Буцаад урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.
Хичээлийн төрөл:давталт ба ерөнхий ойлголт.
Хичээлийн хэлбэр:хичээл зөвлөгөө.
Хичээлийн зорилго:
- боловсролын: давтаж, нэгтгэн дүгнэ онолын мэдлэг"Үүсмэлийн геометрийн утга", "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах нь" сэдвээр; Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тулгарсан бүх төрлийн В8 асуудлыг авч үзэх; оюутнуудад мэдлэгээ шалгах боломжийг олгох бие даасан шийдвэрдаалгавар; хэрхэн бөглөхийг заах шалгалтын маягтхариултууд;
- хөгжиж байна: харилцаа холбоог нэг арга болгон хөгжүүлэх шинжлэх ухааны мэдлэг, семантик санах ой болон сайн дурын анхаарал; харьцуулах, харьцуулах зэрэг үндсэн чадамжийг бүрдүүлэх. объектын ангилал, тодорхойлолт хангалттай арга замуудөгөгдсөн алгоритм дээр үндэслэн боловсролын асуудлыг шийдвэрлэх, тодорхой бус нөхцөлд бие даан ажиллах, үйл ажиллагаагаа хянах, үнэлэх, бэрхшээлийн шалтгааныг олж тогтоох, арилгах;
- боловсролын: сурагчдыг хөгжүүлэх харилцааны чадвар (харилцааны соёл, бүлэгт ажиллах чадвар); бие даан боловсрол эзэмших хэрэгцээг хөгжүүлэх.
Технологи: хөгжлийн боловсрол, МХТ.
Сургалтын аргууд:аман, харааны, практик, асуудалтай.
Ажлын хэлбэрүүд:хувь хүн, урд тал, бүлэг.
Боловсрол, арга зүйн дэмжлэг:
1. Алгебр ба математикийн шинжилгээний эхлэл 11-р анги: сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага: үндсэн ба профиль. түвшин / (Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин); A. B. Жижченкогийн найруулсан. - 4-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2011 он.
2. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулттай 3000 бодлого. B / A.L бүлгийн бүх даалгавар. Семенов, I.V. Ященко болон бусад; засварласан A.L. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: "Шалгалт" хэвлэлийн газар, 2011 он.
3. Банк нээхдаалгавар.
Хичээлийн хэрэгсэл, материал:проектор, дэлгэц, оюутан бүрт зориулсан танилцуулга бүхий компьютер, бүх оюутнуудад зориулсан санамж бичгийг хэвлэх (Хавсралт 1)Тэгээд үнэлгээний хуудас (Хавсралт 2) .
Урьдчилсан бэлтгэлхичээл рүү:зэрэг гэрийн даалгавароюутнууд сурах бичгээс онолын материалыг "Үүсмэлийн геометрийн утга", "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах" сэдвээр давтан хэлэхийг хүсч байна; Анги нь бүлгүүдэд хуваагддаг (тус бүр 4 хүн), тус бүр нь өөр өөр түвшний оюутнуудтай.
Хичээлийн тайлбар:Энэ хичээлийг 11-р ангид давтах, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх үе шатанд заадаг. Хичээл нь давталт, ерөнхий ойлголтод чиглэгддэг онолын материал, шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах. Хичээлийн үргэлжлэх хугацаа - 1.5 цаг .
Энэхүү хичээлийг сурах бичигт хавсаргаагүй тул ямар ч сургалтын хэрэглэгдэхүүн дээр ажиллаж байхдаа зааж болно. Энэ хичээлийг мөн хоёр тусдаа хичээлд хувааж, үзсэн сэдвүүдийн эцсийн хичээл болгон зааж болно.
Хичээлийн үеэр
I. Зохион байгуулалтын мөч.
II. Зорилгоо тодорхойлох хичээл.
III. "Гэдэсний геометрийн утга" сэдвээр давталт.
Проектор ашиглан аман урд талын ажил (слайд №3-7)
Бүлэгт ажиллах: зөвлөмж, хариулт, багшийн зөвлөгөө бүхий асуудлыг шийдвэрлэх (слайд №8-17)
IV. Бие даасан ажил 1.
Оюутнууд компьютер дээр бие даан ажиллаж (слайд №18-26), үнэлгээний хуудсанд хариултаа оруулна. Шаардлагатай бол та багштай зөвлөлдөж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд оюутан 0.5 оноо алдах болно. Хэрэв оюутан ажлаа эрт дуусгасан бол цуглуулгын 242, 306-324-р хуудаснаас нэмэлт даалгавруудыг шийдвэрлэхээр сонгож болно (нэмэлт даалгаврыг тусад нь үнэлнэ).
