Тодорхойлолт Захиалгат цуглуулга (x 1 , x 2 , ... , x n) n бодит тоодуудсан n хэмжээст вектор, болон тоонууд x i (i =) - бүрэлдэхүүн хэсгүүд,эсвэл координат,
Жишээ. Жишээлбэл, тодорхой автомашины үйлдвэр 50 автомашин, 100 ачааны машин, 10 автобус, 50 иж бүрдэл автомашины сэлбэг хэрэгсэл, 150 иж бүрдэл үйлдвэрлэх ёстой. ачааны машинба автобус, дараа нь энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн программыг таван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй вектор (50, 100, 10, 50, 150) хэлбэрээр бичиж болно.
Тэмдэглэгээ. Векторуудыг тод жижиг үсгээр эсвэл дээд талд нь баар эсвэл сумтай үсгээр тэмдэглэнэ, жишээлбэл. аэсвэл. Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүүхэрэв тэдэнд байгаа бол ижил тообүрэлдэхүүн хэсэг ба тэдгээрийн холбогдох бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү байна.
Вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг солих боломжгүй, жишээлбэл, (3, 2, 5, 0, 1)ба (2, 3, 5, 0, 1) өөр векторууд.
Вектор дээрх үйлдлүүд.Ажил
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) бодит тоогоорλ вектор гэж нэрлэдэгλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).
Дүнx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ба y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) -ийг вектор гэнэ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
Вектор орон зай.Н -хэмжээст вектор орон зай Р n нь үржүүлэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг бүх n хэмжээст векторуудын олонлогоор тодорхойлогддог. бодит тооболон нэмэлт.
Эдийн засгийн дүрслэл. n хэмжээстийн эдийн засгийн зураглал вектор орон зай: барааны орон зай (бараа). Доод бараабид худалдаанд гарах ямар нэг бараа, үйлчилгээг ойлгох болно тодорхой хугацаатодорхой газар. Байгаа гэж бодъё эцсийн тообэлэн бараа n; Хэрэглэгчийн худалдаж авсан тэдгээрийн тоо хэмжээ нь багц барааны тодорхойлогддог
x= (x 1 , x 2 , ..., x n),
Энд x i нь хэрэглэгчийн худалдан авсан i-р барааны хэмжээг илэрхийлнэ. Бид бүх барааг дур зоргоороо хуваах шинж чанартай гэж үзэх болно, ингэснээр тэдгээрийн аль ч сөрөг бус тоо хэмжээг худалдан авч болно. Дараа нь бүх боломжит барааны багц нь барааны орон зай C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).
Шугаман бие даасан байдал.
Систем д 1 , д 2 , ... , д m n хэмжээст векторуудыг дуудна шугаман хамааралтай, хэрэв ийм тоо байгаа болλ 1 , λ 2 , ... , λ м , үүнээс дор хаяж нэг нь тэг биш байх тул тэгш байдалλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ м дм = 0; өөрөөр энэ системвекторууд гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан, өөрөөр хэлбэл заасан тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л боломжтой болно 
. Геометрийн утга шугаман хамааралвекторууд Р 3-ыг чиглэсэн сегмент гэж тайлбарлавал дараах теоремуудыг тайлбарла.
Теорем 1. Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэг байвал шугаман хамааралтай байна.
Теорем 2. Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь коллинеар (параллель) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Теорем 3 . Гурван вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай (нэг хавтгайд байрлах) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Зүүн ба баруун гурвалсан векторууд. Хавсарсан бус векторуудын гурав дахин a, b, cдуудсан зөв, хэрэв тэднээс ажиглагч нийтлэг эхлэлвекторуудын төгсгөлийг давах a, b, cВ заасан дарааллаарцагийн зүүний дагуу болж байгаа бололтой. Үгүй бол a, b, c -гурав үлдсэн. Бүх баруун (эсвэл зүүн) гурвалсан векторууд гэж нэрлэгддэг адилхан чиглэсэн.
Суурь ба координат. Тройка д 1, д 2 , д 3 хуваарьгүй векторууд Р 3 гэж нэрлэдэг суурь, мөн векторууд өөрсдөө д 1, д 2 , д 3 - үндсэн. Аливаа вектор аүндсэн векторууд болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр төлөөлдөг
А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)
(1.1) өргөтгөлийн x 1 , x 2 , x 3 тоонуудыг дуудна координатуудаүндсэн дээр д 1, д 2 , д 3 ба томилогдсон а(x 1, x 2, x 3).
Ортонормаль суурь. Хэрэв векторууд д 1, д 2 , д 3 нь хос перпендикуляр бөгөөд тус бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү бол суурь гэж нэрлэдэг. ортонормаль, мөн координатууд x 1 , x 2 , x 3 - тэгш өнцөгт.Ортонормаль суурийн суурь векторуудыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ i, j, k.
Бид үүнийг сансарт гэж таамаглах болно Р 3 баруун гар талын декартын системийг сонгосон тэгш өнцөгт координат {0, i, j, k}.
Вектор урлагийн бүтээл. Вектор урлагийн бүтээл Авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг вдараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.
1. Векторын урт ввекторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тоогоор тэнцүү байна аТэгээд б,өөрөөр хэлбэл
в=
|a||b|нүгэл( а^б).
2. Вектор ввектор тус бүрт перпендикуляр байна аТэгээд б.
3. Векторууд а, бТэгээд в, заасан дарааллаар авсан, баруун гурвалсан үүсгэнэ.
Учир нь вектор бүтээгдэхүүн втэмдэглэгээг танилцуулж байна c =[ab] эсвэл
c = a
× б.
