Verjetnost 1 od 7. Seštevanje verjetnosti medsebojno sočasnih dogodkov

Naloga 2. Volzhsky Automobile Plant lansira nov motor. Predpostavlja se, da je povprečna kilometrina avtomobila z novim motorjem 160 tisoč km, s standardnim odklonom σ = 30 tisoč km. Kakšna je verjetnost, da bo število km pred prvim popravilom? Kilometrina avtomobila se bo gibala od 100 tisoč km. do 180 tisoč km.

rešitev. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Disperzijske lastnosti

1.Varianca konstante C je enaka 0,DC = 0, Z = konst.

Dokaz.DC = M(Z– M.C.) 2 = M(Z– Z) = 0.

2.D(CX) = Z 2 DX.

Dokaz. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = Z 2 DX.

3. Če X in Y – neodvisne naključne spremenljivke, to

Dokaz.

4. Če X 1 , X 2 , … torej niso odvisni .

To lastnost je mogoče dokazati z indukcijo z uporabo lastnosti 3.

Dokaz. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Dokaz. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Naj sta neodvisni naključni spremenljivki in , .

Ustvarimo novo naključno spremenljivko, poiščimo matematično pričakovanje in varianco Y.

; .

Se pravi, kdaj n®¥ ostane matematično pričakovanje aritmetične sredine n neodvisnih enako porazdeljenih naključnih spremenljivk nespremenjeno, enako matematičnemu pričakovanju a, medtem ko varianca teži k nič.

Ta lastnost statistične stabilnosti aritmetične sredine je osnova zakona velike številke.

Normalna porazdelitev

Pustiti X ima normalno porazdelitev. Prej, v predavanju 11 (primer 2) je bilo pokazano, da če

Potem je Y ~ N(0,1).

Od tu in potem, torej najprej poiščimo DY.

Zato

DX= D(s Y+a) = s 2 DY= s 2, s x= s. (2)

Poissonova porazdelitev

Kot je znano

torej

Enakomerna porazdelitev

Znano je, da .

Prej smo to pokazali, uporabimo formulo.

Dokaz.

Zadnji integral v verigi enačb je enak 0, saj iz pogojev problema izhaja, da p(MX+t) – celo funkcijo glede na t (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2 k +1– čudna funkcija.

Ker sta gostoti normalnih in enakomernih zakonov porazdelitve simetrični glede na X= MX, potem so vsi središčni momenti lihega reda enaki 0.

Izrek 2.če X~n(a,s), potem .

Več momentov naključne spremenljivke poznamo, bolj podrobno razumemo distribucijski zakon. V teoriji verjetnosti in matematični statistiki se največkrat uporabljata dve numerični karakteristiki, ki temeljita na centralnih momentih 3. in 4. reda. To sta koeficient asimetrije in kurtoza naključne spremenljivke.

Definicija 3. Koeficient asimetrije naključne spremenljivke X je število b = .

Koeficient asimetrije je osrednji in začetni moment normalizirane naključne spremenljivke Y, Kje . Veljavnost te izjave izhaja iz naslednjih odnosov:

Asimetrija naključne spremenljivke X enaka asimetriji naključne spremenljivke Y = α X + β

do predznaka α, . To izhaja iz dejstva, da je normalizacija slučajnih spremenljivk a X+ b in X vodi do iste naključne spremenljivke Y do podpisa

Če je porazdelitev verjetnosti asimetrična, z "dolgim ​​delom" grafa, ki se nahaja desno od središča združevanja, potem je β( X) > 0; če se "dolgi del" grafa nahaja na levi, potem β( X) < 0. Для нормального и enakomerna porazdelitev β = 0.

Kot značilnost večje ali manjše stopnje "gladkosti" krivulje gostote ali poligona porazdelitve v primerjavi z normalna gostota uporablja se koncept kurtoze.

Definicija 4. Kurtoza naključne spremenljivke X je količina

Kurtoza naključne spremenljivke X enaka razliki med začetnim in osrednji trenutki Normalizirana naključna spremenljivka 4. reda in število3, tj. . Pokažimo tole:

Kurtoza naključne spremenljivke X enak kurtozi slučajne spremenljivke

Y = α X + β.

Poiščimo kurtozo normalne naključne spremenljivke X.

če X~n(a,s), potem ~ (0,1).

Tako je kurtoza normalno porazdeljene naključne spremenljivke enaka 0. Če je gostota porazdelitve unimodalna in bolj "konica" kot normalna gostota porazdelitve z enako varianco, potem je g( X) > 0, če je pod enakimi pogoji manj "vrh", potem g( X) < 0.

Zakon velikih števil

Zakon velikih števil določa pogoje za konvergenco aritmetične sredine naključnih spremenljivk k aritmetični sredini matematičnih pričakovanj.

Definicija 1. Zaporedje naključnih spremenljivk imenujemo konvergentno po verjetnosti p k številu b, če

.

Preidemo v to neenakost do limite pri in dobimo

.

Intervalna ocena

Če prejmete točkovna ocena neznan parameter na podlagi vzorca, potem je govoriti o dobljeni oceni kot pravem parametru precej tvegano. V nekaterih primerih je bolj smotrno govoriti o tem, ko smo prejeli širjenje ocen parametrov intervalna ocena pravi pomen parameter. Za ponazoritev povedanega razmislimo o konstrukciji interval zaupanja Za matematično pričakovanje normalna porazdelitev.

