Шүргэгчийн налууг олох. Функцийн графикт шүргэгчийн налууг хэрхэн олох вэ

Баталгаажуулалтын шалгалтанд "Тангенсийн өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс" сэдвээр нэг дор хэд хэдэн даалгавар өгдөг. Тэдний нөхцөл байдлаас шалтгаалан төгсөгч нь бүрэн хариулт эсвэл богино хариулт өгөхийг шаардаж болно. -д бэлтгэж байна Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнМатематикийн хувьд оюутан тооцоолох шаардлагатай асуудлуудыг заавал давтах ёстой налуушүргэгч.

Энэ нь танд үүнийг хийхэд тусална боловсролын портал"Школково". Манай мэргэжилтнүүд онолын болон практик материалаль болох хүртээмжтэй. Үүнийг мэддэг болсноор ямар ч түвшний сургалттай төгсөгчид шүргэгч өнцгийн тангенсыг олох шаардлагатай деривативтай холбоотой асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжтой болно.

Онцлох үйл явдал

Зөвийг олохын тулд ба оновчтой шийдвэрУлсын нэгдсэн шалгалтын ижил төстэй ажлуудыг санаж байх ёстой үндсэн тодорхойлолт: Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлнэ; тодорхой цэгт функцийн графикт татсан шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. Зургийг дуусгах нь адил чухал юм. Энэ нь танд олох боломжийг олгоно зөв шийдвэр Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалшүргэгч өнцгийн тангенсыг тооцоолох шаардлагатай дериватив дээр. Тодорхой болгохын тулд графикийг OXY хавтгай дээр зурах нь дээр.

Хэрэв та аль хэдийн уншсан бол суурь материалдериватив сэдвээр мөн шүргэгч өнцгийн тангенсыг тооцоолох асуудлыг шийдэж эхлэхэд бэлэн байна. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар, та үүнийг онлайнаар хийж болно. Даалгавар бүрийн хувьд, жишээлбэл, "Биеийн хурд ба хурдатгалтай деривативын хамаарал" сэдвээр бид зөв хариулт, шийдлийн алгоритмыг бичсэн. Үүний зэрэгцээ оюутнууд даалгавраа биелүүлэх дадлага хийх боломжтой янз бүрийн түвшиннарийн төвөгтэй байдал. Шаардлагатай бол дасгалыг "Дуртай" хэсэгт хадгалж, дараа нь багштай шийдлийн талаар ярилцах боломжтой.

Та функцийн графикт шүргэгч гэсэн ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон. x 0-ийн ойролцоох x 0 цэгт ялгах боломжтой f функцийн график нь шүргэгч сегментээс бараг ялгаатай биш бөгөөд энэ нь (x 0 ; f (x 0)) ба (x 0 ; f (x 0)) цэгүүдийг дайран өнгөрөх l сегментийн сегменттэй ойролцоо байна гэсэн үг юм. x 0 +Δx f ( x 0 + Δx)). Эдгээр секантын аль нэг нь графикийн А (x 0 ; f (x 0)) цэгээр дамждаг (Зураг 1). дайран өнгөрөх шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд энэ цэг A, түүний налууг зааж өгөхөд хангалттай. Секантын өнцгийн коэффициент Δy/Δx Δх→0 нь f ‘(x 0) тоо руу чиглэдэг (бид үүнийг шүргэгчийн өнцгийн коэффициент гэж авна) Тэд ингэж хэлдэг. шүргэгч нь Δх→0 дахь секантын хязгаарлах байрлал юм.

Хэрэв f'(x 0) байхгүй бол шүргэгч нь байхгүй ((0; 0) цэг дээрх y = |x| функц гэх мэт, зургийг харна уу) эсвэл босоо (хэрэв дээрх функцийн график шиг) байна. цэг (0 ; 0), Зураг 2).

