Тэгэх магадлал өндөр байна гэсэн үг. Магадлалын тодорхойлолт

At аливаа үйл явдал болох магадлалыг үнэлэх санамсаргүй үйл явдалБидний сонирхож буй үйл явдлын магадлал () бусад үйл явдлууд хэрхэн хөгжихөөс шалтгаалж байгаа эсэхийг урьдчилан сайн төсөөлөх нь маш чухал юм.

тохиолдолд сонгодог схем, бүх үр дүн ижил магадлалтай үед бид сонирхож буй үйл явдлын магадлалын утгыг бие даан тооцоолж болно. Үйл явдал нь хэд хэдэн цогц цуглуулга байсан ч бид үүнийг хийж чадна үндсэн үр дүн. Хэд хэдэн санамсаргүй үйл явдал нэгэн зэрэг эсвэл дараалан тохиолдвол яах вэ? Энэ нь бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлалд хэрхэн нөлөөлөх вэ?

Хэрэв би хэд хэдэн удаа шидэх юм бол шоо, мөн би "зургаа" гарч ирэхийг хүсч байна, гэхдээ би үргэлж азгүй байдаг, энэ нь магадлалын онолын дагуу би азтай болох гэж байгаа тул бооцоо нэмэгдүүлэх шаардлагатай гэсэн үг үү? Харамсалтай нь магадлалын онолд ийм зүйл байдаггүй. Ямар ч шоо, карт, зоос байхгүй санаж чадахгүй байна Тэд бидэнд юу үзүүлэв сүүлчийн удаа. Өнөөдөр би анх удаагаа эсвэл арав дахь удаагаа азаа сорьж байгаа нь тэдэнд огт хамаагүй. Би өнхрөлтийг давтах болгондоо нэг л зүйлийг мэддэг: энэ удаад зургаа авах магадлал дахин зургаагийн нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь надад хэрэгтэй дугаар хэзээ ч гарч ирэхгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь зөвхөн эхний шидэлтийн дараа болон бусад шидэлтийн дараа миний хожигдол бие даасан үйл явдал болно гэсэн үг юм.

А ба В үйл явдлуудыг дуудна бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг хэрэгжүүлэх нь өөр үйл явдлын магадлалд ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй бол. Тухайлбал, хоёр зэвсгийн эхнийх нь байг онох магадлал нь нөгөө зэвсгийн бай оносон эсэхээс хамаардаггүй тул “эхний зэвсэг бай оносон”, “хоёр дахь зэвсэг байг оносон” үйл явдлууд дараах байдалтай байна. бие даасан.

Хэрэв А ба В хоёр үйл явдал нь бие даасан бөгөөд тус бүрийн магадлал нь мэдэгдэж байвал А үзэгдэл ба В (AB гэж тэмдэглэсэн) хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг дараах теоремоор тооцоолж болно.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем

Жишээ.Эхний болон хоёр дахь буугаар буудах үед бай онох магадлал нь тэнцүү байна: p 1 =0.7;

p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол.Шийдэл:

Бидний аль хэдийн харсанчлан А (эхний буугаар цохисон) ба В (хоёр дахь буугаар цохисон) үйл явдлууд бие даасан, өөрөөр хэлбэл. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

Жишээ.Анхны үйл явдлууд бие даасан биш бол бидний тооцоолол юу болох вэ? Өмнөх жишээг бага зэрэг өөрчилье. Тэмцээний үеэр хоёр мэргэн буудагч бай руу бууддаг бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь оновчтой харвавал өрсөлдөгч нь сандарч, үр дүн нь улам дорддог. Энэ өдөр тутмын нөхцөл байдлыг хэрхэн өөрчлөх вэматематикийн асуудал түүнийг шийдвэрлэх арга замыг тоймлосон уу? Бид ямар нэгэн байдлаар хоёр сонголтыг салгах шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтойхөгжил , үндсэндээ хоёр хувилбар, хоёр үүсгэхянз бүрийн даалгавар

. Эхний тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь алдсан бол нөхцөл байдал нь мэдрэлийн тамирчдад таатай байх бөгөөд түүний нарийвчлал өндөр байх болно. Хоёр дахь тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь боломжоо ашигласан бол хоёр дахь тамирчны бай онох магадлал буурдаг. Салахын тулдболомжит хувилбарууд (тэдгээрийг ихэвчлэн таамаглал гэж нэрлэдэг) үйл явдлыг хөгжүүлэхийн тулд бид "магадлалын мод" диаграммыг ихэвчлэн ашигладаг.Энэ диаграм нь таны аль хэдийн харьцаж байсан шийдвэрийн модтой төстэй юм. Салбар бүр нь үйл явдлын хөгжлийн тусдаа хувилбарыг төлөөлдөг бөгөөд одоо л ийм байна хувийн утгагэж нэрлэгддэг

нөхцөлт

магадлал (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Энэ схем нь дараалсан санамсаргүй үйл явдлыг шинжлэхэд маш тохиромжтой. Магадлалын анхны утгууд хаана байдаг вэ гэсэн өөр нэг чухал асуултыг тодруулах шаардлагатай байна

Жишээ.бодит нөхцөл байдал ? Эцсийн эцэст магадлалын онол зөвхөн зоос, шоо дээр ажилладаггүй гэж үү? Ихэвчлэн эдгээр тооцоог статистик мэдээллээс авдаг бөгөөд статистик мэдээлэл байхгүй үед бид өөрсдөө судалгаа хийдэг. Мөн бид үүнийг ихэвчлэн өгөгдөл цуглуулахаас биш, харин бидэнд ямар мэдээлэл хэрэгтэй вэ гэсэн асуултаас эхлэх хэрэгтэй болдог.

Зуун мянган оршин суугчтай хотод зайлшгүй шаардлагатай бүтээгдэхүүн биш, жишээлбэл, будсан үс арчилгааны гавар гэх мэт шинэ бүтээгдэхүүний зах зээлийн хэмжээг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё. "Магадлалын мод" диаграммыг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид "салбар" бүрийн магадлалын утгыг ойролцоогоор тооцоолох хэрэгтэй.

Тиймээс, бидний зах зээлийн багтаамжийн тооцоо:

3) тэдгээрийн зөвхөн 10% нь будсан үсэнд зориулсан бальзам хэрэглэдэг.

4) тэдний зөвхөн 10% нь шинэ бүтээгдэхүүн туршиж үзэх зоригийг гаргаж чаддаг.

5) Тэдний 70% нь ихэвчлэн бүх зүйлийг биднээс биш, харин өрсөлдөгчдөөсөө худалдаж авдаг.

p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол.Магадлалыг үржүүлэх хуулийн дагуу бид сонирхож буй үйл явдлын магадлалыг A = (хотын оршин суугч биднээс энэ шинэ бальзамыг худалдаж авдаг) = 0.00045 гэж тодорхойлдог.

