Марковын процесс болох цэгийн санамсаргүй замнал. Марковын санамсаргүй үйл явц

Дарааллын онол бол магадлалын онолын нэг салбар юм. Энэ онолыг авч үздэг магадлаласуудлууд ба математик загварууд (үүнээс өмнө бид детерминист математик загваруудыг авч үзсэн). Үүнийг сануулъя:

Детерминист математик загваробъектын (систем, үйл явц) зан төлөвийг хэтийн төлөвөөс харуулдаг бүрэн итгэлтэйодоо ба ирээдүйд.

Магадлалын математик загваробъектын (систем, үйл явц) зан төлөвт санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллийг харгалзан үздэг тул тодорхой үйл явдлын магадлалын үүднээс ирээдүйг үнэлдэг.

Тэдгээр. Энд жишээ нь тоглоомын онолын асуудлуудыг авч үздэг нөхцөлдтодорхойгүй байдал.

Асуудалд орсон тодорхойгүй хүчин зүйлүүд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (эсвэл санамсаргүй функцууд) байх үед эхлээд "стохастик тодорхойгүй байдал" -ыг тодорхойлдог зарим ойлголтыг авч үзье. магадлалын шинж чанаруудмэдэгдэж байгаа эсвэл туршлагаас олж авч болно. Ийм тодорхой бус байдлыг "тааштай", "хортой" гэж бас нэрлэдэг.

Санамсаргүй үйл явцын тухай ойлголт

Хатуухан хэлэхэд санамсаргүй эвдрэл нь аливаа үйл явцын онцлог шинж чанартай байдаг. Санамсаргүй үйл явцын жишээг өгөх нь "санамсаргүй" үйл явцаас илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, цаг ажиллуулах үйл явц (энэ нь нарийн тохируулагдсан ажил юм шиг санагддаг - "цаг шиг ажилладаг") санамсаргүй өөрчлөлтөд (урагшлах, хоцрох, зогсох) хамаарна. Гэхдээ эдгээр эвдрэлүүд нь ач холбогдолгүй бөгөөд бидний сонирхож буй параметрүүдэд бага нөлөө үзүүлдэг бол бид тэдгээрийг үл тоомсорлож, үйл явцыг детерминист, санамсаргүй гэж үзэж болно.

Ямар нэг системтэй байя С(техникийн төхөөрөмж, ийм төхөөрөмжүүдийн бүлэг, технологийн систем - машин, талбай, цех, аж ахуйн нэгж, үйлдвэр гэх мэт). Системд Сгоожиж байна санамсаргүй үйл явц, хэрэв энэ нь цаг хугацааны явцад төлөвөө өөрчилдөг бол (нэг төлөвөөс нөгөөд шилжих), үүнээс гадна урьд өмнө мэдэгдээгүй санамсаргүй байдлаар.

Жишээ нь: 1. Систем С– технологийн систем (машины хэсэг). Машинууд үе үе эвдэрч, засвар үйлчилгээ хийдэг. Энэ системд болж буй үйл явц нь санамсаргүй байдлаар явагддаг.

2. Систем С- тодорхой маршрутын дагуу өгөгдсөн өндөрт нисч буй нисэх онгоц. Сэтгэл түгшсэн хүчин зүйлүүд - цаг агаарын нөхцөл байдал, багийн алдаа гэх мэт, үр дагавар - овойлт, нислэгийн хуваарийг зөрчсөн гэх мэт.

Марковын санамсаргүй үйл явц

Санамсаргүй үйл явцсистемд урсах гэж нэрлэдэг Марковский, хэрэв ямар нэгэн мөчид т 0 ирээдүйн үйл явцын магадлалын шинж чанар нь зөвхөн тухайн үеийн төлөв байдлаас хамаарна т 0 бөгөөд систем хэзээ, хэрхэн ийм байдалд хүрсэнээс хамаарахгүй.

t 0 мөчид систем тодорхой төлөвт байг С 0 . Өнөөгийн системийн төлөв байдлын шинж чанарууд, хэзээ болсон бүх зүйлийг бид мэднэ т<т 0 (процессын түүх). Бид ирээдүйг урьдчилан таамаглаж чадах уу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ юу болох бол т>т 0 ? Яг тийм биш, гэхдээ үйл явцын зарим магадлалын шинж чанаруудыг ирээдүйд олж болно. Жишээлбэл, хэсэг хугацааны дараа системд орох магадлал Сболомжтой болно С 1 эсвэл төлөвт үлдэнэ С 0 гэх мэт.

Жишээ. Систем С- оролцож буй нисэх онгоцны бүлэг агаарын тулаан. Болъё x- "улаан" онгоцны тоо; y- "цэнхэр" онгоцны тоо. Тэр үед тАмьд үлдсэн (сөнөөгүй) онгоцны 0 тоо - x 0 ,y 0 . Одоогийн байдлаар тооны давуу тал "улаануудын" талд байх магадлалыг бид сонирхож байна. Энэ магадлал нь тухайн үед систем ямар төлөвт байснаас хамаарна т 0 бөгөөд буудсан хүмүүс яг хэзээ, ямар дарааллаар нас барсан тухай биш т 0 онгоц.

Практикт Марковын процессыг цэвэр хэлбэрээр нь ихэвчлэн хийдэггүй. Гэхдээ "түүхийн өмнөх үеийн" нөлөөг үл тоомсорлож болох үйл явц байдаг. Ийм үйл явцыг судлахдаа Марковын загварыг ашиглаж болно (дарааллын онол нь Марковын дарааллын системийг авч үздэггүй, гэхдээ тэдгээрийг дүрсэлсэн математикийн аппарат нь илүү төвөгтэй байдаг).

Үйл ажиллагааны судалгаанд их үнэ цэнэДискрет төлөв, тасралтгүй хугацаатай Марковын санамсаргүй процессуудтай.

Процесс гэж нэрлэдэг дискрет төлөвийн процессхэрэв тэр боломжит мужуудС 1 ,С 2, ...-ийг урьдчилан тодорхойлж болох бөгөөд системийн төлөвөөс төлөв рүү шилжих нь "үсрэлтээр" бараг тэр даруй тохиолддог.

Процесс гэж нэрлэдэг -тай процесс тасралтгүй хугацаа , хэрэв төлөвөөс төлөв рүү шилжих боломжит мөчүүд нь урьдчилан тогтоогдоогүй боловч тодорхойгүй, санамсаргүй бөгөөд ямар ч үед тохиолдож болно.

Жишээ. Технологийн систем (хэсэг) СЭнэ нь хоёр машинаас бүрдэх бөгөөд тус бүр нь санамсаргүй агшинд бүтэлгүйтэх (амжилтгүй болох) бөгөөд үүний дараа нэгжийн засвар нэн даруй эхлэх бөгөөд энэ нь мөн үл мэдэгдэх, санамсаргүй хугацаанд үргэлжилдэг. Дараах системийн төлөвүүд боломжтой:

С 0 - хоёр машин ажиллаж байна;

С 1 - эхний машиныг засварлаж, хоёр дахь нь ажиллаж байна;

С 2 - хоёр дахь машиныг засварлаж байна, эхнийх нь ажиллаж байна;

С 3 - хоёр машиныг засварлаж байна.

Системийн шилжилтүүд Смужаас муж руу шилжих нь тодорхой машин эвдрэх эсвэл засвар дуусч байх үед санамсаргүй тохиолдлын үед тохиолддог.