To smo pokazali – najboljša ocena(popolnoma pravilno) za matematično pričakovanje MX= Q, zato je absolutno pravilna ocena tudi za parameter a = normalna porazdelitev P, kjer je t– vrednost argumenta Laplaceove funkcije, pri kateri F(t) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teorija verjetnosti in matematika

matematična statistika. M.: Podiplomska šola, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teorija statistike z osnovami teorije verjetnosti. M.: Enotnost, 2001.

3. Szekely G. Paradoksi v teoriji verjetnosti in matematični statistiki. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Teorija verjetnosti in matematična statistika. M.: Enotnost, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Predmet teorije verjetnosti matematična statistika za tehnične aplikacije. M.: Nauka, 1969.

6. Statistične metode Gradnja empirične formule. M.: Višja šola, 1988.

PREDAVANJE 1. TEORIJE VERJETNOSTI. ZGODOVINA. KLASIČNA DEFINICIJA VERJETNOSTI.. 3

PREDAVANJE 2. IZREKI SEŠTEVANJA IN MNOŽENJA VERJETNOSTI. STATISTIČNA, GEOMETRIJSKA DEFINICIJA VERJETNOSTI.. 8

PREDAVANJE 3. AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA TEORIJE VERJETNOSTI. KOLMOGOROVA AKSIOMATIKA.. 14

PREDAVANJE 4. NAKLJUČNA SPREMENLJIVKA. DISTRIBUCIJSKA FUNKCIJA... 17

PREDAVANJE 5. RAZDELITVE DISKRETNIH NAKLJUČNIH SPREMENLJIV... 21

PREDAVANJE 6. MOIVRE–LAPLACEOV INTEGRALNI IZREK, BERNOULLIJEV IZREK.. 26

PREDAVANJE 7. ZVEZNE NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE... 29

PREDAVANJE 8. KONCEPT VEČDIMENZIONALNE NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE... 35

PREDAVANJE 9. RAZDELITEVNA FUNKCIJA VEČDIMENZIONALNE NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE... 39

PREDAVANJE 10. LASTNOSTI GOSTOTE VERJETNOSTI DVODIMENZIONALNE NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE 43

PREDAVANJE 11. FUNKCIJE NAKLJUČNIH SPREMENLJIV... 48

PREDAVANJE 12. IZREK O GOSTOTI VSOTE DVEH NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK.. 52

PREDAVANJE 13. ŠTUDENT, FISCHERJEVE RAZDELITVE SO NAKLJUČNE

Odgovori na testno delo po teoriji verjetnosti bo pomagal študentom prvega letnika, ki študirajo matematične discipline. Naloge zajemajo veliko teoretično gradivo, utemeljitev njihove odločitve pa bo koristna za vsakega študenta.

Naloga 1. Kocko z vsemi pobarvanimi robovi razrežemo na 1000 enako velikih kock. Določite verjetnost, da bo imela naključno izvlečena kocka:

• a) en pobarvan rob;
• b) dva zasenčena obraza.

Izračuni: Če kocko razrežemo na kocke enake velikosti potem bodo vsi obrazi razdeljeni na 100 kvadratov. (Približno tako kot na sliki)
Nadalje, glede na pogoj, mora imeti kocka en zasenčen rob - to pomeni, da morajo kocke pripadati zunanjo površino vendar ne ležijo na robovih kocke (2 osenčeni površini) in ne na vogalih - imajo tri osenčene površine.
Zato je zahtevana količina enaka zmnožku 6 ploskev in števila kock v kvadratu velikosti 8*8.
6*8*8=384 – kocke z 1 pobarvano površino.
Verjetnost je enaka številu ugodnih dogodkov njihovemu skupnemu številu P=384/1000=0,384.
b) Dve zasenčeni ploskvi imata kocki ob robovih brez samih oglišč kocke. Na enem robu bo 8 takih kock. V kocki je skupaj 12 robov, tako da imata dve osenčeni ploskvi
8*12=96 kock.
In verjetnost, da jih izvlečemo med vsemi 1000, je enaka
P=96/1000=0,096.
Ta naloga je rešena in nadaljujemo z naslednjo.

Naloga 2. Črke A, A, A, N, N, C so napisane na enakih kartončkih. Kolikšna je verjetnost, da z naključnim polaganjem kart v vrsto dobimo besedo ANANAS?
Izračuni: vedno morate sklepati iz tega, kar je znano. Glede na 3 črke A, 2-H in 1 - C jih je skupaj 6. Začnimo izbirati črke za besedo "ananas". Prva črka je A, ki jo lahko izberemo na 3 načine izmed 6, saj so med 6 znanimi črkami A 3. Zato je verjetnost, da najprej izvlečemo A
P 1 =3/6=1/2.
Druga črka je H, vendar ne smemo pozabiti, da po izvleku A ostane na izbiro še 5 črk. Zato je verjetnost, da bomo izžrebali številko 2 H, enaka
P 2 =2/5.
Naslednja verjetnost A je izžrebana med 4 preostalimi
P 3 =2/4.
Nato lahko H izluščimo iz verjetnosti
P 4 =1/3.
Bližje koncu bolj verjetno, in že lahko izvlečemo A z
P 5 =1/2.
Po tem ostane le še ena karta C, tako da je verjetnost, da jo izvlečemo, 100 odstotna oz
P 6 =1.
Verjetnost, da sestavimo besedo ANANAS, je enaka produktu verjetnosti
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Na tem temeljijo podobne naloge po teoriji verjetnosti.

