a тооны бүхэл илтгэгчээс шилжилт оновчтой үзүүлэлт. Доор бид рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлох бөгөөд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн бүх шинж чанар хадгалагдах байдлаар үүнийг хийх болно. Бүхэл тоо нь нэг хэсэг учраас энэ нь зайлшгүй шаардлагатай рационал тоо.

Рационал тоонуудын багц нь бүхэл тоо, бутархай, тус бүрээс бүрддэг нь мэдэгдэж байна бутархай тооэерэг эсвэл сөрөг байдлаар илэрхийлж болно энгийн бутархай. Бид өмнөх догол мөрөнд бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэг тодорхойлсон тул рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг дуусгахын тулд тооны зэрэгт утгыг өгөх хэрэгтэй. а-тай бутархай үзүүлэлт м/н, Хаана мнь бүхэл тоо бөгөөд n- байгалийн. Үүнийг хийцгээе.

Маягтын бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг авч үзье. Эрх мэдэл хүчинтэй байхын тулд эрх тэгш байх ёстой . Хэрэв бид олж авсан тэгш байдлыг харгалзан үзээд n-р зэргийн язгуурыг хэрхэн тодорхойлсон бол өгөгдсөн тохиолдолд хүлээн зөвшөөрөх нь логик юм. м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (үүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд хэсэгт хийсэн).

Дээрх үндэслэл нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг бидэнд олгоно дүгнэлт: өгөгдөл өгсөн бол м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай, дараа нь тооны хүч абутархай үзүүлэлттэй м/нүндэс гэж нэрлэдэг n-ийн зэрэг атодорхой хэмжээгээр м.

Энэ мэдэгдэл нь бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтод ойртуулж байна. Үлдсэн зүйл бол юу болохыг тайлбарлах явдал юм м, nТэгээд аилэрхийлэл нь утга учиртай. Хязгаарлалтаас хамаарч м, nТэгээд аХоёр үндсэн хандлага байдаг.

1. Хамгийн хялбар арга бол хязгаарлалт тавих а, хүлээн зөвшөөрсөн a≥0эерэг хувьд мТэгээд a>0сөрөг хувьд м(хэдэн үеэс m≤0зэрэг 0 мтодорхойлогдоогүй). Дараа нь бид авна дараах тодорхойлолтбутархай илтгэгчтэй градус.

Тодорхойлолт.

Зэрэг эерэг тоо абутархай үзүүлэлттэй м/н , Хаана м- бүхэлд нь, ба n – натурал тоо, үндэс гэж нэрлэдэг n- тоон дахь атодорхой хэмжээгээр м, өөрөөр хэлбэл, .

Мөн тодорхойлсон бутархай хүчиндикатор эерэг байх ёстой гэсэн цорын ганц анхааруулгатай тэг.

Тодорхойлолт.

Бутархай эерэг илтгэгчтэй тэгийн чадал м/н , Хаана мэерэг бүхэл тоо бөгөөд n– натурал тоо, гэж тодорхойлсон .
Зэрэг тодорхойлогдоогүй үед, өөрөөр хэлбэл бутархайтай тэг тооны зэрэг сөрөг үзүүлэлтутгагүй.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод нэг анхааруулга байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй: зарим сөрөг аболон зарим нь мТэгээд nилэрхийлэл нь утга учиртай, гэхдээ бид нөхцөлийг оруулснаар эдгээр тохиолдлыг хассан a≥0. Жишээлбэл, оруулгууд нь утга учиртай эсвэл , мөн дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй хүч гэж хэлэхийг бидэнд албаддаг суурь нь сөрөг байх ёсгүй тул утгагүй болно.

2. Бутархай илтгэгчээр зэрэг тодорхойлох өөр нэг арга м/нязгуурын тэгш, сондгой илтгэгчийг тусад нь авч үзэхээс бүрдэнэ. Энэ арга нь шаарддаг нэмэлт нөхцөл: тооны хүч а, илтгэгч нь буурдаг жирийн бутархайг тооны зэрэг гэж үзнэ а, үзүүлэлт нь харгалзах бууруулж болохгүй бутархай(Энэ нөхцлийн ач холбогдлыг доор тайлбарлах болно). Өөрөөр хэлбэл, хэрэв м/ннь бууруулж болшгүй бутархай бол дурын натурал тооны хувьд кзэрэг нь урьдчилсан байдлаар солигдоно.

Нэг ч гэсэн nба эерэг милэрхийлэл ямар ч сөрөг бус утга учиртай а(сөрөг тооны тэгш үндэс нь ямар ч утгагүй), сөрөг мтоо атэгээс ялгаатай хэвээр байх ёстой (эсвэл тэгээр хуваагдах болно). Мөн хачирхалтай нь nба эерэг мтоо аюу ч байж болно (root сондгой зэрэгямар ч хувьд тодорхойлсон бодит тоо), мөн сөрөг мтоо атэгээс өөр байх ёстой (ингэснээр тэгээр хуваагдахгүй).

Дээрх үндэслэл нь биднийг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хөтөлж байна.

Тодорхойлолт.

Болъё м/н- бууруулж болохгүй бутархай, м- бүхэлд нь, ба n- натурал тоо. Аливаа бууруулж болох бутархайн хувьд зэрэг нь -ээр солигдоно. Тооны хүч аБутаршгүй бутархай илтгэгчтэй м/н- энэ нь зориулагдсан

o дурын бодит тоо а, бүхэлдээ эерэг ммөн хачин байгалийн n, Жишээ нь, ;

o тэгээс бусад бодит тоо а, сөрөг бүхэл тоо ммөн хачин n, жишээ нь, ;

о ямар ч сөрөг бус тоо а, бүхэлдээ эерэг мтэр ч байтугай n, Жишээ нь, ;

o аливаа эерэг а, сөрөг бүхэл тоо мтэр ч байтугай n, жишээ нь, ;

o бусад тохиолдолд бутархай үзүүлэлт бүхий зэрэг нь тодорхойлогддоггүй, жишээлбэл, зэрэг нь тодорхойлогдоогүй байдаг. .a бид оруулгад ямар ч утга агуулаагүй, эерэг бутархай илтгэгчийн хувьд тэг тооны хүчийг тодорхойлдог м/нЯаж , сөрөг бутархай илтгэгчийн хувьд тэг тооны хүчийг тодорхойлдоггүй.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бутархай илтгэгчийг аравтын бутархай эсвэл аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарцгаая. холимог тоо, Жишээ нь, . Энэ төрлийн илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд та экспонентийг энгийн бутархай хэлбэрээр бичиж, дараа нь бутархай илтгэгч бүхий илтгэгчийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй. Дээрх жишээнүүдийн хувьд бидэнд байна Тэгээд

Элсэлтийн түвшин

Зэрэг, түүний шинж чанар. Цогц гарын авлага (2019)

Яагаад зэрэг хэрэгтэй вэ? Тэд хаана хэрэгтэй вэ? Та яагаад тэднийг судлах цаг гаргах ёстой гэж?

