Диагональ матрицууд нь хамгийн энгийн бүтэцтэй байдаг. Матрицын үндэслэлийг олох боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ шугаман оператордиагональ хэлбэртэй байх болно. Ийм суурь бий.
Өгчихье шугаман орон зай R n ба түүнд ажиллаж буй шугаман оператор А; энэ тохиолдолд A оператор R n-ийг өөртөө авна, өөрөөр хэлбэл A:R n → R n .

Тодорхойлолт. Хэрэв A оператор х-г коллинеар вектор болгон хувиргавал тэгээс өөр x векторыг А операторын хувийн вектор гэнэ, өөрөөр хэлбэл. λ тоог х хувийн векторт харгалзах A операторын хувийн утга буюу хувийн утга гэнэ.
Хувийн утга ба хувийн векторын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
1. Хувийн векторуудын дурын шугаман хослол ижил хувийн утгатай λ харгалзах оператор А нь ижил хувийн утгатай хувийн вектор юм.
2. Хувийн векторууд λ 1 , λ 2 , …, λ m хосоор ялгаатай хувийн утга бүхий оператор А нь шугаман бие даасан байна.
3. Хэрэв хувийн утга λ 1 =λ 2 = λ m = λ бол хувийн утга λ нь m-ээс ихгүй шугаман бие даасан хувийн вектортой тохирно.

Тэгэхээр шугаман бие даасан n хувийн вектор байвал , өөр өөр хувийн утгатай λ 1, λ 2, ..., λ n харгалзах бол тэдгээр нь шугаман хамааралгүй тул R n орон зайн үндэс болгон авч болно. Шугаман А операторын матрицын хэлбэрийг түүний хувийн векторуудын үндсэн дээр олъё, үүний тулд бид А оператортой үндсэн векторууд дээр ажиллах болно. Дараа нь .
Ийнхүү шугаман оператор А матриц нь өөрийн векторуудын үндсэн дээр диагональ хэлбэртэй, А операторын хувийн утга диагональ дагуу байна.
Матриц диагональ хэлбэртэй байх өөр үндэслэл бий юу? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Суурийн (i = 1..n) шугаман операторын матриц нь суурийн бүх векторууд байвал диагональ хэлбэртэй байна. хувийн векторуудоператор А.

Хувийн утга ба хувийн векторыг олох дүрэм

. (*)

(1)
Хаана - шугаман оператор матриц.

Хэрэв тодорхойлогч D нь тэгтэй тэнцүү бол (1) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна

Жишээ 12. Шугаман оператор A нь хуулийн дагуу R 3-т үйлчилдэг ба энд x 1, x 2, .., x n нь суурь дээрх векторын координатууд юм. , , . Энэ операторын хувийн утга ба хувийн векторыг ол.
Шийдэл. Бид энэ операторын матрицыг бүтээдэг:
.
Бид хувийн векторуудын координатыг тодорхойлох системийг бий болгодог.

Эмхэтгэж байна шинж чанарын тэгшитгэлмөн үүнийг шийдвэрлэх:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Системд λ = -1-ийг орлуулбал бид:
эсвэл
Учир нь , дараа нь хоёр хамааралтай хувьсагч ба нэг чөлөөт хувьсагч байна.
Тэгвэл x 1 нь чөлөөт үл мэдэгдэх болно Бид энэ системийг ямар ч аргаар хамаагүй шийдэж, олдог нийтлэг шийдвэрЭнэ системийн: n - r = 3 - 2 = 1 тул үндсэн шийдлийн систем нь нэг шийдлээс бүрдэнэ.
Хувийн утга λ = -1-д харгалзах хувийн векторуудын олонлог нь дараах хэлбэртэй байна, энд x 1 нь тэгээс бусад тоо юм. Энэ олонлогоос нэг векторыг сонгоцгооё, жишээлбэл, x 1 = 1 гэж тавь. .
Үүнтэй адил үндэслэлээр бид хувийн утга λ = 3-д тохирох хувийн векторыг олно. .
R3 орон зайд суурь нь гурван шугаман хэсгээс бүрдэнэ бие даасан векторууд, бид зөвхөн хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг хүлээн авсан бөгөөд тэдгээрээс R 3-ийн суурь үүсгэх боломжгүй. Иймээс бид шугаман операторын А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй.

