Хаалттай багцын тодорхойлолт. Хаалттай ба нээлттэй багц

Цэгийн олонлогын онолын нэг гол ажил бол шинж чанарыг судлах явдал юм янз бүрийн төрөлцэгийн багц. Энэ онолтой хоёр жишээн дээр танилцаж, хаалттай ба нээлттэй олонлогийн шинж чанарыг судалцгаая.

багц гэж нэрлэдэг хаалттай , хэрэв энэ нь түүний бүх хязгаарыг агуулж байгаа бол. Хэрэв багцад нэг хязгаарын цэг байхгүй бол түүнийг мөн хаалттай гэж үзнэ. Хаалттай багц нь хязгаарын цэгүүдээс гадна тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулж болно. багц гэж нэрлэдэг нээлттэй , хэрэв түүний цэг бүр түүний хувьд дотоод бол.

өгье хаалттай ба нээлттэй багцуудын жишээ .

Сегмент бүр хаалттай олонлог, интервал бүр (a, b) нь нээлттэй олонлог юм. Зохисгүй хагас интервал ба хаалттай, болон зохисгүй интервал ба нээлттэй. Бүх шугам нь хаалттай ба нээлттэй багц юм. Хоосон багцыг нэгэн зэрэг хаалттай, нээлттэй гэж үзэх нь тохиромжтой. Ямар ч хязгаарлагдмал олонлогШугамын цэгүүд хязгааргүй тул хаалттай байна.

Цэгээс бүрдэх багц:

хаалттай; Энэ олонлог нь олонлогт хамаарах x=0 өвөрмөц хязгаарын цэгтэй.

Гол ажил бол дурын хаалттай эсвэл нээлттэй багц хэрхэн бүтэцлэгдсэнийг олж мэдэх явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд хэд хэдэн туслах баримт хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авах болно.

1. Дурын тооны битүү олонлогийн огтлолцол хаалттай байна.
2. Дурын тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм.
3. Хэрэв битүү олонлогийг дээр нь хязгаарласан бол энэ нь дээд хэмжээг агуулна. Үүний нэгэн адил, хэрэв битүү олонлог доор хязгаарлагдсан бол энэ нь өөрийн infimum-ийг агуулна.

E нь шулуун дээрх дурын олонлог байг. Бид E олонлогийн нэмэлтийг дуудаж, биш шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлогийг CE гэж тэмдэглэнэ олон хүнд харьяалагддаг E. Хэрэв х нь Е-ийн гадаад цэг бол CE олонлогийн дотоод цэг мөн эсрэгээр нь тодорхой байна.

4. Хэрэв F олонлог хаалттай бол түүний нэмэлт CF нээлттэй ба эсрэгээр.

Санал 4 нь хаалттай болон нээлттэй олонлогуудын хооронд нэлээд ялгаа байгааг харуулж байна. ойр холболт: зарим нь бусдыг нөхдөг. Үүнээс болоод зарим нэг хаалттай эсвэл заримыг нь судлахад хангалттай нээлттэй багц. Нэг төрлийн олонлогийн шинж чанарыг мэдэх нь өөр төрлийн олонлогийн шинж чанарыг шууд олж мэдэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, аливаа нээлттэй багцыг заримыг нь хасах замаар олж авдаг хаалттай багц.

Битүү олонлогийн шинж чанарыг судалж эхэлцгээе. Нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. F нь хаалттай олонлог байг. Аль ч цэг нь F олонлогт хамаарахгүй, харин a ба b цэгүүд нь F олонлогт хамаарах шинж чанартай (a, b) интервалыг F олонлогийн зэргэлдээх интервал гэнэ.

Мөн бид зэргэлдээх интервалуудын дунд зохисгүй интервалуудыг оруулах болно, эсвэл a цэг эсвэл b цэг нь F олонлогт хамаарах ба интервалууд нь F-тэй огтлолцохгүй бол. Хэрэв х цэг нь F битүү олонлогт хамаарахгүй бол түүний зэргэлдээх интервалуудын аль нэгэнд хамаарах болохыг харуулъя.