Энэ магадлалын утгыг хотын оршин суугчдын тоогоор үржүүлье. Үүний үр дүнд манайд 45 боломжит худалдан авагч байгаа бөгөөд энэ бүтээгдэхүүний нэг шил хэдэн сарын турш хадгалагддагийг бодоход худалдаа тийм ч идэвхтэй биш байна.

Гэсэн хэдий ч бидний үнэлгээний үр ашиг бий.

Нэгдүгээрт, бид янз бүрийн бизнесийн санаануудын таамаглалыг харьцуулж болно, тэдгээр нь диаграммд өөр өөр "салаа" байх бөгөөд мэдээжийн хэрэг, магадлалын утга нь өөр байх болно.

Хоёрдугаарт, бид аль хэдийн хэлсэнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй гэж нэрлэдэггүй, учир нь энэ нь юунаас ч хамаардаггүй. Зүгээр л тэр ягутгыг нь урьдчилж мэддэггүй. Худалдан авагчдын дундаж тоог нэмэгдүүлэх боломжтой гэдгийг бид мэднэ (жишээлбэл, шинэ бүтээгдэхүүнийг сурталчлах замаар). Тиймээс магадлалын хуваарилалт нь бидэнд тохирохгүй байгаа "салаа" дээр, бидний нөлөөлж чадах хүчин зүйлүүд дээр хүчин чармайлтаа төвлөрүүлэх нь утга учиртай юм.

Дахиад нэгийг харцгаая тоон жишээхудалдан авах зан үйлийн талаархи судалгаа.

Жишээ.Хүнсний захаар өдөрт дунджаар 10 мянган хүн үйлчлүүлдэг. Захын зочин павильон руу орох магадлал сүүн бүтээгдэхүүн, 1/2-тай тэнцүү байна.

Энэ асарт өдөрт дунджаар 500 кг төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн худалдаалдаг нь мэдэгдэж байна.

Павильон дахь дундаж худалдан авалт ердөө 100 гр жинтэй гэж хэлж болох уу?Хэлэлцүүлэг.

Мэдээж үгүй. Павильонд орсон хүн бүр тэндээс юм худалдаж аваагүй нь ойлгомжтой. Диаграммд үзүүлснээр худалдан авалтын дундаж жингийн талаархи асуултанд хариулахын тулд бид юу вэ гэсэн асуултын хариултыг олох ёстой.магадлал

асарт орж байгаа хүн тэндээс юм худалдаж авна гэж. Хэрэв бидэнд ийм мэдээлэл байхгүй, гэхдээ бидэнд хэрэгтэй бол павильонд ирсэн зочдыг хэсэг хугацаанд ажиглаж байж өөрсдөө олж авах хэрэгтэй болно. Бидний ажиглалтаар павильонд зочилсон хүмүүсийн тавны нэг нь л юм худалдаж авдаг гэж бодъё. Эдгээр тооцооллыг олж авсны дараа даалгавар хялбар болно. Зах зээлд 10 мянган хүн ирэхээс 5000 нь сүүн бүтээгдэхүүний павильон руу явна;Дундаж жин худалдан авалт нь 500 граммтай тэнцэнэ. барих нь сонирхолтой юмтохиолдож байгаа бол нөхцөлт "салбарлах" логик нь бидний үндэслэлийн үе шат бүрт магадлалаар биш харин "тодорхой" нөхцөл байдалд ажиллаж байгаа мэт тодорхой тодорхойлогдох ёстой.

Өөрийгөө шалгах даалгавар

1. Байг цахилгаан хэлхээ, тус бүр нь бусдаас хамааралгүй ажилладаг n цуврал холбогдсон элементээс бүрддэг.

Элемент бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал p нь мэдэгдэж байна. Хэлхээний бүх хэсгийн зөв ажиллах магадлалыг тодорхойл (А үйл явдал).

2. Оюутан 25-аас 20-ийг мэддэг шалгалтын асуултууд. Шалгуулагчийн өгсөн гурван асуултыг сурагч мэдэх магадлалыг ол.

3. Үйлдвэрлэл нь дараалсан дөрвөн үе шатаас бүрдэх ба эдгээр үе шат бүрт тоног төхөөрөмж ажилладаг бөгөөд дараагийн сард эвдрэх магадлал нь p 1, p 2, p 3 ба p 4-тэй тэнцүү байна. Сарын дотор тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс болж үйлдвэрлэл зогсохгүй байх магадлалыг ол.

онтологийн категори нь ямар ч нөхцөлд аливаа аж ахуйн нэгж үүсэх боломжийн цар хүрээг илэрхийлдэг. Энэхүү үзэл баримтлалын математик, логик тайлбараас ялгаатай нь онтологийн математик нь тоон илэрхийллийн үүрэг хариуцлагатай холбоогүй юм. V.-ийн утга нь детерминизм ба хөгжлийн мөн чанарыг ерөнхийд нь ойлгох хүрээнд илэрдэг.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

МАГАДЛАЛ

хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон ойлголт. тодорхой үед тодорхой үйл явдал тохиолдох боломжийн хэмжүүр нөхцөл. Шинжлэх ухаанд танин мэдэхүйд В-ийн гурван тайлбар байдаг. Сонгодог ойлголтМатематикаас үүссэн В. шинжилгээ мөрийтэй тоглоомБ.Паскаль, Ж.Бернулли, П.Лаплас нарын хамгийн бүрэн гүйцэд боловсруулсан нь В.-г таатай тохиолдлуудын тоонд харьцуулсан харьцаа гэж үздэг. нийт тообүгд адилхан боломжтой. Жишээлбэл, 6 талтай шоо шидэх үед аль нэг тал нь нөгөөгөөсөө давуу талгүй тул тус бүр нь 1/6-ийн үнэ цэнээр бууна гэж найдаж болно. Туршилтын үр дүнгийн ийм тэгш хэмийг тоглоом зохион байгуулахдаа онцгойлон авч үздэг боловч шинжлэх ухаан, практикт объектив үйл явдлыг судлахад харьцангуй ховор байдаг. Сонгодог В.-ийн тайлбар нь статистикт байр сууриа тавьж өгсөн. V.-ийн үзэл баримтлал нь бодит байдалд тулгуурладаг тодорхой үйл явдал болж байгааг удаан хугацааны туршид ажиглах. нарийн тогтсон нөхцөлд туршлага. Үйл явдал илүү олон удаа тохиолдох тусам практик нь батлагддаг илүү зэрэг объектив боломжтүүний гадаад төрх, эсвэл B. Тиймээс статистик. В.-ийн тайлбар нь харилцаа холбоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг. туршилтаар тодорхойлж болох давтамж. V. онолын хувьд Энэ ойлголт нь эмпирикээр тодорхойлсон давтамжтай хэзээ ч давхцдаггүй, гэхдээ олон тоогоор. Зарим тохиолдолд энэ нь харьцангуй бага ялгаатай байдаг. үргэлжлэх хугацааны үр дүнд олдсон давтамж. ажиглалт. Олон статистикчид V.-г "давхар" гэж үздэг. давтамж, ирмэгийг статистик байдлаар тодорхойлдог. ажиглалтын үр дүнг судлах

