Enako zanimivo in nič manj pomembno je dipolno polje, ki nastane v drugih okoliščinah. Imejmo telo s kompleksna porazdelitev naboj, recimo, kot naboj molekule vode (glej sliko 6.2), zanima pa nas samo polje, ki je daleč od tega. Pokazali bomo, da je mogoče dobiti razmeroma enostaven izraz za polja, ki je primeren za razdalje, veliko večje od dimenzij telesa.
Na to telo lahko gledamo kot na grozd točkovne dajatve na nekem omejenem območju (slika 6.7). (Kasneje, če bo potrebno, ga bomo nadomestili z .) Naj bo naboj odmaknjen od izhodišča koordinat, izbranih nekje znotraj skupine nabojev, za razdaljo . Kakšen je potencial v točki, ki se nahaja nekje v daljavi, na razdalji, ki je veliko večja od največje od ? Potencial našega celotnega grozda izraža formula
, (6.21)
kjer je razdalja od do naboja (dolžina vektorja ). Če je razdalja od nabojev do (do točke opazovanja) izjemno velika, potem lahko vsakega od njih vzamemo kot . Vsak izraz v vsoti bo postal enak , in ga je mogoče odstraniti izpod znaka vsote. Rezultat je preprost
, (6.22)
kje je skupni naboj telesa. Tako smo prepričani, da se iz točk, ki so dovolj oddaljene od kopičenja nabojev, zdi, da gre le za točkovni naboj. Ta rezultat na splošno ni zelo presenetljiv.
Slika 6.7. Izračun potenciala na točki, ki je zelo oddaljena od skupine nabojev.
Kaj pa, če je v skupini enako število pozitivnih in negativnih nabojev? Skupni znesek bo potem enako nič. To ni tako redek primer; vemo, da je večina teles nevtralnih. Molekula vode je nevtralna, vendar se naboji v njej ne nahajajo na eni točki, tako da bi morali, ko se približamo, opaziti nekaj znakov, da sta naboja ločena. Za potencial naključna porazdelitev nabojev v nevtralnem telesu, potrebujemo približek, ki je boljši od tistega, ki ga daje formula (6.22). Enačba (6.21) je še vedno veljavna, vendar je ni več mogoče domnevati. Potreben je natančnejši izraz. V dobrem približku se lahko šteje za drugačno od (če je točka zelo oddaljena) projekcije vektorja na vektor (glej sliko 6.7, vendar si morate samo predstavljati, da je veliko dlje, kot je prikazano). Z drugimi besedami, če je enotski vektor v smeri, potem je treba uporabiti naslednji približek za
Toda tisto, kar potrebujemo, ni, ampak; v našem približku (ob upoštevanju ) je enako
(6.24)
Če to zamenjamo v (6.21), vidimo, da je potencial enak
(6.25)
Elipsa označuje člane višjega reda ki smo jih zanemarili. Tako kot členi, ki smo jih zapisali, so to poznejši členi razširitve Taylorjevega niza v bližini potenc .
Prvi člen smo že dobili v (6.25); v nevtralnih telesih izgine. Drugi člen je, tako kot pri dipolu, odvisen od . Res, če definiramo
kot količina, ki opisuje porazdelitev naboja, se drugi člen potenciala (6.25) spremeni v
tj. samo v dipolni potencial. Količina se imenuje dipolni moment porazdelitve. To je posplošitev naše prejšnje definicije; nanj se reducira v posebnem primeru točkastih nabojev.
Posledično smo ugotovili, da se dovolj daleč od katerega koli niza nabojev potencial izkaže za dipolnega, če je ta niz na splošno nevtralen. Upada kot , in se spreminja kot , njegova vrednost pa je odvisna od dipolnega momenta porazdelitve naboja. Zaradi tega so dipolna polja pomembna; sami pari točkastih nabojev so izjemno redki.
Za molekulo vode npr. dipolni moment precej velik. Za nekatere je odgovorno električno polje, ki ga ustvari ta trenutek pomembne lastnosti vodo. In za mnoge molekule, recimo, dipolni moment izgine zaradi njihove simetrije. Pri takšnih molekulah je treba razgradnjo izvesti še bolj natančno, do naslednjih členov potenciala, ki padajo, kot se imenuje kvadrupolni potencial. Te primere bomo obravnavali pozneje.
- Aleksander Nikolajevič Furs beloruščina državna univerza, Nezavisimosti Ave., 4, 220030, Minsk, Republika Belorusija
Opomba
Pri Coulombovi kalibraciji se izračunajo potenciali polja poljubne porazdelitve nabojev in tokov. Prikazano je, da vektorski potencial določajo ne le vrednosti gostote toka v časovnih zakasnitvah, temveč tudi zgodovina sprememb gostote naboja v časovnem intervalu, omejenem z zakasnjenimi in aktualni trenutki. Prejeto različni pogledi Lienard–Wiechertov potencial v Coulombovem merilu. Uporabljajo se za primer enakomerno in premočrtno gibajočega se točkastega naboja.