Х цэгийн баруун талд байрлах F олонлогийн хэсгээр тэмдэглэе. X цэг өөрөө F олонлогт хамаарахгүй тул үүнийг огтлолцол хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Багц бүр нь F ба хаалттай. Тиймээс 1-р саналаар багц хаалттай байна. Хэрэв олонлог хоосон бол бүхэл бүтэн хагас интервал нь F олонлогт хамаарахгүй. Одоо олонлог хоосон биш гэж үзье. Энэ багц нь бүхэлдээ хагас интервал дээр байрладаг тул доороос хязгаарлагдана. Түүний доод хязгаарыг b гэж тэмдэглэе. 3-р саналын дагуу, энэ нь гэсэн үг. Цаашилбал, b учраас доод ирмэголонлог, тэгвэл b цэгийн зүүн талд байрлах хагас интервал (x, b) нь олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй тул F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй болно. Тиймээс бид хагас интервал ( x, b) F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй ба аль эсвэл b цэг нь F олонлогт хамаарна. Үүний нэгэн адил F олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервал (a, x) байгуулна. Одоо (a, b) интервал нь х цэгийг агуулсан бөгөөд F олонлогийн зэргэлдээх интервал болох нь тодорхой боллоо. Хэрэв F олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервал нь ба бол эдгээр интервалууд нь давхцах эсвэл давхцах нь ойлгомжтой. огтлолцохгүй.

Өмнөхөөс харахад шугам дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамаас тодорхой тооны интервалуудыг, тухайлбал F олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг хасснаар олж авдаг. Интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулж байдаг тул тоолж болох олонлог байдаг. Шугаман дээрх бүх оновчтой цэгүүд, бүх зэргэлдээх интервалуудын тоог хамгийн их тоолох боломжтой эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид олонлогийг шугамаас хассанаар олж авна.

4-р саналын дагуу шугам дээрх нээлттэй олонлог бүр нь салангид интервалуудын тоолж болох нийлбэрээс өөр зүйл биш гэдгийг шууд харуулж байна. 1 ба 2-р саналын дагуу дээр дурдсанчлан зохион байгуулагдсан аливаа багц нь үнэхээр хаалттай (нээлттэй) байх нь тодорхой байна.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Топологийн орон зайг өгье $(X,\маткал(T))$ . Олон $V\дэд олонлог X$ дуудсан хаалттайтопологийн талаар $\mathcal(T)$ , хэрэв нээлттэй багц байгаа бол $U\in\mathcal(T)$ тиймэрхүү $U = X\setminus V$ .

Хаалт

Багцыг хааж байна $У$ топологийн орон зай $X$ оруулах талаар хамгийн бага хаалттай олонлог гэж нэрлэдэг $З$ агуулсан $У$ .

Багцыг хаах $U\дэд олонлог X$ ихэвчлэн тэмдэглэдэг $\bar U$ , $\mathop(\rm Cl)U$ эсвэл $\mathrm(Cl)_X U$ ; гэдгийг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай бол сүүлчийн тэмдэглэгээг хэрэглэнэ $\bar U$ орон зай дахь олонлог гэж үздэг $X$ .

Үл хөдлөх хөрөнгө

Олон $У$ зөвхөн хэрэв тийм бол хаагдсан $\bar U=U$ .

Жишээ

Хоосон багц $\varnothing$ үргэлж хаалттай (мөн нэгэн зэрэг нээлттэй).
Сегмент $\дэд багц \mathbb(R)$ нэмэлт нь нээлттэй тул бодит шугам дээрх стандарт топологид хаалттай байна.
Олон $\mathbb(Q) \cap$ рационал тоонуудын орон зайд хаалттай $\mathbb(Q)$ , гэхдээ бүх орон зайд хаалттай биш бодит тоо $\mathbb(R)$ .

Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт

Мөн үзнэ үү

"Хаалттай багц" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй

Тэмдэглэл

Уран зохиол

Завало С.Т.Шинжилгээний элементүүд. Олон гишүүнтийн алгебр. - Киев: Радянская сургууль, 1972.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Функцийн онол ба функциональ шинжилгээний элементүүд. - М.: Физматлит, 2004. - 575 х. - ISBN 5-9221-0266-4.
Фихтэнголц Г.М.Үндсэн мэдээлэл математик шинжилгээ. - М.: Шинжлэх ухаан, 1954.

