Вектор орон зай болох бүх багцын хамгийн их тоо. Вектор шугаман орон зай

Головизин В.В. Алгебр, геометрийн лекцүүд.

4

Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 2.

Лекц 22. Вектор орон зай.

Дүгнэлт: векторын орон зайн тодорхойлолт, түүний хамгийн энгийн шинж чанар, векторын систем, векторын системийн шугаман хослол, өчүүхэн ба жижиг шугаман хослол, векторын шугаман хамааралтай ба бие даасан систем, системийн шугаман хамаарал эсвэл бие даасан байдлын нөхцөл. векторууд, векторуудын системийн дэд системүүд, арифметик вектор орон зайн баганын системүүд.

1-р зүйл. Вектор орон зайн тодорхойлолт ба түүний хамгийн энгийн шинж чанарууд.

Энд уншигчдад тав тухтай байлгах үүднээс 1-р лекцийн 13-р догол мөрийн агуулгыг давтан хэлье.

Тодорхойлолт. Элементүүдийг нь вектор гэж нэрлэх дурын хоосон бус олонлог, харин K нь элементүүдийг нь скаляр гэж нэрлэх талбар байг. Олонлог дээр дотоод хоёртын алгебрийн үйлдлийг тодорхойлъё, үүнийг бид + тэмдгээр тэмдэглэж, вектор нэмэхийг дуудна. Мөн олонлог дээр векторыг скаляраар үржүүлэх гэж нэрлэх ба үржүүлэх тэмдгээр тэмдэглэсэн гадаад хоёртын алгебрийн үйлдлийг тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл, хоёр зураглалыг тодорхойлсон:

Дараах аксиомуудыг хангасан тохиолдолд эдгээр хоёр алгебрийн үйлдэлтэй олонлогийг K талбар дээрх вектор орон зай гэж нэрлэдэг.

1. Нэмэлт нь ассоциатив, i.e.

2. Тэг вектор байдаг, i.e.

3. Аливаа векторын хувьд эсрэг тал байдаг:

x векторын эсрэг байрлах y векторыг ихэвчлэн -x гэж тэмдэглэдэг

4. Нэмэлт нь солигддог, i.e. .

5. Векторыг скаляраар үржүүлэх нь ассоциацийн хуульд захирагдана, i.e.

Энд бүтээгдэхүүн нь K талбарт тодорхойлсон скаляруудын үржвэр юм.

6., энд 1 нь K талбайн нэгж юм.

7. Векторыг скаляраар үржүүлэх нь вектор нэмэхтэй холбоотойгоор тархалттай байна:

8. Векторыг скаляраар үржүүлэх нь скаляр нэмэхтэй холбоотойгоор тархалттай байна: . Тодорхойлолт.Вектор орон зай

бодит тоонуудын талбайн дээгүүр байрлахыг бодит вектор орон зай гэнэ.

Теорем. (Вектор орон зайн хамгийн энгийн шинж чанарууд.)

2. Вектор орон зайд ямар ч вектор өөрт нь өвөрмөц эсрэг талтай байдаг.

3. эсвэл
.

4. .

Баталгаа. 1) Өвөрмөц байдал тэг вектормөн адилтгалын матрицын өвөрмөц байдал, ерөнхийдөө аливаа дотоод хоёртын алгебрийн үйлдлийн саармаг элементийн өвөрмөц чанар болох нь батлагдсан.

V вектор орон зайн тэг векторыг 0 гэж үзье. Дараа нь. Болъё
- өөр тэг вектор. Дараа нь. Эхний тохиолдолд авч үзье
, хоёрдугаарт -
. Дараа нь
Тэгээд
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг
, гэх мэт.

2a) Эхлээд тэг скаляр ба дурын векторын үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү болохыг батална.

Болъё
. Дараа нь вектор орон зайн аксиомуудыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Нэмэлтийн хувьд вектор орон зай нь Абелийн бүлэг бөгөөд цуцлах хууль нь аль ч бүлэгт хүчинтэй байна. Цуцлах хуулийг хэрэглэснээр энэ нь сүүлчийн тэгш байдлын дагуу явагдана

.

2b) Одоо бид 4-р мэдэгдлийг баталж байна). Болъё
- дурын вектор. Дараа нь

Энэ нь нэн даруй векторыг дагадаг
нь x векторын эсрэг байна.

2в) Одоо болъё
. Дараа нь вектор орон зайн аксиомуудыг ашиглан,
Тэгээд
бид авах:

2г) Болъё
тэгээд үүнийг төсөөлье
. Учир нь
, K нь талбар бол тэнд байна
. Тэгш байдлыг үржүүлье
дээр үлдсэн
:
, дараах
эсвэл
эсвэл
.

Теорем нь батлагдсан.

2-р зүйл. Вектор орон зайн жишээ.

1) Функцийг нэмэх, функцийг тоогоор үржүүлэх ердийн үйлдлүүдийн хувьд (0; 1) интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх нэг хувьсагчийн бодит тоон функцүүдийн багц.

2) Олон гишүүнт нэмэх, олон гишүүнтийг скаляраар үржүүлэх талаар K талбарын коэффициент бүхий нэг үсэгнээс олон гишүүнтийн багц.

3) Маш их нийлмэл тоонийлмэл тоог нэмэх, бодит тоогоор үржүүлэх талаар.

4) Матриц нэмэх болон матрицыг скаляраар үржүүлэхтэй холбоотой K талбарын элементүүдтэй ижил хэмжээтэй матрицын багц.

Дараах жишээ нь 4-р жишээний чухал онцгой тохиолдол юм.

5) Дурын натурал тоо байг. n өндөртэй бүх баганын олонлогоор тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл. K хэмжээтэй талбар дээрх матрицуудын багц
.

Олонлог нь К талбар дээрх вектор орон зай бөгөөд K талбар дээрх n өндөртэй баганын арифметик вектор орон зай гэж нэрлэгддэг.

