олонлог гэж нэрлэдэг ( xТУХАЙ X | е(x) ТУХАЙ Б). Зориулалт: е - 1 (Б).

12. Үзүүлэхийн тулд е: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), зургаар өгөгдсөн, ол е({0,3}), е({1,3,4}), е - 1 (2), е - 1 ({2,5}), е - 1 ({5,18}).

a B C)

13. Болъё е: X ® Ю, А 1 , А 2 М X, Б 1 , Б 2 М Ю. Дандаа үнэн юм уу

A) е(X) = Ю;

б) е - 1 (Ю) = X;

V) е(А 1 I А 2) = е(А 1) Мөн е(А 2);

G) е(А 1 Вт А 2) = е(А 1) З е(А 2);

г) е - 1 (Б 1 I Б 2) = е - 1 (Б 1) Мөн е - 1 (Б 2);

д) е - 1 (Б 1 Вт Б 2) = е - 1 (Б 1) З е - 1 (Б 2);

g) хэрэв е(А 1 сая е(А 2), дараа нь А 1 сая А 2 ;

h) хэрэв е - 1 (Б 1 сая е - 1 (Б 2), дараа нь Б 1 сая Б 2 ?

Найрлагазураглал е: X ® ЮТэгээд g: Ю ® Зэлементийг холбосон зураглал гэж нэрлэдэг xбагц Xбүрэлдэхүүн g(е(x)) багц З. Зориулалт: g° е.

14. Дурын зураглалын хувьд үүнийг батална уу е: X ® Ю, g: Ю ® ЗТэгээд h: З ® Вдараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. h° ( g° е) = (h° g)° е.

15. Болъё е: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – зурагт үзүүлсэн зураглал:

е: g: h:

Дараах дэлгэцийн зургийг зур.

A) g° е; б) h° g; V) е° h° g; G) g° h° е.

Дэлгэц е: X ® Юдуудсан хоёрдмол утгатай, хэрэв тус бүрийн хувьд yТУХАЙ Юяг нэг байна xТУХАЙ Xтиймэрхүү е(x) = y.

16. Болъё е: X ® Ю, g: Ю ® З. гэж үнэн үү еТэгээд gтэгвэл хоёрдмол утгатай g° ехоёрдмол утгаар?

17. Болъё е: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – зурагт үзүүлсэн зураглал:

18. Дараах хоёр багц тус бүрд эхнийхээс хоёр дахь бүлэгт хуваагдал байгаа эсэхийг олж мэд (тэг нь натурал тоо гэж үзвэл):

а) олон натурал тоонууд;

б) тэгш натурал тоонуудын багц;

в) 3-гүй натурал тоонуудын багц.

Метрийн орон зайбагц гэж нэрлэдэг Xөгөгдсөн зүйлтэй хэмжүүр r: X× X ® З

1) " x,yТУХАЙ X r( x,y) i 0 ба r ( x,y) = 0 зөвхөн хэрэв байгаа бол x = y (сөрөг бус байдал ); 2) " x,yТУХАЙ X r( x,y) = r ( y,x) (тэгш хэм ); 3) " x,y,zТУХАЙ X r( x,y) + r ( y,z) би r ( x,z) (гурвалжны тэгш бус байдал ). 19 19. X

A) X = З, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = З 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[а,ба,б] функцууд,

Хаана Д

Нээлттэй(тус тус, хаалттай) радиустай бөмбөг rсансарт Xцэг дээр төвлөрсөн xбагц гэж нэрлэдэг У r (x) = {yТУХАЙ x:r ( x,y) < r) (тус тусад нь, Б r (x) = {yТУХАЙ X:r ( x,y) Ј r}).

Дотоод цэгбагц УМ X У

нээлттэй хүрээлэн буй орчинэнэ цэг.

Хязгаарлалтын цэгбагц ФМ X Ф.

хаалттай

20. Үүнийг нотол

21. Үүнийг нотол

б) олонлогийн нэгдэл А богино холбоос А

Дэлгэц е: X ® Юдуудсан Үргэлжилсэн

22.

23. Үүнийг нотол

Ф (x) = inf yТУХАЙ Ф r( x,y

Ф.

24. Болъё е: X ® Ю– . Үүний урвуу үргэлжилсэн гэж үнэн үү?

Тасралтгүй нэгийг харьцах зураглал е: X ® Ю гомеоморфизм. Орон зай X, Югомеоморф.

25.