Хаалттай багцыг тодорхойлсон ишлэл

Наташа түүнтэй анхны уулзсан хүмүүсийн нэг байв. Тэр цэнхэр өнгийн гэрийн даашинз өмссөн байсан бөгөөд энэ нь хунтайж Андрейд бөмбөгний даашинзаас ч илүү сайхан санагдсан. Тэрээр болон Ростовын бүхэл бүтэн гэр бүлийнхэн хунтайж Андрейг хуучин найз шигээ энгийн бөгөөд эелдэг байдлаар хүлээж авсан. Ханхүү Андрейгийн өмнө нь хатуу шүүж байсан бүхэл бүтэн гэр бүл одоо түүнд гайхалтай, энгийн, эелдэг хүмүүсээс бүрдсэн мэт санагдаж байв. Санкт-Петербургт онцгой анхаарал татсан хуучин графын зочломтгой байдал, сайхан зан чанар нь хунтайж Андрей оройн хоолноос татгалзаж чадахгүй байв. "Тийм ээ, эдгээр нь эелдэг, сайхан хүмүүс юм" гэж Болконский бодлоо, мэдээжийн хэрэг Наташад байгаа эрдэнэсийг огтхон ч ойлгохгүй байна; Гэхдээ сайн хүмүүсЭнэ нь ялангуяа яруу найраг, амьдралаар дүүрэн, дур булаам охины бусдаас ялгарах хамгийн сайн суурь болж өгдөг!"
Ханхүү Андрей Наташад өөрт нь огт харь, үл мэдэгдэх баяр баяслаар дүүрэн онцгой ертөнц байгааг мэдэрсэн бөгөөд тэр үед ч Отрадненскийн гудамж, цонхон дээр сартай шөнө түүнийг маш их шоолж байв. Одоо энэ ертөнц түүнийг шоолохоо больсон, харь гаригийн ертөнц байхаа больсон; гэвч тэр өөрөө үүнд орсноор өөртөө шинэ таашаал олж авав.
Оройн хоолны дараа Наташа хунтайж Андрейгийн хүсэлтээр clavichord руу очиж дуулж эхлэв. Ханхүү Андрей цонхны дэргэд зогсоод хатагтай нартай ярилцаж, түүнийг сонсов. Өгүүлбэрийн дундуур хунтайж Андрей чимээгүй болж, хоолойд нь нулимс цийлэгнэж байгааг мэдэрлээ, энэ нь түүний дотор байсан гэдгийг мэдэхгүй байв. Тэр Наташа дуулахыг хараад түүний сэтгэлд шинэ, аз жаргалтай зүйл тохиолдов. Тэр баярлаж, нэгэн зэрэг гунигтай байв. Түүнд уйлах зүйл огт байхгүй байсан ч тэр уйлахад бэлэн байв. Юуны тухай? ТУХАЙ хуучин хайр? Бяцхан гүнжийн тухай? Таны урам хугарсан тухай?... Ирээдүйд итгэх итгэлийн тухай?... Тийм, үгүй. Түүний уйлахыг хүссэн гол зүйл бол түүний дотор байгаа хязгааргүй агуу бөгөөд тодорхойлашгүй зүйл, түүний өөрөө байсан, тэр ч байтугай түүний байгаа нарийн бөгөөд бие махбодын хооронд гэнэт ойлгосон аймшигтай эсэргүүцэл байв. Энэ эсрэг тал нь түүнийг дуулж байхдаа тарчилж, баярлуулж байв.
Наташа дуулж дуусмагц түүн дээр ирж, түүний хоолой хэр таалагдаж байгааг асуув. Тэр ингэж асуусан бөгөөд үүнийг хэлснийхээ дараа үүнийг асуух ёсгүй гэдгээ ойлгоод ичиж эхлэв. Тэр түүн рүү хараад инээмсэглээд түүний дуулах нь юу ч хийхээс дутахгүй дуртай гэдгээ хэлэв.
Ханхүү Андрей орой үдэш Ростовыг орхив. Тэрээр зуршлаасаа болж орондоо орсон боловч удалгүй унтаж чадахгүй байгааг олж мэдэв. Тэр лаа асаагаад орондоо суугаад, босоод, нойргүйдэлд огтхон ч дарагдаагүй, дахин хэвтэв: түүний сүнс үнэхээр баяр баясгалантай, шинэхэн байсан бөгөөд тэр бүгчим өрөөнөөс Бурханы чөлөөт гэрэлд хөл тавьсан мэт байв. Түүнийг Ростовад дурласан гэж хэзээ ч санасангүй; тэр түүний тухай бодоогүй; тэр зөвхөн түүнийг төсөөлж байсан бөгөөд үүний үр дүнд түүний бүх амьдрал түүнд шинэ гэрэл гэгээтэй мэт санагдаж байв. "Амьдрал, бүх амьдрал бүх баяр баясгалантай надад нээлттэй байхад би юуны төлөө тэмцэж байна вэ, би яагаад энэ нарийн, хаалттай хүрээнд бужигнаж байна вэ?" гэж тэр өөртөө хэлэв. Мөн тэрээр удаан хугацааны дараа анх удаагаа ирээдүйнхээ аз жаргалтай төлөвлөгөөг гаргаж эхлэв. Тэрээр хүүгээ хүмүүжүүлж, түүнд багш олж, түүнд даатгах хэрэгтэй гэж ганцаараа шийдсэн; тэгвэл та тэтгэвэртээ гараад гадаад руу явах хэрэгтэй, Англи, Швейцарь, Итали орно. "Би маш их хүч чадал, залуу насыг мэдэрч байхдаа эрх чөлөөгөө ашиглах хэрэгтэй" гэж тэр өөртөө хэлэв. Аз жаргалтай байхын тулд аз жаргалын боломжид итгэх хэрэгтэй гэж Пьер зөв хэлсэн, одоо би түүнд итгэж байна. Үхэгсдийг оршуулахын тулд үхэгсдийг орхиё, гэхдээ чи амьд байхдаа амьдарч, аз жаргалтай байх ёстой" гэж тэр бодлоо.

