Рационал тоо ба хэмжилт. Рационал тоонуудын тодорхойлолт

Натурал тоо

Натурал тоонуудын тодорхойлолт нь эерэг бүхэл тоо юм. Натурал тоо нь объектыг тоолох болон бусад олон зорилгоор ашиглагддаг. Эдгээр тоонууд нь:

Энэ бол байгалийн тоон цуврал юм.
Тэг натурал тоо мөн үү? Үгүй, тэг бол натурал тоо биш.
Хэдэн натурал тоонуудбайдаг уу? Байгаа хязгааргүй олонлогнатурал тоонууд.
Хамгийн бага натурал тоо хэд вэ? Нэг нь хамгийн бага натурал тоо юм.
Хамгийн том натурал тоо хэд вэ? Хязгааргүй олон тооны натурал тоо байдаг тул үүнийг тодорхойлох боломжгүй юм.

Натурал тоонуудын нийлбэр нь натурал тоо юм. Тиймээс а ба b натурал тоог нэмбэл:

Натурал тоонуудын үржвэр нь натурал тоо юм. Тэгэхээр а ба b натурал тоонуудын үржвэр:

c нь үргэлж натурал тоо юм.

Натурал тоонуудын ялгаа Үргэлж натурал тоо байдаггүй. Хэрэв хасах нь хасахаас их бол натурал тоонуудын зөрүү нь натурал тоо, эс тэгвээс тийм биш юм.

Натурал тоонуудын коэффициент нь үргэлж натурал тоо байдаггүй. Хэрэв а ба b натурал тоонуудын хувьд

Энд c нь натурал тоо, энэ нь а нь b-д хуваагддаг гэсэн үг юм. Энэ жишээнд а нь ногдол ашиг, b нь хуваагч, в нь хуваагч юм.

Натурал тооны хуваагч нь эхний тоо нь бүхэл бүтэн хуваагддаг натурал тоо юм.

Натурал тоо бүр нэгд хуваагддаг.

Анхны натурал тоо нь зөвхөн нэг болон өөртөө хуваагдана. Энд бид бүхэлдээ хуваагдсан гэсэн үг юм. Жишээ нь, тоо 2; 3; 5; 7 нь зөвхөн нэг болон өөртөө хуваагдана. Эдгээр нь энгийн натурал тоонууд юм.

Нэгийг анхны тоо гэж тооцдоггүй.

Анхны тоо биш нэгээс их тоонуудыг нийлмэл тоо гэнэ. Жишээ нийлмэл тоо:

Нэгийг нийлмэл тоо гэж үзэхгүй.

Натурал тоонуудын багц нь нэг, анхны тоонуудболон нийлмэл тоо.

Натурал тоонуудын багцыг тэмдэглэв Латин үсэгН.

Натурал тоог нэмэх ба үржүүлэх шинж чанарууд:

нэмэхийн солих шинж чанар

хамтын өмчнэмэлт

(a + b) + c = a + (b + c);

үржүүлэхийн солих шинж чанар

үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанар

(ab) c = a (bc);

хуваарилах өмчүржүүлэх

A (b + c) = ab + ac;

Бүхэл тоо

Бүхэл тоо нь натурал тоо, тэг ба натурал тоонуудын эсрэг тоо юм.

Натурал тоонуудын эсрэг тал нь сөрөг бүхэл тоонууд, жишээлбэл:

1; -2; -3; -4;...

Бүхэл тоонуудын багцыг латин Z үсгээр тэмдэглэнэ.

Рационал тоо

Рационал тооЭдгээр нь бүхэл тоо ба бутархай юм.

Аливаа рационал тоог үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээ нь:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Жишээнүүдээс харахад бүхэл тоо нь тодорхой байна үечилсэн бутархайтэг үетэй.

Аливаа рационал тоог m/n бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд m нь бүхэл тоо юм тоо, байгалийнтоо. Өмнөх жишээн дээрх 3,(6) тоог ийм бутархай гэж төсөөлье.

) нь эерэг буюу сөрөг тэмдэг(бүхэл тоо ба бутархай) ба тэг. Рационал тооны тухай илүү нарийн ойлголт дараах байдалтай байна.

Рационал тоо- дүрслэгдсэн тоо энгийн бутархай м/н, тоологч хаана байна мбүхэл тоонууд ба хуваагч нь n- натурал тоо, жишээ нь 2/3.