Салангид төлөвтэй санамсаргүй үйл явцыг шинжлэхдээ геометрийн схемийг ашиглах нь тохиромжтой. төрийн график. Графикийн оройнууд нь системийн төлөвүүд юм. График нумууд - төлөвөөс шилжих боломжтой

Зураг 1. Системийн төлөвийн график

муж. Бидний жишээн дээр төлөвийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Анхаарна уу. Төрөөс шилжих С 0 инч СЗураг дээр 3-ыг заагаагүй тул машинууд бие биенээсээ үл хамааран бүтэлгүйтдэг гэж үздэг. Бид хоёр машин нэгэн зэрэг эвдрэх боломжийг үл тоомсорлодог.

Үүний дараа ямар ч хувьсал утгыг тохируулахХугацааны параметр t нь өмнөх хувьсалаас хамаарахгүй т,тухайн үеийн үйл явцын үнэ цэнэ тогтсон тохиолдолд (товчхондоо: үйл явцын "ирээдүй" ба "өнгөрсөн" нь мэдэгдэж буй "одоо"-той бие биенээсээ хамаардаггүй).

Соронзон талбарыг тодорхойлдог шинж чанарыг ихэвчлэн нэрлэдэг Марковиан; Үүнийг анх A. A. Марков томъёолсон. Гэсэн хэдий ч аль хэдийн Л.Бачелиерийн бүтээлээс Брауны хөдөлгөөнийг соронзон процесс гэж тайлбарлах оролдлого нь Н.Винерийн судалгааны дараа үндэслэлээ олж авсан оролдлого (N. Wiener, 1923) байгааг анзаарч болно. Үндсэн мэдээлэл ерөнхий онолТасралтгүй хугацаатай парламентын гишүүдийг А.Н. Колмогоров үүсгэн байгуулсан.

Марковын өмч. Бие биенээсээ эрс ялгаатай M.-ийн тодорхойлолтууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь дараахь зүйл юм. Явцгаая магадлалын орон зайхэмжигдэхүйц орон зайн утгууд бүхий санамсаргүй үйл явц энд өгөгдсөн Т -дэд олонлог бодит тэнхлэгБолъё Nt(тус тус Nt).-д s-алгебр байдаг X(s).at хэмжигдэхүүнээр үүсгэгдсэн Хаана Өөрөөр хэлбэл, Nt(тус тус Nt) нь t мөч (t-ээс эхлэн) хүртэлх үйл явцын хувьсалтай холбоотой үйл явдлын багц юм. . X(t) процессыг дуудна Марковын үйл явц (бараг тодорхой) Марковын өмч нь бүгдэд зориулагдсан бол:

эсвэл, юу нь ижил, хэрэв байгаа бол

M. багцад T агуулагдсан зүйл натурал тоонууд, дуудсан Марковын гинж(гэхдээ сүүлийн нэр томьёо нь хамгийн их тоолох боломжтой E-тэй холбоотой байдаг) . Хэрэв Is интервал тоолохоос илүү байвал M. гэж дуудагдана. тасралтгүй хугацаа Марковын гинж. Тасралтгүй үргэлжлэх соронзон үйл явцын жишээг Пуассон ба Винерийн процесс зэрэг бие даасан өсөлт бүхий тархалтын процессууд болон процессуудаар өгсөн болно.

Ирээдүйд, тодорхой болгохын тулд бид зөвхөн (1) ба (2) томъёоны жишээн дээр "өнгөрсөн" ба "ирээдүй" -ийн бие даасан байдлын зарчмыг мэдэгдэж буй "одоо"-той тодорхой тайлбарлах болно. Тэдгээрийн үндсэн дээр M. p-ийн тодорхойлолт нь нэг биш, харин харилцан тохиролцсон (1) эсвэл (2) төрлийн нөхцлүүдийн багцыг авч үзэх шаардлагатай үед хангалттай уян хатан биш болсон. тодорхой байдлаар, ийм төрлийн арга хэмжээнүүд нь үрчлүүлэхэд хүргэсэн дараах тодорхойлолт(см., ).

Дараахь зүйлийг өгье.

a) s-алгебр нь Е дахь бүх нэг цэгийн олонлогуудыг агуулсан хэмжигдэхүйц орон зай;

b) s-алгебрын бүлгээр тоноглогдсон хэмжигдэхүйц зай, хэрэв бол

в) функц ("траектор") x t = xт(w) , хэмжиж болох аливаа зураглалыг тодорхойлох

г) тус бүрийн хувьд ба s-алгебр дээрх функцийг хэрэв болон -тэй харьцуулах боломжтой байх магадлалын хэмжүүр.

Нэрийн багц (төгсгөхгүй) Марковын процесс if -бараг гарцаагүй байдлаар тодорхойлогддог

Тэд юу ч байсан энд орон зай байна энгийн үйл явдлууд, - фазын орон зай эсвэл төлөвийн орон зай, P( s, x, t, V)- шилжилтийн функцэсвэл процессын шилжилтийн магадлал X(t) . Хэрэв E нь топологитой бөгөөд Borel-ийн цуглуулга юм Э,дараа нь M. p өгөгдсөн гэж хэлэх нь заншилтай байдаг Э.Ер нь, M. p-ийн тодорхойлолт нь тухайн тохиолдолд магадлал гэж тайлбарлах шаардлагыг агуулдаг x s = x.

Асуулт гарч ирнэ: Марковын шилжилтийн функц бүр P( s, x;т, В), хэмжигдэхүйц орон зайд өгөгдсөнийг тодорхой M. орон зайн шилжилтийн функц гэж үзэж болно, жишээлбэл, E нь салгах боломжтой орон нутгийн авсаархан зай бөгөөд Borel багцуудын цуглуулга бол эерэг байна. Э.Түүнээс гадна, зөвшөөр E -бүрэн хэмжүүр зай ба зөвшөөрөх

A - цэгийн цахим хөршийн нэмэлт X.Дараа нь харгалзах соронзон орон нь баруун талдаа тасралтгүй, зүүн талдаа хязгаартай гэж үзэж болно (өөрөөр хэлбэл түүний траекторийг сонгож болно). Тасралтгүй соронзон орон байх нь нөхцөлөөр баталгааждаг (харна уу). Механик процессын онолд нэгэн төрлийн (цаг хугацааны хувьд) процессуудад гол анхаарлаа хандуулдаг. Холбогдох тодорхойлолт нь өгөгдсөн систем объектууд a) - d) тайлбар дээр гарч ирсэн s ба u параметрүүдийн хувьд одоо зөвхөн 0 утгыг зөвшөөрч байгаа тул тэмдэглэгээг хялбаршуулсан болно.

Цаашилбал, W орон зайн нэгэн төрлийн байдал, өөрөөр хэлбэл, s-алгебр дээр (w) байх шаардлагатай. Н,Маягтын аливаа үйл явдлыг агуулсан W дахь s-алгебруудын хамгийн бага нь q цаг шилжүүлэх операторууд өгөгдсөн. т, олонлогуудын нэгдэл, огтлолцол, хасах үйлдлүүдийг хадгалах ба аль нь

Нэрийн багц (төгсгөхгүй) нэгэн төрлийн Марков процессыг if -бараг гарцаагүй байдлаар тодорхойлсон

X(t) процессын Шилжилтийн функцийн хувьд P( гэж үзнэ. t, x, V), мөн тусгай захиалга байхгүй бол тэд нэмэлтээр шаарддаг. (4)-г шалгахдаа зөвхөн хаана, юу (4)-д байгаа маягтын багцыг авч үзэх нь хангалттай гэдгийг санах нь зүйтэй. Фт s-алгебраар сольж болно, уулзвартай тэнцүү байнанөхөн Фтбүх боломжит хэмжүүрүүдийн хувьд ихэвчлэн m-ийн магадлалын хэмжигдэхүүнийг ("анхны тархалт") тогтоож, Марковыг авч үздэг санамсаргүй функцтэгшитгэлээр өгөгдсөн хэмжүүр хаана байна

M. p. Хэрэв t>0 тутамд функц нь s-алгебр хаана байгааг хэмжих боломжтой зураглалыг үүсгэдэг бол аажмаар хэмжигдэх боломжтой

Borel дэд олонлогууд . Зөв үргэлжилсэн УИХ-ын гишүүдийг аажмаар хэмжиж болно. бууруулах арга бий гетероген тохиолдолнэгэн төрлийн (харна уу), ирээдүйд бид нэгэн төрлийн M. зүйлийн талаар ярих болно.