эсвэл туршилтууд. Хязгаартай холбоотой V.-ийн тодорхойлолт нь бодитой бус байсан. давтамжууд олон нийтийн үйл явдал, эсвэл R. Mises-ийн санал болгосон нэгдэл. гэх мэт цаашдын хөгжил V.-ийн давтамжийн хандлага нь V.-ийн чиг хандлагатай, эсвэл хандлагатай тайлбарыг дэвшүүлдэг (К. Поппер, Ж. Хакинг, М. Бунге, Т. Сетл). Энэхүү тайлбарын дагуу V. нь жишээлбэл, нөхцөлийг бий болгох шинж чанарыг тодорхойлдог. туршилт. их хэмжээний санамсаргүй үйл явдлын дарааллыг олж авах суурилуулалт. Яг энэ хандлага нь бие махбодийг бий болгодог хамаатан садан ашиглан шалгаж болох зан чанар, эсвэл урьдач байдал, V. давтамж

Статистик V.-ийн тайлбар нь шинжлэх ухааны судалгаанд давамгайлж байна. танин мэдэхүй, учир нь энэ нь тодорхой тусгасан байдаг. санамсаргүй шинж чанартай массын үзэгдлүүдэд хамаарах хэв маягийн мөн чанар. Физик, биологи, эдийн засаг, хүн ам зүйн олон зүйлд. гэх мэт. нийгмийн үйл явцтогтвортой давтамжаар тодорхойлогддог олон санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөг харгалзан үзэх шаардлагатай. Эдгээр тогтвортой давтамж, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох. V.-ийн тусламжтайгаар түүний үнэлгээ нь олон ослын хуримтлагдсан үйлдлийг даван туулах хэрэгцээг илрүүлэх боломжийг олгодог. Энд л тохиолдлыг хэрэгцээ болгон хувиргах диалектик өөрийн илрэлээ олдог (Ф. Энгельс, номонд: К. Маркс ба Ф. Энгельс, бүтээлүүд, 20-р боть, 535-36-р хуудсыг үзнэ үү).

Логик буюу индуктив үндэслэл нь нотлох бус, ялангуяа индуктив үндэслэлийн байр суурь ба дүгнэлтийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Дедукцаас ялгаатай нь индукцийн байрууд нь дүгнэлтийн үнэнийг баталгаажуулдаггүй, харин үүнийг илүү эсвэл бага үнэмшилтэй болгодог. Нарийн томъёолсон байртай энэхүү үнэмшилтэй байдлыг заримдаа V ашиглан үнэлж болно. Энэ V.-ийн утгыг ихэвчлэн харьцуулах замаар тодорхойлдог. ойлголтууд (илүү, бага, тэнцүү), заримдаа тоон хэлбэрээр. Логик Тайлбарыг ихэвчлэн индуктив үндэслэлийг шинжлэх, бүтээхэд ашигладаг янз бүрийн системүүдмагадлалын логик (Р. Карнап, Р. Жеффри). Семантик дээр логик ойлголтууд V. нь ихэвчлэн нэг мэдэгдлийг бусад хүмүүс (жишээлбэл, эмпирик мэдээллээр таамаглал) баталж байгаа зэрэг гэж тодорхойлдог.

Шийдвэр гаргах, тоглоомын онолыг хөгжүүлэхтэй холбогдуулан гэж нэрлэгддэг V.-ийн хувь хүний ​​тайлбар хэдий ч V. нь тухайн субьектийн итгэл үнэмшил, тодорхой үйл явдал тохиолдох зэргийг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг ч V.-ийг V.-ийн тооцооллын аксиомуудыг хангасан байдлаар сонгох ёстой. Тиймээс, V. ийм тайлбар нь субъектив бус харин үндэслэлтэй итгэлийн түвшинг илэрхийлдэг. Иймээс ийм V.-ийн үндсэн дээр гаргасан шийдвэрүүд нь сэтгэлзүйн хүчин зүйлийг харгалзан үздэггүй тул оновчтой байх болно. сэдвийн шинж чанар, хандлага.

Эпистемологийн хамт t.zr. статистик, логик хоорондын ялгаа. V.-ийн хувь хүний ​​тайлбар нь хэрэв эхнийх нь санамсаргүй шинж чанартай масс үзэгдлийн объектив шинж чанар, харилцаа холбоог тодорхойлдог бол сүүлийн хоёр нь субъектив, танин мэдэхүйн шинж чанарыг шинжилдэг. тодорхойгүй нөхцөлд хүний ​​үйл ажиллагаа.

МАГАДЛАЛ

нэг хамгийн чухал ойлголтуудшинжлэх ухаан нь ертөнц, түүний бүтэц, хувьсал, мэдлэгийн талаархи тусгай системийн алсын харааг тодорхойлдог. Дэлхий ертөнцийг үзэх магадлалын онцлог нь тоонд оруулах замаар илэрдэг үндсэн ойлголтуудсанамсаргүй байдал, бие даасан байдал, шатлалын тухай ойлголтууд (системийн бүтэц, тодорхойлох түвшний санаанууд).

Магадлалын тухай санаанууд эрт дээр үеэс үүссэн бөгөөд бидний мэдлэгийн онцлогтой холбоотой байсан бол найдвартай мэдлэг, худал мэдлэгээс ялгаатай магадлалын мэдлэг байгааг хүлээн зөвшөөрсөн. Магадлалын санааны нөлөө шинжлэх ухааны сэтгэлгээ, танин мэдэхүйн хөгжил нь математикийн шинжлэх ухаан болох магадлалын онолыг хөгжүүлэхтэй шууд холбоотой. Магадлалын тухай математикийн сургаалын гарал үүсэл нь 17-р зуунаас эхтэй бөгөөд энэ нь боломжит ойлголтуудын цөмийг бий болгосон үе юм. тоон (тоон) шинж чанар, магадлалын санааг илэрхийлэх.

Танин мэдэхүйн хөгжлийн магадлалыг эрчимтэй ашиглах нь 2-р хагаст тохиолддог. 19 - 1 давхар 20-р зуун Ийм бүтцэд орсон магадлал суурь шинжлэх ухаансонгодог статистик физик, генетик гэх мэт байгалийн тухай квант онол, кибернетик (мэдээллийн онол). Үүний дагуу магадлал нь шинжлэх ухааны хөгжлийн тэр үе шатыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь одоо гэж тодорхойлогддог сонгодог бус шинжлэх ухаан. Магадлалын сэтгэлгээний шинэлэг байдал, онцлогийг илчлэхийн тулд магадлалын онолын сэдэв, түүний олон тооны хэрэглээний үндэс суурийг задлан шинжлэх шаардлагатай. Магадлалын онолыг ихэвчлэн массын зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар гэж тодорхойлдог санамсаргүй үзэгдэлтодорхой нөхцөлд. Санамсаргүй байдал гэдэг нь массын шинж чанарын хүрээнд энгийн үзэгдэл бүрийн оршин тогтнох нь бусад үзэгдлүүдийн оршин тогтнохоос хамаардаггүй бөгөөд тодорхойлогддоггүй гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ үзэгдлийн массын шинж чанар нь өөрөө тогтвортой бүтэцтэй бөгөөд тодорхой зүй тогтлыг агуулдаг. Массын үзэгдэл нь дэд системд нэлээд хатуу хуваагддаг ба дэд систем тус бүрийн энгийн үзэгдлийн харьцангуй тоо ( харьцангуй давтамж) маш тогтвортой байна. Энэ тогтвортой байдлыг магадлалтай харьцуулдаг. Массын үзэгдэл бүхэлдээ магадлалын тархалтаар тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл дэд системүүд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгдөг. Магадлалын онолын хэл нь хэл юм магадлалын хуваарилалт. Үүний дагуу магадлалын онолыг тархалттай ажиллах хийсвэр шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог.

