Дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

Онцгой ач холбогдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тодорхойлохын тулд тэдгээр нь анхны болон төвийн момент гэж нэрлэгддэг тоон шинж чанартай байдаг.

Эхлэх мөч к--р захиалга α к(X) санамсаргүй хувьсагч X к-энэ хэмжигдэхүүний хүч, өөрөөр хэлбэл.

α к(X) = М(X к) (6.8)

Формула (6.8) нь янз бүрийн математикийн хүлээлтийг тодорхойлсонтой холбоотой санамсаргүй хэмжигдэхүүнөөрийн гэсэн хэлбэртэй, тухайлбал, дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй хязгаарлагдмал олонлогүнэт зүйлс

тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд

, (6.10)

Хаана е(x) - санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт X.

Буруу интеграл(6.10) томъёонд болж хувирна тодорхой интегралхязгаарлагдмал интервал дээр, хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд зөвхөн энэ интервалд байгаа бол.

Өмнө нь танилцуулсан тоон шинж чанаруудын нэг болох математикийн хүлээлт нь эхний эрэмбийн эхний мөч эсвэл тэдний хэлснээр эхний мөчөөс өөр зүйл биш юм.

М(X) = α 1 (X).

Өмнөх догол мөрөнд төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтыг танилцуулсан ХМ(X). Хэрэв энэ хэмжигдэхүүнийг гол гэж үзвэл эхний мөчүүдийг олж болно. Өөрийнхөө хэмжээний хувьд XЭдгээр мөчүүдийг төв гэж нэрлэх болно.

Төв мөч к--р захиалга мк(X) санамсаргүй хувьсагч Xматематик хүлээлт гэж нэрлэдэг к-төвтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний р зэрэглэл, i.e.

мк(X) = М[(ХМ(X))к] (6.11)

Өөрөөр хэлбэл, төв цэг к-р дараалал нь математикийн хүлээлт юм кхазайлтын зэрэг.

Төв мөч кХязгаарлагдмал утга бүхий салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний 3-р дарааллыг дараах томъёогоор олно.

, (6.12)

Дараахь томъёог ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн:

(6.13)

Ирээдүйд бид ямар төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ярьж байгаа нь тодорхой болсон үед бид үүнийг эхний болон төв мөчүүдийн тэмдэглэгээнд бичихгүй, өөрөөр хэлбэл. оронд нь α к(X) Мөн мк(X) бид зүгээр л бичих болно α кТэгээд мк .

Эхний захиалгын төв мөч гэдэг нь ойлгомжтой тэгтэй тэнцүү, учир нь энэ нь хазайлтын математикийн хүлээлтээс өөр зүйл биш бөгөөд энэ нь өмнө нь нотлогдсоны дагуу тэгтэй тэнцүү байна, i.e. .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр дахь эрэмбийн төв момент гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм Xижил санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй давхцдаг, i.e.

Үүнээс гадна, байдаг дараах томъёонууд, эхний болон төв мөчүүдийг холбох:

Тиймээс, эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн мөчүүд (математикийн хүлээлт ба тархалт) нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, утгын тархалтын зэрэг. Илүү ихийг дэлгэрэнгүй тайлбархуваарилалт нь илүү өндөр эрэмбийн мөчүүд юм. Үүнийг үзүүлье.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна гэж үзье. Дараа нь бүх сондгой эрэмбийн төв моментууд хэрэв байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна. Үүнийг тус бүрийн хуваарилалтын тэгш хэмтэй холбоотой гэж тайлбарлаж байна эерэг утгатоо хэмжээ X − М(X) тэнцүү модуль байна сөрөг утга, мөн эдгээр утгуудын магадлал тэнцүү байна. Иймээс (6.12) томьёоны нийлбэр нь нийлбэр дүнгээр бие биенээ хүчингүй болгодог хэд хэдэн хос томьёотой тэнцүү хэмжээтэй боловч тэмдгээр ялгаатай байна. Тиймээс нийт дүн, өөрөөр хэлбэл. аливаа сондгой эрэмбийн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний төв момент нь тэг байна. Үүний нэгэн адил тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний сондгой эрэмбийн төв момент нь сондгой функцийн тэгш хэмийн хязгаарт интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв сондгой эрэмбийн төв момент тэгээс өөр байвал тархалт өөрөө математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй биш байх болно гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм. Түүгээр ч зогсохгүй төв момент тэгээс ялгаатай байх тусам тархалтын тэгш бус байдал нэмэгддэг. Хамгийн жижиг сондгой эрэмбийн төв мөчийг тэгш бус байдлын шинж чанар болгон авч үзье. Аливаа тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд нэгдүгээр эрэмбийн төв момент тэг байх тул энэ зорилгоор гуравдугаар эрэмбийн төв моментийг ашиглах нь зүйтэй. Гэхдээ энэ мөч нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний шоо хэмжээтэй байна. Энэ дутагдлаасаа салж, хэмжээсгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү шилжихийн тулд утгыг хуваана төв мөчстандарт хазайлттай шоо тутамд.

Асимметрийн коэффициент А с эсвэл зүгээр л тэгш бус байдалГурав дахь эрэмбийн төв моментыг стандарт хазайлтын шоо хүртэлх харьцаа гэж нэрлэдэг, i.e.

Заримдаа тэгш бус байдлыг "skewness" гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тодорхойлдог С кюунаас гаралтай Англи үгхазайлт - "ташуу".

Хэрэв тэгш бус байдлын коэффициент сөрөг байвал түүний утгад сөрөг нөхцлүүд (хазайлт) хүчтэй нөлөөлж, тархалт нь дараах байдалтай байна. зүүн тэгш бус байдал, тархалтын график (муруй) нь математикийн хүлээлтийн зүүн талд илүү хавтгай байна. Хэрэв коэффициент эерэг байвал тэгш хэмийн зөв, мөн муруй нь математикийн хүлээлтийн баруун талд илүү хавтгай байна (Зураг 6.1).