Төгсгөлгүй үечилсэн бус бутархайРационал тоонуудын багцад ОРОХГҮЙ.

а/б, Хаана а∈ З (абүхэл тоонд хамаарна), б∈ Н (бнатурал тоонд хамаарна).

Бодит амьдрал дээр рационал тоог ашиглах.

IN бодит амьдралрационал тоонуудын багцыг бүхэл тоонд хуваагддаг зарим объектын хэсгүүдийг тоолоход ашигладаг. Жишээ нь, бялуу эсвэл хэрэглэхийн өмнө хэсэг болгон хуваасан бусад хоол, эсвэл өргөтгөсөн объектуудын орон зайн хамаарлыг ойролцоогоор тооцоолоход зориулагдсан.

Рационал тооны шинж чанарууд.

Рационал тооны үндсэн шинж чанарууд.

1. Эмх цэгцтэй байдал аТэгээд бТэдгээрийн хоорондох 3 харилцааны 1 ба зөвхөн нэгийг нь хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг олгодог дүрэм байдаг: "<», «>" эсвэл "=". Энэ бол дүрэм - захиалгын дүрэммөн үүнийг дараах байдлаар томъёол.

• 2 эерэг тоо a=m a /n aТэгээд b=m b /n bнь 2 бүхэл тоотой ижил хамаарлаар холбогдоно м а⋅ н бТэгээд м б⋅ n a;
• 2 сөрөг тоо аТэгээд б 2 эерэг тоотой ижил харьцаагаар холбогдоно |б|Тэгээд |а|;
• Хэзээ аэерэг ба б- тэгвэл сөрөг a>b.

∀ а,б∈ Q(а ∨ a>b∨ a=b)

2. Нэмэлт үйл ажиллагаа. Бүх рационал тоонуудын хувьд аТэгээд бБайна нэгтгэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг тодорхой оновчтой тоотой холбодог в. Түүнээс гадна тоо нь өөрөө в- Энэ нийлбэртоо аТэгээд бгэж тэмдэглэсэн байна (a+b) нийлбэр.

Дүгнэлт хийх дүрэмиймэрхүү харагдаж байна:

м а/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(н а⋅ n b).

∀ а,б∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Үржүүлэх үйл ажиллагаа. Бүх рационал тоонуудын хувьд аТэгээд бБайна үржүүлэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг тодорхой оновчтой тоотой холбодог в. c тоог дууддаг ажилтоо аТэгээд бболон тэмдэглэнэ (a⋅b), мөн энэ тоог олох үйл явц гэж нэрлэгддэг үржүүлэх.

Үржүүлэх дүрэмиймэрхүү харагдаж байна: м а н а⋅ m b n b =m a⋅ м б н а⋅ н б.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Захиалгын харилцааны шилжилт хөдөлгөөн.Дурын гурван рационал тооны хувьд а, бТэгээд вХэрэв абага бТэгээд ббага в, Тэр абага в, мөн хэрэв атэнцүү байна бТэгээд бтэнцүү байна в, Тэр атэнцүү байна в.

∀ a,b,c∈ Q(а ∧ б ⇒ а ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Нэмэлтийн шилжих чадвар. Рационал нэр томъёоны байршлыг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй.

∀ а,б∈ Q a+b=b+a

6. Нэмэлт холбоо. 3 оновчтой тоог нэмэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Тэг байгаа эсэх. 0 рационал тоо байдаг бөгөөд нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг.

∃ 0 ∈ Q∀ а∈ Q a+0=a

8. Эсрэг тоо байгаа эсэх. Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой бөгөөд тэдгээрийг нэмэхэд үр дүн нь 0 болно.

∀ а∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Үржүүлэхийн шилжих чадвар. Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.

∀ а,б∈ Q a⋅ b=b⋅ а

10. Үржүүлэхийн холбоо. 3 оновчтой тоог үржүүлэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

∀ a,b,c∈ Q(а⋅ б)⋅ c=a⋅ (б⋅ в)

11. Нэгжийн бэлэн байдал. 1 оновчтой тоо байдаг бөгөөд энэ нь үржүүлэх явцад бусад бүх оновчтой тоог хадгалдаг.

∃ 1 ∈ Q∀ а∈ Q a⋅ 1=а

12. Бэлэн байдал харилцан тоо . Тэгээс бусад бүх рационал тоо урвуу рационал тоотой бөгөөд үржүүлбэл 1 болно. .