Жишээ 13. Матриц өгөгдсөн .
1. Вектор гэдгийг батал нь А матрицын хувийн вектор юм.Энэ хувийн векторт тохирох хувийн утгыг ол.
2. А матриц диагональ хэлбэртэй байх суурийг ол.
Шийдэл.
1. Хэрэв бол x нь хувийн вектор болно

.
Вектор (1, 8, -1) нь хувийн вектор юм. Хувийн утга λ = -1.
Матриц нь хувийн векторуудаас бүрдэх суурь дээр диагональ хэлбэртэй байна. Тэдний нэг нь алдартай. Үлдсэнийг нь олъё.
Бид системээс өөрийн векторуудыг хайдаг.

Онцлог тэгшитгэл: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 хувийн утгад тохирох хувийн векторыг олъё.

Энэ системийн матрицын зэрэглэл нь хоёр ба тоотой тэнцүү байнаүл мэдэгдэх, тиймээс энэ систем нь зөвхөн тэг шийдэлтэй байна x 1 = x 3 = 0. Энд x 2 нь тэгээс өөр зүйл байж болно, жишээлбэл, x 2 = 1. Иймээс (0,1,0) вектор нь хувийн вектор юм. , харгалзах λ = -3. Шалгацгаая:
.
Хэрэв λ = 1 бол бид системийг олж авна
Матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хасдаг.
x 3 нь чөлөөт үл мэдэгдэх зүйл байг. Дараа нь x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 гэж үзвэл бид (-3,-9,1) - хувийн утга λ = 1-д тохирох хувийн вектор байна. Шалгана уу:

.
Хувийн утгууд нь бодит бөгөөд тодорхой байдаг тул тэдгээрт харгалзах векторууд нь шугаман бие даасан байдаг тул тэдгээрийг R 3-д үндэс болгон авч болно. Тиймээс, үндсэн дээр , , А матриц нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Зарим шугаман операторын хувьд n-ээс бага шугаман бие даасан хувийн вектор байж болох тул A:R n → R n шугаман операторын матриц бүрийг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй. Гэсэн хэдий ч матриц нь тэгш хэмтэй бол m үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь яг m шугаман бие даасан вектортой тохирч байна.

Тодорхойлолт. Тэгш хэмтэй матриц гэж нэрлэдэг квадрат матриц, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй элементүүд тэнцүү байх, өөрөөр хэлбэл, .
Тэмдэглэл. 1. Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.
2. Хосоор ялгаатай хувийн утгуудад тохирох тэгш хэмтэй матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.
Судалгаанд хамрагдсан аппаратын олон хэрэглээний нэг болохын хувьд бид хоёр дахь эрэмбийн муруйн төрлийг тодорхойлох асуудлыг авч үздэг.

Хувийн утга (тоо) ба хувийн векторууд.
Шийдлийн жишээ

Өөрийнхөөрөө бай

Энэ хоёр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

Ингээд оруулъя: .

Үр дүнд нь: – хоёр дахь хувийн вектор.

Дахин хэлье чухал цэгүүдшийдэл:

- Үүссэн систем нь ерөнхий шийдэлтэй байх нь гарцаагүй (тэгшитгэлүүд нь шугаман хамааралтай);

– бид “y”-г бүхэл тоо, эхний “х” координат нь бүхэл тоо, эерэг, аль болох жижиг байхаар сонгоно.

- тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж байгаа эсэхийг бид шалгадаг.

Хариулах .

Завсрын "шалгах цэгүүд" хангалттай байсан тул тэгш байдлыг шалгах нь зарчмын хувьд шаардлагагүй юм.