Цэгний олонлогын онолын үндсэн зорилтуудын нэг бол янз бүрийн төрлийн цэгийн олонлогийн шинж чанарыг судлах явдал юм. Энэ онолтой хоёр жишээн дээр танилцаж, хаалттай ба нээлттэй олонлогийн шинж чанарыг судалцгаая.

Бүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлогийг хаалттай гэж нэрлэдэг. Хэрэв багцад нэг хязгаарын цэг байхгүй бол түүнийг мөн хаалттай гэж үзнэ. Хаалттай багц нь хязгаарын цэгүүдээс гадна тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулж болно. Цэг бүр нь түүний дотор байгаа олонлогийг нээлттэй гэж нэрлэдэг.

Битүү ба нээлттэй багцуудын жишээг өгье. Сегмент бүр хаалттай олонлог, интервал бүр нь нээлттэй олонлог юм. Зохисгүй хагас интервалууд бас хаалттай, буруу завсарлага нь нээлттэй байдаг. Бүх шугам нь хаалттай ба нээлттэй багц юм. Хоосон багцыг нэгэн зэрэг хаалттай, нээлттэй гэж үзэх нь тохиромжтой. Шугаман дээрх аливаа хязгаарлагдмал цэгүүд нь хязгааргүй тул хаалттай байдаг. Цэгүүдээс бүрдсэн багц

хаалттай; Энэ багц нь багцад хамаарах өвөрмөц хязгаарын цэгтэй.

Бидний даалгавар бол дурын хаалттай эсвэл нээлттэй багц хэрхэн бүтэцлэгдсэнийг олж мэдэх явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд хэд хэдэн туслах баримт хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авах болно.

1. Дурын тооны битүү олонлогийн огтлолцол хаалттай байна.

2. Дурын тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм.

3. Хэрэв битүү олонлогийг дээр нь хязгаарласан бол энэ нь дээд хэмжээг агуулна. Үүний нэгэн адил, хэрэв битүү олонлог доор хязгаарлагдсан бол энэ нь өөрийн infimum-ийг агуулна.

Шугаман дээрх дурын олонлог цэг байцгаая. Үүнийг олонлогийн бүрэн гүйцэтгэгч гэж нэрлээд, олонлогт хамаарахгүй шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлогоор тэмдэглэе. Хэрэв гадаад цэг байгаа бол энэ нь олонлогийн дотоод цэг мөн эсрэгээр нь тодорхой байна.

4. Хэрэв олонлог хаалттай бол түүний нэмэлт нь нээлттэй ба эсрэгээр байна.

Санал 4 нь хаалттай ба нээлттэй олонлогуудын хооронд маш нягт холбоо байгааг харуулж байна: зарим нь бусдыг нөхдөг. Ийм учраас зөвхөн хаалттай эсвэл зөвхөн нээлттэй багцуудыг судлахад хангалттай. Нэг төрлийн олонлогийн шинж чанарыг мэдэх нь өөр төрлийн олонлогийн шинж чанарыг шууд олж мэдэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, ямар ч нээлттэй олонлогийг шугамаас зарим хаалттай олонлогийг хасснаар олж авдаг.

Битүү олонлогийн шинж чанарыг судалж эхэлцгээе. Нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. Хаалттай багц байцгаая. Аль ч цэг нь олонлогт хамаарахгүй, харин цэгүүд нь хамаарах шинж чанартай интервалыг олонлогийн зэргэлдээх интервал гэнэ. Хэрэв цэг эсвэл цэг нь олонлогт хамаарах бөгөөд интервалууд нь огтлолцохгүй бол бид буруу интервалууд эсвэл зэргэлдээх интервалуудын дунд оруулах болно. Хэрэв цэг нь битүү олонлогт хамаарахгүй бол түүний зэргэлдээх интервалуудын аль нэгэнд хамаарах болохыг харуулъя.

Цэгийн баруун талд байрлах олонлогийн хэсгээр тэмдэглэе. Цэг нь өөрөө олонлогт хамаарахгүй тул огтлолцлын хэлбэрээр дүрсэлж болно

Багц бүр хаалттай байна. Тиймээс 1-р саналаар багц хаалттай байна. Хэрэв багц хоосон бол хагас интервал бүхэлдээ олонлогт хамаарахгүй. Одоо багц хоосон биш гэж үзье. Энэ багц нь бүхэлдээ хагас интервал дээр байрладаг тул доор нь хязгаарлагдана. Доод ирмэгээр нь тэмдэглэе. 3-р саналын дагуу, , тиймээс . Цаашилбал, олонлогийн инфимум байгаа тул цэгийн зүүн талд байрлах хагас интервал нь олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй тул олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй болно. Тиймээс, бид олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервалыг байгуулсан бөгөөд аль нэг нь, эсвэл цэг нь олонлогт харьяалагддаг. Үүний нэгэн адил олонлогийн цэгүүдийг агуулаагүй хагас интервалыг байгуулдаг ба , эсвэл . Одоо интервал нь цэгийг агуулж байгаа бөгөөд олонлогийн зэргэлдээх интервал болох нь тодорхой боллоо. Хэрэв олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервал мөн бол эдгээр интервалууд нь давхцаж эсвэл огтлолцохгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Өмнөхөөс харахад шугам дээрх аливаа хаалттай олонлогийг шугамнаас тодорхой тооны интервалууд, тухайлбал олонлогийн зэргэлдээх интервалуудыг хассанаар олж авдаг. Интервал бүр дор хаяж нэг оновчтой цэгийг агуулж, шугаман дээрх бүх рационал цэгүүдийн тоолж болох олонлог байдаг тул зэргэлдээх бүх интервалуудын тоог хамгийн их тоолох боломжтой эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Эндээс бид эцсийн дүгнэлтээ гаргана. Шугаман дээрх хаалттай олонлог бүрийг хамгийн ихдээ тоолж болохуйц салангид интервалын багцыг шугамаас хассанаар олж авдаг.

Дараах жишээнээс харахад хаалттай багцууд нь маш нарийн бүтэцтэй байж болно.

Cantor төгс иж бүрдэл

Цувралтай нэг тусгай хаалттай багц байгуулцгаая гайхалтай шинж чанарууд. Юуны өмнө буруу интервалууд болон шугамаас хасъя. Энэ үйлдлийн дараа бид сегменттэй үлдэх болно. Дараа нь энэ сегментээс дундын гуравны нэгийг бүрдүүлдэг интервалыг хасъя. Үлдсэн хоёр сегмент бүрээс дунд гуравны нэгийг нь салга. Бид үлдсэн сегментүүдийн дунд гуравны нэгийг арилгах үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлнэ. Эдгээр бүх интервалыг арилгасны дараа үлдсэн шугам дээрх цэгүүдийн багцыг Cantor perfect set гэж нэрлэдэг; бид үүнийг үсгээр тэмдэглэх болно.

Энэ багцын зарим шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь шугамаас салангид интервалуудын тодорхой багцыг хасах замаар үүсдэг тул энэ нь хаалттай байна. Багц хоосон биш; ямар ч тохиолдолд энэ нь бүх хаягдсан интервалуудын төгсгөлийг агуулна.

Хаалттай багц гэж нэрлэдэг төгс, хэрэв энэ нь тусгаарлагдсан цэгүүдийг агуулаагүй бол, өөрөөр хэлбэл түүний цэг бүр хязгаарын цэг байвал. Энэ багц төгс гэдгийг харуулцгаая. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэг цэг нь олонлогийн тусгаарлагдсан цэг байсан бол энэ олонлогийн хоёр зэргэлдээх интервалын нийтлэг төгсгөл болно. Гэхдээ барилгын ажлын дагуу багцын зэргэлдээх интервалууд нь нийтлэг төгсгөлгүй байдаг.

Уг багц нь нэг интервал агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ тодорхой интервал бүхэлдээ олонлогт хамаарна гэж үзье. Дараа нь энэ нь бүхэлдээ багцыг барих 3-р шатанд олж авсан сегментүүдийн аль нэгэнд хамаарна. Гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь эдгээр сегментүүдийн урт нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Энэ багц нь үргэлжилсэн үндсэн шинж чанартай болохыг харуулж болно. Тодруулбал, энэ нь Канторынх юм төгс багцзэргэлдээх интервалуудын төгсгөлөөс гадна бусад цэгүүдийг агуулна. Үнэн хэрэгтээ зэргэлдээх интервалуудын төгсгөлүүд нь зөвхөн тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг.

Математикийн янз бүрийн салбаруудад янз бүрийн төрлийн цэгийн багцууд байнга тулгардаг бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг мэдэх нь олон зүйлийг судлахад зайлшгүй шаардлагатай байдаг. математикийн асуудлууд. Ялангуяа их үнэ цэнэматематикийн шинжилгээ, топологийн цэгийн онолтой.

Шинжилгээний сонгодог хэсгүүдэд цэгийн олонлог харагдах хэд хэдэн жишээг өгье. сегмент дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц байг. Тоогоо засаад ямар цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ олонлог нь сегмент дээр байрлах дурын хаалттай олонлог байж болохыг харуулахад хялбар байдаг. Үүний нэгэн адил цэгүүдийн багц нь ямар ч нээлттэй олонлог байж болно. Хэрэв дараалал байгаа бол тасралтгүй функцууд, сегмент дээр өгөгдсөн бол энэ дараалал нийлдэг цэгүүдийн олонлог нь дур зоргоороо байж болохгүй, гэхдээ маш тодорхой төрөлд хамаарна.

Цэгийн олонлогийн бүтцийг судалдаг математикийн салбарыг нэрлэдэг дүрслэх олонлогын онол. Дүрслэх олонлогын онолыг хөгжүүлэхэд маш том ололт амжилтууд хамаарна Зөвлөлтийн математикчид- Н.Н. Лузин болон түүний шавь нар P.S. Александров, М.Я. Суслин, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, P.S. Новиков, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунова болон бусад.