Дээр дурдсанчлан, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын математикийн хүлээлтийн эргэн тойронд тархалтыг тодорхойлохын тулд хоёр дахь төв моментийг ашигладаг, жишээлбэл. тархалт. Хэрэв энэ мөч маш чухал бол тоон утга, дараа нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь их хэмжээний утгын тархалттай бөгөөд харгалзах тархалтын муруй нь хоёр дахь төв моментийн муруйгаас илүү хавтгай хэлбэртэй байна. бага утга. Тиймээс хоёр дахь төв момент нь тодорхой хэмжээгээр "хавтгай оройтой" эсвэл "хурц оройтой" тархалтын муруйг тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч энэ шинж чанар нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Хоёрдахь эрэмбийн төв момент нь хэмжээстэй байдаг квадраттай тэнцүүсанамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнүүд. Хэрэв бид моментийн утгыг стандарт хазайлтын квадратад хуваах замаар хэмжээсгүй хэмжигдэхүүнийг олж авахыг оролдвол дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олж авна: . Тиймээс энэ коэффициент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын шинж чанар байж болохгүй. Энэ нь бүх түгээлтийн хувьд адилхан. Энэ тохиолдолд та төв мөчийг ашиглаж болно дөрөв дэх захиалга.

Илүүдэл Э к томъёогоор тодорхойлогдсон хэмжигдэхүүн юм

(6.15)

Куртозыг голчлон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд ашигладаг бөгөөд тархалтын муруйн "эгц" гэж нэрлэгддэг, эсвэл "хавтгай оройтой" эсвэл "хурц оройтой" тархалтын муруйг тодорхойлоход үйлчилдэг. Лавлагааны тархалтын муруйг муруй гэж үзнэ хэвийн тархалт(энэ талаар дараагийн бүлэгт дэлгэрэнгүй авч үзэх болно). тархсан санамсаргүй хувьсагчийн хувьд ердийн хууль, тэгш байдал хадгалагдана. Тиймээс илүүдэл томъёогоор өгөгдсөн(6.15), харьцуулах зорилгоор үйлчилнэ өгөгдсөн хуваарилалтхэвийн, түүний куртоз нь тэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд эерэг куртозыг олж авбал энэ утгын тархалтын муруй нь хэвийн тархалтын муруйгаас илүү оргил болно. Куртоз нь сөрөг байвал муруй нь хэвийн тархалтын муруйтай харьцуулахад илүү хавтгай хэлбэртэй байна (Зураг 6.2).

Одоо цаашаа явцгаая тодорхой төрлүүддискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд.

Төвийн моментуудыг тархалтын момент гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тооцоолохдоо арифметик дунджаас сонголтуудын хазайлтыг анхны утга болгон авдаг. энэ цуврал.

1. Нэгдүгээр эрэмбийн төв моментийг томъёогоор тооцоол.

2. Хоёрдахь эрэмбийн төв моментийг томъёогоор тооцоол.

интервалуудын дундын утга хаана байна;

Энэ нь жигнэсэн дундаж үзүүлэлт юм;

Fi нь утгын тоо юм.

3. Гурав дахь эрэмбийн төв моментийг томъёогоор тооцоол.

интервалуудын дундын утга хаана байна; - энэ бол жигнэсэн дундаж үзүүлэлт; - fi-утгын тоо.

4. Дөрөвдүгээр эрэмбийн төвийн моментийг томъёогоор тооцоол.

интервалуудын дундын утга хаана байна; - энэ бол жигнэсэн дундаж үзүүлэлт; - fi-утгын тоо.

3.2-р хүснэгтийн тооцоо

3.4-р хүснэгтийн тооцоо

1. Нэгдүгээр эрэмбийн төвийн моментийг (7.1) томъёогоор тооцоол.

2. 2-р эрэмбийн төв моментийг (7.2) томъёогоор тооцоол.

3. Гурав дахь эрэмбийн төв моментийг (7.3) томъёогоор тооцоол.

4. Дөрөв дэх эрэмбийн төв моментийг (7.4) томъёогоор тооцоол.

3.6-р хүснэгтийн тооцоо

1. Нэгдүгээр эрэмбийн төвийн моментийг (7.1) томъёогоор тооцоол.

2. 2-р эрэмбийн төв моментийг (7.2) томъёогоор тооцоол.

3. Гурав дахь эрэмбийн төв моментийг (7.3) томъёогоор тооцоол.

4. Дөрөв дэх эрэмбийн төв моментийг (7.4) томъёогоор тооцоол.

Гурван бодлогод 1, 2, 3, 4-р тушаалын моментуудыг тооцоолсон. Тэгш бус хэмийг тооцоолоход гурав дахь эрэмбийн момент, куртозыг тооцоолоход дөрөв дэх эрэмбийн момент шаардлагатай.

ТАРХАЛТЫН АСМЕТРИЙН ТООЦОО

Статистикийн практикт янз бүрийн хуваарилалт байдаг. Дараах төрлийн тархалтын муруй байдаг.

· нэг оройн муруй: тэгш хэмтэй, дунд зэргийн тэгш бус, туйлын тэгш бус;

· multivertex муруй.

Нэг төрлийн популяци нь дүрмээр бол нэг оройн тархалтаар тодорхойлогддог. Multivertex нь судалж буй популяцийн нэг төрлийн бус байдлыг илэрхийлдэг. Хоёр ба түүнээс дээш оройн харагдах байдал нь илүү нэгэн төрлийн бүлгүүдийг тодорхойлохын тулд өгөгдлийг дахин бүлэглэх шаардлагатай болдог.