26. Ямар хосуудад зориулагдсан бэ? X, Ю е: X ® Ю, аль хамт наалддаггүйоноо (жишээ нь. е(x) № е(y) цагт x № y хөрөнгө оруулалт)?

27*. орон нутгийн гомеоморфизм(жишээ нь цэг бүрт xонгоц ба е(x) torus ийм хорооллууд байдаг УТэгээд В, Юу егомеоморфийн газрын зураг Удээр В).

Метрийн орон зай ба тасралтгүй зураглал

Метрийн орон зайбагц гэж нэрлэдэг Xөгөгдсөн зүйлтэй хэмжүүр r: X× X ® З, дараах аксиомуудыг хангана.

A) X = З, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = З 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[а,б] – үргэлжилсэн багц [ дээр а,б] функцууд,

Хаана Д– эх цэг дээр төвтэй нэгж радиустай тойрог.

Дотоод цэгбагц УМ Xагуулагдсан цэг юм Утэгээс өөр радиустай зарим бөмбөгтэй хамт.

Бүх цэгүүд нь дотоод хэсэгтэй олонлогийг нэрлэдэг нээлттэй. агуулсан нээлттэй багц энэ цэг, дуудсан хүрээлэн буй орчинэнэ цэг.

Хязгаарлалтын цэгбагц ФМ Xаль ч хөрш нь олонлогийн хязгааргүй олон цэгийг агуулсан цэг юм Ф.

Бүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлогийг дуудна хаалттай(энэ тодорхойлолтыг Хавсралт 1-д өгсөн тодорхойлолттой харьцуулна уу).

29. Үүнийг нотол

a) олонлог нь түүний нэмэлт хаалттай тохиолдолд л нээлттэй байна;

б) хаалттай олонлогуудын төгсгөлтэй нэгдэл ба тоолж болох огтлолцол хаалттай;

в) нээлттэй олонлогуудын тоолж болох нэгдэл ба төгсгөлтэй огтлолцол нээлттэй байна.

30. Үүнийг нотол

a) аливаа багцын хязгаарын олонлог нь хаалттай олонлог юм;

б) олонлогийн нэгдэл Аба түүний хязгаарын багц ( богино холбоос А) нь хаалттай олонлог юм.

Дэлгэц е: X ® Юдуудсан Үргэлжилсэн, хэрэв нээлттэй олонлог бүрийн урвуу дүрс нээлттэй байвал.

31. Энэ тодорхойлолт нь шугам дээрх функцүүдийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолттой нийцэж байгааг батал.

32. Үүнийг нотол

a) r-г тохируулах зай Ф (x) = inf yТУХАЙ Ф r( x,y) тасралтгүй функц;

б) а) цэг дэх функцийн тэгийн олонлог нь хаалтын цэгтэй давхцаж байна Ф.

33. Болъё е: X ® Ю

Тасралтгүй нэгийг харьцах зураглал е: X ® Ю, урвуу нь мөн тасралтгүй гэж нэрлэдэг гомеоморфизм. Орон зай X, ЮИйм зураглал байгаа , гэж нэрлэдэг гомеоморф.

34. Дараах багцуудын хос бүрийн хувьд гомеоморф эсэхийг тодорхойл.

35. Ямар хосуудад зориулагдсан бэ? X, Юөмнөх асуудлын орон зай байгаа тасралтгүй дэлгэц е: X ® Ю, аль хамт наалддаггүйоноо (жишээ нь. е(x) № е(y) цагт x № y– ийм зураглал гэж нэрлэдэг хөрөнгө оруулалт)?

36*. Онгоцноос торус хүртэлх тасралтгүй зураглалыг гаргаж ирээрэй орон нутгийн гомеоморфизм(жишээ нь цэг бүрт xонгоц ба е(x) torus ийм хорооллууд байдаг УТэгээд В, Юу егомеоморфийн газрын зураг Удээр В).

Бүрэн байдал. Байрын теорем

Болъё X – метрийн орон зай. Дараалал x nтүүний элементүүдийг нэрлэдэг суурь, Хэрэв

" e > 0 $ n " к,м > n r( x к ,x м) < e .

37. Конвергент дараалал нь үндсэн гэдгийг батал. Харин эсрэгээрээ үнэн үү?

Метрийн орон зай гэж нэрлэгддэг бүрэн, хэрэв байгаа бол үндсэн дараалалнийлдэг.

38. Сансрын гомеоморфоос бүрэн бүтэн болох нь үнэн үү?

