Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар. Корреляцийн мөч. Корреляцийн коэффициент

Бид танилцууллаа тоон шинж чанарнэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X - өөр өөр эрэмбийн эхний ба төв моментууд. Эдгээр шинж чанаруудаас хоёр нь хамгийн чухал нь: математикийн хүлээлт m xба дисперс Dx.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системд ижил төстэй тоон шинж чанаруудыг - янз бүрийн дарааллын эхний ба төв мөчүүдийг нэвтрүүлж болно. Системийн (X, Y) k, s эрэмбийн анхны момент нь X бүтээгдэхүүний математик хүлээлт юм. кдээр Y с:

М[Х кЮ с]

Системийн (X, Y) k, s эрэмбийн төв момент нь математикийн хүлээлт юм бүтээгдэхүүн k-thТэгээд s-р зэрэгхаргалзах төвлөрсөн хэмжигдэхүүнүүд:

Практикт зөвхөн эхний болон хоёр дахь мөчүүдийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний эхний мөчүүд нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байгаа системд багтсан X ба Y утгуудын математик хүлээлтийг илэрхийлдэг.

м xба м y

Математикийн хүлээлтийн багц м x, м yсистемийн байрлалын шинж чанар юм. Геометрийн хувьд эдгээр нь цэгийн тархсан (X. Y) хавтгай дээрх дунд цэгийн координатууд юм.

Эхнийхийг эс тооцвол анхны мөчүүд, практикт системийн хоёр дахь төв моментууд бас өргөн хэрэглэгддэг. Тэдгээрийн хоёр нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан X ба Y утгуудын тархалтыг илэрхийлдэг.

D[X] ба D[Y] нь тархалтыг тодорхойлдог санамсаргүй цэгҮхэр ба Ой тэнхлэгийн чиглэлд.

Тусгай үүрэгсистемийн шинж чанар нь хоёр дахь холимог хэрхэн тоглодог төв цэг:

μ 1,1 = М,

өөрөөр хэлбэл төвлөрсөн хэмжигдэхүүний бүтээгдэхүүний математик хүлээлт. Учир нь энэ мөч тоглож байна чухал үүрэгСанамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн онолд түүнд зориулсан тусгай тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн.

Ху =M[X 0 Y 0 ]=M[(X-m x)(Y- м y)].

Kxy шинж чанарыг X, Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент (өөрөөр "холболтын момент") гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн мөчтомъёогоор илэрхийлнэ

Kxy =Σ Σ(x би-м x)(y j-м y) х ij

Энэ шинж чанарын утга учир, зорилгыг олж мэдье. Корреляцийн момент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанар бөгөөд X ба Y утгуудын тархалтаас гадна тэдгээрийн хоорондын холболтыг тодорхойлдог. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн момент тэгтэй тэнцүү.

Тиймээс хэрэв хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн момент тэгээс ялгаатай бол энэ нь тэдгээрийн хооронд хамаарал байгаагийн шинж тэмдэг юм.

Корреляцийн момент нь зөвхөн хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг төдийгүй тэдгээрийн тархалтыг тодорхойлдог нь томъёоноос тодорхой харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ хэрэв жишээлбэл, хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэг нь (X, Y) түүнээс маш бага хазайсан бол математикийн хүлээлт(бараг санамсаргүй биш), дараа нь утгууд (X, Y) хэр ойрхон хамааралтай байсан ч корреляцийн момент бага байх болно. Тиймээс хэмжигдэхүүнүүдийн (X, Y) хоорондын хамаарлыг цэвэр хэлбэрээр нь тодорхойлохын тулд бид тухайн мөчөөс хэмжээсгүй шинж чанарт шилждэг.

rху=Кху/σх σу

Энд σх, σу - дундаж стандарт хазайлтхэмжигдэхүүнүүд X, Y. Энэ шинж чанарыг гэж нэрлэдэг корреляцийн коэффициент X ба Y утгууд.

Корреляцийн коэффициент нь корреляцийн моменттэй зэрэгцэн тэг болж хувирдаг нь ойлгомжтой; тиймээс бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн коэффициент тэг байна.

Корреляцийн момент (тиймээс корреляцийн коэффициент) тэгтэй тэнцүү байх санамсаргүй хувьсагчдыг хамааралгүй (заримдаа "холбоогүй") гэж нэрлэдэг.

Хараат бус санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь хараат бус байдлын үзэл баримтлалтай тэнцэх үү. Бие даасан гэдгийг мэддэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүргэлж хамааралгүй байдаг. Үүнийг харах л үлдлээ: эсрэгээрээ үнэн үү, тэдгээрийн бие даасан байдал нь хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй байдлаас үүдэлтэй юу? Энэ нь харагдаж байна - үгүй. Харилцан хамааралгүй боловч хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Корреляцийн коэффициентийг тэгтэй тэнцүүлэх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдалд зайлшгүй шаардлагатай боловч хангалтгүй нөхцөл юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал нь тэдгээр нь харилцан хамааралгүй гэсэн үг юм; эсрэгээр, тэдний бие даасан байдал нь агуу байдлын хамааралгүй шинж чанараас үүдэлтэй биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлын нөхцөл нь хамааралгүй байх нөхцлөөс илүү хатуу байдаг.

Корреляцийн коэффициент нь ямар ч хамаарлыг тодорхойлдоггүй бөгөөд зөвхөн шугаман хамаарал гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман магадлалын хамаарал нь нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн нэмэгдэхэд нөгөө нь өсөх (эсвэл буурах) хандлагатай байдаг. шугаман хууль. Энэ чиг хандлага шугаман хамааралилүү их эсвэл бага тод томруун, функциональд их эсвэл бага ойрхон, өөрөөр хэлбэл хамгийн ойр шугаман хамаарал байж болно. Корреляцийн коэффициент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын шугаман хамаарлын ойролцоо байдлын түвшинг тодорхойлдог. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь яг шугаман функциональ хамаарлаар холбоотой бол:

Y = aX + b, дараа нь rxy = ±1, a коэффициент эерэг эсвэл сөрөг байхаас хамаарч "нэмэх" эсвэл "хасах" тэмдгийг авна. IN ерөнхий тохиолдол, X ба Y-ийн утгууд нь дурын магадлалын хамаарлаар холбогдох үед корреляцийн коэффициент нь дараах хязгаарт багтах утгатай байж болно.

1 < rху < 1

r > 0 тохиолдолд бид ярьж байна эерэг хамаарал g тохиолдолд X ба Y утгууд<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Эерэг ба сөрөг хамаарал бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хэд хэдэн жишээг өгье.

1.Хүний жин, өндөр нь эерэг хамааралтай байдаг.

2. Хичээлдээ бэлтгэхэд зарцуулсан хугацаа болон авсан дүн нь эерэг хамааралтай (мэдээж цагийг ухаалгаар зарцуулсан бол). Эсрэгээр, бэлтгэл хийхэд зарцуулсан хугацаа, авсан муу үнэлгээний тоо нь сөрөг хамааралтай.

