Хувийн утгуудын шинж чанарууд. Хувийн утга (тоо) ба хувийн векторууд шийдлийн жишээ

Тодорхойлолт 9.3.Вектор X дуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв ийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: А X= λ X, гэж өргөдөл гаргасны үр дүн X матрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ . Тоо нь өөрөө λ дуудсан хувийн утгаматрицууд А.

Томъёонд орлуулах (9.3) x` j = λx j,Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

. (9.5)

Энэ шугаман нэгэн төрлийн систембайх болно өчүүхэн бус шийдэлзөвхөн түүний гол тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм). Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ , дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл. Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

| A - λE | = 0, (9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE. Олон гишүүнт харьцангуй λ | A - λE| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

1) Шугаман хувиргалтын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Баталгаа. (9.4-ийг үзнэ үү), гэхдээ иймээс, . Тиймээс энэ нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Энэ нь | A-λE| шинэ суурь руу шилжихэд өөрчлөгдөхгүй.

2) Хэрэв матриц Ашугаман хувиргалт юм тэгш хэмтэй(тэдгээр. мөн ij =a ji), дараа нь бүх үндэс шинж чанарын тэгшитгэл(9.6) нь бодит тоонууд юм.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Хэрэв та хувийн векторуудаас суурийг сонговол x 1, x 2, x 3 , хувийн утгатай харгалзах λ 1, λ 2, λ 3матрицууд А, дараа нь энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт A диагональ матрицтай:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

2) Хэрэв өөрчлөлтийн хувийн утгууд Аялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

3) Хэрэв онцлог олон гишүүнтматрицууд Агурван өөр үндэстэй, дараа нь ямар нэгэн үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё. Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | x (1) |=1, X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, хаана X (2) ={б,-б, б) эсвэл, өгсөн | x (2) |=1, x (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={в,2c,c) эсвэл хэвийн болгосон хувилбарт

x (3) = Үүнийг анзаарч болно X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = МЭӨ- 2МЭӨ + МЭӨ= 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.

Лекц 10.

Квадрат хэлбэр ба тэдгээрийн тэгш хэмтэй матрицтай холбоо. Тэгш хэмт матрицын хувийн вектор ба хувийн утгуудын шинж чанарууд. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тодорхойлолт 10.1.Квадрат хэлбэрбодит хувьсагч x 1, x 2,…, x nагуулаагүй эдгээр хувьсагчдын хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт юм чөлөөт гишүүнболон нэгдүгээр зэрэглэлийн гишүүд.

Жишээ квадрат хэлбэрүүд:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Сүүлийн лекцэд өгсөн тэгш хэмт матрицын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 10.2.Квадрат матриц гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв , өөрөөр хэлбэл, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матрицын элементүүд тэнцүү бол.

Симметрик матрицын хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.

Нотолгоо (for n = 2).

Матрицыг үзье Ахэлбэртэй байна: . Онцлог тэгшитгэлийг байгуулъя:

(10.2) Ялгаварлагчийг олцгооё:

Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн бодит үндэстэй.

2) Симметрик матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.

Нотолгоо (for n= 2).

Өвөрмөц векторуудын координат ба тэгшитгэлийг хангах ёстой.

Диагональ матрицууд нь хамгийн энгийн бүтэцтэй байдаг. Шугаман операторын матриц диагональ хэлбэртэй байх үндэслэлийг олох боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Ийм суурь бий.
Өгчихье шугаман орон зай R n ба түүнд ажиллаж буй шугаман оператор А; энэ тохиолдолд A оператор R n-ийг өөртөө авна, өөрөөр хэлбэл A:R n → R n .

Тодорхойлолт. Хэрэв A оператор х-г коллинеар вектор болгон хувиргавал тэгээс өөр x векторыг А операторын хувийн вектор гэнэ, өөрөөр хэлбэл. λ тоог х хувийн векторт харгалзах A операторын хувийн утга буюу хувийн утга гэнэ.
Хувийн утга ба хувийн векторын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
1. Хувийн векторуудын дурын шугаман хослол Ижил хувийн утгатай λ харгалзах оператор А нь ижил хувийн утгатай хувийн вектор юм.
2. Хувийн векторууд λ 1 , λ 2 , …, λ m хосоор ялгаатай хувийн утга бүхий оператор А нь шугаман бие даасан байна.
3. Хэрэв хувийн утга λ 1 =λ 2 = λ m = λ бол хувийн утга λ нь m-ээс ихгүй шугаман бие даасан хувийн вектортой тохирно.