Хэрэв векторууд аТэгээд бхоорондоо уялдаатай, дараа нь нүгэл ( a^b) = 0 ба [ ab] = 0, ялангуяа, [ аа] = 0. Нэгж векторын вектор үржвэрүүд: [ ij]=к, [jk] = би, [ки]=j.
Хэрэв векторууд аТэгээд бүндэслэлд заасан i, j, kкоординатууд а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), дараа нь
Холимог хэсэг. Хэрэв хоёр векторын вектор үржвэр бол АТэгээд бгурав дахь вектороор скаляраар үржүүлсэн в,тэгвэл гурван векторын ийм үржвэрийг нэрлэнэ холимог ажилба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна а б в.
Хэрэв векторууд а, бТэгээд вүндсэн дээр i, j, kтэдгээрийн координатаар өгөгдсөн
а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), в(c 1, c 2, c 3), дараа нь
.
Холимог бүтээгдэхүүн нь энгийн геометрийн тайлбартай байдаг - энэ нь өгөгдсөн гурван вектор дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгатай тэнцүү скаляр юм.
Хэрэв векторууд зөв гурвалсан бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь заасан эзэлхүүнтэй тэнцүү эерэг тоо байна; хэрэв гурав бол a, b, c -тэгээд зүүн a b c<0 и V = - a b c, тиймээс V =|a b c|.
Нэгдүгээр бүлгийн асуудалд тулгарсан векторуудын координатыг зөв ортонормаль суурьтай харьцуулсан гэж үзнэ. Нэгж вектор вектортой координат А,тэмдгээр илэрхийлнэ АО. Тэмдэг r=ОММ цэгийн радиус вектороор тэмдэглэгдсэн, a, AB эсвэл тэмдэгтүүд|а|, | AB|векторуудын модулиудыг тэмдэглэв АТэгээд AB.
Жишээ 1.2. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол а= 2м+4nТэгээд б= м-н, Хаана мТэгээд n-нэгж векторууд ба хоорондын өнцөг мТэгээд n 120 o-тай тэнцүү.
Шийдэл. Бидэнд байна: cos φ = ab/аб ab =(2м+4n) (м-н) = 2м 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, энэ нь a = гэсэн үг. b = ; б 2 =
= (м-н)(м-н) = м 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0.5)+1 = 3, энэ нь b = гэсэн үг. Эцэст нь бидэнд байна: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.
Жишээ 1.3.Векторуудыг мэддэг AB(-3,-2.6) ба МЭӨ(-2,4,4),АВС гурвалжны AD өндрийн уртыг тооцоол.
Шийдэл. ABC гурвалжны талбайг S-ээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
S = МЭӨ 1/2. Дараа нь AD=2S/BC, BC= = 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, энэ нь вектор гэсэн үг А.С.координаттай
.
.
Жишээ 1.4 . Хоёр вектор өгөгдсөн а(11,10,2) ба б(4,0,3). Хай нэгж вектор в,векторуудад ортогональ аТэгээд бба дараалсан гурвалсан вектор байхаар чиглүүлсэн a, b, cзөв байсан.
Шийдэл.Векторын координатыг тэмдэглэе в x, y, z-ийн хувьд өгөгдсөн зөв ортонормаль суурийн хувьд.
Учир нь в ⊥ а, в ⊥б, Тэр ойролцоогоор= 0,cb= 0. Бодлогын нөхцлийн дагуу c = 1 ба байх шаардлагатай a b c >0.
Бидэнд тэгшитгэлийн систем бий х,у,з олох: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлээс бид z = -4/3 x, y = -5/6 x-ийг олж авна. Гурав дахь тэгшитгэлд y ба z-г орлуулбал: x 2 = 36/125, эндээс
x =±
. Нөхцөлийг ашиглах a b c > 0, бид тэгш бус байдлыг олж авна
z ба y-ийн илэрхийллүүдийг харгалзан бид үүссэн тэгш бус байдлыг 625/6 x > 0 хэлбэрээр дахин бичдэг бөгөөд энэ нь x>0 гэсэн үг юм. Тэгэхээр x = , y = - , z =- .
Тодорхойлолт. a вектор (үржүүлэгч) ба коллинеар бус вектор (үржвэр) -ийн вектор үржвэр нь гурав дахь вектор c (бүтээгдэхүүн) бөгөөд дараах байдлаар бүтээгдэнэ.
1) түүний модуль нь тоон үзүүлэлт юм талбайтай тэнцүүЗураг дээрх параллелограмм. 155), векторууд дээр бүтээгдсэн, тухайлбал чиглэлтэй тэнцүүдурдсан параллелограммын хавтгайд перпендикуляр;
3) энэ тохиолдолд в векторын чиглэлийг (хоёр боломжит хувилбараас) сонгосон бөгөөд ингэснээр в векторууд нь байна. зөв систем(§ 110).
Тэмдэглэл: эсвэл
Тодорхойлолт дээр нэмэлт. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тухайн зургийг (нөхцөлтөөр) параллелограмм гэж үзвэл тэг талбайг өгөх нь зүйн хэрэг юм. Тиймээс коллинеар векторуудын вектор үржвэрийг тэг вектортой тэнцүү гэж үзнэ.
Тэг векторыг ямар ч чиглэл өгч болох тул энэхүү гэрээ нь тодорхойлолтын 2, 3-р зүйлтэй зөрчилдөхгүй.
Тайлбар 1. “Вектор үржвэр” гэсэн нэр томьёоны эхний үг нь үйлдлийн үр дүн нь вектор болохыг илтгэнэ (скаляр үржвэрийн эсрэг; § 104, тайлбар 1).