Марковын өмч.Хэмжих боломжтой зайг м-ээр өгье.

Функцийг дууддаг Марковын мөч,Хэрэв хүн бүрт Энэ тохиолдолд олонлогийг F t if at (ихэнхдээ F t нь X(t)-ийн t мөч хүртэлх хувьсалтай холбоотой үйл явдлын багц гэж тайлбарладаг) гэр бүл гэж ангилдаг. Итгэлийн төлөө

Аажмаар хэмжигдэхүйц M. Xnaz. хатуу Марковын процесс (s.m.p.), хэрэв ямар нэгэн Марков агшинд m ба бүх ба хамаарал

(хатуу Марков өмч) багц W t дээр бараг гарцаагүй сэтгэл хангалуун байна. (5)-ыг шалгахдаа энэ тохиолдолд тэгш хэмтэй орон зай нь, жишээлбэл, топологийн аль ч баруун үргэлжилсэн Феллер хэмжээст орон зай байх хэлбэрийн багцуудыг авч үзэхэд хангалттай. орон зай Э. M. p. Фэллер Марков үйл явц бол функц

f тасралтгүй ба хязгаарлагдмал байх бүрт тасралтгүй байна.

-тай ангид. m.p. тодорхой дэд ангиуд нь ялгагдана. Марковын шилжилтийн функц P( t, x, V), хэмжигдэхүүн орон нутгийн авсаархан зайд тодорхойлсон Э,стохастик тасралтгүй:

Цэг бүрийн аль ч хөршийн U хувьд Дараа нь операторууд хязгааргүйд алга болдог тасралтгүй функцүүдийн ангиллыг өөртөө авбал P( функцууд. t, x, V) стандартад нийцсэн M. p. X,өөрөөр хэлбэл баруун талд үргэлжилсэн. m.p., үүний төлөө

Марковын үйл явцыг дуусгавар болгож байна.Ихэнхдээ бие махбодь Төгсгөлгүй соронзон орон ашиглан системийг дүрслэхийг зөвлөж байна, гэхдээ зөвхөн санамсаргүй урттай хугацааны интервал дээр. Түүнээс гадна, бүр энгийн өөрчлөлтүүдУИХ-ын гишүүд тодорхой чиглэлтэй үйл явцад хүргэж болно санамсаргүй интервал(см. "Функциональ"Марковын процессоос). Эдгээр бодолд тулгуурлан эвдэрсэн УИХ-ын гишүүн гэсэн ойлголтыг оруулж ирж байна.

Шилжилтийн функцтэй фазын орон зайд нэгэн төрлийн соронзон орон байг, мөн адил цэг ба функц байг (хэрэв тусгай тайлбар байхгүй бол ). Шинэ замнал х т(w) нь зөвхөн ) тэгш байдлын тусламжтайгаар тодорхойлогддог a Фтбагц дахь ул мөр гэж тодорхойлогддог

Дуудсан газраа тохируулна уу z үед дуусгавар болгох (эсвэл алах) замаар олж авсан Марковын төгсгөлийн процессоор (o.m.p.). z утгыг дуудна завсарлах мөч буюу амьдралын цаг, о. м.п. Фазын орон зайШинэ процесс нь s-алгебрийн ул мөр байгаа газарт үйлчилдэг Э.Шилжилтийн функц o. m.p. нь X(t) процесст заасан хязгаарлалт юм. хатуу Марков процесс, эсвэл стандарт Марков процесс хэрэв холбогдох өмчхугарашгүй M.-тэй байна p гэж үзэж болно. m.p. эвдрэх моменттэй Гетероген o. m.p. ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. М.

Марковын процесс ба дифференциал тэгшитгэл. M. p. төрөл Брауны хөдөлгөөнпараболын дифференциал тэгшитгэлтэй нягт холбоотой. төрөл. Шилжилтийн нягт p(s, x, t, y) тархалтын процесс нь тодорхой нэмэлт таамаглалын дагуу Колмогоровын урвуу ба шууд дифференциал тэгшитгэлийг хангадаг.

функц p( s, x, t, y).нь (6) - (7) тэгшитгэлийн Ногоон функц ба эхнийх мэдэгдэж байгаа аргуудДиффузын процессыг бүтээхдээ энэ функцийн оршин тогтнох теоремууд дээр үндэслэсэн дифференциал тэгшитгэл(6) - (7). Цаг хугацааны хувьд нэгэн төрлийн процессын хувьд оператор L( s, x)= Л(x).on жигд функцуудшинж чанартай таарч байна оператор M. p "Шилжилтийн операторуудын хагас бүлэг").

Математик. Янз бүрийн функцүүдийн тархалтын процессоос хүлээгдэж буй хүлээлт нь холбогдох асуудлыг шийдэх шийдэл болдог хил хязгаарын асуудалдифференциал тэгшитгэлийн хувьд (1). Математикийн. хэмжүүр дэх хүлээлт Дараа нь функц хангагдана s тэгшитгэл (6) ба нөхцөл

Үүний нэгэн адил функц

-д сэтгэл хангалуун байдаг s тэгшитгэл

болон нөхцөл ба 2 ( Т, х) = 0.

Хил дээр хамгийн түрүүнд хүрэх мөчийг tt гэж үзье dDбүс нутаг үйл явцын замнал Дараа нь, тодорхой нөхцөлд, функц

тэгшитгэлийг хангана

мөн багц дээрх cp утгыг авдаг

Ерөнхий шугаман параболын 1-р хилийн бодлогын шийдэл. 2-р эрэмбийн тэгшитгэл

нэлээн ерөнхий төсөөллийн дагуу хэлбэрээр бичиж болно

Оператор L ба функц ажиллах тохиолдолд s, f-аас хамаарахгүй с,Шугаман эллипсийг шийдвэрлэхэд (9)-тэй төстэй дүрслэл бас боломжтой. тэгшитгэл. Илүү нарийн, функц

тодорхой таамаглалын дагуу асуудлыг шийдэх гарц байдаг

L оператор доройтох тохиолдолд (del b() s, x) = 0 ).эсвэл хил dDХангалттай "сайн" биш бол хилийн утгыг (9), (10) функцууд бие даасан цэгүүд эсвэл бүхэл бүтэн багц дээр хүлээн авахгүй байж болно. Операторын ердийн хилийн цэгийн тухай ойлголт Лмагадлалын тайлбартай. Хилийн ердийн цэгүүдэд (9), (10) функцээр хилийн утгыг олж авдаг. Асуудлыг шийдвэрлэх (8), (11) нь харгалзах тархалтын процессуудын шинж чанар, тэдгээрийн функцийг судлах боломжийг олгодог.

Жишээлбэл, (6), (7) тэгшитгэлийн шийдлийг бий болгоход тулгуурлаагүй УИХ-ын гишүүдийг байгуулах аргууд байдаг. арга стохастик дифференциал тэгшитгэл,хэмжүүрийн туйлын тасралтгүй өөрчлөлт гэх мэт. Энэхүү нөхцөл байдал нь (9), (10) томъёоны хамт (8) тэгшитгэлийн хилийн бодлогын шинж чанаруудыг магадлалын дагуу барьж, судлах боломжийг олгодог. харгалзах эллипс. тэгшитгэл.