Ялангуяа дурын K талбарын оронд бид талбайг авна бодит тоо, дараа нь вектор орон зай
n өндөртэй баганын бодит арифметик вектор орон зай гэж нэрлэдэг.

Үүний нэгэн адил вектор орон зай нь K хэмжээтэй талбар дээрх матрицуудын багц юм
эсвэл өөрөөр хэлбэл n урттай мөр. Үүнийг мөн K талбар дээрх n урттай мөрүүдийн арифметик вектор орон зай гэж тэмдэглэдэг.

3-р зүйл. Вектор орон зайн вектор систем.

Тодорхойлолт. Векторын орон зай дахь векторуудын систем нь энэ орон зай дахь векторуудын ямар ч хоосон биш хязгаарлагдмал багц юм.

Зориулалт:
.

Тодорхойлолт. Илэрхийлэл

, (1)

К талбайн скалярууд хаана байна, V вектор орон зайн векторууд нь векторын системийн шугаман хослол гэнэ.
. Скаляруудыг энэ шугаман хослолын коэффициент гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Хэрэв шугаман хослолын бүх коэффициент (1) тэгтэй тэнцүү бол ийм шугаман хослолыг өчүүхэн гэж нэрлэдэг, эс тэгвээс өчүүхэн бус гэж нэрлэдэг.

Жишээ. Болъё
вектор орон зай дахь гурван векторын системV. Дараа нь

– өгөгдсөн векторын системийн өчүүхэн шугаман хослол;

учир нь өгөгдсөн векторын системийн өчүүхэн бус шугаман хослол юм Энэ хослолын эхний коэффициент
.

Тодорхойлолт. Хэрэв V вектор орон зайн ямар нэгэн х векторыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

тэгвэл тэд x векторыг системийн векторуудаар шугаман илэрхийлдэг гэж хэлдэг
. Энэ тохиолдолд энэ нь бас систем гэж хэлсэн
x векторыг шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Сэтгэгдэл. Энэ болон өмнөх тодорхойлолтод "шугаман" гэдэг үгийг ихэвчлэн орхигдуулсан бөгөөд систем нь векторыг илэрхийлдэг эсвэл векторыг системийн вектороор илэрхийлдэг гэх мэт.

Жишээ. Болъё
нь 2 өндөртэй баганын арифметик бодит вектор орон зайн хоёр баганын систем юм. Дараа нь багана
системийн баганаар шугаман илэрхийлэгдэх буюу энэ систембагана нь x баганыг шугаман байдлаар илэрхийлнэ. Үнэхээр,

4-р зүйл. Вектор орон зайд шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторын системүүд.

Тэг скалярын аль ч векторын үржвэр нь тэг вектор бөгөөд тэг векторуудын нийлбэр нь тэг вектортой тэнцүү тул аливаа векторын системийн хувьд тэгш байдал үүснэ.

Эндээс тэг векторыг дурын векторын системийн вектороор шугаман илэрхийлдэг буюу өөрөөр хэлбэл аливаа векторын систем тэг векторыг шугаман байдлаар илэрхийлдэг гэсэн үг.

Жишээ. Болъё
. Энэ тохиолдолд тэг багана Системийн баганаар шугаман хэлбэрээр нэгээс олон аргаар илэрхийлж болно.

эсвэл

Тэг векторын шугаман дүрслэлийн эдгээр аргуудыг ялгахын тулд бид дараах тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт. Хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол

мөн тэр үед бүх коэффициентүүд , дараа нь тэд систем гэж хэлдэг
тэг векторыг өчүүхэн илэрхийлнэ. Хэрэв тэнцүү бол (3) коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь
Үгүй тэгтэй тэнцүү, тэгвэл тэд векторын систем гэж хэлдэг
тэг векторыг өчүүхэн бус илэрхийлнэ.

Сүүлчийн жишээнээс харахад тэг векторыг өчүүхэн бус аргаар төлөөлөх векторын системүүд байдгийг бид харж байна. -аас дараах жишээтэг векторыг өчүүхэн бус байдлаар төлөөлөх боломжгүй векторын системүүд байдгийг бид харах болно.

Жишээ. Болъё
– вектор орон зайн хоёр баганын систем. Тэгш байдлыг авч үзье:

,

Хаана
хараахан үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Баганыг скаляр (тоо) -оор үржүүлэх, багана нэмэх дүрмийг ашиглан бид тэгш байдлыг олж авна.

.

Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоос үзэхэд ийм байна
Тэгээд
.

Тиймээс, энэ систем нь хоосон баганыг энгийн бус байдлаар илэрхийлж чадахгүй.

Дээрх жишээнүүдээс үзэхэд хоёр төрлийн вектор систем байдаг. Зарим системүүд тэг векторыг өчүүхэн бус байдлаар илэрхийлдэг бол зарим нь тэгдэггүй. Аливаа векторын систем тэг векторыг өчүүхэн төдий илэрхийлдэг гэдгийг дахин анхаар.

Тодорхойлолт. Тэг векторыг ЗӨВХӨН бага хэмжээгээр илэрхийлдэг вектор орон зай дахь векторуудын системийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тэг векторыг өчүүхэн бус байдлаар илэрхийлж чадах векторын орон зай дахь векторуудын системийг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Сүүлийн тодорхойлолтыг илүү дэлгэрэнгүй хэлбэрээр өгч болно.

Тодорхойлолт. Вектор систем
V векторын орон зайг тэгээс өөр K талбайн скаляруудын олонлог байгаа бол шугаман хамааралтай гэнэ.

Сэтгэгдэл. Аливаа вектор систем
тэг векторыг өчүүхэн байдлаар илэрхийлж болно:

Гэхдээ энэ нь өгөгдсөн векторын систем шугаман хамааралтай эсвэл шугаман бие даасан эсэхийг мэдэхэд хангалтгүй юм. Тодорхойлолтоос харахад шугаман бие даасан векторын систем нь тэг векторыг өчүүхэн биш, харин өчүүхэн байдлаар илэрхийлэх боломжгүй юм. Тиймээс өгөгдсөн векторын системийн шугаман бие даасан байдлыг шалгахын тулд тэгийг энэ векторын системийн дурын шугаман хослолоор дүрслэхийг авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв энэ шугаман хослолын ядаж нэг коэффициент тэг биш байвал энэ тэгш байдал боломжгүй бол энэ систем нь шугаман бие даасан байна.