Жишээ 1. Зөв координатын системийн гол векторууд байгаа вектор үржвэрийг ол (Зураг 156).
1. Үндсэн векторуудын урт нь нэг масштабын нэгжтэй тэнцүү тул параллелограммын талбай (квадрат) тоон хувьд нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь вектор үржвэрийн модуль гэсэн үг юм нэгтэй тэнцүү.
2. Хавтгайд перпендикуляр нь тэнхлэг тул хүссэн вектор үржвэр нь k вектортой коллинеар вектор болно; аль аль нь модуль 1-тэй тул хүссэн вектор үржвэр нь k эсвэл -k-тэй тэнцүү байна.
3. Эдгээр хоёр боломжит векторуудаас эхнийхийг нь сонгох ёстой, учир нь k векторууд нь баруун гартай систем (мөн векторууд нь зүүн гар) үүсгэдэг.
Жишээ 2. Хөндлөн үржвэрийг ол
Шийдэл. 1-р жишээн дээр бид вектор нь k эсвэл -k-тэй тэнцүү байна гэж дүгнэж байна. Харин одоо векторууд нь баруун гартай системийг (мөн векторууд нь зүүн гартай системийг бүрдүүлдэг) тул бид -k-г сонгох хэрэгтэй. Тэгэхээр,
Жишээ 3. Векторуудын урт нь 80 ба 50 см-тэй тэнцүү бөгөөд 30 ° өнцгийг үүсгэдэг. Тоолуурыг уртын нэгж болгон авч вектор үржвэрийн уртыг ол
Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай нь тэнцүү байна Хүссэн вектор бүтээгдэхүүний урт нь тэнцүү байна
Жишээ 4. Уртын нэгжээр сантиметрийг авч ижил векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.
Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай тэнцүү тул векторын бүтээгдэхүүний урт нь 2000 см-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
3 ба 4-р жишээнүүдийн харьцуулалтаас харахад векторын урт нь зөвхөн хүчин зүйлсийн уртаас гадна уртын нэгжийн сонголтоос хамаарна.
Вектор бүтээгдэхүүний физик утга.Олон хүнээс физик хэмжигдэхүүнүүд, вектор үржвэрээр төлөөлүүлэн бид зөвхөн хүчний моментийг авч үздэг.
О цэгтэй харьцуулахад хүч хэрэглэх цэгийг Векторын үржвэр гэж нэрлэнэ. Энэ векторын үржвэр нь параллелограммын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна (Зураг 157). моментийн модуль нь суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хүчийг О цэгээс тухайн хүчний үйлчилж буй шулуун шугам хүртэлх зайгаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Механикийн хувьд энэ нь тэнцвэрт байдлын хувьд батлагдсан хатууБиед үйлчлэх хүчийг илэрхийлэх векторуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байхаас гадна хүчний моментуудын нийлбэр байх шаардлагатай. Бүх хүчнүүд нэг хавтгайд параллель байх тохиолдолд моментуудыг төлөөлөх векторуудыг нэмэх нь тэдгээрийн хэмжээг нэмэх, хасах замаар сольж болно. Гэхдээ хүчний дур зоргоороо чиглэлтэй бол ийм солих боломжгүй юм. Үүний дагуу вектор үржвэрийг тоогоор биш, харин вектороор нарийн тодорхойлдог.
Эцэст нь би энэ өргөн уудам, удаан хүлээсэн сэдвийг олж авлаа. аналитик геометр . Эхлээд бага зэрэг энэ хэсэг дээд математик…. Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "График шийдлийн арга" ба "График шийдлийн арга" гэсэн хоёр математикийн хэллэг тэр даруй санаанд орж ирдэг. аналитик аргашийдлүүд". График арга , мэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикэсвэл аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлондамжуулан алгебрийн үйлдлүүд. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг шаардлагатай томъёонууд- тэгээд хариулт бэлэн боллоо! Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг зураггүйгээр хийх боломжгүй, үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг шаардлагагүйгээр иш татахыг хичээх болно.
Шинээр нээгдсэн геометрийн хичээл нь онолын хувьд бүрэн дүүрэн мэт дүр эсгэдэггүй, энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд хэсэгт илүү бүрэн тусламж хэрэгтэй бол би дараах нэлээд хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.
1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ гогцоо аль хэдийн 20 (!) дахин хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.
2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол уран зохиол юм ахлах сургууль, Танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тохиолддог ажлууд миний нүднээс далд орж магадгүй, мөн зааварүнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно.
Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Үүнээс гадна та миний архивыг ашиглаж болно бэлэн шийдлүүд, үүнийг хуудаснаас олж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах.
Хэрэгслийн дунд би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багцаналитик геометрийн чиглэлээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.
Уншигчид үндсэн зүйлийг мэддэг гэж үздэг геометрийн ойлголтуудба дүрсүүд: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, давтагчдад сайн уу)
Одоо бид дараалсан байдлаар авч үзэх болно: векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат. Би цааш нь уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр, мөн түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог бүтээгдэхүүн. Орон нутгийн даалгавар - Энэ чиглэлээр сегментийг хуваах нь илүүц байх болно. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та эзэмшиж чадна хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл-тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээ, энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг шийдэж сурах. Дараах нийтлэлүүд бас хэрэгтэй. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгайн үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад хэсгүүд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.
