Absolutna vrednost števila a je razdalja od izhodišča do točke A(a).
Da bi razumeli to definicijo, zamenjajmo spremenljivko a poljubno številko, na primer 3 in jo poskusite znova prebrati:
Absolutna vrednost števila 3 je razdalja od izhodišča do točke A(3 ).
Postane jasno, da modul ni nič drugega kot navadna razdalja. Poskusimo videti razdaljo od izhodišča do točke A( 3 )
Razdalja od izhodišča do točke A( 3 ) je enako 3 (tri enote ali trije koraki).
Modul števila označujemo z dve navpične črte, Na primer:
Modul števila 3 označimo takole: |3|
Modul števila 4 označimo takole: |4|
Modul števila 5 je označen takole: |5|
Iskali smo modul števila 3 in ugotovili, da je enako 3. Zapišemo torej:
Bere se kot: "Modul števila tri je tri"
Zdaj pa poskusimo najti modul števila -3. Spet se vrnemo k definiciji in vanjo nadomestimo številko -3. Samo namesto pike A uporabljamo nova točka B. Pika A smo uporabili že v prvem primeru.
Modul števila - 3 je razdalja od izhodišča do točke B(—3 ).
Razdalja od ene točke do druge ne more biti negativna. Zato je modul katerega koli negativno število, ki je razdalja, tudi ne bo negativno. Modul števila -3 bo število 3. Razdalja od izhodišča do točke B(-3) je prav tako enaka trem enotam:
Bere se kot: "Modul minus tri je tri."
Modul števila 0 je enak 0, saj točka s koordinato 0 sovpada z izhodiščem, tj. razdalja od izhodišča do točke O(0) enako nič:
"Ničelni modul enako nič»
Izvajamo zaključke:
- Modul števila ne more biti negativen;
- Za pozitivno število in ničlo je modul enak samemu številu, za negativno število pa - nasprotno število;
- Nasprotna števila imajo enaki moduli.
Nasprotna števila
Števila, ki se razlikujejo le po predznakih, imenujemo nasprotje. Na primer, števili −2 in 2 sta nasprotni. Razlikujejo se le po znakih. Število −2 ima znak minus, 2 pa znak plus, vendar ga ne vidimo, ker se plus, kot smo že povedali, tradicionalno ne piše.
Več primerov nasprotnih števil:
Nasprotna števila imajo enake module. Na primer, poiščimo modula za −2 in 2
Slika prikazuje razdaljo od izhodišča do točk A (−2) in B (2) enako enaka dvema korakoma.
Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah
>>Matematika: Modul številk (rus)
Razdalja točke M (- 6) od izhodišča O je enaka 6 enotskim odsekom (slika 63). Število 6 imenujemo modul števila -6.
Pišejo: |-6|=6.
Modul števila je razdalja (v enotskih segmentih) od začetka koordinate do točke A (a).
Modul števila 5 je enak 5, saj je točka B (5) oddaljena 5 od izhodišča posamezne segmente.
Pišejo: |5|=5.
Modul števila O je enak 0, saj točka s koordinato 0 sovpada z izhodiščem O, to pomeni, da je od njega odmaknjena za 0 enotskih segmentov (glej sliko 63). Pišejo: |0I=0.
Modul števila ne more biti negativen. Za pozitivno in ničlo je enako samemu številu, za negativno pa je enako nasprotnemu številu. Nasprotna števila imajo enake module: I-aI = |a|.
? Kaj je modul števila?
Kako najti modul pozitivnega števila ali ničle?
Kako najti modul negativnega števila?
Ali je lahko modul katerega koli števila negativno število?
TO 934. Poišči modul vsakega izmed števil: 81, 1,3; -5,2;
Zapišite ustrezne enakosti.
935. Poišči vrednost izraza |x|, če je x= -12,3;
936. Poiščite razdaljo (v enotskih segmentih) od izhodišča do vsake od točk: A (3,7), B (- 7,8), C (- 200),
937. Poiščite pomen izraza:
938. Točka A leži 5,8 enote levo od izhodišča, točka B pa 9,8 enote desno. Kakšna je koordinata posamezne točke? Kakšen je modul vsake koordinate?
939. Poišči:
a) negativno število, katerega modul je 25; ; 7,4;
b) pozitivno število, katerega modul je 12; 1; ; 3.2.
940. Zapiši vsa števila, ki imajo modul:
941. Znano je, da je IаI=7. Kaj je enako | -a|?
942. Izmed dveh števil izberi tisto, katerega modul je večji:
p 943. Med števili označi pare: a) nasprotnih števil; b) recipročna števila.