Тэгэхээр шугаман бие даасан n хувийн вектор байвал , өөр өөр хувийн утгатай λ 1, λ 2, ..., λ n харгалзах бол тэдгээр нь шугаман хамааралгүй тул R n орон зайн үндэс болгон авч болно. Шугаман А операторын матрицын хэлбэрийг түүний хувийн векторуудын үндсэн дээр олъё, үүний тулд бид А оператортой үндсэн векторууд дээр ажиллах болно. Дараа нь .
Ийнхүү шугаман оператор А матриц нь өөрийн векторуудын үндсэн дээр диагональ хэлбэртэй, А операторын хувийн утга диагональ дагуу байна.
Матриц диагональ хэлбэртэй байх өөр үндэслэл бий юу? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Суурийн (i = 1..n) шугаман операторын матриц нь суурийн бүх векторууд нь А операторын хувийн векторууд байх тохиолдолд диагональ хэлбэртэй байна.

Хувийн утга ба хувийн векторыг олох дүрэм

. (*)

(1)
Хаана - шугаман оператор матриц.

Хэрэв тодорхойлогч D нь тэгтэй тэнцүү бол (1) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна

Жишээ 12. Шугаман оператор A нь хуулийн дагуу R 3-т үйлчилдэг ба энд x 1, x 2, .., x n нь суурь дээрх векторын координатууд юм. , , . Энэ операторын хувийн утга ба хувийн векторыг ол.
Шийдэл. Бид энэ операторын матрицыг бүтээдэг:
.
Бид хувийн векторуудын координатыг тодорхойлох системийг бий болгодог.

Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиож, үүнийг шийднэ.

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Системд λ = -1-ийг орлуулбал бид:
эсвэл
Учир нь , дараа нь хоёр хамааралтай хувьсагч ба нэг чөлөөт хувьсагч байна.
Тэгвэл x 1 нь чөлөөт үл мэдэгдэх болно Бид энэ системийг ямар ч аргаар шийдэж, олдог нийтлэг шийдвэрэнэ систем: Үндсэн систем n - r = 3 - 2 = 1 тул шийдлүүд нэг уусмалаас бүрдэнэ.
Хувийн утга λ = -1-д харгалзах хувийн векторуудын олонлог нь дараах хэлбэртэй байна, энд x 1 нь тэгээс бусад тоо юм. Энэ олонлогоос нэг векторыг сонгоцгооё, жишээлбэл, x 1 = 1 гэж тавь. .
Үүнтэй адил үндэслэлээр бид хувийн утга λ = 3-д тохирох хувийн векторыг олно. .
R3 орон зайд суурь нь гурван шугаман хэсгээс бүрдэнэ бие даасан векторууд, бид зөвхөн хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг хүлээн авсан бөгөөд тэдгээрээс R 3-ийн суурь үүсгэх боломжгүй. Иймээс бид шугаман операторын А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй.

Жишээ 13. Матриц өгөгдсөн .
1. Вектор гэдгийг батал нь А матрицын хувийн вектор. Энэ хувийн векторт тохирох хувийн утгыг ол.
2. А матриц диагональ хэлбэртэй байх суурийг ол.
Шийдэл.
1. Хэрэв бол x нь хувийн вектор болно

.
Вектор (1, 8, -1) нь хувийн вектор юм. Хувийн утга λ = -1.
Матриц нь хувийн векторуудаас бүрдэх суурь дээр диагональ хэлбэртэй байна. Тэдний нэг нь алдартай. Үлдсэнийг нь олъё.
Бид системээс өөрийн векторуудыг хайдаг.

Онцлог тэгшитгэл: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 хувийн утгад тохирох хувийн векторыг олъё.

