Шугаман тэгшитгэлийн дурын болон нэгэн төрлийн системийг шийдвэрлэх. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг хэрхэн олох вэ

Систем мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх хүмүүс гэж нэрлэдэг шугаман нэгэн төрлийн систембүх чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл. Ийм систем нь дараахь байдлаар харагдаж байна.

Хаана болон ij (би = 1, 2, …, м; j = 1, 2, …, n) - өгсөн тоо; x i- үл мэдэгдэх.

Шугаман систем нэгэн төрлийн тэгшитгэлүргэлж хамтарсан, учир нь r(A) = r(). Энэ нь үргэлж дор хаяж тэгтэй байдаг ( өчүүхэн) уусмал (0; 0; …; 0).

Ямар нөхцөлд нэгэн төрлийн системүүд тэгээс өөр шийдэлтэй болохыг авч үзье.

Теорем 1.Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь үндсэн матрицынх нь зэрэгтэй байвал тэгээс өөр шийдтэй байна. r бага тооүл мэдэгдэх n, өөрөөр хэлбэл r < n.

□ 1). Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг тэгээс өөр шийдэлтэй болгоё. Зэрэглэл нь матрицын хэмжээнээс хэтэрч болохгүй тул мэдээжийн хэрэг, r ≤ n. Болъё r = n. Дараа нь жижиг хэмжээтэй нэг нь n nтэгээс ялгаатай. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн холбогдох систем нь байна цорын ганц шийдвэр: . Энэ нь улиг болсон шийдлээс өөр шийдэл байхгүй гэсэн үг. Тиймээс хэрэв байгаа бол өчүүхэн бус шийдэл, Тэр r < n.

2). Болъё r < n. Дараа нь нэгэн төрлийн систем нь тууштай байх нь тодорхойгүй байна. Тиймээс түүнд байгаа хязгааргүй олонлогшийдвэр, жишээлбэл. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

Нэг төрлийн системийг авч үзье nшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх:

(2)

Теорем 2.Нэг төрлийн систем nшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх (2) нь тодорхойлогч тохиолдолд л тэгээс өөр шийдтэй байна тэгтэй тэнцүү: = 0.

□ Хэрэв систем (2) тэгээс өөр шийдэлтэй бол = 0. Учир нь системд зөвхөн ганц тэг шийдэл байх үед. Хэрэв = 0 бол зэрэглэл rсистемийн үндсэн матриц нь үл мэдэгдэх тооноос бага, i.e. r < n. Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй байдаг, жишээлбэл. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

(1) системийн шийдлийг тэмдэглэе. X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = к нутас болгон .

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд байна дараах шинж чанарууд:

1. Хэрэв шугам (1) системийн шийдэл бол шугам нь (1) системийн шийдэл болно.

2. Хэрэв мөрүүд Тэгээд - системийн шийдэл (1), дараа нь дурын утгын хувьд -тай 1 ба -тай 2 тэдгээрийн шугаман хослол нь (1) системийн шийдэл юм.

Эдгээр шинж чанаруудын үнэн зөвийг системийн тэгшитгэлд шууд орлуулах замаар шалгаж болно.

Томъёолсон шинж чанаруудаас харахад шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл болно.

Шугаман бие даасан шийдлүүдийн систем д 1 , д 2 , …, e rдуудсан суурь, хэрэв (1) системийн шийдэл бүр эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол бол д 1 , д 2 , …, e r.

Теорем 3.Хэрэв зэрэглэл rкоэффициент матрицууд системийн хувьсагчШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл (1) нь хувьсагчийн тооноос бага байна n, дараа нь дурын үндсэн системсистемийн шийдэл (1) -ээс бүрдэнэ n–rшийдвэрүүд.

Тийм ч учраас нийтлэг шийдвэр Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем (1) нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана д 1 , д 2 , …, e r- системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн систем (9), -тай 1 , -тай 2 , …, хамт p – дурын тоо, Р = n–r.

Теорем 4.Системийн ерөнхий шийдэл мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн харгалзах системийн ерөнхий шийд (1) ба энэ системийн дурын тодорхой шийдийн (1) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ.Системийг шийднэ үү

Шийдэл.Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь зөвхөн өчүүхэн шийдэлтэй байна: x = y = z = 0.

Жишээ. 1) Системийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох

2) Шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. 1) Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь тэгээс өөр шийдлүүдтэй байна.

Учир нь системд ганц бие даасан тэгшитгэл байдаг

x + y – 4z = 0,

дараа нь бид үүнээс илэрхийлэх болно x =4z- y. Хязгааргүй олон шийдлийг хаанаас авах вэ: (4 z- y, y, z) – энэ бол системийн ерөнхий шийдэл юм.