Biografija avtorja
Aleksander Nikolajevič Furs, Beloruska državna univerza, Independence Ave., 4, 220030, Minsk, Republika Belorusija
doktor fizikalnih in matematičnih znanosti, izredni profesor; Profesor Katedre za teoretično fiziko in astrofiziko Fakultete za fiziko
Literatura
1. Landau L. D., Lifshits E. M. Teorija polja. M., 1973.
2. Jackson J. Klasična elektrodinamika. M., 1965.
3. Bredov M. M., Rumyantsev V. V., Toptygin I. N. Klasična elektrodinamika. M., 1985.
4. Heitler W. Kvantna teorija sevanje. M., 1956.
5. Ginzburg V.L. Teoretična fizika in astrofizika. Dodatna poglavja. M., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Viri, potenciali in polja v Lorenzovem in Coulombovem merilniku: Odprava trenutnih interakcij za premikajoče se točkaste naboje // Ann. Phys. 2012. letnik 327, št. 4. Str. 1217–1230.
7. Akhiezer A. I., Berestetski V. B. Kvantna elektrodinamika. M., 1969.
Merilna invariantnost, Lorentzova in Coulombova merila, retardirani potenciali, Lienard–Wiechertovi potenciali
- Avtorji obdržijo avtorske pravice za delo in podeljujejo reviji pravico do prve objave dela pod pogoji licence Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 Mednarodno (CC BY-NC 4.0).
- Avtorji si pridržujejo pravico do sklenitve ločenih pogodbenih dogovorov za neizključno distribucijo različice dela, kot je objavljeno tukaj (npr. postavitev v institucionalni repozitorij, objava v knjigi) glede na prvotno objavo v tej reviji.
- Avtorji imajo pravico objaviti svoje delo na spletu (na primer v institucionalnem repozitoriju ali na osebnem spletnem mestu) pred in med postopkom recenziranja revije, saj lahko to vodi do produktivne razprave in več povezave do to delo. (Cm.
Potencial polja sistema nabojev
Naj sistem sestavljajo stacionarni točkasti naboji q 1, q 2, ... Po principu superpozicije na kateri koli točki polja je jakost E = E 1 + E 2 +., kjer je E 1 poljska jakost. naboja q 1 itd. Potem lahko zapišemo s formulo (1.8):
kjer tj. Izkaže se, da načelo superpozicije velja tudi za potencial. Tako potencial sistema stacionarnih točkastih nabojev
kjer je r i razdalja od točkovnega naboja q, do terenske točke, ki nas zanima. Tudi tukaj je poljubna konstanta izpuščena. To je popolnoma skladno z dejstvom, da vsak pravi sistem nabojev je prostorsko omejen, zato lahko njegov potencial v neskončnosti vzamemo za nič.
Če so naboji, ki tvorijo sistem, porazdeljeni zvezno, potem, kot običajno, menimo, da vsak elementarni volumen dV vsebuje "točkovni" naboj cdV, kjer je c volumetrična gostota naboja na mestu volumna dV. Ob upoštevanju tega lahko formuli (1.10) damo drugačno obliko
kjer se integracija izvaja bodisi po celotnem prostoru bodisi po tistem njegovem delu, ki vsebuje naboje. Če se naboji nahajajo le na površini S , to
kjer y - površinska gostota naboj; dS - površinski element S. Podoben izraz bo v primeru, ko so naboji porazdeljeni linearno.
Torej, če poznamo porazdelitev nabojev (diskretno, zvezno), lahko načeloma najdemo potencial polja katerega koli sistema.
Razmerje med potencialom in poljsko jakostjo
Električno polje, kot je znano, v celoti opisuje vektorska funkcija E (r). Če jo poznamo, lahko na kateri koli točki polja poiščemo silo, ki deluje na naboj, ki nas zanima, izračunamo delo sil polja za poljubno gibanje naboja in še več. Kaj naredi uvedba potenciala? Najprej se izkaže, da lahko ob poznavanju potenciala μ(r) danega električnega polja preprosto obnovimo samo polje E(r). Razmislimo o tem vprašanju podrobneje.