V. Харилцан шалгах.
Оюутнууд үнэлгээний хуудас солилцож, найзынхаа ажлыг шалгаж, оноо өгдөг (слайд №27)
VI. Мэдлэгийг засах.
VII. "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах нь" сэдвээр давталт.
Проектор ашиглан аман урд талын ажил (слайд №28-30)
Бүлэгт ажиллах: зөвлөмж, хариулт, багшийн зөвлөгөө бүхий асуудлыг шийдвэрлэх (слайд №31-33)
VIII. Бие даасан ажил 2.
Оюутнууд компьютер дээр бие даан ажиллаж (слайд №34-46), хариултын маягт дээр хариултаа оруулна. Шаардлагатай бол та багштай зөвлөлдөж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд оюутан 0.5 оноо алдах болно. Хэрэв оюутан ажлаа эрт дуусгасан бол цуглуулгын 243-305-р хуудаснаас нэмэлт даалгавруудыг шийдвэрлэхээр сонгож болно (нэмэлт даалгаврыг тусад нь үнэлнэ).
IX. Үе тэнгийн үнэлгээ.
Оюутнууд үнэлгээний хуудас солилцож, найзынхаа ажлыг шалгаж, оноо өгдөг (слайд No47).
X. Мэдлэгийг засах.
Сурагчид бүлгээрээ дахин ажиллаж, шийдлийн талаар ярилцаж, алдаагаа засна.
XI. Дүгнэж байна.
Оюутан бүр оноогоо тооцож, үнэлгээний хуудсанд дүн тавина.
Оюутнууд багшид үнэлгээний хуудас, нэмэлт асуудлын шийдлийг өгдөг.
Оюутан бүр санамж бичгийг хүлээн авдаг (слайд № 53-54).
XII. Тусгал.
Оюутнууд дараах хэллэгүүдийн аль нэгийг сонгон мэдлэгээ үнэлэхийг хүснэ.
- Би амжилтанд хүрсэн!!!
- Бид дахиад хэдэн жишээг шийдэх хэрэгтэй.
- За, энэ математикийг хэн гаргасан бэ!
XIII. Гэрийн даалгавар.
Учир нь гэрийн даалгаварОюутнуудыг цуглуулгын 242-334-р хуудаснаас даалгавраа шийдэхийг урьж байна нээлттэй банкдаалгавар.
Өгөгдсөн цэг дэх $y = f(x)$ функцийн дериватив нь $x_0$ нь функцийн өсөлтийг түүний аргументийн харгалзах өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар бөгөөд сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байна.
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Ялгаварлах нь деривативыг олох үйл ажиллагаа юм.
Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт
| Чиг үүрэг | Дериватив |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Ялгах үндсэн дүрмүүд
1. нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.
Нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Бүтээгдэхүүний дериватив
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
$f(x)=4x cosx$ деривативыг ол
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Хэсгийн дериватив
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Дериватив нарийн төвөгтэй функцгадаад функцын дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Деривативын физик утга
Хэрэв материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь хугацаанаас хамаарч $x(t)$ хуулийн дагуу өөрчлөгдвөл агшин зуурын хурдөгөгдсөн цэг нь функцийн деривативтай тэнцүү байна.
Цэг нь $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ хуулийн дагуу координатын шугамын дагуу хөдөлдөг бөгөөд $x(t)$ нь $t$ үеийн координат юм. Цаг хугацааны аль үед цэгийн хурд $12$-тэй тэнцэх вэ?
1. Хурд нь $x(t)$-ын дериватив тул өгөгдсөн функцийн деривативыг олцгооё.
$v(t) = x"(t) = 1.5 2т -3 = 3т -3$
2. $t$ цаг хугацааны ямар үед хурд $12$-тай тэнцэж байсныг олохын тулд бид тэгшитгэлийг үүсгэж шийднэ.