Вектор ойлголт. Чөлөөт вектор
Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:
IN энэ тохиолдолдсегментийн эхлэл нь цэг, сегментийн төгсгөл нь цэг юм. Вектор нь өөрөө . Чиглэлчухал бөгөөд хэрвээ та сумыг сегментийн нөгөө төгсгөл рүү зөөвөл вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн болсон тэс өөр вектор. Векторын тухай ойлголт нь хөдөлгөөнөөр тодорхойлогддог физик бие: Зөвшөөрч байна, хүрээлэнгийн хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалгаар гарах нь огт өөр зүйл юм.
Онгоц эсвэл орон зайн бие даасан цэгүүдийг гэж нэрлэх нь тохиромжтой тэг вектор. Ийм векторын хувьд төгсгөл ба эхлэл нь давхцдаг.
!!! Жич: Энд, цаашлаад векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай болон орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.
Тэмдэглэл:Олон хүн сумгүй савааг шууд анзаарч, дээд талд нь сум байгаа гэж хэлэв! Үнэн, та үүнийг сумаар бичиж болно: , гэхдээ энэ нь бас боломжтой миний ирээдүйд ашиглах оруулга. Яагаад? Энэ зуршил нь практик шалтгаанаар бий болсон нь миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий өөр хэмжээтэй, сэвсгэр байсан бололтой. IN боловсролын уран зохиолЗаримдаа тэд дөрвөлжин бичээстэй огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор гэдгийг илтгэдэг.
Энэ бол стилистик байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:
1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно. 
гэх мэт. Энэ тохиолдолд эхний үсэг Заавалвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.
2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа товчхон байхын тулд манай векторыг жижиг гэж дахин тодорхойлж болно Латин үсэг.
Уртэсвэл модульҮгүй тэг векторсегментийн урт гэж нэрлэдэг. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логик.
Векторын уртыг модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ: ,
Хэсэг хугацааны дараа бид векторын уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно (эсвэл бид үүнийг хэнээс хамаарч давтах болно).
Тэд байсан Үндсэн мэдээлэлБүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторын тухай. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.
Энгийнээр хэлэхэд - векторыг дурын цэгээс зурж болно:
Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэж заншсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ зөвхөн математикийн цэгхарах нь Ижил ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад та энэ эсвэл өөр векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш гайхалтай онцлог юм! Дурын урт, чиглэлтэй векторыг төсөөлөөд үз дээ - үүнийг "клончлох" боломжтой хязгааргүй тооцаг хугацаа, сансар огторгуйн аль ч цэгт, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм нэгэн оюутны хэлсэн үг байдаг: Лектор бүр векторын талаар санаа тавьдаг. Эцсийн эцэст, энэ бол зүгээр нэг уран яруу яриа биш, бүх зүйл математикийн хувьд зөв - векторыг тэнд хавсаргаж болно. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө ихэвчлэн зовж байдаг =)
Тэгэхээр, үнэгүй вектор- Энэ бөөн ижил чиглэсэн сегментүүд. Сургуулийн тодорхойлолтДогол мөрний эхэнд өгөгдсөн вектор нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт холбогдсон өгөгдсөн багцаас авсан чиглэсэн сегмент.
Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй ерөнхий тохиолдолнь буруу бөгөөд векторын хэрэглээний цэг нь чухал юм. Үнэн хэрэгтээ, миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, эрх чөлөөгүйвекторууд нь вишматын явцад бас олддог (тэнд очиж болохгүй :)).
Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал
IN сургуулийн курсгеометр, вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг авч үздэг. гурвалжны дүрмээр нэмэх, параллелограммын дүрмээр нэмэх, векторын ялгах дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд гэх мэт.Эхлэх цэг болгон аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтан хэлье.
Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан вектор нэмэх дүрэм
Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба: 
Та эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойш тавих болно Төгсгөлвектор: 
Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг оруулахыг зөвлөж байна физик утга: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу явуулна. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь эхлэл нь явах цэг, төгсгөл нь хүрэх цэгтэй, үүссэн замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр, бие нь зигзаг дагуу, эсвэл автомат нисгэгчээр - нийлбэрийн үр дүнд бий болсон векторын дагуу маш хазайж болно.
Дашрамд хэлэхэд, вектор нь хойшлогдсон бол эхэлсэнвектор, тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.
Нэгдүгээрт, векторуудын коллинеар байдлын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "конлинеар" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.
Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтран найруулсан. Хэрэв сумнууд чиглэж байгаа бол өөр өөр талууд, тэгвэл векторууд байх болно эсрэг чиглэлүүд.
Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизм тэмдгээр бичнэ: , харин дэлгэрэнгүй тайлбарлах боломжтой: (векторууд хамтран чиглэсэн) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).
АжилТоон дээрх тэгээс ялгаатай вектор нь урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -т хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.
Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургийн тусламжтайгаар ойлгоход хялбар болно. 
Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье:
1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлийг өөрчилдөгэсрэгээр.
2) урт. Хэрэв үржүүлэгч нь эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тэгэхээр векторын урт нь векторын уртын тал юм. Хэрэв үржүүлэгчийн модуль нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгцагтаа.
3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг вектор нь нөгөө вектороор илэрхийлэгддэг бол жишээлбэл, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Тиймээс: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.
4) Векторууд хамтран чиглэгддэг. Векторууд мөн хамтран найруулдаг. Эхний бүлгийн дурын вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч вектортой харьцуулахад эсрэг чиглэлтэй байна.
Аль векторууд тэнцүү вэ?
Хоёр вектор ижил чиглэлд, ижил урттай байвал тэнцүү байна. Хамтарсан чиглэл нь векторуудын коллинеар байдлыг илэрхийлдэг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, нэгдмэл чиглэлтэй, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлбэл энэ тодорхойлолт буруу (илүүдэл) байх болно.