39. Бүрэн орон зайн хаалттай дэд орон зай өөрөө бүрэн гэдгийг батлах; дурын орон зайн бүрэн дэд орон зай түүнд хаалттай байна.

40. Бүрэн хэмжигдэхүүн орон зайд тэг рүү чиглэсэн радиустай үүрлэсэн хаалттай бөмбөлгүүдийн дараалал нь нийтлэг элементтэй болохыг батал.

41. Энэ нь боломжтой юу өмнөх даалгаварОрон зайн бүрэн бүтэн байдлын нөхцөл эсвэл бөмбөлгүүдийн радиусыг тэг болгох хандлагыг арилгах уу?

Дэлгэц еметрийн орон зай Xөөртөө дуудсан шахалтын, Хэрэв

$ в (0 Ј в < 1): " x,yТУХАЙ X r( е(x),е(y)) < в r( x,y).

42. Агшилтын зураг тасралтгүй байгааг батал.

43. a) Бүрэн хэмжүүрийн орон зайн агшилтын зураглал нь яг нэг тогтмол цэгтэй болохыг батал.

б) ОХУ-ын 1:20,000,000 масштабтай газрын зургийг 1:5,000,000 масштабтай газрын зураг дээр байрлуулж, хоёр газрын зураг дээрх зургууд нь давхцаж байгаа цэг байгааг нотол.

44*. Асуудлын илэрхийлэл үнэн байх бүрэн бус хэмжүүрийн орон зай байна уу?

Метрийн орон зайн дэд олонлогийг нэрлэдэг хаа сайгүй нягт, хэрэв түүний хаалт нь бүхэл бүтэн орон зайтай давхцаж байвал; хаана ч өтгөн биш– хэрэв түүний хаалт нь хоосон бус нээлттэй дэд бүлэггүй бол (энэ тодорхойлолтыг Хавсралт 2-т өгсөн тодорхойлолттой харьцуулна уу).

45. а) Болъё а, б, а, б О ЗТэгээд а < a < b < б. Үргэлжилсэн функцуудын олонлог нь [ дээр байгаа гэдгийг батал. а,б], монотон дээр, бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайд хаана ч нягт байхгүй [ а,б] жигд хэмжигдэхүүнтэй.

б) зөвшөөр а, б, в, e O ЗТэгээд а < б, в> 0, e > 0. Дараа нь [ дээр үргэлжилсэн функцүүдийн багц а,б], ийм

$ xТУХАЙ [ а,б]: " y (0 < | x - y| < e ) Ю

| е(x) - е(y)| | x - y|

Ј в,

бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайд нягт хаана ч байхгүй [ а,б] жигд хэмжигдэхүүнтэй.

46. (Байрын ерөнхий теорем .) Бүрэн хэмжигдэхүүн орон зайг хаана ч байхгүй нягт олонлогуудын тоолж болох тооны нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг батал.

47. Ямар ч хоосон бус интервал дээрх тасралтгүй, монотон бус, интервал дээр тодорхойлогдсон дифференциал функцүүдийн олонлог нь бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайд хаа сайгүй нягт байдгийг жигд хэмжигдэхүүнээр батал.

48*. Болъё е– интервал дээр ялгах функц. Түүний дериватив нь хаа сайгүй үргэлжилдэг гэдгийг батал өтгөн багцоноо. Энэ бол тодорхойлолт юм Лебесгхэмжүүр нь тэг. Хэрэв тоолж болох тооны интервалыг төгсгөлтэй нэгээр орлуулсан бол бид тодорхойлолтыг авна Жордановахэмжүүр нь тэг.

Цэгний олонлогын онолын үндсэн зорилтуудын нэг бол янз бүрийн төрлийн цэгийн олонлогийн шинж чанарыг судлах явдал юм. Энэ онолтой хоёр жишээн дээр танилцаж, хаалттай ба нээлттэй олонлогийн шинж чанарыг судалцгаая.

багц гэж нэрлэдэг хаалттай , хэрэв энэ нь түүний бүх хязгаарыг агуулж байгаа бол. Хэрэв багцад нэг хязгаарын цэг байхгүй бол түүнийг мөн хаалттай гэж үзнэ. Хаалттай багц нь хязгаарын цэгүүдээс гадна тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулж болно. багц гэж нэрлэдэг нээлттэй , хэрэв түүний цэг бүр түүний хувьд дотоод бол.

өгье хаалттай ба нээлттэй багцуудын жишээ .