Энэ системийн матрицын зэрэглэл нь хоёр ба тоотой тэнцүү байнаүл мэдэгдэх, тиймээс энэ систем нь зөвхөн тэг шийдэлтэй байна x 1 = x 3 = 0. Энд x 2 нь тэгээс өөр зүйл байж болно, жишээлбэл, x 2 = 1. Иймээс (0,1,0) вектор нь хувийн вектор юм. , харгалзах λ = -3. Шалгацгаая:
.
Хэрэв λ = 1 бол бид системийг олж авна
Матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хасдаг.
x 3 нь чөлөөт үл мэдэгдэх зүйл байг. Дараа нь x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 гэж үзвэл бид (-3,-9,1) - хувийн утга λ = 1-д тохирох хувийн вектор байна. Шалгана уу:

.
Хувийн утгууд нь бодит бөгөөд тодорхой байдаг тул тэдгээрт харгалзах векторууд нь шугаман бие даасан байдаг тул тэдгээрийг R 3-д үндэс болгон авч болно. Тиймээс, үндсэн дээр , , А матриц нь дараах хэлбэртэй байна.
.
A:R n → R n шугаман операторын матриц бүрийг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй, учир нь зарим нь шугаман операторуудШугаман бие даасан хувийн векторууд n-ээс бага байж болно. Гэсэн хэдий ч матриц нь тэгш хэмтэй бол m үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь яг m шугаман бие даасан вектортой тохирч байна.

Тодорхойлолт. Тэгш хэмтэй матриц гэж нэрлэдэг квадрат матриц, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй элементүүд тэнцүү байх, өөрөөр хэлбэл аль нь .
Тэмдэглэл. 1. Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.
2. Хосоор ялгаатай хувийн утгуудад харгалзах тэгш хэмт матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.
Судалгаанд хамрагдсан аппаратын олон хэрэглээний нэг болохын хувьд бид хоёр дахь эрэмбийн муруйн төрлийг тодорхойлох асуудлыг авч үздэг.

Лекц 9.

Шугаман координатын хувиргалт. Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга, тэдгээрийн шинж чанар. Матрицын шинж чанарын олон гишүүнт, түүний шинж чанарууд.

Бид үүнийг векторуудын багц дээр хэлэх болноРөгсөн хувиргалт А , хэрэв вектор бүр X Р зарим дүрмийн дагуу вектор А X Р.

Тодорхойлолт 9.1.Хөрвүүлэлт А дуудсан шугаман, хэрэв ямар нэгэн векторын хувьд X Тэгээд цагт ямар ч бодит тоо λ Дараахь тэгш байдлыг хангана.

А( X + цагт )=А X+ А цагт ,А(λ X ) = λ А X. (9.1)

Тодорхойлолт 9.2.Шугаман хувиргалт гэж нэрлэдэг адилхан, хэрэв энэ нь ямар нэгэн векторыг хувиргавал X өөртөө.

Баримтлалын өөрчлөлтийг тэмдэглэв ТЭР X= X .

Суурьтай гурван хэмжээст орон зайг авч үзье e 1 , д 2, д 3 , үүнд шугаман хувиргалтыг зааж өгсөн А. Үүнийг суурь векторуудад ашигласнаар бид векторуудыг авна А e 1, А д 2, А д 3 энэ гурван хэмжээст орон зайд хамаарах. Иймээс тус бүрийг үндсэн вектор болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно.

А д 1 = a 11 e 1+ 21 д 2+а 31 д 3,

А д 2 = a 12 e 1+ 22 д 2+ 32 д 3 ,(9.2)

А д 3= a 13 e 1+ 23 д 2+ 33 д 3 .

Матриц дуудсан шугаман хувиргах матриц А үндсэн дээр e 1 , д 2, д 3 . Энэ матрицын баганууд нь суурь хувиргалт (9.2) томъёоны коэффициентуудаас бүрдэнэ.

Сэтгэгдэл. Мэдээжийн хэрэг, таних тэмдэг хувиргах матриц бол таних матриц юм Э.

Дурын векторын хувьд X =x 1 e 1+ x 2 д 2+ x 3 д 3 түүнд шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн Авектор байх болно А X, ижил суурьтай вектор болгон өргөжүүлж болно: А X =x` 1 e 1+ x` 2 д 2+ x` 3 д 3 , координат хаана байнаx` битомъёог ашиглан олж болно:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = а 31 x 1 + а 32 x 2 + а 33 x 3 .

