Үүсмэлийн тэмдэг ба функцийн монотон байдлын шинж чанарын хоорондын холбоог харуулав.

Дараахь зүйлд маш болгоомжтой хандана уу. Хараач, танд ЮУ өгөх хуваарь! Функц эсвэл түүний дериватив

Хэрэв деривативын графикийг өгвөл, тэгвэл бид зөвхөн функцийн тэмдэг ба тэгийг сонирхох болно. Бид зарчмын хувьд ямар ч "толгод" эсвэл "хонгор"-ыг сонирхдоггүй!

Даалгавар 1.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн дериватив сөрөг байх бүхэл цэгийн тоог тодорхойл.

Шийдэл:

Зураг дээр функц буурах хэсгүүдийг өнгөөр ​​тодруулсан болно.

Функцийн эдгээр буурах мужууд нь 4 бүхэл утгыг агуулна.

Даалгавар 2.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн графикт шүргэгч нь шулуунтай параллель буюу давхцах цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Функцийн графикт шүргэгч нь шулуун шугамтай (эсвэл ижил зүйл) параллель (эсвэл давхцаж) байвал налуу , тэгтэй тэнцүү бол шүргэгч нь өнцгийн коэффициенттэй байна.

Энэ нь эргээд тангенс нь тэнхлэгт параллель байна гэсэн үг юм, учир нь налуу нь тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс юм.

Тиймээс бид график дээрх экстремум цэгүүдийг (хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд) олдог - эдгээр цэгүүдэд графикт шүргэгч функцүүд тэнхлэгтэй параллель байх болно.

Ийм 4 цэг байдаг.

Даалгавар 3.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Функцийн графикт шүргэгч нь шулуунтай параллель буюу давхцах цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Функцийн графикийн шүргэгч нь налуутай шулуунтай зэрэгцээ (эсвэл давхцаж байгаа) тул шүргэгч нь мөн налуутай байна.

Энэ нь эргээд мэдрэгчтэй цэгүүдэд гэсэн үг юм.

Тиймээс бид график дээрх хэдэн цэгийн ординаттай тэнцүү байгааг харна.

Таны харж байгаагаар ийм дөрвөн цэг байдаг.

Даалгавар 4.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн дериватив 0 байх цэгүүдийн тоог ол.

Шийдэл:

Дериватив нь экстремум цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна. Бидэнд 4 нь байна:

Даалгавар 5.

Зурагт функцийн график ба x тэнхлэг дээрх арван нэгэн цэгийг харуулав. Эдгээр цэгүүдийн хэд нь функцийн дериватив сөрөг байх вэ?

Шийдэл:

Функцийн бууралтын интервал дээр түүний уламжлалыг авдаг сөрөг утгууд. Мөн функц нь цэгүүдэд буурдаг. Ийм 4 цэг байдаг.

Даалгавар 6.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг харуулав. Функцийн экстремум цэгүүдийн нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Экстремум цэгүүд– эдгээр нь хамгийн их оноо (-3, -1, 1) ба хамгийн бага оноо (-2, 0, 3) юм.

Экстремум цэгүүдийн нийлбэр: -3-1+1-2+0+3=-2.

Даалгавар 7.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Функцийн өсөлтийн интервалыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.

Шийдэл:

Зураг нь функцийн дериватив нь сөрөг биш байх интервалуудыг онцолсон.

Өсөн нэмэгдэж буй жижиг интервал дээр бүхэл тоо байхгүй: , , болон 4 бүхэл тоо байна.

Тэдний нийлбэр:

Даалгавар 8.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Функцийн өсөлтийн интервалыг ол. Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томын уртыг заана уу.

Шийдэл:

Зураг дээр дериватив эерэг байгаа бүх интервалыг өнгөөр ​​тодруулсан бөгөөд энэ нь эдгээр интервал дээр функц өөрөө нэмэгддэг гэсэн үг юм.

Тэдний хамгийн том урт нь 6 байна.

Даалгавар 9.

Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Сегментийн аль цэг дээр хийдэг хамгийн өндөр үнэ цэнэ.

Шийдэл:

Бидний сонирхож буй сегмент дээр график хэрхэн ажиллахыг харцгаая зөвхөн деривативын тэмдэг .

Энэ сегмент дээрх график тэнхлэгээс доогуур байгаа тул деривативын тэмдэг нь хасах байна.

Хотын боловсролын байгууллага

"Салтыковская дунд сургууль дунд сургууль

Ртищевский дүүрэг Саратов муж»

Математикийн мастер анги

11-р ангид

сэдвээр

"Функцын үүсмэл

АШИГЛАХ ДААЛГАВАРТ"

Математикийн багш удирдан явуулна

Белоглазова Л.С.

2012-2013 хичээлийн жил

Мастер ангийн зорилго : "Функцийн дериватив" сэдвээр онолын мэдлэгийг нэг функцын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах чадварыг хөгжүүлэх. улсын шалгалт.

Даалгаврууд

Боловсролын: сэдвийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх, системчлэх

"Функцийн дериватив", энэ сэдвээр Улсын нэгдсэн шалгалтын бодлогуудын эх загваруудыг авч үзэх, оюутнуудад асуудлыг бие даан шийдвэрлэх замаар мэдлэгээ шалгах боломжийг олгоно.

Боловсролын:санах ой, анхаарал, өөрийгөө үнэлэх, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх; үндсэн үндсэн чадамжийг бүрдүүлэх (харьцуулалт, харьцуулалт, объектын ангилал, тодорхойлолт хангалттай арга замуудшийдлүүд боловсролын даалгаварөгөгдсөн алгоритм дээр үндэслэн тодорхой бус нөхцөлд бие даан ажиллах, үйл ажиллагаагаа хянах, үнэлэх, бэрхшээлийн шалтгааныг олж илрүүлэх, арилгах чадвар).

Боловсролын:сурталчлах:

оюутнуудад суралцах хариуцлагатай хандлагыг төлөвшүүлэх;

математикийн тогтвортой сонирхлыг хөгжүүлэх;

эерэг байдлыг бий болгох дотоод урам зоригматематик судлах.

Технологи: тус тусад нь ялгах сургалт, МХТ.

Сургалтын арга: аман, харааны, практик, асуудалтай.

Ажлын хэлбэрүүд:ганцаарчилсан, урд талын, хосоороо.

Хичээлийн хэрэгсэл, материал:проектор, дэлгэц, оюутан бүрт зориулсан компьютер, симулятор (Хавсралт No1),хичээлийн танилцуулга (Хавсралт No2),тус тусад нь - ялгаатай картуудУчир нь бие даасан ажилхосоороо (Хавсралт No3),Интернет сайтуудын жагсаалт, тус тусад нь ялгасан гэрийн даалгавар (Хавсралт No4).

Мастер ангийн тайлбар.Энэхүү мастер анги нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх зорилгоор 11-р ангид явагддаг. Шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхдээ "Функцийн дериватив" сэдвээр онолын материалыг ашиглахад чиглэгдсэн.

Мастер ангийн үргэлжлэх хугацаа- 30 мин.

Мастер ангийн бүтэц

I. Зохион байгуулалтын мөч -1 мин.

II .Сэдвийн мессеж, мастер ангийн зорилго, боловсролын үйл ажиллагааны сэдэл - 1 мин.

III. Урд талын ажил. "Б8 улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар" сургалт. Симулятортай ажиллах дүн шинжилгээ - 6 мин.

IV. Тус тусад нь - ялгаатай ажилхосоороо. Бие даасан шийдвэрасуудал B14. Хамт олны үнэлгээ - 7 мин.

В. Бие даасан гэрийн даалгавраа шалгах. Улсын нэгдсэн шалгалтын C5 параметртэй холбоотой асуудал

3 мин.

VI .On – line testing. Туршилтын үр дүнд дүн шинжилгээ хийх - 9 мин.

VII. Ганцаарчилсан - ялгаатай гэрийн даалгавар -1 мин.

VIII Хичээлийн үнэлгээ - 1 мин.

IX. Хичээлийн хураангуй. Тусгал -1 мин.

Мастер ангийн явц

I .Зохион байгуулалтын мөч.

II .Сэдвийн мессеж, мастер ангийн зорилго, боловсролын үйл ажиллагааны сэдэл.

(Слайд 1-2, Хавсралт No2)

Бидний хичээлийн сэдэв бол "Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар дахь функцийн дериватив" юм. “Жижиг нь жижиг ч үнэтэй” гэдэг үгийг хүн бүр мэддэг. Математикийн эдгээр "дамар хавхлагуудын" нэг нь дериватив юм. Дериватив нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг практик асуудлуудматематик, физик, хими, эдийн засаг болон бусад салбарууд. Энэ нь асуудлыг энгийн, үзэсгэлэнтэй, сонирхолтой байдлаар шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын В (В8, В14) хэсгийн даалгавруудад “Үүсмэл” сэдвийг тусгасан болно. Зарим C5 асуудлыг дериватив ашиглан шийдэж болно. Гэхдээ эдгээр асуудлыг шийдэхийн тулд сайн зүйл хэрэгтэй математикийн сургалтТэгээд хайрцагнаас гадуур сэтгэх.

Та шалгалтын бүтэц, агуулгыг зохицуулах баримт бичигтэй ажиллаж байсан уу? хэмжих материалматематикийн улсын нэгдсэн шалгалт 2013. Дүгнэнэ үү"Үүсмэл" сэдвээр USE асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд ямар мэдлэг, ур чадвар хэрэгтэй вэ.

(Слайд 3-4, Хавсралт No2)

Бид суралцсан"Кодификатор Улсын нэгдсэн шалгалтын хяналтын хэмжилтийн материалыг бэлтгэх МАТЕМАТИК дахь агуулгын элементүүд.

"Түвшингийн шаардлагын кодлогч төгсөлтийн сургалт», "Тодорхойлолт хяналтын хэмжих материал","Демо хувилбар2013 оны улсын нэгдсэн шалгалтын хяналтын хэмжилтийн материал" болонолж мэдсэн “Үүүсмэл” сэдвээр асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд функц болон түүний деривативын талаар ямар мэдлэг, ур чадвар шаардлагатай вэ.

Шаардлагатай

• МЭДЭХ

n деривативыг тооцоолох дүрэм;

үндсэн үндсэн функцүүдийн деривативууд;

деривативын геометрийн болон физикийн утга;
функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл;
функцийг түүний уламжлалыг ашиглан судлах.

ЧАДДАГ БАЙХ

функцтэй үйлдэл хийх (график ашиглан функцийн зан төлөв, шинж чанарыг дүрслэх, хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох).

ХЭРЭГЛЭЭ

чиглэлээр мэдлэг, ур чадвар эзэмшсэн практик үйл ажиллагааТэгээд өдөр тутмын амьдрал.

Та "Үүсмэл" сэдвээр онолын мэдлэгтэй. Өнөөдөр бид болноҮҮСМЭЛ ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ТУХАЙ МЭДЛЭГЭЭ АШИГЛАЛТЫН АСУУДЛЫГ ШИЙДЭХЭД СУРНА. ( Слайд 4, хавсралт No2)

Энэ нь шалтгаангүй биш юм Аристотель ингэж хэлсэн “ОЮУН СЭТГЭЛ ЗӨВХӨН МЭДЛЭГТ БАЙДАГГҮЙ, МЭДЛЭГЭЭ ПРАКТИКТ ХЭРЭГЛЭХ ЧАДВАРТАЙ”( Слайд 5, хавсралт No2)

Хичээлийн төгсгөлд бид хичээлийнхээ зорилго руу буцаж очоод түүндээ хүрсэн эсэхээ мэдэх болно.

III . Урд талын ажил. "Б8 улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар" сургалт (Хавсралт No1) . Симулятортай хийсэн ажлын дүн шинжилгээ.