944. Ustno izračunaj:
945. Katero število se nahaja na desni strani: -2 ali -1; - utrip -7; 0 ali -4,2; -Ali -15?
M 946. Slika 64a prikazuje stožec. Osnova stožca je krog, razvoj stranske površine pa je sektor (glej sliko 64, b). Izračunajte površino stožca, če je polmer eTo osnove 3 cm, razvitost stranske ploskve pa je sektor s pravim kotom, pri čemer je polmer tega sektorja 12 cm izjava o problemu?
947. Poišči vrednost k, če je - k -3,5; 6,8; 
948. Reši enačbo:
949. Nina je v trgovini porabila 4,8 rubljev. Koliko denar Olya je porabila, če je znano, da je Nina porabila:
a) za 0,3 rublja. več Olya;
b) za 0,5 rubljev. manj Olya;
c) 2-krat več kot Olya;
d) 1,5-krat manj kot Olya;
e) kaj je Olya porabila;
f) kaj je Olya porabila;
g) 0,2 tega, kar je Olya porabila; Olya je porabila;
h) 25% tega, kar je Olya porabila;
i) za 25 % Nadalje, Kaj
j) 125 % tega, kar je Olya porabila?
950. Poiščite pomen izraza:
951. Označi na koordinatni premici števila, katerih moduli so enaki 3; 8; 1; 3,5; 5.
952. Izmed dveh števil izberi tisto z večjim modulom:
953. Ploščina prvega polja je ploščina drugega polja. Čemu je enako kvadrat drugo polje, če je površina prvega 12,6 ha?
954. Nagrada Ivanova je 75% nagrade Sergejeva. Čemu je enaka nagrada Sergejeva, če je nagrada Ivanova 73,2 rublja?
955. Hitrost tovornjaka je bila enaka hitrosti osebnega avtomobila. Poišči hitrost avtomobila, če je hitrost tovornjaka za 22 km/h manjša od hitrosti avtomobila.
956. Pridelek bombaža na prvem polju je za 12,5% manjši od pridelka bombaža na drugem polju. Kolikšen je pridelek bombaža na prvem polju, če je na drugem polju 28 kvintalov na hektar?
957. Poišči pomen izraza 
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Učbenik za Srednja šola
Pomoč za šolarje na spletu, Matematika za 6. razred prenos, koledarsko in tematsko načrtovanje
Eden najbolj težke teme za študente je reševanje enačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula. Najprej ugotovimo, s čim je to povezano? Zakaj na primer večina otrok kvadratne enačbe razbija kot orehe, pri tej pa še zdaleč ni najbolje? kompleksen koncept Kako ima modul toliko težav?
Po mojem mnenju so vse te težave povezane s pomanjkanjem jasno oblikovanih pravil za reševanje enačb z modulom. Torej, odločanje kvadratna enačba, učenec zagotovo ve, da mora najprej uporabiti diskriminantno formulo, nato pa še formule za korenine kvadratne enačbe. Kaj storiti, če je v enačbi najden modul? Poskušali bomo jasno opisati potreben akcijski načrt za primer, ko enačba vsebuje neznanko pod znakom modula. Za vsak primer bomo podali več primerov.
Toda najprej se spomnimo definicija modula. Torej, modulo števila a sama ta številka se imenuje, če a nenegativno in -a, če št a manj kot nič. Lahko zapišete takole:
|a| = a, če je a ≥ 0 in |a| = -a če a< 0
Govoriti o geometrijski smisel modulu, ne smemo pozabiti, da vsako realno število ustreza določeni točki na številska os- ona do 
koordinirati. Torej, modul oz absolutna vrednostštevilo je razdalja od te točke do izhodišča številske osi. Razdalja je vedno navedena kot pozitivno število. Tako je modul katerega koli negativnega števila pozitivno število. Mimogrede, že na tej stopnji se mnogi učenci začnejo zmedati. Modul lahko vsebuje poljubno število, vendar je rezultat uporabe modula vedno pozitivno število.
Zdaj pa pojdimo neposredno k reševanju enačb.
1. Razmislite o enačbi oblike |x| = c, kjer je c realno število. To enačbo je mogoče rešiti z uporabo definicije modula.
Vse realna števila Razdelimo v tri skupine: tiste, ki Nad ničlo, tiste, ki so manjše od nič, tretja skupina pa je število 0. Rešitev zapišimo v obliki diagrama:
(±c, če je c > 0
Če |x| = c, potem je x = (0, če je c = 0
(brez korenin, če z< 0
1) |x| = 5, ker 5 > 0, potem je x = ±5;
2) |x| = -5, ker -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, potem je x = 0.