Naloga 3. Trgovec naključno izbere vzorce iz serije izdelkov. Verjetnost, da bo naključno izbran izdelek najvišje ocenjen, je 0,8. Poiščite verjetnost, da bosta med 3 izbranimi izdelki dva izdelka najvišje ocene?
Izračuni: Ta primer o uporabi Bernoullijeve formule.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Verjetnost izračunamo po formuli

Če tega ne razložite v jeziku formul, potem morate sestaviti kombinacije treh dogodkov, od katerih sta dva ugodna in eden ni. To lahko zapišemo kot vsoto produktov

Obe možnosti sta enakovredni, le prvo je mogoče uporabiti v vseh nalogah, drugo pa v podobnih obravnavani.

Naloga 4. Od petih strelcev sta dva zadela tarčo z verjetnostjo 0,6, trije pa z verjetnostjo 0,4. Kaj je bolj verjetno: naključno izbrani strelec zadene tarčo ali ne?
Izračuni: S formulo popolne verjetnosti določimo verjetnost, da bo strelec zadel.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Verjetnost je manjša od P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Verjetnost, da ne zadeneš, je

oz
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problem 5. Od 20 študentov, ki so prišli na izpit, jih je bilo 10 odlično pripravljenih (poznali so vsa vprašanja), 7 dobro pripravljenih (znali so po 35 vprašanj) in 3 slabo pripravljeni (10 vprašanj). Program vsebuje 40 vprašanj. Naključno poklicani študent je odgovoril na tri vprašanja na listku. Kakšna je verjetnost, da je pripravljen

• a) odlično;
• b) slabo.

Izračuni: Bistvo problema je v tem, da je učenec na listku odgovoril na tri vprašanja, torej na vsa zastavljena, zdaj pa bomo izračunali, kakšna je verjetnost, da jih dobi.
Ugotovimo verjetnost, da je učenec pravilno odgovoril na tri vprašanja. To bo razmerje med številom študentov in celotno skupino, pomnoženo z verjetnostjo žrebanja listkov, ki jih poznajo med vsemi možnimi

Zdaj pa poiščimo verjetnost, da študent pripada skupini, ki je »odlično« pripravljena. To je enakovredno razmerju med prvim členom predhodne verjetnosti in samo verjetnostjo

Verjetnost, da študent spada v skupino, ki je bila slabo pripravljena, je precej majhna in znaša 0,00216.

Ta naloga je končana. Dobro ga razumejte in si zapomnite, kako ga izračunati, saj je pogost pri kvizih in testih.

Naloga 6. Kovanec je vržen 5-krat. Poiščite verjetnost, da se bo grb pojavil manj kot 3-krat?
Izračuni: Verjetnost izrisa grba ali repa je enakovredna in enaka 0,5. Manj kot 3-krat pomeni, da se grb lahko pojavi 0-krat, 1-krat ali 2-krat. »Ali« je v operacijah seštevanja vedno izraženo z verjetnostjo.
Verjetnosti najdemo z uporabo Bernoullijeve formule

Ker je p=q=0,5, je verjetnost enaka

Verjetnost je 0,5.

Problem 7. Pri žigosanju kovinskih terminalov dobimo povprečno 90% standardnih. Poiščite verjetnost, da bo med 900 terminali vsaj 790 in največ 820 terminalov standardnih.

Izračuni: Izračune je treba izvesti

Potreba po ukrepanju na podlagi verjetnosti se pojavi, ko so verjetnosti nekaterih dogodkov znane in je treba izračunati verjetnosti drugih dogodkov, ki so povezani s temi dogodki.

Seštevanje verjetnosti se uporablja, ko morate izračunati verjetnost kombinacije ali logične vsote naključnih dogodkov.

Seštevek dogodkov A in B označujejo A + B oz A ∪ B. Vsota dveh dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od dogodkov. To pomeni, da A + B– dogodek, ki se zgodi, če in samo če se je dogodek zgodil med opazovanjem A ali dogodek B, ali hkrati A in B.

Če dogodki A in B so medsebojno neskladni in so podane njihove verjetnosti, nato pa se z seštevanjem verjetnosti izračuna verjetnost, da se bo eden od teh dogodkov zgodil kot rezultat enega poskusa.

Verjetnostni adicijski izrek. Verjetnost, da se bo zgodil eden od dveh medsebojno nezdružljivih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Na primer, med lovom se zgodita dva strela. Dogodek A– zadetek race s prvim strelom, dogodek IN– zadetek iz drugega strela, dogodek ( A+ IN) – zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov. Torej, če dva dogodka A in IN– nezdružljivi dogodki, torej A+ IN– pojav vsaj enega od teh dogodkov ali dveh dogodkov.

Primer 1. V škatli je 30 kroglic enake velikosti: 10 rdečih, 5 modrih in 15 belih. Izračunajte verjetnost, da bo barvna (ne bela) žoga pobrana brez pogleda.

rešitev. Predpostavimo, da dogodek A- "rdeča žoga je prevzeta" in dogodek IN- "Modra žoga je bila vzeta." Nato je dogodek "vzeta barvna (ne bela) žoga." Poiščimo verjetnost dogodka A:

in dogodki IN:

Dogodki A in IN– medsebojno nezdružljivi, saj če je vzeta ena žoga, potem je nemogoče vzeti žoge različnih barv. Zato uporabljamo seštevanje verjetnosti:

Izrek za seštevanje verjetnosti za več nekompatibilnih dogodkov.Če dogodki sestavljajo popoln niz dogodkov, potem je vsota njihovih verjetnosti enaka 1:

Tudi vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka 1:

Nasprotni dogodki tvorijo popoln niz dogodkov, verjetnost popolnega niza dogodkov pa je 1.