Олж байна ерөнхийТархалт нь түүний нэгэн төрлийн байдлыг үнэлэхээс гадна хазайлт ба куртозын үзүүлэлтүүдийг тооцоолоход хамаарна. Тэгш хэмтэй тархалтын хувьд түгээлтийн төвийн хоёр талд ижил байрлалтай дурын хоёр сонголтын давтамж нь хоорондоо тэнцүү байна. Ийм хуваарилалтад тооцсон дундаж, горим, медиан нь мөн адил байна.

Хэмжилтийн өөр өөр нэгж бүхий хэд хэдэн тархалтын тэгш бус байдлын харьцуулсан судалгаанд үүнийг тооцоолсон болно харьцангуй үзүүлэлттэгш бус байдал ():

жигнэсэн дундаж нь хаана байна; Мо-загвар; - язгуур дундаж квадрат жинтэй дисперс; Миний дундаж.

Үүний утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Эхний тохиолдолд бид ярьж байнабаруун талын тэгш бус байдлын тухай, хоёрдугаарт - зүүн талын тэгш бус байдлын тухай.

Баруун талын тэгш хэмтэй Mo>Me >x. Хамгийн өргөн хэрэглэгддэг (тэгш бус байдлын үзүүлэлт болгон) нь 3-р эрэмбийн төв моментыг өгөгдсөн цувралын стандарт хазайлттай харьцуулсан харьцаа юм.

гурав дахь эрэмбийн төв мөч хаана байна; -дундаж стандарт хазайлтшоо хэлбэрээр.

Өргөдөл энэ үзүүлэлтЭнэ нь тэгш бус байдлын хэмжээг тодорхойлох төдийгүй түүний байгаа эсэхийг шалгах боломжийг олгодог хүн ам. 0.5-аас их хазайлт (тэмдэгтээс үл хамааран) чухал ач холбогдолтой гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг; хэрэв 0.25-аас бага бол ач холбогдолгүй болно.

Материаллаг байдлын үнэлгээ нь дундаж дээр суурилдаг квадрат алдаа, тэгш бус байдлын коэффициент (), ажиглалтын тооноос (n) хамаардаг бөгөөд дараахь томъёогоор тооцоолно.

энд n нь ажиглалтын тоо.

Энэ тохиолдолд тэгш бус байдал нь чухал ач холбогдолтой бөгөөд популяци дахь шинж чанарын тархалт тэгш бус байна. Үгүй бол тэгш бус байдал нь ач холбогдолгүй бөгөөд түүний оршихуй нь санамсаргүй нөхцөл байдлаас үүдэлтэй байж болно.

3.2-р хүснэгтийн тооцооХүн амыг сарын дундажаар бүлэглэх цалин, үрэх.

Зүүн талын, мэдэгдэхүйц тэгш бус байдал.

3.4-р хүснэгтийн тооцооЖижиглэнгийн худалдааны эргэлтээр дэлгүүрүүдийг бүлэглэх, сая рубль.

1. (7.5) томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг тодорхойлно.

Баруун талын, мэдэгдэхүйц тэгш бус байдал.

3.6-р хүснэгтийн тооцооТээврийн байгууллагуудыг тээврийн ачаа эргэлтээр бүлэглэх нийтийн хэрэглээ(сая т.км)

1. (7.5) томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг тодорхойлно.

Баруун талын, бага зэрэг тэгш бус байдал.

ХҮГЭЭЛТИЙН КУРТЕССИЙН ТООЦОО

Тэгш хэмтэй тархалтын хувьд куртозын индексийг () тооцоолж болно:

дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч хаана байна; - дөрөв дэх зэрэглэлийн стандарт хазайлт.

3.2-р хүснэгтийн тооцооХүн амыг сарын дундаж цалингаар бүлэглэх, руб.

3.4-р хүснэгтийн тооцооЖижиглэнгийн худалдааны эргэлтээр дэлгүүрүүдийг бүлэглэх, сая рубль.

(7.7) томъёог ашиглан куртозын үзүүлэлтийг тооцоолъё.

Оргил тархалт.

3.6-р хүснэгтийн тооцооНийтийн тээврийн ачаа эргэлтээр тээврийн байгууллагуудыг бүлэглэх (сая т.км)

(7.7) томъёог ашиглан куртозын үзүүлэлтийг тооцоолъё.

Хавтгай дээд хуваарилалт.

ХҮН АМЫН НЭГДСЭН БАЙДЛЫН ҮНЭЛГЭЭ

3.2-р хүснэгтийн нэгэн төрлийн байдлын үнэлгээХүн амыг сарын дундаж цалингаар бүлэглэх, руб.

Хэдийгээр тэгш бус байдал ба куртозын үзүүлэлтүүд нь зөвхөн судалж буй популяцийн доторх шинж чанарын тархалтын хэлбэрийг шууд тодорхойлдог боловч тэдгээрийн тодорхойлолт нь зөвхөн дүрслэх ач холбогдолтой биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнхдээ тэгш хэмгүй байдал ба куртоз нь нийгмийн цаашдын судалгаанд тодорхой шинж тэмдэг өгдөг. эдийн засгийн үзэгдэл. Хүлээн авсан үр дүн нь тэгш хэмийн хувьд мэдэгдэхүйц бөгөөд сөрөг шинж чанартай байгааг харуулж байна. Нэмж дурдахад хүн ам нь хавтгай тархалттай байдаг.

Хүснэгт 3.4-ийн нэгэн төрлийн байдлын үнэлгээЖижиглэнгийн худалдааны эргэлтээр дэлгүүрүүдийг бүлэглэх, сая рубль.

Хүлээн авсан үр дүн нь тэгш хэмийн хувьд чухал ач холбогдолтой бөгөөд эерэг шинж чанартай тэгш бус байдал байгааг харуулж байна. Мөн хүн ам нь хурц оройн тархалттай байдаг.

3.6-р хүснэгтийн нэгэн төрлийн байдлын үнэлгээНийтийн тээврийн ачаа эргэлтээр тээврийн байгууллагуудыг бүлэглэх (сая т.км)

Хүлээн авсан үр дүн нь ач холбогдолгүй, эерэг шинж чанартай тэгш бус байдал байгааг харуулж байна, тэгш бус байдал нь баруун талтай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнээс гадна хүн амын тэгш тархалттай.

Математикийн хүлээлт. Математикийн хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, хост эцсийн тооүнэт зүйлс Xбимагадлал бүхий rби, хэмжээг дараах байдлаар нэрлэдэг.

Математикийн хүлээлттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xутгуудын үржвэрийн интеграл гэж нэрлэдэг Xмагадлалын тархалтын нягт дээр е(x):

(6б)

Буруу интеграл (6 б) нь туйлын нийлдэг гэж үздэг (өөрөөр хэлбэл тэд математикийн хүлээлт гэж хэлдэг. М(X) байхгүй). Математикийн хүлээлтийг тодорхойлдог дундаж утгасанамсаргүй хувьсагч X. Түүний хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцдаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

Тархалт. Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч Xдугаар гэж нэрлэдэг:

Зөрчил нь тараах шинж чанарсанамсаргүй хувьсагчийн утгууд Xтүүний дундаж утгатай харьцуулахад М(X). Вариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хэмжээтэй тэнцүү байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс (8) ба математикийн хүлээлт (5) ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд (6) гэсэн тодорхойлолтод үндэслэн бид дисперсийн ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг олж авна.

(9)

Энд м = М(X).

Тархалтын шинж чанарууд:

Стандарт хазайлт:

(11)

Дундаж хэмжигдэхүүнээс хойш квадрат хазайлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй адил бөгөөд энэ нь дисперсээс илүү тархалтын хэмжүүр болгон ихэвчлэн ашиглагддаг.

Түгээлтийн мөчүүд. Математикийн хүлээлт ба тархалтын тухай ойлголтууд нь илүү онцгой тохиолдол юм ерөнхий ойлголтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын хувьд - түгээлтийн мөчүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын моментуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим энгийн функцүүдийн математик хүлээлт болгон танилцуулсан. Тиймээс, захиалгын мөч кцэгтэй харьцуулахад X 0-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг М(X–X 0 )к. Гарал үүслийн талаархи мөчүүд X= 0 гэж нэрлэдэг анхны мөчүүдболон дараахыг тодорхойлсон:

(12)

Эхний эрэмбийн эхний момент нь авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв юм.

(13)

Түгээлтийн төвийн тухай мөчүүд X= мгэж нэрлэдэг төв цэгүүдболон дараахыг тодорхойлсон:

(14)

(7)-аас харахад нэгдүгээр зэрэглэлийн төв момент үргэлж тэгтэй тэнцүү байна.

Төв моментууд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын гарал үүслээс хамаардаггүй, учир нь шилжүүлсэн үеэс хойш тогтмол утга ХАМТтүүний тархалтын төв нь ижил утгаараа шилждэг ХАМТ, мөн төвөөс хазайлт өөрчлөгдөхгүй: X – м = (X – ХАМТ) – (м – ХАМТ).
Одоо энэ нь тодорхой боллоо тархалт- Энэ хоёр дахь захиалгын төв мөч:

Тэгш бус байдал. Гурав дахь захиалгын төв мөч:

(17)

үнэлгээ хийх үүрэгтэй хуваарилалтын тэгш бус байдал. Хэрэв тархалт нь цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байвал X= м, дараа нь гуравдахь эрэмбийн төв мөч нь тэгтэй тэнцүү байх болно (сондгой эрэмбийн бүх төв мөчүүд шиг). Тиймээс, хэрэв гурав дахь эрэмбийн төв момент тэгээс ялгаатай бол тархалт нь тэгш хэмтэй байж чадахгүй. Тэгш бус байдлын хэмжээг хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн ашиглан үнэлдэг тэгш бус байдлын коэффициент:

(18)

Тэгш бус байдлын коэффициент (18) тэмдэг нь баруун эсвэл зүүн талын тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Түгээлтийн тэгш бус байдлын төрлүүд.

Илүүдэл. Дөрөв дэх дарааллын төв мөч:

(19)

гэж нэрлэгддэгийг үнэлэхэд үйлчилдэг илүүдэл, энэ нь тархалтын төвийн ойролцоох тархалтын муруйн эгц (оргил) зэргийг хэвийн тархалтын муруйтай уялдуулан тодорхойлдог. Хэвийн тархалтын хувьд куртоз гэж авсан утга нь:

(20)

Зураг дээр. 3 нь тархалтын муруйн жишээг харуулж байна өөр өөр утгатайилүүдэл. Хэвийн хуваарилалтын хувьд Э= 0. Хэвийн хэмжээнээс их оргилтой муруй нь эерэг, хавтгай оройтой нь сөрөг муруйтай байна.

Цагаан будаа. 3. Янз бүрийн түвшний эгц (куртоз) бүхий тархалтын муруй.

Инженерийн хэрэглээний өндөр эрэмбийн моментууд математик статистикихэвчлэн ашигладаггүй.

Загвар салангидсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. Загвар тасралтгүйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын нягт хамгийн их байх үед түүний утга юм (Зураг 2). Хэрэв тархалтын муруй хамгийн ихдээ нэг байвал тархалтыг дуудна нэг загвартай. Хэрэв тархалтын муруй нь нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг дуудна multimodal. Заримдаа муруй нь хамгийн их биш харин хамгийн багатай тархалт байдаг. Ийм хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг эсрэг горим. IN ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Онцгой тохиолдолд, төлөө модаль, өөрөөр хэлбэл горимтой, тэгш хэмтэй тархалттай бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд сүүлийнх нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.

Медиан санамсаргүй хувьсагч X- энэ бол түүний утга юм Meh, тэгш байдал хангагдсан: i.e. санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалтай Xбага эсвэл илүү байх болно Meh. Геометрийн хувьд дундажнь тархалтын муруйн доорх талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм (Зураг 2). Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан, горим, математикийн хүлээлт ижил байна.