2. Enačba oblike |f(x)| = b, kjer je b > 0. Za rešitev te enačbe se je potrebno znebiti modula. To naredimo tako: f(x) = b ali f(x) = -b. Zdaj morate rešiti vsako od nastalih enačb posebej. Če je v prvotni enačbi b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, ker 4 > 0, torej
x + 2 = 4 ali x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, ker 11 > 0, torej
x 2 – 5 = 11 ali x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 brez korenin
3) |x 2 – 5x| = -8, ker -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Enačba oblike |f(x)| = g(x). Glede na pomen modula bo taka enačba imela rešitve, če je njena desna stran večja ali enaka nič, tj. g(x) ≥ 0. Potem bomo imeli:
f(x) = g(x) oz f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Ta enačba bo imela korene, če je 5x – 10 ≥ 0. Tu se začne reševanje takih enačb.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Rešitev:
2x – 1 = 5x – 10 ali 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kombiniramo O.D.Z. in rešitev, dobimo:
Koren x = 11/7 se ne ujema z O.D.Z., je manjši od 2, vendar x = 3 izpolnjuje ta pogoj.
Odgovor: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Rešimo to neenačbo z intervalno metodo:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Rešitev:
x – 1 = 1 – x 2 ali x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 ali x = 1 x = 0 ali x = 1
3. Kombiniramo raztopino in O.D.Z.:
Primerna sta samo korena x = 1 in x = 0.
Odgovor: x = 0, x = 1.
4. Enačba oblike |f(x)| = |g(x)|. Ta enačba je enakovredna dvema naslednje enačbe f(x) = g(x) ali f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ta enačba je enakovredna naslednjima dvema:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ali x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 ali x = 4 x = 2 ali x = 1
Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Enačbe rešene z metodo substitucije (zamenjava spremenljivke). Ta metoda rešitve je najlažje razložiti v konkreten primer. Torej, dobimo kvadratno enačbo z modulom:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2, tako da lahko enačbo prepišemo na naslednji način:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem bomo imeli:
t 2 – 6t + 5 = 0. Reševanje podana enačba, dobimo, da je t = 1 ali t = 5. Vrnimo se k zamenjavi:
|x| = 1 ali |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Poglejmo še en primer:
x 2 + |x| – 2 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2 torej
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem:
t 2 + t – 2 = 0. Če rešimo to enačbo, dobimo t = -2 ali t = 1. Vrnimo se k zamenjavi:
|x| = -2 ali |x| = 1
Ni korenin x = ± 1
Odgovor: x = -1, x = 1.
6. Druga vrsta enačb so enačbe s "kompleksnim" modulom. Take enačbe vključujejo enačbe, ki imajo »module znotraj modula«. Enačbe te vrste je mogoče rešiti z uporabo lastnosti modula.
1) |3 – |x|| = 4. Ravnali bomo enako kot pri enačbah druge vrste. Ker 4 > 0, potem dobimo dve enačbi:
3 – |x| = 4 ali 3 – |x| = -4.
Zdaj izrazimo modul x v vsaki enačbi, nato pa |x| = -1 ali |x| = 7.
Rešimo vsako od nastalih enačb. V prvi enačbi ni korenin, ker -1< 0, а во втором x = ±7.
Odgovori x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. To enačbo rešimo na podoben način:
3 + |x + 1| = 5 ali 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 ali x + 1 = -2. Brez korenin.
Odgovor: x = -3, x = 1.
Obstaja tudi univerzalna metoda za reševanje enačb z modulom. To je intervalna metoda. Vendar si ga bomo ogledali kasneje.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Modul je ena tistih stvari, za katere se zdi, da so že vsi slišali, a jih v resnici nihče zares ne razume. Zato danes bo odlična lekcija, namenjen reševanju enačb z moduli.
Takoj bom rekel: lekcija ne bo težka. In na splošno so moduli razmeroma preprosta tema. »Ja, seveda, ni zapleteno! To mi gre na živce!« - bo rekel marsikateri študent, a vsi ti možganski zlomi nastanejo zaradi dejstva, da večina ljudi nima znanja v glavi, ampak nekakšno sranje. In cilj te lekcije je spremeniti sranje v znanje :).
Malo teorije
Torej, gremo. Začnimo z najpomembnejšim: kaj je modul? Naj vas spomnim, da je modul števila preprosto isto število, vendar brez znaka minus. To je na primer $\left| -5 \desno|=5$. Ali $\levo| -129,5 \desno|=129,5 $.
Je tako preprosto? Da, preprosto. Kolikšna je potem absolutna vrednost pozitivnega števila? Tu je še preprosteje: modul pozitivnega števila je enak samemu številu: $\left| 5 \desno|=5$; $\levo| 129,5 \right|=129,5 $ itd.