Эрдмийн зэрэг, юунд зориулагдсан, мэдлэгээ хэрхэн ашиглах талаар бүгдийг мэдэж аваарай өдөр тутмын амьдралэнэ нийтлэлийг уншина уу.

Мэдээжийн хэрэг, зэрэглэлийн мэдлэг таныг ойртуулна амжилттай дуусгах OGE буюу Улсын нэгдсэн шалгалт, таны мөрөөдлийн их сургуульд элсэх.

Явцгаая... (Явцгаая!)

Чухал тэмдэглэл! Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хийхийн тулд CTRL+F5 (Windows дээр) эсвэл Cmd+R (Mac дээр) дарна уу.

ЭЛСЭЛТИЙН ТҮВШИН

Эрх мэдэлд хүрэх нь адилхан математик үйлдэлнэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах гэх мэт.

Одоо би бүгдийг тайлбарлах болно хүний ​​хэлмаш энгийн жишээнүүд. Болгоомжтой байгаарай. Жишээ нь энгийн боловч чухал зүйлийг тайлбарладаг.

Нэмэлтээс эхэлье.

Энд тайлбарлах зүйл алга. Та бүх зүйлийг аль хэдийн мэдэж байгаа: бид найм байна. Хүн бүр хоёр шил колатай. Хэр их кола байдаг вэ? Энэ нь зөв - 16 шил.

Одоо үржүүлэх.

Колатай ижил жишээг өөрөөр бичиж болно: . Математикчид зальтай, залхуу хүмүүс. Тэд эхлээд зарим хэв маягийг анзаарч, дараа нь тэдгээрийг хурдан "тоолох" арга замыг олдог. Манайд бол найман хүн тус бүр ижил тооны кола савтай байдгийг анзаарч, үржүүлэх гэдэг арга бодож олжээ. Зөвшөөрч байна, энэ нь илүү хялбар бөгөөд хурдан гэж тооцогддог.

Тиймээс илүү хурдан, хялбар, алдаагүй тоолохын тулд та зүгээр л санах хэрэгтэй үржүүлэх хүснэгт. Мэдээжийн хэрэг та бүх зүйлийг илүү удаан, илүү хэцүү, алдаатай хийж чадна! Гэхдээ…

Энд үржүүлэх хүснэгт байна. Давт.

Өөр нэг, илүү үзэсгэлэнтэй:

Залхуу математикчид өөр ямар ухаалаг тоолох заль мэхийг гаргаж ирсэн бэ? Баруун - тоог хүчирхэг болгох.

Тоог хүч болгон өсгөх

Хэрэв та нэг тоог өөрөө тав дахин үржүүлэх шаардлагатай бол математикчид энэ тоог тав дахь зэрэгт хүргэх хэрэгтэй гэж хэлдэг. Тухайлбал, . Математикчид хоёроос тав дахь зэрэглэлийг... Мөн тэд ийм асуудлыг толгой дээрээ шийддэг - илүү хурдан, хялбар, алдаагүй.

Та хийх ёстой бүх зүйл тоонуудын чадлын хүснэгтэд юу өнгөөр ​​тодруулсныг санаарай. Надад итгээрэй, энэ нь таны амьдралыг илүү хялбар болгоно.

Дашрамд хэлэхэд, яагаад үүнийг хоёрдугаар зэрэг гэж нэрлэдэг вэ? дөрвөлжинтоо, гурав дахь нь - шоо? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Маш сайхан асуулт. Одоо та квадрат, шоо хоёулаа байх болно.

Бодит амьдралын жишээ №1

Квадрат буюу тооны хоёр дахь зэрэглэлээр эхэлье.

Нэг метрээс нэг метр хэмжээтэй дөрвөлжин усан санг төсөөлөөд үз дээ. Усан сан таны зуслангийн байшинд байна. Халуун байна, би усанд сэлэхийг үнэхээр хүсч байна. Гэхдээ... усан сан нь ёроолгүй! Та усан сангийн ёроолыг хавтангаар хучих хэрэгтэй. Танд хэдэн хавтан хэрэгтэй вэ? Үүнийг тодорхойлохын тулд та усан сангийн доод хэсгийг мэдэх хэрэгтэй.

Усан сангийн ёроол нь метр, метр шоо дөрвөлжин хэлбэртэй байгааг хуруугаараа хуруугаараа заах замаар л тооцоолж болно. Хэрэв та нэг метрээс нэг метр хавтантай бол хэсэг хэсгүүд хэрэгтэй болно. Энэ нь амархан ... Гэхдээ та ийм хавтанг хаанаас харсан бэ? Хавтанцар нь см см хэмжээтэй байх магадлалтай бөгөөд дараа нь та "хуруугаараа тоолох" замаар тамлах болно. Дараа нь та үржүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс, усан сангийн ёроолын нэг талд бид хавтанцар (хэсэг), нөгөө талд нь плита тавих болно. Үржүүлснээр та плита () авна.

Усан сангийн ёроолын талбайг тодорхойлохын тулд бид ижил тоог өөрөө үржүүлснийг та анзаарсан уу? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгэнт ижил тоог үржүүлж байгаа тул бид "дэмжих" аргыг ашиглаж болно. (Мэдээжийн хэрэг, танд зөвхөн хоёр тоо байгаа бол тэдгээрийг үржүүлэх эсвэл нэг зэрэгтэй болгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв танд олон тоо байгаа бол тэдгээрийг нэг зэрэгтэй болгох нь хамаагүй хялбар бөгөөд тооцоололд алдаа бага гардаг. Улсын нэгдсэн шалгалтын хувьд энэ нь маш чухал юм).
Тиймээс гучин хоёр дахь хүч нь () байх болно. Эсвэл гучин квадрат болно гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, тооны хоёр дахь хүчийг үргэлж квадрат хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мөн эсрэгээр, хэрэв та дөрвөлжин харвал энэ нь ҮРГЭЛЖ зарим тооны хоёр дахь зэрэг болно. Квадрат нь тооны хоёр дахь зэрэглэлийн дүрс юм.

Бодит амьдралын жишээ №2

Танд хийх даалгавар байна: тооны квадратыг ашиглан шатрын самбар дээр хэдэн квадрат байгааг тоолоорой ... Нүдний нэг талд, нөгөө талд нь бас. Тэдний тоог тооцоолохын тулд та наймыг наймаар үржүүлэх хэрэгтэй эсвэл ... хэрэв та шатрын самбар нь талтай дөрвөлжин болохыг анзаарсан бол наймыг квадрат болгож болно. Та эсүүдийг авах болно. () Тэгэхээр?

Бодит амьдралын жишээ №3

Одоо шоо буюу тооны гуравдахь зэрэглэл. Үүнтэй ижил усан сан. Харин одоо та энэ усан сан руу хэр их ус асгах шаардлагатайг олж мэдэх хэрэгтэй. Та эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй. (Дашрамд хэлэхэд эзэлхүүн ба шингэнийг хэмждэг шоо метр. Гэнэтийн, тийм үү?) Усан сан зур: нэг метрийн хэмжээтэй ёроол, метрийн гүнтэй, нэг метрээр хэмжигдэх хэдэн шоо таны усан санд багтахыг тоолж үзээрэй.