3.4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментууд.

Дээрээс бид SV-ийн цогц шинж чанаруудтай танилцсан: дискрет SV-ийн тархалтын функц ба тархалтын цуваа, тасралтгүй SV-ийн тархалтын функц ба магадлалын нягтрал. Мэдээллийн агуулгын хувьд эдгээр хос хосолсон шинж чанарууд нь функцуудмөн магадлалын үүднээс SV-г бүрэн дүрслэх. Гэсэн хэдий ч олон практик нөхцөл байдалд санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн гүйцэд тодорхойлох боломжгүй эсвэл шаардлагагүй байдаг. Ихэнхдээ нэг буюу хэд хэдэн зүйлийг зааж өгөхөд хангалттай тоонТархалтын үндсэн шинж чанаруудыг тодорхой хэмжээгээр тодорхойлдог параметрүүд, заримдаа бүрэн шинж чанаруудыг олох нь зүйтэй боловч математикийн хувьд хэтэрхий хэцүү, тоон үзүүлэлтээр ажиллах нь бид ойролцоогоор хязгаарлагддаг, гэхдээ илүү их байдаг. энгийн тайлбар. Заасан тоон параметрүүдийг дуудна тоон шинж чанарСанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ба магадлалын онолыг шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарт ашиглахад томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар, шийдлийн үр дүнг энгийн бөгөөд дүрслэн харуулах боломжийг олгодог.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанарыг хоёр төрөлд хувааж болно. мөч ба байрлалын шинж чанар.Хэд хэдэн төрлийн мөчүүд байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр нь: анхдагч ба төв. Бусад төрлийн мөчүүд, жишээлбэл. үнэмлэхүй момент, хүчин зүйлийн момент, бид тооцохгүй. Интегралын ерөнхий ойлголтыг ашиглахаас зайлсхийхийн тулд бид үргэлжилсэн болон салангид SV-ийн хувьд моментуудын тодорхойлолтыг тусад нь өгөх болно.

Тодорхойлолт. 1. Эхлэх мөчк--р эрэмбийн салангид SVтоо хэмжээ гэж нэрлэдэг

Хаана е(x) нь өгөгдсөн SV-ийн магадлалын нягт юм.

3. Төв мөчк--р эрэмбийн салангид SVтоо хэмжээ гэж нэрлэдэг

Хэд хэдэн SV-г нэгэн зэрэг авч үзэж байгаа тохиолдолд үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд тухайн мөчийг тодорхойлох нь тохиромжтой; бид үүнийг хаалтанд харгалзах SV-ийн тэмдэглэгээг зааж өгөх замаар хийх болно, жишээлбэл, , гэх мэт Энэ тэмдэглэгээг функцийн тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүй бөгөөд хаалтанд байгаа үсгийг функцийн аргументтай андуурч болохгүй. Тэнцвэрийн баруун талын нийлбэр ба интеграл (3.4.1 - 3.4.4) нь утгаас хамааран нийлэх буюу зөрөх боломжтой. кболон тусгай хуваарилалт. Эхний тохиолдолд тэд тэр мөчийг хэлдэг байхгүй эсвэл зөрөөд байна, хоёрдугаарт - юу мөч байдаг эсвэл нийлдэг.Хэрэв дискрет SV нь хязгаарлагдмал тооны хязгаарлагдмал утгатай бол ( НМэдээжийн хэрэг), түүний бүх мөчүүд хязгаарлагдмал дараалалтай байна кбайдаг. Хязгааргүйд Н, заримаас эхлэн кба өндөр эрэмбийн хувьд салангид SV-ийн моментууд (анхны болон төвийн аль аль нь) байхгүй байж болно. Тодорхойлолтоос харахад тасралтгүй SV-ийн моментууд нь буруу интегралуудаар илэрхийлэгддэг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой нэгээс эхлэн ялгарч болно. кболон дээд захиалгын хувьд (нэгэн зэрэг анхны болон төв). Тэг эрэмбийн мөчүүд үргэлж нийлдэг.

Эхлээд эхний, дараа нь гол мөчүүдийг илүү нарийвчлан авч үзье. Математикийн үүднээс авч үзвэл эхний мөч к-р дараалал нь "жигнэсэн дундаж" к-SV утгын 3-р зэрэг; дискрет SV-ийн хувьд жин нь үргэлжилсэн SV-ийн хувьд утгуудын магадлал, жингийн функц нь магадлалын нягт; Энэ төрлийн үйлдлүүдийг механикт массын тархалтыг (статик момент, инерцийн момент гэх мэт) тодорхойлоход өргөн ашигладаг; Үүнтэй холбогдуулан үүссэн аналогийг доор авч үзэх болно.

Эхний мөчүүдийг илүү сайн ойлгохын тулд бид тэдгээрийг тусад нь авч үздэг к. Магадлалын онолын хувьд доод эрэмбийн моментууд хамгийн чухал, өөрөөр хэлбэл бага байдаг кТиймээс утгыг нэмэгдүүлэх дарааллаар авч үзэх хэрэгтэй к. Тэг эрэмбийн анхны момент нь тэнцүү байна

1, салангид SV-ийн хувьд;

=1, тасралтгүй SV-ийн хувьд,

тэдгээр. аль ч SV-ийн хувьд энэ нь ижил утгатай тэнцүү - нэг бөгөөд тиймээс SV-ийн статистик шинж чанарын талаар ямар ч мэдээлэл агуулаагүй болно.

Эхний эрэмбийн эхний мөч (эсвэл эхний эхний мөч) нь тэнцүү байна

Дискрет SV-ийн хувьд;

, тасралтгүй SV-д зориулагдсан.

