Конусын эзэлхүүнийг пирамидын эзэлхүүнтэй ижил томъёогоор илэрхийлнэ: V = 1/3 S h,
V нь конусын эзэлхүүн, S нь конусын суурийн талбай, h- түүний өндөр.
Эцэст нь V = 1/3 πR 2 h, энд R нь конусын суурийн радиус юм.
Конусын эзэлхүүний томъёог олж авахыг дараах үндэслэлээр тайлбарлаж болно.
Конусыг өгье (зураг). Үүнийг бичье зөв пирамид, өөрөөр хэлбэл, бид конусын дотор пирамид барих бөгөөд түүний дээд хэсэг нь конусын оройтой давхцаж, суурь нь ердийн олон өнцөгт, конусын ёроолд бичээстэй.
Энэ пирамидын эзэлхүүнийг V’ = 1/3 S’ томъёогоор илэрхийлнэ. h, V нь пирамидын эзэлхүүн,
S' нь түүний суурийн талбай, h- пирамидын өндөр.
Хэрэв бид нэгэн зэрэг маш олон өнцөгтийг авбал их тооХэрэв талууд байвал пирамидын суурийн талбай нь тойргийн талбайгаас маш бага, пирамидын эзэлхүүн нь конусын эзэлхүүнээс маш бага ялгаатай байх болно. Хэрэв бид эдгээр хэмжээтэй ялгааг үл тоомсорловол конусын эзэлхүүнийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
V=1/3S h, V нь конусын эзэлхүүн, S нь конусын суурийн талбай, h- конусын өндөр.
S-ийг πR 2-оор сольж, R нь тойргийн радиус бөгөөд бид томъёог авна: V = 1/3 πR 2 h, конусын эзэлхүүнийг илэрхийлэх.
Анхаарна уу.Томъёонд V = 1/3 S hОйролцоо биш, яг ижил тэгш байдлын тэмдэг тавигдсан боловч хийсэн үндэслэлд үндэслэн бид үүнийг ойролцоо гэж үзэж болох боловч ахлах сургуульд ахлах сургуультэгш эрхтэй болох нь батлагдсан
V=1/3S hяг, ойролцоо биш.
Дурын конусын эзэлхүүн
Теорем. Дурын конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. тэдгээр.
V = 1/3 QH, (1)
Энд Q нь суурийн талбай, H нь конусын өндөр юм.
S оройтой, Ф суурьтай конусыг авч үзье (Зураг).
Суурийн талбайг Φ Q-тай, конусын өндөр нь H-тэй тэнцүү байг. Дараа нь Φ олон өнцөгтүүдийн дараалал байдаг. nба F' n Q талбайтай nболон Q' nтиймэрхүү
Ф n⊂ Ф n⊂ Ф' nба \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) Q’ n= \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) А n= Q.
Дээд тал нь S, суурь нь Ф' пирамид гэдэг нь ойлгомжтой. nнь өгөгдсөн конус, S оройтой, Ф суурьтай пирамид бичээстэй байх болно n- конусын эргэн тойронд дүрслэгдсэн.
Эдгээр пирамидын эзэлхүүн нь тэнцүү байна
В n= 1/3 Q n H, V' n= 1/3 Q' nХ
\(\lim_(n \баруун сум \infty)\) V n= \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) V’ n= 1/3 QH
Дараа нь томъёо (1) батлагдсан болно.
Үр дагавар. Суурь нь a ба b хагас тэнхлэг бүхий эллипс болох конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно.
V = 1/3π ab H (2)
Ялангуяа, Суурь нь радиустай тойрог болох конусын эзэлхүүн R, томъёогоор тооцоолно
V = 1/3 π R 2 H (3)
Энд H нь конусын өндөр.
Мэдэгдэж байгаагаар хагас тэнхлэг бүхий эллипсийн талбай АТэгээд бπ-тэй тэнцүү ab, тиймээс (2) томъёог (1) -ээс Q = π-ээр авна ab. Хэрэв a = b= R, дараа нь (3) томъёог авна.
