Uporaba tega program za matematiko lahko rešite sistem dveh linearne enačbe z dvema variabilna metoda metoda zamenjave in dodajanja.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi daje podrobna rešitev z razlago korakov reševanja na dva načina: metoda zamenjave in metoda dodajanja.

Ta program lahko koristijo srednješolcem srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Tako lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali svoje usposabljanje. mlajši bratje ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju problemov, ki se rešujejo, povečuje.

Pravila za vnos enačb

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Pri vnosu enačb lahko uporabite oklepaje. V tem primeru so enačbe najprej poenostavljene. Enačbe po poenostavitvah morajo biti linearne, tj. oblike ax+by+c=0 z natančnostjo vrstnega reda elementov.
Na primer: 6x+1 = 5(x+y)+2

V enačbah lahko uporabite ne samo cela števila, ampak tudi ulomkov v obliki decimalnih mest in navadnih ulomkov.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Cela in ulomek V decimalke lahko ločite s piko ali vejico.
Na primer: 2,1n + 3,5m = 55

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vstopu številčni ulomekŠtevec je od imenovalca ločen z znakom za deljenje: /
Cel del ločeno od ulomka z znakom &: &

Primeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Reševanje sistemov linearnih enačb. Metoda zamenjave

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo substitucije:
1) izrazite eno spremenljivko iz neke enačbe sistema z drugo;
2) zamenjajte dobljeni izraz v drugo enačbo sistema namesto te spremenljivke;

$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matrika) \desno. $$

Izrazimo y z x iz prve enačbe: y = 7-3x. Če zamenjamo izraz 7-3x v drugo enačbo namesto y, dobimo sistem:
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matrika) \desno. $$

Enostavno je pokazati, da imata prvi in ​​drugi sistem enake rešitve. V drugem sistemu druga enačba vsebuje samo eno spremenljivko. Rešimo to enačbo:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Desna puščica -5x+14-6x=3 \Desna puščica -11x=-11 \Desna puščica x=1 $$

Če zamenjamo število 1 namesto x v enakost y=7-3x, najdemo ustrezno vrednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rešitev sistema

Sistemi enačb v dveh spremenljivkah, ki imata enake rešitve, se imenujejo enakovreden. Za enakovredne se štejejo tudi sistemi, ki nimajo rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb s seštevanjem

Razmislimo o drugem načinu reševanja sistemov linearnih enačb - metodi dodajanja. Pri takšnem reševanju sistemov, pa tudi pri reševanju s substitucijo, preidemo iz tega sistema v drug, enakovredni sistem, v katerem ena od enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo dodajanja:
1) pomnožite enačbe sistemskega člena za členom, pri čemer izberite faktorje tako, da koeficienti za eno od spremenljivk postanejo nasprotna števila;
2) seštejte levo in desno stran sistemskih enačb člen za členom;
3) reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko;
4) poiščite ustrezno vrednost druge spremenljivke.

Primer. Rešimo sistem enačb:
$$ \left\( \begin(matrika)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

V enačbah tega sistema so koeficienti y nasprotna števila. S seštevanjem leve in desne strani enačb člen za členom dobimo enačbo z eno spremenljivko 3x=33. Zamenjajmo eno od enačb sistema, na primer prvo, z enačbo 3x=33. Vzemimo sistem
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

Iz enačbe 3x=33 dobimo, da je x=11. Če nadomestimo to vrednost x v enačbo \(x-3y=38\), dobimo enačbo s spremenljivko y: \(11-3y=38\). Rešimo to enačbo:
\(-3y=27 \Desna puščica y=-9 \)

Tako smo našli rešitev sistema enačb s seštevanjem: \(x=11; y=-9\) ali \((11;-9)\)

Ob izkoriščanju dejstva, da so v enačbah sistema koeficienti y nasprotna števila, smo njegovo rešitev reducirali na rešitev ekvivalentnega sistema (s seštevanjem obeh strani vsake enačbe prvotnega sistema), v katerem enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

1. Reševanje sistema z metodo substitucije.
2. Reševanje sistema s počlanskim seštevanjem (odštevanjem) enačb sistema.

Da bi rešili sistem enačb po substitucijski metodi morate slediti preprostemu algoritmu:
1. Ekspresno. Iz poljubne enačbe izrazimo eno spremenljivko.
2. Nadomestek. Dobljeno vrednost nadomestimo v drugo enačbo namesto izražene spremenljivke.
3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko. Najdemo rešitev za sistem.

Rešiti sistem z metodo seštevanja (odštevanja) po členih moram:
1. Izberemo spremenljivko, za katero bomo naredili enake koeficiente.
2. Enačbe seštevamo ali odštevamo, tako da dobimo enačbo z eno spremenljivko.
3. Rešite nastalo linearno enačbo. Najdemo rešitev za sistem.

Rešitev sistema so presečišča funkcijskih grafov.

Oglejmo si podrobno rešitev sistemov z uporabo primerov.

Primer #1:

Rešimo z metodo zamenjave

2x+5y=1 (1 enačba)
x-10y=3 (2. enačba)

1. Ekspresno
Vidimo, da je v drugi enačbi spremenljivka x s koeficientom 1, kar pomeni, da je spremenljivko x najlažje izraziti iz druge enačbe.
x=3+10y

2. Ko smo jo izrazili, v prvo enačbo namesto spremenljivke x nadomestimo 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko.
2(3+10y)+5y=1 (odprite oklepaje)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešitev sistema enačb so presečišča grafov, zato moramo najti x in y, ker je presečišče sestavljeno iz x in y, v prvi točki, kjer smo ga izrazili, nadomestimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Običajno pišemo točke, na prvo mesto zapišemo spremenljivko x, na drugo mesto pa spremenljivko y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primer #2:

Rešujmo z metodo seštevanja (odštevanja) po členih.

3x-2y=1 (1 enačba)
2x-3y=-10 (2. enačba)

1. Izberemo spremenljivko, recimo, da izberemo x. V prvi enačbi ima spremenljivka x koeficient 3, v drugi - 2. Koeficiente moramo narediti enake, za to imamo pravico pomnožiti enačbe ali deliti s poljubnim številom. Prvo enačbo pomnožimo z 2, drugo pa s 3 in dobimo skupni koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odštejte drugo od prve enačbe, da se znebite spremenljivke x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Poišči x. Najdeni y nadomestimo v katerokoli od enačb, recimo v prvo enačbo.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Presečišče bo x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Se želite brezplačno pripravljati na izpite? Tutor na spletu zastonj. Brez heca.

Navodila

Metoda dodajanja.
Dva morate napisati strogo drug pod drugim:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
V poljubno izbrano (iz sistema) enačbo namesto že najdene »igre« vstavimo število 11 in izračunamo drugo neznanko:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor na ta sistem enačb je x=116, y=11.

Grafična metoda.
Sestoji iz praktičnega iskanja koordinat točke, v kateri so premice matematično zapisane v sistemu enačb. Grafa obeh premic je treba narisati ločeno v istem koordinatnem sistemu. Splošni pogled: – y=khx+b. Za konstrukcijo ravne črte je dovolj, da poiščemo koordinate dveh točk, x pa izberemo poljubno.
Naj bo podan sistem: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Ravna črta je zgrajena s prvo, za udobje jo je treba zapisati: y=2x-4. Poiščite (lažje) vrednosti za x, jih nadomestite v enačbo, jo rešite in poiščite y. Dobimo dve točki, vzdolž katerih je zgrajena premica. (glej sliko)
x 0 1

y -4 -2
Ravna črta je sestavljena z uporabo druge enačbe: y=-3x+1.
Konstruirajte tudi ravno črto. (glej sliko)

y 1 -5
Poiščite koordinate presečišča dveh zgrajenih premic na grafu (če se premici ne sekata, potem sistem enačb nima - torej).