Магадлал нь шинжлэх ухаанд статистикийн хэв маяг, статистикийн тогтолцооны талаархи санааг бий болгосон. Сүүлчийн мөн чанарбие даасан эсвэл бараг бие даасан байгууллагуудаас бүрдсэн системүүд, тэдгээрийн бүтэц нь магадлалын тархалтаар тодорхойлогддог. Гэхдээ бие даасан байгууллагуудаас системийг хэрхэн бүрдүүлэх боломжтой вэ? Интеграл шинж чанартай системийг бий болгохын тулд системийг цементлэх элементүүдийн хооронд хангалттай тогтвортой холболт байх шаардлагатай гэж ихэвчлэн үздэг. Статистикийн системийн тогтвортой байдал нь гадаад нөхцөл байдал, гадаад орчин, гадаад, үгүй дотоод хүч. Магадлалын тодорхойлолт нь үргэлж анхны массын үзэгдэл үүсэх нөхцөлийг тогтооход суурилдаг. Магадлалын парадигмыг тодорхойлсон өөр нэг чухал санаа бол шатлал (дагадал) гэсэн санаа юм. Энэ санаа нь шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг бие даасан элементүүдТэгээд цогц шинж чанаруудсистемүүд: сүүлийнх нь эхнийх нь дээр баригдсан юм шиг санагддаг.

Танин мэдэхүйд магадлалын аргуудын ач холбогдол нь шаталсан, "хоёр түвшний" бүтэцтэй объект, системийн бүтэц, зан үйлийн хэв маягийг судлах, онолын хувьд илэрхийлэх боломжийг олгодогт оршино.

Магадлалын мөн чанарын шинжилгээ нь түүний давтамж, статистик тайлбар дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ, маш урт хугацааШинжлэх ухаанд магадлалын тухай ийм ойлголт давамгайлж байсан бөгөөд үүнийг логик буюу индуктив магадлал гэж нэрлэдэг байв. Логик магадлал нь тодорхой нөхцөлд тусдаа, бие даасан дүгнэлтийн хүчинтэй байдлын асуултуудыг сонирхож байна. Индуктив дүгнэлт (таамаглалын дүгнэлт) -ийн баталгааны түвшинг (найдвартай, үнэн) үнэлэх боломжтой юу? тоон хэлбэр? Магадлалын онолыг боловсруулах явцад ийм асуултууд олон удаа яригдаж, таамаглалын дүгнэлтийг батлах түвшний талаар ярьж эхлэв. Энэ магадлалын хэмжигдэхүүнийг байгаа боломжоор тодорхойлно энэ хүнмэдээлэл, түүний туршлага, ертөнцийг үзэх үзэл, сэтгэл зүйн сэтгэлгээ. Бүгдээрээ ижил төстэй тохиолдлуудМагадлалын хэмжээ нь хатуу хэмжилт хийх боломжгүй бөгөөд тууштай математикийн шинжлэх ухааны хувьд магадлалын онолын чадвараас гадуур байдаг.

Магадлалын объектив, давтамжтай тайлбар нь шинжлэх ухаанд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгарсан. Эхэндээ магадлалын мөн чанарыг ойлгоход сонгодог шинжлэх ухааны онцлог шинж чанартай философи, арга зүйн үзэл бодол хүчтэй нөлөөлсөн. Түүхийн хувьд физикийн магадлалын аргуудыг хөгжүүлэх нь механикийн санаа бодлыг тодорхойлох нөлөөн дор явагдсан: статистикийн системүүдзүгээр л механик гэж тайлбарласан. Холбогдох асуудлууд шийдэгдээгүй тул хатуу аргуудмеханик, дараа нь магадлалын арга, статистик хуулиуд руу шилжих нь бидний мэдлэгийн бүрэн бус байдлын үр дүн юм гэсэн нотолгоо гарч ирэв. Сонгодог урлагийн хөгжлийн түүхэнд статистик физикҮндэслэл дээр үндэслэн батлах гэж олон удаа оролдсон сонгодог механикГэсэн хэдий ч тэд бүгд амжилтгүй болсон. Магадлалын үндэс нь механик системээс бусад системийн тодорхой ангиллын бүтцийн онцлогийг илэрхийлдэгт оршино: эдгээр системийн элементүүдийн төлөв байдал нь тогтворгүй байдал, харилцан үйлчлэлийн онцгой (механикийн хувьд буурдаггүй) шинж чанартай байдаг.

Мэдлэгт магадлалыг оруулах нь хатуу детерминизмын үзэл баримтлалыг үгүйсгэж, сонгодог шинжлэх ухаан үүсэх явцад бий болсон оршихуйн үндсэн загвар, мэдлэгийг үгүйсгэхэд хүргэдэг. Үндсэн загварууд, статистикийн онолоор илэрхийлэгдсэн, өөр, илүү байна ерөнхий шинж чанар: Эдгээрт санамсаргүй байдал, бие даасан байдлын санаанууд багтана. Магадлалын санаа нь объект, системийн дотоод динамикийг задлахтай холбоотой бөгөөд үүнийг бүрэн тодорхойлох боломжгүй юм. гадаад нөхцөлболон нөхцөл байдал.

Тусгаар тогтнолын талаарх үзэл санааг үнэмлэхүй болгоход үндэслэсэн ертөнцийн магадлалын үзэл баримтлал (хатуу шийдлийн парадигмын өмнөх шиг) одоо түүний хязгаарлалтыг илчилсэн бөгөөд энэ нь шилжилтийн явцад хамгийн хүчтэй нөлөөлдөг. орчин үеийн шинжлэх ухаанруу аналитик аргуудцогц систем, өөрийгөө зохион байгуулах үзэгдлийн физик, математикийн үндэс суурийг судлах.

Маш сайн тодорхойлолт

Бүрэн бус тодорхойлолт ↓

магадлал- санамсаргүй үйл явдал тохиолдох магадлалыг илэрхийлдэг 0-ээс 1 хүртэлх тоо, энд 0 байна бүрэн байхгүйүйл явдал болох магадлал, 1 нь тухайн үйл явдал гарцаагүй тохиолдох болно гэсэн үг.