Verjetnosti nasprotnih dogodkov so običajno označene z malimi črkami str in q. Še posebej,

iz katerega sledijo naslednje formule za verjetnost nasprotnih dogodkov:

Primer 2. Tarča na strelišču je razdeljena na 3 cone. Verjetnost, da bo določen strelec streljal na tarčo v prvi coni je 0,15, v drugi coni – 0,23, v tretji coni – 0,17. Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo, in verjetnost, da bo strelec zgrešil tarčo.

Rešitev: Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo:

Poiščimo verjetnost, da bo strelec zgrešil tarčo:

Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".

Seštevanje verjetnosti medsebojno sočasnih dogodkov

Dva naključna dogodka imenujemo skupna, če pojav enega dogodka ne izključuje pojava drugega dogodka v istem opazovanju. Na primer pri metanju kocke AŠtevilo 4 se šteje za uvedeno in dogodek IN– valjanje sodega števila. Ker je 4 sodo število, sta dogodka združljiva. V praksi se pojavljajo težave pri izračunavanju verjetnosti nastopa enega od medsebojno sočasnih dogodkov.

Verjetnostni adicijski izrek za skupne dogodke. Verjetnost, da se bo zgodil eden od skupnih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov, od katere se odšteje verjetnost skupnega nastopa obeh dogodkov, to je produkt verjetnosti. Formula za verjetnost skupnih dogodkov ima naslednjo obliko:

Od dogodkov A in IN kompatibilen, dogodek A+ IN se zgodi, če se zgodi eden od treh možnih dogodkov: oz AB. Po izreku seštevanja nekompatibilnih dogodkov izračunamo takole:

Dogodek A se zgodi, če se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov: ali AB. Vendar pa je verjetnost pojava enega dogodka iz več nezdružljivih dogodkov enaka vsoti verjetnosti vseh teh dogodkov:

Enako:

Z zamenjavo izrazov (6) in (7) v izraz (5) dobimo verjetnostno formulo skupnih dogodkov:

Pri uporabi formule (8) je treba upoštevati, da dogodki A in IN je lahko:

• medsebojno neodvisni;
• medsebojno odvisni.

Verjetnostna formula za med seboj neodvisne dogodke:

Verjetnostna formula za medsebojno odvisne dogodke:

Če dogodki A in IN so nedosledni, potem je njihovo sovpadanje nemogoč primer in tako p(AB) = 0. Četrta verjetnostna formula za nezdružljive dogodke je:

Primer 3. Pri avtomobilskih dirkah imate boljše možnosti za zmago, ko vozite prvi avto, in ko vozite drugi avto. Najti:

• verjetnost, da bosta zmagala oba avtomobila;
• verjetnost, da bo zmagal vsaj en avto;

1) Verjetnost, da bo prvi avto zmagal, ni odvisna od rezultata drugega avtomobila, zato dogodki A(zmaga prvi avto) in IN(zmaga drugi avto) – neodvisni dogodki. Poiščimo verjetnost, da oba avtomobila zmagata:

2) Poiščite verjetnost, da bo zmagal eden od obeh avtomobilov:

Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".

Sami rešite problem seštevanja verjetnosti in si nato oglejte rešitev

Primer 4. Vržena sta dva kovanca. Dogodek A- izguba grba na prvem kovancu. Dogodek B- izguba grba na drugem kovancu. Poiščite verjetnost dogodka C = A + B .

Množenje verjetnosti

Množenje verjetnosti se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost logičnega produkta dogodkov.

V tem primeru morajo biti naključni dogodki neodvisni. Za dva dogodka pravimo, da sta med seboj neodvisna, če pojav enega dogodka ne vpliva na verjetnost nastopa drugega dogodka.

Teorem o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke. Verjetnost hkratnega pojava dveh neodvisnih dogodkov A in IN je enak produktu verjetnosti teh dogodkov in se izračuna po formuli:

Primer 5. Kovanec se vrže trikrat zapored. Poiščite verjetnost, da se bo grb pojavil vse trikrat.

rešitev. Verjetnost, da se bo grb pojavil ob prvem metu kovanca, drugič in tretjič. Poiščimo verjetnost, da se bo grb pojavil vse trikrat:

Sami rešite naloge verjetnostnega množenja in si nato oglejte rešitev

Primer 6. Tam je škatla z devetimi novimi teniškimi žogicami. Za igro se vzamejo tri žoge, ki se po igri vrnejo nazaj. Pri izbiri žog se igrane žoge ne ločijo od neigranih. Kolikšna je verjetnost, da po treh igrah v polju ne bo več nobene neodigrane žogice?

Primer 7. Na izrezanih abecednih kartah je napisanih 32 črk ruske abecede. Pet kart se naključno izvleče eno za drugo in jih položi na mizo po vrstnem redu. Poiščite verjetnost, da bodo črke tvorile besedo "konec".

Primer 8. Iz polnega kompleta kart (52 listov) se naenkrat vzamejo štiri karte. Poiščite verjetnost, da bodo vse te štiri karte različnih barv.

Primer 9. Ista naloga kot v primeru 8, vendar se vsaka karta po odstranitvi vrne v komplet.

Zapletenejše naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti ter izračunati zmnožek več dogodkov, najdete na strani "Različne naloge seštevanja in množenja verjetnosti".

Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od med seboj neodvisnih dogodkov, lahko izračunamo tako, da od 1 odštejemo zmnožek verjetnosti nasprotnih dogodkov, to je po formuli:

Primer 10. Tovor se dostavlja s tremi vrstami transporta: rečnim, železniškim in cestnim. Verjetnost, da bo tovor dostavljen z rečnim transportom, je 0,82, z železnico 0,87, s cestnim prometom 0,90. Poiščite verjetnost, da bo tovor dostavljen z vsaj enim od treh načinov transporta.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporabne vire za

Kaj je verjetnost?

Ko sem prvič srečal ta izraz, ne bi razumel, kaj je to. Zato bom poskušal jasno razložiti.

Verjetnost je možnost, da se dogodek, ki ga želimo, zgodi.

Na primer, odločili ste se, da greste v hišo prijatelja, se spomnite vhoda in celo nadstropja, v katerem živi. Sem pa pozabil številko in lokacijo stanovanja. In zdaj stojite na stopnišču, pred vami pa so vrata, med katerimi lahko izbirate.

Kakšna je možnost (verjetnost), da vam bo, če pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj odprl vrata? Tam so samo stanovanja, prijatelj živi samo za enim od njih. Z enakimi možnostmi lahko izberemo katera koli vrata.

Toda kakšna je ta priložnost?

Vrata, prava vrata. Verjetnost uganjanja s pozvonjenjem na prvi zvonec: . To pomeni, da boste enkrat od treh natančno uganili.

Želimo vedeti, ko enkrat kličemo, kako pogosto bomo uganili vrata? Poglejmo vse možnosti:

1. Klical si 1 vrata
2. Klical si 2 vrata
3. Klical si 3 vrata

Zdaj pa poglejmo vse možnosti, kjer bi lahko bil prijatelj:

A. zadaj 1 vrata
b. zadaj 2 vrata
V. zadaj 3 vrata

Primerjajmo vse možnosti v obliki tabele. Kljukica označuje možnosti, ko vaša izbira sovpada s prijateljevo lokacijo, križec - ko ne sovpada.

Kako vse vidiš mogoče opcije lokacijo vašega prijatelja in vašo izbiro, na katera vrata boste pozvonili.

A ugodne rezultate vseh . Se pravi, enkrat boste uganili tako, da enkrat pozvonite na vrata, tj. .

To je verjetnost - razmerje med ugodnim izidom (ko vaša izbira sovpada z lokacijo vašega prijatelja) in številom možnih dogodkov.

Definicija je formula. Verjetnost običajno označimo s p, torej:

Takšne formule ni zelo priročno napisati, zato bomo vzeli za - število ugodnih izidov in za - skupno število izidov.

Verjetnost lahko zapišete v odstotkih; dobljeni rezultat morate pomnožiti z:

Beseda "rezultati" vam je verjetno padla v oči. Ker matematiki različnim dejanjem (v našem primeru je takšno dejanje zvonec) pravijo eksperimenti, rezultat takih poskusov običajno imenujemo izid.

No, obstajajo ugodni in neugodni rezultati.

Vrnimo se k našemu primeru. Recimo, da smo pozvonili na ena od vrat, a nam je odprl neznanec. Nismo prav uganili. Kolikšna je verjetnost, da nam jih bo prijatelj odprl, če pozvonimo na ena od preostalih vrat?

Če ste tako mislili, potem je to napaka. Ugotovimo.

Ostala sta nam še dvoje vrat. Torej imamo možne korake:

1) Pokliči 1 vrata
2) Pokliči 2 vrata

Prijatelj kljub vsemu zagotovo stoji za enim od njih (navsezadnje ni stal za tistim, ki smo ga poklicali):

a) Prijatelj za 1 vrata
b) Prijatelj za 2 vrata

Ponovno narišimo tabelo:

Kot lahko vidite, obstajajo samo možnosti, od katerih so ugodne. To pomeni, da je verjetnost enaka.

Zakaj ne?

Stanje, ki smo ga obravnavali, je primer odvisnih dogodkov. Prvi dogodek je prvi zvonec, drugi dogodek je drugi zvonec.

Imenujejo se odvisni, ker vplivajo na naslednja dejanja. Konec koncev, če bi po prvem zvonjenju na vrata pozvonil prijatelj, kakšna bi bila verjetnost, da je bil za enim od drugih dveh? Prav, .

Če pa obstajajo odvisni dogodki, potem tudi morajo biti neodvisen? Tako je, zgodijo se.

Učbeniški primer je met kovanca.

1. Enkrat vrzite kovanec. Kakšna je verjetnost, da dobimo glave, na primer? Tako je – ker so vse možnosti (ali heads ali tails, zanemarili bomo verjetnost, da bo kovanec pristal na njegovem robu), a le nam ustreza.
2. Toda prišlo je na glavo. V redu, vrzimo ga še enkrat. Kakšna je verjetnost, da bi zdaj dobili glave? Nič se ni spremenilo, vse je isto. Koliko možnosti? Dva. S koliko smo zadovoljni? ena.

In naj pride na glavo vsaj tisočkrat zapored. Verjetnost, da dobite glave naenkrat, bo enaka. Možnosti so vedno in ugodne.

Odvisne dogodke je enostavno ločiti od neodvisnih:

1. Če se poskus izvede enkrat (enkrat vržejo kovanec, enkrat pozvonijo na vratih ipd.), je dogajanje vedno neodvisno.
2. Če poskus izvedemo večkrat (enkrat vržemo kovanec, večkrat pozvonimo), potem je prvi dogodek vedno neodvisen. In potem, če se spremeni število ugodnih ali število vseh izidov, potem so dogodki odvisni, če ne, pa neodvisni.

Malo vadimo določanje verjetnosti.

Primer 1.

Kovanec se vrže dvakrat. Kakšna je verjetnost, da dobite glave dvakrat zapored?

rešitev:

Razmislimo o vseh možnih možnostih:

1. Orel-orel
2. Glava-rep
3. Repi-Glave
4. Repi-repi

Kot lahko vidite, obstajajo le možnosti. Od teh smo samo zadovoljni. To je verjetnost:

Če vas pogoj preprosto prosi, da poiščete verjetnost, mora biti odgovor podan v obliki decimalnega ulomka. Če bi bilo določeno, da mora biti odgovor podan v odstotkih, potem bi pomnožili s.

odgovor:

Primer 2.

V čokoladni škatli so vse čokolade zapakirane v enak ovoj. Vendar od sladkarij - z oreščki, s konjakom, s češnjami, s karamelo in z nugatom.

Kakšna je verjetnost, da bi vzeli eno sladkarije in dobili sladkarije z orehi? Podajte svoj odgovor v odstotkih.

rešitev:

Koliko možnih izidov je? .

Se pravi, če vzamete en bonbon, bo to eden od tistih, ki so na voljo v škatli.

Koliko ugodnih rezultatov?

Ker so v škatli samo čokolade z orehi.

odgovor:

Primer 3.

V škatli z baloni. od katerih sta bela in črna.

1. Kakšna je verjetnost, da izvlečemo belo kroglico?
2. V škatlo smo dodali še črne kroglice. Kolikšna je sedaj verjetnost, da izvlečemo belo kroglico?

rešitev:

a) V škatli so samo žogice. Med njimi so beli.

Verjetnost je:

b) Zdaj je v škatli več žog. In ravno toliko jih je ostalo belih - .

odgovor:

Skupna verjetnost

Recimo, da sta v škatli rdeče in zelene kroglice. Kakšna je verjetnost, da izvlečete rdečo kroglico? Zelena žoga? Rdeča ali zelena žoga?

Verjetnost izvlečenja rdeče krogle

Zelena krogla:

Rdeča ali zelena krogla:

Kot lahko vidite, je vsota vseh možnih dogodkov enaka (). Razumevanje te točke vam bo pomagalo rešiti številne težave.

Primer 4.

V škatli so markerji: zeleni, rdeči, modri, rumeni, črni.

Kakšna je verjetnost, da NE narišete rdečega markerja?

rešitev:

Preštejmo število ugodne rezultate.

NI rdeči marker, to pomeni zelen, moder, rumen ali črn.

Pravilo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov

Kaj so neodvisni dogodki, že veste.

Kaj pa, če morate najti verjetnost, da se bosta dva (ali več) neodvisna dogodka zgodila zapored?

Recimo, da želimo vedeti, kakšna je verjetnost, da bomo, če enkrat vržemo kovanec, dvakrat videli glave?

Razmišljali smo že - .

Kaj če enkrat vržemo kovanec? Kakšna je verjetnost, da bi dvakrat zaporedoma videli orla?

Skupaj možne možnosti:

1. Orel-orel-orel
2. Glave-glave-repi
3. Glave-repi-glave
4. Glave-repi-repi
5. Repi-glave-glave
6. Repi-glave-repi
7. Repi-repi-glave
8. Repi-repi-repi

Ne vem za vas, ampak jaz sem se pri sestavljanju tega seznama večkrat zmotil. Vau! In edina možnost (prva) nam ustreza.

Za 5 metov lahko sami naredite seznam možnih rezultatov. Toda matematiki niso tako pridni kot vi.

Zato so najprej opazili in nato dokazali, da se verjetnost določenega zaporedja neodvisnih dogodkov vsakokrat zmanjša za verjetnost enega dogodka.

Z drugimi besedami,

Poglejmo primer istega ponesrečenega kovanca.

Verjetnost, da boste dobili glave v izzivu? . Zdaj enkrat vržemo kovanec.

Kakšna je verjetnost, da dobite glave v vrsti?

To pravilo ne deluje le, če moramo ugotoviti verjetnost, da se bo isti dogodek zgodil večkrat zapored.

Če bi želeli najti zaporedje TAILS-HEADS-TAILS za zaporedne mete, bi storili enako.

Verjetnost pristanka glav je - , glav - .

Verjetnost, da dobimo zaporedje REP-GLAVE-REP-REP:

To lahko preverite sami, tako da naredite tabelo.

Pravilo za seštevanje verjetnosti nezdružljivih dogodkov.

Torej nehaj! Nova definicija.

Ugotovimo. Vzemimo naš obrabljen kovanec in ga enkrat vrzimo.
Možne možnosti:

1. Orel-orel-orel
2. Glave-glave-repi
3. Glave-repi-glave
4. Glave-repi-repi
5. Repi-glave-glave
6. Repi-glave-repi
7. Repi-repi-glave
8. Repi-repi-repi

Nezdružljivi dogodki so torej določeno, dano zaporedje dogodkov. - to so nezdružljivi dogodki.

Če želimo ugotoviti, kakšna je verjetnost dveh (ali več) nekompatibilnih dogodkov, potem verjetnosti teh dogodkov seštejemo.

Morate razumeti, da sta glava ali rep dva neodvisna dogodka.

Če želimo določiti verjetnost pojava zaporedja (ali katerega drugega), potem uporabimo pravilo množenja verjetnosti.
Kakšna je verjetnost, da boste pri prvem metu dobili glavo, pri drugem in tretjem pa rep?