Деривативын геометрийн утга
Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель биш шулууны тэгшитгэлийг $y = kx + b$ хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг санаарай, $k$ нь шулууны налуу юм. Коэффицент $k$ тангенстай тэнцүү$Ox$ тэнхлэгийн шулуун ба эерэг чиглэлийн хоорондох налуугийн өнцөг.
$x_0$ цэг дээрх $f(x)$ функцийн дериватив нь тэнцүү байна налуу$k$ өгөгдсөн цэг дээрх графикт шүргэгч:
Тиймээс бид ерөнхий тэгш байдлыг бий болгож чадна:
$f"(x_0) = k = tanα$
Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нэмэгдэх тул $k > 0$ коэффициент. $k > 0$ тул $f"(x_0) = tanα > 0$ байна. Шүргэх ба эерэг чиглэл $Ox$ хоёрын хоорондох $α$ өнцөг хурц байна.
Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч буурч байгаа тул $k коэффициент< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нь $Ox$ тэнхлэгтэй параллель байна, тиймээс коэффициент $k = 0$, тиймээс $f"(x_0) = tan α = 0$ байна. $f "(x_0) = 0$ гэж нэрлэгддэг $x_0$ цэг экстремум.
Зурагт $y=f(x)$ функцийн график болон $x_0$ абсциссатай цэг дээр зурсан энэ графикт шүргэгчийг харуулав. $x_0$ цэг дээрх $f(x)$ функцийн деривативын утгыг ол.
Графикийн шүргэгч нэмэгдэх тул $f"(x_0) = tan α > 0$ болно.
$f"(x_0)$-г олохын тулд $Ox$ тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох хазайлтын өнцгийн тангенсыг олно. Үүний тулд $ABC$ гурвалжинд шүргэгчийг байгуулна.
$BAC$ өнцгийн тангенсыг олъё. (Тангенциал хурц өнцөгВ зөв гурвалжинхарилцаа гэж нэрлэдэг эсрэг хөлзэргэлдээх хөл рүү.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25
$f"(x_0) = тг BAC = 0.25$
Хариулт: 0.25 доллар
Дериватив нь функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг олоход хэрэглэгддэг.
Хэрэв интервал дээр $f"(x) > 0$ байвал энэ интервалд $f(x)$ функц нэмэгдэж байна.
Хэрэв $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Зурагт $y = f(x)$ функцийн графикийг үзүүлэв. $х_1,х_2,х_3...х_7$ цэгүүдийн дотроос функцийн дериватив сөрөг байх цэгүүдийг ол.
Хариуд нь эдгээр цэгүүдийн тоог бичнэ үү.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
АгуулгаАгуулгын элементүүд
Дериватив, шүргэгч, эсрэг дериватив, функцийн график, дериватив.
Дериватив\(f(x)\) функцийг \(x_0\) цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлъё.
\(x_0\) цэг дээрх \(f\) функцийн деривативхязгаар гэж нэрлэдэг
\(f"(x_0)=\lim_(x\баруун сум x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
хэрэв энэ хязгаар байгаа бол.
Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог.
| Чиг үүрэг | Дериватив |
| \(const\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Ялгах дүрэм\(f\) ба \(g\) нь \(x\) хувьсагчаас хамаарах функцууд; \(c\) нь тоо юм.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\зүүн(\dfrac(f)(g)\баруун)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - цогц функцийн дериватив
Деривативын геометрийн утга Шугамын тэгшитгэл- тэнхлэгтэй параллель биш \(Oy\) \(y=kx+b\) хэлбэрээр бичиж болно. Энэ тэгшитгэл дэх \(k\) коэффициентийг нэрлэнэ шулуун шугамын налуу. Энэ нь шүргэгчтэй тэнцүү байна налуу өнцөгэнэ шулуун шугам.
Шулуун өнцөг- чиглэлд хэмжсэн \(Ox\) тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба энэ шулуун шугамын хоорондох өнцөг эерэг өнцөг(өөрөөр хэлбэл \(Ox\) тэнхлэгээс \(Oy\) тэнхлэг хүртэл хамгийн бага эргэлтийн чиглэлд).