Izkazalo se je zanimivo: različne številke ima lahko isti modul. Na primer: $\levo| -5 \desno|=\levo| 5 \desno|=5$; $\levo| -129,5 \desno|=\levo| 129,5\desno|=129,5 USD. Preprosto je videti, kakšna števila so to, katerih moduli so enaki: ti številki sta nasprotni. Tako ugotavljamo sami, da so moduli nasprotnih števil enaki:
\[\levo| -a \desno|=\levo| a\desno|\]
Še ena pomembno dejstvo: modul ni nikoli negativen. Ne glede na število, ki ga vzamemo - naj bo pozitivno ali negativno - se njegov modul vedno izkaže za pozitivnega (oz v skrajnem primeru nič). Zato se modul pogosto imenuje absolutna vrednost števila.
Poleg tega, če združimo definicijo modula za pozitivno in negativno število, dobimo globalno definicijo modula za vsa števila. Namreč: modul števila je enak številu samemu, če je število pozitivno (ali nič), oziroma enak nasprotnemu številu, če je število negativno. To lahko zapišete kot formulo:
Obstaja tudi modul nič, vendar je vedno enak nič. Poleg tega nič ednina, ki nima nasprotja.
Torej, če upoštevamo funkcijo $y=\left| x \right|$ in poskusite narisati njegov graf, dobili boste nekaj takega:
Graf modula in primer reševanja enačbe
Iz te slike je takoj jasno, da $\left| -m \desno|=\levo| m \right|$ in graf modula nikoli ne pade pod os x. Vendar to še ni vse: rdeča črta označuje premico $y=a$, ki nam pri pozitivnem $a$ daje dva korena hkrati: $((x)_(1))$ in $((x) _(2)) $, a o tem bomo govorili kasneje :)
Razen čisto algebrska definicija, obstaja geometrijski. Recimo, da sta na številski premici dve točki: $((x)_(1))$ in $((x)_(2))$. V tem primeru je izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je preprosto razdalja med podanimi točkami. Ali, če želite, dolžina odseka, ki povezuje te točke:
Modul je razdalja med točkama na številski premici Ta definicija tudi pomeni, da je modul vedno nenegativen. Ampak dovolj definicij in teorije - pojdimo k pravim enačbam :)
Osnovna formula
V redu, uredili smo definicijo. Vendar to ni olajšalo stvari. Kako rešiti enačbe, ki vsebujejo prav ta modul?
Mirno, samo mirno. Začnimo z najpreprostejšimi stvarmi. Razmislite o nečem takem:
\[\levo| x\desno|=3\]
Torej je modul $x$ 3. Čemu bi lahko bil enak $x$? No, sodeč po definiciji smo kar zadovoljni z $x=3$. res:
\[\levo| 3\desno|=3\]
Ali obstajajo druge številke? Zdi se, da Cap namiguje, da obstaja. Na primer, $x=-3$ je tudi $\left| -3 \desno|=3$, tj. je zahtevana enakost izpolnjena.
Morda bomo torej, če iščemo in razmišljamo, našli več številk? Toda prekinite: več številkšt. Enačba $\levo| x \right|=3$ ima samo dva korena: $x=3$ in $x=-3$.
Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Naj namesto spremenljivke $x$ pod znakom modula visi funkcija $f\left(x \desno)$, namesto trojčka na desni postavimo poljubno število$a$. Dobimo enačbo:
\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\]
Torej, kako lahko to rešimo? Naj vas spomnim: $f\left(x \right)$ je poljubna funkcija, $a$ je poljubno število. Tisti. Karkoli! Na primer:
\[\levo| 2x+1 \desno|=5\]
\[\levo| 10x-5 \desno|=-65\]
Bodimo pozorni na drugo enačbo. O njem lahko takoj rečete: nima korenin. Zakaj? Vse je pravilno: ker zahteva, da je modul enak negativnemu številu, kar se nikoli ne zgodi, saj že vemo, da je modul vedno pozitivno število ali v skrajnem primeru nič.
Toda s prvo enačbo je vse bolj zabavno. Obstajata dve možnosti: ali je pod znakom modula pozitiven izraz in nato $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ ali je ta izraz še vedno negativen in nato $\left| 2x+1 \desno|=-\levo(2x+1 \desno)=-2x-1$. V prvem primeru bo naša enačba prepisana na naslednji način:
\[\levo| 2x+1 \desno|=5\Desna puščica 2x+1=5\]
In nenadoma se izkaže, da je submodularni izraz $2x+1$ res pozitiven - enak je številu 5. To je lahko varno rešimo to enačbo - dobljeni koren bo del odgovora:
Še posebej nezaupljivi ljudje lahko poskusijo zamenjati najdeno korenino izvirna enačba in se prepričajte, da je pod modulom res pozitivno število.