Če pa želimo vedeti, kakšna je verjetnost, da dobimo eno od več zaporedij, na primer, ko se glave pojavijo točno enkrat, tj. možnosti in potem moramo sešteti verjetnosti teh zaporedij.

Totalne možnosti nam ustrezajo.

Enako lahko dobimo, če seštejemo verjetnosti pojavljanja vsakega zaporedja:

Tako dodajamo verjetnosti, ko želimo ugotoviti verjetnost določenih, neskladnih, zaporedij dogodkov.

Obstaja odlično pravilo, ki vam pomaga preprečiti zmedo, kdaj množiti in kdaj seštevati:

Vrnimo se k primeru, ko smo enkrat vrgli kovanec in želeli vedeti, kakšna je verjetnost, da enkrat vidimo glave.
Kaj se bo zgodilo?

Moralo bi izpasti:
(glave IN repi IN repi) ALI (repi IN glave IN repi) ALI (repi IN repi IN glave).
Tako se izkaže:

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 5.

V škatli so svinčniki. rdeča, zelena, oranžna ter rumena in črna. Kakšna je verjetnost, da narišete rdeče ali zelene svinčnike?

rešitev:

Primer 6.

Če kocko vržemo dvakrat, kakšna je verjetnost, da dobimo skupno 8?

rešitev.

Kako lahko pridobimo točke?

(in) ali (in) ali (in) ali (in) ali (in).

Verjetnost, da dobite en (poljubni) obraz, je .

Izračunamo verjetnost:

Usposabljanje.

Mislim, da zdaj razumete, kdaj morate izračunati verjetnosti, kdaj jih sešteti in kdaj pomnožiti. Ali ni? Vadimo malo.

Naloge:

Vzemimo komplet kart, ki vsebuje pike, srčke, 13 kifov in 13 karo. Od do asa vsake barve.

1. Kakšna je verjetnost, da izvlečemo paje v vrsti (prvo izvlečeno karto damo nazaj v komplet in jo premešamo)?
2. Kakšna je verjetnost, da izvlečete črno karto (pik ali palica)?
3. Kakšna je verjetnost, da izvlečete sliko (jaket, dama, kralj ali as)?
4. Kakšna je verjetnost, da izvlečemo dve slikici zapored (prvo izvlečeno karto odstranimo iz kompleta)?
5. Kolikšna je verjetnost, da zberete kombinacijo (jaketa, dame ali kralja) in zaporedje, v katerem so izvlečene karte, ni pomembno.

odgovori:

Če ste lahko sami rešili vse težave, potem ste super! Zdaj boste težave s teorijo verjetnosti na Enotnem državnem izpitu razbili kot orehe!

TEORIJA VERJETNOSTI. POVPREČNA STOPNJA

Poglejmo si primer. Recimo, da vržemo kocko. Kakšna kost je to, veš? Temu pravijo kocka s številkami na ploskvah. Koliko obrazov, toliko števil: od do koliko? prej.

Torej vržemo kocko in želimo, da pride gor oz. In to dobimo.

V teoriji verjetnosti povedo, kaj se je zgodilo ugoden dogodek(ne zamenjujte z uspešnim).

Če bi se zgodilo, bi bil tudi dogodek ugoden. Skupno se lahko zgodita le dva ugodna dogodka.

Koliko je neugodnih? Ker je vseh možnih dogodkov, to pomeni, da so neugodni dogodki (to je če ali izpade).

definicija:

Verjetnost je razmerje med številom ugodnih dogodkov in številom vseh možnih dogodkov. To pomeni, da verjetnost kaže, kolikšen delež vseh možnih dogodkov je ugodnih.

Verjetnost označujejo z latinsko črko (očitno iz angleške besede probability - verjetnost).

Običajno se verjetnost meri v odstotkih (glej temo). Če želite to narediti, je treba vrednost verjetnosti pomnožiti s. V primeru kocke verjetnost.

In v odstotkih:.

Primeri (odločite se sami):

1. Kakšna je verjetnost, da dobimo glave pri metanju kovanca? Kakšna je verjetnost pristanka glav?
2. Kakšna je verjetnost, da dobite sodo število, ko vržete kocko? Katera je nenavadna?
3. V škatli preprosti, modri in rdeči svinčniki. Naključno izžrebamo en svinčnik. Kakšna je verjetnost, da bi dobili enostavnega?

rešitve:

1. Koliko možnosti je na voljo? Glava in rep - samo dva. Koliko jih je ugodnih? Samo eden je orel. Torej verjetnost

   Enako je z repki: .

2. Skupaj možnosti: (koliko stranic ima kocka, toliko različnih možnosti). Ugodne: (to so vse sode številke:).
   Verjetnost. Seveda je enako z lihimi števili.
3. Skupaj: . Ugodno:. Verjetnost: .

Skupna verjetnost

Vsi svinčniki v škatli so zeleni. Kakšna je verjetnost, da narišete rdeči svinčnik? Ni možnosti: verjetnost (navsezadnje ugodni dogodki -).

Takšen dogodek se imenuje nemogoč.

Kakšna je verjetnost, da narišete zeleni svinčnik? Ugodnih dogodkov je natanko toliko, kot je vseh dogodkov (vsi dogodki so ugodni). Torej je verjetnost enaka oz.

Tak dogodek se imenuje zanesljiv.

Če sta v škatli zeleni in rdeči svinčnik, kakšna je verjetnost, da bo narisal zelenega ali rdečega? Še enkrat. Upoštevajte naslednje: verjetnost, da izvlečete zeleno, je enaka, rdeča pa enaka.