Зүгээр л хуруугаа зааж, тоол! Нэг, хоёр, гурав, дөрөв...хорин хоёр, хорин гурав...Чи хэд авсан бэ? Алдаагүй юм уу? Хуруугаараа тоолоход хэцүү юу? Ингээд л болоо! Математикчдаас жишээ ав. Тэд залхуу тул усан сангийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд түүний урт, өргөн, өндрийг өөр хоорондоо үржүүлэх хэрэгтэйг анзаарсан. Манай тохиолдолд усан сангийн эзэлхүүн байх болно кубтай тэнцүү...Энэ нь илүү хялбар, тийм үү?

Математикчид үүнийг бас хялбаршуулсан бол ямар залхуу, зальтай болохыг төсөөлөөд үз дээ. Бид бүгдийг нэг үйлдэл болгон багасгасан. Тэд урт, өргөн, өндөр нь тэнцүү бөгөөд ижил тоо нь өөрөө үрждэг болохыг анзаарсан ... Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь та дипломын давуу талыг ашиглах боломжтой гэсэн үг юм. Тиймээс, нэг удаа хуруугаараа тоолж байсан зүйлээ тэд нэг үйлдлээр хийдэг: гурван шоо тэнцүү байна. Үүнийг ингэж бичсэн байна: .

Үлдсэн бүх зүйл градусын хүснэгтийг санаарай. Мэдээжийн хэрэг та математикчид шиг залхуу, зальтай биш л бол. Хэрэв та шаргуу ажиллаж, алдаа гаргах дуртай бол хуруугаараа үргэлжлүүлэн тоолж болно.

За, эцэст нь эрдмийн зэрэг цолыг орхигчид, зальтай хүмүүс өөрсдөө шийдэхийн тулд зохион бүтээсэн гэдэгт итгүүлэхийн тулд амьдралын асуудлууд, мөн танд асуудал үүсгэхгүйн тулд амьдралаас өөр хэдэн жишээг энд оруулав.

Бодит амьдралын жишээ №4

Танд сая рубль байна. Жил бүрийн эхэнд таны хийсэн сая тутамд дахин нэг сая олдог. Өөрөөр хэлбэл, жил бүрийн эхэнд сая бүр та хоёр дахин нэмэгддэг. Та хэдэн жилийн дараа хэр их мөнгөтэй болох вэ? Хэрвээ чи одоо суугаад “хуруугаараа тоолж” байгаа бол та маш хөдөлмөрч,... тэнэг хүн. Гэхдээ та ухаалаг тул хэдхэн секундын дотор хариулт өгөх болно! Тэгэхээр эхний жил - хоёрыг хоёроор үржүүлсэн ... хоёр дахь жил - юу болсон бэ, хоёр дахин, гурав дахь жилдээ ... боль! Энэ тоог өөрөө хэд дахин үржүүлж байгааг та анзаарсан. Тэгэхээр хоёроос тав дахь зэрэглэл нь сая юм! Одоо та тэмцээн уралдаантай болж, хамгийн хурдан тоолж чадах хүн эдгээр саяыг авна гэж төсөөлөөд үз дээ... Тооны хүчийг санах нь зүйтэй байх, тийм үү?

Бодит амьдралын жишээ №5

Танд сая байна. Жил бүрийн эхэнд таны хийсэн сая бүрээс хоёр илүү орлого олдог. Гайхалтай, тийм үү? Сая бүр гурав дахин нэмэгддэг. Жилд хэдэн төгрөгтэй болох вэ? Тоолж үзье. Эхний жил - үржүүлээрэй, дараа нь үр дүн нь өөр ... Энэ нь аль хэдийн уйтгартай, учир нь та бүх зүйлийг аль хэдийн ойлгосон: гурвыг өөрөө үржүүлнэ. Тэгэхээр дөрөвдүгээр зэрэглэлд нэг саятай тэнцэнэ. Гураваас дөрөв дэх хүч нь эсвэл гэдгийг санах хэрэгтэй.

Одоо та тоог өсгөснөөр амьдралаа илүү хялбар болгох болно гэдгийг мэдэж байна. Эрдмийн зэрэгтэй юу хийж болох, тэдгээрийн талаар юу мэдэх хэрэгтэйг цааш нь харцгаая.

Нэр томьёо, ойлголтууд... андуурахгүйн тулд

Тиймээс эхлээд ойлголтуудыг тодорхойлъё. Та бодож байна уу илтгэгч гэж юу вэ? Энэ нь маш энгийн - энэ нь тооны чадлын "дээд талд" байгаа тоо юм. Шинжлэх ухаанч биш ч ойлгомжтой бөгөөд санахад хялбар...

За, тэр үед, юу вэ ийм зэрэгтэй суурь? Илүү энгийн - энэ бол доор, суурь дээр байрлах тоо юм.

Сайн хэмжүүрээр зурах зургийг энд оруулав.

За орлоо ерөнхий үзэл, ерөнхийлж, илүү сайн санахын тулд... “ ” суурьтай, “ ” илтгэгчтэй зэрэглэлийг “зэрэг” гэж унших ба дараах байдлаар бичнэ.

Натурал илтгэгчтэй тооны чадвар

Экспонент нь натурал тоо учраас та аль хэдийн таамагласан байх. Тийм ээ, гэхдээ энэ юу вэ натурал тоо? Бага анги! Натурал тоо гэдэг нь объектыг жагсаахдаа тоолоход хэрэглэгддэг тоо юм: нэг, хоёр, гурав... Бид объектыг тоолохдоо: "хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэж хэлдэггүй. Бид бас "гуравны нэг", эсвэл "тэг цэг тав" гэж хэлдэггүй. Эдгээр нь натурал тоо биш юм. Эдгээрийг ямар тоо гэж бодож байна вэ?

"Хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэх мэт тоонууд хамаарна бүхэл тоо.Ерөнхийдөө бүхэл тоонд бүх натурал тоо, натурал тоонуудын эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдгээр авсан) болон тоо орно. Тэгийг ойлгоход хялбар байдаг - энэ нь юу ч байхгүй үед юм. Сөрөг ("хасах") тоо нь юу гэсэн үг вэ? Гэхдээ эдгээрийг үндсэндээ өрийг харуулах зорилгоор зохион бүтээсэн: хэрэв таны утсан дээр рублийн үлдэгдэл байгаа бол энэ нь та операторын рублийн өртэй гэсэн үг юм.

Бүх бутархай нь оновчтой тоо юм. Тэд яаж үүссэн гэж та бодож байна вэ? Маш энгийн. Хэдэн мянган жилийн өмнө бидний өвөг дээдэс урт, жин, талбай гэх мэтийг хэмжихэд байгалийн тоо дутагдаж байгааг олж мэдсэн. Тэгээд тэд гарч ирэв рационал тоо... Сонирхолтой, тийм үү?

Илүү олон бий иррационал тоо. Эдгээр тоо юу вэ? Товчхондоо энэ бол хязгааргүй аравтын бутархай юм. Жишээлбэл, тойргийн тойргийг диаметрээр нь хуваавал иррационал тоо гарна.