At z= 1, y= -1, бид тодорхой нэг шийдлийг олж авна: (5, -1, 1). Оруулах z= 3, y= 2, бид хоёр дахь тодорхой шийдлийг олж авна: (10, 2, 3) гэх мэт.

2) Ерөнхий шийдэлд (4 z- y, y, z) хувьсагч yТэгээд zүнэ төлбөргүй байдаг ба хувьсагч X- тэднээс хамааралтай. Шийдлийн үндсэн системийг олохын тулд бид үнэ төлбөргүй өгдөг хувьсах утгууд: хамгийн эхэнд y = 1, z= 0, тэгвэл y = 0, z= 1. Бид шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн шийдлүүдийг (-1, 1, 0), (4, 0, 1) олж авдаг.

Зураглал:

Цагаан будаа. 1 Шугаман тэгшитгэлийн системийн ангилал

Цагаан будаа. 2 Шугаман тэгшитгэлийн системийг судлах

Илтгэлүүд:

· Шийдэл SLAE_матрицын арга

· SLAE_Cramer аргын шийдэл

· Шийдэл SLAE_Gauss арга

· Шийдэл багц математикийн асуудлууд Математика, MathCad: аналитик хайх ба тоон шийдэлшугаман тэгшитгэлийн системүүд

Хяналтын асуултууд :

1. Шугаман тэгшитгэлийг тодорхойлно уу

2. Энэ нь ямар төрлийн системтэй төстэй вэ? мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх?

3. Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн системийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

4. Ямар системийг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

5. Ямар системийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг вэ?

6. Ямар системийг хамтарсан гэж нэрлэдэг вэ?

7. Ямар системийг тодорхой гэж нэрлэдэг вэ?

8. Аль системийг тодорхойгүй гэж нэрлэдэг

9. Шугаман тэгшитгэлийн системийн элементар хувиргалтыг жагсаа

10. Матрицын элементар хувиргалтыг жагсаа

11. Шугаман тэгшитгэлийн системд энгийн хувиргалтыг хэрэглэх тухай теоремыг томъёол.

12. Ямар системүүдийг шийдэж болох вэ матрицын арга?

13. Крамерын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

14. Гауссын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

15. Жагсаалт 3 боломжит тохиолдлууд, Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед үүсдэг

16. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг тайлбарла

17. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Крамерын аргыг тайлбарла

18. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг тайлбарла

19. Ямар системийг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой урвуу матриц?

20. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэхэд гарч болох 3 тохиолдлыг жагсаа.

Уран зохиол:

1. Дээд математикэдийн засагчдад: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Эд. Н.Ш. Кремер. – М.: НЭГДЭЛ, 2005. – 471 х.

2. Ерөнхий курсЭдийн засагчдад зориулсан дээд математик: Сурах бичиг. / Ред. БА. Ермакова. –М.: INFRA-M, 2006. – 655 х.

3. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математикийн бодлогын цуглуулга: Заавар/ В.И. Ермакова. М.: INFRA-M, 2006. – 574 х.

4. Gmurman V. E. Магадлалын онол ба магмын статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага. - М.: төгссөн сургууль, 2005. – 400 х.

5. Гмурман. V.E Магадлалын онол ба математикийн статистик. - М.: Дээд сургууль, 2005 он.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Дасгал, бодлого дахь дээд математик. 1, 2-р хэсэг. – М.: Оникс 21-р зуун: Энх тайван ба боловсрол, 2005. – 304 х. 1-р хэсэг; – 416 х. 2-р хэсэг.

7. Эдийн засгийн математик: Сурах бичиг: 2 хэсэг / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Брайлов, И.Г. Шандара. – М.: Санхүү, статистик, 2006 он.

8. Шипачев В.С. Дээд математик: Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. их дээд сургуулиуд - М.: Дээд сургууль, 2007. - 479 х.

Холбогдох мэдээлэл.

Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд шийдвэрийн үндсэн системТа товшиж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүхэлд нь тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Үүний шийдлийг олъё шугаман системтэгшитгэл Эхлэхийн тулд бид системийн коэффициентүүдийн матрицыг бичих шаардлагатай.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд 3 дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад зөрүүг 3 дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасаад зөрүүг гурав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 3-аар үржсэнийг хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, тиймээс дөрөв, таваас гурав дахь хэсгийг хасвал тэдгээр нь тэг болно.

