Izračun kota med premicami s koordinatno metodo. Razdalja med dvema križiščema

Uporaba koordinatne metode pri izračunu kota

med letali

večina splošna metoda iskanje kotamed ravninami - koordinatna metoda (včasih z uporabo vektorjev). Uporablja se lahko, ko so vsi drugi preizkušeni. Obstajajo pa situacije, v katerih je koordinatno metodo smiselno uporabiti takoj, in sicer ko je koordinatni sistem naravno povezan s poliedrom, določenim v predstavitvi problema, tj. Jasno so vidne tri po paru pravokotne črte, na katerih je mogoče določiti koordinatne osi. Takšna poliedra sta pravokotni paralelepiped in pravilna štirikotna piramida. V prvem primeru lahko koordinatni sistem določimo z robovi, ki se raztezajo iz ene točke (slika 1), v drugem pa z višino in diagonalami baze (slika 2)

Uporaba koordinatne metode je naslednja.

Predstavljen je pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Priporočljivo je, da ga uvedemo na »naraven« način - da ga »povežemo« na trio po parih pravokotnih črt, ki imajo skupno točko.

Za vsako od ravnin, med katerimi se išče kot, je sestavljena enačba. Tako enačbo najlažje sestavimo, če poznamo koordinate treh točk na ravnini, ki ne ležijo na isti premici.

Enačba ravnine v splošni pogled izgleda kot Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficienti A, B, C v tej enačbi so koordinate normalnega vektorja ravnine (vektor, pravokotno na ravnino). Nato določimo dolžine in pikasti izdelek normalne vektorje na ravnine, med katerima iščemo kot. Če koordinate teh vektorjev(A 1, B 1; C 1) in (A 2; B 2; C 2 ), nato želeni kotizračunano po formuli

Komentiraj. Ne smemo pozabiti, da je lahko kot med vektorji (v nasprotju s kotom med ravninami) top in da se izognemo morebitni negotovosti, števec na desni strani formule vsebuje modul.

Reši to nalogo s koordinatno metodo.

Naloga 1. Dana je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Točka K je sredina roba AD, točka L je sredina roba CD. Kolikšen je kot med ravninama A? 1 KL in A 1 AD?

rešitev . Naj bo izhodišče koordinatnega sistema v točki A, koordinatne osi pa potekajo vzdolž žarkov AD, AB, AA 1 (slika 3). Vzemimo, da je rob kocke enak 2 (primerno ga je razdeliti na pol). Nato koordinate točk A 1 , K, L so naslednji: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

riž. 3

Zapišimo enačbo ravnine A 1 K L na splošno. Nato vanjo nadomestimo koordinate izbranih točk te ravnine. Dobimo sistem treh enačb s štirimi neznankami:

Izrazimo koeficiente A, B, C do D in pridemo do enačbe

Razdelitev obeh delov na D (zakaj D = 0?) in nato pomnožimo z -2, dobimo enačbo ravnine A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Potem ima normalni vektor na to ravnino koordinate (2: -2; 1). Enačba ravnine 1 AD je: y=0, in koordinate normalnega vektorja nanj, na primer (0; 2: 0). Po zgornji formuli za kosinus kota med ravninama dobimo:

Metoda koordinat je zelo učinkovita in univerzalna metoda iskanje kakršnih koli kotov ali razdalj med stereometričnimi objekti v prostoru. Če je vaš učitelj matematike visoko kvalificiran, potem bi moral to vedeti. V nasprotnem primeru bi svetoval zamenjavo mentorja za "C" del. Moja priprava na enotni državni izpit iz matematike C1-C6 običajno vključuje analizo osnovnih algoritmov in formul, opisanih spodaj.

Kot med premicama a in b

Kot med premicami v prostoru je kot med vsemi sekajočimi se premicami, ki so z njimi vzporedne. Ta kot enak kotu med smernimi vektorji teh ravnih črt (ali ga dopolnjuje za 180 stopinj).

Kateri algoritem uporabi inštruktor matematike za iskanje kota?

1) Izberite poljubne vektorje in ima smeri ravnih črt a in b (z njima vzporedno).
2) Koordinate vektorjev določimo z ustreznimi koordinatami njihovih začetkov in koncev (od koordinat konca vektorja je treba odšteti koordinate začetka).
3) Najdene koordinate nadomestite s formulo:
. Če želite najti sam kot, morate najti ark kosinus rezultata.

Normalno za ravnino

Normala na ravnino je vsak vektor, pravokoten na to ravnino.
Kako najti normalno? Za iskanje koordinat normale je dovolj, da poznamo koordinate poljubnih treh točk M, N in K, ki ležijo v dani ravnini. S pomočjo teh koordinat najdemo koordinate vektorjev in in zahtevamo, da so izpolnjeni pogoji in . Z enačenjem skalarnega produkta vektorjev z nič sestavimo sistem enačb s tremi spremenljivkami, iz katerih lahko poiščemo koordinate normale.

Opomba inštruktorja matematike : Sploh ni nujno, da sistem rešimo v celoti, saj je dovolj, da izberemo vsaj eno normalo. Če želite to narediti, lahko zamenjate poljubno število (na primer ena) namesto katere koli njegove neznane koordinate in rešite sistem dveh enačb s preostalima dvema neznankama. Če nima rešitev, potem to pomeni, da v družini normal ni nobene, katere vrednost je ena v izbrani spremenljivki. Nato eno zamenjajte z drugo spremenljivko (drugo koordinato) in rešite nov sistem. Če znova zgrešite, bo vaša normala imela eno na zadnji koordinati, sama pa se bo izkazala za vzporedno z nekaterimi koordinatna ravnina(v tem primeru ga je enostavno najti tudi brez sistema).

Predpostavimo, da sta nam podani premica in ravnina s koordinatama smernega vektorja in normale
Kot med premico in ravnino se izračuna po naslednji formuli:

Naj in sta katerikoli dve normali na te ravnine. Nato kosinus kota med ravninama enak modulu kosinus kota med normalama:

Enačba ravnine v prostoru

Točke, ki izpolnjujejo enakost, tvorijo ravnino z normalo. Koeficient je odgovoren za količino odstopanja (vzporednega premika) med dvema ravninama z isto dano normalo. Če želite napisati enačbo ravnine, morate najprej najti njeno normalo (kot je opisano zgoraj), nato pa koordinate katere koli točke na ravnini skupaj s koordinatami najdene normale nadomestiti v enačbo in poiskati koeficient.

Bom kratek. Kot med dvema premicama je enak kotu med njunima smernima vektorjema. Torej, če vam uspe najti koordinate smernih vektorjev a = (x 1; y 1; z 1) in b = (x 2; y 2 ​​​​; z 2), lahko najdete kot. Natančneje, kosinus kota po formuli:

Oglejmo si, kako ta formula deluje na konkretnih primerih:

Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sta označeni točki E in F - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med premicama AE in BF.

Ker rob kocke ni določen, postavimo AB = 1. Uvedemo standardni sistem koordinate: izhodišče je v točki A, osi x, y, z so usmerjene vzdolž AB, AD in AA 1. Segment enote je enak AB = 1. Sedaj pa poiščimo koordinate smernih vektorjev za naše premice.

Poiščimo koordinate vektorja AE. Za to potrebujemo točki A = (0; 0; 0) in E = (0,5; 0; 1). Ker je točka E sredina segmenta A 1 B 1, so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Upoštevajte, da izhodišče vektorja AE sovpada z izhodiščem koordinat, torej AE = (0,5; 0; 1).

Zdaj pa poglejmo vektor BF. Podobno analiziramo točki B = (1; 0; 0) in F = (1; 0,5; 1), ker F je sredina segmenta B 1 C 1. Imamo:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Torej, vektorji smeri so pripravljeni. Kosinus kota med ravnima črtama je kosinus kota med smernima vektorjema, zato imamo:

Naloga. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki D in E - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med premicama AD in BE.

Predstavimo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x je usmerjena vzdolž AB, z - vzdolž AA 1. Usmerimo os y tako, da ravnina OXY sovpada z ravnino ABC. Enotski segment je enak AB = 1. Poiščimo koordinate smernih vektorjev za zahtevane premice.

Najprej poiščimo koordinate vektorja AD. Upoštevajte točke: A = (0; 0; 0) in D = (0,5; 0; 1), ker D - sredina segmenta A 1 B 1. Ker se začetek vektorja AD ujema z izhodiščem koordinat, dobimo AD = (0,5; 0; 1).

Zdaj pa poiščimo koordinate vektorja BE. Točko B = (1; 0; 0) je enostavno izračunati. S točko E - sredino segmenta C 1 B 1 - je malo bolj zapleteno. Imamo:

Ostaja še najti kosinus kota:

Naloga. V pravilni šesterokotni prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki K in L - središči robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1 . Poiščite kot med premicama AK in BL.

Vstavimo standardni koordinatni sistem za prizmo: izhodišče koordinat postavimo v središče spodnje baze, os x je usmerjena vzdolž FC, os y je usmerjena skozi razpolovišči odsekov AB in DE, z os je usmerjena navpično navzgor. Enotski segment je spet enak AB = 1. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:

Točki K in L sta razpolovišči odsekov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1, zato njune koordinate najdemo preko aritmetične sredine. Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AK in BL:

Zdaj pa poiščimo kosinus kota:

Naloga. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki E in F - razpolovišči stranic SB oziroma SC. Poiščite kot med premicama AE in BF.