IN янз бүрийн эх сурвалжМэдээллийн хувьд хувийн векторуудын координатыг ихэвчлэн багана биш, харин мөрөнд бичдэг, жишээлбэл: (Үнэнийг хэлэхэд би өөрөө тэдгээрийг мөр болгон бичдэг байсан). Энэ сонголтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ сэдвийн хүрээнд шугаман хувиргалттехникийн хувьд ашиглахад илүү тохиромжтой баганын векторууд.

Магадгүй шийдэл нь танд маш урт мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ энэ нь зөвхөн эхний жишээн дээр маш дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн учраас л ийм байна.

Жишээ 2

Матрицууд

Өөрсдөө бэлтгэл хийцгээе! Ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд даалгавраа дуусгах.

Заримдаа хийх хэрэгтэй нэмэлт даалгавар, тухайлбал:

каноник матрицын задралыг бичнэ

Энэ юу вэ?

Хэрэв матрицын хувийн векторууд үүссэн бол суурь, дараа нь үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Хувийн векторуудын координатаас бүрдэх матриц хаана байна вэ? диагональхаргалзах хувийн утга бүхий матриц.

Энэ матрицын задрал гэж нэрлэгддэг каноникэсвэл диагональ.

Эхний жишээний матрицыг харцгаая. Түүний хувийн векторууд шугаман бие даасан(конлинеар бус) ба суурь болдог. Тэдний координатын матрицыг үүсгэцгээе:

Асаалттай үндсэн диагональматрицууд зохих дарааллаархувийн утгууд байрладаг бөгөөд үлдсэн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.
- Би дарааллын ач холбогдлыг дахин нэг удаа онцолж байна: "хоёр" нь 1-р вектортой тохирч байгаа тул 1-р баганад, "гурав" нь 2-р векторт байрлана.

Хайлтын ердийн алгоритмыг ашиглах урвуу матрицэсвэл Гаусс-Жорданы аргабид олдог . Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш! - чамаас өмнө ховор байдаг, гэх мэт нар хиртэлтурвуу нь анхны матрицтай давхцах үйл явдал.

Бичих л үлдлээ каноник задралматрицууд:

Системийг ашиглан шийдэж болно анхан шатны өөрчлөлтүүдболон дотор дараах жишээнүүдбид хандах болно энэ арга. Гэхдээ энд "сургууль" арга илүү хурдан ажилладаг. 3-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Эхний координат нь тэг тул бид тэгшитгэл бүрээс дараах системийг олж авдаг.

Бас дахин шугаман харилцааг заавал байлгахад анхаарлаа хандуулаарай. Хэрэв зүгээр л өчүүхэн шийдлийг олж авбал , дараа нь хувийн утгыг буруу олсон эсвэл системийг алдаатай эмхэтгэсэн/шийдвэрлэсэн.

Компакт координатууд нь утгыг өгдөг

Өвөрмөц вектор:

Дахин нэг удаа бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангана. Дараагийн догол мөрүүд болон дараагийн даалгаваруудад би энэ хүслийг заавал дагаж мөрдөх дүрэм болгон авахыг зөвлөж байна.

2) Хувийн утгын хувьд ижил зарчмыг ашиглан бид олж авна дараах систем:

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна:

"Зета" координат нь тэгтэй тэнцүү тул бид үүнийг дагаж мөрдөх тэгшитгэл бүрээс системийг олж авна. шугаман хамаарал.

Болъё

Шийдэл байгаа эсэхийг шалгаж байна системийн тэгшитгэл бүрийг хангана.

Тиймээс хувийн вектор нь: .

3) Эцэст нь систем нь хувийн утгатай тохирч байна:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хамгийн энгийн мэт харагдаж байгаа тул үүнийг илэрхийлж, 1, 3-р тэгшитгэлд орлъё.