∀ а∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт. Үржүүлэх үйлдэл нь хуваарилах хуулийг ашиглан нэмэхтэй холбоотой:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ в

14. Захиалгын хамаарал ба нэмэх үйлдлийн хоорондын хамаарал. Зүүн тийш болон баруун тал оновчтой тэгш бус байдалижил рационал тоог нэмнэ.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Дарааллын хамаарал ба үржүүлэх үйлдлийн хоорондын хамаарал. Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг ижил сөрөг бус рационал тоогоор үржүүлж болно.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ а ⇒ а⋅ в ⋅ в

16. Архимедийн аксиом. Ямар ч оновчтой тоо а, маш олон нэгжийг авахад хялбар тул тэдгээрийн нийлбэр нь илүү их байх болно а.

) нь эерэг эсвэл сөрөг тэмдэгтэй (бүхэл тоо ба бутархай) ба тэгтэй тоо юм. Рационал тооны тухай илүү нарийн ойлголт дараах байдалтай байна.

Рационал тоо- энгийн бутархай хэлбэрээр дүрслэгдсэн тоо м/н, тоологч хаана байна мбүхэл тоонууд ба хуваагч нь n- натурал тоо, жишээ нь 2/3.

Хязгааргүй үечилсэн бус бутархайг рационал тооны багцад ОРУУЛАГҮЙ.

а/б, Хаана а∈ З (абүхэл тоонд хамаарна), б∈ Н (бнатурал тоонд хамаарна).

Бодит амьдрал дээр рационал тоог ашиглах.

Бодит амьдрал дээр бүхэл тоонд хуваагддаг зарим объектын хэсгүүдийг тоолоход оновчтой тооны багцыг ашигладаг. Жишээ нь, бялуу эсвэл хэрэглэхийн өмнө хэсэг болгон хуваасан бусад хоол, эсвэл өргөтгөсөн объектуудын орон зайн хамаарлыг ойролцоогоор тооцоолоход зориулагдсан.

Рационал тооны шинж чанарууд.

Рационал тооны үндсэн шинж чанарууд.

1. Эмх цэгцтэй байдал аТэгээд бТэдгээрийн хоорондох 3 харилцааны 1 ба зөвхөн нэгийг нь хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг олгодог дүрэм байдаг: "<», «>" эсвэл "=". Энэ бол дүрэм - захиалгын дүрэммөн үүнийг дараах байдлаар томъёол.

• 2 эерэг тоо a=m a /n aТэгээд b=m b /n bнь 2 бүхэл тоотой ижил хамаарлаар холбогдоно м а⋅ н бТэгээд м б⋅ n a;
• 2 сөрөг тоо аТэгээд б 2 эерэг тоотой ижил харьцаагаар холбогдоно |б|Тэгээд |а|;
• Хэзээ аэерэг ба б- тэгвэл сөрөг a>b.

∀ а,б∈ Q(а ∨ a>b∨ a=b)

2. Нэмэлт үйл ажиллагаа. Бүх рационал тоонуудын хувьд аТэгээд бБайна нэгтгэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг тодорхой оновчтой тоотой холбодог в. Түүнээс гадна тоо нь өөрөө в- Энэ нийлбэртоо аТэгээд бгэж тэмдэглэсэн байна (a+b) нийлбэр.

Дүгнэлт хийх дүрэмиймэрхүү харагдаж байна:

м а/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(н а⋅ n b).

∀ а,б∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Үржүүлэх үйл ажиллагаа. Бүх рационал тоонуудын хувьд аТэгээд бБайна үржүүлэх дүрэм, энэ нь тэдгээрийг тодорхой оновчтой тоотой холбодог в. c тоог дууддаг ажилтоо аТэгээд бболон тэмдэглэнэ (a⋅b), мөн энэ тоог олох үйл явц гэж нэрлэгддэг үржүүлэх.

Үржүүлэх дүрэмиймэрхүү харагдаж байна: м а н а⋅ m b n b =m a⋅ м б н а⋅ н б.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Захиалгын харилцааны шилжилт хөдөлгөөн.Дурын гурван рационал тооны хувьд а, бТэгээд вХэрэв абага бТэгээд ббага в, Тэр абага в, мөн хэрэв атэнцүү байна бТэгээд бтэнцүү байна в, Тэр атэнцүү байна в.

∀ a,b,c∈ Q(а ∧ б ⇒ а ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Нэмэлтийн шилжих чадвар. Рационал нэр томъёоны байршлыг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй.