Тэгэхээр xo цэгт f функцийн дериватив байгаа нь графикийн (x 0, f (x 0)) цэгт (босоо бус) шүргэгч байгаатай тэнцүү, харин шүргэгч налуу f" (x 0)-тай тэнцүү байна. Энэ нь геометрийн утгадериватив

Хо цэг дээрх дифференциал болох f функцийн графикт шүргэгч нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрч буй, f ‘(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугам юм.

f функцийн графикт x 1, x 2, x 3 цэгүүдэд шүргэгч зурж, абсцисса тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцгийг тэмдэглэе. (Энэ бол тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс шулуун шугам хүртэлх эерэг чиглэлд хэмжсэн өнцөг юм.) Бид α 1 өнцөг хурц, α 3 өнцөг нь мохоо, α 2 өнцгийг харж байна. тэгтэй тэнцүү, шулуун шугам l нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. Тангенс хурц өнцөгэерэг, мохоо нь сөрөг, tg 0 = 0. Тиймээс

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Тусдаа цэгүүдэд шүргэгч үүсгэх нь графикийг илүү нарийвчлалтай зурах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, синус функцийн графикийн ноорог зурахын тулд бид эхлээд 0 цэгээс олно; π/2 ба π синусын дериватив нь 1-тэй тэнцүү; 0 ба -1 тус тус. 1, 0 ба -1 өнцгийн коэффициенттэй (0; 0), (π/2,1) ба (π, 0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамуудыг байгуулъя (Зураг 4). Эдгээр шулуун ба шулуун шугамаар үүссэн трапецын Ox, синусын график нь 0, π/2 ба π-тэй тэнцүү x-ийн хувьд харгалзах шулуун шугамд хүрнэ.

Тэгийн ойролцоох синусын график нь y = x шулуун шугамаас бараг ялгаагүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, тэнхлэгийн дагуух масштабыг нэгж нь 1 см-ийн сегменттэй тохирч байхаар сонгоно. Бидэнд нүгэл 0.5 ≈ 0.479425, өөрөөр хэлбэл |нүгэл 0.5 - 0.5| ≈ 0.02 бөгөөд сонгосон масштабын хувьд энэ нь 0.2 мм урттай сегменттэй тохирч байна. Иймд (-0.5; 0.5) интервал дахь y = sin x функцийн график нь y = x шулуун шугамаас 0.2 мм-ээс ихгүй хазайх (босоо чиглэлд) байх бөгөөд энэ нь ойролцоогоор зузаантай тохирч байна. зурсан шугам.

Функцийн деривативыг авч сур.Дериватив нь энэ функцийн график дээр байрлах тодорхой цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. IN энэ тохиолдолдГрафик нь шулуун эсвэл муруй шугам байж болно. Өөрөөр хэлбэл дериватив нь тодорхой цаг хугацааны функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Санаж байна уу ерөнхий дүрэм, ямар деривативуудыг авч, зөвхөн дараа нь дараагийн алхам руу шилжинэ.

• Нийтлэлийг уншина уу.
• Хамгийн энгийн деривативыг яаж авах вэ, жишээ нь дериватив экспоненциал тэгшитгэл, тайлбарласан. Дараах алхмуудад үзүүлсэн тооцооллыг түүн дээр дурдсан аргууд дээр үндэслэн хийх болно.

Функцийн деривативаар налууг тооцоолох шаардлагатай бодлогуудыг ялгаж сур.Бодлого нь функцийн налуу эсвэл деривативыг олохыг үргэлж шаарддаггүй. Жишээлбэл, А(x,y) цэг дээрх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олохыг танаас асууж болно. Мөн танаас A(x,y) цэг дээрх шүргэгчийн налууг олохыг шаардаж болно. Аль ч тохиолдолд функцийн деривативыг авах шаардлагатай.

y = f(x) шулуун шугам нь энэ цэгийг координаттай (x0; f(x0)) дайран өнгөрч, f"(x0) өнцгийн коэффициенттэй байвал x0 цэг дээрх зурагт үзүүлсэн графиктай шүргэнэ. Шүргэгчийн онцлогийг харгалзан энэ коэффициентийг олох нь хэцүү биш юм.

Танд хэрэгтэй болно

• - математикийн лавлах ном;
• - дэвтэр;
• - энгийн харандаа;
• - үзэг;
• - протектор;
• - луужин.