Чөлөөт векторын үзэл баримтлалын үүднээс авч үзвэл, тэнцүү векторууд- энэ бол өмнөх догол мөрөнд аль хэдийн яригдсан ижил вектор юм.
Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд
Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг дүрсэлж, координатын гарал үүслээс нь зурцгаая. ганц биевекторууд ба:
Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би таныг нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооТэгээд ортогональ байдал.
Зориулалт:Векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикулярын тэмдгээр бичнэ, жишээ нь: .
Харж байгаа векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьгадаргуу дээр. Үндэслэл гэж юу вэ гэдэг нь олон хүнд ойлгомжтой байх гэж бодож байна дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэсЭнгийнээр хэлбэл, координатын үндэс ба гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэг төрлийн суурь юм.
Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн үндэс: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн үг нь нэгж гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.
Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн бичигдсэн байдаг хаалт, дотор нь В хатуу дараалал суурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойдахин зохион байгуулах.
Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн: 
, Хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатВ энэ үндсэн дээр. Мөн илэрхийлэл нь өөрөө 
дуудсан вектор задралүндсэн дээр .
Оройн хоол:
Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг суурь болгон задлахдаа сая авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .
Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаар зур. Түүний ялзрал нь "түүнийг уйгагүй дагах" нь ойлгомжтой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг өөртөө авч явдаг". Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг эхнээс нь зурах шаардлагагүй, жишээлбэл, зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "зээл" авах болно.
Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг таг харуулж байна, вектор нь үндсэн вектортой кодиректортой, вектор нь үндсэн векторын эсрэг чиглэсэн байна. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү байна, та үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.
Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).
Мөн эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би хасах дүрмийн талаар яриагүй юм бэ? Хаа нэгтээ шугаман алгебр, Хаана гэдгийг санахгүй байна, би хасах үйлдэл гэдгийг тэмдэглэсэн онцгой тохиолдолнэмэлт. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр хялбархан бичдэг: , 
. Нөхцөлүүдийг дахин цэгцэлж, гурвалжингийн дүрмийн дагуу хуучин векторуудыг нэмэх нь эдгээр нөхцөлд хэр сайн ажиллаж байгааг зураг дээрээс хараарай.
Маягтын задралыг авч үзсэн 
заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг ort системд(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш юм:
Эсвэл тэнцүү тэмдэгтэй:
Үндсэн векторууд нь өөрөө дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба
Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. IN практик асуудлуудБүх гурван бичлэгийн сонголтыг ашигладаг.
Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би хэлэх болно: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатууБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. хатуу хоёрдугаарт ордогБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.
Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг харцгаая, энд бараг бүх зүйл ижил байна! Энэ нь дахиад нэг координат нэмэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би зөвхөн нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд үүнийг хялбарчлах үүднээс гарал үүслийг нь авч үзэх болно. 
Ямар чвектор гурван хэмжээст орон зайЧадах цорын ганц арга зам
ортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх: 
, энэ суурь дээрх векторын (тоо) координатууд хаана байна.
Зураг дээрх жишээ: 
. Энд векторын дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Нэгдүгээрт, векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (бөөрөлзгөнө сум). Хоёрдугаарт, энд хэд хэдэн нэмэх жишээ энд байна гурван тохиолдол, векторууд: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх анхны цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусна.
Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг, векторыг өөр ямар ч цэгээс салгах гэж оролдох бөгөөд та түүний задрал "үүнтэй хамт үлдэх болно" гэдгийг ойлгох болно.
Бичихээс гадна хавтгай хайрцагтай төстэй 
хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .
Хэрэв өргөтгөлд нэг (эсвэл хоёр) координатын вектор байхгүй бол оронд нь тэгийг тавина. Жишээ нь:
вектор (нямбай 
) - бичье;
вектор (нямбай 
) - бичье;
вектор (нямбай 
) - бичье.
Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.
Энэ нь магадгүй хамгийн бага зүйл юм онолын мэдлэг, аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай. Маш олон нэр томьёо, тодорхойлолт байж магадгүй тул дамминуудыг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. энэ мэдээлэлдахин. Мөн энэ нь ямар ч уншигчдад лавлах нь ашигтай байх болно үндсэн хичээлматериалыг илүү сайн шингээхийн тулд. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг ирээдүйд ихэвчлэн ашиглах болно. Сайтын материалууд нь онолын шалгалт эсвэл геометрийн коллоквиумыг давахад хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна, учир нь би бүх теоремуудыг сайтар шифрлэдэг (мөн нотлох баримтгүйгээр) шинжлэх ухааны хэв маягтанилцуулга, гэхдээ энэ сэдвийг ойлгоход тань нэмэр болно. Нарийвчилсан онолын мэдээллийг авахын тулд профессор Атанасянд бөхийлгөнө үү.
Тэгээд бид практик хэсэг рүү шилжлээ:
Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд
Бүрэн автоматаар авч үзэх даалгавар, томъёог хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахыг зөвлөж байна цээжлэх, тусгайлан санах ч үгүй, тэд өөрсдийгөө санах болно =) Энэ нь маш чухал, учир нь хамгийн энгийнээр энгийн жишээнүүданалитик геометрийн бусад асуудлууд үндэслэсэн бөгөөд үүнийг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно Нэмэлт цагломбард идэх зориулалттай. Цамцныхаа дээд товчийг бэхлэх шаардлагагүй;
Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томьёо... та өөрөө харах болно.
Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн олох вэ?
Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна. 
Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.
Тэр бол, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй векторын эхлэл.
Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.