Тиймээс өмнөх догол мөрийн жишээнүүдэд баганын систем
шугаман хамааралгүй, баганын систем
шугаман хамааралтай байна.

Баганын системийн шугаман бие даасан байдал нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог ,, ... ,

K нь дурын орон зайгаас n нь дурын натурал тоо юм.

Дараах теоремууд нь вектор системийн шугаман хамаарал, үүний дагуу шугаман бие даасан байдлын хэд хэдэн шалгуурыг өгдөг.

Теорем. (Векторын системийн шугаман хамаарлын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл.)

Вектор орон зай дахь векторуудын систем нь тухайн системийн векторуудын аль нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдсэн тохиолдолд л шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа. Хэрэгцээ. Системийг зөвшөөр
шугаман хамааралтай. Дараа нь, тодорхойлолтоор энэ нь тэг векторыг өчүүхэн бус байдлаар илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. тэг вектортой тэнцэх энэ векторын системийн энгийн бус шугаман хослол байдаг.

Энэ шугаман хослолын коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал. Болъё
,
.

Өмнөх тэгш байдлын хоёр талыг энэ тэг бус коэффициентээр хуваая (өөрөөр хэлбэл үржүүлнэ). :

гэж тэмдэглэе:
, Хаана.

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ гэх мэт.

Хангалттай байдал. Системийн векторуудын аль нэгийг энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлье.

Векторыг хөдөлгөцгөөе В баруун талЭнэ тэгш байдал:

Векторын коэффициентээс хойш тэнцүү байна
, тэгвэл бид тэгийг векторын системээр өчүүхэн бус дүрсэлсэн болно
, энэ нь векторуудын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт.

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар.

1. Вектор орон зай дахь векторуудын систем нь тухайн системийн векторуудын аль нь ч энэ системийн бусад векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлэгдээгүй тохиолдолд л шугаман бие даасан байна.

2. Тэг эсвэл хоёр вектор агуулсан векторуудын систем тэнцүү вектор, шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.

1) Шаардлагатай байдал. Систем нь шугаман бие даасан байг. Эсрэгээр нь бодъё, энэ системийн бусад векторуудаар шугаман илэрхийлэгдсэн системийн вектор байна. Дараа нь теоремын дагуу систем нь шугаман хамааралтай бөгөөд бид зөрчилдөөнд хүрнэ.

Хангалттай байдал. Системийн векторуудын аль нь ч нөгөөгөөр илэрхийлэгдэж болохгүй. Үүний эсрэгээр гэж бодъё. Систем нь шугаман хамааралтай байг, гэхдээ дараа нь теоремоос харахад энэ системийн бусад векторуудаар шугаман илэрхийлэгддэг системийн вектор байгаа бөгөөд бид дахин зөрчилддөг.

2a) Системд тэг вектор агуулна. Тодорхойлолтыг вектор гэж үзье
:. Дараа нь тэгш байдал тодорхой болно

тэдгээр. системийн векторуудын нэг нь энэ системийн бусад векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Теоремоос харахад ийм векторын систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт.

Энэ баримтыг векторуудын шугаман хамааралтай системийн тодорхойлолтоос шууд баталж болохыг анхаарна уу.

Учир нь
, тэгвэл дараах тэгш байдал тодорхой байна

Энэ бол систем гэсэн утгатай тэг векторын утгагүй дүрслэл юм
шугаман хамааралтай байна.

2b) Системийг хоёр тэнцүү вектортой болго. Баттай байцгаая
. Дараа нь тэгш байдал тодорхой болно

Тэдгээр. Эхний вектор нь ижил системийн үлдсэн векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Теоремоос харахад энэ систем нь шугаман хамааралтай гэх мэт.

Өмнөхтэй адил энэ мэдэгдлийг шугаман хамааралтай системийг тодорхойлох замаар шууд баталж болно.

Үнэхээр тэр цагаас хойш
, тэгвэл тэгш байдал үнэн болно

тэдгээр. Бид тэг векторын энгийн бус дүрслэлтэй.

Мөрдөн байцаалтын ажиллагаа нотлогдсон.

Теорем (Нэг векторын системийн шугаман хамаарлын тухай.

Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэг байвал шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.

Хэрэгцээ. Системийг зөвшөөр
шугаман хамааралтай, i.e. тэг векторын өчүүхэн бус дүрслэл байдаг

,

Хаана
Тэгээд
. Вектор орон зайн хамгийн энгийн шинж чанаруудаас үзэхэд ийм зүйл гарч ирнэ
.

Хангалттай байдал. Системийг нэг тэг вектороос бүрдүүлье
. Тэгвэл энэ систем нь тэг векторыг өчүүхэн бусаар илэрхийлнэ

,

эндээс дагадаг шугаман хамааралсистемүүд
.

Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэгээс ялгаатай тохиолдолд шугаман бие даасан байна.

Нотлох баримтыг уншигчдад дасгал болгон үлдээв.

Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь

Вектор(эсвэл шугаман) зай- өөр хоорондоо нэмэх, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд тодорхойлогддог вектор гэж нэрлэгддэг элементүүдийн багц болох математикийн бүтэц - скаляр. Эдгээр үйлдлүүд нь найман аксиомд хамаарна. Скаляр нь бодит, комплекс эсвэл бусад тооны талбарын элементүүд байж болно. Ийм орон зайн онцгой тохиолдол бол ердийн гурван хэмжээст Евклидийн орон зай бөгөөд векторууд нь жишээлбэл, физик хүчийг төлөөлөхөд ашиглагддаг. Вектор орон зайн элемент болох векторыг чиглэсэн сегмент хэлбэрээр зааж өгөх албагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аливаа шинж чанартай вектор орон зайн элементэд "вектор" гэсэн ойлголтыг нэгтгэн дүгнэх нь нэр томьёо төөрөгдүүлэхээс гадна дурын шинж чанартай орон зайд хүчинтэй хэд хэдэн үр дүнг ойлгох эсвэл бүр таамаглах боломжийг олгодог.