Баруун дугуй конусын эзэлхүүн
Теорем 1. Шууд эзлэхүүн дугуй конусөндөр H ба суурийн радиус R-ийг томъёогоор тооцоолно
V = 1/3 π R 2 H
Энэ конусыг тэнхлэгийн эргэн тойронд O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) цэгүүдэд оройтой гурвалжинг эргүүлснээр олж авсан бие гэж үзэж болно. Өө(будаа.).
Гурвалжин OAB нь муруй трапец, харгалзах функц
y = R / H X, X∈ . Тиймээс ашиглах алдартай томъёо, бид авдаг
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(массив)(c)H\\\\ 0\end(массив)\баруун.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$
Үр дагавар. Зөв дугуй конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. өөрөөр хэлбэл
хаана Q - суурь талбай, ба H - конусын өндөр.
Теорем 2. Суурийн радиус r ба R, H өндөртэй таслагдсан конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно.
V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).
Таслагдсан конусыг тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар олж авч болно Өөтрапецын O ABC (зураг).
AB шулуун шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг (0; r) ба (H; R) тул тэгшитгэлтэй байна
$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$
бид авдаг
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$
Интегралыг тооцоолохын тулд бид орлуулалтыг хийдэг
$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$
Хэзээ нь ойлгомжтой X 0-ээс H хооронд хэлбэлздэг, хувьсагч Тэгээд-аас ялгаатай r R руу, тиймээс
$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(массив)(c)R\\\\ r\end(массив)\баруун.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$
Конусын эзэлхүүн. Одоо бид конус, цилиндрт хүрэв. Өмнө нь хэвлэгдсэн нийтлэлүүдээс гадна есөн нийтлэл байх болно, бид бүх төрлийн даалгавруудыг авч үзэх болно. Хэрэв жилийн турш нээлттэй банкШинэ даалгаврууд нэмэгдэх болно, мэдээжийн хэрэг тэдгээрийг блогт оруулах болно. Энэ нийтлэлд үүнийг ашигласан онол, жишээг харуулав. Конусын эзэлхүүний томъёог мэдэх нь хангалтгүй, энд байна;
Бид бичиж болно:
Зарим жишээг шийдэхийн тулд боть хэрхэн холбогдож байгааг ойлгох хэрэгтэй ижил төстэй биетүүд. Энэ нь зөвхөн томъёог сурах биш ойлгох явдал юм:
Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид биеийн шугаман хэмжээсийг k дахин ихэсгэх (багасгах) тохиолдолд үүссэн биеийн эзэлхүүний анхны эзэлхүүний харьцаа нь k 3-тай тэнцүү байх болно.
АНХААРНА УУ! Хэмжээг хэрхэн тодорхойлох нь хамаагүй:
Баримт нь ижил төстэй биетүүдийг авч үзэхдээ асуудлыг шийдвэрлэх явцад зарим нь k коэффициенттэй андуурч магадгүй юм. Асуулт гарч ирж магадгүй - Энэ нь юутай тэнцүү вэ?
(нөхцөлд заасан утгаас хамаарч)
Энэ бүхэн таны "аль талыг" харахаас хамаарна. Үүнийг ойлгох нь чухал! Нэг жишээг харцгаая: шоо өгөгдсөн бол хоёр дахь шоогийн ирмэг нь гурав дахин том байна:
IN энэ тохиолдолд, ижил төстэй байдлын коэффициент нь гурван (ирмэгийг гурав дахин нэмэгдүүлсэн) бөгөөд энэ нь харьцаа дараах байдалтай байна гэсэн үг юм.
Өөрөөр хэлбэл, үүссэн (том) кубын хэмжээ 27 дахин их байх болно.
Та нөгөө талаас нь харж болно.
Шоо өгөгдсөн бол хоёр дахь шоогийн ирмэг нь гурав дахин бага байна.
Ижил төстэй байдлын коэффициент нь гуравны нэгтэй тэнцүү (ирмэгийг гурав дахин багасгаж), энэ нь харьцаа дараах байдалтай байна гэсэн үг юм.
Энэ нь үүссэн кубын хэмжээ 27 дахин бага байх болно.
Дүгнэлт! Эзлэхүүнийг илэрхийлэхдээ индексүүд нь чухал биш, бие биенүүдийг бие биенээсээ хэрхэн харж байгааг ойлгох нь чухал юм.
Энэ нь тодорхой байна:
- хэрэв анхны бие нь нэмэгдвэл коэффициент нь нэгээс их байх болно.