Сегмент бүр нь хаалттай олонлог бөгөөд интервал бүр (a, b) нь нээлттэй олонлог юм. Зохисгүй хагас интервал ба хаалттай, болон зохисгүй интервал ба нээлттэй. Бүх шугам нь хаалттай ба нээлттэй багц юм. Хоосон багцыг нэгэн зэрэг хаалттай, нээлттэй гэж үзэх нь тохиромжтой. Ямар ч хязгаарлагдмал олонлогШугамын цэгүүд хязгааргүй тул хаалттай байна.

Цэгээс бүрдэх багц:

хаалттай; энэ олонлог нь олонлогт хамаарах x=0 өвөрмөц хязгаарын цэгтэй.

Гол ажил бол дурын хаалттай эсвэл нээлттэй багц хэрхэн бүтэцлэгдсэнийг олж мэдэх явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд хэд хэдэн туслах баримт хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авах болно.

1. Дурын тооны битүү олонлогийн огтлолцол хаалттай байна.
2. Дурын тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм.
3. Хэрэв битүү олонлогийг дээр нь хязгаарласан бол энэ нь дээд хэмжээг агуулна. Үүний нэгэн адил, хэрэв битүү олонлог доор хязгаарлагдсан бол энэ нь өөрийн infimum-ийг агуулна.

E нь шулуун дээрх дурын олонлог байг. Бид E олонлогийн нэмэлтийг дуудаж, биш шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлогийг CE гэж тэмдэглэнэ олон хүнд харьяалагддаг E. Хэрэв х нь Е-ийн гадаад цэг бол энэ нь тодорхой байна дотоод цэг CE-ийн багц болон эсрэгээр.

4. Хэрэв F олонлог хаалттай бол түүний нэмэлт CF нээлттэй ба эсрэгээр.

Санал 4 нь хаалттай болон нээлттэй багцуудын хооронд нэлээд ялгаа байгааг харуулж байна. ойр холболт: зарим нь бусдыг нөхдөг. Үүнээс болоод зарим нэг хаалттай эсвэл заримыг нь судлахад хангалттай нээлттэй багц. Нэг төрлийн олонлогийн шинж чанарыг мэдэх нь өөр төрлийн олонлогийн шинж чанарыг шууд олж мэдэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, ямар ч нээлттэй олонлогийг шугамаас зарим хаалттай олонлогийг хасснаар олж авдаг.

Битүү олонлогийн шинж чанарыг судалж эхэлцгээе. Нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. F нь хаалттай олонлог байг. Аль ч цэг нь F олонлогт хамаарахгүй, харин a ба b цэгүүд нь F олонлогт хамаарах шинж чанартай (a, b) интервалыг F олонлогийн зэргэлдээх интервал гэнэ.

Мөн бид зэргэлдээх интервалуудын дунд зохисгүй интервалуудыг оруулах болно, эсвэл a цэг эсвэл b цэг нь F олонлогт хамаарах ба интервалууд нь F-тэй огтлолцохгүй бол. Хэрэв х цэг нь F битүү олонлогт хамаарахгүй бол түүний зэргэлдээх интервалуудын аль нэгэнд хамаарах болохыг харуулъя.

Х цэгийн баруун талд байрлах F олонлогийн хэсгээр тэмдэглэе. X цэг нь өөрөө F олонлогт хамаарахгүй тул үүнийг огтлолцлын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Багц бүр нь F ба хаалттай. Тиймээс 1-р саналаар багц хаалттай байна. Хэрэв олонлог хоосон бол бүхэл бүтэн хагас интервал нь F олонлогт хамаарахгүй. Одоо олонлог хоосон биш гэж үзье. Энэ багц нь бүхэлдээ хагас интервал дээр байрладаг тул доороос хязгаарлагдана. Түүний доод хязгаарыг b гэж тэмдэглэе. 3-р саналын дагуу, энэ нь гэсэн үг. Цаашилбал, b учраас доод ирмэголонлог, тэгвэл b цэгийн зүүн талд байрлах хагас интервал (x, b) нь олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй тул F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй болно. Тиймээс бид хагас интервал ( x, b) F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй ба аль эсвэл b цэг нь F олонлогт хамаарна. Үүний нэгэн адил F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервал (a, x) байгуулна. Одоо (a, b) интервал нь х цэгийг агуулсан бөгөөд F олонлогийн зэргэлдээх интервал болох нь тодорхой боллоо. Хэрэв F олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервал нь ба бол эдгээр интервалууд нь давхцах эсвэл давхцах нь ойлгомжтой. огтлолцохгүй.