Заавар

• x0 цэг дээрх дифференциал болох f(x) функцийн график нь шүргэгч хэрчмээс ялгаагүй гэдгийг анхаарна уу. Иймээс (x0; f(x0)) болон (x0+Δx; f(x0 + Δx)) цэгүүдийг дайран өнгөрч байгаа l хэрчмтэй нэлээд ойрхон байна. (x0; f(x0)) коэффициент бүхий А цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлохын тулд түүний налууг заана уу. Түүнээс гадна энэ нь Δy/Δx секантын тангенс (Δх→0)-тай тэнцүү бөгөөд мөн f‘(x0) тоо руу чиглэдэг.
• Хэрэв f'(x0) утгууд байхгүй бол шүргэгч байхгүй эсвэл босоо чиглэлд ажилладаг байж магадгүй юм. Үүний үндсэн дээр х0 цэгт функцын дериватив байгаа нь (x0, f(x0)) цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч босоо бус шүргэгч байгаагаар тайлбарлагдана. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x0) -тэй тэнцүү байна. Деривативын геометрийн утга нь тодорхой болно, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тооцоолох болно.
• Өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олохын тулд шүргэгч цэг дээрх функцийн деривативын утгыг олох хэрэгтэй. Жишээ: абсцисса X0 = 1 цэгт y = x³ функцийн графиктай шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг ол. Шийдэл: Энэ функцийн y΄(x) = 3x² деривативыг ол; X0 = 1 цэг дээрх деривативын утгыг ол. у΄(1) = 3 × 1² = 3. X0 = 1 цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент 3 байна.
• Зурган дээр нэмэлт шүргэгчийг зурж, функцийн графикт дараах цэгүүд дээр хүрэх болно: x1, x2, x3. Эдгээр шүргэгчээс үүссэн өнцгийг абсцисса тэнхлэгээр тэмдэглэ (өнцгийг эерэг чиглэлд - тэнхлэгээс шүргэгч шугам хүртэл тоолно). Жишээлбэл, татсан шүргэгч шугам нь OX тэнхлэгтэй параллель байх тул эхний өнцөг α1 хурц, хоёр дахь (α2) нь мохоо, гурав дахь (α3) нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тангенс мохоо өнцөгБайна сөрөг утга, ба хурц өнцгийн тангенс эерэг, tg0 байх ба үр дүн нь тэг болно.

Хэзээ нэгэн цагт x 0 нь f (x 0) төгсгөлтэй деривативтай f функцийг өгье. Дараа нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрөх, f '(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг шүргэгч гэж нэрлэдэг.

X 0 цэг дээр дериватив байхгүй бол яах вэ? Хоёр сонголт байна:

1. Графиктай шүргэгч байхгүй. Сонгодог жишээ- функц y = |x | цэг дээр (0; 0).
2. Шүргэх нь босоо болно. Энэ нь жишээлбэл (1; π /2) цэг дээрх y = arcsin x функцийн хувьд үнэн юм.

Тангенсийн тэгшитгэл

Босоо бус аливаа шулуун шугамыг y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд k нь налуу юм. Тангенс нь үл хамаарах зүйл биш бөгөөд x 0 цэг дээр түүний тэгшитгэлийг бий болгохын тулд энэ цэг дэх функц болон деривативын утгыг мэдэхэд хангалттай.

Тэгэхээр хэрчим дээр y = f ’(x) деривативтай y = f (x) функц өгөгдье. Дараа нь x 0 ∈ (a ; b) дурын цэг дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ функцийн графикт шүргэгчийг зурж болно.

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Энд f ’(x 0) нь x 0 цэг дэх деривативын утга, f (x 0) нь функцийн өөрийнх нь утга юм.

Даалгавар. y = x 3 функц өгөгдсөн. x 0 = 2 цэг дээрх энэ функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Тангенсийн тэгшитгэл: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бидэнд x 0 = 2 цэгийг өгсөн боловч f (x 0) ба f '(x 0) утгуудыг тооцоолох шаардлагатай болно.

Эхлээд функцийн утгыг олъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Одоо деривативыг олъё: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Бид x 0 = 2-г дериватив болгон орлоно: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Бид нийтдээ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16 болно.
Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм.

Даалгавар. x 0 = π /2 цэг дээрх f (x) = 2sin x + 5 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Энэ удаад бид үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлахгүй - бид зөвхөн гол алхмуудыг зааж өгөх болно. Бидэнд:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Тангенс тэгшитгэл:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

IN сүүлчийн тохиолдолшулуун шугам нь хэвтээ болсон, учир нь түүний өнцгийн коэффициент k = 0. Үүнд буруу зүйл байхгүй - бид зүгээр л экстремум цэг дээр бүдэрсэн.