Zdaj pa poglejmo primer negativnega submodularnega izraza:
\[\levo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna puščica 2x+1=-5\]
Ups! Spet je vse jasno: predpostavili smo, da je $2x+1 \lt 0$, in kot rezultat smo dobili, da je $2x+1=-5$ - res, ta izraz je manjši od nič. Rešimo nastalo enačbo, medtem ko že zagotovo vemo, da nam bo najdeni koren ustrezal:
Skupno smo ponovno dobili dva odgovora: $x=2$ in $x=3$. Da, količina izračunov se je izkazala za nekoliko večjo kot v zelo preprosti enačbi $\left| x \right|=3$, vendar se ni bistveno spremenilo nič. Torej morda obstaja kakšen univerzalni algoritem?
Da, takšen algoritem obstaja. In zdaj ga bomo analizirali.
Znebiti se znaka modula
Naj nam bo dana enačba $\left| f\left(x \right) \right|=a$ in $a\ge 0$ (sicer, kot že vemo, ni korenin). Nato se lahko znebite znaka modula z naslednjim pravilom:
\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm a\]
Tako se naša enačba z modulom razdeli na dve, vendar brez modula. To je vsa tehnologija! Poskusimo rešiti nekaj enačb. Začnimo s tem
\[\levo| 5x+4 \desno|=10\Desna puščica 5x+4=\pm 10\]
Upoštevajmo ločeno, kdaj je na desni deset plus, posebej pa, kdaj je minus. Imamo:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna puščica 5x=-14\desna puščica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\konec(poravnaj)\]
To je vse! Dobili smo dva korena: $x=1,2$ in $x=-2,8$. Celotna rešitev je zajela dobesedno dve vrstici.
Ok, brez dvoma, poglejmo nekaj bolj resnega:
\[\levo| 7-5x\desno|=13\]
Spet odpremo modul s plusom in minusom:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Desna puščica -5x=-20\Desna puščica x=4. \\\konec(poravnaj)\]
Še enkrat nekaj vrstic - in odgovor je pripravljen! Kot sem rekel, pri modulih ni nič zapletenega. Zapomniti si morate le nekaj pravil. Zato gremo naprej in začnemo z resnično bolj kompleksnimi nalogami.
Primer spremenljivke na desni strani
Zdaj razmislite o tej enačbi:
\[\levo| 3x-2 \desno|=2x\]
Ta enačba se bistveno razlikuje od vseh prejšnjih. kako In dejstvo, da je desno od enačaja izraz $2x$ - in ne moremo vnaprej vedeti, ali je pozitiven ali negativen.
Kaj storiti v tem primeru? Najprej moramo to razumeti enkrat za vselej če se desna stran enačbe izkaže za negativno, potem enačba ne bo imela korenin- že vemo, da modul ne more biti enak negativnemu številu.
In drugič, če je desni del še vedno pozitiven (ali enak nič), potem lahko ravnate popolnoma enako kot prej: preprosto odprite modul ločeno z znakom plus in ločeno z znakom minus.
Tako oblikujemo pravilo za poljubni funkciji $f\left(x \right)$ in $g\left(x \right)$ :
\[\levo| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \desno)=\pm g\left(x \desno) ), \\& g\levo(x \desno)\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]
V povezavi z našo enačbo dobimo:
\[\levo| 3x-2 \right|=2x\desna puščica \levo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
No, bomo že nekako kos zahtevi $2x\ge 0$. Na koncu lahko neumno nadomestimo korene, ki jih dobimo iz prve enačbe in preverimo, ali neenakost drži ali ne.
Torej rešimo samo enačbo:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Desna puščica 3x=0\Desna puščica x=0. \\\konec(poravnaj)\]
No, kateri od teh dveh korenov izpolnjuje zahtevo $2x\ge 0$? Da oboje! Zato bosta odgovor dve števili: $x=(4)/(3)\;$ in $x=0$. To je rešitev :)
Sumim, da se nekateri študenti že dolgočasijo? No, poglejmo še bolj zapleteno enačbo:
\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]
Čeprav je videti zlobno, je v resnici še vedno ista enačba oblike "modul je enako funkciji":
\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)\]
In rešuje se na povsem enak način:
\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \levo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]
Z neenakostjo se bomo ukvarjali kasneje - nekako je preveč zlobna (pravzaprav je preprosta, a je ne bomo rešili). Zaenkrat se je bolje ukvarjati z nastalimi enačbami. Razmislimo o prvem primeru - to je, ko je modul razširjen z znakom plus:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
No, ni pametno, da morate zbrati vse z leve, prinesti podobne in videti, kaj se zgodi. In to se zgodi:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\konec(poravnaj)\]
Vzamemo ga ven skupni množitelj$((x)^(2))$ iz oklepajev in dobimo zelo preprosto enačbo:
\[((x)^(2))\levo(2x-3 \desno)=0\desna puščica \levo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\konec(poravnaj) \desno.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Tukaj smo uporabili pomembna lastnina zmnožek, zaradi katerega smo faktorizirali prvotni polinom: zmnožek je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič.