Үргэлжлэл:

Экспонент нь натурал тоо (жишээ нь, бүхэл ба эерэг) байх зэрэглэлийн тухай ойлголтыг тодорхойлъё.

1. Эхний зэрэглэлд хамаарах аливаа тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна:
2. Тооны квадрат гэдэг нь өөрөө үржүүлнэ гэсэн үг:
3. Тоог шоо гэдэг нь өөрөө гурав дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Тодорхойлолт.дугаарыг хүртэл өсгөнө үү байгалийн зэрэг- тоог өөрөө хэд дахин үржүүлэхийг хэлнэ:
.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ? Би чамд одоо үзүүлье.

Харцгаая: энэ юу вэ Тэгээд ?

Тодорхойлолтоор:

Нийт хэдэн үржүүлэгч байдаг вэ?

Энэ нь маш энгийн: бид хүчин зүйлүүд дээр үржүүлэгчийг нэмсэн бөгөөд үр дүн нь үржүүлэгч юм.

Гэхдээ тодорхойлолтоор бол энэ нь илтгэгчтэй тооны зэрэг юм, өөрөөр хэлбэл: , энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Жишээ: Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:

Жишээ:Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм Заавалижил шалтгаанууд байх ёстой!
Тиймээс бид хүчийг суурьтай хослуулсан боловч энэ нь тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

зөвхөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүний төлөө!

Ямар ч тохиолдолд та үүнийг бичиж чадахгүй.

2. ингээд л болоо тооны р зэрэг

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хандъя:

Энэ нь илэрхийлэл нь өөрөө дахин үржигддэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны 3-р зэрэг юм.

Үндсэндээ үүнийг "заагчийг хаалтнаас гаргах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй:

Үржүүлэх товчилсон томъёог санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ?

Гэхдээ энэ нь эцсийн эцэст үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай хүч

Энэ хүртэл бид зөвхөн илтгэгч ямар байх ёстой талаар ярилцсан.

Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ?

-ийн эрх мэдэлд байгалийн үзүүлэлтсуурь байж болно ямар ч тоо. Үнэндээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээсээ үржүүлж чадна.

Аль тэмдгүүд ("" эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, тоо эерэг эсвэл сөрөг байна уу? А? ? Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: хичнээн эерэг тоог бие биенээ үржүүлснээс үл хамааран үр дүн нь эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг тал нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ бид үржүүлбэл энэ нь бүтдэг.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

Та удирдаж чадсан уу?

Энд хариултууд байна: Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байна гэж найдаж байна уу? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Жишээ 5) бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: эцэст нь суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм.

За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь тэнцүү биш байгаа биз дээ? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон!

Дадлага хийх 6 жишээ

Шийдлийн шинжилгээ 6 жишээ

Хэрэв бид наймдугаар хүчийг үл тоомсорловол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг санацгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол товчилсон үржүүлэх томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм! Бид авах:

Хуваагчийг анхааралтай авч үзье. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нөхцөлүүдийн дараалал буруу байна. Хэрэв тэдгээрийг буцаасан бол дүрэм үйлчилж болно.

Гэхдээ үүнийг яаж хийх вэ? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн жигд зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Ид шидээр нэр томьёо байраа өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд жигд хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг хялбархан өөрчилж болно.

Гэхдээ санаж байх нь чухал: бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

Бүтэнбид натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл "" тэмдгээр авсан) болон тоо гэж нэрлэдэг.

эерэг бүхэл тоо, мөн энэ нь байгалийнхаас ялгаатай биш, дараа нь бүх зүйл өмнөх хэсэгт яг адилхан харагдаж байна.

Одоо шинэ тохиолдлуудыг харцгаая. -тэй тэнцүү үзүүлэлтээр эхэлцгээе.

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байх нь нэгтэй тэнцүү байна:

Үргэлж л бид өөрөөсөө асууцгаая: яагаад ийм байна вэ?

Суурьтай ямар нэг хэмжээгээр авч үзье. Жишээлбэл, дараах байдлаар үржүүлээрэй.

Тиймээс бид тоог үржүүлснээр бид яг ижил зүйлийг олж авлаа - . Юу ч өөрчлөгдөхгүйн тулд ямар тоогоор үржүүлэх вэ? Энэ нь зөв, дээр. гэсэн үг.

Бид дурын тоогоор ижил зүйлийг хийж болно:

Дүрмийг давтан хэлье:

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байх нь нэгтэй тэнцүү байна.

Гэхдээ олон дүрэмд үл хамаарах зүйлүүд байдаг. Энд бас тэнд байна - энэ бол тоо (үндсэн суурь болгон).

Нэг талаас, энэ нь ямар ч зэрэгтэй тэнцүү байх ёстой - тэгийг өөрөө хэчнээн үржүүлснээс үл хамааран та тэгийг авах болно, энэ нь ойлгомжтой. Гэхдээ нөгөө талаас, тэг хүртэлх тоонуудын нэгэн адил энэ нь тэнцүү байх ёстой. Тэгвэл энэ хэр үнэн бэ? Математикчид оролцохгүй байхаар шийдэж, тэгийг тэг рүү өсгөхөөс татгалзав. Өөрөөр хэлбэл, одоо бид тэгээр хуваагаад зогсохгүй тэг түвшинд хүртэл өсгөж чадахгүй.

Үргэлжлүүлье. Натурал тоо, тооноос гадна бүхэл тоонд сөрөг тоо орно. Сөрөг зэрэг гэж юу болохыг ойлгохын тулд дараах байдлаар хийцгээе сүүлчийн удаа: зарим хэвийн тоог ижил тоогоор үржүүлнэ сөрөг зэрэг:

Эндээс хайж буй зүйлээ илэрхийлэхэд хялбар болно:

Одоо үр дүнгийн дүрмийг дурын хэмжээнд өргөжүүлье:

Тиймээс, нэг дүрмийг томъёолъё:

Сөрөг хүчинтэй тоо нь ижил тооны эсрэг тоо юм эерэг зэрэг. Гэхдээ тэр үед Суурь нь хоосон байж болохгүй:(учир нь та хувааж чадахгүй).

Дүгнэж хэлье:

I. Тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв, тэгвэл.

II. Ямар ч тоо тэг зэрэгтэй тэнцүү байна: .

III. Тоо, үгүй тэгтэй тэнцүү, сөрөг зэрэг нь эерэг зэрэгтэй ижил тооны урвуу: .

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Ердийнх шиг бие даасан шийдлүүдийн жишээ:

Бие даасан шийдвэрлэх асуудлын дүн шинжилгээ:

Би мэднэ, би мэднэ, тоонууд аймшигтай, гэхдээ улсын нэгдсэн шалгалтанд та бүх зүйлд бэлэн байх ёстой! Хэрэв та шийдэж чадаагүй бол эдгээр жишээнүүдийг шийдэж эсвэл тэдгээрийн шийдлүүдэд дүн шинжилгээ хий, тэгвэл та шалгалтанд амархан даван туулж сурах болно!