Вектор орон зай нь шугаман алгебрийн сэдэв юм. Вектор орон зайн гол шинж чанаруудын нэг нь түүний хэмжээс юм. Хэмжээ нь хамгийн их тоошугаман бие даасан элементүүдорон зай, өөрөөр хэлбэл, барзгар руу ханддаг геометрийн тодорхойлолт, зөвхөн нэмэх болон скаляраар үржүүлэх үйлдлүүдийг ашиглан бие биенээ илэрхийлэх боломжгүй чиглэлүүдийн тоо. Вектор орон зай нь норм эсвэл дотоод бүтээгдэхүүн гэх мэт нэмэлт бүтэцтэй байж болно. Математикийн шинжилгээнд ийм орон зай нь байгалийн жамаар, үндсэндээ хязгааргүй хэмжээст функцийн орон зай хэлбэрээр гарч ирдэг. Англи), функцүүд хаана байна. Шинжилгээний олон асуудалд векторуудын дараалал нийлж байгаа эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай энэ вектор. Ийм асуултуудыг вектор орон зайд авч үзэх боломжтой нэмэлт бүтэц, ихэнх тохиолдолд - тохиромжтой топологи бөгөөд энэ нь бидэнд ойрын болон тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Ийм топологийн векторын орон зай, тухайлбал Банач, Хилбертийн орон зай нь илүү гүнзгий судлах боломжийг олгодог.

Векторуудаас гадна шугаман алгебрМөн дээд зэрэглэлийн тензоруудыг судалдаг (скалярыг 0 зэрэглэлийн тензор, векторыг 1-р зэрэглэлийн тензор гэж үзнэ).

Вектор орон зайн тухай ойлголт гарч ирэхийг таамаглаж байсан анхны бүтээлүүд нь 17-р зуунаас эхтэй. Тэр үед л аналитик геометр, матрицын тухай сургаал, шугаман тэгшитгэлийн систем, Евклидийн векторууд хөгжиж эхэлсэн.

Тодорхойлолт

Шугаман, эсвэл вектор орон зай $V\backslash зүүн(F\backslash баруун)$талбай дээгүүр $Ф$- энэ бол захиалгат дөрөв $(V,F,+,\backslash cdot)$, Хаана

• $В$- дурын шинж чанартай элементүүдийн хоосон бус багцыг нэрлэдэг векторууд;
• $Ф$- элементүүдийг нь дууддаг (алгебрийн) талбар скаляр;
• Үйл ажиллагааг тодорхойлсон нэмэлтвекторууд $V\backslash \; дахин\; V\backslash \; V\; хүртэл$, энэ нь хос элемент бүрийг холбодог $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$багц $В$ $В$тэднийг дуудсан хэмжээболон томилогдсон $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Үйл ажиллагааг тодорхойлсон векторуудыг скаляраар үржүүлэх $F\backslash time\; V\backslash to\; V$, элемент бүрийг тааруулах $\backslash lambda$талбайнууд $Ф$болон элемент бүр $\backslash mathbf(x)$багц $В$багцын цорын ганц элемент $В$, тэмдэглэсэн $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$эсвэл $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Нэг элементийн багц дээр тодорхойлогдсон вектор орон зай нь өөр өөр талбарууд дээр өөр өөр вектор орон зай байх болно (жишээлбэл, бодит тооны хосуудын багц) $\backslash mathbb(R)^2$бодит тоонуудын талбар дээрх хоёр хэмжээст вектор орон зай эсвэл нэг хэмжээст - комплекс тоонуудын талбар дээр байж болно).

Хамгийн энгийн шинж чанарууд

1. Вектор орон зай нь нэмэхэд хамаарах Абелийн бүлэг юм.
2. Төвийг сахисан элемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash V-д$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$хэний ч төлөө $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
4. Хэнд ч зориулав $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$эсрэг элемент $-\backslash mathbf(x)\backslash -д\; V$нь бүлгийн шинж чанараас гарах цорын ганц зүйл юм.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$хэний ч төлөө $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ямар ч хувьд $Ф-д\; \backslash альфа\; \backslash$Тэгээд $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$хэний ч төлөө $Ф-д\; \backslash альфа\; \backslash$.

Холбогдох тодорхойлолт ба шинж чанарууд

Дэд орон зай

Алгебрийн тодорхойлолт: Шугаман дэд орон зайэсвэл вектор дэд орон зай - хоосон бус дэд олонлог $К$шугаман орон зай $В$тиймэрхүү $К$-д тодорхойлсонтой харьцуулахад өөрөө шугаман орон зай юм $В$скаляраар нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд. Бүх дэд орон зайн олонлогийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг $\backslash mathrm(Лат)(V)$. Дэд олонлог нь дэд орон зай байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай

1. ямар ч векторын хувьд $\backslash mathbf(x)\backslash -д\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$мөн харьяалагддаг байсан $К$, дурын хувьд $Ф-д\; \backslash альфа\backslash$;
2. бүх векторуудын хувьд $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash K-д$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$мөн харьяалагддаг байсан $К$.

Сүүлийн хоёр мэдэгдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

Бүх векторуудын хувьд $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash K-д$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$мөн харьяалагддаг байсан $К$ямар ч хувьд $Ф-д\; \backslash альфа,\; \backslash бета\; \backslash$.