Стохастик дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь b() матрицын доройтолд мэдрэмтгий биш тул s, x), Тэр магадлалын аргуудэллипс ба параболын дифференциал тэгшитгэлийг задлах шийдлүүдийг бүтээхэд ашигласан. Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов нарын дундажийг тооцох зарчмыг стохастик дифференциал тэгшитгэл болгон өргөжүүлснээр (9)-ийг ашиглан эллипс ба параболын дифференциал тэгшитгэлд тохирох үр дүнг гаргах боломжтой болсон. Зарим хэцүү даалгаварЭнэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн шинж чанарыг хамгийн өндөр дериватив дээр бага параметртэй судлах нь магадлалын үндэслэлийг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой болсон. (6) тэгшитгэлийн 2-р хилийн бодлогын шийдэл нь мөн магадлалын утгатай байна. Хязгааргүй домэйны хилийн утгын бодлогуудын томъёолол нь харгалзах тархалтын процессын давтагдахтай нягт холбоотой юм.

Цаг хугацааны нэгэн төрлийн үйл явцын хувьд (L нь s-ээс хамаардаггүй) үржүүлэх тогтмол хүртэл тэгшитгэлийн эерэг шийдэл нь тодорхой таамаглалаар давхцдаг. суурин нягтралШугаман бус параболикуудын хилийн утгын бодлогуудыг авч үзэхэд магадлалын үзүүлэлтүүд бас ашигтай байдаг. тэгшитгэл. R. 3. Хасминский.

Гэрэл.: Марков А.А., "Известия. Казанийн их сургуулийн Физик-математикийн нийгэмлэг", 1906, 15-р боть, №4, х. 135-56; В а ш е л и э р Л., "Анн. шинжлэх ухаан. Экол норм, супер.", 1900, v. 17, х. 21-86; Колмогоров А.Н., "Математик Анн.", 1931, Bd 104, S. 415-458; орос. Орч. - "Успехи Математических Наук", 1938, зуун. 5, х. 5-41; Жун Кай-лай, Нэг төрлийн Марковын хэлхээ, транс. Англи хэлнээс, М., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, х. 417-36; Динкин Е.Б., Юшкевич А.А., " Онол байх магадлалтай. ба түүний хэрэглээ.", 1956, 1-р боть, 1-р тал, 149-55 хуудас; X and n t J.-A., Markov process and потенциал, англи хэлнээс орчуулсан, М., 1962; D e L la sher. болон К., Хүчин чадал ба санамсаргүй үйл явц, франц хэлнээс орчуулга, M., Dynkin E. V., Онолын үндэс. Марковын үйл явц, М., 1959; түүнийг, Марков процессууд, М., 1963; G and h man I. I., S k o r o x o d A. V., Theory of random process, 2-р боть, М., 1973; Freidlin M.I., номонд: Шинжлэх ухааны үр дүн. Магадлалын онол, математик статистик. - Онолын кибернетик. 1966, М., 1967, х. 7-58; X a s minskiy R. 3., "Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ", 1963, 8-р боть . 1, х. 3-25; Ventzel A.D., Freidlin M.I., Fluctuations in динамик системүүджижиг санамсаргүй эвдрэлийн нөлөөн дор, М., 1979; Blumenthal R. M., G e t o r R. K., Марков процесс ба боломжийн онол, Н.Я.-Л., 1968; Getоor R. K., Марков процесс: Рэй процесс ба зөв процесс, В., 1975; Кузнецов С.Е., "Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ", 1980, 25-р боть. 2, х. 389-93.

Доод санамсаргүй үйл явцӨмнө нь үл мэдэгдэх санамсаргүй байдлаар зарим физик системийн төлөв байдлын цаг хугацааны өөрчлөлтийг ойлгох. Үүний зэрэгцээ доор физик систембид ойлгох болноаливаа техникийн төхөөрөмж, бүлэг төхөөрөмж, аж ахуйн нэгж, үйлдвэр, биологийн системгэх мэт.

Санамсаргүй үйл явцсистемд урсах гэж нэрлэдэг Марковский – хэрэв цаг хугацааны аль нэг мөчид, үйл явцын магадлалын шинж чанарууд ирээдүйд (t > ) нь зөвхөн түүний төлөвөөс хамаарна одоогоорцаг хугацаа ( одоо үед ) систем хэзээ, яаж ийм байдалд хүрсэнээс хамаарахгүй өнгөрсөнд .(Жишээ нь: сансрын бөөмсийн тоог бүртгэдэг Гейгер тоолуур).

Марковын процессыг ихэвчлэн 3 төрөлд хуваадаг.

1. Марковын гинж - төлөв байдал нь салангид (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг дахин дугаарлаж болно) процесс бөгөөд түүнийг авч үзэх хугацаа нь бас салангид байдаг (өөрөөр хэлбэл процесс нь зөвхөн тодорхой цаг хугацааны хувьд төлөвөө өөрчлөх боломжтой). Ийм үйл явц нь үе шаттайгаар (өөрөөр хэлбэл циклээр) үргэлжилдэг (өөрчлөгддөг).

2. Дискрет Марков процесс – төлөв байдлын багц нь салангид (жагсаж болно), цаг хугацаа тасралтгүй (нэг төлөвөөс нөгөөд шилжих - ямар ч үед).

3. Марковын тасралтгүй үйл явц - төлөв байдал ба цаг хугацааны багц тасралтгүй байна.

Практикт Марковын үйл явц нь цэвэр хэлбэрээрээ тийм ч их тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч эртний түүхийн нөлөөг үл тоомсорлож болох үйл явцыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. Нэмж дурдахад, хэрэв "ирээдүй" -ээс хамаарах "өнгөрсөн" бүх параметрүүд нь "одоогийн" системийн төлөв байдалд орсон бол үүнийг Марковиан гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь ихэвчлэн харгалзан үзсэн хувьсагчдын тоог мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлж, асуудлын шийдлийг олж авах боломжгүй болоход хүргэдэг.

Үйл ажиллагааны судалгаанд гэж нэрлэгддэг Марковын салангид төлөв ба тасралтгүй хугацаатай санамсаргүй процессууд.

Процесс гэж нэрлэдэг салангид төлөвтэй процесс, хэрэв түүний бүх боломжит төлөвүүд , ,... урьдчилан жагсааж (дахин дугаарлаж) болно. Систем нь төлөвөөс төлөв рүү бараг даруй шилждэг - үсрэлт.

Процесс гэж нэрлэдэг тасралтгүй цаг хугацааны үйл явц, хэрэв мужаас муж руу шилжих мөчүүд нь аль нэгийг нь авч болно санамсаргүй утгуудцаг хугацааны тэнхлэг дээр.

Жишээ нь : Техникийн төхөөрөмж S нь хоёр зангилаанаас бүрдэнэ , тус бүр нь санамсаргүй үед бүтэлгүйтэх боломжтой ( татгалзах). Үүний дараа нэгжийн засвар нэн даруй эхэлнэ ( сэргээх), энэ нь санамсаргүй хугацаанд үргэлжилдэг.

Дараах системийн төлөвүүд боломжтой:

Хоёр зангилаа ажиллаж байна;

Нэгдүгээр блок засварлаж, хоёр дахь нь ажиллаж байна.

– хоёр дахь блок засварлаж байна, эхнийх нь ажиллаж байна

Хоёр нэгжийг засварлаж байна.