∀ а,б∈ Q a+b=b+a

6. Нэмэлт холбоо. 3 оновчтой тоог нэмэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Тэг байгаа эсэх. 0 рационал тоо байдаг бөгөөд нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг.

∃ 0 ∈ Q∀ а∈ Q a+0=a

8. Эсрэг тоо байгаа эсэх. Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой бөгөөд тэдгээрийг нэмэхэд үр дүн нь 0 болно.

∀ а∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Үржүүлэхийн шилжих чадвар. Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.

∀ а,б∈ Q a⋅ b=b⋅ а

10. Үржүүлэхийн холбоо. 3 оновчтой тоог үржүүлэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

∀ a,b,c∈ Q(а⋅ б)⋅ c=a⋅ (б⋅ в)

11. Нэгжийн бэлэн байдал. 1 оновчтой тоо байдаг бөгөөд энэ нь үржүүлэх явцад бусад бүх оновчтой тоог хадгалдаг.

∃ 1 ∈ Q∀ а∈ Q a⋅ 1=а

12. Харилцан тоо байгаа эсэх. Тэгээс бусад бүх рационал тоо урвуу рационал тоотой бөгөөд үржүүлбэл 1 болно. .

∀ а∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт. Үржүүлэх үйлдэл нь хуваарилах хуулийг ашиглан нэмэхтэй холбоотой:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ в

14. Захиалгын хамаарал ба нэмэх үйлдлийн хоорондын хамаарал. Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талд ижил рационал тоо нэмэгдэнэ.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Дарааллын хамаарал ба үржүүлэх үйлдлийн хоорондын хамаарал. Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг ижил сөрөг бус рационал тоогоор үржүүлж болно.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ а ⇒ а⋅ в ⋅ в

16. Архимедийн аксиом. Ямар ч оновчтой тоо а, маш олон нэгжийг авахад хялбар тул тэдгээрийн нийлбэр нь илүү их байх болно а.

Рационал тоонуудын сэдэв нэлээд өргөн хүрээтэй. Та энэ тухай эцэс төгсгөлгүй ярьж, бүхэл бүтэн бүтээл бичиж, шинэ боломжуудыг гайхшруулж болно.

Ирээдүйд алдаа гаргахгүйн тулд энэ хичээлБид рационал тооны сэдвийг бага зэрэг гүнзгийрүүлж, үүнээс дүгнэлт хийх болно шаардлагатай мэдээлэлтэгээд цаашаа явцгаая.

Рационал тоо гэж юу вэ

Рационал тоо нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоо юм, хаана а—энэ бол бутархайн тоо, бнь бутархайн хуваагч юм. Түүнээс гадна бтэг байх ёсгүй, учир нь тэгээр хуваахыг зөвшөөрдөггүй.

Рационал тоонд дараахь ангиллын тоонууд орно.

• бүхэл тоо (жишээ нь −2, −1, 0 1, 2 гэх мэт)

• аравтын бутархай (жишээ нь 0.2 гэх мэт)

• хязгааргүй үечилсэн бутархай (жишээлбэл 0, (3) гэх мэт)

Энэ ангиллын тоо бүрийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Жишээ 1. 2-р бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь 2-ын тоо зөвхөн бүхэл тоонд төдийгүй оновчтой тоонд ч хамаатай гэсэн үг.

Жишээ 2.Холимог тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ фракцхолимог тоог болгон хувиргаснаар олж авна буруу бутархай

гэсэн үг холимог тоорационал тоонуудыг хэлнэ.

Жишээ 3.Аравтын бутархай 0.2-ыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ бутархайг аравтын бутархай 0.2-ыг энгийн бутархай болгон хувиргах замаар олж авсан. Хэрэв танд энэ үед хүндрэлтэй байгаа бол сэдвийг давт.

Түүнээс хойш аравтын 0.2-ыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь мөн рационал тоонд хамаарна гэсэн үг юм.

Жишээ 4.Хязгааргүй үечилсэн бутархай 0, (3)-ийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ бутархайг цэвэр үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах замаар олж авна. Хэрэв танд энэ үед хүндрэлтэй байгаа бол сэдвийг давт.

Хязгааргүй үечилсэн бутархай 0, (3)-ыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох тул энэ нь бас рационал тоонд хамаарна гэсэн үг юм.

Ирээдүйд бид бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох бүх тоог нэг хэллэгээр улам бүр дуудах болно - рационал тоо.