Бүх зүйл сайхан байна - шугаман харилцаа үүссэн бөгөөд бид үүнийг илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

Үүний үр дүнд “x” болон “y”-г “z”-ээр илэрхийлсэн: . Практикт яг ийм харилцааг бий болгох шаардлагагүй, зарим тохиолдолд эсвэл дамжуулан илэрхийлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Эсвэл бүр "галт тэрэг" - жишээлбэл "X" -ээс "I", "I" -ээс "Z"

Ингээд оруулъя:

Бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж, гурав дахь хувийн векторыг бичнэ

Хариулах: хувийн векторууд:

Геометрийн хувьд эдгээр векторууд нь орон зайн гурван өөр чиглэлийг тодорхойлдог ("Тэнд, дахиад буцаж"), үүний дагуу шугаман хувиргалттэг биш векторуудыг (өөрийн векторууд) коллинеар вектор болгон хувиргадаг.

Хэрэв нөхцөл нь каноник задралыг олох шаардлагатай бол энэ нь энд боломжтой, учир нь Янз бүрийн хувийн утгууд нь өөр өөр шугаман бие даасан хувийн векторуудтай тохирдог. Матриц хийх тэдгээрийн координатаас диагональ матриц -аас хамааралтайхувийн утгууд ба олох урвуу матриц .

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу та бичих хэрэгтэй хувийн векторуудын суурь дахь шугаман хувиргах матриц, дараа нь бид хариултыг хэлбэрээр өгнө. Ялгаатай, ялгаа нь мэдэгдэхүйц юм!Учир нь энэ матриц нь "de" матриц юм.

Илүү их асуудал энгийн тооцоололУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Матрицаар өгөгдсөн шугаман хувиргалтын хувийн векторуудыг ол

Өөрийнхөө тоог олохдоо 3-р зэргийн олон гишүүнт хүртэл явахгүй байхыг хичээгээрэй. Нэмж дурдахад, таны системийн шийдлүүд миний шийдлүүдээс ялгаатай байж магадгүй - энд ямар ч баталгаа байхгүй; мөн таны олсон векторууд нь түүврийн векторуудаас тус тусын координатын пропорциональ хүртэл ялгаатай байж болно. Жишээлбэл, ба. Хариултыг маягтаар танилцуулах нь илүү гоо зүйн хувьд тааламжтай боловч хоёр дахь хувилбар дээр зогсвол зүгээр. Гэсэн хэдий ч, бүх зүйлд боломжийн хязгаар байдаг;

Хичээлийн төгсгөлд даалгаврын ойролцоо эцсийн түүвэр.

Олон тооны хувийн утгатай тохиолдолд асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Ерөнхий алгоритмхэвээр байгаа боловч энэ нь өөрийн гэсэн онцлогтой бөгөөд шийдлийн зарим хэсгийг илүү хатуу эрдэм шинжилгээний хэв маягаар хадгалахыг зөвлөж байна.

Жишээ 6

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Шийдэл

Мэдээжийн хэрэг, гайхалтай эхний баганыг томоор бичье:

Мөн задралын дараа квадрат гурвалжинүржүүлэгчээр:

Үүний үр дүнд хувийн утгыг олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь үржвэр юм.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) "Хялбаршуулсан" схемийн дагуу ганц бие цэрэгтэй харьцъя:

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс тэгшитгэл нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд үүнийг системийн 1-р тэгшитгэлд орлуулах нь ойлгомжтой.

Та илүү сайн хослолыг олохгүй:
Өвөрмөц вектор:

2-3) Одоо бид хэд хэдэн харуулуудыг устгаж байна. IN энэ тохиолдолдэнэ нь бүтэж магадгүй юм хоёр эсвэл нэгөөрийн вектор. Үндэсийн олон байдлаас үл хамааран бид утгыг тодорхойлогч болгон орлуулна Энэ нь бидэнд дараагийнхыг авчирдаг шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Өвөрмөц векторууд нь яг векторууд юм
шийдлийн үндсэн систем

Үнэндээ бүх хичээлийн туршид бид үндсэн системийн векторуудыг олохоос өөр юу ч хийсэнгүй. Одоохондоо энэ нэр томъёоүнэхээр хэрэггүй байсан. Дашрамд хэлэхэд өнгөлөн далдлах хувцастай сэдвээ алдсан тэдгээр ухаалаг оюутнууд нэгэн төрлийн тэгшитгэл, одоо тамхи татахаас өөр аргагүй болно.