Системийн төлөв байдлаас төлөвт шилжих шилжилт нь онд тохиолддог санамсаргүй мөчүүдцаг бараг тэр даруй. Системийн төлөв байдал болон тэдгээрийн хоорондын холболтыг ашиглан хялбархан харуулах боломжтой төрийн график .

муж улсууд

Шилжилтүүд

Яагаад гэвэл шилжилт байхгүй Элементүүдийн эвдрэл, нөхөн сэргээлт нь бие даасан, санамсаргүй байдлаар тохиолддог бөгөөд хоёр элементийн нэгэн зэрэг эвдрэх (сэргээх) магадлал нь хязгааргүй бага бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Хэрэв бүх үйл явдлын урсгал нь системийг шилжүүлж байгаа бол Смужаас муж руу - эгэл биетэн, Тэр үйл явц,ийм системээр урсаж байна Марковский байх болно. Энэ нь хамгийн энгийн урсгал нь сөрөг нөлөө үзүүлэхгүй, i.e. Үүний дотор "ирээдүй" нь "өнгөрсөн" -ээс хамаардаггүй бөгөөд үүнээс гадна ердийн шинж чанартай байдаг - хоёр ба түүнээс дээш үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь хязгааргүй бага, өөрөөр хэлбэл төлөв байдлаас шилжих шилжилт юм. Хэд хэдэн завсрын мужуудаар дамжин өнгөрөх боломжгүй.

Тодорхой болгохын тулд төлөвийн график дээр шилжилтийн сум бүр дээр өгөгдсөн сумны дагуу системийг төлөвөөс төлөв рүү шилжүүлэх үйл явдлын урсгалын эрчмийг зааж өгөх нь тохиромжтой ( - системийг төлөвөөс шилжүүлдэг үйл явдлын урсгалын эрч хүч В. Ийм графикийг нэрлэдэг тэмдэглэгдсэн.

Системийн төлөвийн графикийг ашиглан та бүтээж болно математик загварэнэ үйл явцын.

Системийн тодорхой төлөвөөс өмнөх эсвэл дараагийн төлөв рүү шилжих шилжилтийг авч үзье. Энэ тохиолдолд төлөвийн графикийн хэсэг дараах байдлаар харагдах болно.

Цагийн агшинд системийг зөвшөөрөх тнөхцөлд байна.

(t)-г тэмдэглэе. системийн i-р төлөвийн магадлал– тухайн үеийн системийн магадлал тнөхцөлд байна. Ямар ч үед t, =1 нь үнэн.

Тухайн үеийн магадлалыг тодорхойлъё t+∆t систем дотор байх болно. Энэ нь дараах тохиолдолд байж болно.

1) мөн ∆ t хугацаанд үүнийг орхисонгүй. Энэ нь ∆t хугацааны туршид гэсэн үг үүссэнгүйсистемийг төлөвт шилжүүлэх үйл явдал (эрчимтэй урсгал) эсвэл төлөвт шилжүүлэх үйл явдал (эрчимтэй урсгал). Үүний магадлалыг жижиг ∆t-д тодорхойлъё.

At экспоненциал хуульҮйл явдлын хамгийн энгийн урсгалд тохирсон хоёр хөрш шаардлагын хоорондох цаг хугацааны хуваарилалт, ∆t хугацааны интервалд эрчимтэй урсгалд нэг ч шаардлага үүсэхгүй байх магадлал λ 1тэнцүү байх болно

f(t) функцийг Тейлорын цуваа (t>0) болгон өргөжүүлбэл (t=∆t хувьд) олж авна.

f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +..." 1-l*∆t ∆t®0 үед

Үүний нэгэн адил λ 2 эрчимтэй урсгалын хувьд бид олж авна .

∆t хугацааны интервалд байх магадлал (∆t®0 үед) ямар ч шаардлага байхгүй тэнцүү байх болно

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + b.m.

Тиймээс ∆t хугацааны туршид систем төлөвөөс гараагүй байх магадлал тэнцүү болно

P( / )=1 – ( + )* ∆t

2) Систем нь төлөв байдалд байсан S i -1 ба цаг хугацааны хувьд мужид шилжсэн S i . Энэ нь эрчимтэй урсгалд дор хаяж нэг үйл явдал болсон гэсэн үг юм. Үүний магадлал нь эрчимтэй хамгийн энгийн урсгалын хувьд тэнцүү байна λ болно

Манай тохиолдолд ийм шилжилтийн магадлал тэнцүү байх болно

3)Систем нь төлөв байдалд байсан мөн хугацааны туршид ∆t төлөвт шилжсэн . Ийм байх магадлал өндөр байх болно

Дараа нь тухайн үеийн систем (t+∆t) S i төлөвт байх магадлал нь тэнцүү байна.

Хоёр талаас P i (t) -ийг хасаад, ∆t-д хувааж, ∆t→0-ийн хязгаарт хүрнэ.

Нөхцөл байдлаас төлөв рүү шилжих шилжилтийн эрчмийн харгалзах утгуудыг орлуулснаар системийн төлөв байдлын магадлалын өөрчлөлтийг цаг хугацааны функц болгон тодорхойлсон дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эдгээр тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Колмогоров-Чапман Марковын салангид процессын хувьд.

гэж асуусан анхны нөхцөл(жишээ нь, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) ба тэдгээрийг шийдвэрлэснээр системийн төлөвийн магадлалын илэрхийлэлийг цаг хугацааны функц болгон авдаг. Аналитик шийдлүүдтэгшитгэлийн тоо ≤ 2.3 бол олоход маш энгийн. Хэрэв тэдгээрээс илүү олон байгаа бол тэгшитгэлийг ихэвчлэн компьютер дээр тоон аргаар шийддэг (жишээлбэл, Рунге-Кутта аргаар).

Санамсаргүй үйл явцын онолд батлагдсан , Юу хэрэв тоо n системийн төлөвүүд Мэдээж мөн тус бүрээс нь боломжтой (for эцсийн тооалхамууд) бусад руу очих, тэгвэл хязгаар бий , ямар үед магадлал нь хандлагатай байна t→ . Ийм магадлалыг гэж нэрлэдэг эцсийн магадлал төлөв, тогтвортой байдал нь байна суурин горим системийн үйл ажиллагаа.

Бүх зүйл хөдөлгөөнгүй горимд байгаа тул , тиймээс бүх зүйл = 0. Тэгшитгэлийн системийн зүүн талыг 0-тэй тэнцүүлж, =1 тэгшитгэлээр нэмснээр шугаман системийг олж авна. алгебрийн тэгшитгэл, үүнийг шийдэж бид эцсийн магадлалын утгыг олох болно.

Жишээ. Манай систем дэх элементүүдийн эвдрэлийн түвшин болон нөхөн сэргээх хурдыг дараах байдлаар өг.

Алдаа дутагдал 1el:

2эл:

Засвар 1el:

2эл:

P 0 +P 1 +P 2 +P 3 =1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2

Шийдвэрлэж байж энэ систем, бид авдаг

P 0 =6/15=0,4; P 1 =3/15=0.2; P 2 =4/15=0.27; P 3 =2/15≈0.13.

Тэдгээр. В хөдөлгөөнгүй байдалсистем дунджаар

40% нь S 0 төлөвт (хоёр зангилаа ажиллаж байна),

20% - S 1 нөхцөлд (1-р хэсэг нь засварлаж байгаа, 2-р хэсэг нь ажиллаж байна),

27% - S 2 нөхцөлтэй (2-р цахилгааны нэгжийг засварлаж байгаа, 1-р хэсэг нь ажиллаж байгаа),

13% - S 3 нөхцөлд - хоёуланг нь засварлаж байна.