Е үйл явдлын магадлал нь 1-ээс 1 хүртэлх тоо юм.
Бие биенээ үгүйсгэсэн үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

эмпирик магадлал- түүхэн өгөгдлийн шинжилгээнээс гаргаж авсан өнгөрсөн үйл явдлын харьцангуй давтамжаар тооцогдох магадлал.

Маш ховор тохиолдлын магадлалыг эмпирик байдлаар тооцоолох боломжгүй.

субъектив магадлал- хувь хүн дээр суурилсан магадлал субъектив үнэлгээтүүхэн өгөгдөлд хамаарахгүйгээр үйл явдал. Хувьцаа худалдах, худалдах талаар шийдвэр гаргадаг хөрөнгө оруулагчид ихэвчлэн субъектив магадлалыг харгалзан үздэг.

өмнөх магадлал -

Магадлалын үзэл баримтлалаар үйл явдал тохиолдох магадлал 1 ин... (тохиолдол). Үйл явдал болох магадлалыг магадлалаар дараах байдлаар илэрхийлнэ: P/(1-P).

Жишээлбэл, хэрэв үйл явдлын магадлал 0.5 бол үйл явдлын магадлал 2-оос 1 байна. 0.5/(1-0.5).

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалыг (1-P)/P томъёогоор тооцоолно

Тохиромжгүй магадлал- жишээлбэл, А компанийн хувьцааны үнэ 85% -ийг харгалзан үздэг. боломжтой үйл явдал E, мөн B компанийн хувьцааны үнэд ердөө 50%. Үүнийг үл нийцэх магадлал гэж нэрлэдэг. Нидерландын бооцооны теоремийн дагуу тогтворгүй магадлал нь ашиг олох боломжийг бий болгодог.

Нөхцөлгүй магадлал"Үйл явдал болох магадлал хэд вэ?" Гэсэн асуултын хариулт юм.

Нөхцөлт магадлал - Энэ бол "Б үйл явдал тохиолдвол А үйл явдлын магадлал хэд вэ" гэсэн асуултын хариулт юм. Нөхцөлт магадлалыг P(A|B) гэж тэмдэглэнэ.

Хамтарсан магадлал- А ба В үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал. P(AB) гэж тэмдэглэнэ.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Магадлалыг нэгтгэн дүгнэх дүрэм:

А эсвэл В үйл явдал тохиолдох магадлал

P (A эсвэл B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие биенээ үгүйсгэдэг бол

P (A эсвэл B) = P(A) + P(B)

Бие даасан үйл явдлууд - А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Өөрөөр хэлбэл, энэ нь магадлалын утга нь нэг үйл явдлаас нөгөө үйл явдал хүртэл тогтмол байх үр дүнгийн дараалал юм.
Зоос шидэх нь ийм үйл явдлын жишээ юм - дараагийн шидэх бүрийн үр дүн нь өмнөх үйл явдлын үр дүнгээс хамаардаггүй.

Хамааралтай үйл явдлууд - эдгээр нь нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө нь тохиолдох магадлалаас хамаардаг үйл явдлууд юм.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм:
Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Нийт магадлалын дүрэм:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S ба S" нь бие биенээ үгүйсгэдэг үйл явдлууд юм

хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит үр дүнгийн дундаж юм санамсаргүй хувьсагч. X үйл явдлын хувьд хүлээлтийг E(X) гэж тэмдэглэнэ.

Бидэнд тодорхой магадлал бүхий бие биенээсээ үл хамаарах үйл явдлын 5 утга байна гэж бодъё (жишээлбэл, компанийн орлого ийм магадлалтай байсан). Хүлээгдэж буй утга нь бүх үр дүнгийн нийлбэрийг тэдгээрийн магадлалаар үржүүлсэн байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлтээс квадрат хазайх хүлээлт юм.

s 2 = E( 2 ) (6)

Нөхцөлт хүлээгдэж буй утга нь S үйл явдал аль хэдийн болсон тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хүлээгдэж буй утга юм.

Магадлалүйл явдлыг эерэг үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг энэ үйл явдал, энэ үйл явдал тохиолдож болох туршлагын ижил тэнцүү боломжтой үр дүнгийн тоо хүртэл. А үйл явдлын магадлалыг P(A) гэж тэмдэглэв (энд P нь эхний үсэг юм Франц үг probabilite - магадлал). Тодорхойлолтын дагуу
(1.2.1)
А үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; - туршилтын бүх адил боломжтой анхан шатны үр дүнгийн тоо, бүрдүүлэх бүтэн бүлэгүйл явдал.
Магадлалын энэ тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг. Энэ нь үүссэн эхний шатмагадлалын онолын хөгжил.

Үйл явдлын магадлал нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Магадлал найдвартай үйл явдалнэгтэй тэнцүү. Найдвартай үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс тодорхой үйл явдлын хувьд
(1.2.2)
2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна. Боломжгүй үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс боломжгүй үйл явдлын хувьд
(1.2.3)
3. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг илэрхийлнэ эерэг тоо, нэгээс бага. Санамсаргүй тохиолдлын хувьд , эсвэл , тэгш бус байдал хангагдсан тул
(1.2.4)
4. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг
(1.2.5)
Энэ нь (1.2.2) - (1.2.4) харилцаанаас үүсдэг.

Жишээ 1.Нэг саванд ижил хэмжээтэй, жинтэй 10 бөмбөг байх ба үүнээс 4 нь улаан, 6 нь цэнхэр байна. Нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Тассан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Бид "зурсан бөмбөг цэнхэр болсон" үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэж байна. Энэ тест нь адил боломжтой 10 энгийн үр дүнтэй бөгөөд үүнээс 6 нь А үйл явдалд таатай байна. (1.2.1) томъёоны дагуу бид олж авна.

Жишээ 2. 1-ээс 30 хүртэлх бүх натурал тоог ижил картууд дээр бичиж, саванд хийнэ. Картуудыг сайтар хольсны дараа нэг картыг савнаас гаргаж авдаг. Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.“Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр” гэсэн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Энэ тестэнд 30 ижил боломжтой энгийн үр дүн байгаа бөгөөд үүнээс 6 үр дүн (5, 10, 15, 20, 25, 30 тоо) А үйл явдлыг илүүд үздэг. Тиймээс,

Жишээ 3.Хоёр шоо шидэж, нийт оноог тооцдог. дээд нүүрүүд. Шооны дээд тал нь нийт 9 оноотой байх В үйл явдлын магадлалыг ол.

Шийдэл.Энэ тестэнд зөвхөн 6 2 = 36 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг. (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) гэсэн 4 үр дүн нь В үйл явдалд таатай байна.

Жишээ 4. Санамсаргүй байдлаар сонгосон натурал тоо, 10-аас ихгүй байна. Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл."Сонгосон тоо анхны" үйл явдлыг С үсгээр тэмдэглэе. IN энэ тохиолдолд n = 10, м = 4 ( анхны тоонууд 2, 3, 5, 7). Тиймээс шаардлагатай магадлал

Жишээ 5.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шидсэн байна. Хоёр зоосны дээд талд тоо байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.“Зоос бүрийн дээд талд тоо байгаа” үйл явдлыг D үсгээр тэмдэглэе. Энэ тестэнд 4 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Тэмдэглэгээ (G, C) нь эхний зоос нь төрийн сүлдтэй, хоёр дахь нь дугаартай гэсэн үг юм). D үйл явдлыг нэг үндсэн үр дүн (C, C) илүүд үздэг. m = 1, n = 4 тул

Жишээ 6.Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо ижил цифртэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хоёр оронтой тоо 10-аас 99 хүртэлх тоонууд; Нийт 90 ийм тоо байдаг 9 тоо нь ижил оронтой (эдгээр нь 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Энэ тохиолдолд m = 9, n = 90, тэгвэл
,
Энд A нь "ижил оронтой тоо" үйл явдал юм.

Жишээ 7.Үгийн үсгүүдээс дифференциалНэг үсэг санамсаргүй байдлаар сонгогддог. Энэ үсэг нь: а) эгшиг, б) гийгүүлэгч, в) үсэг байх магадлал хэд вэ? h?

Шийдэл. Дифференциал гэдэг үг нь 12 үсэгтэй ба үүнээс 5 нь эгшиг, 7 нь гийгүүлэгч. Захидал hэнэ үгэнд байхгүй. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "эгшиг үсэг", B - "гийгүүлэгч үсэг", C - "үсэг" h". Тааламжтай энгийн үр дүнгийн тоо: - А үйл явдлын хувьд, - В үйл явдлын хувьд, - С үйл явдлын хувьд. n = 12 тул
, Мөн .

Жишээ 8.Хоёр шоо шидэж, шоо бүрийн дээд талд байгаа онооны тоог тэмдэглэнэ. Шооо хоёулаа өнхрөх магадлалыг ол ижил тоооноо.

Шийдэл.Энэ үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэе. А үйл явдал 6 үндсэн үр дүнгээр давуу тал болно: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлдэг адил боломжтой энгийн үр дүнгийн нийт тоо, энэ тохиолдолд n=6 2 =36. Энэ нь шаардлагатай магадлал гэсэн үг юм

Жишээ 9.Уг ном 300 хуудастай. Санамсаргүй байдлаар нээгдсэн хуудас байх магадлал хэд вэ серийн дугаар, 5-ын олон?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой бүх энгийн үр дүн нь n = 300 байх болно. Эдгээрээс m = 60 нь заасан үйл явдал тохиолдохыг дэмждэг. Үнэн хэрэгтээ 5-ын үржвэр тоо нь 5k хэлбэртэй байх ба энд k нь натурал тоо, эндээс . . Тиймээс,
, энд A - "хуудас" үйл явдал нь 5"-ын үржвэрийн дарааллын дугаартай байна.

Жишээ 10. Хоёр шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 7 эсвэл 8-ыг авах магадлал юу вэ?

Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "7 оноо өнхрүүлэв", B - "8 оноо өнхрүүлэв". (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (6; 1) гэсэн 6 үндсэн үр дүн нь А үйл явдалд давуу тал болно. 5 үр дүнгээр: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Бүх адил боломжтой энгийн үр дүн нь n = 6 2 = 36. Энэ нь гэсэн үг Мөн .

Тэгэхээр P(A)>P(B), өөрөөр хэлбэл нийт 7 оноо авах нь нийт 8 оноо авахаас илүү магадлалтай үйл явдал юм.

Даалгаврууд

1. 30-аас ихгүй натурал тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон бөгөөд энэ тоо 3-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
2. Уурхайн саванд аулаан ба бхэмжээ, жин нь ижил цэнхэр бөмбөг. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар гаргасан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
3. 30-аас ихгүй тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо 30-д хуваагч байх магадлал хэд вэ?
4. Уурхайн саванд Ацэнхэр ба бхэмжээ, жингийн хувьд ижил улаан бөмбөг. Энэ савнаас нэг бөмбөгийг аваад хажуу тийш нь тавина. Энэ бөмбөг улаан өнгөтэй болсон. Үүний дараа савнаас өөр бөмбөг гаргана. Хоёр дахь бөмбөг бас улаан байх магадлалыг ол.
5. 50-аас хэтрэхгүй улсын тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.
6. Гурван шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 9 эсвэл 10 оноо авах магадлал илүү юу вэ?
7. Гурван шоо шидэж, өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийг гаргана. Нийт 11 (А үйл явдал) эсвэл 12 оноо (B үйл явдал) авах магадлал юу вэ?

Хариултууд

1. 1/3. 2 . б/(а+б). 3 . 0,2. 4 . (б-1)/(а+б-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - нийт 9 оноо авах магадлал; p 2 = 27/216 - нийт 10 оноо авах магадлал; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Асуултууд

1. Үйл явдлын магадлалыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ?
3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал хэд вэ?
4. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
5. Аливаа үйл явдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
6. Магадлалын ямар тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг вэ?

Зоос шидэх үед бид үүнийг толгой дээр нь газардах болно гэж хэлж болно, эсвэл магадлал энэ нь 1/2. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зоосыг 10 удаа шидэхэд заавал 5 удаа толгой дээр бууна гэсэн үг биш юм. Хэрэв зоос "шударга" бөгөөд хэрэв олон удаа шидсэн бол толгойнууд хагас цагаар маш ойрхон газардах болно. Тиймээс хоёр төрлийн магадлал байдаг: туршилтын Тэгээд онолын .

Туршилтын болон онолын магадлал

Хэрэв та зоос шидвэл их тооудаа - 1000 гэж хэлэх - мөн хэдэн удаа толгойгоор буухыг тоолоход бид түүний толгойгоор буух магадлалыг тодорхойлж чадна. Хэрэв толгойг 503 удаа шидсэн бол буух магадлалыг тооцоолж болно.
503/1000 буюу 0.503.

Энэ туршилтын магадлалыг тодорхойлох. Магадлалын энэхүү тодорхойлолт нь өгөгдлийг ажиглах, судлахаас үүдэлтэй бөгөөд нэлээд түгээмэл бөгөөд маш хэрэгтэй зүйл юм. Жишээлбэл, туршилтаар тодорхойлсон зарим магадлалууд энд байна:

1. Эмэгтэй хүн хөхний хорт хавдар тусах магадлал 1/11 байна.

2. Хэрэв та ханиад хүрсэн хүнийг үнсвэл ханиад хүрэх магадлал 0.07 байна.

3. Шоронгоос дөнгөж суллагдсан хүн шорондоо эргэн орох магадлал 80% байдаг.

Хэрэв бид зоос шидэж, энэ нь толгой эсвэл сүүлээр гарч ирэх магадлалыг харгалзан үзвэл толгой гарах магадлалыг тооцоолж болно: 1/2 онолын тодорхойлолтмагадлал. Математик ашиглан онолын хувьд тодорхойлсон бусад магадлалыг энд оруулав.

1. Нэг өрөөнд 30 хүн байгаа бол хоёрынх нь төрсөн он сар өдөртэй байх магадлал (оныг эс тооцвол) 0.706 байна.

2. Аялалын үеэр та хэн нэгэнтэй танилцаж, харилцан ярианы явцад харилцан найзтай гэдгээ олж мэдсэн. Ердийн хариу үйлдэл: "Энэ байж болохгүй!" Үнэн хэрэгтээ энэ хэллэг тохиромжгүй, учир нь ийм үйл явдлын магадлал нэлээд өндөр байдаг - ердөө 22%.

Тиймээс туршилтын магадлалыг ажиглалт, мэдээлэл цуглуулах замаар тодорхойлдог. Онолын магадлалыг математик үндэслэлээр тодорхойлно. Туршилтын болон онолын магадлалын жишээнүүд, тухайлбал дээр дурьдсан, ялангуяа бидний төсөөлөөгүй зүйлүүд нь магадлалыг судлахын ач холбогдлыг бидэнд хүргэдэг. Та "Бодит магадлал гэж юу вэ?" гэж асууж магадгүй. Яг үнэндээ тийм юм байхгүй. Магадлалыг туршилтаар тодорхойлох боломжтой тодорхой хязгаар дотор. Тэдгээр нь бидний онолын хувьд олж авсан магадлалтай давхцаж болно, эсвэл таарахгүй байж болно. Нэг төрлийн магадлалыг тодорхойлох нь нөгөөгөөсөө хамаагүй хялбар байдаг нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, онолын магадлалыг ашиглан ханиад хүрэх магадлалыг олоход хангалттай.

Туршилтын магадлалын тооцоо

Эхлээд авч үзье туршилтын тодорхойлолтмагадлал. Ийм магадлалыг тооцоолоход бидний ашигладаг үндсэн зарчим нь дараах байдалтай байна.

P зарчим (туршилтын)

Хэрэв n ажиглалт хийсэн туршилтанд n удаагийн ажиглалтаар нөхцөл байдал, Е үйл явдал m удаа тохиолдвол тухайн үзэгдлийн туршилтын магадлалыг P (E) = m/n гэнэ.

Жишээ 1 Социологийн судалгаа. зохион байгуулсан туршилтын судалгаазүүн гарт, баруун гарт болон хоёр гар нь адилхан хөгжсөн хүмүүсийн тоог тодорхойлохын тулд үр дүнг графикт үзүүлэв.

a) Тухайн хүн баруун гартай байх магадлалыг тодорхойл.

б) Тухайн хүн солгой байх магадлалыг тодорхойл.

в) Хүн хоёр гартаа адилхан чөлөөтэй байх магадлалыг тодорхойл.

г) Мэргэжлийн боулингийн холбооны ихэнх тэмцээнүүд 120 тоглогчоор хязгаарлагддаг. Энэ туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн хэдэн тоглогч солгой байж болох вэ?

Шийдэл

а) Баруун гартай хүний ​​тоо 82, зүүн гартай хүний ​​тоо 17, хоёр гараараа адил чөлөөтэй ярьдаг хүний ​​тоо 1 байна. Нийт тоо хэмжээажиглалт - 100. Тиймээс хүний ​​баруун гартай байх магадлал нь П
P = 82/100 буюу 0.82 буюу 82%.

б) Тухайн хүний ​​зүүн гартай байх магадлал P, энд
P = 17/100, эсвэл 0.17, эсвэл 17%.

в) Хүн хоёр гараараа адилхан чөлөөтэй байх магадлал P, энд
P = 1/100, эсвэл 0.01, эсвэл 1%.

г) 120 боулин тоглогч, (б) -аас бид 17% нь солгой байна гэж найдаж болно. Эндээс
120-ийн 17% = 0.17.120 = 20.4,
өөрөөр хэлбэл, бид 20 орчим тоглогч зүүн гартай байх болно гэж найдаж болно.

Жишээ 2 Чанарын хяналт . Үйлдвэрлэгчийн хувьд бүтээгдэхүүнийхээ чанарыг хадгалах нь маш чухал юм өндөр түвшин. Уг нь компаниуд энэ үйл явцыг баталгаажуулахын тулд чанарын хяналтын байцаагч хөлсөлж авдаг. Зорилго нь хамгийн бага хэмжээгээр үйлдвэрлэх явдал юм боломжит тоо хэмжээгэмтэлтэй бүтээгдэхүүн. Гэвч тус компани өдөр бүр олон мянган бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг тул бүтээгдэхүүн бүрийг шалгаж, доголдолтой эсэхийг тодорхойлох боломжгүй юм. Бүтээгдэхүүний хэдэн хувь нь гэмтэлтэй байгааг мэдэхийн тулд компани хамаагүй цөөн тооны бүтээгдэхүүнийг туршиж үздэг.
яам хөдөө аж ахуйАНУ-д тариаланчдын борлуулсан үрийн 80% нь соёолж байх ёстой. Газар тариалангийн компанийн үйлдвэрлэж буй үрийн чанарыг тодорхойлохын тулд үйлдвэрлэсэн үрээс 500 үрийг тарьдаг. Үүний дараа 417 үр соёолсон гэж тооцсон.

а) Үр соёолох магадлал хэд вэ?

б) Үр нь төрийн стандартад нийцэж байна уу?

Шийдэл a) Тарьсан 500 үрээс 417 нь соёолсон гэдгийг бид мэднэ. Үрийн соёололт P, ба
P = 417/500 = 0.834 буюу 83.4%.

б) Соёолсон үрийн хувь шаардлагын дагуу 80%-иас давсан тул үр нь төрийн стандартад нийцсэн байна.

Жишээ 3 Телевизийн үнэлгээ. Статистикийн мэдээгээр АНУ-д 105 сая 500 мянган айл өрх телевизортой байдаг. Долоо хоног бүр нэвтрүүлэг үзэх талаарх мэдээллийг цуглуулж боловсруулдаг. Нэг долоо хоногийн дотор 7,815,000 өрх CBS сувгаар "Бүгд Рэймонд хайртай" инээдмийн цувралыг, 8,302,000 өрх NBC сувгаар "Хууль ба дэг журам" цувралыг үзжээ (Эх сурвалж: Nielsen Media Research). Тухайн долоо хоногт нэг айлын зурагт "Хүн бүр Рэймонд хайртай" дууг "Хууль ба дэг журам"-д тааруулах магадлал хэд вэ?

ШийдэлНэг айлын зурагт "Бүгд Рэймонд хайртай"-д тааруулсан байх магадлал нь P, ба
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Тухайн айлын телевизорыг хууль, журамд тохируулсан байх магадлал нь P, and
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Эдгээр хувийг үнэлгээ гэж нэрлэдэг.