3. Зорилтот руу хоёр удаа буудсан; Эхний цохилтын цохилтын цэгийг тэмдэглэж, эсрэг тэмдэг бүхий эхний цохилтын алдаатай пропорциональ залруулга оруулав. Эхний болон хоёр дахь цохилтын цохилтын цэгүүдийн координатууд нь сөрөг хамааралтай байх болно.

Хэрэв бидний мэдэлд хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) систем дээр хийсэн хэд хэдэн туршилтын үр дүн байгаа бол тэдгээрийн хооронд мэдэгдэхүйц хамаарал байгаа эсэх нь графикаар эхний ойролцоолсон байдлаар хялбархан шүүгдэж болно. Туршилтаас олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх хос утгыг цэг хэлбэрээр дүрсэлсэн. Жишээлбэл, ажиглагдсан тоон утгыг дараах байдлаар байрлуулсан бол

5-р бүлэгт бид нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанаруудыг - янз бүрийн эрэмбийн эхний ба төв моментуудыг авч үзсэн. Эдгээр шинж чанаруудаас хоёр нь хамгийн чухал нь: математикийн хүлээлт ба тархалт.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системд ижил төстэй тоон шинж чанаруудыг - янз бүрийн дарааллын эхний ба төв мөчүүдийг нэвтрүүлж болно.

Системийн дарааллын эхний мөч нь бүтээгдэхүүний математик хүлээлт юм:

. (8.6.1)

Системийн дарааллын гол мөч нь харгалзах төвлөрсөн хэмжигдэхүүний th ба th зэрэглэлийн үржвэрийн математик хүлээлт юм.

, (8.6.2)

Моментийг шууд тооцоолоход ашигласан томъёог бичье. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

, (8.6.3)

, (8.6.4)

Хаана - систем нь утгуудыг авах магадлал, нийлбэр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг хамардаг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

системийн тархалтын нягтрал хаана байна.

Бие даасан хэмжигдэхүүнтэй харьцах моментийн дарааллыг тодорхойлдог ба -аас гадна ба -ын илтгэгчийн нийлбэртэй тэнцүү моментийн нийт дарааллыг мөн авч үзнэ. Нийт дарааллаар нь моментуудыг эхний, хоёр дахь гэх мэт ангилдаг. Практикт зөвхөн эхний болон хоёр дахь мөчийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний эхний мөчүүд нь хэмжигдэхүүнүүдийн математик хүлээлтийг илэрхийлдэг бөгөөд бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан системд багтсан болно.

Математикийн хүлээлтийн багц нь системийн байрлалын шинж чанар юм. Геометрийн хувьд эдгээр нь цэгийг тойрон тархсан хавтгай дээрх дунд цэгийн координатууд юм.

Эхний эхний мөчүүдээс гадна системийн хоёр дахь төв мөчүүдийг практикт өргөн ашигладаг. Тэдгээрийн хоёр нь хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтыг илэрхийлдэг бөгөөд бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан:

болон тэнхлэгийн чиглэлд санамсаргүй цэгийн тархалтыг тодорхойлдог.

Хоёр дахь холимог төв мөч нь системийн шинж чанарт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.

тэдгээр. төвлөрсөн хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт.

Энэ мөч онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тул бид түүнд зориулсан тусгай тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

. (8.6.7)

Онцлог шинж чанарыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн момент (өөрөөр бол “холболтын момент”) гэж нэрлэдэг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн моментийг томъёогоор илэрхийлнэ

, (8.6.8)

ба үргэлжилсэн хүмүүсийн хувьд - томъёогоор

. (8.6.9)

Энэ шинж чанарын утга учир, зорилгыг олж мэдье.

Корреляцийн момент нь хувьсагчдын тархалтаас гадна тэдгээрийн хоорондын холбоог тодорхойлдог санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанар юм. Үүнийг батлахын тулд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд корреляцийн момент тэгтэй тэнцүү гэдгийг баталъя.

Бид тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нотолгоог хийх болно. Тархалтын нягттай бие даасан тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд байг. 8.5-д бид бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд үүнийг нотолсон

. (8.6.10)

энд , утгуудын тархалтын нягт ба тус тус байна.

(8.6.10) илэрхийллийг (8.6.9) томъёонд орлуулснаар интеграл (8.6.9) нь хоёр интегралын үржвэр болж хувирахыг харж байна.

Интеграл

хэмжигдэхүүний эхний төв моментоос өөр юуг ч илэрхийлэхгүй тул тэгтэй тэнцүү байна; ижил шалтгаанаар хоёр дахь хүчин зүйл нь мөн тэг байна; Тиймээс бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд .

(8.6.7) томъёоноос корреляцийн момент нь зөвхөн хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг төдийгүй тэдгээрийн тархалтыг тодорхойлдог нь тодорхой байна. Үнэн хэрэгтээ хэрэв жишээлбэл, хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэг нь математикийн хүлээлтээс маш бага хазайсан бол (бараг санамсаргүй биш) хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо хэчнээн нягт холбоотой байсан ч корреляцийн момент бага байх болно. Тиймээс хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг цэвэр хэлбэрээр нь тодорхойлохын тулд бид тухайн мөчөөс хэмжээсгүй шинж чанарт шилждэг.

Энд , утгуудын стандарт хазайлтууд, . Энэ шинж чанарыг хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент гэж нэрлэдэг. Корреляцийн коэффициент нь корреляцийн моменттэй зэрэгцэн тэг болж хувирдаг нь ойлгомжтой; тиймээс бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн коэффициент тэг байна.

Корреляцгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь бие даасан байдлын тухай ойлголттой дүйцэх эсэхийг олж мэдье. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн үргэлж хамааралгүй байдгийг бид дээр баталсан. Үүнийг харах л үлдлээ: эсрэгээрээ үнэн үү, тэдгээрийн бие даасан байдал нь хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй байдлаас үүдэлтэй юу? Энэ нь харагдаж байна - үгүй. Харилцан хамааралгүй боловч хамааралтай ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг бүтээх боломжтой. Корреляцийн коэффициентийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай, гэхдээ тийм биш хангалттай нөхцөлсанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал нь тэдгээр нь хамааралгүй гэсэн үг юм; эсрэгээр, хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй байх нь тэдгээр нь бие даасан гэсэн үг биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлын нөхцөл нь хамааралгүй байх нөхцлөөс илүү хатуу байдаг.

Үүнийг жишээгээр харцгаая. Гарал үүсэл дээр төвтэй радиустай тойрог дотор жигд нягтралтай тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг авч үзье (Зураг 8.6.1).

Хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг томъёогоор илэрхийлнэ

Нөхцөл байдлаас бид олдог.

Энэ жишээнд хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болохыг харахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ хэрэв хэмжигдэхүүн жишээлбэл, 0 утгыг авбал тухайн хэмжигдэхүүн нь -ээс - хүртэлх бүх утгыг ижил магадлалтайгаар авах боломжтой болох нь шууд тодорхой болно; хэрэв хэмжигдэхүүн нь утгыг авсан бол тухайн хэмжигдэхүүн нь зөвхөн нэг утгыг авч болно, яг тэгтэй тэнцүү; ерөнхийдөө боломжит утгуудын хүрээ нь ямар утгаас хамаарна.

Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо хамааралтай эсэхийг харцгаая. Корреляцийн моментийг тооцоолъё. Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

. (8.6.12)

Интегралыг тооцоолохын тулд бид интегралын талбайг (тойрог) дөрвөн координатын өнцөгт тохирох дөрвөн салбарт хуваана. Салбар болон интегралд эерэг, салбаруудад сөрөг байна; үнэмлэхүй утгын хувьд эдгээр салбар дээрх интегралууд тэнцүү байна; тиймээс (8.6.12) интеграл нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд хэмжигдэхүүнүүд нь харилцан хамааралгүй болно.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй шинж чанар нь тэдний бие даасан байдлыг үргэлж илэрхийлдэггүй гэдгийг бид харж байна.

Корреляцийн коэффициент нь ямар ч хамаарлыг тодорхойлдоггүй, зөвхөн шугаман хамаарал гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман магадлалын хамаарал нь нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн нэмэгдэхэд нөгөө нь шугаман хуулийн дагуу өсөх (эсвэл буурах) хандлагатай байдаг. Шугаман хамаарал руу чиглэсэн энэ хандлага нь илүү их эсвэл бага хэмжээгээр илэрхийлэгдэж, функциональ, өөрөөр хэлбэл хамгийн ойр шугаман хамаарал руу ойртож болно. Корреляцийн коэффициент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын шугаман хамаарлын ойролцоо байдлын түвшинг тодорхойлдог. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь яг шугаман функциональ хамаарлаар хамааралтай бол:

дараа нь , мөн коэффициент эерэг эсвэл сөрөг байхаас хамаарч "нэмэх" эсвэл "хасах" тэмдгийг авна. Ерөнхий тохиолдолд ба хэмжигдэхүүнүүд нь дурын магадлалын хамаарлаар хамааралтай бол корреляцийн коэффициент нь дараах хязгаарт утгатай байж болно: зөвхөн өөрчлөлтийн муж өөрчлөгддөг, түүний дундаж утга өөрчлөгдөхгүй; Мэдээжийн хэрэг, тоо хэмжээ нь хамааралгүй болж хувирдаг.

Цагаан будаа. 8.6.2 Зураг 8.6.3

Эерэг ба сөрөг хамаарал бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хэд хэдэн жишээг өгье.

1. Хүний жин, өндөр нь эерэг хамааралтай байдаг.

2. Ашиглахад бэлтгэхэд төхөөрөмжийг тохируулахад зарцуулсан хугацаа болон түүний асуудалгүй ажиллах хугацаа нь эерэг хамааралтай (мэдээжийн хэрэг, цагийг ухаалгаар зарцуулсан бол) холбоотой байдаг. Үүний эсрэгээр, бэлтгэл ажилд зарцуулсан хугацаа, төхөөрөмжийг ажиллуулах явцад илэрсэн алдааны тоо нь сөрөг хамааралтай байдаг.

3. Салвот харвах үед тус тусын сумны цохилтын цэгүүдийн координатууд нь эерэг хамаарлаар холбогддог (учир нь бүх суманд нийтлэг байдаг онилох алдаа байдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг байнаасаа ижил хэмжээгээр хазайдаг).

4. Зорилтот руу хоёр удаа буудсан; Эхний цохилтын цохилтын цэгийг тэмдэглэж, эсрэг тэмдэг бүхий эхний цохилтын алдаатай пропорциональ залруулга оруулав. Эхний болон хоёр дахь цохилтын цохилтын цэгүүдийн координатууд нь сөрөг хамааралтай байх болно.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем дээр хийсэн хэд хэдэн туршилтын үр дүн бидэнд байгаа бол тэдгээрийн хооронд мэдэгдэхүйц хамаарал байгаа эсэх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх хос утгыг харуулсан графикаар эхний ойролцоолсон байдлаар хялбархан шүүгдэж болно. Туршилтаас олж авсан зүйлийг цэг болгон дүрсэлсэн. Жишээлбэл, хэрэв ажиглагдсан хос тоон утгууд нь Зураг дээр үзүүлсэн шиг байрласан бол. 8.6.2, тэгвэл энэ нь хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд тодорхой илэрхийлэгдсэн эерэг хамаарал байгааг харуулж байна. Шугаман функциональ хамааралтай ойролцоо илүү тод эерэг хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв. 8.6.3. Зураг дээр. Зураг 8.6.4-т харьцангуй сул сөрөг хамаарлын тохиолдлыг харуулав. Эцэст нь, Зураг дээр. 8.6.5-д практик хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тохиолдлыг харуулсан болно. Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг судлахын өмнө эхлээд хамаарлын төрлүүдийн талаар чанарын дүгнэлт гаргахын тулд ажиглагдсан хос утгуудыг график дээр зурах нь үргэлж ашигтай байдаг.

Корреляцийн момент, корреляцийн коэффициент нь дээр дурдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголттой нягт холбоотой тоон шинж чанарууд юм, эсвэл илүү нарийвчлалтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системтэй нягт холбоотой байдаг. Тиймээс тэдгээрийн утга, үүргийг танилцуулж, тодорхойлохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголт, тэдгээрт хамаарах зарим шинж чанарыг тайлбарлах шаардлагатай байна.

Тодорхой үзэгдлийг дүрсэлсэн хоёр ба түүнээс дээш санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем буюу цогцолбор гэж нэрлэдэг.

X, Y, Z, …, W хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг ихэвчлэн (X, Y, Z, …, W) гэж тэмдэглэдэг.

Жишээлбэл, хавтгай дээрх цэгийг нэг координатаар биш, харин хоёр, орон зайд - бүр гурваар дүрсэлсэн байдаг.

Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанарууд нь системд орсон бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шинж чанараар хязгаарлагдахгүй, мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын харилцан холболтыг (хамаарал) агуулдаг. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг судлахдаа хамаарлын шинж чанар, зэрэгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Энэ хамаарал нь их, бага хэмжээгээр тод томруун, ойр дотно байж болно. Бусад тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие даасан шинж чанартай болдог.

Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хамааралгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал ба бие даасан байдал нь үргэлж харилцан үзэгдэл байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хэрвээ Y нь X-ээс хамаардаггүй бол X утга нь Y-ээс хамаардаггүй. Үүнийг харгалзан бид бие даасан байдлын дараах тодорхойлолтыг өгч болно. санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хууль нь нөгөө нь ямар утгыг авахаас хамаарахгүй бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол X ба Y хэмжигдэхүүнийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог бий болгодог аливаа харилцаа юм.

Магадлалын онолд хэрэглэгддэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний "хамаарал" гэсэн ойлголт нь математикт хэрэглэгддэг хувьсагчийн "хамаарал" гэсэн ердийн ойлголтоос арай өөр юм. Тиймээс математикч "хамаарал" гэдэг нь зөвхөн нэг төрлийн хамаарлыг илэрхийлдэг - бүрэн, хатуу, функциональ хамаарал гэж нэрлэгддэг. X ба Y хоёр хэмжигдэхүүнийг функциональ хамааралтай гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв та тэдгээрийн аль нэгнийх нь утгыг мэдэж, нөгөөгийнхөө утгыг нарийн тодорхойлж чадвал.