Эцсийн магадлалыг мэдэх нь боломжийг олгодог системийн дундаж үр ашиг, засвар үйлчилгээний ажлын ачааллыг үнэлэх.

S 0 төлөвт байгаа систем нь 8 ердийн нэгжийн орлогыг үүсгэнэ. нэгж цаг тутамд; мужид S 1 - орлого 3 уламжлалт нэгж; S 2 төлөвт - орлого 5, S 3 мужид - орлого = 0;

Үнэ засвар нэгж цаг тутамд 1- 1(S 1, S 3) элементийн ердийн нэгж, элемент 2- (S 2, S 3) 2 ердийн нэгж. Дараа нь хөдөлгөөнгүй горимд:

Системийн орлогоНэгж цаг тутамд:

W ext =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8·0.4+3·0.2+5·0.27+0·0.13=5.15 ердийн нэгж.

Засварын зардалнэгжээр цаг:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0·0.4+1·0.2+2·0.27+3·0.13=1.39 ердийн нэгж.

Ашигнэгж цаг тутамд

W= W амьсгал -W засвар =5.15-1.39= 3.76 ердийн нэгж

Тодорхой зардлыг зарцуулснаар та λ ба μ эрчимийг, үүний дагуу системийн үр ашгийг өөрчилж болно. Ийм зардлын үндэслэлийг P i-г дахин тооцоолох замаар үнэлж болно. болон системийн гүйцэтгэлийн үзүүлэлтүүд.

Хугацааны параметрийн өгөгдсөн утгаас хойшхи хувьсал t (\displaystyle t) хамаарахгүйөмнөх хувьсалаас t (\displaystyle t), энэ агшинд үйл явцын үнэ цэнэ тогтсон тохиолдолд ("ирээдүй" нь мэдэгдэж буй "одоо" нь "өнгөрсөн" -ээс хамаарахгүй; өөр тайлбар (Вентцел): үйл явцын "ирээдүй" нь үүнээс хамаарна. "Өнгөрсөн" дээр зөвхөн "одоогоор" дамжуулан).

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 3

✪ Лекц 15: Марковын санамсаргүй үйл явц

✪ Марковын гинжин хэлхээний гарал үүсэл

✪ Марковын үйл явцын ерөнхий загвар

Хадмал орчуулга

Өгүүллэг

Марковын процессыг тодорхойлдог шинж чанарыг ихэвчлэн Марковиан гэж нэрлэдэг; Үүнийг анх 1907 оны бүтээлүүддээ хамааралтай тестүүдийн дараалал, тэдгээртэй холбоотой нийлбэрүүдийн судалгааг эхлүүлсэн А.А.Марков томъёолжээ. санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Энэхүү судалгааны чиглэлийг Марковын гинжин хэлхээний онол гэж нэрлэдэг.

Тасралтгүй хугацааны Марковын үйл явцын ерөнхий онолын үндэс суурийг Колмогоров тавьсан.

Марковын өмч

Ерөнхий хэрэг

Болъё (Ω , F , P) (\displaystyle (\Омега,(\маткал (F)),\mathbb (P)))- шүүлтүүр бүхий магадлалын орон зай (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\маткал (F))_(t),\ t\in T))зарим (хэсэгчилсэн захиалгат) багц дээр T (\displaystyle T); мөн зөвшөөрөх (S , S) (\displaystyle (S,(\маткал (S))))- хэмжигдэх орон зай. Санамсаргүй үйл явц X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), шүүсэн магадлалын орон зайд тодорхойлсон, хангасан гэж үзнэ Марковын өмч, хэрэв тус бүрийн хувьд A ∈ S (\displaystyle A\in (\маткал (S)))Тэгээд s , t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

(\ displaystyle \ mathbb (P) (X_ (t) \ A | (\ mathcal (F)) _ (s)) = \ mathbb (P) (X_ (t) \ A| X_ (s)-д). )Марковын үйл явц Марковын өмчхангадаг санамсаргүй үйл явц юм

байгалийн шүүлтүүртэй.

Дискрет хугацааны Марковын гинжний хувьд тохиолдолд S (\displaystyle S) нь салангид олонлог ба T = N (\displaystyle T=\mathbb (N))

Марковын процессын жишээ

Марковын санамсаргүй үйл явцын энгийн жишээг авч үзье. Цэг нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу санамсаргүй байдлаар хөдөлдөг. Тэг үед цэг нь эх цэг дээр байх бөгөөд нэг секундын турш тэндээ үлдэнэ. Хэсэг хугацааны дараа зоос шиддэг - хэрэв төрийн сүлд унасан бол X цэг нь нэг нэгж уртыг баруун тийш, тоо нь зүүн тийш шилжүүлнэ. Хэсэг хугацааны дараа зоос дахин шидэж, ижил санамсаргүй хөдөлгөөн хийх гэх мэт. Цэгийн байрлалыг өөрчлөх үйл явц (“алхах”) нь салангид хугацаатай (t=0, 1, 2, ...) болон тоолж болох олон тооны төлөвтэй санамсаргүй үйл явц юм. Ийм санамсаргүй үйл явцыг Марков гэж нэрлэдэг, учир нь цэгийн дараагийн төлөв нь зөвхөн одоогийн (одоогийн) төлөвөөс хамаардаг бөгөөд өнгөрсөн төлөвөөс хамаардаггүй (цэг нь одоогийн координат руу ямар замаар, хэдэн цаг хүрсэн нь хамаагүй) .

Марковын процессыг эрдэмтэд 1907 онд гаргаж авсан. Тухайн үеийн тэргүүлэх математикчид энэ онолыг боловсруулсан, зарим нь одоо хүртэл сайжруулсаар байна. Энэ систем нь бусад шинжлэх ухааны салбарт тархаж байна. Марковын практик гинжийг хүн хүлээлтийн байдалд байх шаардлагатай янз бүрийн салбарт ашигладаг. Гэхдээ системийг тодорхой ойлгохын тулд та нөхцөл, заалтын талаар мэдлэгтэй байх хэрэгтэй. Марковын үйл явцыг тодорхойлдог гол хүчин зүйл нь санамсаргүй байдал гэж тооцогддог. Үнэн, энэ нь тодорхойгүй байдлын тухай ойлголттой төстэй биш юм. Энэ нь тодорхой нөхцөл, хувьсагчтай байдаг.

Санамсаргүй байдлын хүчин зүйлийн онцлог

Энэ нөхцөл нь тогтворгүй тогтвортой байдал, эсвэл тодорхойгүй байдлын үед үл харгалзан түүний хуулиудад хамаарна. Хариуд нь энэ шалгуур нь магадлалын динамикийг судалсан эрдэмтний тэмдэглэснээр Марковын үйл явцын онолд математикийн аргыг ашиглах боломжийг олгодог. Түүний бүтээсэн ажил эдгээр хувьсагчдыг шууд авч үзсэн. Улмаар төлөв байдал, шилжилтийн тухай ойлголтыг агуулсан, мөн стохастик болон математикийн бодлогод ашиглагддаг санамсаргүй үйл явц нь судалж, боловсруулсан нь эдгээр загваруудыг ажиллуулах боломжийг олгодог. Энэ нь бусад чухал онолын болон практик шинжлэх ухааныг сайжруулах боломжийг олгодог.

• диффузийн онол;
• дарааллын онол;
• найдвартай байдлын онол болон бусад зүйлс;
• хими;
• физик;
• механик.

Төлөвлөөгүй хүчин зүйлийн үндсэн шинж чанарууд

Марковын энэхүү үйл явц нь санамсаргүй функцээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл аргументийн аливаа утгыг өгөгдсөн утга эсвэл урьдчилан бэлтгэсэн хэлбэрт тооцдог. Жишээ нь:

• хэлхээний чичиргээ;
• хөдөлгөөний хурд;
• тухайн талбайд гадаргуугийн тэгш бус байдал.