Үргэлжлүүлэн “тохиромжтой” тоонуудын хүрээг илтгэгч болгон өргөжүүлье.

Одоо авч үзье рационал тоо.Ямар тоонуудыг оновчтой гэж нэрлэдэг вэ?

Хариулт: бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох бүх зүйл, хаана ба бүхэл тоо, мөн.

Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд "бутархай зэрэг", бутархайг авч үзье:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хүч болгон өсгөцгөөе.

Одоо энэ тухай дүрмийг санацгаая "зэрэг, зэрэг":

Хүчин чадал авахын тулд ямар тоог өсгөх ёстой вэ?

Энэхүү томъёолол нь 3-р зэргийн язгуурын тодорхойлолт юм.

Танд сануулъя: тооны ()-ийн язгуур нь нэг зэрэгтэй байх үед тэнцүү тоо юм.

Өөрөөр хэлбэл, 3-р чадлын үндэс нь хүч хүртэл өсгөх урвуу үйлдэл юм: .

Энэ нь харагдаж байна. Энэ нь ойлгомжтой онцгой тохиолдолөргөтгөх боломжтой: .

Одоо бид тоологчийг нэмнэ: энэ юу вэ? Хариултыг хүч чадлын дүрмийг ашиглан олж авахад хялбар байдаг:

Гэхдээ суурь нь ямар ч тоо байж болох уу? Эцсийн эцэст, үндсийг бүх тооноос гаргаж авах боломжгүй.

Байхгүй!

Дүрмийг санацгаая: тэгш зэрэглэлд хүрсэн аливаа тоо нь эерэг тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, сөрөг тооноос бүр үндсийг гаргаж авах боломжгүй юм!

Энэ нь ийм тоог тэгш хуваагчтай бутархай болгон өсгөх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл нь утгагүй гэсэн үг юм.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ?

Гэхдээ энд нэг асуудал гарч ирнэ.

Энэ тоог бусад бууруулж болох бутархай хэлбэрээр, жишээлбэл, эсвэл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ нь байдаг, гэхдээ байхгүй, гэхдээ эдгээр нь ижил тооны хоёр өөр бүртгэл юм.

Эсвэл өөр жишээ: нэг удаа, дараа нь та үүнийг бичиж болно. Гэхдээ хэрэв бид индикаторыг өөрөөр бичвэл бид дахин асуудалд орох болно: (өөрөөр хэлбэл бид огт өөр үр дүнд хүрсэн!).

Ийм парадоксоос зайлсхийхийн тулд бид авч үзье бутархай илтгэгчтэй зөвхөн эерэг суурь илтгэгч.

Тэгэхээр хэрэв:

• - натурал тоо;
• - бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Рационал илтгэгч нь үндэстэй илэрхийлэлийг хувиргахад маш хэрэгтэй, жишээлбэл:

Дадлага хийх 5 жишээ

Сургалтын 5 жишээнд дүн шинжилгээ хийх

За, одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь ирлээ. Одоо бид үүнийг олох болно иррационал илтгэгчтэй зэрэг.

Эндээс бусад зэрэглэлийн бүх дүрэм, шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна.

Эцсийн эцэст, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тоо бөгөөд энд ба бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Натурал, бүхэл тоо, рационал илтгэгчтэй зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "аналоги" эсвэл илүү танил нэр томъёоны тайлбарыг бий болгодог.

Жишээлбэл, байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм;

...тоог тэг хүртэлх тоо- энэ нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл тэд үүнийг үржүүлж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь тоо өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн тодорхой "хоосон тоо" юм. , тухайлбал тоо;

...сөрөг бүхэл тоо- ямар нэгэн "урвуу үйл явц" болсон юм шиг, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан.

Дашрамд хэлэхэд шинжлэх ухаанд нийлмэл илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм.

Гэхдээ сургууль дээр бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй;

ТА ХААШАА ЯВНА гэдэгт итгэлтэй байна! (ийм жишээг шийдэж сурвал :))

Жишээ нь:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Шийдлийн шинжилгээ:

1. Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох ердийн дүрмээс эхэлье:

Одоо индикаторыг харна уу. Тэр чамд юу ч сануулахгүй байна уу? Квадратуудын зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая.

Энэ тохиолдолд

Энэ нь:

Хариулт: .

2. Бид илтгэгч дэх бутархайг багасгадаг адилхан харц: аравтын аравтын аль аль нь эсвэл ердийн. Бид жишээ нь:

Хариулт: 16

3. Онцгой зүйл байхгүй, бид градусын ердийн шинж чанарыг ашигладаг:

АХИСАН ТҮВШИН

Зэрэг тодорхойлох

Зэрэг нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: , энд:

• — зэрэглэлийн суурь;
• - илтгэгч.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг (n = 1, 2, 3,...)

Тоог натурал n болгон өсгөнө гэдэг нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг (0, ±1, ±2,...)

Хэрэв экспонент нь байвал эерэг бүхэл тоодугаар:

Барилга тэг градус хүртэл:

Энэ илэрхийлэл нь тодорхойгүй, учир нь нэг талаас, ямар ч хэмжээгээр энэ, нөгөө талаас, th зэрэгтэй ямар ч тоо энэ байна.

Хэрэв экспонент нь байвал сөрөг бүхэл тоодугаар:

(учир нь та хувааж чадахгүй).

Тэгийн тухай дахин нэг удаа: тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв, тэгвэл.

Жишээ нь:

Рационал үзүүлэлттэй хүч

• - натурал тоо;
• - бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ гэдгийг ойлгохыг хичээцгээе. Тэднийг баталцгаая.

Харцгаая: юу вэ?

Тодорхойлолтоор:

Тиймээс, энэ илэрхийллийн баруун талд бид дараах бүтээгдэхүүнийг авна.

Гэхдээ тодорхойлолтоор энэ нь илтгэгчтэй тооны зэрэг юм, өөрөөр хэлбэл:

Q.E.D.

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : .

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм Заавалижил шалтгаанууд байх ёстой. Тиймээс бид хүчийг суурьтай хослуулсан боловч энэ нь тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

Бас нэг зүйл чухал тэмдэглэл: энэ бол дүрэм - зөвхөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүнд зориулагдсан!

Ямар ч тохиолдолд та үүнийг бичиж чадахгүй.

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хандъя:

Энэ ажлыг дараах байдлаар дахин бүлэглэе.

Энэ нь илэрхийлэл нь өөрөө дахин үржигддэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны 3-р зэрэг юм.

Үндсэндээ үүнийг "заагчийг хаалтнаас гаргах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй: !

Үржүүлэх товчилсон томъёог санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ? Гэхдээ энэ нь эцсийн эцэст үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай хүч.

Энэ хүртэл бид ямар байх ёстойг л ярилцсан үзүүлэлтградус. Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ? -ийн эрх мэдэлд байгалийн үзүүлэлт суурь байж болно ямар ч тоо .

Үнэндээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээсээ үржүүлж чадна. Аль тэмдгүүд ("" эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, тоо эерэг эсвэл сөрөг байна уу? А? ?

Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: хичнээн эерэг тоог бие биенээ үржүүлснээс үл хамааран үр дүн нь эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг тал нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ () -ээр үржүүлбэл - болно.

Мөн төгсгөлгүй үргэлжлэх болно: дараагийн үржүүлэх бүрт тэмдэг өөрчлөгдөнө. Бид дараахь зүйлийг томъёолж болно энгийн дүрэм:

1. бүрзэрэг, - тоо эерэг.
2. Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
3. Ямар ч хэмжээгээр эерэг тоо бол эерэг тоо юм.
4. Аливаа чадлын тэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

Та удирдаж чадсан уу? Энд хариултууд байна:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

Жишээ 5) бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: эцэст нь суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм. За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь тэнцүү биш байгаа биз дээ? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон. Эндээс та аль нь бага болохыг олж мэдэх хэрэгтэй: эсвэл? Хэрэв бид үүнийг санаж байвал энэ нь тодорхой болно, тиймээс үндэс суурь болно тэгээс бага. Энэ нь бид 2-р дүрмийг хэрэгжүүлдэг: үр дүн нь сөрөг байх болно.

Дахин бид зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашигладаг:

Бүх зүйл ердийнх шиг байна - бид градусын тодорхойлолтыг бичиж, бие биенээсээ хувааж, хос болгон хувааж, дараахь зүйлийг авна.

Үүнийг салгахаасаа өмнө сүүлчийн дүрэм, хэд хэдэн жишээг шийдье.

Илэрхийллийг тооцоолох:

Шийдэл :

Хэрэв бид наймдугаар хүчийг үл тоомсорловол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг санацгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол товчилсон үржүүлэх томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм!

Бид авах:

Хуваагчийг анхааралтай авч үзье. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нөхцөлүүдийн дараалал буруу байна. Хэрэв тэдгээр нь эсрэгээрээ байсан бол 3-р дүрэм хэрхэн хэрэгжиж болох вэ? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн жигд зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Хэрэв та үүнийг үржүүлбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, тийм үү? Харин одоо энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Ид шидээр нэр томьёо байраа өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд жигд хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг хялбархан өөрчилж болно. Гэхдээ санаж байх нь чухал: Бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!Та бидний дургүй нэг л сул талыг өөрчилснөөр үүнийг сольж болохгүй!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

Тиймээс одоо сүүлчийн дүрэм:

Бид үүнийг хэрхэн батлах вэ? Мэдээжийн хэрэг, ердийнхөөрөө: зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлж, хялбаршуулъя:

За, одоо хаалтаа нээцгээе. Нийт хэдэн үсэг байна вэ? үржүүлэгчээр дахин - энэ нь танд юуг сануулж байна вэ? Энэ бол үйл ажиллагааны тодорхойлолтоос өөр зүйл биш юм үржүүлэх: Тэнд зөвхөн үржүүлэгчид байсан. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тодорхойлолтоор бол илтгэгчтэй тооны хүч юм.

Жишээ:

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэг

Дундаж түвшний талаархи мэдээллээс гадна бид градусыг иррациональ экспонентээр шинжлэх болно. Энд байгаа бүх дүрэм, зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна - эцсийн эцэст, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх боломжгүй тоо, энд ба бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл) юм. , иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Натурал, бүхэл тоо, рационал илтгэгчтэй зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "аналоги" эсвэл илүү танил нэр томъёоны тайлбарыг бий болгодог. Жишээлбэл, байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм; тэг зэрэглэлийн тоо нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл тэд үүнийг үржүүлж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь тоо өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн тодорхой байна. "хоосон тоо", тухайлбал тоо; бүхэл сөрөг экспонент бүхий зэрэг - энэ нь ямар нэгэн "урвуу үйл явц" болсон юм шиг, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан.

Иррациональ илтгэгчтэй (4 хэмжээст орон зайг төсөөлөхөд хэцүү байдаг шиг) зэрэглэлийг төсөөлөхөд туйлын хэцүү байдаг. Энэ нь математикчид градусын тухай ойлголтыг бүх тооны орон зайд хүргэхийн тулд бүтээсэн цэвэр математикийн объект юм.

Дашрамд хэлэхэд шинжлэх ухаанд нийлмэл илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм. Гэхдээ сургууль дээр бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй;

Тэгэхээр бид харвал яах вэ үндэслэлгүй үзүүлэлтградус? Бид үүнийг арилгахын тулд чадах бүхнээ хийж байна! :)

Жишээ нь:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Хариултууд:

1. Квадратуудын томьёоны зөрүүг санацгаая. Хариулт: .
2. Бид бутархайг ижил хэлбэрт оруулдаг: аравтын бутархай эсвэл энгийн аль аль нь. Бид жишээ нь: .
3. Онцгой зүйл байхгүй, бид градусын ердийн шинж чанарыг ашигладаг:

БҮЛГИЙН ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формула

Зэрэгхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг: , энд:

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

илтгэгч нь натурал тоо (жишээ нь, бүхэл ба эерэг) байх зэрэг.

Рационал үзүүлэлттэй хүч

зэрэг, илтгэгч нь сөрөг ба бутархай тоо юм.

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэг

илтгэгч нь хязгааргүй аравтын бутархай буюу үндэс болох зэрэг.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Зэрэглэлийн онцлог.

• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн бүрзэрэг, - тоо эерэг.
• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
• Ямар ч хэмжээгээр эерэг тоо бол эерэг тоо юм.
• Тэг нь ямар ч чадалтай тэнцүү.
• Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна.

ОДОО ТАНД ҮГ БАЙНА...

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ? Таалагдсан эсэхээ доор коммент хэсэгт бичээрэй.

Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашигласан туршлагаасаа бидэнд хэлээрэй.

Магадгүй танд асуулт байгаа байх. Эсвэл санал.

Сэтгэгдэл дээр бичээрэй.

Мөн шалгалтанд нь амжилт хүсье!

"Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч" видео хичээл нь үзүүлэнг агуулна боловсролын материалэнэ сэдвээр хичээл заах. Видео хичээл нь оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт, эдгээр зэрэглэлийн шинж чанарууд, түүнчлэн боловсролын материалыг шийдвэрлэхэд ашиглах тухай жишээг агуулсан болно. практик асуудлууд. Энэхүү видео хичээлийн зорилго нь сургалтын материалыг тодорхой, ойлгомжтойгоор илэрхийлэх, түүнийг хөгжүүлэх, сурагчдад цээжлэх, сурсан ойлголтыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явдал юм.

Видео хичээлийн гол давуу тал нь хувиргалт, тооцооллыг нүдээр хийх чадвар, сургалтын үр ашгийг дээшлүүлэхийн тулд хөдөлгөөнт эффект ашиглах чадвар юм. Дуут заавар нь зөв хөгжихөд тусалдаг математикийн яриа, мөн багшийн тайлбарыг солих боломжтой болгож, түүнийг бие даасан ажил хийх боломжийг олгодог.