Энэхүү шугаман хувиргалтын томъёоны коэффициентүүд нь матрицын эгнээний элементүүд юм А.

Шугаман хувиргалт матрицын хувиргалт

шинэ суурь руу шилжих үед.

А шугаман хувиргалт ба хоёр суурийг авч үзье гурван хэмжээст орон зай: e 1, e 2, д 3 Тэгээд д 1 , д 2 , д 3 . С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл.д к) суурь ( д к). Хэрэв эдгээр суурийн эхний хэсэгт сонгосон шугаман хувиргалтыг А матрицаар, хоёр дахь нь матрицаар өгвөл А, дараа нь бид эдгээр матрицуудын хоорондын холболтыг олж болно, тухайлбал:

A = C -1 А C(9.4)

Нээрээ тэгвэл А . Нөгөө талаас ижил шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн Аүндсэн дээр (д к), i.e. , мөн үндсэн дээр (д к ): тус тус - матрицаар холбогдсон ХАМТ: , үүнээс үүдэн гарч ирдэг CA= АХАМТ. Энэ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талаас нь үржүүлнэ ХАМТ-1, бид авдаг ХАМТ -1 CA= = C -1 АХАМТ, энэ нь (9.4) томъёоны үнэн зөвийг нотолж байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторууд.

Тодорхойлолт 9.3.Вектор X дуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв ийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: А X= λ X, гэж өргөдөл гаргасны үр дүн X матрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ . Тоо нь өөрөө λ дуудсан хувийн утгаматрицууд А.

Томъёонд орлуулах (9.3)x` j = λ x j, Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

.

Эндээс

.(9.5)

Энэ шугаман нэгэн төрлийнСистемийн үндсэн тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм) байвал л чухал бус шийдэлтэй байх болно. Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ , дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл. Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

| А -λ Э | = 0,(9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг А- λE. Олон гишүүнт харьцангуй λ| А -λ Э| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

1) Шугаман хувиргалтын шинж чанарын олон гишүүнт баазын сонголтоос хамаардаггүй. (9.4-ийг үзнэ үү), гэхдээ иймээс, . Тиймээс энэ нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Энэ нь |А-λ Э| шинэ суурь руу шилжихэд өөрчлөгдөхгүй.

2) Хэрэв матриц Ашугаман хувиргалт юм тэгш хэмтэй(тэдгээр. А ij= а жи), тэгвэл (9.6) шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит тоо байна.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Хэрэв бид хувийн векторуудаас суурийг сонговол x 1, x 2, x 3 , хувийн утгатай харгалзах λ 1, λ 2, λ 3матрицууд А, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

2) Хэрэв хувиргалт хувийн утга байвал Аялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

3) Хэрэв матрицын олон гишүүнт шинж чанар Агурван өөр үндэстэй, дараа нь ямар нэг үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Жишээ.

С матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олж, шинж чанарын тэгшитгэлийг үлдээцгээе. (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={ а,0,- а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол |x (1) |=1, X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна -x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Шугаман координатын хувиргалт. Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга, тэдгээрийн шинж чанар. Матрицын шинж чанарын олон гишүүнт, түүний шинж чанарууд.

Бид үүнийг векторуудын багц дээр хэлэх болно Рөгсөн хувиргалтА , хэрэв вектор бүр X Р зарим дүрмийн дагуу вектор АX Р.

Тодорхойлолт 9.1.Хөрвүүлэлт Адуудсан шугаман, хэрэв ямар нэгэн векторын хувьд X Тэгээд цагт ямар ч бодит тоо λ Дараахь тэгш байдлыг хангана.

А(X + цагт )=АX + Ацагт ,А(λX ) =λ АX . (9.1)

Тодорхойлолт 9.2.Шугаман хувиргалт гэж нэрлэдэг адилхан, хэрэв энэ нь ямар нэгэн векторыг хувиргавал X өөртөө.

Баримтлалын өөрчлөлтийг тэмдэглэв ТЭРX = X .