Магадлалын онолд бид арай өөр төрлийн хамаарал буюу магадлалын хамааралтай тулгардаг. Хэрэв Y утга нь X-тэй магадлалын хамаарлаар хамааралтай бол X-ийн утгыг мэдэж байгаа тул Y-ийн утгыг нарийн зааж өгөх боломжгүй боловч X-ийн утга ямар утгатай байгаагаас хамааран түүний тархалтын хуулийг зааж өгч болно. авсан.

Магадлалын хамаарал нь илүү их эсвэл бага ойрхон байж болно; Магадлалын хамаарлын битүүмжлэл ихсэх тусам функциональд ойртож байна. Тиймээс функциональ хамаарлыг хамгийн ойрын магадлалын хамаарлын туйлын хязгаарлагдмал тохиолдол гэж үзэж болно. Өөр нэг онцгой тохиолдол бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн бие даасан байдал юм. Эдгээр хоёр онцгой тохиолдлын хооронд магадлалын хамаарлын бүх шатлалууд байдаг - хамгийн хүчтэйгээс хамгийн сул хүртэл.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох магадлалын хамаарал практикт ихэвчлэн тохиолддог. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y нь магадлалын хамааралтай бол энэ нь X-ийн утга өөрчлөгдөхөд Y-ийн утга маш тодорхой байдлаар өөрчлөгдөнө гэсэн үг биш юм; Энэ нь зөвхөн X-ийн утга өөрчлөгдөхөд Y-ийн утга болно гэсэн үг юм

мөн өөрчлөгдөх хандлагатай байдаг (X нэмэгдэх тусам нэмэгдэх эсвэл буурах). Энэ хандлага нь зөвхөн ерөнхий утгаараа ажиглагддаг бөгөөд тохиолдол бүрт үүнээс хазайх боломжтой байдаг.

Магадлалын хамаарлын жишээ.

Перитониттэй нэг өвчтөнийг санамсаргүй байдлаар сонгоцгооё. Т санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өвчний эхэн үеэс хойшхи хугацаа, санамсаргүй хэмжигдэхүүн O нь гомеостазын эмгэгийн түвшин юм. Эдгээр утгуудын хооронд тодорхой хамаарал байдаг, учир нь T утга нь O утгыг тодорхойлох хамгийн чухал шалтгаануудын нэг юм.

Үүний зэрэгцээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь O санамсаргүй хэмжигдэхүүнд нөлөөлж байгаа боловч гол тодорхойлогч биш тул тухайн эмгэгийн нас баралтыг илэрхийлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн T болон санамсаргүй хэмжигдэхүүн M хоёрын хооронд сул магадлалын хамаарал байдаг.

Түүнээс гадна, хэрэв бид T ба B утгыг (мэс засалчийн нас) авч үзвэл эдгээр утгууд нь бараг бие даасан байдаг.

Одоогоор бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанаруудын талаар зөвхөн аман тайлбарыг л авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанарыг судлах тоон шинж чанарууд байдаг.

Хэвийн тархалтын санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг бол түүний математик хүлээлт юм.

X 1 боломжит утгатай X дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. X2, ... , Xnмагадлал бүхий p1, p2, ... , рn. Эдгээр утгууд өөр өөр утгатай болохыг харгалзан бид абсцисса тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байрлалыг тодорхой тоогоор тодорхойлох хэрэгтэй. Энэ зорилгоор тэд ихэвчлэн "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашигладаг Ши, болон утга тус бүр Шидундажлахдаа энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ийг харгалзан үзэх ёстой. Тиймээс, хэрэв бид "жигнэсэн дундаж" -ийг M[X] эсвэл гэж тэмдэглэвэл mx, бид авдаг

эсвэл үүнийг харгалзан үзвэл,

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.

Илүү тодорхой болгохын тулд танилцуулсан ойлголтын нэг механик тайлбарыг авч үзье. Абсцисса х 1 цэгүүдийг абсцисса тэнхлэгт байрлуулъя. x2, …, xn, үүнд масс тус тус төвлөрдөг p1, p2, … , рn, ба. Дараа нь математикийн хүлээлт нь тухайн материаллаг цэгүүдийн системийн хүндийн төвийн абсциссаас өөр зүйл биш юм.

Математикийн хүлээлтийн томъёо (1) нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна. Үргэлжилсэн X утгын хувьд математикийн хүлээлт нь нийлбэр биш, харин интеграл хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.

X утгын тархалтын нягт хаана байна.

Хэрэв бид бие даасан утгыг орлуулах юм бол (2) томъёог (1) томъёоноос авна ШиХ параметрийг тасралтгүй өөрчлөх, харгалзах магадлал пимагадлалын элемент f(x)dx, эцсийн нийлбэр - интеграл.

Механик тайлбарт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь ижил утгыг хадгалдаг - абсцисса дагуух массын тархалт f(x) нягттай үргэлжилсэн тохиолдолд хүндийн төвийн абсцисса гэсэн утгатай.

Математикийн хүлээлт нь бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь зарим эрдэмтдийн үзэж байгаагаар практикт тийм ч их сонирхолгүй байдаг.

Математикийн хүлээлтээс гадна бусад тоон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд - моментууд бас чухал юм.

Моментийн тухай ойлголтыг механикт массын тархалтыг (статистикийн момент, инерцийн момент гэх мэт) тодорхойлоход өргөн ашигладаг. Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үндсэн шинж чанарыг тодорхойлоход яг ижил аргуудыг ашигладаг. Ихэнх тохиолдолд практикт хоёр төрлийн мөчийг ашигладаг: эхний ба төв.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн s-р эрэмбийн эхний момент нь хэлбэрийн нийлбэр юм.

Энэхүү тодорхойлолт нь абсцисса тэнхлэг дээр x 1, ... цэгүүд дээр байвал механик дахь s дарааллын эхний моментийн тодорхойлолттой давхцаж байгаа нь ойлгомжтой. xnмасс төвлөрсөн p1, …, рn.

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хувьд s-р эрэмбийн анхны моментийг интеграл гэж нэрлэдэг

Энэ нь ойлгомжтой

тэдгээр. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний s-р зэрэглэлийн эхний момент нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний s-р зэргийн математикийн хүлээлтээс өөр зүйл биш юм.

Төв моментийг тодорхойлохын өмнө бид "төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн" гэсэн ойлголтыг танилцуулдаг.

Математикийн хүлээлттэй X санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг m x . X утгад тохирох төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт юм.

Төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт тэгтэй тэнцүү байгааг харахад хялбар байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг төвлөрүүлэх нь координатын эхийг абсцисс нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү цэг рүү шилжүүлэхтэй тэнцүү юм.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний s эрэмбийн төв момент нь харгалзах төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний s-р зэргийн математик хүлээлт юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд sth төв моментийг нийлбэрээр илэрхийлнэ

ба тасралтгүй хувьд - интегралаар

Хамгийн чухал нь тархалт гэж нэрлэгддэг, D[X] гэж тэмдэглэсэн хоёр дахь төв мөч юм. Бидэнд байгаа зөрүүний хувьд

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь тархалтын шинж чанар, түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалт юм. Тархалт гэдэг үг нь өөрөө "тархалт" гэсэн утгатай.