Цорын ганц үйлдэл бол устгах явдал байв нэмэлт шугамууд. Үр дүн нь дунд нь албан ёсны "алхам" бүхий нэгээс гурав матриц юм.
– үндсэн хувьсагч, – чөлөөт хувьсагч. Хоёр чөлөөт хувьсагч байдаг тул, Мөн үндсэн системийн хоёр вектор байдаг.

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье: . "X"-ийн өмнөх тэг хүчин зүйл нь ямар ч утгыг авах боломжийг олгодог (энэ нь тэгшитгэлийн системээс тодорхой харагдаж байна).

Энэ асуудлын хүрээнд ерөнхий шийдлийг мөрөнд биш, харин баганад бичих нь илүү тохиромжтой.

Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:
Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:

Анхаарна уу : Нарийвчилсан уншигчид эдгээр векторуудыг амаар сонгох боломжтой - зүгээр л системд дүн шинжилгээ хийх замаар , гэхдээ энд тодорхой мэдлэг хэрэгтэй: гурван хувьсагч байдаг, системийн матрицын зэрэглэл- нэг гэсэн үг шийдвэрийн үндсэн систем 3 – 1 = 2 вектороос бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч олсон векторууд нь энэ мэдлэггүй байсан ч гэсэн зөвхөн зөн совингийн түвшинд тодорхой харагдаж байна. Энэ тохиолдолд гурав дахь вектор илүү "сайхан" бичигдэх болно: . Гэсэн хэдий ч, өөр жишээнд энгийн сонголт хийх боломжгүй байж магадгүй тул энэ заалт нь туршлагатай хүмүүст зориулагдсан болно гэдгийг би анхааруулж байна. Нэмж хэлэхэд, яагаад гурав дахь вектор гэж авч болохгүй гэж? Эцсийн эцэст түүний координатууд нь системийн тэгшитгэл, вектор бүрийг хангадаг шугаман бие даасан. Энэ сонголт нь зарчмын хувьд тохиромжтой боловч "бусад" вектор нь үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол тул "тахир" юм.

Хариулах: хувийн утга: , хувийн вектор:

Үүнтэй төстэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 7

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

6 ба 7-р жишээн дээр гурвалсан шугаман бие даасан хувийн векторуудыг олж авсан тул анхны матрицыг каноник задралд төлөөлөх боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэхдээ ийм бөөрөлзгөнө бүх тохиолдолд тохиолддоггүй:

Жишээ 8

Шийдэл: шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдье:

Эхний баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлье:

Бид гуравдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтээс зайлсхийж, авч үзсэн аргын дагуу нэмэлт хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.

– хувийн үнэ цэнэ.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) Үндэстэй холбоотой ямар ч бэрхшээл байхгүй:

Гайхах хэрэггүй, иж бүрдэлээс гадна ашиглагдаж буй хувьсагчууд бас байдаг - энд ямар ч ялгаа байхгүй.

3-р тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, 1, 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Хоёр тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Дараа нь зөвшөөр:

2-3) Олон утгын хувьд бид системийг авдаг .

Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторыг олох нь хамгийн чухал зүйл юм нарийн төвөгтэй даалгавар шугаман алгебрүйл ажиллагааны процессыг загварчлах, шинжлэх явцад үүсдэг динамик системүүд, статистик загварчлал. Жишээлбэл, санамсаргүй векторын ковариацын матрицын хувийн векторууд нь энэ векторын утгуудын тархалтын гиперэллипсоидын үндсэн тэнхлэгүүдийн чиглэлийг тодорхойлдог бөгөөд хувийн утга нь гиперэллипсоидын суналт эсвэл шахалтыг тодорхойлдог. түүний гол тэнхлэгүүд. Механикийн хувьд инерцийн тензорын хувийн векторууд ба тоонууд нь үндсэн тэнхлэгүүдийн чиглэл ба хатуу биеийн инерцийн үндсэн моментуудыг тодорхойлдог.

Ялгах дүүрэн (алгебрийнэсвэл өөрөөр хэлбэл, матриц) хувийн үнэ цэнийн асуудал, энэ нь бүгдийг олно гэж тооцдог өөрийн хосуудзарим матриц, ба хувийн үнэ цэнийн хэсэгчилсэн асуудлууд, дүрмээр бол нэг буюу хэд хэдэн зүйлийг олохоос бүрдэнэ хувийн үнэ цэнэмөн тэдгээрт тохирсон байж магадгүй хувийн векторууд. Ихэнхдээ, in сүүлчийн тохиолдол бид ярьж байнахамгийн том ба хамгийн бага модулийн хувийн утгыг олох тухай; Ийм матрицын шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь жишээлбэл, тодорхой нэгдмэл байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог давтагдах аргууд, тэдгээрийн параметрүүдийг оновчтой болгох гэх мэт.

Хувийн утгын бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно: ямар тэг биш векторууд болон тоонуудын хувьд шугаман хувиргалтМатрицыг ашигласан вектор нь орон зайд энэ векторын чиглэлийг өөрчилдөггүй, харин зөвхөн энэ векторыг "сунгах" хүчин зүйлээр багасгасан уу? Энэ асуултын хариулт нь тэгшитгэлийн энгийн шийдлүүдэд оршдог

, (1.2)

таних матриц хаана байна. Онолын хувьд энэ асуудал амархан шийдэгддэг: та гэгддэг зүйлийн үндсийг олох хэрэгтэй онцлогтэгшитгэл

(1.3)

тэдгээрийг нэг нэгээр нь (1.2)-д орлуулснаар харгалзах хэт тодорхойлогдсон системээс хувийн векторуудыг гаргана.

Практик хэрэгжилтЭнэ хандлага нь шийдэж буй асуудлын хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр нэмэгддэг хэд хэдэн хүндрэлтэй холбоотой юм. Эдгээр хүндрэлүүд нь тодорхойлогчийг байршуулсантай холбоотой юм гарсан олон гишүүнтийн үндсийг тооцоолох n-р зэрэг, түүнчлэн шугаман хайлт бие даасан шийдвэрүүд доройтсон системүүдшугаман алгебрийн тэгшитгэл. Үүнтэй холбогдуулан алгебрийн хувийн утгын асуудлыг шийдэх ийм шууд хандлагыг ихэвчлэн зөвхөн маш жижиг матрицын хувьд ашигладаг ( n= 2, 3). Аль хэдийн n> 4 онцлох зүйл гарч ирдэг тоон аргуудийм асуудлуудын шийдэл, тэдгээрийн нэг нь матриц дээр суурилсан ижил төстэй байдлын хувиргалт, цаашид хэлэлцэх болно. Үүнийг эргэн санацгаая төстэйматриц гэж нэрлэдэг ба , Хаана ХАМТнь дурын ганц биш матриц юм.

Хувийн утга ба векторуудын үндсэн шинж чанаруудыг товч жагсаацгаая.

1. Хэрэв – матрицын хувийн хос А, А - тэгвэл хэдэн тоо нь бас тохиромжтой хос юм А. Энэ нь хувийн утга бүр нь зөвхөн скаляр хүчин зүйлээр ялгаатай хязгааргүй тооны хувийн векторуудтай тохирч байна гэсэн үг юм.