\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцийн дериватив нь энэ цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна: \(f"(x_0)=\tg\ альфа.\)
Хэрэв \(f"(x_0)=0\) бол \(x_0\) цэгийн \(f(x)\) функцын графикт шүргэгч нь \(Ox\) тэнхлэгтэй параллель байна.
Тангенсийн тэгшитгэл
\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцын графиктай шүргэгчийн тэгшитгэл:
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Функцийн монотон байдалХэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгүүдэд эерэг байвал энэ интервал дээр функц нэмэгдэнэ.
Хэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгт сөрөг байвал энэ интервал дээр функц буурна.
Хамгийн бага, хамгийн их ба гулзайлтын цэгүүд эерэгдээр сөрөгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн их цэг болно.
Хэрэв \(f\) функц нь \(x_0\) цэг дээр тасралтгүй байх ба энэ функцийн деривативын утга \(f"\) өөрчлөгдвөл: сөрөгдээр эерэгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн бага цэг болно.
\(f"\) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүд функцууд \(f\).
\(f(x)\) функцийн тодорхойлолтын домайны дотоод цэгүүд, үүнд \(f"(x)=0\) нь хамгийн бага, хамгийн их эсвэл гулзайлтын цэг байж болно.
Деривативын физик утгаХэрэв материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь \(x=x(t)\ хуулийн дагуу цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгдвөл энэ цэгийн хурд нь цаг хугацааны координатын деривативтай тэнцүү байна.
Хурдатгал материаллаг цэгцаг хугацааны хувьд энэ цэгийн хурдны деривативтай тэнцүү байна:
\(a(t)=v"(t).\)
Зурагт y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол. K 0 K. = -0.5 K = 0.5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title=" Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг харуулав. ) ба абсциссатай цэг дээрх шүргэгч x 0. f(x) функцын x 0 цэг дээрх деривативын утгыг ол. K 0 K = -0,5 K = 0,5."> title="Зурагт y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол. K 0 K. = -0.5 K = 0.5"> !}
Зураг дээр (-1;17) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа хамгийн томынх нь уртыг заана уу. f(x) 
0 интервал дээр, дараа нь f(x)" title="Зурагт y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4 цэгүүдийн дундаас ол. , x 5, x 6 ба x 7 нь f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүд бөгөөд хэрэв f (x) > 0 интервал дээр олдсон цэгүүдийн тоог бичнэ үү функц f(x)" class="link_thumb"> 8 !}Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 байвал f (x) функц энэ интервалд нэмэгдэнэ Хариу: 2 интервал дээр 0, дараа нь интервал дээр f(x)"> 0 функц, дараа нь энэ интервал дээр f(x) функц өснө Хариу: 2"> 0 интервал дээр, дараа нь f(x)" функц гарчиг= "On. Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг харуулж байна. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дундаас тухайн цэгүүдийг олоорой. f(x) функцийн дериватив нь эерэг байна. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 байвал хариуг бич."> title="Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив эерэг байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хэрэв интервал дээр f (x) > 0 бол f(x) функц"> !}
Зураг дээр (-9; 2) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Сегментийн аль цэг дээр -8; -4 f(x) функцийг авна хамгийн өндөр үнэ цэнэ? Сегмент дээр -8; -4 f(x) 
y = f(x) функц нь (-5; 6) интервал дээр тодорхойлогддог. Зураг дээр y = f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. x 1, x 2, ..., x 7 цэгүүдийн дотроос f(x) функцийн дериватив тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг ол. Хариуд нь олсон онооны тоог бич. Хариулт: 3 оноо x 1, x 4, x 6, x 7 нь экстремум цэгүүд юм. x 4 цэг дээр f (x) байхгүй.
Уран зохиол 4 Алгебр, анализын эхлэлийн анги. Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг суурь түвшин/ Ш.А.Алимов ба бусад, - М.: Просвещение, Семенов А.Л. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн 3000 асуудал. – М .: "Шалгалт" хэвлэлийн газар, Гэндэнштейн Л.Е., Ершова А.П., Ершова А.С. 7-11-р ангийн жишээн дээр алгебр ба анализын эхлэлийн талаархи харааны гарын авлага. - М .: Илекса, Цахим нөөцУлсын нэгдсэн шалгалтын ажлын банкийг нээнэ үү.