Энэ матрицын дагуу бичих шинэ системтэгшитгэл.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид Бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ыг илэрхийлээд дараа нь гарсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр дамжуулан илэрхийлсэн.

Дараа нь $x_4$, $x_5$-ын оронд бид дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-ийг олох боломжтой. Эдгээр таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ийн оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ ба $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-ийг олох хэрэгтэй.

Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэл(SLAU) нь мэдээжийн хэрэг сургалтын хамгийн чухал сэдэв юм шугаман алгебр. Их хэмжээнийМатематикийн бүх салбаруудын асуудлуудыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийн шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

• авах оновчтой аргашугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд,
• сонгосон аргын онолыг судлах,
• Нарийвчилсан шийдлүүдийг судалж шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй ердийн жишээнүүдболон даалгавар.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Эхлээд бүгдийг нь өгье шаардлагатай тодорхойлолтууд, ойлголт, тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзэх болно. Нэгдүгээрт, бид Крамерын аргад анхаарлаа хандуулах болно, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах болно, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжих болно ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцахгүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан байна. SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Кронекер-Капелли теоремыг томъёолъё. Матрицын минор суурь гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдлийг (хэрэв тэдгээр нь нийцтэй бол) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Бид нэгэн төрлийн ба ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулах нь гарцаагүй гетероген системүүдшугаман алгебрийн тэгшитгэл. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулж болох тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно янз бүрийн даалгавар, ямар SLAE үүсэхийг шийдэх үед.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагчид - коэффициентүүд (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE бичлэгийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэр Энэ тэгшитгэлийн системийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матриц, - баганын матриц чөлөөт гишүүд.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг тусгаарладаг. босоо шугамүлдсэн баганаас, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй бол түүнийг дуудна хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол ийм SLAE-г нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ийм SLAE-г судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэлийг авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь авсан. дараах тэгшитгэл, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба - орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёог ашиглан тооцоолно . Крамерын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олдог.

Жишээ.

Крамерын арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоолъё (бид А матрицын эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар тодорхойлогчийг авна) :

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

А матриц нь урвуу байдаг тул урвуу матриц байдаг. Хэрэв тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн матриц-баганыг олох томьёо гарна. Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг ингэж олж авсан юм.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргыг ашиглан шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

-аас матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя алгебрийн нэмэлтүүдА матрицын элементүүд (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчдын матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц баганад (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгарч буй гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг. квадрат матрицуудгуравны нэгээс дээш захиалга.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахаас бүрдэнэ: эхлээд x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасч, зөвхөн үл мэдэгдэх x n хувьсагч үлдэх хүртэл үргэлжилнэ. сүүлчийн тэгшитгэл. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш харвалт хийж дууссаны дараа сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг олж, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг тооцоолж, эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. Гауссын аргын урвуу.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь, -ээр үржүүлсэнийг нэмнэ дөрөв дэх тэгшитгэл n-р тэгшитгэлд хоёр дахь үржвэрийг нэмье, гэх мэтээр бид хоёр дахь үржвэрийг нэмье. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгахын зэрэгцээ зурагт тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талд бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тус нэмж, үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг зүүн талд нэмэх замаар хасна баруун талХоёрдахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Энэ нь Гауссын аргын урагшлах цохилтыг дуусгаж, бид урвуу цохилтыг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс үлдэгдэл үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, улмаар Гауссын аргын урвуу үйлдлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

IN ерөнхий тохиолдол p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцахгүй байна.

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин ба дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь хэзээ нийцдэг, хэзээ нийцэхгүй вэ гэсэн асуултын хариултыг өгсөн Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. , Зэрэг(A)=Зэрэглэл(T).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Кронекер-Капелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Түүнтэй хиллэдэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Эргээд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэгтэй тул гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A), тиймээс Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ SLAE-ийн нийцтэй байдал тогтоогдвол хэрхэн шийдлийг олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн тухай теорем хэрэгтэй.

Тэгээс ялгаатай А матрицын хамгийн дээд эрэмбийн минорыг гэнэ үндсэн.

Минор суурь гэсэн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн суурь минор байж болно;

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэг биш тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бол матрицын сонгосон минор суурь үүсгэдэггүй бүх мөр (ба багана) элементүүдийг шугаман байдлаар харгалзах мөр (ба багана) элементүүдээр илэрхийлнэ. суурь бага.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу хэлэх вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч бага баазыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндэслэлийг бүрдүүлэхгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх тул хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь зэрэглэлийн цорын ганц минор нь тэг учраас мөн хоёртой тэнцүү байна

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Rank(A)=Rank(T)=2 тул Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.