Жишээ 1
Онгоцны хоёр цэг өгөгдсөн ба . Вектор координатыг ол
Шийдэл: By тохирох томъёо:
Эсвэл дараах оруулгыг ашиглаж болно.
Үүнийг гоо зүйчид шийднэ.
Би хувьдаа бичлэгийн эхний хувилбарт дассан.
Хариулт:
Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч даммигийн зарим зүйлийг тодруулахын тулд би залхуурахгүй. 
Та мэдээж ойлгох хэрэгтэй цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:
Цэгийн координатнь ердийн координатууд юм тэгш өнцөгт системкоординатууд Оноо тавь координатын хавтгай 5-6-р ангиасаа эхлэн хүн бүр хийж чадна гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.
Векторын координатууд– энэ бол энэ тохиолдолд суурийн дагуу түүний өргөтгөл юм. Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан холдуулж болно. Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд тэнхлэг эсвэл тэгш өнцөгт координатын системийг огт барих шаардлагагүй, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй болно.
Цэгүүдийн координат ба векторуудын координатуудын бичлэгүүд ижил төстэй юм шиг байна: , ба координатын утгатуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэдэж байх ёстой. Энэ ялгааМэдээжийн хэрэг, орон зайн хувьд ч үнэн.
Ноёд хатагтай нар аа, гараа дүүргэцгээе:
Жишээ 2
a) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг 
Мөн . векторуудыг олох ба .
в) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох 
.
Магадгүй энэ нь хангалттай байх. Эдгээр нь жишээ юм бие даасан шийдвэр, тэднийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.
Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?“Хоёр дээр нэмэх нь хоёр тэг” гэсэн гайхалтай алдаа гаргахгүйн тулд ОНЦ БОЛОМЖТОЙ байх нь чухал. Хаа нэгтээ алдаа гаргасан бол шууд уучлалт гуйя =)
Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?
Уртыг аль хэдийн дурьдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.
Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно
Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно
Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм
Жишээ 3
Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:
Хариулт: 
Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно 
Шугамын хэсэг - энэ вектор биш, мөн мэдээж та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та масштабаар зурвал: 1 нэгж. = 1 см (хоёр дэвтэр нүд), дараа нь үр дүнгийн хариултыг сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар ердийн захирагчаар шалгаж болно.
Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ үүнээс хэд хэдэн зүйл бий чухал цэгүүдБи тодруулах гэсэн юм:
Нэгдүгээрт, хариултанд бид "нэгж" хэмжигдэхүүнийг тавьдаг. Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс математикийн хувьд зөв шийдэл нь ерөнхий томъёолол байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.
Хоёрдугаарт, зөвхөн авч үзсэн даалгаварт хэрэг болох сургуулийн материалыг давтан хэлье.
анхаарал хандуулах чухал техник – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнд хүрсэн бөгөөд математикийн сайн хэв маяг нь хүчин зүйлийг үндэснээс нь (боломжтой бол) хасах явдал юм. Үйл явц нь илүү дэлгэрэнгүй дараах байдлаар харагдаж байна. 
. Мэдээжийн хэрэг, хариултыг байгаагаар нь үлдээх нь алдаа биш, гэхдээ энэ нь багшийн хувьд дутуу дулимаг, нухацтай маргаан болно.
Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна: 
Ихэнхдээ үндэс нь хангалттай байдаг том тоо, Жишээлбэл . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Тооцоологч ашиглан тухайн тоо 4-т хуваагдах эсэхийг шалгана: . Тиймээ, энэ нь бүрэн хуваагдсан тул: 
. Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Тиймээс: 
. Дугаар дээр сүүлийн цифрсондгой, тиймээс гурав дахь удаагаа 4-т хуваах нь ажиллахгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг хичээцгээе: . Үр дүнд нь:
Бэлэн.
Дүгнэлт:хэрэв язгуур дор бид бүхэлд нь гаргаж авах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг арилгахыг оролддог - тооцоолуур ашиглан энэ тоо дараахь байдлаар хуваагдах эсэхийг шалгана: 4, 9, 16, 25, 36, 49 гэх мэт.
Шийдвэр гаргах явцад янз бүрийн даалгаварҮндэс нь нийтлэг байдаг тул багшийн тайлбар дээр тулгуурлан шийдлээ эцэслэн гаргахад бага үнэлгээ, шаардлагагүй асуудлаас зайлсхийхийн тулд үндэснээс хүчин зүйлийг гаргаж авахыг хичээ.
Мөн квадрат үндэс болон бусад хүчийг давтъя: 
зэрэгтэй үйлдлийн дүрэм ерөнхий үзэл-ээс олж болно сургуулийн сурах бичигалгебр, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.
Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдэлд зориулсан даалгавар:
Жишээ 4
Оноо ба өгөгдсөн. Хэсгийн уртыг ол.
Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.
Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?
Хэрэв хавтгай вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно.
Хэрэв орон зайн вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно 
.
Нэгж вектор- Энэ вектор, үнэмлэхүй үнэ цэнэ(модуль) нь нэгтэй тэнцүү байна. Нэгж векторыг тэмдэглэхийн тулд хэрэв вектор өгөгдсөн бол бид e дэд тэмдгийг ашиглана А, тэгвэл түүний нэгж вектор нь вектор болно А e. Энэ нэгж вектор нь вектортой ижил чиглэлд чиглэнэ А, түүний модуль нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a e = 1 байна.
Мэдээжийн хэрэг, А= a Ад (а - вектор модуль A). Энэ нь скалярыг вектороор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмээс гардаг.
Нэгж векторуудихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Эдгээрийн чиглэл векторуудхаргалзах тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдтэй давхцаж, тэдгээрийн гарал үүсэл нь ихэвчлэн координатын системийн гарал үүсэлтэй нийлдэг.
Үүнийг сануулъя Декартын координатын системорон зайд координатын гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг цэг дээр огтлолцдог харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийн гурвалыг уламжлалт байдлаар нэрлэдэг. Координатын тэнхлэгүүдихэвчлэн X, Y, Z үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд тус тусад нь абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэг, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Декарт өөрөө зөвхөн нэг тэнхлэгийг ашигласан бөгөөд түүн дээр абсциссуудыг зурсан байв. Ашиглалтын ач тус системүүдсүх нь түүний шавь нарынх. Тиймээс хэллэг Декартын координатын системтүүхэн буруу. Ярилцсан нь дээр тэгш өнцөгт координатын системэсвэл ортогональ координатын систем. Гэсэн хэдий ч бид уламжлалаа өөрчлөхгүй бөгөөд ирээдүйд декарт ба тэгш өнцөгт (ортогональ) координатын системүүд нэг бөгөөд ижил байна гэж үзэх болно.
Нэгж вектор, X тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна би, нэгж вектор, Y тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна j, А нэгж вектор, Z тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна к. Векторууд би, j, кгэж нэрлэдэг орц(Зураг 12, зүүн талд), тэдгээр нь нэг модультай, өөрөөр хэлбэл
i = 1, j = 1, k = 1.
Тэнхлэг ба нэгж векторууд тэгш өнцөгт координатын системзарим тохиолдолд өөр өөр нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг. Тиймээс абсцисса тэнхлэгийг X шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэж болох бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв τ (Грек жижиг үсэг tau), ординатын тэнхлэг нь хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгжийн нэгжийг тэмдэглэв n, хэрэглээний тэнхлэг нь хоёр хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв б. Хэрэв мөн чанар нь хэвээр байвал яагаад нэрийг солих ёстой вэ?
Жишээлбэл, механикийн хувьд биеийн хөдөлгөөнийг судлахдаа тэгш өнцөгт координатын системийг ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс хэрэв координатын систем өөрөө хөдөлгөөнгүй бөгөөд хөдөлж буй объектын координатын өөрчлөлтийг энэ суурин системд хянадаг бол ихэвчлэн тэнхлэгүүдийг X, Y, Z гэж тэмдэглэдэг. нэгж векторуудтус тус би, j, к.
Гэхдээ ихэнхдээ объект зарим дагуу хөдөлдөг муруй шугаман зам(жишээлбэл, тойрог хэлбэрээр) үүнийг авч үзэх нь илүү тохиромжтой байж болох юм механик процессуудэнэ объекттой хөдөлж буй координатын системд. Ийм хөдөлгөөнт координатын системд тэнхлэгийн бусад нэр, тэдгээрийн нэгж векторуудыг ашигладаг. Байгаагаараа л байна. Энэ тохиолдолд X тэнхлэг нь тухайн цэгийн траектор руу шүргэгчээр чиглэнэ Энэ мөчэнэ объект байрладаг. Дараа нь энэ тэнхлэгийг X тэнхлэг гэж нэрлэхээ больсон, харин шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэгдэхээ больсон бөгөөд түүний нэгж векторыг тодорхойлохоо больсон. би, А τ . Y тэнхлэг нь траекторийн муруйлтын радиусын дагуу (тойрог доторх хөдөлгөөнтэй бол тойргийн төв рүү) чиглэнэ. Мөн радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байдаг тул тэнхлэгийг хэвийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (перпендикуляр ба хэвийн нь ижил зүйл). Энэ тэнхлэгийн нэгж векторыг тэмдэглэхээ больсон j, А n. Гурав дахь тэнхлэг (хуучин Z) нь өмнөх хоёртой перпендикуляр байна. Энэ нь ортой хоёр хэвийн үзэгдэл юм б(Зураг 12, баруун талд). Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд ийм тэгш өнцөгт координатын системихэвчлэн "байгалийн" эсвэл байгалийн гэж нэрлэдэг.
Энэ нийтлэлд бид хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн тухай ойлголтыг нарийвчлан авч үзэх болно. Бид өгөх болно шаардлагатай тодорхойлолтууд, бид вектор бүтээгдэхүүний координатыг олох томьёог бичиж, шинж чанарыг нь жагсааж, зөвтгөх болно. Үүний дараа бид хоёр векторын вектор үржвэрийн геометрийн утгыг анхаарч, янз бүрийн ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт.
Вектор үржвэрийг тодорхойлохын өмнө гурван хэмжээст орон зайд эмх цэгцтэй гурвалсан векторын чиглэлийг ойлгоцгооё.
Нэг цэгээс векторуудыг зуръя. Векторын чиглэлээс хамааран гурвуулаа баруун эсвэл зүүн байж болно. Хамгийн богино нь вектороос хэрхэн эргэхийг векторын төгсгөлөөс харцгаая. Хэрэв хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг явбал векторын гурвалсан гэж нэрлэдэг зөв, эс бөгөөс - зүүн.
Одоо коллинеар бус хоёр вектор ба . А цэгээс векторуудыг зуръя. ба болон аль алинд нь перпендикуляр вектор байгуулъя. Мэдээжийн хэрэг, векторыг бүтээхдээ бид хоёр зүйлийг хийж, түүнд нэг чиглэл эсвэл эсрэг чиглэл өгөх боломжтой (зураг харна уу).
Векторын чиглэлээс хамааран векторуудын дараалсан гурвалсан нь баруун болон зүүн гартай байж болно.
Энэ нь биднийг вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод ойртуулдаг. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд өгөгдсөн.
Тодорхойлолт.
Хоёр векторын хөндлөн үржвэрба гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд заасан вектор гэж нэрлэгддэг.
Векторуудын хөндлөн үржвэр ба гэж тэмдэглэнэ.
Вектор бүтээгдэхүүний координатууд.
Одоо координатаас координатыг нь олох боломжтой вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг өгье өгөгдсөн векторуудТэгээд.
Тодорхойлолт.
Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд Хоёр векторын вектор үржвэр 
Тэгээд 
нь вектор , координатын векторууд хаана байна.
Энэ тодорхойлолт нь координат хэлбэрээр хөндлөн үржвэрийг бидэнд өгдөг.
Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлогч болгон илэрхийлэх нь тохиромжтой квадрат матрицГурав дахь эрэмбийн эхний мөрөнд нэгж векторууд, хоёр дахь мөрөнд векторын координатууд, гурав дахь мөрөнд өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын координатууд багтана. 
Хэрэв бид энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл координат дахь вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос тэгш байдлыг олж авна (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү): 
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй координатын хэлбэрвектор бүтээгдэхүүн нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тодорхойлолттой бүрэн нийцэж байна. Түүнээс гадна, хөндлөн бүтээгдэхүүний эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү юм. Та энэ баримтын нотолгоог өгүүллийн төгсгөлд жагсаасан номноос харж болно.
Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.
Координат дахь векторын үржвэрийг матрицын тодорхойлогч болгон төлөөлж болох тул дараахь үндэслэлийг хялбархан зөвтгөж болно. хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанар:
Жишээ болгон вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталъя.
А - тэргүүн байр 
Тэгээд 
. Хэрэв хоёр мөр солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга урвуу болно гэдгийг бид мэднэ. 
, энэ нь вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг нотолж байна.
Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл.
Үндсэндээ гурван төрлийн асуудал байдаг.
Эхний төрлийн бодлогод хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн бөгөөд векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд томъёог ашиглана 
.
Жишээ.
Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол 
.
Шийдэл.
Тодорхойлолтоос бид векторуудын векторын үржвэрийн урт ба векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. 
.
Хариулт:
.
Хоёрдахь төрлийн асуудал нь векторын координаттай холбоотой бөгөөд өгөгдсөн векторуудын координатаар векторын үржвэр, түүний урт эсвэл бусад зүйлийг хайдаг. Тэгээд .
Энд маш олон янзын сонголт хийх боломжтой. Жишээлбэл, векторуудын координатыг биш, харин тэдгээрийн өргөтгөлийг зааж өгч болно координатын векторуудтөрлийн 
ба , эсвэл векторууд бөгөөд тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатаар тодорхойлогдож болно.
Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ.
Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн 
. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.
Шийдэл.
Хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг дараах байдлаар бичнэ. 
Хэрэв вектор үржвэрийг тодорхойлогчийн хувьд бичсэн бол бид ижил үр дүнд хүрэх байсан 
Хариулт:
.
Жишээ.
Тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд ба , векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.
Шийдэл.
Эхлээд бид вектор бүтээгдэхүүний координатыг олно 
өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд.
Векторууд нь координаттай байдаг тул (шаардлагатай бол тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын нийтлэлийн координатыг үзнэ үү), тэгвэл вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтоор бид байна. 
Энэ нь вектор бүтээгдэхүүн юм координаттай байна өгөгдсөн системкоординатууд
Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж олдог (бид векторын уртыг олох хэсэгт векторын уртын томъёог олж авсан):
Хариулт:
.
Жишээ.
Тэгш өнцөгт хэлбэрээр Декарт системгурван цэгийн координатыг координатаар өгөв. Перпендикуляр бөгөөд нэгэн зэрэг байх векторыг ол.
Шийдэл.
Векторууд ба координатууд (цэгүүдийн координатаар векторын координатыг олох өгүүллийг үзнэ үү). Хэрэв бид ба векторуудын вектор үржвэрийг олбол тодорхойлолтоор энэ нь аль алинд нь перпендикуляр вектор бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл болно. Түүнийг олъё 
Хариулт:
- перпендикуляр векторуудын нэг.
Гурав дахь төрлийн асуудалд векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглах чадварыг шалгадаг. Шинж чанаруудыг хэрэглэсний дараа холбогдох томъёог хэрэглэнэ.
Жишээ.
ба векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. Хөндлөн үржвэрийн уртыг ол 
.
Шийдэл.
Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид бичиж болно 
-ийн ачаар хамтын өмчбид үүнийг гаргана тоон магадлалСүүлийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгийн хувьд: 
вектор бүтээгдэхүүн ба тэгтэй тэнцүү байна, оноос хойш 
Тэгээд 
, Дараа нь.
Вектор үржвэр нь антикоммутатив учраас .
Тиймээс, вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид тэгш байдалд хүрэв 
.
Нөхцөлөөр ба векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай уртыг олохын тулд бидэнд бүх өгөгдөл бий 
Хариулт:
.
Вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга.
Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь байна 
. Мөн геометрийн хичээлээс ахлах сургуульГурвалжны талбай нь гурвалжны хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Үүний үр дүнд векторын үржвэрийн урт нь талууд нь векторууд болох гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байх бөгөөд хэрэв тэдгээрийг нэг цэгээс зурвал . Өөрөөр хэлбэл, векторуудын вектор үржвэрийн урт нь талуудтай параллелограммын талбай, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Энэ бол геометрийн утгавектор бүтээгдэхүүн.