Povezavo med q in E lahko ugotovimo z enačbo (1.8). Naj bo premik dl vzporeden z osjo X , potem dl =Ei dx, kjer je i enotski vektor osi X; dx - prirast koordinate x . V tem primeru
kjer je projekcija vektorja E na enoto i (in ne na premik dl). Če primerjamo zadnji izraz s formulo (1.8), dobimo
kjer simbol delnega odvoda poudarja, da je treba funkcijo μ (x, y, z) razlikovati samo glede na x , štetje y in z medtem ko je konstanten.
S podobnim razmišljanjem lahko dobimo ustrezne izraze za projekciji E y in E z. In po določitvi E x, E y, E z je enostavno najti sam vektor E
Količina v oklepajih ni nič drugega kot potencialni gradient c (grad c). Tisti. poljska jakost E je z znakom minus enaka potencialnemu gradientu. To je formula, s katero lahko obnovite polje E, če poznate funkcijo μ(r).
Ekvipotencialne površine
Uvedimo pojem ekvipotencialne površine - površine, v vseh točkah katere ima potencial μ enako vrednost. Pazimo, da je vektor E usmerjen v vsaki točki po normali na ekvipotencialno ploskev v smeri padajočega potenciala. Dejansko iz formule (1.13) sledi, da je projekcija vektorja E na katero koli smer, tangentno na ekvipotencialno površino v dani točki, enaka nič. To pomeni, da je vektor E normalen na to površino. Nato vzemimo premik dx vzdolž normale na površino v smeri zmanjševanja c, nato 5c<0 и согласно (1.13) E x >0, tj. vektor E je usmerjen v smer padajočega q ali v nasprotno smer od vektorja grad q.
Ekvipotencialne površine je najbolj priporočljivo izvesti tako, da je potencialna razlika za dve sosednji površini enaka. Potem lahko po gostoti ekvipotencialnih površin jasno ocenimo vrednost poljske jakosti v različne točke. Kjer so te površine gostejše (»strmejši potencialni relief«), je poljska jakost večja.
kje je vsak
Z zamenjavo dobimo:
Za kontinuirana distribucija podobno: 
kje V- območje prostora, kjer se nahajajo naboji (neničelna gostota naboja), ali celoten prostor, - radij vektor točke, za katero računamo, - radij vektor vira, ki poteka skozi vse točke območja ^V pri integraciji, dV- element glasnosti.
Električno polje, v katerem je jakost in smer enaka v kateri koli točki prostora, se imenuje enakomerno električno polje .
Električno polje med dvema nasprotno nabitima ravnima kovinskima ploščama je približno enakomerno. Napetostne črte v enotnem električnem polju so med seboj vzporedne
pri enakomerna porazdelitev električni naboj q po površini območja S površinska gostota naboja je konstantna in enaka
4.Potencial elektrostat polja. Ekvipotencialna površino Ur-e opremiti. površino
Elektrostatično polje je električno polje nabojev, ki mirujejo v izbranem referenčnem sistemu. Glavne značilnosti elektrostatično polje sta napetost in potencial. Potencial na kateri koli točki el.stat. tam so polja fizikalna količina, določeno s potencialno energijo pozitivni naboj, postavljeno na to točko.
Potencialna razlika med dvema točkama je enaka delu, opravljenem pri premikanju enote pozitivnega naboja iz točke 1 v točko 2.
Pogosto je priročno vzeti potencial neskončno oddaljene točke v vesolju za ničelni potencial. potencial– energijska karakteristika elektrostatičnega polja. Če je ničelna raven potencialna energija sistem naboja pogojno izbran v neskončnosti, potem izraz predstavlja delo zunanje sile za premik posameznega pozitivnega naboja iz neskončnosti v obravnavano točko B: 
;
Površina, na vseh točkah katere ima potencial električnega polja iste vrednosti, imenujemo ekvipotencialna površina.
Med katerima koli točkama na ekvipotencialni površini je potencialna razlika enaka nič, zato je delo, ki ga opravijo sile električnega polja za kakršno koli gibanje naboja vzdolž ekvipotencialne površine, enako nič. To pomeni, da je vektor sile Fe na kateri koli točki trajektorije naboja vzdolž ekvipotencialne površine pravokoten na vektor hitrosti. Posledično so črte elektrostatične poljske jakosti pravokotne na ekvipotencialno površino.
Če je potencial podan kot funkcija koordinat (x, y, z), ima enačba ekvipotencialne površine obliko:
φ(x, y, z) = konst
Ekvipotencialne površine polja točkovnega električnega naboja so krogle, v središču katerih se nahaja naboj. Ekvipotencialne površine enakomernega električnega polja so ravnine, pravokotne na napetostne črte.
5. Razmerje med napetostjo in potencialom. Poljski potenciali točkastega naboja in proizvodnja. polnjenje telesa. Močan. enotno polje.
Poiščimo razmerje med jakostjo elektrostatičnega polja, ki je njegova močnostna karakteristika, in potencialom - energijske lastnosti polja.