Sedaj pa na popolnoma enak način obravnavajmo drugo enačbo, ki jo dobimo z razširitvijo modula z znakom minus:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\levo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\levo(-3x+2 \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]
Spet ista stvar: produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Imamo:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \desno.\]
No, dobili smo tri korene: $x=0$, $x=1,5$ in $x=(2)/(3)\;$. No, kaj od tega niza bo šlo v končni odgovor? Če želite to narediti, ne pozabite, da imamo dodatno omejitev v obliki neenakosti:
Kako upoštevati to zahtevo? Samo nadomestimo najdene korenine in preverimo, ali neenakost velja za te $x$ ali ne. Imamo:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna puščica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\desna puščica x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\konec(poravnaj)\]
Tako nam koren $x=1,5$ ne ustreza. In kot odgovor bosta samo dve korenini:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Kot vidite, tudi v tem primeru ni bilo nič zapletenega - enačbe z moduli se vedno rešujejo z algoritmom. Samo dobro morate razumeti polinome in neenakosti. Zato prehajamo na bolj zapletene naloge - ne bo že en, ampak dva modula.
Enačbe z dvema moduloma
Doslej smo študirali le največ preproste enačbe— bil je en modul in nekaj drugega. To »še nekaj« smo poslali v drug del neenačbe, stran od modula, da bi se na koncu vse zreduciralo na enačbo oblike $\left| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)$ ali še bolj preprosto $\left| f\levo(x \desno) \desno|=a$.
Ampak vrtec konec - čas je, da razmislimo o nečem resnejšem. Začnimo z enačbami, kot je ta:
\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\]
To je enačba oblike "modul je enak modulu". Temeljno pomembna točka je odsotnost drugih izrazov in dejavnikov: le en modul na levi, še en modul na desni - in nič več.
Nekdo bo zdaj mislil, da so takšne enačbe težje rešljive kot to, kar smo preučevali do sedaj. Ampak ne: te enačbe je še lažje rešiti. Tukaj je formula:
\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm g\levo(x \desno)\]
Vse! Submodularne izraze enostavno enačimo tako, da pred enega od njih postavimo znak plus ali minus. In potem rešimo nastali dve enačbi - in korenine so pripravljene! Brez dodatnih omejitev, brez neenakosti itd. Vse je zelo preprosto.
Poskusimo rešiti ta problem:
\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\]
Osnovno Watson! Razširitev modulov:
\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\Desna puščica 2x+3=\pm \levo(2x-7 \desno)\]
Razmislimo o vsakem primeru posebej:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\levo(2x-7 \desno)\Desna puščica 2x+3=-2x+7. \\\konec(poravnaj)\]
Prva enačba nima korenin. Kajti kdaj je $3=-7$? Pri katerih vrednostih $x$? »Kaj za vraga $x$? Ste nakamnjeni? Tam sploh ni $x$,« pravite. In imeli boste prav. Dobili smo enakost, ki ni odvisna od spremenljivke $x$, hkrati pa sama enakost ni pravilna. Zato ni korenin. :)
Pri drugi enačbi je vse malo bolj zanimivo, a tudi zelo, zelo preprosto:
Kot lahko vidite, je bilo vse rešeno dobesedno v nekaj vrsticah - od linearne enačbe nismo pričakovali ničesar drugega :).
Posledično je končni odgovor: $x=1$.
Torej, kako? Težko? Seveda ne. Poskusimo nekaj drugega:
\[\levo| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]
Spet imamo enačbo v obliki $\left| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|$. Zato ga takoj prepišemo in razkrijemo znak modula:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \levo(x-1 \desno)\]
Morda bo zdaj kdo vprašal: »Hej, kakšne neumnosti? Zakaj se »plus-minus« pojavi na desnem izrazu in ne na levem?« Pomiri se, zdaj bom vse razložil. Pravzaprav bi morali našo enačbo prepisati na naslednji način:
Nato morate odpreti oklepaje, premakniti vse člene na eno stran znaka enakovrednosti (ker bo enačba v obeh primerih očitno kvadratna) in nato poiskati korenine. Vendar se morate strinjati: ko se "plus ali minus" pojavi pred tremi izrazi (še posebej, če je eden od teh izrazov kvadratni izraz), to izgleda nekako bolj zapleteno kot situacija, ko se »plus ali minus« pojavi le pred dvema izrazoma.
Toda nič nam ne preprečuje, da prvotno enačbo prepišemo takole:
\[\levo| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\Desna puščica \levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|=\levo| x-1 \desno|\]
Kaj se je zgodilo? Nič posebnega: zamenjali so le levega in desna stran ponekod. Malenkost, ki nam bo navsezadnje nekoliko olajšala življenje.