Өмнөхөөс харахад шугам дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамаас тодорхой тооны интервалуудыг, тухайлбал F олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг хасснаар олж авдаг. Интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулж байдаг тул тоолж болох олонлог байдаг. Шугаман дээрх бүх оновчтой цэгүүд, бүх зэргэлдээх интервалуудын тоог хамгийн их тоолох боломжтой эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид олонлогийг шугамаас хассанаар олж авна.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Цэгний олонлогын онолын үндсэн зорилтуудын нэг бол янз бүрийн төрлийн цэгийн олонлогийн шинж чанарыг судлах явдал юм. Бид хоёр жишээн дээр энэхүү онолыг уншигчдад танилцуулах болно. Тухайлбал, бид энд хаалттай ба нээлттэй олонлогийн шинж чанарыг судлах болно.

Битүү болон нээлттэй багцуудын жишээг өгье. Сегмент бүр хаалттай олонлог, интервал бүр нь нээлттэй олонлог юм. Зохисгүй хагас интервалууд

хаалттай, зохисгүй интервалууд нээлттэй байна. Бүх шугам нь хаалттай ба нээлттэй багц юм. Хоосон багцыг нэгэн зэрэг хаалттай, нээлттэй гэж үзэх нь тохиромжтой. Шугаман дээрх аливаа хязгаарлагдмал цэгүүд нь хязгааргүй тул хаалттай байдаг. Цэгүүдээс бүрдсэн багц

хаалттай; Энэ багц нь багцад хамаарах нэг хязгаарын цэгтэй.

Бидний даалгавар бол дурын хаалттай эсвэл нээлттэй багц хэрхэн бүтэцлэгдсэнийг олж мэдэх явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд хэд хэдэн туслах баримт хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авах болно.

1. Дурын тооны битүү олонлогийн огтлолцол хаалттай байна.

2. Дурын тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм.

3. Хэрэв битүү олонлогийг дээр нь хязгаарласан бол энэ нь дээд хэмжээг агуулна. Үүний нэгэн адил, хэрэв битүү олонлог доор хязгаарлагдсан бол энэ нь өөрийн infimum-ийг агуулна.

E нь шулуун дээрх дурын олонлог байг. Үүнийг Е олонлогийн бүрэн гүйцэтгэгч гэж нэрлээд шугамын Е олонлогт хамааралгүй бүх цэгүүдийн олонлогоор тэмдэглэе.Хэрвээ х нь Е-ийн гадаад цэг бол энэ нь Е олонлогийн дотоод цэг болох нь тодорхой байна. тохируулах ба эсрэгээр.

4. Хэрэв F олонлог хаалттай байвал түүний нэмэлт нь нээлттэй ба эсрэгээр байна.

Санал 4 нь хаалттай ба нээлттэй олонлогуудын хооронд маш нягт холбоо байгааг харуулж байна: зарим нь бусдыг нөхдөг. Ийм учраас зөвхөн хаалттай эсвэл зөвхөн нээлттэй багцуудыг судлахад хангалттай. Нэг төрлийн олонлогийн шинж чанарыг мэдэх нь өөр төрлийн олонлогийн шинж чанарыг шууд олж мэдэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, ямар ч нээлттэй олонлогийг шугамаас зарим хаалттай олонлогийг хасснаар олж авдаг.

Битүү олонлогийн шинж чанарыг судалж эхэлцгээе. Нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. F нь хаалттай олонлог байг. Аль ч цэг нь a олонлогт хамаарахгүй, а цэг нь хамаарахгүй гэсэн шинж чанартай интервалыг олонлогийн зэргэлдээх интервал гэнэ. Бид мөн зохисгүй интервалуудыг зэргэлдээх интервалд оруулах болно, эсвэл хэрэв а цэг эсвэл цэг нь a олонлогт хамаарах бол интервалууд нь F-тэй огтлолцохгүй. Хэрвээ х цэг нь битүү олонлогт хамаарахгүй бол түүний зэргэлдээх интервалуудын аль нэгэнд хамаарах болохыг харуулъя.