Delo premikanja posamezne točke pozitivnega naboja iz ene točke v drugo vzdolž osi x, pod pogojem, da se točke nahajajo neskončno blizu ena drugi, je enako A = Exdxq0. Enako delo je enako A=(1-2)q0=-d Če enačimo oba izraza, lahko zapišemo
Ex=-d/dx. Podobno je Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Zato je E= Exi+ Eyj+ Ezk, kjer i, j, k - enotski vektorji koordinatne osi x, y, z. Potem 
poljska jakost E je enaka gradientu potenciala z znakom minus. Predznak minus je določen z dejstvom, da je vektor poljske jakosti E usmerjen v smeri padajočega potenciala.
Za grafična podoba porazdelitve potenciala elektrostatičnega polja, tako kot v primeru ničelne gravitacije, uporabimo ekvipotencialne površine - površine, v vseh točkah katerih ima potencial enako vrednost. 
Če je polje ustvarjeno s točkastim nabojem, potem je njegov potencial glede na =(1/40)Q/r. Tako so ekvipotencialne površine v v tem primeru- koncentrične krogle.
Po drugi strani pa so napetostne črte v primeru točkovnega naboja radialne ravne črte. Posledično so napetostne črte v primeru točkovnega naboja pravokotne na ekvipotencialne površine.
^ Potencial polja točkovnega naboja Q v homogenem izotropnem mediju z dielektrična konstanta :
Enakomerni potencial polja:
φ = W p / q = -E x x + C
Potencialna vrednost na dani točki je odvisna od izbire ničelni nivo za merjenje potenciala. Ta stopnja je izbrana poljubno.
6. delo elektrostatskih sil. polja za točkovni prenos naboja. Obtočni in rotorski elektrostat. Polja
Osnovno delo, ki ga opravi sila F pri premikanju točkovnega električnega naboja qpr iz ene točke elektrostatičnega polja v drugo na odseku poti dl, je po definiciji enako 
kjer je kot med vektorjem sile F in smerjo gibanja dl. Če delo opravijo zunanje sile, potem je dA=0. Z integracijo zadnjega izraza dobimo, da bo delo proti silam polja pri premikanju testnega naboja qpr od točke "a" do točke "b" enako ... 
kje - Coulombova sila, ki deluje na testni naboj qpr na vsaki točki polja z intenziteto E. Potem je delo... 
Naj se naboj giblje v polju naboja q od točke "a", oddaljene od q na razdalji, do točke "b", oddaljene od q na razdalji (slika 1.12).
Kot je razvidno iz slike, potem dobimo 
Kot je navedeno zgoraj, delo sil elektrostatičnega polja izvaja proti zunanje sile, je torej enako po velikosti in nasprotno po predznaku delu zunanjih sil 
Delo elektrostatičnih sil vzdolž katerega koli zaprtega tokokroga je enako nič. tiste. kroženje elektrostatičnega polja vzdolž katerega koli tokokroga je nič. Vzemimo katero koli površino S, ki temelji na konturi G.
Po Stokesovem izreku: ker to velja za katero koli površino
Obstaja identiteta: . tiste. električni vodi elektrostatična polja ne krožijo v prostoru.
7. Gaussova t-ma za vektorsko polje E(r). Razhajanje elektrostat. Polja. Ur-e Poisson za potencial. elektrostat. Polja
^ Gaussov izrek- osnovni izrek elektrodinamike, ki se uporablja za izračun električnih polj. Izraža razmerje med tokom električne poljske jakosti skozi zaprto površino in nabojem v prostornini, ki jo omejuje ta površina.
Tok vektorja električne poljske jakosti skozi poljubno izbrano zaprto površino je sorazmeren z električnim nabojem v tej površini. , kjer za Gaussov izrek velja princip superpozicije, to je, da tok vektorja jakosti skozi površino ni odvisen od porazdelitve naboja znotraj površine.
Gaussov izrek za vektor elektrostatične poljske jakosti je mogoče formulirati tudi v diferencialni obliki. Dejansko upoštevajte polje točkovnega električnega naboja, ki se nahaja na začetku koordinat: 
Iz relacije sledi 
Enostavno preverimo, da za , torej za opazovalno točko, kjer ni električnega naboja, velja razmerje: 
(1.55)
Matematična operacija na levi strani relacije (1.55) ima posebno ime"razhajanje vektorsko polje in posebno oznako 
Poissonova enačba- eliptično parcialno diferencialno enačbo, ki med drugim opisuje elektrostatično polje. Ta enačba izgleda takole:
kjer je Δ Laplaceov operator ali Laplacian in f- veljavno oz kompleksna funkcija na neki sorti.