Санамсаргүй функцийн баримт нь цаг хугацаа, өөрөөр хэлбэл индексжүүлэлт явагддаг гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Ангилал нь төлөв, аргумент хэлбэртэй байдаг. Энэ процесс нь салангид болон тасралтгүй төлөв эсвэл цаг хугацаатай байж болно. Түүнээс гадна тохиолдлууд өөр өөр байдаг: бүх зүйл нэг юмуу өөр хэлбэрээр эсвэл нэгэн зэрэг тохиолддог.

Санамсаргүй байдлын тухай ойлголтын нарийвчилсан дүн шинжилгээ

Шаардлагатай гүйцэтгэлийн үзүүлэлт бүхий математик загварыг тодорхой аналитик хэлбэрээр бүтээх нь нэлээд хэцүү байсан. Ирээдүйд Марковын санамсаргүй үйл явц үүссэн тул энэ ажлыг хэрэгжүүлэх боломжтой болсон. Энэ үзэл баримтлалыг нарийвчлан шинжлэхийн тулд теоремыг гаргах шаардлагатай байна. Марковын процесс нь урьдчилан програмчлаагүй байрлал, төлөвөө өөрчилсөн физик систем юм. Ингээд санамсаргүй үйл явц түүн дотор өрнөж байгаа нь харагдаж байна. Жишээ нь: сансрын тойрог зам ба түүнд хөөргөсөн хөлөг онгоц. Зөвхөн зарим алдаа, тохируулгын улмаас үр дүнд хүрсэн бол заасан горим хэрэгжихгүй; Ихэнх үргэлжилж буй үйл явц нь санамсаргүй байдал, тодорхой бус байдлаар тодорхойлогддог.

Үнэн хэрэгтээ, авч үзэх боломжтой бараг бүх сонголт энэ хүчин зүйлд хамаарах болно. Онгоц, техникийн төхөөрөмж, хоолны өрөө, цаг - энэ бүхэн санамсаргүй байдлаар өөрчлөгддөг. Түүнээс гадна энэ функц нь бодит ертөнцөд үргэлжилдэг аливаа үйл явцын онцлог шинж чанартай байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ нь тус тусад нь тохируулсан параметрүүдэд хамаарахгүй бол үүссэн эвдрэлийг детерминистик гэж үздэг.

Марковын санамсаргүй үйл явцын тухай ойлголт

Аливаа техникийн болон механик төхөөрөмжийн загвар нь бүтээгчийг янз бүрийн хүчин зүйл, ялангуяа тодорхойгүй байдлыг харгалзан үзэхийг шаарддаг. Санамсаргүй хэлбэлзэл, эвдрэлийн тооцоо нь хувийн сонирхлын үед, жишээлбэл, автомат нисгэгчийг хэрэгжүүлэх үед үүсдэг. Физик, механик зэрэг шинжлэх ухаанд судлагдсан зарим процессууд ийм байдаг.

Гэхдээ тэдэнд анхаарал хандуулж, нарийн судалгаа хийх нь нэн даруй шаардлагатай үед эхлэх ёстой. Марковын санамсаргүй үйл явц нь дараахь тодорхойлолттой байдаг: ирээдүйн төрлийн магадлалын шинж чанар нь тухайн цаг хугацааны агшинд байгаа төлөв байдлаас хамаардаг бөгөөд систем хэрхэн харагдахтай ямар ч холбоогүй байдаг. Тиймээс энэ үзэл баримтлал нь зөвхөн магадлалыг харгалзан, арын дэвсгэрийг мартаж үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжтой гэдгийг харуулж байна.

Үзэл баримтлалын дэлгэрэнгүй тайлбар

Одоогийн байдлаар систем тодорхой төлөвт шилжиж, өөрчлөгдөж байгаа бөгөөд цаашид юу болохыг таамаглах нь үндсэндээ боломжгүй юм. Гэхдээ магадлалыг харгалзан бид үйл явц нь тодорхой хэлбэрээр дуусах эсвэл өмнөхийг нь хадгалах болно гэж хэлж болно. Энэ нь өнгөрсөн үеийг мартаж, өнөөдрөөс ирээдүй бий болно гэсэн үг юм. Систем эсвэл процесс шинэ төлөвт орох үед түүхийг ихэвчлэн орхигдуулдаг. Марковын процесст магадлал чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Жишээлбэл, Гейгерийн тоолуур нь бөөмсийн тоог харуулдаг бөгөөд энэ нь яг ирсэн мөчөөс биш харин тодорхой үзүүлэлтээс хамаардаг. Энд байгаа гол шалгуур бол дээрх шалгуур юм. Практик хэрэглээнд зөвхөн Марковын процессыг төдийгүй ижил төстэй үйлдлүүдийг авч үзэх боломжтой, жишээлбэл: нисэх онгоцууд системийн тулалдаанд оролцдог бөгөөд тус бүр нь тодорхой өнгөөр ​​​​тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд гол шалгуур нь дахин магадлал юм. Ямар үед тооны хувьд давуу тал бий болох, ямар өнгөтэй байх нь тодорхойгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ хүчин зүйл нь онгоцны үхлийн дарааллаас бус системийн төлөв байдлаас хамаарна.

Үйл явцын бүтцийн шинжилгээ

Марковын процесс нь магадлалын үр дагаваргүй, өмнөх түүхийг харгалзахгүйгээр системийн аливаа төлөв юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та ирээдүйгээ одоодоо багтааж, өнгөрсөн үеийг орхих юм бол. Өгөгдсөн цаг хугацааг балар эртний түүхтэй хэт их дүүргэх нь олон хэмжээст байдалд хүргэж, гинжний нарийн төвөгтэй бүтцийг бий болгоно. Тиймээс эдгээр системийг хамгийн бага тоон үзүүлэлттэй энгийн хэлхээ ашиглан судлах нь дээр. Үүний үр дүнд эдгээр хувьсагчдыг тодорхойлогч гэж үздэг бөгөөд зарим хүчин зүйлээр нөхцөлт байдаг.

Марковын процессын жишээ: тухайн үед хэвийн ажиллаж байгаа техникийн төхөөрөмж. Ийм нөхцөлд төхөөрөмж удаан хугацаанд ажиллах магадлал өндөр байна. Гэхдээ хэрэв бид төхөөрөмжийг дибаг хийсэн гэж үзвэл төхөөрөмж өмнө нь хэр удаан ажиллаж байсан, засвар хийгдсэн эсэх талаар мэдээлэл байхгүй тул энэ сонголт нь хэлэлцэж буй процесст хамаарахгүй болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид эдгээр хоёр цаг хугацааны хувьсагчийг нэмж, тэдгээрийг системд оруулбал түүний төлөвийг Марковиантай холбож болно.

Дискрет төлөв ба цаг хугацааны тасралтгүй байдлын тодорхойлолт

Марковын үйл явцын загваруудыг түүхийн өмнөх үеийг үл тоомсорлох шаардлагатай үед ашигладаг. Практикт судалгааны хувьд салангид, тасралтгүй төлөвүүд ихэвчлэн тулгардаг. Ийм нөхцөл байдлын жишээ нь: тоног төхөөрөмжийн бүтцэд ашиглалтын нөхцөлд бүтэлгүйтэх боломжтой бүрэлдэхүүн хэсгүүд багтдаг бөгөөд энэ нь төлөвлөгдөөгүй, санамсаргүй байдлаар тохиолддог. Үүний үр дүнд системийн төлөв байдал нь нэг буюу өөр элементийг засах шаардлагатай бөгөөд энэ мөчид тэдгээрийн аль нэг нь ажиллах эсвэл хоёуланг нь дибаг хийх, эсвэл эсрэгээр нь бүрэн тохируулах болно.