Ялангуяа зөвхөн нэг тэг вектороос бүрдэх вектор орон зай нь аливаа орон зайн дэд орон зай юм; орон зай бүр өөрийн гэсэн дэд орон зай юм. Энэ хоёртой давхцахгүй байгаа дэд орон зайг нэрлэдэг эзэмшдэгэсвэл өчүүхэн бус.

Дэд орон зайн шинж чанарууд

• Аливаа дэд орон зайн гэр бүлийн огтлолцол нь дахин дэд орон зай юм;
• Дэд орон зайн нийлбэр $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$элементүүдийн боломжит бүх нийлбэрийг агуулсан олонлог гэж тодорхойлогддог $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Дэд орон зайн хязгаарлагдмал гэр бүлийн нийлбэр нь дахин дэд орон зай юм.

Шугаман хослолууд

Маягтын эцсийн нийлбэр

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Шугаман хослолыг:

Суурь. Хэмжээ

Векторууд $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв тэдгээрийн тэгтэй тэнцэх утгагүй шугаман хослол байвал:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash альфа\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash nq\; 0.$

Үгүй бол эдгээр векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Энэ тодорхойлолт нь дараахь ерөнхий ойлголтыг зөвшөөрдөг: чөтгөр хязгаарлагдмал олонлог-аас векторууд $В$дуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв зарим нь шугаман хамааралтай бол эцсийнүүний нэг хэсэг, мөн шугаман бие даасан, хэрэв байгаа бол эцсийндэд олонлог нь шугаман хамааралгүй.

Суурийн шинж чанарууд:

• Ямар ч $n$шугаман бие даасан элементүүд $n$- хэмжээст орон зайн хэлбэр суурьэнэ орон зай.
• Аливаа вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$хязгаарлагдмал шугаман хослол хэлбэрээр (өвөрмөц) төлөөлж болно үндсэн элементүүд:

Шугаман бүрхүүл

Шугаман бүрхүүл $\backslash mathcal\; V(X)$дэд олонлогууд $X$шугаман орон зай $В$- бүх дэд орон зайн огтлолцол $В$агуулсан $X$.

Шугаман зай нь дэд орон зай юм $В$.

Шугаман бүрхүүл гэж бас нэрлэдэг дэд орон зай үүсгэсэн $X$. Тэд бас ингэж хэлдэг шугаман бүрхүүл $\backslash mathcal\; V(X)$- орон зай, сунасанолон $X$.

Шугаман бүрхүүл $\backslash mathcal\; V(X)$-ийн элементүүдийн янз бүрийн төгсгөлтэй дэд системүүдийн бүх боломжит шугаман хослолуудаас бүрдэнэ $X$. Ялангуяа, хэрэв $X$Энэ нь хязгаарлагдмал олонлог юм $\backslash mathcal\; V(X)$элементүүдийн бүх шугаман хослолуудаас бүрдэнэ $X$. Тиймээс тэг вектор нь үргэлж шугаман их биенд хамаарна.

Хэрэв $X$шугаман бие даасан олонлог бол суурь болно $\backslash mathcal\; V(X)$улмаар түүний хэмжээсийг тодорхойлдог.

Жишээ

• Цорын ганц элемент нь тэг байх хоосон орон зай.
• Бүх функцүүдийн орон зай $X-ээс\; F$Хязгаарлагдмал дэмжлэгтэй нь кардиналтай тэнцүү хэмжээтэй векторын орон зайг бүрдүүлдэг $X$.
• Бодит тоонуудын талбарыг рационал тоонуудын талбар дээрх тасралтгүй хэмжээст вектор орон зай гэж үзэж болно.
• Аливаа талбар нь өөрөөсөө дээгүүр орших нэг хэмжээст орон зай юм.

Нэмэлт бүтэц

Мөн үзнэ үү

"Вектор орон зай" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичих

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• Гельфанд I. M.Шугаман алгебрийн лекц. - 5 дахь. - М .: Добросвет, MTsNMO, 1998. - 319 х. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд I. M.Шугаман алгебрийн лекц. 5-р хэвлэл. - М .: Добросвет, MTsNMO, 1998. - 320 х. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А.И., Манин Ю.Шугаман алгебр ба геометр. 2-р хэвлэл. - М.: Наука, 1986. - 304 х.
• Кострикин А.И.Алгебрийн танилцуулга. 2-р хэсэг: Шугаман алгебр. - 3 дахь. - М.: Наука., 2004. - 368 х. - (Их сургуулийн сурах бичиг).
• Мальцев A.I.Шугаман алгебрийн үндэс. - 3 дахь. - М.: Наука, 1970. - 400 х.

• Постников М.М.Шугаман алгебр (Геометрийн лекц. II семестер). - 2 дахь. - М.: Наука, 1986. - 400 х.
• Странг Г.Шугаман алгебр ба түүний хэрэглээ = Шугаман алгебр ба ТүүнийХэрэглээ. - М.: Мир, 1980. - 454 х.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г.Шугаман алгебр. 6-р хэвлэл. - М .: Физматлит, 2010. - 280 х. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмос П.Хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зай. - М.: Физматгиз, 1963. - 263 х.
• Фаддеев Д.К.Алгебрийн тухай лекцүүд. - 5 дахь. - Санкт-Петербург. : Лан, 2007. - 416 х.
• Шафаревич И.Р., Ремизов А.О.Шугаман алгебр ба геометр. - 1-р. - М.: Физматлит, 2009. - 511 х.
• Шрейер О., Спернер Г.Геометрийн танилцуулга дахь шугаман алгебрийн танилцуулга = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (Герман хэлнээс орчуулга). - М.–Л.: ОНТИ, 1934. - 210 х.