Санал болгож буй дөрвөн хариултаас зөв хариултыг сонгоно уу.

Таны бодлоор В8 даалгаврыг биелүүлэхэд ямар хүндрэл гардаг вэ?

Та юу гэж бодож байна ердийн алдаануудЭнэ асуудлыг шийдэхдээ төгсөгчдөд шалгалт өгөхийг зөвшөөрөх үү?

В8 даалгаврын асуултуудад хариулахдаа үүсмэл график ашиглан функцийн зан төлөв, шинж чанарыг, функцийн график ашиглан дериватив функцийн зан төлөв, шинж чанарыг дүрслэх чадвартай байх ёстой. Үүний тулд танд сайн зүйл хэрэгтэй онолын мэдлэгдараах сэдвээр: “Геометр ба механик мэдрэмждериватив. Функцийн графикт шүргэгч. Деривативыг функцийг судлахад ашиглах."

Ямар ажил танд хүндрэл учруулсан талаар дүн шинжилгээ хийцгээе?

Аль нь онолын асуудлуудмэдэх хэрэгтэй юу?

IV. Ганцаарчилсан - хосоороо ялгаатай ажил. Асуудлыг бие даан шийдвэрлэх Q14. Үе тэнгийн үнэлгээ. (Хавсралт No3)

Функцийн экстремум, экстремум, максимум, хамгийн их цэгийг олох асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг санаарай (B14 Улсын нэгдсэн шалгалт). хамгийн бага утгуудүүсмэлийг ашиглан интервал дээрх функцууд.

Дериватив ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

Оюутнуудад дараахь асуудал тавигддаг.

"В14-ийн зарим асуудлыг дериватив ашиглахгүйгээр өөрөөр шийдэх боломжтой юу?"

1 хос(Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)

1) В14. y = 10x-ln (x+9)+6 функцийн хамгийн бага цэгийг ол

2) В14.Функцийн хамгийн том утгыг олy =

- Хоёрдахь асуудлыг хоёр аргаар шийдэхийг хичээ.

2 хос(Санинская Т., Сазанов А.)

1) В14.y=(x-10) функцийн хамгийн бага утгыг ол. сегмент дээр

2) В14. y= - функцийн хамгийн их цэгийг ол.

(Сурагчид бодлого шийдвэрлэх үндсэн үе шатуудыг самбарт бичиж шийдлээ хамгаална. 1 хосын сурагчид (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) 2-р асуудлыг шийдвэрлэх хоёр аргыг зааж өгнө).

Асуудлыг шийдэж байна. Оюутнууд дүгнэлт хийх ёстой:

"Функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгыг олоход зориулсан улсын нэгдсэн шалгалтын B14-ийн зарим асуудлыг функцийн шинж чанарт тулгуурлан дериватив ашиглахгүйгээр шийдэж болно."

Даалгавар хийхдээ ямар алдаа гаргаснаа шинжилнэ үү?

Та ямар онолын асуултуудыг хянаж үзэх шаардлагатай вэ?

В. Бие даасан гэрийн даалгавраа шалгах. C5 параметртэй холбоотой асуудал (АШИГЛАЛТ) ( Слайд 7-8, Хавсралт No2)

Лукьянова К.-д бие даасан гэрийн даалгавар өгсөн: Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх сурах бичгүүдээс (C5) параметр бүхий асуудлыг сонгоод дериватив ашиглан шийдээрэй.

(Оюутан функциональ дээр үндэслэн асуудлын шийдлийг өгдөг график арга, асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын нэг болгон Улсын нэгдсэн шалгалтын C5 болон өгдөг товч тайлбарэнэ арга).

C5 Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд функц ба түүний деривативын талаар ямар мэдлэг шаардлагатай вэ?

V I. В8, В14 даалгаврыг онлайнаар шалгах. Туршилтын үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.

Ангид тест хийх вэб сайт:

Хэн алдаа гаргаагүй вэ?

Туршилт хийхэд хэн хүндрэлтэй байсан бэ? Яагаад?