V treh dimenzijah kartezični sistem koordinate ima enačba obliko:
V kartezičnem koordinatnem sistemu je Laplaceov operator zapisan v obliki, Poissonova enačba pa ima obliko: Če f teži k nič, potem se Poissonova enačba spremeni v Laplaceovo enačbo: 
kjer je F - elektrostatični potencial, je volumetrična gostota naboja in je dielektrična konstanta vakuuma.
V območju prostora, kjer ni neparne gostote naboja, imamo: =0 in enačba za potencial se spremeni v Laplaceovo enačbo:
Elektrostatično polje je polje, ki ga ustvarijo električni naboji, ki mirujejo v prostoru in se ne spreminjajo v času (ob odsotnosti električnega toka).
Če v prostoru obstaja sistem nabitih teles, potem v vsaki točki tega prostora obstaja silovito električno polje. Določen je s silo, ki deluje na testni naboj, nameščen v tem polju. Preizkusni naboj mora biti majhen, da ne vpliva na značilnosti elektrostatičnega polja.
Zaradi principa superpozicije potencial celotnega niza nabojev enaka vsoti potenciali, ki jih na dani točki v polju ustvari vsak naboj posebej: 
*
Količina se imenuje električni dipolni moment nabojnega sistema.
^ Električni dipolni moment ali samo dipolni moment sistem nabojev q i imenujemo vsota produktov velikosti nabojev in njihovih radijskih vektorjev.
Običajno je označen dipolni moment latinska črka d ali latinsko črko p.
Dipolni moment je v fiziki izjemnega pomena pri preučevanju nevtralnih sistemov. Delovanje električnega polja na nevtralni sistem nabojev in električno polje, ki ga ustvari nevtralni sistem, določa predvsem dipolni moment. To še posebej velja za atome in molekule.
Imenujejo se nevtralni sistemi nabojev z dipolnim momentom, ki ni enak nič dipoli.
Lastnosti: Skupni dipolni moment, definiran zgoraj, je odvisen od referenčnega okvirja. Vendar je za nevtralni sistem vsota vseh nabojev enaka nič, zato odvisnost od referenčnega sistema izgine.
Sam dipol je sestavljen iz dveh enakih absolutna vrednost, vendar v nasprotni smeri nabojev + q in -q, ki sta na določeni razdalji r drug od drugega. Dipolni moment je takrat v absolutni vrednosti enak qr in je usmerjen od pozitivnega k negativnemu naboju. V primeru zvezne porazdelitve naboja z gostoto se dipolni moment določi z integracijo 
9. Dipol v zunanjem elektrostatu. Polje. Moment sile, ki deluje na dipol, potencial. Dipolna energija v enotnem polju.
Električni dipol je sistem dveh enako velikih nasprotnih točkovnih nabojev in , katerih razdalja je bistveno manjša od razdalje do tistih točk, na katerih je določeno polje sistema. Premica, ki poteka skozi oba naboja, se imenuje dipolna os. V skladu z načelom superpozicije je potencial polja v neki točki A enak: .
| Naj bo točka A izbrana tako, da je dolžina veliko manjša od razdalj in . V tem primeru lahko domnevamo, da ; in formulo za dipolni potencial lahko prepišemo:
| kjer je kot med osjo dipola in smerjo na točko A, ki poteka iz dipola. Delo se imenuje električni dipolni moment oz dipolni moment. Vektor je usmerjen vzdolž osi dipola od negativnega k pozitivnemu naboju. Tako je produkt v formuli za dipolni moment in v skladu s tem: |
Moment sile, ki deluje na dipol v zunanjem električnem polju.
Postavimo dipol v električno polje. Naj smer dipola tvori določen kot s smerjo vektorja jakosti. Na negativni naboj deluje sila, usmerjena proti polju, na pozitivni naboj pa sila, usmerjena vzdolž polja. Te sile tvorijo nekaj sil z navorom: V vektorski obliki:
^ Dipol v enotnem zunanjem polju se vrti pod vplivom navora tako, da sila, ki deluje na pozitivni naboj dipola, sovpada v smeri z vektorjem in osjo dipola. Ta določba ustreza
10. Dielektriki v elektrostatu. Polje. Vektorji polarizacije in el. Odmiki. Diel. Dovzeten In pronicljivo. srede. Povezava med njimi.
Dielektriki so snovi, ki praktično nimajo prostih nosilcev naboja. Zato ne prevajajo toka, naboji se ne prenašajo, ampak so polarizirani. dielektriki so snovi molekularna struktura, vezne sile njihovih nabojev v notranjosti več moči zunanje polje in so povezani, zaprti znotraj molekul in jih zunanje polje le delno premakne, kar povzroči polarizacijo.