Вектор орон зайг тодорхойлсон ишлэл

Шалгалтаас буцаж ирэхэд Кутузов Австрийн генералын хамт өрөөндөө орж, адьютант руу утасдаж, ирж буй цэргүүдийн байдалтай холбоотой зарим бичиг баримт, дэвшилтэт армийг удирдаж байсан Арчук Фердинандаас ирсэн захидал зэргийг өгөхийг тушаав. . Ханхүү Андрей Болконский шаардлагатай бичиг баримтын хамт ерөнхий командлагчийн өрөөнд оров. Кутузов болон Гофкригсратын Австрийн гишүүн ширээн дээр тавьсан төлөвлөгөөний өмнө суув.
"Аан ..." гэж Кутузов Болконский рүү эргэж хараад, туслахыг хүлээхийг урьж байгаа мэт хэлээд франц хэлээр эхлүүлсэн яриагаа үргэлжлүүлэв.
"Би нэг л зүйлийг хэлж байна, генерал" гэж Кутузов аятайхан илэрхийлэл, аялгуугаар хэлсэн нь таныг тайван хэлсэн үг бүрийг анхааралтай сонсоход хүргэв. Кутузов өөрөө өөрийгөө сонсох дуртай байсан нь тодорхой байв. "Жанжин аа, би ганц л зүйлийг хэлье, хэрвээ энэ асуудал миний хувийн хүслээс шалтгаалсан бол Эрхэмсэг эзэн хаан Францын хүсэл аль эрт биелэх байсан." Би аль эрт Ардюкед элсэх байсан. Миний нэр төрд итгээрэй, Австри улс ийм арвин ихтэй надаас илүү мэдлэгтэй, чадварлаг жанжинд армийн дээд командлалыг хүлээлгэн өгч, энэ бүх хүнд үүрэг хариуцлагаас татгалзаж байгаа нь миний хувьд баяр баясгалан байх болно. Гэхдээ нөхцөл байдал биднээс илүү хүчтэй байна, генерал аа.
Кутузов хэлэхдээ: "Чи надад итгэхгүй байх эрхтэй, тэр ч байтугай надад итгэх эсэх нь надад хамаагүй, гэхдээ танд үүнийг хэлэх шалтгаан байхгүй. Энэ бол бүх зүйл юм."
Австрийн генерал сэтгэл хангалуун бус харагдаж байсан ч Кутузовт ижил өнгөөр ​​хариулахаас өөр аргагүй.
"Эсрэгээрээ," гэж тэр зэвүүн, ууртай өнгөөр ​​хэлэв, түүний хэлсэн үгний зусардсан утгын эсрэгээр, "эсрэгээр, Эрхэм дээдсийн оролцоо. нийтлэг шалтгаанЭрхэмсэг ноён өндөр үнэлдэг; Харин өнөөгийн удаашрал нь Оросын алдарт цэргүүд болон тэдний ерөнхий командлагчдыг тулалдаанд хурааж дассан амжилтаас нь салгаж байна гэж бид үзэж байна" гэж тэр бэлдсэн үгээ дуусгав.
Кутузов инээмсэглэлээ өөрчлөлгүй бөхийв.
"Эрхэм дээд хамба лам Фердинанд намайг хүндэтгэсэн сүүлчийн захидалд үндэслэн, генерал Мак шиг чадварлаг туслахын удирдлаган дор Австрийн цэргүүд шийдэмгий ялалт байгуулж, ялалт байгуулахаа больсон гэж би маш их итгэлтэй байна. бидний тусламж хэрэгтэй байна" гэж Кутузов хэлэв.
Генерал хөмсөг зангидсан. Хэдийгээр Австричуудын ялагдлын талаар эерэг мэдээ гараагүй ч ерөнхий таагүй цуу яриаг батлах хэтэрхий олон нөхцөл байдал байсан; Тиймээс Австричуудын ялалтын тухай Кутузовын таамаглал нь доог тохуутай маш төстэй байв. Гэвч Кутузов эелдэгхэн инээмсэглэсэн хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь түүнд үүнийг хүлээх эрхтэй гэж хэлсэн хэвээр байв. Үнэхээр, сүүлчийн захидал, тэр Макийн армиас хүлээн авсан нь түүнд ялалт, хамгийн ашигтай тухай мэдээлсэн стратегийн байр суурьарми.
"Надад энэ захидлыг энд өгөөч" гэж Кутузов хунтайж Андрейд хандав. -Хэрвээ хараарай. - Тэгээд Кутузов уруулынхаа үзүүрт тохуурхсан инээмсэглэл тодруулан Австрийн жанжинд герцог Фердинандын захидлын дараах хэсгийг герман хэлээр уншив: "Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit wol ganzerll Machtlite. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal Zuzubereiten, soer verdi.” [Бид 70,000 орчим хүн хүчээ төвлөрүүлсэн тул дайсан Лехийг дайран өнгөрвөл бид довтолж, ялж чадна. Бид аль хэдийн Ульмыг эзэмшдэг тул бид Дунай мөрний хоёр эргийг удирдах давуу талыг хадгалж чадна, тиймээс хэрэв дайсан Лехийг гаталж, Дунай мөрнийг гаталж, холбооны шугам руугаа яаран, Дунай мөрнийг буцаан гатлахгүй бол минут тутамд. дайсандаа, хэрэв тэр бүх хүчээ манай үнэнч холбоотнууд руу чиглүүлэхээр шийдсэн бол түүний зорилгыг биелүүлэхээс сэргийл. Ийм байдлаар бид эзэн хааны цагийг баяртайгаар хүлээх болно Оросын армибүрэн бэлтгэлтэй байх болно, тэгвэл бид хамтдаа дайсандаа зохих хувь тавиланг бэлтгэх боломжийг хялбархан олох болно."]

4.3.1 Шугаман орон зайн тодорхойлолт

Болъё ā , , - зарим багцын элементүүд ā , , Л ба λ , μ - бодит тоо, λ , μ Р..

L олонлогийг нэрлэдэгшугаман эсвэлвектор орон зай, хэрэв хоёр үйлдлийг тодорхойлсон бол:

1 0 . Нэмэлт. Энэ олонлогийн хос элемент бүр нь ижил олонлогийн элементтэй холбоотой бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг

ā + =

2°.Тоогоор үржүүлэх. Аливаа бодит тоо λ ба элемент ā Лижил олонлогийн элементтэй таарч байна λ ā ЛДараах шинж чанарууд хангагдсан байна:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. байдаг тэг элемент
, ийм ā +=ā ;

4. байдаг эсрэг элемент -
тиймэрхүү ā +(-ā )=.