Энэ цэг нь харилцан хамааралтай хэд хэдэн шалтгаантай аливаа SV-ийн хамгийн чухал тоон шинж чанар юм. Нэгдүгээрт, Чебышевын теоремын дагуу (7.4-р хэсгийг үзнэ үү) SV дээр хязгааргүй тооны туршилт хийснээр ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь (ямар нэгэн утгаар) хандлагатай байдаг тул аливаа SV-ийн хувьд энэ нь шинж чанарын тоо юм. Үүний эргэн тойронд түүний үнэт зүйлсийг туршлага дээр нэгтгэдэг. Хоёрдугаарт, тасралтгүй CV-ийн хувьд энэ нь тоон хувьд тэнцүү байна X- муруйгаар үүссэн муруйн трапецын хүндийн төвийн координат е(x) (ижил төстэй шинж чанар нь салангид SV-д тохиолддог), тиймээс энэ мөчийг "тархалтын хүндийн төв" гэж нэрлэж болно. Гуравдугаарт, энэ мөч нь сургалтын явцад тодорхой болох гайхалтай математик шинж чанартай тул түүний утгыг гол мөчүүдийн илэрхийлэлд оруулсан болно (3.4.3) ба (3.4.4)-ийг үзнэ үү).

Магадлалын онолын онолын болон практик асуудлуудын хувьд энэ мөчийн ач холбогдол, түүний гайхалтай математик шинж чанарууд нь уран зохиолд "анхны мөч" гэсэн нэршил, нэрнээс гадна бусад тэмдэглэгээ, нэрийг их бага хэмжээгээр ашигладаг болоход хүргэсэн. тохиромжтой, дурдсан шинж чанаруудыг тусгасан. Хамгийн түгээмэл нэрс нь: математикийн хүлээлт, дундаж утга, болон тэмдэглэгээ: м, М[X], . Бид ихэвчлэн "математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёо, тэмдэглэгээг ашиглах болно м; хэрвээ хэд хэдэн SV байгаа бол бид математикийн хүлээлтийг илэрхийлсэн дэд тэмдгийг ашиглана, жишээлбэл, м x , м yгэх мэт.

Хоёрдахь эрэмбийн анхны момент (эсвэл хоёр дахь анхны момент) нь тэнцүү байна

Дискрет SV-ийн хувьд;

, тасралтгүй SV-ийн хувьд;

заримдаа үүнийг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж квадратболон томилогдсон М.

Гурав дахь эрэмбийн анхны момент (эсвэл гурав дахь анхны момент) нь тэнцүү байна

Дискрет SV-ийн хувьд;

, тасралтгүй SV-д зориулагдсан

заримдаа үүнийг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж шооболон томилогдсон М[X 3 ].

Эхний цэгүүдийг үргэлжлүүлэн жагсаах нь утгагүй юм. Захиалгын мөчүүдийн чухал тайлбар дээр анхаарлаа хандуулцгаая к>1. SV-тэй хамт үзье Xбас SV байдаг Ю, ба Y=X к (к=2, 3, ...). Энэ тэгш байдал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм XТэгээд Юүед SV гэсэн утгаараа детерминистик байдлаар холбогддог Xүнэ цэнийг авдаг x, NE Юүнэ цэнийг авдаг y=x к(Ирээдүйд SV-ийн энэ холболтыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно). Дараа нь (3.4.1) ба (3.4.2)-ын дагуу.

=м y , к=2, 3, ...,

өөрөөр хэлбэл к SV-ийн эхний момент нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна к-энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүчин чадал. Жишээлбэл, санамсаргүй шоогийн ирмэгийн уртын гурав дахь эхний момент нь кубын эзэлхүүний математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Тодорхой мөчүүдийг ойлгох чадвар математикийн хүлээлт- математикийн хүлээлт гэсэн ойлголтын ач холбогдлын өөр нэг тал.

Төв цэгүүдийг авч үзье. Доор тодорхой болох тул төв мөчүүд нь эхний мөчүүд болон эсрэгээр хоёрдмол утгагүй илэрхийлэгддэг тул яагаад гол мөчүүд хэрэгтэй вэ, яагаад эхний мөчүүд хангалтгүй байна вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. SV-г авч үзье X(тасралтгүй эсвэл салангид) болон өөр SV Y, эхнийхтэй холбоотой Y=X+a, Хаана а 0 - санамсаргүй бус бодит тоо. Утга бүр xсанамсаргүй хувьсагч Xутгатай тохирч байна y=x+aсанамсаргүй хувьсагч Ю, тиймээс SV-ийн тархалт Ю SV тархалттай ижил хэлбэртэй байна (дискрет тохиолдолд тархалтын полигоноор эсвэл тасралтгүй тохиолдолд магадлалын нягтаар илэрхийлнэ) X, гэхдээ хэмжээгээр х тэнхлэгийн дагуу шилжсэн а. Үүний үр дүнд SV-ийн эхний мөчүүд Ю SV-ийн харгалзах мөчүүдээс ялгаатай байх болно X. Жишээлбэл, харахад хялбар байдаг м y =м x +a(илүү хэдэн хором өндөр захиалгаилүү төвөгтэй харилцаагаар холбогддог). Тиймээс бид үүнийг тогтоосон Эхний моментууд нь бүхэлдээ тархалтын шилжилтийн хувьд өөрчлөгддөггүй. Хэрэв та тархалтыг биш, харин x тэнхлэгийн эхлэлийг хэвтээ байдлаар тодорхой хэмжээгээр шилжүүлбэл ижил үр дүнд хүрэх болно. а, өөрөөр хэлбэл Үүнтэй адил дүгнэлт нь бас хүчинтэй байна: эхний моментууд нь x тэнхлэгийн эхлэлийн хэвтээ шилжилтийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

Бүхэлд нь шилжилтээс хамаардаггүй тархалтын шинж чанаруудыг тодорхойлох зорилготой төв мөчүүд нь энэ дутагдалаас ангид байдаг. Үнэн хэрэгтээ (3.4.3) ба (3.4.4) -ээс харахад хуваарилалт бүхэлдээ тодорхой хэмжээгээр шилжих үед а, эсвэл ижилхэн, x тэнхлэгийн эхлэлийг хэмжээгээр шилжүүлэх - а, бүх утгууд x, ижил магадлалтай (дискрет тохиолдолд) эсвэл ижил магадлалын нягтралтай (тасралтгүй тохиолдолд) хэмжээгээр өөрчлөгдөнө. а, гэхдээ утга нь ижил хэмжээгээр өөрчлөгдөх болно м, тиймээс тэгш байдлын баруун талд байгаа хаалтны утга өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс, төв моментууд нь бүхэлдээ тархалтын шилжилтийн хувьд өөрчлөгддөггүй, эсвэл x тэнхлэгийн эхлэлийн хэвтээ шилжилтийн хувьд мөн адил байна.Эхний мөчийг "төв" гэж нэрлэдэг байсан тэр үед эдгээр мөчүүд нь "төв" гэсэн нэрийг авсан. SV-ийн төв мөч гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй X SV-ийн харгалзах анхны момент гэж ойлгож болно X 0 тэнцүү

NE X 0 гэж нэрлэдэг төвтэй(SV-тэй холбоотой X), түүнд хүргэх үйлдлийг, өөрөөр хэлбэл түүний математик хүлээлтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хасах үйлдлийг гэнэ. төвлөрөх. Бид дараа нь харах болно, энэ үзэл баримтлал, энэ үйл ажиллагаа нь курсын туршид хэрэг болно. Захиалгын гол мөч гэдгийг анхаарна уу к>1-ийг математикийн хүлээлт гэж үзэж болно (дундаж) к- төвлөрсөн SV-ийн зэрэг: .

Доод захиалгын гол мөчүүдийг тусад нь авч үзье. Тэг эрэмбийн төв момент нь тэнцүү байна

, салангид SV-ийн хувьд;

, тасралтгүй SV-ийн хувьд;

өөрөөр хэлбэл ямар ч SV-д зориулагдсан бөгөөд энэ SV-ийн статистик шинж чанарын талаар ямар ч мэдээлэл агуулаагүй болно.

Эхний эрэмбийн төв мөч (эсвэл эхний төв мөч) нь тэнцүү байна

салангид SV-ийн хувьд;

тасралтгүй CB-ийн хувьд; өөрөөр хэлбэл ямар ч SV-д зориулагдсан бөгөөд энэ SV-ийн статистик шинж чанарын талаар ямар ч мэдээлэл агуулаагүй болно.

Хоёрдахь эрэмбийн төв мөч (эсвэл хоёр дахь төв момент) нь тэнцүү байна

, салангид SV-ийн хувьд;

, тасралтгүй SV-д зориулагдсан.

Доор тодорхой болох тул энэ цэг нь магадлалын онолын хамгийн чухал цэгүүдийн нэг бөгөөд SV утгуудын тархалтын (эсвэл тархалтын) хэмжүүрийн шинж чанар болгон ашигладаг тул үүнийг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг. тархалтболон томилогдсон Д X. Үүнийг төвлөрсөн SV-ийн дундаж квадрат гэж ойлгож болно гэдгийг анхаарна уу.

Гурав дахь эрэмбийн төвийн момент (гурав дахь төв мөч) нь тэнцүү байна

Математикийн хүлээлтийг олъё X 2 :

М(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Бид үүнийг харж байна М(X 2) илүү их М(X). Учир нь квадратын дараа боломжит утгатоо хэмжээ X 2 утгатай тохирч байна x=100 магнитуд X, 10,000-тай тэнцсэн, өөрөөр хэлбэл мэдэгдэхүйц нэмэгдсэн; энэ утгын магадлал бага (0.01).

Тиймээс шилжилтээс М(X)Хэнд М(X 2) боломжит утгын математикийн хүлээлтэд үзүүлэх нөлөөллийг илүү сайн харгалзан үзэх боломжтой болсон бөгөөд энэ нь том бөгөөд магадлал багатай юм. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв үнэ цэнэ Xхэд хэдэн том, магадлал багатай утгатай байсан бол дараа нь үнэ цэнэ рүү шилжсэн X 2, тэр ч байтугай тоо хэмжээнээс ч илүү X 3 , X 4 гэх мэт нь эдгээр том, гэхдээ боломжгүй үнэт зүйлсийн "үүргийг бэхжүүлэх" боломжийг бидэнд олгоно. Тийм ч учраас математикийн хүлээлтийг бүхэлд нь авч үзэх нь зүйтэй юм эерэг зэрэгсанамсаргүй хэмжигдэхүүн (зөвхөн салангид төдийгүй тасралтгүй).

Захиалгын эхний мөч kсанамсаргүй хувьсагч Xхэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг Xk:

v k = M(X).

Ялангуяа,

v 1 = М(X),v 2 = М(X 2).

Эдгээр цэгүүдийг ашиглан дисперсийг тооцоолох томъёо Д(X)= М(X 2)- [М(X)] 2-ыг дараах байдлаар бичиж болно.

Д(X)=v 2 – . (*)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментуудаас гадна Xхазайх мөчүүдийг авч үзэх нь зүйтэй X-M(X).

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний k эрэмбийн төв момент нь хэмжигдэхүүний математик хүлээлт юм(ХМ(X))к:

Ялангуяа,

Анхны болон төв мөчүүдийг холбосон харилцааг амархан гаргаж авдаг. Жишээлбэл, (*) ба (***) харьцуулбал бид олж авна

м 2= v 2 – .

Төвийн моментийн тодорхойлолт, математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан дараах томъёог олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.

m 3= v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

m 4= v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

Дээд зэрэглэлийн моментуудыг бараг ашигладаггүй.

Сэтгэгдэл. Энд хэлэлцсэн цэгүүдийг нэрлэнэ онолын.Онолын моментуудаас ялгаатай нь ажиглалтын өгөгдлөөр тооцоолсон моментуудыг нэрлэдэг эмпирик.Эмпирик моментуудын тодорхойлолтыг доор өгөв (XVII бүлэг, § 2-ыг үзнэ үү).

Даалгаврууд

1. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл нь мэдэгдэж байна: Д(X) = 4, Д(Ю)=3. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн дисперсийг ол.

Төлөөлөгч 7.

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл X 5-тай тэнцүү. Дараах хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг ол: a) X-1; б) -2 X; V) З.Х + 6.

Төлөөлөгч a) 5; б) 20; в) 45.

3. Санамсаргүй хувьсагч Xзөвхөн хоёр утгыг авна: +C ба -C, тус бүр нь 0.5 магадлалтай. Энэ хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Төлөөлөгч ХАМТ 2 .

4. , түүний тархалтын хуулийг мэддэг

Төлөөлөгч 67,6404.

5. Санамсаргүй хувьсагч Xхоёр боломжит утгыг авч болно: X 0.3 магадлалтай 1 ба x 2 магадлал 0.7, ба X 2 > x 1 . Хай x 1 ба x 2, үүнийг мэдэж байгаа М(X) = 2, 7i Д(X) =0,21.

Төлөөлөгч x 1 = 2, x 2 = 3.

6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол X- үйл явдлын тохиолдлын тоо Ахоёрт бие даасан туршилтууд, Хэрэв М(X) = 0, 8.

Жич: бичих бином хуульүйл явдлын тохиолдлын тооны магадлалын тархалт Ахоёр бие даасан шүүх хуралд.

Төлөөлөгч 0, 48.

7. Бие даасан дөрвөн төхөөрөмжөөс бүрдсэн төхөөрөмжийг туршиж байна. Төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлал дараах байдалтай байна. r 1 = 0,3; r 2 = 0,4; х 3 = 0,5; r 4 = 0.6. Амжилтгүй болсон төхөөрөмжүүдийн тооны математик хүлээлт ба хэлбэлзлийг ол.

Төлөөлөгч 1,8; 0,94.

8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол X- 100 бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тоо, тус бүр нь тохиолдох магадлал 0.7 байна.

Төлөөлөгч 21.

9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл Д(X) = 6.25. Стандарт хазайлтыг ол s( X).

Төлөөлөгч 2, 5.

10. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулиар тодорхойлно

Энэ утгын стандарт хазайлтыг ол.

Төлөөлөгч 2, 2.

11. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй 9 санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн дисперс нь 36-тай тэнцүү байна. Эдгээр хувьсагчийн арифметик дундажийн дисперсийг ол.

Төлөөлөгч 4.

12. Ижил тархсан харилцан хамааралгүй 16 санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн стандарт хазайлт 10. Эдгээр хувьсагчийн арифметик дундажийн стандарт хазайлтыг ол.

Төлөөлөгч 2,5.

Есдүгээр бүлэг

ТОМ ТООНЫ ХУУЛЬ

Урьдчилсан тайлбар

Өмнө нь мэдэгдэж байгаагаар туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах боломжтой утгуудын аль нь болохыг урьдчилан таамаглах боломжгүй юм; Энэ нь санамсаргүй олон шалтгаанаас шалтгаалдаг бөгөөд үүнийг анхаарч үзэх боломжгүй юм. Энэ утгаараа санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн талаар бид маш даруухан мэдээлэлтэй байгаа тул зан үйлийн хэв маяг, нийлбэрийг хангалттай тогтоох боломжгүй юм шиг санагдаж байна. их тоосанамсаргүй хэмжигдэхүүн. Үнэндээ энэ нь үнэн биш юм. Харьцангуй өргөн хүрээтэй нөхцөлд хангалттай олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний ерөнхий зан төлөв бараг санамсаргүй шинж чанараа алдаж, байгалийн шинж чанартай болдог.

Практикийн хувьд санамсаргүй олон шалтгаануудын нийлмэл үйл ажиллагаа нь аливаа үзэгдлийн явцыг урьдчилан харах боломжийг олгодог тул санамсаргүй байдлаас бараг хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг нөхцөлийг мэдэх нь маш чухал юм. Эдгээр нөхцөлийг теоремын холхивч дээр зааж өгсөн болно нийтлэг нэрхууль их тоо. Үүнд Чебышев, Бернулли нарын теоремууд (энд хэлэлцэхгүй бусад теоремууд байдаг). Чебышевын теорем бол хамгийн их нийтлэг хуульих тоо, Бернуллигийн теорем нь хамгийн энгийн. Эдгээр теоремуудыг батлахын тулд бид Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглана.

Чебышевын тэгш бус байдал

Чебышевын тэгш бус байдал нь дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хүчинтэй байна. Энгийн байхын тулд бид энэ тэгш бус байдлыг салангид хэмжигдэхүүнүүдэд нотлохоор хязгаарладаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X,түгээлтийн хүснэгтээр тодорхойлсон:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх магадлалыг тооцоолох даалгаврыг өөртөө тавьцгаая. үнэмлэхүй үнэ цэнэ эерэг тоод. Хэрэв e нь хангалттай бага бол бид магадлалыг тооцоолно Xматематикийн хүлээлттэй ойролцоо утгыг авах болно. П.Л.Чебышев бидний сонирхож буй тооцоог өгөх боломжийг олгодог тэгш бус байдлыг нотолсон.

Чебышевын тэгш бус байдал. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн үнэмлэхүй утга дахь математикийн хүлээлтээс хазайх нь эерэг тоо e-ээс бага байх магадлал багагүй байна. 1-Д(X)/e 2 :

Р(|Х -М(X)|< e ) 1-Д(X)/e 2 .

Баталгаа. Тэгш бус байдлын хэрэгжилтээс бүрдсэн үйл явдлуудаас хойш |Х-М(X)|Тэгээд |Х-М(X)| э,эсрэг байвал тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.