Координатын шулуун дээрх рационал тоонууд

Бид сөрөг тоог судлахдаа координатын шугамыг харсан. Энэ бол олон цэгүүд байрладаг шулуун шугам гэдгийг санаарай. Ийм харагдаж байна:

Энэ зураг нь −5-аас 5 хүртэлх координатын шугамын жижиг хэсгийг харуулж байна.

2, 0, −3 хэлбэрийн бүхэл тоог координатын шулуун дээр тэмдэглэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

Бусад тоонуудын хувьд бүх зүйл илүү сонирхолтой байдаг: энгийн бутархай, холимог тоо, аравтын бутархай гэх мэт. Эдгээр тоонууд нь бүхэл тоонуудын хооронд байрладаг бөгөөд эдгээр тоонууд хязгааргүй олон байдаг.

Жишээлбэл, координатын шулуун дээр рационал тоог тэмдэглэе. Энэ тоотэгээс нэгийн хооронд яг оршдог

Бутархай яагаад гэнэт тэгээс нэгийн хооронд байрлаж байгааг ойлгохыг хичээцгээе.

Дээр дурдсанчлан бүхэл тоонуудын хооронд бусад тоонууд байдаг - энгийн бутархай, аравтын бутархай, холимог тоо гэх мэт. Жишээлбэл, хэрэв та координатын шугамын хэсгийг 0-ээс 1 хүртэл нэмэгдүүлбэл дараах зургийг харж болно

0 ба 1 бүхэл тоонуудын хооронд танил аравтын бутархай бусад рационал тоонууд байгааг харж болно. Эндээс та аравтын бутархай 0.5-тай ижил газарт байрлах манай бутархайг харж болно. Энэ зургийг сайтар судалж үзэх нь яагаад фракц яг тэнд байрладаг вэ гэсэн асуултын хариуг өгдөг.

Бутархай гэдэг нь 1-ийг 2-т хуваана гэсэн үг. Мөн 1-ийг 2-т хуваавал 0.5 болно.

0.5-ын аравтын бутархайг бусад бутархайгаар далдлах боломжтой. Бутархайн үндсэн шинж чанараас бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваахад бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ.

Хэрэв бутархайн хуваагч ба хуваагчийг дурын тоогоор, жишээлбэл 4-өөр үржүүлбэл бид шинэ бутархай авах бөгөөд энэ бутархай нь мөн 0.5-тай тэнцүү байна.

Энэ нь координатын шугам дээр бутархайг хэсэг байрлаж байсан газарт байрлуулж болно гэсэн үг юм

Жишээ 2.Координат дээр рационал тоог тэмдэглэхийг оролдъё. Энэ тоо нь яг 1 ба 2-ын хооронд байрладаг

Бутархай утга нь 1.5

Хэрэв бид координатын шугамын хэсгийг 1-ээс 2 хүртэл нэмэгдүүлбэл дараах зургийг харах болно.

1 ба 2-ын бүхэл тоонуудын хооронд танил аравтын бутархай бусад рационал тоонууд байгааг харж болно. Эндээс та аравтын бутархай 1.5-тай ижил газарт байрлах манай бутархайг харж болно.

Бид координатын шугам дээрх тодорхой сегментүүдийг томруулж, энэ сегмент дээр байгаа үлдсэн тоог харав. Үүний үр дүнд бид аравтын бутархайн араас нэг оронтой тооны бутархайг олж мэдсэн.

Гэхдээ тэд тийм биш байсан ганц тоо, эдгээр сегментүүд дээр хэвтэж байна. Координатын шулуун дээр хязгааргүй олон тоо байна.

Аравтын бутархайн араас нэг оронтой бутархай бутархайн дунд аравтын бутархайн араас хоёр оронтой бусад бутархай байдаг гэдгийг таахад хэцүү биш. Өөрөөр хэлбэл сегментийн зуутын хэсэг.

Жишээлбэл, 0.1 ба 0.2 аравтын бутархайн хооронд байрлах тоог харахыг хичээцгээе.

Өөр нэг жишээ. Аравтын бутархайн араас хоёр оронтой, тэг ба рационал тоо 0.1 хооронд байрлах аравтын бутархайнууд дараах байдалтай байна.