Х цэгийн баруун талд байрлах олонлогийн хэсгээр тэмдэглэе. x цэг өөрөө олонлогт хамаарахгүй тул огтлолцлын хэлбэрээр дүрсэлж болно

F багц бүр хаалттай байна. Тиймээс 1-р саналаар багц хаалттай байна. Хэрэв олонлог хоосон бол бүхэл бүтэн хагас интервал олонлогт хамаарна. Энэ багц нь бүхэлдээ хагас интервал дээр байрладаг тул доороос хязгаарлагдана. Доод ирмэгээр нь тэмдэглэе. Уг саналын дагуу, тиймээс . Цаашилбал, олонлогийн инфимум байгаа тул цэгийн зүүн талд байрлах хагас интервал нь олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй тул бид хагас интервалыг байгуулав олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй ба аль нэг нь эсвэл цэг нь олонлогт харьяалагддаг. Үүний нэгэн адил, олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервал ба эсвэл a Одоо энэ интервал нь x цэгийг агуулж байгаа нь тодорхой байна. Хэрэв олонлогийн хоёр зэргэлдээ интервал байвал эдгээр интервалууд нь давхцаж эсвэл огтлолцохгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Өмнөхөөс харахад шугаман дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамаас тодорхой тооны интервалууд, тухайлбал олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг арилгах замаар олж авдаг, учир нь интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулна Тоолж болох олонлог бол зэргэлдээх бүх интервалын тоо нь тоолж болохоос илүү гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид олонлогийг шугамаас хассанаар олж авна.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Cantor төгс иж бүрдэл. Хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай нэг тусгай хаалттай багцыг бүтээцгээе. Юуны өмнө, шугамаас зохисгүй интервалуудыг хасъя. Энэ үйлдлийн дараа бид сегменттэй үлдэх болно. Дараа нь энэ сегментээс дундын гуравны нэгийг бүрдүүлдэг интервалыг хасъя.

Үлдсэн хоёр сегмент бүрээс дунд гуравны нэгийг нь салга. Бид үлдсэн сегментүүдээс дундын гуравны нэгийг хасах энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлнэ. Эдгээр бүх интервалыг арилгасны дараа үлдсэн шугам дээрх цэгүүдийн багцыг Cantor perfect set гэж нэрлэдэг; Бид үүнийг R үсгээр тэмдэглэнэ.

Энэ багцын зарим шинж чанарыг авч үзье. P олонлог нь салангид интервалуудын тодорхой багцыг шугамаас хассанаар үүсдэг тул хаалттай байна. P багц нь ямар ч тохиолдолд хоосон биш, энэ нь бүх хаягдсан интервалуудын төгсгөлийг агуулдаг.

Хаалттай F олонлог нь тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулаагүй, өөрөөр хэлбэл түүний цэг бүр хязгаарын цэг байвал төгс гэж нэрлэдэг. P олонлог төгс гэдгийг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэг x цэг нь P олонлогийн тусгаарлагдсан цэг байсан бол энэ нь энэ олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервалын нийтлэг төгсгөл болно. Гэхдээ барилгын дагуу P багцын зэргэлдээх интервалууд нь нийтлэг төгсгөлгүй байдаг.

P багц нь нэг интервал агуулаагүй. Үнэн хэрэгтээ тодорхой интервал нь бүхэлдээ P олонлогт хамаарна гэж үзье. Дараа нь энэ нь бүхэлдээ P олонлогийг бүтээх үе шатанд олж авсан сегментүүдийн аль нэгэнд хамаарна. Гэвч энэ нь боломжгүй, учир нь эдгээр сегментүүдийн урт нь P олонлогт чиглэдэг. сум.

P олонлог нь тасралтгүй байдлын үндсэн шинж чанартай болохыг харуулж болно. Тодруулбал, Cantor perfect багц нь зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлөөс гадна бусад цэгүүдийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлүүд нь зөвхөн тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг.

Математикийн янз бүрийн салбаруудад янз бүрийн төрлийн цэгийн багцууд байнга тулгардаг бөгөөд математикийн олон асуудлыг судлахад тэдгээрийн шинж чанарын талаархи мэдлэг зайлшгүй шаардлагатай байдаг. Математикийн шинжилгээ, топологийн хувьд цэгийн олонлогийн онол онцгой чухал юм.

Шинжилгээний сонгодог хэсгүүдэд цэгийн олонлог харагдах хэд хэдэн жишээг өгье. Хэсэг дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц байя. Энэ олонлог нь сегмент дээр байрлах дурын хаалттай олонлог байж болохыг харуулахад хялбар байдаг x цэгүүдийн олонлогийг авч үзье. Ямар ч нээлттэй олонлог байж болох x цэгийн олонлог Хэрэв интервал дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функцүүдийн дараалал байгаа бол энэ дараалал нийлдэг x цэгүүдийн олонлог дурын байж болохгүй, харин маш тодорхой төрөлд хамаарна.