Na splošno rešimo to enačbo, pri čemer upoštevamo možnosti s plusom in minusom:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\levo(x-1 \desno)\Desna puščica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\konec(poravnaj)\]
Prva enačba ima korena $x=3$ in $x=1$. Drugi je na splošno natančen kvadrat:
\[((x)^(2))-2x+1=((\levo(x-1 \desno))^(2))\]
Zato ima samo en koren: $x=1$. Toda to korenino smo pridobili že prej. Tako bosta v končni odgovor vključeni samo dve številki:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Misija končana! Lahko vzameš pito s police in jo poješ. Dva sta, tvoja je srednja :)
Pomembna opomba. Razpoložljivost enake korenine z različnimi možnostmi razširitve modula pomeni, da so prvotni polinomi faktorizirani, med temi faktorji pa bo zagotovo skupni. res:
\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|=\levo| \levo(x-1 \desno)\levo(x-2 \desno) \desno|. \\\konec(poravnaj)\]
Ena od lastnosti modula: $\left| a\cdot b \desno|=\levo| a \desno|\cdot \levo| b \right|$ (tj. modul produkta enako zmnožku modulov), tako da lahko prvotno enačbo prepišemo na naslednji način:
\[\levo| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|\]
Kot lahko vidite, imamo res skupni faktor. Zdaj, če zberete vse module na eni strani, lahko ta dejavnik odstranite iz oklepaja:
\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|-\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|=0; \\& \levo| x-1 \desno|\cdot \levo(1-\levo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]
No, zdaj pa si zapomnite, da je produkt enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič:
\[\levo[ \begin(align)& \left| x-1 \desno|=0, \\& \levo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]
Tako se je prvotna enačba z dvema moduloma zreducirala na dve najpreprostejši enačbi, o katerih smo govorili na samem začetku lekcije. Take enačbe je mogoče rešiti dobesedno v nekaj vrsticah :)
Ta pripomba se morda zdi po nepotrebnem zapletena in v praksi neuporabna. Vendar pa lahko v resnici naletite na veliko več kompleksne naloge, kot tiste, ki jih analiziramo danes. V njih lahko module kombiniramo s polinomi, aritmetični koreni, logaritmi itd. In v takih situacijah priložnost za zmanjšanje splošne stopnje enačbe, če damo nekaj iz oklepaja, so lahko zelo, zelo koristne.
Zdaj pa bi rad pogledal še eno enačbo, ki se na prvi pogled morda zdi nora. Veliko študentov se ob tem zatakne, tudi tisti, ki mislijo, da dobro razumejo module.
Vendar je to enačbo še lažje rešiti kot to, kar smo si ogledali prej. In če razumete, zakaj, boste dobili še en trik hitra rešitev enačbe z moduli.
Enačba je torej:
\[\levo| x-((x)^(3)) \desno|+\levo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]
Ne, to ni tipkarska napaka: to je plus med moduli. In ugotoviti moramo, pri katerem $x$ je vsota dveh modulov enaka nič :).
V čem je sploh problem? Toda težava je v tem, da je vsak modul pozitivno število ali v skrajnem primeru nič. Kaj se zgodi, če seštejete dve pozitivni števili? Očitno spet pozitivna številka:
\[\začetek(poravnaj)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\konec(poravnaj)\]
Zadnja vrstica vam lahko da idejo: edini čas, ko je vsota modulov nič, je, če je vsak modul enak nič:
\[\levo| x-((x)^(3)) \desno|+\levo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2)) \right|=0 \\\end(align) \right.\.
In kdaj je modul enak nič? Samo v enem primeru - ko je submodularni izraz enak nič:
\[((x)^(2))+x-2=0\Desna puščica \levo(x+2 \desno)\levo(x-1 \desno)=0\Desna puščica \levo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]
Tako imamo tri točke, na katerih se prvi modul ponastavi na nič: 0, 1 in −1; kot tudi dve točki, kjer se drugi modul ponastavi na nič: −2 in 1. Vendar pa moramo oba modula ponastaviti na nič hkrati, zato moramo med najdenimi številkami izbrati tista, ki so vključena v oba sklopa. Očitno obstaja samo eno takšno število: $x=1$ - to bo končni odgovor.
Metoda cepitve
Pa smo že obdelali kup problemov in se naučili veliko tehnik. Misliš, da je to vse? Vendar ne! Zdaj si bomo ogledali končno tehniko - in hkrati najpomembnejšo. Govorili bomo o enačbah cepitve z modulom. O čem se bomo sploh pogovarjali? Vrnimo se malo nazaj in poglejmo eno preprosto enačbo. Na primer to:
\[\levo| 3x-5 \desno|=5-3x\]
Takšno enačbo načeloma že znamo rešiti, saj gre za standardno konstrukcijo oblike $\left| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)$. Toda poskusimo pogledati to enačbo z nekoliko drugačnega zornega kota. Natančneje, upoštevajte izraz pod znakom modula. Naj vas spomnim, da je modul katerega koli števila lahko enak samemu številu ali pa je nasproten temu številu:
\[\levo| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Pravzaprav je v tej dvoumnosti ves problem: ker se število pod modulom spreminja (odvisno je od spremenljivke), nam ni jasno, ali je pozitivno ali negativno.