Хэрэв λ , μ - бодит тоо, дараа нь:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Шугаман орон зайн элементүүд ā, , ... векторууд гэж нэрлэдэг.

Дасгал хийх.Эдгээр олонлогууд нь шугаман орон зайг бүрдүүлдэг гэдгийг өөртөө харуул.

1) Олон геометрийн векторуудонгоцонд;

2) Гурван хэмжээст орон зайд олон геометрийн векторууд;

3) Тодорхой хэмжээний олон гишүүнтийн багц;

4) Ижил хэмжээтэй матрицын багц.

4.3.2 Шугаман хамааралтай ба бие даасан векторууд. Орон зайн хэмжээс ба суурь

Шугаман хослол векторууд ā 1 , ā 2 , …, ā n Лхэлбэрийн ижил орон зайн вектор гэж нэрлэдэг:

,

Хаана λ Би бол бодит тоо.

Векторууд ā 1 , .. , ā n гэж нэрлэдэгшугаман бие даасан, хэрэв бүх λ байвал тэдгээрийн шугаман хослол тэг вектор болби тэгтэй тэнцүү,тэр нь

λ би = 0

Хэрэв шугаман хослол нь тэг вектор ба дор хаяж нэг нь байвал λ битэгээс ялгаатай бол эдгээр векторуудыг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. Сүүлийнх нь векторуудын дор хаяж нэгийг нь бусад векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн үг юм. Үнэхээр ч, жишээ нь,
. Дараа нь,
, Хаана

.

Хамгийн их шугаман бие даасан эмх цэгцтэй векторуудын систем гэж нэрлэдэг суурь зай Л. Суурь векторуудын тоог нэрлэнэ хэмжээс зай.

Байгаа гэж бодъё nшугаман бие даасан векторууд, дараа нь орон зай гэж нэрлэдэг n- хэмжээст. Бусад орон зайн векторуудыг шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно nсуурь векторууд. Үндсэндээ n- хэмжээст орон зайг авч болно ямар ч nэнэ орон зайн шугаман бие даасан векторууд.

Жишээ 17.Эдгээр шугаман орон зайн суурь ба хэмжээсийг ол:

a) нэг шулуун дээр байрлах векторуудын багц (зарим шулуунтай давхцах)

б) хавтгайд хамаарах векторуудын багц

в) гурван хэмжээст орон зайн векторуудын багц

г) хоёроос ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнтийн багц.

Шийдэл.

A)Шулуун шугам дээр байрлах дурын хоёр вектор нь шугаман хамааралтай байх болно, учир нь векторууд нь коллинеар байдаг.
, Тэр
, λ - скаляр. Иймээс өгөгдсөн орон зайн суурь нь тэгээс ялгаатай зөвхөн нэг (ямар ч) вектор юм.

Ихэвчлэн энэ зайг зориулдаг Р, түүний хэмжээ 1.

б)дурын хоёр коллинеар бус вектор
шугаман бие даасан байх ба хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман бие даасан байх болно. Аливаа векторын хувьд , тоонууд байна  Тэгээд  тиймэрхүү
. Орон зайг хоёр хэмжээст гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ Р 2 .

Хоёр хэмжээст орон зайн суурь нь дурын хоёр коллинеар бус вектороор бүрддэг.

V)Ямар ч гурван харьцуулшгүй вектор нь шугаман бие даасан байх бөгөөд тэдгээр нь гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлдэг Р 3 .

G)Хоёроос ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт орон зайн суурь болгон бид дараах гурван векторыг сонгож болно. ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 нь нэгтэй ижил олон гишүүнт). Энэ орон зайгурван хэмжээст байх болно.

Вектор(эсвэл шугаман) зай- өөр хоорондоо нэмэх, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон вектор гэж нэрлэгддэг элементүүдийн багц болох математик бүтэц - скаляр. Эдгээр үйлдлүүд нь найман аксиомд хамаарна. Скаляр нь бодит, комплекс эсвэл бусад тооны талбарын элементүүд байж болно. Ийм орон зайн онцгой тохиолдол бол ердийн гурван хэмжээст Евклидийн орон зай бөгөөд тэдгээрийн векторууд нь жишээлбэл, физик хүчийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг. Вектор орон зайн элемент болох векторыг чиглэсэн сегмент хэлбэрээр зааж өгөх албагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аливаа шинж чанартай вектор орон зайн элементэд "вектор" гэсэн ойлголтыг нэгтгэн дүгнэх нь нэр томьёо төөрөгдүүлэхээс гадна дурын шинж чанартай орон зайд хүчинтэй хэд хэдэн үр дүнг ойлгох эсвэл бүр таамаглах боломжийг олгодог.

Вектор орон зай нь шугаман алгебрийн сэдэв юм. Вектор орон зайн гол шинж чанаруудын нэг нь түүний хэмжээс юм. Хэмжээ нь орон зайн шугаман бие даасан элементүүдийн хамгийн их тоог, өөрөөр хэлбэл барзгар геометрийн тайлбарыг ашигладаг бөгөөд зөвхөн скаляраар нэмэх, үржүүлэх үйлдлээр дамжуулан бие биенээ илэрхийлэх боломжгүй чиглэлүүдийн тоог илэрхийлдэг. Вектор орон зайг нэмэлт бүтэц, жишээлбэл, норм эсвэл дотоод бүтээгдэхүүнээр хангаж болно. Ийм орон зай нь математик шинжилгээнд ихэвчлэн хязгааргүй хэмжээст функцын орон зай хэлбэрээр гарч ирдэг. (Англи), энд функцууд нь векторууд байна. Шинжилгээний олон асуудалд векторуудын дараалал өгөгдсөн вектор руу нийлж байгаа эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай. Нэмэлт бүтэцтэй вектор орон зайд ийм асуултуудыг авч үзэх боломжтой бөгөөд ихэнх тохиолдолд тохиромжтой топологи байдаг бөгөөд энэ нь ойрын болон тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Ийм топологийн векторын орон зай, тухайлбал Банач, Хилбертийн орон зай нь илүү гүнзгий судлах боломжийг олгодог.

Шугаман алгебр нь векторуудаас гадна дээд зэрэглэлийн тензоруудыг судалдаг (скалярыг 0-р зэрэглэлийн тензор, векторыг 1-р зэрэглэлийн тензор гэж үзнэ).

Вектор орон зайн тухай ойлголт гарч ирэхийг таамаглаж байсан анхны бүтээлүүд нь 17-р зуунаас эхтэй. Тэр үед л аналитик геометр, матрицын тухай сургаал, шугаман тэгшитгэлийн систем, Евклидийн векторууд хөгжиж эхэлсэн.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Шугаман, эсвэл вектор орон зай V (F) (\ displaystyle V \ зүүн (F \ баруун))талбай дээгүүр F (\displaystyle F)- энэ бол захиалгат дөрөв (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Хаана

  • V (\displaystyle V)- дурын шинж чанартай элементүүдийн хоосон бус багцыг нэрлэдэг векторууд;
  • F (\displaystyle F)- элементүүдийг нь дууддаг талбар скаляр;
  • Үйл ажиллагааг тодорхойлсон нэмэлтвекторууд V × V → V (\ Displaystyle V\ дахин V\ V хүртэл), энэ нь хос элемент бүрийг холбодог x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )багц V (\displaystyle V) V (\displaystyle V)тэднийг дуудсан хэмжээболон томилогдсон x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
  • Үйл ажиллагааг тодорхойлсон векторуудыг скаляраар үржүүлэх F × V → V (\ Displaystyle F\ дахин V\ V хүртэл), элемент бүрийг тааруулах λ (\displaystyle \lambda)талбайнууд F (\displaystyle F)болон элемент бүр x (\displaystyle \mathbf (x))багц V (\displaystyle V)багцын цорын ганц элемент V (\displaystyle V), тэмдэглэсэн λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )эсвэл λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

  Нэг элементийн багц дээр тодорхойлогдсон вектор орон зай нь өөр өөр талбарууд дээр өөр өөр вектор орон зай байх болно (жишээлбэл, бодит тооны хосуудын багц) R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))бодит тоонуудын талбар дээрх хоёр хэмжээст вектор орон зай эсвэл нэг хэмжээст - комплекс тоонуудын талбар дээр байж болно).

  Хамгийн энгийн шинж чанарууд

  1. Вектор орон зай нь нэмэхэд хамаарах Абелийн бүлэг юм.
  2. Төвийг сахисан элемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \V-д)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )хэний ч төлөө.
  4. Хэнд ч зориулав x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \V-д)эсрэг элемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \v-д)нь бүлгийн шинж чанараас гарах цорын ганц зүйл юм.
  5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )хэний ч төлөө x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \V-д).
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))ямар ч болон x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \V-д).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )хэний ч төлөө α ∈ F (\displaystyle \alpha \F-д).

  Холбогдох тодорхойлолт ба шинж чанарууд

  Дэд орон зай

  Алгебрийн тодорхойлолт: Шугаман дэд орон зайэсвэл вектор дэд орон зай- хоосон бус дэд олонлог K (\displaystyle K)шугаман орон зай V (\displaystyle V)тиймэрхүү K (\displaystyle K)-д тодорхойлсонтой харьцуулахад өөрөө шугаман орон зай юм V (\displaystyle V)скаляраар нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд. Бүх дэд орон зайн олонлогийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Дэд олонлог нь дэд орон зай байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай

  Сүүлийн хоёр мэдэгдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

  Бүх векторуудын хувьд x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K in), вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )мөн харьяалагддаг байсан K (\displaystyle K)ямар ч хувьд α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\бета \F).

  Ялангуяа зөвхөн нэг тэг вектороос бүрдэх вектор орон зай нь аливаа орон зайн дэд орон зай юм; орон зай бүр өөрийн гэсэн дэд орон зай юм. Энэ хоёртой давхцахгүй байгаа дэд орон зайг нэрлэдэг эзэмшдэгэсвэл өчүүхэн бус.

  Дэд орон зайн шинж чанарууд

  Шугаман хослолууд

  Маягтын эцсийн нийлбэр

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\альфа _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\альфа _(n)\mathbf (x) _(n))

  Шугаман хослолыг:

  Суурь. Хэмжээ

  Векторууд x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв тэдгээрийн тэгтэй тэнцэх утгагүй шугаман хослол байвал:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 , |

  Үгүй бол эдгээр векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

  α 1 | + |-аас векторууд V (\displaystyle V)дуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв зарим нь шугаман хамааралтай бол эцсийнүүний нэг хэсэг, мөн шугаман бие даасан, хэрэв байгаа бол эцсийндэд олонлог нь шугаман хамааралгүй.

  Суурийн шинж чанарууд:

  α 2 |.

  Шугаман бүрхүүл

  Шугаман бүрхүүл+ … + | α n |шугаман орон зай V (\displaystyle V)- бүх дэд орон зайн огтлолцол V (\displaystyle V)агуулсан α n |.

  Шугаман зай нь дэд орон зай юм V (\displaystyle V).

  Шугаман бүрхүүл гэж бас нэрлэдэг дэд орон зай үүсгэсэн α n |≠ 0. (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\альфа _(2)\mathbf (x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf ( x) _(n)=\mathbf (0) ,\quad \ |\alpha _(1)|+|\альфа _(2)|+\ldots +|\alpha _(n)|\neq 0.) Энэхүү тодорхойлолт нь дараахь ерөнхий дүгнэлтийг хийх боломжийг олгодог.- орон зай, сунасанолон α n |.