2. Байг – матрицын хувийн хос , хаана - зарим бодит тоо. Дараа нь – матрицын хувийн хос А. Тиймээс энэ матрицыг нэмж байна Адиагональ матриц нь өөрийн вектор болон шилжилтийг өөрчилдөггүй хүрээанхны матрицыг тоогоор нь (зүүн талд ). Матрицын спектр нь түүний бүх хувийн утгуудын багц юм.

3. Хэрэв нь урвуу матрицын хувийн хос юм, тэгвэл – тохирох матрицын хос .

4. Диагональ ба хувийн утга гурвалжин матрицуудучир нь тэдгээрийн диагональ элементүүд юм Ийм матрицын хувьд (1.1)-ийг харгалзан шинж чанарын тэгшитгэлийг (1.3) дараах байдлаар бичиж болно.

.

Сүүлийн тэгш байдал нь үүнийг харуулж байна диагональ ба гурвалжин бодит матрицууд зөвхөн бодит хувийн утгатай байна(гөлгөр nтэдгээрийн олон талт байдлыг харгалзан үзэх). Хувийн утгын бодит байдал нь ковариацын матриц ба инерцийн тензорыг багтаасан хэрэглээний тэгш хэмийн матрицын маш чухал ангид мөн адил байдаг.

5. Хэрэв – матрицын хувийн хос , Тэр – матрицын хувийн хос АТиймээс ижил төстэй байдлын хувиргалт нь аливаа матрицын спектрийг өөрчлөхгүй хэвээр үлдээдэг.

6. Болъё А– энгийн хэмжээст бүтцийн матриц , болон матрицууд Тэгээд түүний хувийн утга ба хувийн векторуудаас бүрддэг. Тэгвэл тэгш байдал үнэн болно . Хувийн утгаас үүссэн диагональ матрицын хувьд хувийн векторууд үүрэг гүйцэтгэж болно. нэгж векторууданхны суурь ( , ), дараа нь, өмч 5 ашиглах ба авах Тэгээд (тэдгээр. ), шинж чанарыг 6 өөрөөр томъёолж болно: хэрэв нь матрицын хувийн хос юм, тэгвэл зөв матрицын хос байна А.

Шугаман координатын хувиргалт. Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга, тэдгээрийн шинж чанар. Матрицын шинж чанарын олон гишүүнт, түүний шинж чанарууд.

Бид үүнийг векторуудын багц дээр хэлэх болно Рөгсөн хувиргалтА , хэрэв вектор бүр X Р зарим дүрмийн дагуу вектор АX Р.

Тодорхойлолт 9.1.Хөрвүүлэлт Адуудсан шугаман, хэрэв ямар нэгэн векторын хувьд X Тэгээд цагт ямар ч бодит тоо λ Дараахь тэгш байдлыг хангана.

А(X + цагт )=АX + Ацагт ,А(λX ) =λ АX . (9.1)

Тодорхойлолт 9.2.Шугаман хувиргалт гэж нэрлэдэг адилхан, хэрэв энэ нь ямар нэгэн векторыг хувиргавал X өөртөө.

Баримтлалын өөрчлөлтийг тэмдэглэв ТЭРX = X .

Суурьтай гурван хэмжээст орон зайг авч үзье д 1 , д 2 , д 3 , үүнд шугаман хувиргалтыг зааж өгсөн А. Үүнийг суурь векторуудад ашигласнаар бид векторуудыг авна Ад 1 , Ад 2 , Ад 3 энэ гурван хэмжээст орон зайд хамаарах. Тиймээс тэдгээр нь тус бүрийг үндсэн вектор болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно.

Ад 1 = a 11 д 1 + a 21 д 2 +a 31 д 3 ,

Ад 2 = a 12 д 1 + a 22 д 2 + a 32 д 3 , (9.2)

Ад 3 = a 13 д 1 + a 23 д 2 + a 33 д 3 .

Матриц
дуудсан шугаман хувиргах матрицА үндсэн дээр д 1 , д 2 , д 3 . Энэ матрицын баганууд нь суурь хувиргалт (9.2) томъёоны коэффициентуудаас бүрдэнэ.