V prisotnosti zunanjega elektrostatičnega polja se dielektrične molekule deformirajo. Pozitivni naboj se premakne v smeri zunanjega polja, negativni naboj pa navznoter nasprotna smer, ki tvori dipol - vezan naboj. Pri dielektrikih, ki imajo dipolne molekule, so njihovi električni momenti pod vplivom zunanjega polja delno usmerjeni v smeri polja. Za večino dielektrikov smer vektorja polarizacije sovpada s smerjo vektorja jakosti zunanjega polja, smer vektorja jakosti polariziranega naboja pa je nasprotna smeri vektorja jakosti zunanjega polja (od + Q Za - Q). 
Polarizacijski vektor določen z geometrijska vsota električni momenti dipolov na enoto prostornine. Za večino dielektrikov, kjer je k relativna dielektrična občutljivost.
Uporablja se tudi v električnih izračunih vektor električni premik(indukcija):,kjer je .Vektor je odvisen od prostih in vezanih nabojev.
Prepustnost okolje ε kaže, kolikokrat večja sila interakcije med dvema električni naboji v mediju manjša kot v vakuumu. Dielektrična občutljivost (polarizabilnost) snov - fizikalna količina, merilo sposobnosti snovi, da se polarizira pod vplivom električnega polja. Polarizabilnost je povezana z razmerjem dielektrične konstante ε: 
, oz.
11. Gaussove metode za vektorska polja P(r) in D(r) v integralu. In def. Obrazci 
Gaussov izrek za vektor: tok polarizacijskega vektorja skozi zaprto površino je enak tistemu, vzetemu iz nasprotno znamenje presežek vezanega naboja dielektrika v prostornini, ki jo pokriva površina. 
Diferencialna oblika: divergenca polarizacijskega vektorja je enaka volumski gostoti presežnega vezanega naboja, vzetega z nasprotnim predznakom na isti točki.
Točke, kjer so izvori polja (od katerih se silnice razhajajo), in obratno, točke, kjer so ponori polja.
gostota; , kdaj:
1) - dielektrik je nehomogen; 2) - polje je neenakomerno.
Ko je homogeni izotropni dielektrik polariziran, se pojavijo le površinsko vezani naboji, ne pa tudi volumski naboji.
^ Gaussov izrek za vektor D
Tok vektorja električnega premika D skozi zaprto površino S je enak algebraična vsota prosti naboji, ki se nahajajo v prostornini, ki je omejena s to površino, tj. (1)
Če ni odvisen od koordinat ( izotropni medij), to
Iz enačbe (1) sledi, da ko se naboj nahaja zunaj prostornine, omejene z zaprto površino S, tok vektorja D skozi površino S je enak nič.
Uporaba Gauss-Ostrogradskega izreka na levi strani (1) in izražanje q skozi nasipna gostota napolnimo p, dobimo:
Ker je prostornina izbrana poljubno, sta integranda enaka:
Diferencialna oblika Izrek Gauss-Ostrogradskega (2-78) pravi, da so viri vektorja električnega premika električni naboji. V tistih območjih prostora, kjer je p=0, ni virov vektorja električnega pomika in zato poljske črte nimajo prelomov, saj je div D=0. Za medije z absolutno dielektrično konstanto, ki ni odvisna od koordinat, lahko zapišemo:
Kovinski vodniki vsebujejo proste nosilce naboja - prevodne elektrone ( prosti elektroni), ki se lahko pod vplivom zunanjega električnega polja premika vzdolž celotnega vodnika. V odsotnosti zunanjega polja električna polja prevodni elektroni in pozitivnih ionov kovine so medsebojno kompenzirane. Če kovinski prevodnik vnesemo v zunanje elektrostatično polje, se pod vplivom tega polja prevodni elektroni prerazporedijo v prevodniku tako, da na kateri koli točki znotraj prevodnika električno polje prevodnih elektronov in pozitivnih ionov kompenzira zunanje polje.
^ Pojav elektrostatične indukcije se imenuje prerazporeditev nabojev v prevodniku pod vplivom zunanjega elektrostatičnega polja. V tem primeru se na prevodniku pojavijo naboji, ki so številčno enaki drug drugemu, vendar nasprotni po predznaku - inducirani (inducirani) naboji, ki izginejo takoj, ko prevodnik odstranimo iz električnega polja.
Ker bo znotraj vodnika E=-grad phi=0 potencial konstantna vrednost. Nekompenzirani naboji se nahajajo v prevodniku le na njegovi površini.
pri postavitvi nevtralnega vodnika v zunanje polje brezplačni stroški se bodo začeli premikati: pozitivni - vzdolž polja in negativni - proti polju. Na enem koncu prevodnika bo presežek pozitivnih nabojev, na drugem pa negativnih. Končno bo poljska jakost znotraj prevodnika postala enaka nič, črte poljske jakosti zunaj prevodnika pa bodo pravokotne na njegovo površino.