- хэрэв анхны бие багасвал коэффициент нь нэгээс бага байх болно.
Эзлэхүүний харьцааны талаар дараахь зүйлийг хэлж болно.
- хэрэв асуудалд бид эзлэхүүнийг хуваавал илүү том биетэйбага бол бид ижил төстэй коэффициентийн кубыг авах бөгөөд коэффициент нь өөрөө нэгээс их байх болно.
- Хэрэв бид жижиг биеийн эзэлхүүнийг томоор нь хуваах юм бол бид ижил төстэй байдлын коэффициентийн кубыг авах бөгөөд коэффициент нь өөрөө нэгээс бага байх болно.
Санаж байх ёстой хамгийн чухал зүйл бол ижил төстэй биетүүдийн ЭЗЭМЖИЙН тухай ярихад ижил төстэй байдлын коэффициент нь талбайн адил хоёрдугаар зэрэгтэй биш харин ГУРАВДУГААР зэрэгтэй байдаг.
Бас нэг зүйл бол.
Нөхцөл байдал нь конусын generatrix гэх мэт ойлголтыг агуулдаг. Энэ нь конусын дээд хэсгийг үндсэн тойргийн цэгүүдтэй холбосон сегмент юм (зураг дээрх L үсгээр тэмдэглэсэн).
Энд бид зөвхөн шулуун конус (цаашид зүгээр л конус) бүхий асуудлыг шинжлэх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Баруун конусын генераторууд тэнцүү байна
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Сургуульд судлагдсан эргэлтийн биетүүд нь цилиндр, конус, бөмбөг юм.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалд конус эсвэл бөмбөрцгийн талбайн хэмжээг тооцоолох шаардлагатай бол өөрийгөө азтай гэж бодоорой.
Цилиндр, конус, бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн томъёог ашиглана. Тэд бүгдээрээ манай хүснэгтэд байдаг. Зүрх сэтгэлээрээ сур. Эндээс л стереоометрийн мэдлэг эхэлдэг.
Заримдаа дээрээс нь харах нь сайн байдаг. Эсвэл энэ асуудлын нэгэн адил доороос.
2. Конусын эзэлхүүнийг хэдэн удаа зөв дүрсэлсэн бэ? дөрвөлжин пирамид, энэ пирамидад сийлсэн конусын эзэлхүүнээс их үү?
Энэ нь энгийн зүйл - доороос харагдах байдлыг зур. Том тойргийн радиус нь жижиг тойргийн радиусаас хэд дахин их байгааг бид харж байна. Хоёр конусын өндөр ижил байна. Тиймээс том конусын эзэлхүүн хоёр дахин их байх болно.
Өөр чухал цэг. Б хэсгийн асуудлууд дээр гэдгийг санаарай Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудМатематикийн хувьд хариултыг бүхэл тоо эсвэл төгсгөлтэй тоогоор бичдэг аравтын. Иймд таны хариултад В хэсэгт ямар ч юмуу гэж байх ёсгүй. Мөн тооны ойролцоо утгыг орлуулах шаардлагагүй! Энэ нь мэдээж багасах ёстой! Энэ зорилгоор зарим асуудалд даалгаврыг, жишээлбэл, "Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг хуваасан хэсгийг ол" гэж томъёолсон болно.
Хувьсгалын биетүүдийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн томъёог өөр хаана ашигладаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, C2 (16) асуудалд. Энэ талаар бид бас танд хэлэх болно.
Эзлэхүүн нь 8π хэмжээтэй бөмбөрцгийг шоо дотор бичжээ. Кубын эзэлхүүнийг ол.
Шийдэл
Шооны тал нь a байх болтугай. Дараа нь шооны эзэлхүүн V = a 3 байна.
Бөмбөгийг шоо хэлбэрээр бичсэн тул бөмбөгний радиус нь байна хагастай тэнцүүкубын ирмэгүүд, өөрөөр хэлбэл R = a/2 (зураг харна уу).
Бөмбөгний эзэлхүүн нь V w = (4/3)πR 3 ба 8π-тэй тэнцүү тул
(4/3)πR 3 = 8π,
Мөн кубын эзэлхүүн V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48-тай тэнцүү байна.