Predstavimo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x in y sta usmerjeni vzdolž AB oziroma AD, os z pa navpično navzgor. Enotski segment je enak AB = 1.

Točki E in F sta razpolovišči odsekov SB oziroma SC, zato so njune koordinate najdene kot aritmetična sredina koncev. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AE in BF:

Koordinate vektorja AE sovpadajo s koordinatami točke E, saj je točka A izhodišče. Ostaja še najti kosinus kota:

MOU povprečje srednja šola №13

Koordinatna metoda

2008
načrt:

1. 
   Uvod
2. 
   
3. 
   Bistvo koordinatne metode
4. 
   Sistemi koordinatnih metod
5. 
   Osnovne formule koordinatne metode
6. 
   Naloge različne ravni težave na temo "Koordinatna metoda"

1. 
   Zaključek
2. 
   Seznam uporabljene literature

Uvod

Uporablja se v geometriji različne metode reševanje problemov je sintetična (čisto geometrijska) metoda, transformacijska metoda, vektorska metoda, koordinatna metoda in druge. Zasedajo drugačen položaj v šoli. Glavna metoda se šteje za sintetično, od ostalih pa najbolj visok položaj Metoda koordinat je priljubljena, ker je tesno povezana z algebro. Eleganco sintetične metode dosežemo z intuicijo, ugibanjem, dodatne konstrukcije. Koordinatna metoda to ni potrebno: reševanje problema je v veliki meri algoritmizirano, kar v večini primerov poenostavi iskanje in rešitev samega problema.

Koordinatna metoda- način določanja položaja točke ali telesa s pomočjo številk ali drugih simbolov.

Koordinatni sistem- niz definicij, ki izvaja koordinatno metodo, tj. način za določitev položaja točke ali telesa z uporabo številk ali drugih simbolov.

Dajanje geometrijske študije algebraične narave, koordinatna metoda prenese največ pomembna lastnost algebra - enotnost načinov reševanja problemov. Če je treba v aritmetiki in elementarni geometriji praviloma iskati vsak problem poseben način rešitve, nato v algebri in analitično geometrijo rešitve potekajo po načrtu, ki je skupen vsem problemom, zlahka prilagodljiv vsakemu problemu. Prenos v geometrijo metod reševanja problemov, ki so značilni za algebro in imajo zato veliko splošnost, je glavna vrednost koordinatna metoda. Druga prednost koordinatne metode je, da njena uporaba odpravlja potrebo po vizualni predstavitvi kompleksnih prostorskih slik.

Cilji študija koordinatne metode

Lahko izberete sledenje ciljem preučevanje koordinatne metode v šolskem tečaju geometrije:

• 
  dati študentom učinkovita metoda reševanje problemov in dokazovanje številnih izrekov;
• 
  prikaz na podlagi te metode tesna povezava algebra in geometrija;
• 
  prispevati k razvoju računalniške in grafične kulture učencev.

Bistvo koordinatne metode

Bistvo koordinatne metode kot metode reševanja problemov je v tem, da z enačbami definiramo figure in izražamo različne geometrijska razmerja, se lahko odločimo geometrijski problem s pomočjo algebre. Nasprotno pa lahko z uporabo koordinat geometrično interpretiramo algebrske in analitične odnose ter dejstva in tako uporabimo geometrijo pri reševanju algebrskih problemov.

Metoda koordinat je univerzalna metoda.

Glede šolski tečaj geometrije, lahko rečemo, da v nekaterih primerih koordinatna metoda omogoča sestavo dokazov in reševanje številnih problemov bolj racionalno in lepše kot čisto geometrijske načine. Vendar je koordinatna metoda povezana z eno geometrijsko kompleksnostjo. Isti problem dobi različno analitično predstavitev, odvisno od določene izbire koordinatnega sistema. In le zadostne izkušnje vam omogočajo, da izberete najprimernejši koordinatni sistem.

Rojen v Torinu v premožni plemiški družini. Nekaj ​​dni kasneje je njegova mati umrla zaradi zaužitja; njegova medicinska sestra je prišla ven in mu rešila življenje. Pri 8 letih je Rene dobil popolno oskrbo v enem najboljših jezuitskih kolegijev. Descartes je že od otroštva rad reševal probleme in vse svoje prosti čas se je posvetil študiju matematike. Descartes je študiral filozofijo, matematiko, fiziko, astronomijo in filologijo. Descartes je prvi pokazal, kako je mogoče matematiko uporabiti za vizualizacijo in matematična analiza za najrazličnejše naravne in družbene pojave.