Сэтгэгдэл. Мэдээжийн хэрэг, таних тэмдэг хувиргах матриц бол таних матриц юм Э.

Дурын векторын хувьд X =x 1 д 1 + x 2 д 2 + x 3 д 3 түүнд шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн Авектор байх болно АX , ижил суурьтай вектор болгон өргөжүүлж болно: АX =x` 1 д 1 + x` 2 д 2 + x` 3 д 3 , координат хаана байна x` битомъёог ашиглан олж болно:

X` 1 =а 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 =а 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = а 31 x 1 + а 32 x 2 + а 33 x 3 .

Энэхүү шугаман хувиргалтын томъёоны коэффициентүүд нь матрицын эгнээний элементүүд юм А.

Шугаман хувиргалт матрицын хувиргалт

шинэ суурь руу шилжих үед.

Гурван хэмжээст орон зайд шугаман хувиргалт А ба хоёр суурийг авч үзье. д 1 , д 2 , д 3 Тэгээд д 1 , д 2 , д 3 . С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл. дк С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл. д) суурь ( А). Хэрэв эдгээр суурийн эхний хэсэгт сонгосон шугаман хувиргалтыг А матрицаар, хоёр дахь нь матрицаар өгвөл

, дараа нь бид эдгээр матрицуудын хоорондын холболтыг олж болно, тухайлбал: А A = C -1

C (9.4)
Үнэхээр, А
, Дараа нь А. Нөгөө талаас ижил шугаман хувиргалтыг хэрэглэсний үр дүн С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл. дүндсэн дээр ( ), i.e. С матриц нь сууринаас шилжих томъёог тодорхойл. д , мөн үндсэн дээр ( ): тус тус ХАМТ:
- матрицаар холбогдсон , үүнээс үүдэн гарч ирдэгА ХАМТ CA= ХАМТ. Энэ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талаас нь үржүүлнэ ХАМТ - 1 -1, бид авдаг -1 А ХАМТ CA = = C

, энэ нь (9.4) томъёоны үнэн зөвийг нотолж байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторууд.Тодорхойлолт 9.3. X дуудсан Векторөөрийн вектор Аматрицууд λ, , хэрэв ийм тоо байгаа бол АX = λ X , Энэ тэгш байдал нь: X гэж өргөдөл гаргасны үр дүн Аматрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт λ , нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ дуудсан . Тоо нь өөрөөөөрийн вектор А.

хувийн утга x` Томъёонд орлуулах (9.3) = λ x Томъёонд орлуулах (9.3) , j

.

. (9.5)

Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна. Энэ шугаманнэгэн төрлийн систем байх болноөчүүхэн бус шийдэл

зөвхөн түүний гол тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм). Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл: λ бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна , дуудсаншинж чанарын тэгшитгэл

| . Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. - λ А| = 0, (9.6)

Э Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE λ | . Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. - λ А. Олон гишүүнт харьцангуй | дуудсанонцлог олон гишүүнт

матрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд: X 1 Хэрэв бид хувийн векторуудаас суурийг сонговол 2 , X 3 , X λ 1 , λ 2 , λ 3 , хувийн утгатай харгалзах Аматрицууд

, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй. АХэрэв хувиргалт хувийн утга байвал

ялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна. АХэрэв матрицын олон гишүүнт шинж чанар Агурван өөр үндэстэй, дараа нь ямар нэг үндэслэлээр матриц

диагональ хэлбэртэй байна. Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ Онцлог тэгшитгэлийг байгуулъя: λ ³ - 7 λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | x (1) |=1,X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, хаана X (2) ={б,- б, б) эсвэл, өгсөн | x (2) |=1,x (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={в,2 в, в) эсвэл хэвийн болгосон хувилбарт

X (3) =
Үүнийг анзаарч болно X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =МЭӨ - 2МЭӨ + МЭӨ = 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.