Тархалтын механик тайлбар нь хүндийн төвтэй харьцуулахад өгөгдсөн массын тархалтын инерцийн моментоос өөр зүйл биш юм.

Практикт тоо хэмжээг мөн ихэвчлэн ашигладаг

X санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт ("стандарт" гэж нэрлэдэг) гэж нэрлэдэг.

Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанаруудыг авч үзье.

Системийн k,s эрэмбийн анхны момент (X, Y) нь X k ба Y с-ийн үржвэрийн математик хүлээлт,

xk,s=М.

Системийн (X, Y) k,s эрэмбийн төв момент нь харгалзах төвлөрсөн хэмжигдэхүүний k, s-р зэрэглэлийн үржвэрийн математик хүлээлт юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Энд p ij нь систем (X, Y) утгыг авах магадлал юм ( xi, yj), нийлбэрийг X,Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудад тооцно.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Энд f(x,y) нь системийн тархалтын нягт юм.

Бие даасан хэмжигдэхүүнтэй харьцуулахад моментийн дарааллыг тодорхойлдог k ба s тоонуудаас гадна X ба Ү-ийн илтгэгчийн нийлбэртэй тэнцүү k + s моментийн нийт дарааллыг харгалзан үзнэ нийт дараалал, мөчүүдийг эхний, хоёр дахь гэх мэт ангилдаг. Практикт зөвхөн эхний болон хоёр дахь мөчүүдийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний эхний мөчүүд нь системд багтсан X ба Y утгуудын математикийн хүлээлтийг илэрхийлдэг

y1.0=mx y0.1=миний.

Математикийн хүлээлтийн багц m x , минийсистемийн байрлалын шинж чанар юм. Геометрийн хувьд эдгээр нь цэг (X, Y) тархсан хавтгай дээрх дунд цэгийн координатууд юм.

Системийн хоёр дахь төв мөчүүд нь практикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэдгээрийн хоёр нь X ба Y утгуудын хэлбэлзлийг илэрхийлдэг

Үхэр ба Ой тэнхлэгийн чиглэлд санамсаргүй цэгийн тархалтыг тодорхойлдог.

Хоёр дахь нүүлгэн шилжүүлсэн төв мөч нь онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн момент (өөрөөр бол "холболтын мөч") гэж нэрлэдэг.

Корреляцийн момент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн шинж чанар бөгөөд X ба Y утгуудын тархалтаас гадна тэдгээрийн хоорондын холболтыг тодорхойлдог. Үүнийг батлахын тулд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн момент тэгтэй тэнцүү байгааг тэмдэглэв.

Корреляцийн момент нь зөвхөн хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг төдийгүй тэдгээрийн тархалтыг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу. Тиймээс (X;Y) хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг цэвэр хэлбэрээр нь тодорхойлохын тулд бид K xy мөчөөс шинж чанар руу шилждэг.

Хаана yx, yy- X ба Y утгуудын стандарт хазайлт Энэ шинж чанарыг X ба Y утгуудын корреляцийн коэффициент гэж нэрлэдэг.

Томъёо (3)-аас харахад бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд корреляцийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна, учир нь ийм хувьсагчийн хувьд kxy=0.

Санамсаргүй хувьсагч rxy=0, хамааралгүй (холбоогүй) гэж нэрлэдэг.

Гэхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй шинж чанар нь тэдгээрийн бие даасан байдлыг илэрхийлдэггүй гэдгийг анхаарна уу.

Корреляцийн коэффициентийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Гэхдээ бид Pearson холимог моментын корреляцийн коэффициентийг ашиглан жишээ өгөх болно, хаана

өгөгдлийн хүснэгтийг ашиглан (бидний жишээнд T-лимфоцитын харьцангуй агууламж % ба IgG түвшин г/л):

Хүлээн авсан утгыг томъёогоор (4) орлуулснаар бид олж авна

Өөрөөр хэлбэл, перитониттэй хүүхдүүдэд Т-лимфоцит ба иммуноглобулины G-ийн динамикийн корреляцийн коэффициент нь 0.9933 байгаа нь эдгээр үзүүлэлтүүдийн хооронд өндөр холболт байгааг харуулж байна.

Бүгд Найрамдах АЗЕРБАЙЖАН УЛСЫН ШИНЖЛЭХ УХААН, ТЕХНОЛОГИЙН УЛСЫН ХОРОО.

БАКУ СУРГАЛТЫН ТӨВ

ХҮҮХДИЙН МАСАЛНЫ ТЭНХИЙН ТӨГСӨН СУРГАЛТЫН ОЮУТНУУД

Н.НАРИМАНОВЫН нэрэмжит АМУ

МУХТАРОВА ЭМИЛ ГАСАН оглы

ХАРИЛЦААНЫ МЭГЧҮҮД. ХАРИЛЦААНЫ КОЕФФИЦИЕНТ

ТАНИЛЦУУЛГА

Магадлалын онол санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан юм.

Санамсаргүй үзэгдэл гэж юу гэсэн үг вэ?

Физик болон техникийн асуудлыг шинжлэх ухааны судалгаанд ихэвчлэн санамсаргүй гэж нэрлэдэг тусгай төрлийн үзэгдлүүд ихэвчлэн тохиолддог. Санамсаргүй үзэгдэл- энэ нь ижил туршлага дахин давтагдах үед арай өөрөөр үргэлжилдэг үзэгдэл юм.

Санамсаргүй үзэгдлийн жишээг өгье.

Аналитик жин дээр ижил биеийг хэд хэдэн удаа жинлэнэ: давтан жинлэлтийн үр дүн нь бие биенээсээ арай өөр байна. Эдгээр ялгаа нь жинлэх ажиллагааг дагалддаг янз бүрийн жижиг хүчин зүйлсийн нөлөөлөл, тухайлбал төхөөрөмжийн санамсаргүй чичиргээ, багажийг уншихад алдаа гарсан гэх мэт.

Байгальд санамсаргүй тохиолдлын элементүүд аль нэг хэмжээгээр байдаггүй физикийн нэг ч үзэгдэл байдаггүй нь ойлгомжтой. Туршилтын нөхцлийг хэчнээн нарийвчлалтай, нарийвчлан тогтоосон байсан ч туршилтыг давтан хийх үед үр дүн нь бүрэн бөгөөд яг таарч байгааг баталгаажуулах боломжгүй юм.

Байгалийн аливаа үзэгдлийг дагалддаг осол зайлшгүй гардаг. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн практик асуудалд эдгээр санамсаргүй элементүүдийг үл тоомсорлож, бодит үзэгдлийн оронд хялбаршуулсан диаграммыг авч үзэх боломжтой. загвар, мөн өгөгдсөн туршилтын нөхцөлд үзэгдэл маш тодорхой замаар явагдана гэж үзвэл. Үүний зэрэгцээ, энэ үзэгдэлд нөлөөлж буй тоо томшгүй олон хүчин зүйлээс хамгийн чухал, үндсэн, шийдвэрлэх хүчин зүйлсийг онцлон тэмдэглэв. Бусад жижиг хүчин зүйлсийн нөлөөг зүгээр л үл тоомсорлодог. Тодорхой онолын хүрээнд хэв маягийг судлахдаа тухайн үзэгдэлд нөлөөлж буй гол хүчин зүйлсийг тухайн онолын үйл ажиллагаа явуулж буй ойлголт, тодорхойлолтод багтаасан болно.