Бага зэрэг үндэслэл болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.


Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь суурь минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг.


Тиймээс бид авсан анхан шатны системшугаман алгебрийн тэгшитгэл. Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Хариулт:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь r тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо n-ээс бага байвал тэгшитгэлийн зүүн талд бид үндсэн суурь бүрдүүлэгч нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ. эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r) гэж нэрлэдэг гол.

Баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r хэсэг) гэж нэрлэдэг үнэгүй.

Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч нь дур зоргоороо утгыг авч чаддаг бол үл мэдэгдэх үндсэн r хувьсагч нь үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно гэж бид үзэж байна. Тэдний илэрхийлэлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үүссэн SLAE-ийг шийдэх замаар олж болно.

Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх аргаар. 1 1 = 1-ийг эхний эрэмбийн 0 биш минор гэж авъя. Энэ насанд хүрээгүй хоёр дахь зэрэглэлийн 0-ээс бага насны хүүхдийг хайж эхэлцгээе.


Ингэж бид хоёр дахь зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хүрээтэй насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн олсон тэг биш минорыг бид суурь болгон авдаг.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.


Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн суурьт хамаарах нэр томъёог орхиж, үлдсэнийг нь шилжүүлдэг. эсрэг шинж тэмдэгбаруун талд:


Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид x 2 ба x 5 дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид хүлээн зөвшөөрнө. , дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE нь маягтыг авна


Үүссэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Тиймээс, .

Хариултдаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг тодорхойлно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид минор суурь сонгож, сонгосон минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь насанд хүрээгүй тушаал тоотой тэнцүү байнаҮл мэдэгдэх хувьсагчид бол SLAE нь бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олдог өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг өгнө. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олдог хувьсагчдыг аргаарКрамер, матрицын арга эсвэл Гауссын арга.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг эхлээд нийцтэй эсэхийг шалгахгүйгээр ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжтой бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Энийг үз Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын тухай өгүүлэлд жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системүүдийн талаар ярих болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Шийдлийн үндсэн систем n үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн (n – r) шугаман бие даасан шийдлүүдийн цуглуулга бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид шугаман байдлаар тэмдэглэвэл бие даасан шийдлүүд нэгэн төрлийн SLAE X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) нь n-ээс 1-ээр хэмжигдэх багана хэлбэрийн матрицууд), тэгвэл үүний ерөнхий шийдэл нэгэн төрлийн системийг дурын шийдлийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлдөг. тогтмол коэффициентүүд C 1, C 2, ..., C (n-r), өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тогтоодог боломжит шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмолуудын утгуудын багцыг авч томъёог ашиглан бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тодорхойлж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 1,0,0,...,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолж, шугаман тэгшитгэлийн үндсэн системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан шийдье. Үүний үр дүнд үндсэн системийн эхний шийдэл болох X (1) гарч ирнэ. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0,...,0.1 утгыг оноож, үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) -ийг авна. Ийм байдлаар нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулж, ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системүүдийн хувьд ерөнхий шийд нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл бөгөөд чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг өгөх замаар олж авсан анхны нэгэн төрлийн бус SLAE-ийн тодорхой шийдэл юм. ​0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэх утгуудыг тооцоолох.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг олъё.

Хоёр дахь эрэмбийн минор, тэгээс ялгаатай нь олдсон. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Авцгаая . Тодорхой болгохын тулд үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэе.

Анхны SLAE-ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нэр томъёог үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний суурь минорын дараалал нь хоёртой тэнцүү байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 утгуудыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

Шийдэлашиглан олох тооцоолуур. Шийдлийн алгоритм нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системтэй адил байна.
Зөвхөн мөрүүдээр ажилласнаар бид матрицын зэрэглэл, суурь минорыг олдог; Бид хамааралтай, чөлөөтэй үл мэдэгдэх зүйлсийг зарлаж, ерөнхий шийдлийг олдог.

Жишээ 2. Системийн шийдлийн ерөнхий болон үндсэн системийг ол
Шийдэл.



,
Үүнээс үзэхэд матрицын зэрэглэл нь 3 бөгөөд үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байна. Энэ нь системд үнэ төлбөргүй үл мэдэгдэх зүйл байхгүй тул өвөрмөц шийдэлтэй байдаг гэсэн үг юм.

Дасгал хийх. Шугаман тэгшитгэлийн системийг судалж, шийдвэрлэх.
Жишээ 4

Дасгал хийх. Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Системийн үндсэн матрицыг бичье.

Даалгавар. Хай үндсэн багцШугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд.