Kateri od intervalov je prikazan na črti? Funkcija. Funkcijski graf

B) Številska premica

Razmislite o številski premici (slika 6):

Razmislite o množici racionalnih števil

Vsako racionalno število je predstavljeno z neko točko na številska os. Torej, številke so označene na sliki.

Dokažimo to.

Dokaz. Naj bo ulomek: . Imamo pravico, da ta ulomek štejemo za nezmanjšanega. Ker je , potem je - število sodo: - liho. Če nadomestimo njegov izraz, ugotovimo: , iz česar sledi, da - sodo število. Dobili smo protislovje, ki potrjuje trditev.

Torej ne predstavljajo vse točke na številski osi racionalna števila. Tiste točke, ki ne predstavljajo racionalnih števil, predstavljajo klicana števila neracionalno.

Vsako število v obliki , , je celo število ali iracionalno število.

Številčni intervali

Številske odseke, intervale, polintervale in žarke imenujemo numerični intervali.

Predstavimo števila na koordinatni premici a in b, kot tudi število x med njimi.

Množica vseh števil, ki izpolnjujejo pogoj a ≤ x ≤ b, poklical numerični segment oz samo segment. Označen je na naslednji način: [ a; b] - Bere se takole: odsek od a do b.

Niz števil, ki izpolnjujejo pogoj a< x < b , poklical interval. Označen je na naslednji način: ( a; b)

Takole se glasi: interval od a do b.

Množice števil, ki izpolnjujejo pogoje a ≤ x< b или a<x ≤ b, se imenujejo polovični intervali. Oznake:

Nastavite a ≤ x< b обозначается так:[a; b), se glasi takole: polovični interval od a prej b, vključno z a.

Kup a<x ≤ b je označeno kot sledi:( a; b], se glasi takole: polovični interval od a prej b, vključno z b.

Zdaj pa si predstavljajmo žarek s piko a, desno in levo od katerega je niz številk.

a, ki izpolnjuje pogoj x ≥ a, poklical numerični žarek.

Označen je na naslednji način: [ a; +∞)-Bere se takole: številski žarek iz a do plus neskončnosti.

Niz števil desno od točke a, ki ustreza neenakosti x>a, poklical odprt številski žarek.

Označen je na naslednji način: ( a; +∞)-Bere se takole: odprt številski žarek iz a do plus neskončnosti.

a, ki izpolnjuje pogoj x ≤ a, poklical številski žarek od minus neskončnosti doa .

Označen je na naslednji način:( - ∞; a]-Bere se takole: številski žarek od minus neskončnosti do a.

Niz števil levo od točke a, ki ustreza neenakosti x< a , poklical odprt številski žarek od minus neskončnosti doa .

Označen je na naslednji način: ( - ∞; a)-Bere se takole: odprt številski žarek od minus neskončnosti do a.

Množico realnih števil predstavlja celotna koordinatna premica. Imenuje se številska premica. Označen je na naslednji način: ( - ∞; + ∞ )

3) Linearne enačbe in neenačbe z eno spremenljivko, njihove rešitve:

Enačba, ki vsebuje spremenljivko, se imenuje enačba z eno spremenljivko ali enačba z eno neznanko. Na primer, enačba z eno spremenljivko je 3(2x+7)=4x-1.

Koren ali rešitev enačbe je vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane prava numerična enakost. Na primer, število 1 je rešitev enačbe 2x+5=8x-1. Enačba x2+1=0 nima rešitve, ker leva stran enačbe je vedno večja od nič. Enačba (x+3)(x-4) =0 ima dva korena: x1= -3, x2=4.

Rešiti enačbo pomeni najti vse njene korenine ali dokazati, da korenin ni.

Enačbe imenujemo enakovredne, če so vsi koreni prve enačbe koreni druge enačbe in obratno, vsi koreni druge enačbe so koreni prve enačbe ali če obe enačbi nimata korenin. Na primer, enačbi x-8=2 in x+10=20 sta enakovredni, ker koren prve enačbe x=10 je tudi koren druge enačbe in obe enačbi imata isti koren.

Pri reševanju enačb se uporabljajo naslednje lastnosti:

Če člen v enačbi premaknete iz enega dela v drugega in mu spremenite predznak, boste dobili enačbo, ki je enakovredna dani.

Če obe strani enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.

Enačbo ax=b, kjer je x spremenljivka, a in b pa nekaj števil, imenujemo linearna enačba z eno spremenljivko.

Če je a¹0, ima enačba edinstveno rešitev.

Če je a=0, b=0, potem enačbo zadovolji katera koli vrednost x.

Če je a=0, b¹0, potem enačba nima rešitev, ker 0x=b se ne izvede za nobeno vrednost spremenljivke.
Primer 1. Rešite enačbo: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Odprimo oklepaje na obeh straneh enačbe, vse člene z x prestavimo na levo stran enačbe, člene, ki ne vsebujejo x, pa na desno stran, dobimo:

16x-15x=88-40-12

Primer 2. Rešite enačbe:

x3-2x2-98x+18=0;

Te enačbe niso linearne, vendar bomo pokazali, kako je takšne enačbe mogoče rešiti.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Produkt je enak nič, če je eden od faktorjev enak nič, dobimo x1=0; x2= .

Odgovor: 0; .

Faktorirajte levo stran enačbe:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tj. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To kaže, da so rešitve te enačbe števila x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Predstavljajte si 7x kot 3x+4x, potem imamo: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, torej x1=-3, x2=-4.

Odgovor: -3; - 4.
Primer 3. Rešite enačbo: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Spomnimo se definicije modula števila:

Na primer: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

V tej enačbi sta pod znakom modula števili x-1 in x+1. Če je x manjši od –1, potem je število x+1 negativno, potem je ½x+1½=-x-1. In če je x>-1, potem je ½x+1½=x+1. Pri x=-1 ½x+1½=0.

torej

Prav tako

a) Razmislite podana enačba½x+1½+½x-1½=3 za x£-1, je enakovredno enačbi -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, to število pripada množici x£-1 .

b) Naj bo -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Razmislite o primeru x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . To število pripada množici x>1.

Odgovor: x1=-1,5; x2=1,5.
Primer 4. Rešite enačbo:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Pokazali vam bomo kratka opomba reševanje enačbe, razkrivanje predznaka modula "v intervalih".

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Odgovor: [-2; 0]
Primer 5. Rešite enačbo: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), za vse vrednosti parametra a.

V tej enačbi sta pravzaprav dve spremenljivki, vendar upoštevajte, da je x neznanka, a pa parameter. Za poljubno vrednost parametra a je treba rešiti enačbo za spremenljivko x.

Če je a=1, ima enačba obliko 0×x=0; to enačbo zadošča poljubno število.

Če je a=-1, je enačba videti kot 0×x=-2; tej enačbi ne ustreza niti eno število.

Če je a¹1, a¹-1, ima enačba edinstveno rešitev.

Odgovor: če je a=1, potem je x poljubno število;

če je a=-1, potem ni rešitev;

če je a¹±1, potem .

B) Linearne neenačbe z eno spremenljivko.

Če spremenljivki x damo katero koli številsko vrednost, potem dobimo številčna neenakost, ki izražajo resnično ali napačno trditev. Naj bo na primer podana neenakost 5x-1>3x+2. Za x=2 dobimo 5·2-1>3·2+2 – resnična izjava(pravilna navedba števila); pri x=0 dobimo 5·0-1>3·0+2 – napačna trditev. Vsaka vrednost spremenljivke, pri kateri to neenakost s spremenljivko spremeni v pravo numerično neenačbo, imenujemo rešitev neenačbe. Reševanje neenačbe s spremenljivko pomeni iskanje množice vseh njenih rešitev.

Za dve neenačbi z isto spremenljivko x pravimo, da sta enakovredni, če množici rešitev teh neenačb sovpadata.

Glavna ideja reševanja neenakosti je naslednja: dano neenakost nadomestimo z drugo, preprostejšo, vendar enakovredno dani; nastalo neenačbo spet nadomestimo z njej enakovredno enostavnejšo itd.

Takšne zamenjave so narejene na podlagi naslednjih izjav.

Izrek 1. Če katerikoli člen neenačbe z eno spremenljivko prenesemo iz enega dela neenačbe v drugega z nasprotno znamenje, pri čemer pustimo znak neenakosti nespremenjen, dobimo neenakost, ki je enakovredna dani.

Izrek 2. Če obe strani neenačbe z eno spremenljivko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom, pri čemer pustimo predznak neenakosti nespremenjen, potem dobimo neenakost, ki je enakovredna dani.

Izrek 3. Če obe strani neenakosti z eno spremenljivko pomnožimo ali delimo z isto negativno število, spremenimo predznak neenakosti v nasprotno, dobimo neenakost, ki je enakovredna dani.

Neenakost oblike ax+b>0 imenujemo linearna (oziroma ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Primer 1. Rešite neenačbo: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Če odpremo oklepaje, dobimo 2x-6+5-5x³6x-15,

Odgovor - Množica (-∞;+∞) se imenuje številska premica, vsako število pa je točka na tej premici. Naj - poljubna točkaštevilska premica in δ

Pozitivno število. Interval (a-δ; a+δ) imenujemo δ-okolica točke a.

Množica X je omejena od zgoraj (od spodaj), če obstaja število c takšno, da za vsak x ∈ X velja neenakost x≤с (x≥c). Število c v tem primeru imenujemo zgornja (spodnja) meja množice X. Množica, ki je omejena zgoraj in spodaj, se imenuje omejena. Najmanjšo (največjo) zgornjo (spodnjo) mejo niza imenujemo natančna zgornja (spodnja) meja tega niza.

Številski interval je povezana množica realnih števil, torej taka, da če tej množici pripadata 2 števili, potem tej množici pripadajo tudi vsa števila med njima. Obstaja več nekoliko različnih vrst nepraznih številčni intervali: Ravni, odprti snop, zaprt snop, segment, polinterval, interval

Številska premica

Množico vseh realnih števil imenujemo tudi številska premica. Oni pišejo.

V praksi ni treba razlikovati med konceptom koordinatne ali številske premice v geometrijskem smislu in pojmom številske premice, ki ga uvaja ta definicija. Zato so ti različni koncepti označeni z istim izrazom.

Odprti žarek

Množica števil, ki se imenuje odprt številski žarek. Oni pišejo ali temu primerno: .

Zaprti žarek

Množica števil, ki se imenuje zaprta številska premica. Oni pišejo ali temu primerno:.

Niz števil imenujemo številski segment.

Komentiraj. Definicija tega ne določa. Predpostavlja se, da je primer možen. Nato se numerični interval spremeni v točko.

Interval

Niz števil, ki se imenuje numerični interval.

Komentiraj. Sovpadanje oznak odprtega žarka, ravne črte in intervala ni naključno. Odprt žarek lahko razumemo kot interval, katerega eden od koncev je odstranjen v neskončnost, in številsko črto - kot interval, katerega oba konca sta odstranjena v neskončnost.

Polovični interval

Niz števil, kot je ta, se imenuje numerični polinterval.

Pišejo oz.

3.Funkcija.Graf funkcije. Metode za določanje funkcije.

Odgovor – Če sta podani dve spremenljivki x in y, potem velja, da je spremenljivka y funkcija spremenljivke x, če je med tema spremenljivkama podan odnos, ki omogoča, da vsaka vrednost enolično določa vrednost y.

Zapis F = y(x) pomeni, da je obravnavana funkcija, ki omogoča katero koli vrednost neodvisne spremenljivke x (med tistimi, ki jih na splošno lahko sprejme argument x), da najde ustrezno vrednost odvisne spremenljivke y.

Metode za določanje funkcije.

Funkcijo je mogoče določiti s formulo, na primer:

y = 3x2 – 2.

Funkcijo je mogoče določiti z grafom. Z uporabo grafa lahko ugotovite, katera vrednost funkcije ustreza določeni vrednosti argumenta. To je običajno približna vrednost funkcije.

4. Glavne značilnosti funkcije: monotonost, parnost, periodičnost.

odgovor - Periodičnost Definicija. Funkcija f se imenuje periodična, če obstaja takšno število
, da je f(x+
)=f(x), za vse x D(f). Seveda je takih številk nešteto. Najmanjše pozitivno število ^ T imenujemo perioda funkcije. Primeri. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , ta funkcija ni periodična. Definicija paritete. Funkcija f je poklicana tudi, če lastnost f(-x) = f(x) velja za vse x v D(f). Če je f(-x) = -f(x), se funkcija imenuje liho. Če nobena od navedenih relacij ni izpolnjena, se funkcija imenuje splošna funkcija. Primeri. A. y = cos (x) - sodo; V. y = tg (x) - liho; S. y = (x); y=sin(x+1) – funkcije splošne oblike. Monotonija Definicija. Funkcija f: X -> R se imenuje naraščajoča (padajoča), če za katero koli
pogoj je izpolnjen:
Opredelitev. Funkcija X -> R se imenuje monotona na X, če narašča ali pada na X. Če je f monoton na nekaterih podmnožicah X, potem se imenuje delno monoton. Primer. y = cos x - kosovno monotona funkcija.

Številčni intervali. Kontekst. Opredelitev

Enačba (enačba) ima eno točko na številski premici (čeprav je ta točka odvisna od opravljenih transformacij in izbranega korena). Rešitev same enačbe bo numerični niz (včasih sestavljen iz ene same številke). Vendar je vse to na številski premici (vizualizacija množice realna števila) bodo prikazani samo točkovno, vendar jih je tudi več generične vrste razmerja med dvema številoma – neenačbe. V njih je številska premica razdeljena z določeno številko in odrezana od nje določen del- vrednosti izraza ali številskega intervala.