^ Električna zmogljivost osamljenega vodnika.
za žogo polmer R 
Kondenzatorji.
Pri vzporedno vezanih tokokrogih je razlika potencialov enaka; pri zaporedno vezanih tokokrogih so naboji vseh plošč enaki.
14.Energija nabitega kondenzatorja. Energija in energijska gostota elektrostatičnega polja.
Kot vsak naelektreni prevodnik ima kondenzator energijo, ki je enaka
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) kjer je Q naboj kondenzatorja, C njegova kapaciteta, potencialna razlika med ploščama.
Z uporabo izraza (1) lahko najdemo mehanska sila, iz katerega se plošče kondenzatorja privlačijo. Če želite to narediti, predpostavite, da se razdalja x med ploščama spremeni, na primer, za vrednost Ax. Potem učinkovita sila opravi delo dA=Fdx, zaradi zmanjšanja potencialne energije sistema
Fdx=-dW, od koder je F=dW/dx. (2) 
Z razlikovanjem pri poseben pomen energije bomo našli zahtevano silo: 
kjer znak minus označuje, da je sila F privlačna sila.
^ Energija elektrostatičnega polja.
Transformirajmo formulo (1), ki izraža energijo ploščati kondenzator preko nabojev in potencialov, pri čemer uporabimo izraz za kapacitivnost ploščatega kondenzatorja (C = 0/d) in potencialno razliko med njegovima ploščama ( =Ed). Potem dobimo 
kjer je V=Sd prostornina kondenzatorja. Ta f-la kaže, da je energija kondenzatorja izražena s količino, ki označuje elektrostatično polje - jakost E.
Volumetrična energijska gostota elektrostatičnega polja(energija na enoto prostornine)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95,8)
Izraz (95.8) velja samo za izotropni dielektrik, za katerega
izpolnjena relacija P=0E.
Formuli (1) oziroma (95.7) povezujeta energijo kondenzatorja z nabojem na njegovih ploščah in s poljsko jakostjo.
Elektromagnetno polje - tenzor elektromagnetno polje.
^ Vektor magnetne indukcije.
Magnetna indukcija enakomernega magnetnega polja je določena z največjim navorom, ki deluje na okvir z magnetom. trenutek enako ena, ko je normala pravokotna na smer polja.
^ Načelo superpozicije magnetnih polj : če magnetno polje ustvari več prevodnikov s tokovi, potem je vektor magnetne indukcije na kateri koli točki tega polja enak vektorski vsoti magnetna indukcija na tej točki ustvari vsak tok posebej:
Lorentzova sila.
Modul Lorentzove sile enako zmnožku modul indukcije magnetnega polja B(vektor), v katerem se nahaja nabiti delec, modul naboja q tega delca, njegova hitrost υ in sinus kota med smerema hitrosti in vektorjem indukcije magnetnega polja Lorentzova sila je pravokotna na vektor hitrosti delca, ne more spremeniti vrednosti hitrosti, ampak le spremeni njeno smer in zato ne opravi dela.
^ Gibanje nabitih delcev v magnetnem polju.
Če se naelektreni delec premakne v magnetno polje. je polje pravokotno na vektor B, potem je Lorentzova sila konstantne velikosti in normalna na trajektorijo delca.
^ Električni tok je urejeno gibanje nabitih delcev v prevodniku. Da bi lahko nastal, je treba najprej ustvariti električno polje, pod vplivom katerega se bodo zgoraj omenjeni nabiti delci začeli premikati.
^ Ohmov zakon-Jakost toka v homogenem odseku vezja je neposredno sorazmerna z napetostjo, ki se uporablja na odseku, in obratno sorazmerna električni upor tem območju.
Jakost toka je skalarna fizikalna količina, ki jo določa razmerje med prehajajočim nabojem Δq prerez prevodnika za določeno časovno obdobje Δt, na to časovno obdobje. 
IN resnične težave, ki jih lahko srečamo v procesu študija fizike ali v tehnični in tehnološki praksi, poenostavljena slika z diskretnim nizom točkastih nabojev običajno ni uresničena. Vsaka molekula je sestavljena iz atomov s pozitivno nabitimi jedri, obdanimi z negativnimi naboji – elektroni. Posledično skupni naboj sistema ni opisan z nizom točkovnih nabojev, temveč funkcijo p(t) (časovna odvisnost se v elektrostatiki ne upošteva) porazdelitve gostote naboja. Ta funkcija določa naboj v neskončno majhni prostornini, ki obdaja zadevno točko
Z uporabo p(r) je skupni naboj sistema določen kot
riž. 5.20.