V njegovih delih se prvič pojavijo:

1. 
   spremenljivke
2. 
   strogi zakoni geometrije so prevedeni v algebrski jezik
3. 
   Predlagano je bilo, da bi povezave med naravnimi pojavi prikazali z ukrivljenimi črtami in jih zapisali v algebraične izraze.
4. 
   predstavili latinske črke trajno in spremenljivke, kot tudi oznake diplom

3. Polarni koordinatni sistem . Polarne koordinate točke definiramo takole: na dani ravnini številski žarek OH. Začetek žarka, točka O, se imenuje pol, os OX pa polarna os. Za določitev položaja točke M v polarni sistem koordinate označujejo razdaljo od pola do te točke in smer, v kateri se nahaja. Razdalja od točke do pola se imenuje polarni polmer točke in se označuje s črko (izgovarja se "roh").

Smer je določena s kotom zasuka od žarka OX do žarka OM

Koordinatna metoda

formule

Dolžina vektorja glede na njegove koordinate

Formula za iskanje koordinat sredine segmenta

Razdalja med dvema točkama

Enačba kroga,(središče kroga
, polmer r)

Enačba premice
, glede na to
(enačba premice v pravokotnem koordinatnem sistemu je enačba prve stopnje)

Vsaka premica je podana z enačbo. Ob istem času številke a,b,c so za vsako premico enolično določene do sorazmernosti (če jih pomnožite z istim številom
, nato nastala enačba
bo definiral isto vrstico).

Oddaljenost od točke
na ravno črto m
,enako

Oddaljenost od točke
letati
, enako

Izpeljava formule
.

Odstopimo od bistva
pravokotna AB na ravnino , podana z enačbo
.Naj
- točka presečišča te navpičnice z ravnino . Potem
- oddaljenost od točke
letati .Ker je vektor pravokoten na ravnino ,je kolinearen vektorju
.To pomeni, da
,Če
, oz
,Če
, to je
.Zapišimo to enakost v koordinatah: .Toda bistvo
, zato
in
=
.
(Stewartov izrek)

Če je dano trikotnik ABC in na podlagi tega bistvo D , ki leži med točkama B in C, potem velja enakost:

Dokaz:

Izberimo koordinatni sistem, kot je prikazan na sliki.

V izbranem koordinatnem sistemu oglišča trikotnika ABC bo imela naslednje koordinate:

A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;0), C(0;0) in pika D(x 3 ;0) .

Izračunajmo vse količine, vključene v enačbo:

Zamenjajmo vse te vrednosti v leva stran enakost:

Q.E.D.

Naloga 1. Poiščite razdaljo od točke A(-1,3,0) do ravnine , podana z enačbo x -3y -2z +5=0.

rešitev. Po formuli
dobimo:

.

odgovor:
.

rešitev. Z uporabo lastnosti skalarnega produkta odprimo oklepaje:

=

Iz definicije skalarnega produkta dobimo:
(ker in pravokotno);

Zamenjava teh vrednosti v izraz
=, najdemo skalarni produkt:
=0 – 50+9 12 -120=-62

odgovor:
=0 – 50+9 12 -120=-62
Problem 3.Podan je kvadrat ABCD s stranjo A . Določite razdaljo med sredino segmenta zjutraj , Kje M – sredina sonce , in pika N na strani CD , ki ga razdeli tako, da CN:ND=3:1 .

rešitev:

Potem pa točke M in N , glede na stanje bo imela koordinate:

oz.

Ker E – sredina zjutraj , potem bodo njegove koordinate naslednje:

pomeni, E .

Poiščimo razdaljo med točkama E in N :

Odgovor: EN =

rešitev.

Vstavimo koordinatni sistem s središčem v točki B. Potem
Poiščimo enačbo ravnine . Naj bo ta enačba . Upoštevajte to ne prehaja skozi izvor, torej
in enačbo lahko delimo z D; dobimo naslednjo enačbo:
ali ax + by + cz +1=0

Za določitev neznanih koeficientov a, b in c nadomestimo v enačbo ax + by + cz +1=0 koordinate treh točk E, F in O, ki ustrezajo tej enačbi (ker te točke ležijo v ravnini ). Dobimo sistem enačb:
Transformirajmo sistem tako, da prvo enačbo pomnožimo s 3, drugo s 4 in tretjo z -6 ter prvo enačbo seštejemo s tretjo, dobimo
, b=-4,
.Tako ima enačba ravnine obliko:

5x + 8y - 9z – 2 =0. Zdaj poiščemo razdaljo od točke B1(0,0,1) do ravnine
.

odgovor:
.