Жишээ 3.Координатын шулуун дээр рационал тоог тэмдэглэе. Энэ оновчтой тоо нь тэгтэй маш ойрхон байх болно

Бутархайн утга нь 0.02 байна

Хэрэв бид сегментийг 0-ээс 0.1 хүртэл өсгөвөл оновчтой тоо яг хаана байрлаж байгааг харах болно

Бидний рационал тоо нь аравтын бутархай 0.02-той нэг байранд байрлаж байгааг харж болно.

Жишээ 4.Координатын шулуун дээр 0 оновчтой тоог тэмдэглэе, (3)

0, (3) оновчтой тоо нь хязгааргүй үечилсэн бутархай юм. Түүний бутархай хэсэгхэзээ ч дуусдаггүй, төгсгөлгүй

0,(3) тоо нь хязгааргүй бутархай хэсэгтэй тул координатын шугам дээрх энэ тоо байгаа газрыг яг олох боломжгүй болно гэсэн үг юм. Бид энэ газрыг зөвхөн ойролцоогоор зааж өгч болно.

0.33333... рационал тоо нь энгийн аравтын бутархай 0.3-тай маш ойрхон байрлана.

Энэ зураг нь 0,(3) тооны яг байршлыг харуулаагүй болно. Энэ бол үечилсэн бутархай 0.(3) нь энгийн аравтын бутархай 0.3-тай хэр ойрхон болохыг харуулах жишээ л юм.

Жишээ 5.Координатын шулуун дээр рационал тоог тэмдэглэе. Энэ оновчтой тоо нь 2 ба 3 тоонуудын дунд байрлана

Энэ нь 2 (хоёр бүхэл тоо) ба (нэг секунд) юм. Бутархайг мөн "хагас" гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид координатын шугам дээр хоёр бүхэл сегмент, өөр хагас сегментийг тэмдэглэв.

Хэрэв бид холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргавал бид энгийн бутархай болно. Координатын шугам дээрх энэ бутархай нь бутархайтай нэг газар байрлана

Бутархайн утга нь 2.5 байна

Хэрэв бид координатын шугамын хэсгийг 2-оос 3 хүртэл нэмэгдүүлбэл дараах зургийг харах болно.

Бидний рационал тоо нь аравтын бутархай 2.5-тай нэг газар байрлаж байгааг харж болно

Рационал тооны өмнөх хасах

Өмнөх хичээлээр бид бүхэл тоог хэрхэн хуваахыг сурсан. Эерэг ба сөрөг тоо хоёулаа ногдол ашиг, хуваагч болж чадна.

Хамгийн энгийн илэрхийлэлийг авч үзье

(−6) : 2 = −3

IN энэ илэрхийлэлногдол ашиг (−6) нь сөрөг тоо юм.

Одоо хоёр дахь илэрхийллийг авч үзье

6: (−2) = −3

Энд хуваагч (−2) аль хэдийн сөрөг тоо байна. Гэхдээ хоёр тохиолдолд бид ижил хариултыг авдаг -3.

Аливаа хуваагдлыг бутархай хэлбэрээр бичиж болно гэж үзвэл дээр дурдсан жишээнүүдийг бутархай хэлбэрээр бичиж болно.

Хоёр тохиолдолд бутархайн утга ижил байдаг тул тоологч эсвэл хуваагч дахь хасахыг бутархайн урд байрлуулснаар нийтлэг болгож болно.

Иймд мөн гэсэн үгийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавьж болно, учир нь тэдгээр нь ижил утгатай

Цаашид бутархайтай ажиллахдаа хуваагч эсвэл хуваарьт хасах тэмдэгтэй тулгарвал бутархайн урд байрлуулж энэ хасах нийтлэгийг гаргана.

Эсрэг оновчтой тоонууд

Бүхэл тоотой адил рационал тоо нь эсрэг тоотой байдаг.

Жишээлбэл, оновчтой тооны хувьд эсрэг тоонь . Энэ нь координатын гарал үүсэлтэй харьцуулахад байрлалтай тэгш хэмтэй координатын шугам дээр байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоо хоёулаа гарал үүслээсээ ижил зайд байна

Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлэх

Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргахын тулд бүхэл хэсгийг бутархай хэсгийн хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоонд нэмэх хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ. Үүссэн тоо нь шинэ бутархайн хуваагч байх боловч хуваагч хэвээр байна.

Жишээлбэл, холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье

Бүхэл хэсгийг бутархай хэсгийн хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоог нэмнэ.