Funkcija porazdelitve gostote naboja je zelo pomembna lastnost nabojni sistemi, saj lahko s poznavanjem te funkcije izračunate lastnosti nabojnih sistemov.
Razmislite o ustvarjenem polju poljuben sistem električni naboji, zvezno porazdeljeni po naelektrenem telesu, opisani s funkcijo p(r) (slika 5.20).
Zadajmo si nalogo, da na neki točki izračunamo polje tega sistema A, za dovolj dolge razdalje (g >> g") iz izbranega sistema polnjenja. Usmerimo os koordinatnega sistema Oz z izhodiščem v točki O tako da bistvo A izkazalo se je, da leži na tej osi. Električni potencial na točki A po principu superpozicije polj seštevek
znižanje prispevkov od vseh dajatev d q = p(r)dF" = = p(x", y", z") dV, ustvarjanje polja, tj. (v SI)
kje G - modul radijskega vektorja G točke A, B kateri potencial se izračuna; G"- argument funkcije
porazdelitev naboja; R=|l| = g - g", tiste. oddaljenost od volumskega elementa d V, v kateri je koncentriran naboj d q do točke A. Integracija se izvaja po volumnu (ali koordinatah G«) po celotnem območju V, ki vsebuje naboje d q. Z 0 označimo kot med vektorjema
r in r" in upoštevajte, da po kosinusnem izreku R=(r 2 + + r" 2 - 2/r"cos 0) 1/2. Nato bo integral (5.54) prepisan v obliki
5.1. Elektrostatično polje 369
Vrednost vsakega od integralnih členov v (5.56) je odvisna od značilnosti porazdelitve nabojev v sistemu (tj. od p (r")). Ko so izračunani, so predstavljeni s številkami ko, k in do 2, in odvisnost fl od G lahko predstavimo z vsoto
Količine Za" klical električni momenti sistema(prvo, drugo, tretje in tako naprej naročila, če se širitev nadaljuje). Analizirajmo izraze v oklepajih (5.57).
Magnituda na 0 je določen z integralom
in predstavlja skupni naboj sistema, koncentriranega v izhodišču koordinat (točka O na sl. 5.20). Kličejo ga monopolni trenutek(ali samo monopol). Seveda za električno nevtralen sistem na 0 = 0.
Količine Za in do 2, za razliko od do 0, odvisno od oblike porazdelitve naboja. Koeficient Za predstavlja povprečje električni dipolni moment sistema nabojev
Ker je vrednost r"cos 0 koordinata elementa d V na osi oz, se izkaže, da k x označuje relativni premik pozitivnega in negativni naboji p(r")dV" vzdolž te osi. Dejansko, če si predstavljamo sistem, sestavljen iz dveh različnih nabojev ±q v točkah (0, 0, z) in (0, 0, - z) z z= -/, kjer je / razdalja
med naboji, potem lahko izvzamemo vrednost r"cosQ = ±-/
za predznak integrala (5.59). Nato ostane preostali izraz Jp(r")dF" postane enak naboju q, in celoten koeficient k b enaka lq=p, bo predstavljal električni dipolni moment, usmerjen vzdolž smeri G(uvedeno v pododdelku 5.1.5).
Koeficient do 2 je izraz
in se imenuje kvadrupolni moment. V SI se kvadrupolni moment meri v enotah C m. Za sferično simetrično porazdelitev naboja do 2= 0. Za "oblate" vzdolž osi Oz porazdelitev pozitivnega naboja do 2 0 in za negativno do 2> 0. Če je porazdelitev naboja vzdolž osi podolgovata oz, potem razmerje med znaki dajatev za do 2 bo nasprotno.
Pomembno dejstvo je, da na podlagi izraza (5.57) potencial elektrostatičnega polja sistema porazdeljenih nabojev pada različno z večanjem razdalje r do točke opazovanja: višji kot je red električnega momenta, hitreje se potencial polje, ki ga ustvarja, se zmanjšuje z razdaljo. Tudi nevtralni sistemi (atomi, molekule) ustvarjajo okoli sebe električno polje, preko katerega ti sistemi medsebojno delujejo. V skladu s tem višji kot je električni moment, nižja je energija interakcije naboja s poljem; opazna je na primer interakcija dipolov med seboj (dipol-dipol interakcija). šibkejša interakcija točkasti naboji (monopoli) s Coulombovim potencialom itd.
- Kvadrupolni moment je podrobneje obravnavan v podpoglavju 9.2.3 analize
- lastnosti atomskega jedra.