Онолын магадлал

Бид зоос эсвэл сум шидэх, тавцангаас карт зурах, угсрах шугам дээр бүтээгдэхүүний чанарыг шалгах гэх мэт туршилт хийж байна гэж бодъё. Ийм туршилтын боломжит үр дүн бүрийг нэрлэдэг Египетээс гарсан . Бүх боломжит үр дүнгийн багцыг дуудна үр дүнгийн орон зай . Үйл явдал энэ нь үр дүнгийн багц, өөрөөр хэлбэл үр дүнгийн орон зайн дэд хэсэг юм.

Жишээ 4 Сум шидэх. Сум шидэлтийн туршилтанд сум нь байг оносон гэж бодъё. Дараах зүйл бүрийг ол.

б) Үр дүнгийн орон зай

Шийдэл
a) Үр дүн нь: хар (B), улаан (R) цохих, цагаан (B) цохих.

b) Үр дүнгийн орон зай нь (хараар цохих, улаанаар цохих, цагаанаар цохих) бөгөөд үүнийг энгийн байдлаар (H, K, B) гэж бичиж болно.

Жишээ 5 Шоо шидэх. Шөрмөс нь зургаан талтай, тус бүр дээр нэгээс зургаан цэгтэй шоо юм.


Бид үхэл шидэж байна гэж бодъё. Хай
a) Үр дүн
б) Үр дүнгийн орон зай

Шийдэл
a) Үр дүн: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Үр дүнгийн орон зай (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Бид E үйл явдал тохиолдох магадлалыг P(E) гэж тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, "зоос толгой дээр буух болно" гэж H гэж тэмдэглэж болно. Дараа нь P(H) нь зоос толгой дээр буух магадлалыг илэрхийлнэ. Туршилтын бүх үр дүн гарах магадлал ижил байвал тэдгээрийг ижил магадлалтай гэж нэрлэдэг. Ижил магадлалтай үйл явдлууд болон үл хамаарах үйл явдлуудын ялгааг харахын тулд доор үзүүлсэн зорилтыг анхаарч үзээрэй.

Зорилтот А-ын хувьд хар, улаан, цагаан секторууд ижил тул хар, улаан, цагааныг онох үйл явдлууд ижил магадлалтай. Гэсэн хэдий ч, зорилтот В-ийн хувьд эдгээр өнгө бүхий бүсүүд ижил биш, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг цохих магадлал ижил биш юм.

P зарчим (онолын)

Хэрэв E үйл явдал S үр дагаврын орон зайд ижил магадлалтай n үр дүнгээс m-т тохиолдож болох юм бол онолын магадлал үйл явдал, P(E) байна
P(E) = м/н.

Жишээ 6 3-ыг авахын тулд үхрийг өнхрүүлэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлШоонд 6 ижил магадлалтай үр дүн байгаа бөгөөд 3-ын тоог өнхрүүлэх ганц л боломж байна. Тэгвэл P магадлал P(3) = 1/6 болно.

Жишээ 7Талх дээр тэгш тоо эргэлдэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлҮйл явдал нь тэгш тоо шидэх явдал юм. Энэ нь 3 аргаар тохиолдож болно (хэрэв та 2, 4 эсвэл 6 өнхрүүлбэл). Ижил магадлалтай үр дүнгийн тоо нь 6. Дараа нь магадлал P(тэгш) = 3/6 буюу 1/2.

Бид стандарт 52 картын тавцантай холбоотой хэд хэдэн жишээг ашиглах болно. Энэ тавцан нь доорх зурагт үзүүлсэн картуудаас бүрдэнэ.

Жишээ 8Сайн холилдсон хөзрөөс Ace зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл 52 үр дүн (давцан дахь хөзрийн тоо), ижил магадлалтай (хэрэв тавцан сайн холигдвол), Ace зурах 4 арга байдаг тул P зарчмын дагуу магадлал
P (хүзээ зурах) = 4/52, эсвэл 1/13.

Жишээ 9Бид 3 улаан, 4 ногоон бөмбөлөг бүхий уутнаас нэг бөмбөгийг хайхгүйгээр сонгосон гэж бодъё. Улаан бөмбөг сонгох магадлал хэд вэ?

ШийдэлАливаа бөмбөг зурахад ижил магадлалтай 7 үр дүн байдаг бөгөөд улаан бөмбөг зурах аргын тоо 3 байдаг тул бид үүнийг олж авна.
P (улаан бөмбөг сонгох) = 3/7.

Дараах мэдэгдлүүд нь P зарчмын үр дүн юм.

Магадлалын шинж чанарууд

a) Хэрэв Е үйл явдал болохгүй бол P(E) = 0.
b) Хэрэв Е үйл явдал болох нь тодорхой бол P(E) = 1.
в) Е үйл явдал тохиолдох магадлал нь 0-ээс 1 хүртэлх тоо: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Жишээлбэл, зоос шидэх үед зоос түүний ирмэг дээр буух магадлал 0 байна. Зоос нь толгой эсвэл сүүл байх магадлал нь 1-ийн магадлалтай.

Жишээ 10 52 карттай тавцангаас 2 хөзөр татагдсан гэж бодъё. Аль аль нь оргил байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл 52 хөзрийг сайтар хольсон тавцангаас 2 хөзөр татах аргын n тоо 52 C 2 байна. 52 хөзрийн 13 нь хүрз тул 2 хүрз зурах m аргын тоо 13 C 2 байна. Дараа нь,
P(2 оргилыг татах)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Жишээ 11 6 эрэгтэй, 4 эмэгтэйгээс 3 хүнийг санамсаргүй байдлаар сонгосон гэж бодъё. 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэй сонгогдох магадлал хэд вэ?

Шийдэл 10 хүнтэй бүлгээс гурван хүнийг сонгох аргын тоо 10 С 3 байна. Нэг эрэгтэйг 6 С 1 аргаар, 2 эмэгтэйг 4 С 2 аргаар сонгож болно. Тоолох үндсэн зарчмын дагуу 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэйг сонгох аргын тоо 6 C 1 байна. 4 C 2. Дараа нь 1 эрэгтэй, 2 эмэгтэй сонгогдох магадлал байна
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Жишээ 12 Шоо шидэх. Хоёр шоо дээр нийт 8-ыг өнхрүүлэх магадлал хэд вэ?

ШийдэлШоо болгонд 6 боломжит үр дүн бий. Үр дүн нь хоёр дахин нэмэгддэг бөгөөд энэ нь хоёр шоо дээрх тоо гарч ирэх 6.6 эсвэл 36 боломжит арга байдаг гэсэн үг юм. (Хэрэв шоо нь ялгаатай бол нэгийг нь улаан, нөгөөг нь цэнхэр гэж хэлвэл илүү дээр - энэ нь үр дүнг төсөөлөхөд тусална.)

Доорх зурагт нийлбэр нь 8 хүртэлх тооны хосыг харуулав. 5 байна боломжит арга замууд 8-тай тэнцэх нийлбэрийг хүлээн авснаар магадлал 5/36 байна.