Аливаа үзэгдлийн ерөнхий онолыг боловсруулдаг шинжлэх ухааны нэгэн адил магадлалын онол нь түүний үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн ойлголтыг агуулдаг. Мэдээжийн хэрэг, бүх үндсэн ойлголтуудыг хатуу тодорхойлж болохгүй, учир нь үзэл баримтлалыг тодорхойлох нь түүнийг бусад, илүү сайн мэддэг зүйл болгон багасгах гэсэн үг юм. Энэ үйл явц нь хязгаарлагдмал байх ёстой бөгөөд зөвхөн тайлбарласан үндсэн ойлголтуудаар төгсөх ёстой.

Магадлалын онолын анхны ойлголтуудын нэг бол үйл явдлын тухай ойлголт юм.

Доод үйл явдалтуршлагын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй аливаа баримтыг ойлгодог.

Үйл явдлын жишээг хэлье.

A - хүү эсвэл охин төрөх;

B - шатрын тоглоомын нэг буюу өөр нээлтийн сонголт;

C - нэг эсвэл өөр зурхайн ордонд хамаарах.

Дээрх үйл явдлуудыг авч үзвэл тэдгээр нь тус бүр нь тодорхой хэмжээний боломжуудтай болохыг бид харж байна: зарим нь илүү, бусад нь бага. Үйл явдлыг боломжийнхоо хэмжээгээр бие биентэйгээ тоон байдлаар харьцуулахын тулд үйл явдал бүртэй тодорхой тоог холбох шаардлагатай бөгөөд энэ нь их байх тусам үйл явдал илүү боломжтой болно. Энэ тоог үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг. Тиймээс үйл явдлын магадлал нь үйл явдлын объектив боломжийн зэрэглэлийн тоон шинж чанар юм.

Магадлалын нэгжийг найдвартай үйл явдлын магадлалыг 1-тэй тэнцүү гэж үздэг бөгөөд аливаа үйл явдлын магадлалын өөрчлөлтийн хүрээ нь 0-ээс 1 хүртэлх тоо юм.

Магадлалыг ихэвчлэн P үсгээр тэмдэглэдэг.

Шекспирийн Гамлетын мөнхийн асуудлын жишээг авч үзье "байх уу, эс байх уу?" Үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хүн, объект болон бусад аливаа үзэгдэл нь оршихуй ("байх") ба байхгүй ("байх") гэсэн хоёр төлөвийн аль нэгэнд байж болох нь тодорхой юм. Энэ нь хоёр боломжит үйл явдал байдаг, гэхдээ зөвхөн нэг нь тохиолдож болно. Энэ нь жишээ нь оршин байх магадлал 1/2 гэсэн үг.

Үйл явдал, магадлалын тухай ойлголтоос гадна магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт юм.

Санамсаргүй хувьсагч туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй.

Зөвхөн бие биенээсээ тусдаа утгыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хувьсагчдыг нэрлэдэг. тасралтгүй эсвэл салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Жишээ нь:

1. Амьд үлдсэн болон нас барсан өвчтөнүүдийн тоо.

2. Шөнөдөө эмнэлэгт хэвтсэн өвчтөнүүдийн нийт хүүхдийн тоо.

Боломжит утгууд нь тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг санамсаргүй хувьсагчдыг дууддаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Жишээлбэл, аналитик жингийн алдаа.

Орчин үеийн магадлалын онол нь "сонгодог" магадлалын онолын үндсэн дээр үндэслэсэн үйл явдлуудаас илүүтэйгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр ажилладаг болохыг анхаарна уу.

ХАРИЛЦААНЫ МЭГЧҮҮД. ХАРИЛЦААНЫ КОЕФФИЦИЕНТ.

Корреляцийн момент, корреляцийн коэффициент - эдгээр нь дээр дурдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголттой, эсвэл илүү нарийвчлалтай санамсаргүй хэмжигдэхүүний системтэй нягт холбоотой тоон шинж чанарууд юм. Тиймээс тэдгээрийн утга, үүргийг танилцуулж, тодорхойлохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголт, тэдгээрт хамаарах зарим шинж чанарыг тайлбарлах шаардлагатай байна.

Зарим үзэгдлийг дүрсэлсэн хоёр ба түүнээс дээш санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг систем буюу санамсаргүй хэмжигдэхүүний цогцолбор.

X, Y, Z, …, W хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системийг ихэвчлэн (X, Y, Z, …, W) гэж тэмдэглэдэг.

Жишээлбэл, хавтгай дээрх цэгийг нэг координатаар биш, харин хоёр, орон зайд - бүр гурваар дүрсэлсэн байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Y гэж нэрлэдэг бие даасансанамсаргүй хэмжигдэхүүнээс, хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын хууль X-ийн авсан утгаас хамаарахгүй бол.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хууль нь нөгөө нь ямар утгыг авахаас хамаарахгүй бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол X ба Y утгуудыг дуудна хамааралтай.

Хуваарилалтын хууль Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог аливаа харилцаа юм.

Магадлалын онолд арай өөр төрлийн хамаарал байдаг - магадлалын хамаарал. Хэрэв Y утга нь X-тэй магадлалын хамаарлаар хамааралтай бол X-ийн утгыг мэдэж байгаа тул Y-ийн утгыг нарийн зааж өгөх боломжгүй боловч X-ийн утга ямар утгатай байгаагаас хамааран түүний тархалтын хуулийг зааж өгч болно. авсан.

Магадлалын хамаарлын жишээ.

Түүнээс гадна, хэрэв бид T ба B утгыг (мэс засалчийн нас) авч үзвэл эдгээр утгууд нь бараг бие даасан байдаг.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг дүрслэхийн тулд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлт, дисперсээс гадна бусад шинж чанаруудыг ашигладаг. корреляцийн мөчТэгээд корреляцийн коэффициент(T.8.p.8.6-ийн төгсгөлд товч дурдсан) .

Корреляцийн мөч(эсвэл ковариац,эсвэл холболтын мөч) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн X Тэгээд Ю m.o гэж нэрлэдэг. Эдгээр хэмжигдэхүүний хазайлтын үржвэр (8.6-р тэгш байдлын (5) заалтыг үзнэ үү):

Дүгнэлт 1.Корреляцийн моментийн хувьд r.v. X Тэгээд ЮДараахь тэгшитгэлүүд мөн хүчинтэй байна.

хаана харгалзах төвлөрсөн r.v. X Тэгээд Ю (8.6-р зүйлийг үзнэ үү).