Энэ илэрхийлэлийг тооцоолъё:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Үр дүнгийн тоо 5 нь шинэ бутархайн хуваагч байх боловч хуваагч ижил хэвээр байна.

Энэ процедурыг бүрэн эхээр нь дараах байдлаар бичсэн болно.

Анхны холимог тоог буцаахын тулд бутархай дахь хэсгийг бүхэлд нь сонгоход хангалттай

Гэхдээ холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргах энэ аргыг зөвхөн холимог тоо эерэг байвал л хэрэглэнэ. Сөрөг тооны хувьд энэ аргаажиллахгүй.

Бутархайг авч үзье. Энэ бутархай хэсгийг бүхэлд нь сонгоцгооё. Бид авдаг

Анхны бутархайг буцаахын тулд та холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргах хэрэгтэй. Гэхдээ хэрэв бид хуучин дүрмийг ашиглавал, тухайлбал, бүхэл хэсгийг бутархай хэсгийн хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн тоонд бутархай хэсгийн тоог нэмбэл дараахь зөрчилдөөнийг олж авна.

Бид бутархай авсан, гэхдээ бид бутархай авах ёстой байсан.

Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргасан гэж бид дүгнэж байна

Холимог сөрөг тоог буруу бутархай болгон зөв хөрвүүлэхийн тулд та бүхэл хэсгийг бутархай хэсгийн хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй. хасахбутархай хэсгийн тоологч. Энэ тохиолдолд бидний хувьд бүх зүйл байрандаа орох болно

Холимог сөрөг тоо нь холимог тооны эсрэг тоо юм. Хэрэв эерэг холимог тоо баруун талд байрлаж, иймэрхүү харагдаж байвал

Рационал тоо

Квартал

1. Эмх цэгцтэй байдал. аТэгээд бТэдгээрийн хоорондох гурван харилцааны зөвхөн нэгийг нь ялгах боломжийг олгодог дүрэм байдаг: "< », « >"эсвэл" = ". Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг захиалгын дүрэмба дараах байдлаар томъёолсон: хоёр сөрөг бус тоомөн хоёр бүхэл тоотой ижил хамаарлаар холбогддог ба ; хоёр эерэг бус тоо аТэгээд бнь сөрөг бус хоёр тоотой ижил хамаарлаар холбогдсон ба ; хэрэв гэнэт асөрөг биш, гэхдээ б- тэгвэл сөрөг а > б.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Бутархай нэмэхНэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд нэгтгэх дүрэм вгэж нэрлэгддэг зүйл байдаг в. Түүнээс гадна тоо нь өөрөө дуудсантоо аТэгээд бхэмжээ ба -аар тэмдэглэгдэх ба ийм тоог олох үйл явцыг гэнэнийлбэр .
3. . Дүгнэлтийн дүрэм нь дараах хэлбэртэй байна.Нэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд үржүүлэх дүрэмҮржүүлэх үйл ажиллагаа. вгэж нэрлэгддэг зүйл байдаг в. Түүнээс гадна тоо нь өөрөө ажилтоо аТэгээд б, энэ нь тэдэнд ямар нэг оновчтой тоог өгдөг ба -аар тэмдэглэдэг ба ийм тоог олох үйл явцыг мөн нэрлэдэгүржүүлэх .
4. Захиалгын харилцааны шилжилт хөдөлгөөн.. Үржүүлэх дүрэм дараах байдалтай байна. а , бТэгээд вДурын рационал тоонуудын хувьд аХэрэв бТэгээд бХэрэв вбага аХэрэв в, Тэр а, мөн хэрэв бТэгээд б, мөн хэрэв вбага а, мөн хэрэв втэнцүү байна
5. . 6435">Нэмэх солих чадвар. Рационал нэр томьёоны газрыг өөрчлөхөд нийлбэр өөрчлөгдөхгүй. Нэмэлтийн холбоо.Захиалга
6. гурав нэмнэоновчтой тоо нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.
7. Тэг байгаа эсэх.Нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 0 рационал тоо байдаг.
8. Эсрэг тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой байдаг бөгөөд үүнийг нэмэхэд 0 болно.
9. Үржүүлэхийн шилжих чадвар.Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.
10. Үржүүлэхийн холбоо.Гурван оновчтой тоог үржүүлэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.
11. Нэгжийн бэлэн байдал.Үржүүлэхэд бусад бүх рационал тоог хадгалдаг рационал тоо 1 байдаг.
12. Харилцан тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь урвуу рационал тоотой бөгөөд үүнийг үржүүлэхэд 1 болно.
13. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт.Үржүүлэх үйлдлийг нэмэх үйлдэлтэй хуваарилах хуулиар зохицуулдаг.
14. Нэмэх үйлдэлтэй дарааллын харьцааны холболт.Рационал тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талд ижил рационал тоог нэмж болно. а/зураг/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> аАрхимедийн аксиом.