Видео хичээл нь сэдвийг танилцуулж эхэлдэг. Судалгааг холбох шинэ сэдэвӨмнө нь судалсан материалын хувьд n √a-г байгалийн n ба эерэг a-ийн хувьд 1/n-ээр тэмдэглэдэг гэдгийг санахыг зөвлөж байна. Энэхүү танилцуулга n-root дэлгэц дээр гарч ирнэ. Дараа нь a нь эерэг тоо, m/n нь зарим бутархай гэсэн m/n илэрхийлэл ямар утгатай болохыг авч үзэхийг санал болгож байна. Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг m/n = n √a m гэж хүрээн дээр тодруулсан болно. n нь натурал тоо, m нь бүхэл тоо байж болохыг тэмдэглэв.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлсны дараа түүний утгыг жишээн дээр харуулав: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Мөн ямар зэрэглэлээр илэрхийлэгдэх жишээг үзүүлэв аравтын, руу хөрвүүлсэн энгийн бутархайязгуураар төлөөлөх: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ба жишээ нь сөрөг утгаградус: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Зэрэглэлийн суурь нь тэг байх онцгой тохиолдлын онцлогийг тусад нь зааж өгсөн болно. гэж тэмдэглэж байна энэ зэрэгзөвхөн эерэг бутархай илтгэгчээр л утга учиртай. Энэ тохиолдолд түүний утга тэг болно: 0 м/н =0.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн өөр нэг онцлогийг тэмдэглэв - бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг бутархай илтгэгчтэй авч үзэх боломжгүй юм. Зэрэг буруу тэмдэглэсэн жишээг үзүүлэв: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Дараагийн видео хичээл дээр бид рационал үзүүлэлт бүхий зэрэглэлийн шинж чанаруудын талаар ярилцах болно. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгт ч хүчинтэй байх болно гэж тэмдэглэсэн. Энэ тохиолдолд хүчинтэй байгаа эд хөрөнгийн жагсаалтыг эргэн санахыг санал болгож байна.

1. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь нийлбэр болно: a p a q =a p+q.
2. Ижил сууриудтай градусын хуваагдал нь өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн зөрүүтэй зэрэг хүртэл буурна: a p:a q =a p-q.
3. Хэрэв бид градусыг тодорхой хэмжээнд өсгөвөл өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн үржвэртэй зэрэгтэй болно: (a p) q =a pq.

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь рационал илтгэгч p, q, эерэг суурь a>0 зэрэгт хүчинтэй. Мөн хаалт нээх үед градусын хувиргалт нь үнэн хэвээр байна:

1. (ab) p =a p b p - рациональ илтгэгчээр тодорхой хэмжээнд өсгөхөд хоёр тооны үржвэрийг тоонуудын үржвэр болгон бууруулж, тус бүр нь өгөгдсөн зэрэгт нэмэгдэнэ.
2. (a/b) p =a p /b p - бутархайг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлд хүргэх нь хуваагч болон хуваагч нь өгөгдсөн зэрэгт өссөн бутархай болж буурна.

Видео заавар нь рационал экспонент бүхий чадлын шинж чанарыг ашигладаг жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар ярилцдаг. Эхний жишээнд бутархай зэрэгт x хувьсагчийг агуулсан илэрхийллийн утгыг олохыг санал болгож байна: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Илэрхийлэл нь нарийн төвөгтэй хэдий ч хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно. Асуудлыг шийдвэрлэх нь илэрхийлэлийг хялбарчлахаас эхэлдэг бөгөөд үүнд рационал илтгэгчтэй хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх, мөн хүчийг үржүүлэх дүрмийг ашигладаг. ижил суурь. Сэлгээний дараа утгыг тохируулах x 1/3 +48 хялбаршуулсан илэрхийлэлд x = 8 бол 50 гэсэн утгыг авахад хялбар байдаг.

Хоёрдахь жишээнд та хуваагч болон хуваагч нь рационал илтгэгчтэй зэрэглэл агуулсан бутархайг багасгах хэрэгтэй. Зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид ялгавараас х 1/3 коэффициентийг гаргаж, дараа нь хуваагч ба хуваагчийг багасгаж, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваасан бөгөөд энэ нь ижил төстэй байдлын цаашдын бууралтыг өгдөг. тоологч ба хуваагч дахь хүчин зүйлүүд. Ийм хувиргалтын үр дүн нь x 1/4 +3 богино фракц юм.

Багш шинэ хичээлийн сэдвийг тайлбарлахын оронд “Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч” видео хичээлийг ашиглаж болно. Энэ гарын авлагад бас хангалттай байгаа бүрэн мэдээлэлУчир нь бие даан суралцахоюутан. Энэ материал нь зайны сургалтанд ч хэрэг болно.

Энэ нийтлэлд бид юу болохыг олж мэдэх болно тооны хүч. Энд бид тооны чадлын тодорхойлолтыг өгөх бөгөөд байгалийн илтгэгчээс эхлээд иррациональ хүртэл бүх боломжит илтгэгчийг нарийвчлан авч үзэх болно. Материалаас та үүссэн бүх нарийн ширийн зүйлийг хамарсан зэрэглэлийн олон жишээг олох болно.

Хуудасны навигаци.

Натурал илтгэгчтэй хүч, тооны квадрат, тооны шоо

-ээс эхэлье. Урагшаа харахад n натурал илтгэгчтэй a тооны чадлын тодорхойлолтыг бид гэж нэрлэх a-д өгсөн гэж үзье. зэрэглэлийн суурь, ба n, бид үүнийг дуудах болно илтгэгч. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь бүтээгдэхүүнээр тодорхойлогддог тул доорх материалыг ойлгохын тулд та тоог үржүүлэх тухай ойлголттой байх хэрэгтэй гэдгийг бид бас тэмдэглэж байна.

Тодорхойлолт.

Натурал илтгэгч n-тэй тооны чадварнь a n хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд утга нь n хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү, тус бүр нь a-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .
Ялангуяа 1-р илтгэгчтэй а тооны хүчин чадал нь өөрөө а тоо, өөрөөр хэлбэл a 1 =a байна.

Эрдмийн зэрэг унших дүрмийн талаар нэн даруй дурдах нь зүйтэй. Бүх нийтийн арга a n оруулгыг унших нь: “a n-ийн зэрэглэлд”. Зарим тохиолдолд "a-аас n-р зэрэглэл" ба "a-ийн n-р зэрэг" гэсэн сонголтуудыг бас хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, 8 12 хүчийг авъя, энэ нь "наймаас арван хоёрын хүч", эсвэл "наймаас арван хоёр дахь хүч", эсвэл "наймын арван хоёр дахь хүч" юм.

Тооны хоёр дахь зэрэг, мөн тооны гурав дахь зэрэг нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Тооны хоёр дахь хүчийг дуудна тооны квадратжишээлбэл, 7 2-ыг "долоон квадрат" эсвэл "долооны тооны квадрат" гэж уншина. Тооны гурав дахь хүчийг дуудна куб тоонууджишээлбэл, 5 3-ыг "таван шоо" гэж уншиж болно, эсвэл "5-ын тооны шоо" гэж хэлж болно.