Даалгавар B9 ( Ердийн сонголтууд 2015)
Конусын эзэлхүүн 32. Суурь болох конусын суурьтай параллель өндрийн дундуур хөндлөн огтлолыг зурсан. жижиг конусижил оройтой. Жижиг конусын эзэлхүүнийг ол.
Шийдэл
Даалгавруудыг авч үзье:
72353. Конусын эзэлхүүн 10. Ижил оройтой жижиг конусын суурь болох конусын суурьтай параллель өндрийн дундуур зүсэлт хийсэн. Жижиг конусын эзэлхүүнийг ол.
Анхны болон таслагдсан конус нь ижил төстэй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе, хэрэв бид тайрсан конусыг анхныхтай нь харьцуулж үзвэл бид үүнийг хэлж болно: жижиг конус нь хагас буюу 0.5-тай тэнцүү коэффициенттэй том конустай төстэй юм. . Бид бичиж болно:
Нэг хүн бичиж болно:
Хүн тэгж бодож болно!
Анхны конусыг огтлолттой харьцуулахад авч үзье. Том конус нь хоёртой тэнцүү коэффициент бүхий таслагдсан конустай төстэй гэж бид хэлж болно, бичье.
Одоо ижил төстэй шинж чанарыг ашиглахгүйгээр шийдлийг хар.
Конусын эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.
Заасан хөндлөн огтлолтой хажуугийн төсөөллийг (хажуугийн харагдах байдал) авч үзье.
Том конусын радиус нь R-тэй, өндөр нь H-тэй тэнцүү байг. Хэсэг (бага конусын суурь) өндрийн дундуур дамждаг бөгөөд энэ нь түүний өндөр нь H / 2-тэй тэнцүү байх болно. Мөн суурийн радиус нь R/2-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй юм.
Анхны конусын эзэлхүүнийг бичье.
Таслагдсан конусын эзэлхүүн нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.
Тэгэхээр нарийвчилсан шийдлүүдҮндэслэлийг хэрхэн бүтээхийг харахын тулд толилуулж байна. Ямар ч байдлаар үйлдэл хийх - гол зүйл бол шийдвэрийн мөн чанарыг ойлгох явдал юм. Таны сонгосон зам оновчтой биш байсан ч үр дүн (зөв үр дүн) чухал.
Хариулт: 1.25
318145. Конус хэлбэртэй саванд шингэний түвшин нь өндрийнхөө хагаст хүрдэг. Шингэний хэмжээ 70 мл байна. Савыг бүрэн дүүргэхийн тулд хэдэн миллилитр шингэн нэмэх шаардлагатай вэ?
Энэ даалгавар нь өмнөхтэй төстэй юм. Хэдийгээр бид энд шингэний тухай ярьж байгаа ч уусмалын зарчим ижил байна.
Бидэнд хоёр боргоцой байдаг - энэ бол хөлөг онгоц өөрөө ба "жижиг" конус (шингэнээр дүүрсэн), тэдгээр нь ижил төстэй юм. Ийм байгууллагуудын хэмжээ дараахь байдлаар хамааралтай болохыг мэддэг.
Эхний конус (хөлөг онгоц) нь шингэний түвшин хагас өндөрт хүрдэг гэж хэлдэг тул 2-той тэнцүү коэффициент бүхий шингэнээр дүүрсэн конустай төстэй. Та илүү дэлгэрэнгүй бичиж болно:
Бид тооцоолно:
Тиймээс та нэмэх хэрэгтэй:
Шингэнтэй холбоотой бусад асуудлууд.
74257. Төрөлх хэсэг нь 44-тэй тэнцүү ба суурийн хавтгайд 30 0 өнцгөөр налуу байгаа конусын V эзэлхүүнийг ол. Хариултдаа V/Pi-г заана уу.
Конусын хэмжээ:
Бид конусын өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарыг ашиглан олдог.
30 ° өнцгийн эсрэг байрлах хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд гипотенуз нь конусын үүсгэгч юм. Тиймээс конусын өндөр нь 22 байна.
Бид Пифагорын теоремыг ашиглан суурийн радиусын квадратыг олно.
*Бидэнд радиус өөрөө биш харин радиусын квадрат хэрэгтэй.