Ямар ч оновчтой тоо

, та тэдгээрийн нийлбэр нь хэтэрсэн маш олон нэгж авч болно

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Олонлогийн тоолох чадвар

Рационал тоонуудын дугаарлалт

Рационал тоонуудын тоог тооцоолохын тулд та тэдгээрийн багцын үндсэн байдлыг олох хэрэгтэй. Рационал тооны олонлог нь тоолж болдог гэдгийг батлахад амархан. Үүнийг хийхийн тулд рационал тоонуудыг тоолох, өөрөөр хэлбэл рационал болон натурал тооны олонлогуудын хоорондох ялгааг бий болгох алгоритмыг өгөхөд хангалттай.

Эдгээр алгоритмуудын хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Төгсгөлгүй хүснэгт бий болно энгийн бутархай, тус бүр дээр би- тус бүр дэх мөр jбутархай байрласан багана. Тодорхой байхын тулд энэ хүснэгтийн мөр, багануудыг нэгээс эхлэн дугаарласан гэж үздэг. Хүснэгтийн нүдийг , хаана гэж тэмдэглэнэ би- нүд байрлах хүснэгтийн эгнээний дугаар, ба j- баганын дугаар.

Үр дүнгийн хүснэгтийг "могой" ашиглан дараах албан ёсны алгоритмын дагуу тойрно.

Эдгээр дүрмүүдийг дээрээс доош хайж, эхний тохирол дээр үндэслэн дараагийн байрлалыг сонгоно.

Ийм эргэлтийн явцад шинэ рационал тоо бүр өөр натурал тоотой холбоотой байдаг. Өөрөөр хэлбэл, 1/1 бутархайг 1-ийн тоонд, 2/1-ийн бутархайг 2-ын тоонд хуваарилдаг. Зөвхөн үүнийг анхаарах хэрэгтэй. бууруулж болохгүй бутархай. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийн хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байх нь бууралтгүй байдлын албан ёсны шинж тэмдэг юм.

Энэ алгоритмын дагуу бид бүх эерэг рационал тоог тоолж болно. Энэ нь эерэг рационал тооны багцыг тоолж болно гэсэн үг юм. Рационал тоо бүрд эсрэгээр нь оноож өгснөөр эерэг ба сөрөг рационал тоонуудын хоорондын ялгааг тогтооход хялбар байдаг. Тэр. сөрөг рационал тоонуудын багцыг мөн тоолох боломжтой. Тэдний нэгдэл нь мөн тоолж болох олонлогийн шинж чанараар тоологддог. Рационал тооны олонлогийг мөн тоолж болох олонлогийн төгсгөлтэй олонлогийн нэгдэл гэж тооцдог.

Рационал тооны олонлогийг тоолох тухай мэдэгдэл нь зарим нэг төөрөгдөл үүсгэж магадгүй, учир нь эхлээд харахад энэ нь натурал тоонуудын багцаас хамаагүй өргөн юм шиг санагддаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм биш бөгөөд бүх оновчтой тоог тоолоход хангалттай натурал тоонууд байдаг.

Рационал тоо дутагдалтай

Ийм гурвалжны гипотенузыг ямар ч рационал тоогоор илэрхийлэх боломжгүй

Маягтын рационал тоо 1 / nтомоор nдур мэдэн бага хэмжээгээр хэмжиж болно. Энэ баримтыг бий болгодог төөрөгдүүлсэн сэтгэгдэлРационал тоог дурын геометрийн зайг хэмжихэд ашиглаж болно. Энэ нь үнэн биш гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• И.Кушнир. Сургуулийн хүүхдүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага. - Киев: ASTARTA, 1998. - 520 х.
• P. S. Александров. Олонлогын онол ба ерөнхий топологийн танилцуулга. - М .: бүлэг. ed. физик, математик ассан. ed. "Шинжлэх ухаан", 1977
• I. L. Хмельницкий. Алгебрийн системийн онолын танилцуулга

Холбоосууд

Викимедиа сан.