Дискрет Марков процесс нь магадлалын онол дээр суурилдаг бөгөөд мөн системийн нэг төлөвөөс нөгөөд шилжих шилжилт юм. Түүнээс гадна, энэ хүчин зүйл нь санамсаргүй эвдрэл, засвар хийсэн ч тэр даруй тохиолддог. Ийм үйл явцыг шинжлэхийн тулд төлөвийн график, өөрөөр хэлбэл геометрийн диаграммыг ашиглах нь дээр. Энэ тохиолдолд системийн төлөвийг гурвалжин, тэгш өнцөгт, цэг, сум гэх мэт янз бүрийн зургаар зааж өгсөн болно.

Энэ үйл явцын загварчлал

Дискрет төлөвтэй Марковын процессууд нь шилжилтийн үр дүнд гарч ирэх системүүдийн боломжит өөрчлөлтүүд бөгөөд тэдгээрийг дугаарлаж болно. Жишээлбэл, та зангилааны сумнаас төлөвийн график байгуулж болох бөгөөд энд тус бүр нь бүтэлгүйтлийн өөр өөр чиглэсэн хүчин зүйлүүдийн замыг зааж өгөх болно, үйл ажиллагааны нөхцөл гэх мэт. Ирээдүйд бүх геометрийн элементүүд биш гэх мэт асуулт гарч ирж магадгүй юм. зөв чиглэлд чиглүүлээрэй, учир нь энэ явцад зангилаа бүр муудаж болно. Ажиллаж байхдаа богино холболтыг анхаарч үзэх нь чухал юм.

Өгөгдлийг урьдчилан засаагүй, санамсаргүй байдлаар явагдах үед тасралтгүй үргэлжлэх Марков процесс үүсдэг. Шилжилтүүд урьд өмнө төлөвлөгдөөгүй байсан бөгөөд ямар ч үед гэнэт тохиолддог. Энд дахин магадлал гол үүрэг гүйцэтгэдэг. Гэсэн хэдий ч одоогийн нөхцөл байдал дээр дурдсантай холбоотой бол тайлбарын хувьд математик загвар гаргах шаардлагатай боловч боломжийн онолыг ойлгох нь чухал юм.

Магадлалын онолууд

Эдгээр онолууд нь тодорхой үе үе тодорхой байдаг детерминистик асуудлуудаас илүү санамсаргүй дараалал, хөдөлгөөн, хүчин зүйл зэрэг онцлог шинж чанартай математикийн магадлалын бодлогуудыг авч үздэг. Марковын хяналттай процесс нь боломжийн хүчин зүйлтэй бөгөөд түүн дээр суурилдаг. Түүнчлэн, энэ систем нь өөр өөр нөхцөл, цаг хугацааны интервалд шууд ямар ч төлөвт шилжих чадвартай.

Энэ онолыг практикт хэрэгжүүлэхийн тулд магадлал болон түүний хэрэглээний талаар чухал мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Ихэнх тохиолдолд хүн бүр хүлээлтийн байдалд байдаг бөгөөд энэ нь ерөнхий утгаараа тухайн онол юм.

Магадлалын онолын жишээ

Энэ нөхцөлд Марковын үйл явцын жишээнд дараахь зүйлс орно.

• кафе;
• билетийн кассууд;
• засварын газар;
• янз бүрийн зориулалттай станцууд гэх мэт.

Дүрмээр бол хүмүүс энэ системтэй өдөр бүр тулгардаг; өнөөдөр үүнийг дараалал гэж нэрлэдэг. Ийм үйлчилгээ үзүүлэх боломжтой байгууламжуудад янз бүрийн хүсэлт гаргах боломжтой бөгөөд энэ нь үйл явцад сэтгэл хангалуун байдаг.

Процессын далд загварууд

Ийм загварууд нь статик бөгөөд анхны үйл явцын ажиллагааг хуулбарладаг. Энэ тохиолдолд гол онцлог нь шийдвэрлэх ёстой үл мэдэгдэх параметрүүдийг хянах функц юм. Үүний үр дүнд эдгээр элементүүдийг дүн шинжилгээ хийх, практикт ашиглах эсвэл янз бүрийн объектыг танихад ашиглаж болно. Уламжлалт Марковын процессууд нь далд загварт харагдахуйц шилжилт ба магадлал дээр суурилдаг бөгөөд зөвхөн төлөв байдалд нөлөөлдөг үл мэдэгдэх хувьсагчдыг ажигладаг.

Марковын далд загваруудыг задлах чухал ач холбогдолтой

Энэ нь бусад утгуудын дунд магадлалын тархалттай байдаг тул судлаач тэмдэгт болон төлөвүүдийн дарааллыг харах болно. Үйлдэл бүр нь бусад утгуудын дунд магадлалын хуваарилалттай байдаг тул далд загвар нь үүсгэгдсэн дараалсан төлөвүүдийн талаархи мэдээллийг өгдөг. Тэдний тухай анхны тэмдэглэл, дурдлагууд өнгөрсөн зууны жараад оны сүүлээр гарч ирэв.

Дараа нь тэдгээрийг яриа таних, биологийн мэдээллийн анализатор болгон ашиглаж эхэлсэн. Үүнээс гадна далд загварууд нь бичих, хөдөлгөөн, компьютерийн шинжлэх ухаанд тархсан. Түүнчлэн эдгээр элементүүд нь үндсэн процессын ажиллагааг дуурайж, хөдөлгөөнгүй хэвээр байгаа боловч үүнээс үл хамааран илүү өвөрмөц шинж чанарууд байдаг. Энэ баримт нь ялангуяа шууд ажиглалт, дараалал үүсгэхэд хамаатай.

Марковын суурин процесс

Энэ нөхцөл нь нэгэн төрлийн шилжилтийн функц, түүнчлэн үндсэн ба тодорхойлолтоор санамсаргүй үйлдэл гэж тооцогддог суурин тархалтын хувьд байдаг. Өгөгдсөн үйл явцын фазын орон зай нь хязгаарлагдмал олонлог боловч энэ төлөвт анхны ялгаа үргэлж байдаг. Энэ үйл явц дахь шилжилтийн магадлалыг цаг хугацааны нөхцөл эсвэл нэмэлт элементүүдээр авч үздэг.

Марковын загвар, үйл явцын нарийвчилсан судалгаа нь нийгмийн амьдрал, үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт тэнцвэрт байдлыг хангах асуудлыг харуулж байна. Энэ салбар нь шинжлэх ухаан, олон нийтийн үйлчилгээнд нөлөөлж байгааг харгалзан үзэхэд ижил гэмтэлтэй цаг, тоног төхөөрөмжийн аливаа үйл явдал, үйлдлийн үр дагаварт дүн шинжилгээ хийж, урьдчилан таамаглах замаар нөхцөл байдлыг засч залруулж болно. Марковын процессын чадварыг бүрэн ашиглахын тулд тэдгээрийг нарийвчлан ойлгох нь зүйтэй. Эцсийн эцэст, энэ төхөөрөмж нь зөвхөн шинжлэх ухаанд төдийгүй тоглоомонд өргөн хэрэглэгддэг. Энэхүү системийг цэвэр хэлбэрээр нь ихэвчлэн авч үздэггүй бөгөөд хэрэв ашигласан бол энэ нь зөвхөн дээр дурдсан загвар, диаграмм дээр үндэслэсэн болно.