Энэ тохиолдолд: хэрэв
нь хоёр хэмжээст d.s.v. бол ковариацыг томъёогоор тооцоолно

(8)
;

Хэрэв
нь хоёр хэмжээст n.s.v. бол ковариацыг томъёогоор тооцоолно

(9)

12.1-д заасан (6) томъёонд үндэслэн (8) ба (9) томъёог авсан. Тооцооллын томъёо байдаг

(10)

тодорхойлолт (9)-аас гаралтай бөгөөд MO-ийн шинж чанарт үндэслэсэн бөгөөд үнэндээ,

Үүний үр дүнд (36) ба (37) томъёог хэлбэрээр дахин бичиж болно

(11)
;

Корреляцийн момент нь хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлоход үйлчилдэг X Тэгээд Ю.

Доор үзүүлснээр корреляцийн момент нь тэгтэй тэнцүү байна XТэгээд Ю байна бие даасан;

Тиймээс корреляцийн момент 0-тэй тэнцүү биш болXТэгээдЮхамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Теорем 12.1.Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментXТэгээдЮтэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. бие даасан r.v.XТэгээдЮ,

Баталгаа.Учир нь X Тэгээд Юбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дараа нь тэдгээрийн хазайлт

Тэгээд

Тбас бие даасан. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглах (бие даасан r.v.s-ийн бүтээгдэхүүний математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
,
, Тийм учраас

Сэтгэгдэл.Энэ теоремоос хэрэв
дараа нь s.v. X Тэгээд Ю хамааралтай ба ийм тохиолдолд r.v. X Тэгээд Юдуудсан хамааралтай. Гэсэн хэдий ч үүнээс үүдэн
тусгаар тогтнолыг дагадаггүй r.v. X Тэгээд Ю.

Энэ тохиолдолд (
s.v. X Тэгээд Юдуудсан хамааралгүй,Тиймээс тусгаар тогтнолоос үүдэлтэй хамааралгүй; эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал байна (доорх жишээ 2-ыг үзнэ үү.)

Корреляцийн моментийн үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Cковариацын шинж чанарууд:

1. Ковариац нь тэгш хэмтэй, i.e.
.

Энэ нь (38) томъёоноос шууд гардаг.

2. Тэнцүү талууд байдаг: i.e. тархалт r.v. нь түүний өөртэйгөө ковариац юм.

Эдгээр тэгш байдал нь тархалт ба тэгш байдлын (38) тодорхойлолтоос шууд гардаг

3. Дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.

Эдгээр тэгш байдал нь r.v-ийн дисперс ба ковариацын тодорхойлолтоос гаралтай.
Тэгээд , шинж чанар 2.

Тархалтын тодорхойлолтоор (r.v. төвлөрсөн байдлыг харгалзан үзнэ.
) бидэнд байна

Одоо (33) болон 2 ба 3-р шинж чанарууд дээр үндэслэн бид эхний (нэмэх тэмдэгтэй) шинж чанар 3-ыг олж авна.

Үүний нэгэн адил 3-р өмчийн хоёр дахь хэсэг нь тэгш байдлаас гаралтай

4. Болъё
тогтмол тоо,
Дараа нь тэгш байдал хүчинтэй байна:

Ихэвчлэн эдгээр шинж чанаруудыг аргумент дахь нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн, үечилсэн шинж чанарууд гэж нэрлэдэг.

Эхний тэгш байдлыг нотолж, m.o-ийн шинж чанарыг ашиглана.
.

Теорем 12.2.Үнэмлэхүй үнэ цэнэхоёр дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн моментXТэгээдЮтэдгээрийн хэлбэлзлийн геометрийн дунджаас хэтрэхгүй: i.e.

Баталгаа.Бие даасан r.v-ийн хувьд гэдгийг анхаарна уу. тэгш бус байдал (Теорем 12.1-ийг үзнэ үү). Тиймээс, r.v. X Тэгээд Ю хамааралтай. Стандарт r.v-ийг авч үзье.
Тэгээд
ба r.v-ийн тархалтыг тооцоолох.
3-р өмчийг харгалзан бид: нэг талаас
Нөгөө талд

Иймд гэдгийг харгалзан үзэж
Тэгээд - хэвийн (стандарчилсан) r.v., дараа нь тэдний хувьд м.о. тэгтэй тэнцүү, дисперс нь 1-тэй тэнцүү тул m.o-ийн шинж чанарыг ашиглана.
бид авдаг

тиймээс тэр баримтад тулгуурласан
бид авдаг

Үүнээс үзэхэд i.e.

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Ковариацын тодорхойлолт ба шинж чанараас харахад энэ нь r.v-ийн хамаарлын зэрэг ба тэдгээрийн нэг цэгийн тархалтыг хоёуланг нь тодорхойлдог
Ковариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна XТэгээд Ю. Өөрөөр хэлбэл корреляцийн моментийн хэмжээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн нэгжээс хамаарна. Энэ шалтгааны улмаас ижил хоёр хэмжигдэхүүнээр XТэгээд Ю, корреляцийн моментийн хэмжээ нь утгыг хэмжсэн нэгжээс хамааран өөр өөр утгатай байх болно.

Жишээлбэл, XТэгээд Ю см-ээр хэмжсэн ба
; хэмжсэн бол XТэгээд Ю дараа нь миллиметрээр
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний янз бүрийн системийн корреляцийн моментуудыг харьцуулах нь хэцүү байдаг тул корреляцийн моментийн энэ шинж чанар нь энэ тоон шинж чанарын сул тал юм.

Энэ сул талыг арилгахын тулд шинэ тоон шинж чанарыг нэвтрүүлсэн - " корреляцийн коэффициент».

Корреляцийн коэффициент
санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд корреляцийн моментийг эдгээр хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтын үржвэрт харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг.

(13)
.

Хэмжээнээс хойш
хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжээсийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна
Тэгээд ,
хэмжээний хэмжээстэй
σ yхэмжээний хэмжээстэй , Тэр
зүгээр л тоо (жишээ нь." хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн"). Тиймээс корреляцийн коэффициентийн утга нь r.v.-ийн хэмжих нэгжийн сонголтоос хамаардаггүй, энэ нь давуу талкорреляцийн моментийн өмнөх корреляцийн коэффициент.

T.8-д. 8.3-т бид ойлголтыг танилцуулсан хэвийн болгосон s.v.
, томъёо (18) ба теорем нь батлагдсан
Тэгээд
(Теорем 8.2-г мөн үзнэ үү). Энд бид дараах мэдэгдлийг баталж байна.

Теорем 12.3.Учир нь дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд тэгш байдал үнэн
.Өөрөөр хэлбэл корреляцийн коэффициент
ямар ч хоёртой.В.XТэгээдЮтэдгээрийн харгалзах нормчлогдсон корреляцийн моменттэй тэнцүү s.v.
Тэгээд .

Баталгаа.Нормчилсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолтоор
Тэгээд

Тэгээд
.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг харгалзан үзвэл: ба тэгш байдал (40) бид олж авна

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Корреляцийн коэффициентийн нийтлэг тохиолддог шинж чанаруудыг авч үзье.