Ямар даалгаварт алдаа гарсан бэ?

Онолын ямар асуудлуудыг мэдэх шаардлагатайг дүгнэнэ үү?

VI I. Тус тусад нь ялгаатай гэрийн даалгавар

(Слайд 9, өргөдлийн дугаар 2), (Хавсралт No4).

Би улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх интернет сайтуудын жагсаалтыг бэлтгэсэн. Та мөн эдгээр сайтуудаар зочилж болноn – шугамтуршилт. Дараагийн хичээлд та: 1) давтан хийх хэрэгтэй онолын материал"Функцийн дериватив" сэдвээр;

2) вэбсайт дээр " Банк нээхматематикийн даалгавар" ( ) B8, B14 даалгаврын загваруудыг олж, 10-аас доошгүй асуудлыг шийдвэрлэх;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. параметрүүдтэй холбоотой асуудлыг шийддэг. Үлдсэн оюутнууд 1-8-р асуудлыг шийдэх ёстой (сонголт 1).

VI II. Хичээлийн оноо.

Хичээлдээ ямар дүн тавих вэ?

Та ангидаа илүү сайн байж чадна гэж бодож байна уу?

IX. Хичээлийн хураангуй. Тусгал

Ажлаа нэгтгэн дүгнэе. Хичээлийн зорилго юу байсан бэ? Үүнд хүрсэн гэж та бодож байна уу?

Самбарыг хараад нэг өгүүлбэрт өгүүлбэрийн эхлэлийг сонгоод өөрт тохирох өгүүлбэрийг үргэлжлүүлээрэй.

Би мэдэрсэн...

Би сурсан...

Би үүнийг хийсэн...

Би чадсан...

Би хичээх болно…

Би үүнд гайхсан …

Би хүссэн...

Хичээлийн явцад таны мэдлэг баяжуулсан гэж хэлж чадах уу?

Тиймээс та функцийн деривативын тухай онолын асуултуудыг давтлаа. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын загваруудыг (B8, B14) шийдвэрлэхдээ мэдлэгээ ашигласан ба Лукьянова К. С5 даалгаврыг параметрээр гүйцэтгэсэн бөгөөд энэ нь нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлсэн даалгавар юм.

Тантай ажиллахад таатай байсан, мөн Математикийн хичээлээр олж авсан мэдлэгээ зөвхөн математикийн хичээлээр биш амжилттай хэрэгжүүлнэ гэж найдаж байна Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, гэхдээ цаашдын судалгаандаа.

Италийн гүн ухаантны үгээр хичээлээ дуусгамаар байна Томас Аквинас"Мэдлэг бол ямар ч эх сурвалжаас олж авах нь ичгүүргүй зүйл юм." (Слайд 10, Хавсралт No2).

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд тань амжилт хүсье!

Элсэлтийн түвшин

Функцийн дериватив. Цогц гарын авлага (2019)

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординат тэнхлэгийн дагуу).

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x"-ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг.

Утгыг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэв төгсгөлийн цэгэхнийхээс доогуур болсон, энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш харин доошилж байна гэсэн үг юм.

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрэв зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Одоо нэг толгодын оройг харцгаая. Хэсгийн эхлэлийг оргилд хүрэхээс хагас километрийн өмнө, төгсгөлийг нь хагас километрийн дараа авбал өндөр нь бараг ижил байгааг харж болно.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол энд байгаа налуу бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь илт үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү хангалттай, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжвэл үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!

IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x тэг рүү тэмүүлдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэг биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн тааралдсан байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн том нь гарч ирсэн бол боломжит тоо, зүгээр л хоёроор үржүүлбэл илүү ихийг авна. Мөн хязгааргүй хэвээр байна үүнээс гаднаюу болох бол. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү. Хязгааргүй цөөн тоог бие биендээ хуваавал нилээдгүй тоо гарч ирнэ ердийн тоо, Жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативтай адил: дериватив тогтмол функц(тогтмол) нь тэгтэй тэнцүү:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг дагуулан зохион байгуулах боломжтой болсон өөр өөр талууддээрээс нь, ингэснээр төгсгөлийн өндөр нь ижил, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байна:

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагагүй, гэхдээ тэнцүү байна). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба хооронд эерэг утгуудзаавал байх ёстой. Энэ нь функц нь нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талд байгаа функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Одоо функцийн үнэ цэнэ хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх үед функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ үед илтгэгч:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

1. . Итгэнэ үү үгүй ​​юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
   Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
   Тэгэхээр манайх квадрат язгуур- энэ бол зүгээр л үзүүлэлттэй зэрэг юм:
   .
   Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:

   Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)

2. . Одоо экспонент:

   Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
   ;
   .
   Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
   .

3. . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ (өөрөөр хэлбэл at).

Тиймээс бид авдаг дараагийн дүрэм:синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

1. Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
   ;
   .
2. Энд бид үүнтэй төстэй зүйл байна эрчим хүчний функц. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
   хэвийн харагдах:
   .
   Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
   .
   .
3. . Эээээээ..... Энэ юу вэ????

За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохоо хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй.

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функцийн урвуу функц экспоненциал функц? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг дараа нь шинжлэх болно. дүрэм журмаар явцгааяялгах.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчдын дифференциал нь функцийн өсөлттэй ижил байна. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим нь тогтмол тоо(тогтмол), тэгвэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: орцгооё шинэ онцлогмөн түүний өсөлтийг ол:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь руу оруулахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гэмгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Юу болсон бэ" нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. -тай холбоотой анхны жишээЭнэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам "гадаад" байх болно харгалзах функц. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Зурагт y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол. K 0 K. = -0.5 K = 0.5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title=" Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг харуулав. ) ба абсциссатай цэг дээрх шүргэгч x 0. f(x) функцын x 0 цэг дээрх деривативын утгыг ол. K 0 K = -0,5 K = 0,5."> title="Зурагт y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол. K 0 K. = -0.5 K = 0.5"> !}

Зураг дээр (-1;17) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томын уртыг заана уу. f(x)

0 интервал дээр, дараа нь f(x)" title="Зурагт y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4 цэгүүдийн дундаас ол. , x 5, x 6 ба x 7 нь f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүд бөгөөд хэрэв f (x) > 0 интервал дээр олдсон цэгүүдийн тоог бичнэ үү функц f(x)" class="link_thumb"> 8 !}Зурагт y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 байвал f (x) функц энэ интервалд нэмэгдэнэ Хариу: 2 интервал дээр 0, дараа нь интервал дээр f(x)"> 0 функц, дараа нь энэ интервал дээр f(x) функц өснө Хариу: 2"> 0 интервал дээр, дараа нь f(x)" функц гарчиг= "On. Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг харуулав. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дотроос эдгээр цэгүүдийг ол. f(x) функцийн дериватив нь эерэг байна. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 байвал хариуг бич."> title="Зурагт y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 бол f(x) функц"> !}

Зураг дээр (-9; 2) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Сегментийн аль цэг дээр -8; -4 f(x) функц хамгийн их утгыг авах уу? Сегмент дээр -8; -4 f(x)

y = f(x) функц нь (-5; 6) интервал дээр тодорхойлогддог. Зурагт y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, ..., x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хариулт: 3 оноо x 1, x 4, x 6, x 7 нь экстремум цэгүүд юм. x 4 цэг дээр f (x) байхгүй.

Уран зохиол 4 Алгебр, анализын эхлэлийн анги. зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд үндсэн түвшин/ Ш.А.Алимов ба бусад, - М.: Просвещение, Семенов А.Л. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн 3000 асуудал. – М .: "Шалгалт" хэвлэлийн газар, Гэндэнштейн Л.Е., Ершова А.П., Ершова А.С. 7-11-р ангийн жишээн дээр алгебр ба анализын эхлэлийн талаархи харааны гарын авлага. - М .: Илекса, Цахим нөөцУлсын нэгдсэн шалгалтын ажлын банкийг нээнэ үү.