V seštevku sta ti verjetnosti povsem enaki. to je vsota verjetnosti vseh možnih dogodkov je enaka oz.

primer:

V škatli svinčnikov so med njimi modri, rdeči, zeleni, navadni, rumeni in ostali so oranžni. Kakšna je verjetnost, da ne narišete zelene?

rešitev:

Ne pozabimo, da se vse verjetnosti seštejejo. In verjetnost, da postaneš zelena, je enaka. To pomeni, da je verjetnost, da ne narišemo zelene barve, enaka.

Zapomnite si ta trik: Verjetnost, da se dogodek ne bo zgodil, je enaka minus verjetnosti, da se dogodek zgodi.

Neodvisni dogodki in pravilo množenja

Enkrat vržete kovanec in želite, da obakrat pride na glavo. Kakšna je verjetnost za to?

Oglejmo si vse možne možnosti in ugotovimo, koliko jih je:

Glave-glave, repi-glave, glave-repi, repi-repi. Kaj drugega?

Skupaj možnosti. Od teh nam ustreza le eden: Eagle-Eagle. Skupaj je verjetnost enaka.

Globa. Zdaj pa enkrat vrzimo kovanec. Računajte sami. Se je zgodilo? (odgovor).

Morda ste opazili, da se z dodatkom vsakega naslednjega meta verjetnost zmanjša za polovico. Splošno pravilo se imenuje pravilo množenja:

Spreminjajo se verjetnosti neodvisnih dogodkov.

Kaj so neodvisni dogodki? Vse je logično: to so tisti, ki niso odvisni drug od drugega. Na primer, ko večkrat vržemo kovanec, se vsakič izvede nov met, katerega rezultat ni odvisen od vseh prejšnjih metov. Prav tako lahko vržemo dva različna kovanca hkrati.

Več primerov:

1. Kocka se vrže dvakrat. Kakšna je verjetnost, da ga dobim obakrat?
2. Kovanec se vrže enkrat. Kakšna je verjetnost, da bo prvič padlo z glavo in nato dvakrat z repom?
3. Igralec vrže dve kocki. Kolikšna je verjetnost, da bo vsota števil na njih enaka?

odgovori:

1. Dogodki so neodvisni, kar pomeni, da pravilo množenja deluje: .
2. Verjetnost glav je enaka. Verjetnost repov je enaka. Pomnoži:
3. 12 se dobi le, če se vržeta dva -ki: .

Nezdružljivi dogodki in pravilo dodajanja

Dogodke, ki se dopolnjujejo do stopnje popolne verjetnosti, imenujemo nekompatibilne. Kot že ime pove, se ne morejo zgoditi hkrati. Na primer, če vržemo kovanec, lahko pride na glavo ali rep.

Primer.

V škatli svinčnikov so med njimi modri, rdeči, zeleni, navadni, rumeni in ostali so oranžni. Kakšna je verjetnost, da narišete zeleno ali rdeče?

rešitev

Verjetnost, da narišete zeleni svinčnik, je enaka. Rdeča - .

Ugodni dogodki v vseh: zelena + rdeča. To pomeni, da je verjetnost črpanja zelene ali rdeče enaka.

Isto verjetnost lahko predstavimo v tej obliki: .

To je pravilo dodajanja: verjetnosti nezdružljivih dogodkov se seštejejo.

Težave mešanega tipa

Primer.

Kovanec se vrže dvakrat. Kakšna je verjetnost, da bodo rezultati metov drugačni?

rešitev

To pomeni, da če je prvi rezultat glava, mora biti drugi rep, in obratno. Izkazalo se je, da obstajata dva para neodvisnih dogodkov, ki sta med seboj nekompatibilna. Kako se ne zmotiti, kje množiti in kje seštevati.

Za takšne situacije obstaja preprosto pravilo. Poskusite opisati, kaj se bo zgodilo z uporabo veznikov "IN" ali "ALI". Na primer, v tem primeru:

Moralo bi se dvigniti (glave in repi) ali (repi in glave).

Kjer je veznik »in«, bo množenje, kjer je »ali«, pa bo seštevanje:

Poskusite sami:

1. Kolikšna je verjetnost, da bo kovanec, če ga vržemo dvakrat, obakrat pristal na isti strani?
2. Kocka se vrže dvakrat. Kakšna je verjetnost, da dobite skupno število točk?

rešitve:

Še en primer:

Enkrat vrzite kovanec. Kakšna je verjetnost, da se bodo glave pojavile vsaj enkrat?

rešitev:

TEORIJA VERJETNOSTI. NA KRATKO O GLAVNEM

Verjetnost je razmerje med številom ugodnih dogodkov in številom vseh možnih dogodkov.

Neodvisni dogodki

Dva dogodka sta neodvisna, če pojav enega ne spremeni verjetnosti, da se zgodi drugi.

Skupna verjetnost

Verjetnost vseh možnih dogodkov je enaka ().

Verjetnost, da se dogodek ne bo zgodil, je enaka minus verjetnosti, da se dogodek zgodi.

Pravilo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov

Verjetnost določenega zaporedja neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti posameznega dogodka

Nezdružljivi dogodki

Nezdružljivi dogodki so tisti, ki se zaradi poskusa nikakor ne morejo zgoditi hkrati. Številni nezdružljivi dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.

Verjetnosti nezdružljivih dogodkov se seštevajo.

Ko smo opisali, kaj se mora zgoditi, z uporabo veznikov "IN" ali "ALI" namesto "IN" postavimo znak za množenje, namesto "ALI" pa znak za seštevanje.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!