Корреляцийн коэффициентийн шинж чанарууд:

1. Үнэмлэхүй утга дахь корреляцийн коэффициент нь 1-ээс хэтрэхгүй, i.e.

Энэ шинж чанар нь томъёо (41) - корреляцийн коэффициент ба теорем 13.5-ын тодорхойлолтоос шууд гардаг. (тэгш байдал (40)-г үзнэ үү).

2. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тэгээд бие даасан, одоогийн корреляцийн коэффициент нь тэг, өөрөөр хэлбэл.
.

Энэ шинж чанар нь тэгш байдал (40) ба теорем 13.4-ийн шууд үр дагавар юм.

Дараах шинж чанарыг тусдаа теорем болгон томъёолъё.

Теорем 12.4.

Хэрэв r.v.
Тэгээд шугаман функциональ хамаарлаар харилцан уялдаатай, өөрөөр хэлбэл.
Тэр
нэгэн зэрэг

Тэгээд эсрэгээр, хэрэв
, Тэр s.v.
Тэгээд шугаман функциональ хамаарлаар харилцан уялдаатай, өөрөөр хэлбэл. тогтмол байдаг
ТэгээдИнгэснээр тэгш байдал хадгалагдана

Баталгаа.Болъё
Дараа нь Ковариацын 4-р шинж чанарт үндэслэн бид байна

мөн оноос хойш, , тиймийн тул

Тиймээс,
. Нэг чиглэлд тэгш байдал бий болно. Цааш нь өгье
, Дараа нь

хоёр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй: 1)
ба 2)
Тиймээс эхний тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь тодорхойлолтоор
улмаар тэгш эрхээс
, Хаана
.
Манай тохиолдолд

=
,

, тиймээс тэгш байдлаас (Теорем 13.5-ын баталгааг үзнэ үү.)
бид үүнийг ойлгодог
, гэсэн үг
тогтмол байна. Учир нь
ба түүнээс хойш

үнэхээр,

Тиймээс,
Үүний нэгэн адил, энэ нь харуулж байна

,
.

явагдана (өөрөө шалгаарай!)

Зарим дүгнэлт:
Тэгээд 1. Хэрэв

бие даагч.в., тэгвэл
Тэгээд 2. Хэрэв r.v.
.

хоорондоо шугаман хамааралтай байдаг, тэгвэл
:

3. Бусад тохиолдолд
Тэгээд Энэ тохиолдолд тэд r.v. харилцан уялдаатайэерэг хамаарал,
Хэрэв
тохиолдолдсөрөг хамаарал
. Илүү ойр
Тэгээд нэг нь, гэж итгэх илүү шалтгаан r.v.

шугаман хамаарлаар холбогдоно. R.v-ийн системийн корреляцийн момент ба дисперсийг анхаарна уу. ихэвчлэн өгдөг:

корреляцийн матриц

Корреляцийн матрицын тодорхойлогч нь дараахь зүйлийг хангадаг нь ойлгомжтой. хамааралтайӨмнө дурьдсанчлан, хэрэв хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн хамааралтай бол тэдгээр нь адилхан байж болно , тиймхамааралгүй. Өөрөөр хэлбэл, хоёр хамааралтай хэмжигдэхүүний корреляцийн момент байж болнотэгтэй тэнцүү биш , гэхдээ магадгүй

тэгтэй тэнцүү.Жишээ 1.

Дискрет r.v-ийн тархалтын хуулийг хүснэгтээр үзүүлэв

Корреляцийн коэффициентийг олШийдэл.
Тэгээд :

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулийг олох

Одоо m.o-г тооцоолъё. бүрэлдэхүүн хэсгүүд:

Эдгээр утгыг r.v түгээлтийн хүснэгтээс олж болно.
Үүний нэгэн адил,

өөрөө олоорой.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дисперсийг тооцоолж, тооцоолох томъёог ашиглана уу.
Хуваарилалтын хууль гаргая
:

, тэгээд бид олдог

Түгээлтийн хуулийн хүснэгтийг бүрдүүлэхдээ та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.
.

1) бүх боломжит бүтээгдэхүүний зөвхөн өөр утгыг үлдээх
2) өгөгдсөн утгын магадлалыг тодорхойлох

өгөгдсөн утга үүсэхийг дэмжсэн үндсэн хүснэгтийн уулзварт байрлах харгалзах бүх магадлалыг нэмнэ.

Бидний жишээнд r.v. зөвхөн гурван өөр утгыг авдаг
. Энд эхний утга (
) бүтээгдэхүүнтэй тохирч байна
хоёр дахь мөрөөс ба
эхний баганаас, тиймээс тэдний уулзвар дээр магадлалын тоо байна
адилхан

Энэ нь эхний мөр ба эхний баганын огтлолцол дээр байрлах магадлалын нийлбэрээс тус тус (0.15; 0.40; 0.05) ба нэг утгаас олно.
, хоёр дахь мөр ба хоёр дахь баганын огтлолцол дээр байгаа бөгөөд эцэст нь,
, энэ нь хоёр дахь эгнээ ба гурав дахь баганын огтлолцол дээр байрладаг.

Манай хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Бид (38) томъёог ашиглан корреляцийн моментийг олно.

(41) томъёог ашиглан корреляцийн коэффициентийг ол.

Тиймээс сөрөг хамаарал.

Дасгал хийх.Дискрет r.v-ийн тархалтын хууль. хүснэгтээр өгсөн

Корреляцийн коэффициентийг ол

Хоёр байгаа жишээг харцгаая хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдбайж болно , тийм

Жишээ 2.Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн
) нягтын функцээр өгөгдсөн

Үүнийг баталцгаая
Тэгээд хамааралтай , Гэхдээ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Корреляцийн коэффициентийг олБүрэлдэхүүн хэсгүүдийн урьд нь тооцоолсон тархалтын нягтыг ашиглая
Тэгээд :

Түүнээс хойш
Тэгээд хамааралтай хэмжигдэхүүнүүд. Батлахын тулд хамааралгүй
Тэгээд , үүнийг баталгаажуулахад хангалттай

Корреляцийн моментийг томъёогоор олъё.

Дифференциал функцээс хойш
тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй Өө, Тэр
адилхан
, тэгш хэмийн улмаас
тэнхлэгтэй харьцуулахад ҮХЭР. Тиймээс тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж авах

Дотоод интеграл нь тэгтэй тэнцүү (интеграл нь сондгой, интегралын хязгаар нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй), тиймээс,
, өөрөөр хэлбэл хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
Тэгээд хоорондоо уялдаа холбоогүй байдаг.

Тиймээс хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлаас тэдгээрийн хамаарал гарч ирдэг боловч хамааралгүй байдлаас харахад эдгээр хувьсагчдыг бие даасан гэж дүгнэх боломжгүй хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч, хэвийн тархсан r.v. ийм дүгнэлт гарч байна бусадтэдгээр. -аас хамааралгүй хэвийн тархсан s.v. тэднийг гадагш урсгадаг тусгаар тогтнол.

Дараагийн догол мөрийг энэ асуудалд зориулав.

Корреляцийн момент ба корреляцийн коэффициент нь жишээ юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар. Корреляцийн мөч. Корреляцийн коэффициент