Цэгийн олонлогын бүтцийг судалдаг математикийн салбарыг дүрслэх олонлогийн онол гэж нэрлэдэг. Дүрслэх олонлогын онолыг хөгжүүлэхэд маш том ололт нь Зөвлөлтийн математикчид - Н.Н.Лузин ба түүний шавь нар П.С.Александров, М.Я.Суслин, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, П.С.Новиков, Л.В.Келдыш, А.А.Ляпунов нар юм.

Н.Н.Лузин болон түүний шавь нарын хийсэн судалгаагаар дүрслэх олонлогын онол болон математик логикийн хооронд гүнзгий холбоо байдгийг харуулсан. Дүрслэх олонлогийн онолын хэд хэдэн асуудлыг (ялангуяа тодорхой олонлогийн үндсэн байдлыг тодорхойлох асуудлууд) авч үзэхэд гарч ирдэг бэрхшээлүүд нь логик шинж чанартай хүндрэлүүд юм. Эсрэгээр, математик логикийн аргууд нь дүрслэх олонлогын онолын зарим асуултад илүү гүнзгий нэвтрэх боломжийг бидэнд олгодог.

Битүү болон нээлттэй багцуудын жишээг өгье. Сегмент бүр хаалттай олонлог, интервал бүр нь нээлттэй олонлог юм. Зохисгүй хагас завсар нь хаалттай, буруу завсарлага нээлттэй байна. Бүх шугам нь хаалттай ба нээлттэй багц юм. Хоосон багцыг нэгэн зэрэг хаалттай, нээлттэй гэж үзэх нь тохиромжтой. Шугаман дээрх аливаа хязгаарлагдмал цэгүүд нь хязгааргүй тул хаалттай байдаг. Цэгүүдээс бүрдсэн багц

хаалттай; Энэ багц нь багцад хамаарах өвөрмөц хязгаарын цэгтэй.

1. Дурын тооны битүү олонлогийн огтлолцол хаалттай байна.

2. Дурын тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм.

Шугаман дээрх дурын олонлог цэг байцгаая. Үүнийг олонлогийн нөхөх хэсэг гэж нэрлээд, олонлогт хамаарахгүй шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлогоор тэмдэглэе. Хэрэв гадаад цэг байгаа бол энэ нь олонлогийн дотоод цэг мөн эсрэгээр нь тодорхой байна.

4. Хэрэв олонлог хаалттай бол түүний нэмэлт нь нээлттэй ба эсрэгээр байна.

Битүү олонлогийн шинж чанарыг судалж эхэлцгээе. Нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. Хаалттай багц байцгаая. Аль ч цэг нь олонлогт хамаарахгүй, харин цэгүүд нь хамаарах шинж чанартай интервалыг олонлогийн зэргэлдээх интервал гэнэ. Хэрэв цэг эсвэл цэг нь олонлогт хамаарах бөгөөд интервалууд нь огтлолцохгүй бол бид буруу интервалууд эсвэл зэргэлдээх интервалуудын дунд оруулах болно. Хэрэв цэг нь битүү олонлогт хамаарахгүй бол түүний зэргэлдээх интервалуудын аль нэгэнд хамаарах болохыг харуулъя.

Цэгийн баруун талд байрлах олонлогийн хэсгээр тэмдэглэе. Цэг нь өөрөө олонлогт хамаарахгүй тул огтлолцлын хэлбэрээр дүрсэлж болно

Багц бүр хаалттай байна. Тиймээс 1-р саналаар багц хаалттай байна. Хэрэв багц хоосон бол хагас интервал бүхэлдээ олонлогт хамаарахгүй. Одоо багц хоосон биш гэж үзье. Энэ багц нь бүхэлдээ хагас интервал дээр байрладаг тул доор нь хязгаарлагдана. Доод ирмэгээр нь тэмдэглэе. 3-р саналын дагуу, , тиймээс . Цаашилбал, олонлогийн инфимум байгаа тул цэгийн зүүн талд байрлах хагас интервал нь олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй тул олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй болно. Тиймээс, бид олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервалыг байгуулсан бөгөөд аль нэг нь, эсвэл цэг нь олонлогт харьяалагддаг. Үүний нэгэн адил олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервалыг байгуулдаг ба , эсвэл . Одоо интервал нь цэгийг агуулж байгаа бөгөөд олонлогийн зэргэлдээх интервал болох нь тодорхой боллоо. Хэрэв олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервал мөн бол эдгээр интервалууд нь давхцаж эсвэл огтлолцохгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Өмнөхөөс харахад шугам дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамнаас тодорхой тооны интервалууд, тухайлбал олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг хассанаар олж авдаг. Интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулж, шугаман дээрх бүх рационал цэгүүдийн тоолж болох олонлог байдаг тул зэргэлдээх бүх интервалуудын тоог дээд тал нь тоолох боломжтой эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид олонлогийг шугамаас хассанаар олж авна.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Cantor төгс иж бүрдэл

Хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай нэг тусгай хаалттай багцыг бүтээцгээе. Юуны өмнө, шугамаас зохисгүй интервалуудыг хасъя. Энэ үйлдлийн дараа бид сегменттэй үлдэх болно. Дараа нь энэ сегментээс дундын гуравны нэгийг бүрдүүлдэг интервалыг хасъя. Үлдсэн хоёр сегмент бүрээс дунд гуравны нэгийг нь салга. Бид үлдсэн сегментүүдээс дундын гуравны нэгийг хасах энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлнэ. Эдгээр бүх интервалыг арилгасны дараа үлдсэн шугам дээрх цэгүүдийн багцыг Cantor perfect set гэж нэрлэдэг; бид үүнийг үсгээр тэмдэглэх болно.

Энэ багцын зарим шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь шугамаас салангид интервалуудын тодорхой багцыг хасах замаар үүсдэг тул энэ нь хаалттай байна. Багц хоосон биш; ямар ч тохиолдолд энэ нь бүх хаягдсан интервалуудын төгсгөлийг агуулна.

Хаалттай багц гэж нэрлэдэг төгс, хэрэв энэ нь тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулаагүй бол, өөрөөр хэлбэл түүний цэг бүр хязгаарын цэг байвал. Энэ багц төгс гэдгийг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэг цэг нь олонлогийн тусгаарлагдсан цэг байсан бол энэ олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервалын нийтлэг төгсгөл болно. Гэхдээ барилгын ажлын дагуу багцын зэргэлдээх интервалууд нь нийтлэг төгсгөлгүй байдаг.

Уг багц нь нэг интервал агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ тодорхой интервал бүхэлдээ олонлогт хамаарна гэж үзье. Дараа нь энэ нь бүхэлдээ багцыг барих 3-р шатанд олж авсан сегментүүдийн аль нэгэнд хамаарна. Гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь эдгээр сегментүүдийн урт нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Энэ багц нь үргэлжилсэн үндсэн шинж чанартай болохыг харуулж болно. Тодруулбал, Cantor perfect багц нь зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлөөс гадна бусад цэгүүдийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлүүд нь зөвхөн тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг.

Шинжилгээний сонгодог хэсгүүдэд цэгийн олонлог харагдах хэд хэдэн жишээг өгье. сегмент дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц байг. Тоогоо засаад ямар цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ олонлог нь сегмент дээр байрлах дурын хаалттай олонлог байж болохыг харуулахад хялбар байдаг. Үүний нэгэн адил цэгүүдийн багц нь ямар ч нээлттэй олонлог байж болно. Хэрэв сегмент дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функцүүдийн дараалал байгаа бол энэ дараалал нийлдэг цэгүүдийн багц нь дур зоргоороо байж болохгүй, гэхдээ маш тодорхой төрөлд хамаарна.

Цэгийн олонлогийн бүтцийг судалдаг математикийн салбарыг нэрлэдэг дүрслэх олонлогын онол. Дүрслэх олонлогын онолыг хөгжүүлэхэд маш том ололт амжилт нь Зөвлөлтийн математикчид - Н.Н. Лузин болон түүний шавь нар P.S. Александров, М.Я. Суслин, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, P.S. Новиков, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунова болон бусад.

Н.Н. Лузин болон түүний шавь нар дүрслэх олонлогын онол болон математик логикийн хооронд гүн гүнзгий холбоо байдгийг харуулсан. Дүрслэх олонлогийн онолын хэд хэдэн асуудлыг (ялангуяа тодорхой олонлогийн үндсэн байдлыг тодорхойлох асуудлууд) авч үзэхэд гарч ирдэг бэрхшээлүүд нь логик шинж чанартай хүндрэлүүд юм. Эсрэгээр, математик логикийн аргууд нь дүрслэх олонлогын онолын зарим асуултад илүү гүнзгий нэвтрэх боломжийг бидэнд олгодог.