Авах цаг боллоо Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн жишээ. 5 7 зэрэгтэй эхэлье, энд 5 нь градусын суурь, 7 нь илтгэгч юм. Өөр нэг жишээ хэлье: 4.32 нь суурь, натурал тоо 9 нь илтгэгч (4.32) 9 юм.

гэдгийг анхаарна уу сүүлчийн жишээ 4.32 градусын суурь нь хаалтанд бичигдсэн: зөрүү гарахаас зайлсхийхийн тулд натурал тооноос өөр градусын бүх суурийг хаалтанд хийнэ. Жишээ болгон бид байгалийн илтгэгчтэй дараах зэрэглэлүүдийг өгдөг , тэдгээрийн суурь нь натурал тоо биш тул хаалтанд бичнэ. Бүрэн тодорхой болгохын тулд энэ үед бид (−2) 3 ба −2 3 хэлбэрийн бичлэгт агуулагдах ялгааг харуулах болно. (−2) 3 илэрхийлэл нь натурал илтгэгч нь 3-тай −2-ын хүч бөгөөд −2 3 (үүнийг −(2 3) гэж бичиж болно) илэрхийлэл нь 2 3 зэрэглэлийн утгатай тоотой тохирч байна. .

a^n хэлбэрийн n илтгэгчтэй a тооны хүчийг илэрхийлэх тэмдэглэгээ байдгийг анхаарна уу. Түүнчлэн хэрэв n нь олон утгатай натурал тоо бол илтгэгчийг хаалтанд авна. Жишээлбэл, 4^9 нь 49-ийн хүчийг илэрхийлэх өөр нэг тэмдэглэгээ юм. “^” тэмдгийг ашиглан зэрэг бичих өөр хэдэн жишээ энд байна: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Дараах зүйлд бид үндсэндээ a n хэлбэрийн зэргийн тэмдэглэгээг ашиглана.

Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлд хүрэх урвуу асуудлын нэг бол чадлын суурийг олох асуудал юм. мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэзэрэг ба мэдэгдэж буй үзүүлэлт. Энэ даалгавар нь хүргэдэг.

Рационал тоонуудын багц нь бүхэл ба бутархай тооноос бүрдэх бөгөөд бутархай бүрийг эерэг эсвэл сөрөг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэддэг. Өмнөх догол мөрөнд бид бүхэл тоон илтгэгчтэй зэрэг тодорхойлсон тул рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг дуусгахын тулд m/n бутархай илтгэгчтэй a тооны зэрэгт утгыг өгөх шаардлагатай. m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Үүнийг хийцгээе.

Маягтын бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг авч үзье. Эрх мэдэл хүчинтэй байхын тулд эрх тэгш байх ёстой . Хэрэв бид үүссэн тэгш байдлыг харгалзан үзээд бид үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бол m, n, a өгөгдсөн тохиолдолд илэрхийлэл нь утга учиртай байх тохиолдолд үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь логик юм.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (үүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд хэсэгт хийсэн).

Дээрх үндэслэл нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг бидэнд олгоно дүгнэлт: хэрэв m, n өгөгдсөн бөгөөд a илэрхийлэл нь утга учиртай бол m/n бутархай илтгэгчтэй а-ын хүчийг m-ийн n-р язгуур гэж нэрлэнэ.

Энэ мэдэгдэл нь бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтод ойртуулж байна. Үлдсэн зүйл бол m, n болон a илэрхийлэл ямар утгатай болохыг тайлбарлах явдал юм. m, n, a дээр тавигдсан хязгаарлалтаас хамааран хоёр үндсэн арга байдаг.

Хамгийн хялбар арга бол эерэг m-ийн хувьд a≥0, сөрөг m-ийн хувьд a>0-ийг авах замаар a-д хязгаарлалт тавих явдал юм (m≤0-ийн хувьд m-ийн 0 градус тодорхойлогдоогүй тул). Дараа нь бид бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн дараах тодорхойлолтыг авна.

Тодорхойлолт.

Бутархай илтгэгч m/n-тэй эерэг тооны a-ийн чадал, энд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо бол m-ийн n-р язгуур гэж нэрлэгддэг.

Тэгийн бутархай хүчийг мөн индикатор эерэг байх ёстой гэсэн цорын ганц анхааруулгатайгаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт.

Бутархай эерэг илтгэгч m/n-тэй тэгийн чадал, энд m нь эерэг бүхэл тоо, n нь натурал тоо гэж тодорхойлогддог .
Зэрэг нь тодорхойлогдоогүй үед, өөрөөр хэлбэл бутархай сөрөг илтгэгчтэй тэг тооны зэрэг нь утгагүй болно.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод нэг анхааруулга байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй: зарим сөрөг а, зарим m ба n-ийн хувьд илэрхийлэл нь утга учиртай бөгөөд a≥0 нөхцөлийг оруулан бид эдгээр тохиолдлыг хассан. Жишээлбэл, оруулгууд нь утга учиртай эсвэл , мөн дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй хүч гэж хэлэхийг бидэнд албаддаг суурь нь сөрөг байх ёсгүй тул утгагүй болно.

Бутархай илтгэгч m/n-тэй зэрэг тодорхойлох өөр нэг арга бол язгуурын тэгш, сондгой илтгэгчийг тусад нь авч үзэх явдал юм. Энэ арга нь нэмэлт нөхцөлийг шаарддаг: илтгэгч нь a тооны хүчийг a тооны хүч гэж үздэг ба илтгэгч нь харгалзах бууруулж болохгүй бутархай (бид энэ нөхцлийн ач холбогдлыг доор тайлбарлах болно) ). Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m/n нь бууруулж болохгүй бутархай бол аль ч натурал k тооны хувьд градусыг эхлээд -ээр солино.

Тэр ч байтугай n ба эерэг m-ийн хувьд илэрхийлэл нь ямар ч сөрөг бус а-д утга учиртай (сөрөг тооны тэгш үндэс нь сөрөг m-ийн хувьд утгагүй, a тоо тэгээс өөр байх ёстой (эсвэл хуваагдах болно); тэгээр). Мөн сондгой n ба эерэг m-ийн хувьд а тоо дурын байж болно (сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч бодит тоогоор тодорхойлогддог), сөрөг m-ийн хувьд а тоо тэгээс өөр байх ёстой (тэгэхээр хуваагдахгүй байх ёстой. тэг).

Дээрх үндэслэл нь биднийг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хөтөлж байна.

Тодорхойлолт.

m/n нь бууруулж болохгүй бутархай, m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо байг. Аливаа бууруулж болох бутархайн хувьд зэрэг нь -ээр солигдоно. Бутаршгүй бутархай илтгэгч m/n тооны хүчин чадал нь



Бутардаг бутархай илтгэгчтэй градусыг яагаад бууруулж болдоггүй илтгэгчтэй зэрэгтэй сольдогийг тайлбарлая. Хэрэв бид градусыг зүгээр л гэж тодорхойлж, m/n бутархайн бууралтгүй байдлын талаар тайлбар хийгээгүй бол бид дараахтай төстэй нөхцөл байдалтай тулгарах болно: 6/10 = 3/5 тул тэгш байдал дагах ёстой. , Гэхдээ , А.