Суурьтай гурван хэмжээст орон зайг авч үзье д 1 , д 2 , д 3 , үүнд шугаман хувиргалтыг зааж өгсөн А. Үүнийг суурь векторуудад ашигласнаар бид векторуудыг авна Ад 1 , Ад 2 , Ад 3 энэ гурван хэмжээст орон зайд хамаарах. Иймээс тус бүрийг үндсэн вектор болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно.

Ад 1 = a 11 д 1 + a 21 д 2 +a 31 д 3 ,

Ад 2 = a 12 д 1 + a 22 д 2 + a 32 д 3 , (9.2)

Ад 3 = a 13 д 1 + a 23 д 2 + a 33 д 3 .

Матриц
дуудсан шугаман хувиргах матрицА үндсэн дээр д 1 , д 2 , д 3 . Энэ матрицын баганууд нь суурь хувиргалт (9.2) томъёоны коэффициентуудаас бүрдэнэ.

Сэтгэгдэл. Мэдээжийн хэрэг, таних тэмдэг хувиргах матриц бол таних матриц юм Э.

Дурын векторын хувьд X =x 1 д 1 + x 2 д 2 + x 3 д 3 түүнд шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн Авектор байх болно АX , ижил суурьтай вектор болгон өргөжүүлж болно: АX =x` 1 д 1 + x` 2 д 2 + x` 3 д 3 , координат хаана байна x` битомъёог ашиглан олж болно:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = а 31 x 1 + а 32 x 2 + а 33 x 3 .

Энэхүү шугаман хувиргалтын томъёоны коэффициентүүд нь матрицын эгнээний элементүүд юм А.

Шугаман хувиргалт матрицын хувиргалт

шинэ суурь руу шилжих үед.

Гурван хэмжээст орон зайд шугаман хувиргалт А ба хоёр суурийг авч үзье. д 1 , д 2 , д 3 Тэгээд д 1 , д 2 , д 3 . С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл. д к) суурь ( д к). Хэрэв эдгээр суурийн эхний хэсэгт сонгосон шугаман хувиргалтыг А матрицаар, хоёр дахь нь матрицаар өгвөл А, дараа нь бид эдгээр матрицуудын хоорондын холболтыг олж болно, тухайлбал:

A = C -1 А C (9.4)

Үнэхээр,
, Дараа нь А
. Нөгөө талаас ижил шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн Аүндсэн дээр ( д к), i.e. , мөн үндсэн дээр ( д к ): тус тус - матрицаар холбогдсон ХАМТ:
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг CA=А ХАМТ. Энэ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талаас нь үржүүлнэ ХАМТ-1, бид авдаг ХАМТ - 1 CA = = C -1 А ХАМТ, энэ нь (9.4) томъёоны үнэн зөвийг нотолж байна.

Хувийн үнэ цэнэба матрицын хувийн векторууд.

Тодорхойлолт 9.3.Вектор X дуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв ийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: АX = λ X , гэж өргөдөл гаргасны үр дүн X матрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ . Тоо нь өөрөө λ дуудсан хувийн утгаматрицууд А.

Томъёонд орлуулах (9.3) x` j = λ x j , Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

.

. (9.5)

Энэхүү шугаман нэгэн төрлийн систем нь үндсэн тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм) байвал л чухал бус шийдэлтэй байх болно. Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ , дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл. Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

| А - λ Э| = 0, (9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE. Олон гишүүнт харьцангуй λ | А - λ Э| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

Хэрэв бид хувийн векторуудаас суурийг сонговол X 1 , X 2 , X 3 , хувийн утгатай харгалзах λ 1 , λ 2 , λ 3 матрицууд А, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

Хэрэв хувиргалт хувийн утга байвал Аялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

Хэрэв матрицын олон гишүүнт шинж чанар Агурван өөр үндэстэй, дараа нь ямар нэгэн үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | x (1) |=1,X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, хаана X (2) ={б,- б, б) эсвэл, өгсөн | x (2) |=1,x (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={в,2 в, в) эсвэл хэвийн болгосон хувилбарт

X (3) =
Үүнийг анзаарч болно X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =МЭӨ - 2МЭӨ + МЭӨ = 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.