Н.Н. Лузин болон түүний шавь нар дүрслэх олонлогын онол ба хоёрын хооронд гүн гүнзгий холбоо байдгийг харуулсан математик логик. Дүрслэх олонлогийн онолын хэд хэдэн асуудлыг (ялангуяа тодорхой олонлогийн үндсэн байдлыг тодорхойлох асуудлууд) авч үзэхэд гарч ирдэг бэрхшээлүүд нь логик шинж чанартай хүндрэлүүд юм. Эсрэгээр нь аргууд математик логикдүрслэх олонлогын онолын зарим асуултад илүү гүнзгий нэвтрэх боломжийг бидэнд олгоно.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 5. Х нь метрийн орон зай, ММ Х, аОХ. Хэрэв а-ийн аль ч орчимд M\(a) олонлогийн цэгүүд байвал а цэгийг М-ийн хязгаарын цэг гэнэ. Сүүлийнх нь a-ийн аль ч орчимд a-аас ялгаатай М олонлогийн цэгүүд байдаг гэсэн үг юм.

Тэмдэглэл. 1. Хязгаарлалтын цэг нь олонлогт хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно. Жишээлбэл, 0 ба 1 нь олонлогийн (0,2) хязгаарын цэгүүд боловч эхнийх нь түүнд хамаарахгүй, хоёр дахь нь хамаарна.

2. М олонлогийн цэг нь түүний хязгаарын цэг биш байж болно. Энэ тохиолдолд үүнийг тусгаарлагдсан цэг гэж нэрлэдэг M. Жишээ нь, 1 - тусгаарлагдсан цэгбагц (-1,0)È(1).

3. Хэрэв хязгаарын цэг нь М олонлогт хамаарахгүй бол энэ хэмжүүрийн орон зайд а-д нийлэх x n ОМ цэгүүдийн дараалал байна. Үүнийг батлахын тулд 1/n радиустай энэ цэгээс задгай бөмбөлгүүдийг авч, бөмбөг бүрээс M-д хамаарах цэгийг сонгоход хангалттай. Мөн эсрэгээр нь үнэн, хэрэв a-ийн хувьд ийм дараалал байгаа бол цэг нь а. хязгаар цэг.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 6. М олонлогийн хаалт нь М-ийн хязгаарын олонлогтой нэгдэхийг хэлнэ. Тэмдэглэл

Бөмбөгийг хаах нь ижил радиустай хаалттай бөмбөгтэй давхцах албагүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, салангид орон зайд B(a,1) бөмбөгийг хаах нь бөмбөг өөрөө (нэг цэгээс бүрдэнэ a) тэнцүү байхад хаалттай бөмбөг (a,1) бүх орон зайтай давхцдаг.

Олонлогийн хаалтын зарим шинж чанарыг тайлбарлая.

1. MÌ. Энэ нь хаалтын тодорхойлолтоос шууд гардаг.

2. М М N бол М . Үнэхээр хэрэв a О , a ПМ бол a-ийн аль ч хөршид M олонлогийн цэгүүд байдаг. Эдгээр нь мөн N-ийн цэгүүд юм. Тиймээс aО . М-ийн онооны хувьд энэ нь тодорхойлолтоор тодорхой байна.

4. .

5. Хоосон багцын хаалт хоосон байна. Энэ гэрээ нь үүнээс гарахгүй ерөнхий тодорхойлолт, гэхдээ байгалийн юм.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 7. M М X олонлогийг = M бол хаалттай гэж нэрлэдэг.

X\M олонлог хаалттай байвал M М X олонлогийг нээлттэй гэж нэрлэдэг.

Хэрэв = X бол M М X олонлогийг X-ийн хаа сайгүй нягт гэж хэлнэ.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 8. Зарим эерэг r-ийн хувьд B(a,r)МM бол а цэгийг М олонлогийн дотоод цэг гэнэ. дотоод цэгзарим хөршийн хамт багцад багтсан болно. Зарим эерэг r-ийн хувьд B(a,r)МХ/М бөмбөлөг, өөрөөр хэлбэл дотоод цэг нь зарим хөршийн хамт олонлогт ороогүй бол a цэгийг M олонлогийн гадна цэг гэж нэрлэдэг. М олонлогийн дотор ч, гадна ч биш цэгүүдийг хилийн цэг гэнэ.

Тиймээс хилийн цэгүүд нь тэдний хороолол бүрт М-д багтсан болон ороогүй цэгүүд байдгаараа онцлог юм.

САНАЛ 4. Олонлог нээлттэй байхын тулд түүний бүх цэгүүд дотоод байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай.

Шугаман дээрх хаалттай олонлогуудын жишээ нь , ) юм.