Temo številskih intervalov je logično obravnavati skupaj z neenačbami, vendar to ne pomeni, da je povezana le z njimi. Številčni intervali (intervali, segmenti, žarki) so niz spremenljivih vrednosti, ki izpolnjujejo določeno neenakost. To je v bistvu množica vseh točk na številski premici, omejena z nekakšnim ogrodjem. Zato je tema številskih intervalov najtesneje povezana s konceptom spremenljivka. Kjer je spremenljivka ali poljubna točka x na številski premici in je uporabljena, so tudi številski intervali, intervali - vrednosti x. Pogosto je vrednost lahko karkoli, vendar je to tudi številski interval, ki pokriva celotno številsko premico.

Predstavimo koncept številčni interval. Med številski nizi, torej množice, katerih objekti so števila, razlikujejo tako imenovane številske intervale. Njihova vrednost je v tem, da si je zelo enostavno zamisliti niz, ki ustreza določenemu številskemu intervalu, in obratno. Zato je z njihovo pomočjo priročno zapisati številne rešitve neenakosti. Medtem ko množica rešitev enačbe ne bo številski interval, temveč le več števil na številski premici, z neenakostmi, z drugimi besedami, morebitne omejitve vrednosti spremenljivke, se pojavijo številski intervali.

Številski interval je množica vseh točk na številski premici, omejena z danim številom ali števili (točke na številski premici).

Numerični interval katere koli vrste (niz vrednosti x, zaprtih med določenimi številkami) je vedno mogoče predstaviti na tri načine matematični zapis: posebni zapisi za intervale, verige neenačb (enojna ali dvojna neenačba) ali geometrijsko na številski premici. V bistvu imajo vse te oznake enak pomen. Zagotavljajo omejitev(-e) na vrednosti nekega matematičnega objekta, spremenljiva velikost(neka spremenljivka, poljuben izraz s spremenljivko, funkcija itd.).

Iz zgoraj navedenega je mogoče razumeti, da je mogoče območje številske premice omejiti na različne načine (obstajajo različni tipi neenakosti), potem obstajajo različne vrste številskih intervalov.

Vrste numeričnih intervalov

Vsaka vrsta številskega intervala ima pravilno ime, posebna oznaka. Za označevanje številskih intervalov se uporabljajo okrogli in oglati oklepaji. Oklepaj pomeni, da končna točka, ki določa mejo na številski premici (konec) tega oklepaja, ni vključena v niz točk tega intervala. Oglati oklepaj pomeni konec vstopi v vrzel. Pri neskončnosti (na tej strani interval ni omejen) uporabite oklepaj. Včasih namesto tega oklepaj lahko pišete kvadratno, zasukano hrbtna stran: (a;b) ⇔]a;b[

Lahko pride do zmede z imeni intervalov: obstajajo velik znesek opcije. Zato jih je vedno bolje natančno navesti. V angleški literaturi se uporablja samo izraz interval ("interval") - odprto, zaprto, pol odprto (pol zaprto). Različic je veliko.

Uporaba intervalov v matematiki pomeni zelo veliko število stvari: obstajajo intervali izolacije pri reševanju enačb, intervali integracije, intervali konvergence nizov. Pri preučevanju funkcije se intervali vedno uporabljajo za označevanje njenega obsega vrednosti in domene definicije. Vrzeli so zelo pomembne, na primer obstajajo Bolzano-Cauchyjev izrek(več lahko izveste na Wikipediji).

Sistemi in množice neenačb

Sistem neenakosti

Torej lahko spremenljivko x ali vrednost nekega izraza primerjamo z nekaterimi konstantna vrednost- to je neenakost, vendar lahko ta izraz primerjate z več količinami - dvojno neenakostjo, verigo neenakosti itd. Točno to je bilo prikazano zgoraj - kot interval in segment. Oboje je sistem neenakosti.

Torej, če je naloga najti niz splošne rešitve dve ali več neenačb, potem lahko govorimo o reševanju sistema neenačb (tako kot pri enačbah - čeprav lahko rečemo, da so enačbe poseben primer).

Potem je očitno, da se vrednost spremenljivke, uporabljene v neenačbah, pri kateri vsaka od njih postane resnična, imenuje rešitev sistema neenačb.

Vse neenakosti, vključene v sistem, so združene zavit oklepaj- "(". Včasih so napisani v obliki dvojna neenakost(kot je prikazano zgoraj) ali celo veriga neenakosti. Primer tipičnega vnosa: f x ≤ 30 g x 5 .

Sistemska rešitev linearne neenakosti z eno spremenljivko v splošni primer se zmanjša na te 4 vrste: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Vsak sistem je mogoče grafično rešiti s pomočjo številske premice. Kjer se rešitve neenačb, ki sestavljajo sistem, sekajo, bo rešitev samega sistema.

Naj za vsak primer predstavimo grafično rešitev.