Kaj pa, če na začetku zahtevate, da je to število pozitivno? Na primer, zahtevamo, da je $3x-5 \gt 0$ - v tem primeru bomo zagotovo dobili pozitivno število pod znakom modula in tega prav tega modula se lahko popolnoma znebimo:
Tako se bo naša enačba spremenila v linearno, ki jo je mogoče zlahka rešiti:
Res je, vse te misli so smiselne samo pod pogojem $3x-5 \gt 0$ - to zahtevo smo uvedli sami, da bi nedvoumno razkrili modul. Zato najdeni $x=\frac(5)(3)$ nadomestimo s tem pogojem in preverimo:
Izkazalo se je, da ko določeno vrednost$x$ naša zahteva ni izpolnjena, ker izkazalo se je, da je izraz enak nič in potrebujemo, da je strogo večji od nič. žalostno :(
Ampak je v redu! Navsezadnje obstaja še ena možnost $3x-5 \lt 0$. Še več: obstaja tudi primer $3x-5=0$ - tudi to je treba upoštevati, sicer bo rešitev nepopolna. Torej, razmislite o primeru $3x-5 \lt 0$:
Očitno se bo modul odprl z znakom minus. Toda potem se pojavi čudna situacija: tako na levi kot na desni v prvotni enačbi bo štrlel isti izraz:
Zanima me, pri kolikšnih $x$ bo izraz $5-3x$ enak izrazu $5-3x$? Tudi kapitan Očitnost bi se ob takih enačbah zadušil v slini, a vemo: ta enačba je identiteta, tj. velja za katero koli vrednost spremenljivke!
To pomeni, da nam bo vsak $x$ ustrezal. Vendar imamo omejitev:
Z drugimi besedami, odgovor ne bo ena sama številka, ampak cel interval:
Končno je treba upoštevati še en primer: $3x-5=0$. Tukaj je vse preprosto: pod modulom bo nič, modul nič pa je tudi enak nič (to izhaja neposredno iz definicije):
Toda potem izvirna enačba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bo prepisano na naslednji način:
Ta koren smo pridobili že zgoraj, ko smo obravnavali primer $3x-5 \gt 0$. Poleg tega je ta koren rešitev enačbe $3x-5=0$ - to je omejitev, ki smo jo uvedli sami za ponastavitev modula :).
Tako se bomo poleg intervala zadovoljili tudi s številom, ki leži čisto na koncu tega intervala:
Združevanje korenov v modulo enačbah Skupni končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Ni prav pogosto videti takšnega sranja v odgovoru na precej preprosto (v bistvu linearno) enačbo z modulom, res? No, navadite se: težava modula je, da so odgovori v takšnih enačbah lahko povsem nepredvidljivi.
Nekaj drugega je veliko bolj pomembno: pravkar smo analizirali univerzalni algoritem za reševanje enačbe z modulom! In ta algoritem je sestavljen iz naslednjih korakov:
- Vsak modul v enačbi enačite z nič. Dobimo več enačb;
- Rešite vse te enačbe in označite korenine na številski premici. Posledično bo ravna črta razdeljena na več intervalov, v vsakem od katerih so vsi moduli edinstveno razkriti;
- Rešite prvotno enačbo za vsak interval in združite svoje odgovore.
To je vse! Ostaja samo eno vprašanje: kaj storiti s koreninami, pridobljenimi v koraku 1? Recimo, da imamo dva korena: $x=1$ in $x=5$. Številsko premico bodo razdelili na 3 dele:
Razdelitev številske premice na intervale s pomočjo točk Kakšni so torej intervali? Jasno je, da so trije:
- Skrajno levo: $x \lt 1$ — sama enota ni vključena v interval;
- Središče: $1\le x \lt 5$ - tukaj je ena vključena v interval, pet pa ni vključenih;
- Skrajno desno: $x\ge 5$ - pet je vključenih samo tukaj!
Mislim, da že razumete vzorec. Vsak interval vključuje levi konec in ne vključuje desnega.
Na prvi pogled se lahko tak vnos zdi neprijeten, nelogičen in na splošno nekakšen nor. Toda verjemite mi: po malo vaje boste ugotovili, da je ta pristop najbolj zanesljiv in ne moti nedvoumnega odpiranja modulov. Bolje je uporabiti takšno shemo, kot da vsakič razmišljate: dajte levi / desni konec trenutnemu intervalu ali ga "vrzite" v naslednjega.