Video na temo

Koristen nasvet

Če isti sistem enačb rešimo s tremi različne poti, bo odgovor enak (če je rešitev pravilna).

Viri:

• 8. razred algebra
• reši enačbo z dvema neznankama na spletu
• Primeri reševanja sistemov linearnih enačb z dvema

Sistem enačbe predstavlja zbirko matematične oznake, od katerih vsaka vsebuje več spremenljivk. Obstaja več načinov za njihovo rešitev.

Boste potrebovali

• - Ravnilo in svinčnik;
• -kalkulator.

Navodila

Oglejmo si zaporedje reševanja sistema, ki ga sestavljajo linearne enačbe v obliki: a1x + b1y = c1 in a2x + b2y = c2. Kjer sta x in y neznani spremenljivki, b,c pa prosti členi. Pri uporabi te metode vsak sistem predstavlja koordinate točk, ki ustrezajo vsaki enačbi. Za začetek v vsakem primeru izrazite eno spremenljivko z drugo. Nato nastavite spremenljivko x na poljubno število vrednosti. Dva sta dovolj. Zamenjajte v enačbo in poiščite y. Sestavi koordinatni sistem, na njem označi dobljene točke in skozi njih nariši črto. Podobne izračune je treba izvesti za druge dele sistema.

Sistem ima edina odločitev, če se zgrajeni premici sekata in ena skupna točka. Nezdružljivo je, če sta vzporedni drug z drugim. In ima neskončno veliko rešitev, ko se črte zlijejo med seboj.

Ta metoda velja za zelo vizualno. Glavna pomanjkljivost je, da imajo izračunane neznanke približne vrednosti. Natančnejši rezultat daje t.i algebraične metode.

Vsako rešitev sistema enačb je vredno preveriti. Če želite to narediti, zamenjajte dobljene vrednosti za spremenljivke. Rešitev lahko najdete tudi na več načinov. Če je rešitev sistema pravilna, bi morali vsi izpasti enako.

Pogosto obstajajo enačbe, v katerih je eden od členov neznan. Če želite rešiti enačbo, se morate spomniti in izvesti določen niz dejanj s temi številkami.

Boste potrebovali

• - papir;
• - pero ali svinčnik.

Navodila

Predstavljajte si, da je pred vami 8 zajcev, vi pa imate samo 5 korenčkov. Pomislite, še vedno morate kupiti več korenčkov, da bo vsak zajec dobil enega.

Predstavimo to težavo v obliki enačbe: 5 + x = 8. Nadomestimo številko 3 namesto x. Dejansko je 5 + 3 = 8.

Ko ste x zamenjali s številom, ste naredili isto kot takrat, ko ste od 8 odšteli 5. Torej, če želite najti neznanočlen, od vsote odštejemo znani člen.

Recimo, da imate 20 zajcev in samo 5 korenčkov. Popravimo se. Enačba je enakost, ki velja le za določene vrednosti črk, ki so v njej vključene. Črke, katerih pomen je treba najti, se imenujejo. Napišite enačbo z eno neznanko, poimenujte jo x. Pri reševanju našega problema z zajcem dobimo naslednjo enačbo: 5 + x = 20.

Poiščimo razliko med 20 in 5. Pri odštevanju se število, od katerega se odšteje, zmanjša. Število, ki se odšteje, se imenuje , in končni rezultat imenovana razlika. Torej, x = 20 – 5; x = 15. Za zajce morate kupiti 15 korenčkov.

Preveri: 5 + 15 = 20. Enačba je pravilno rešena. Seveda, kdaj govorimo o o tako preprostih ni treba opraviti preverjanja. Ko pa imate enačbe s trimestnimi, štirimestnimi itd. števili, morate vsekakor preveriti, da ste popolnoma prepričani o rezultatu svojega dela.

Video na temo

Koristen nasvet

Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.

Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega.

Nasvet 4: Kako rešiti sistem tri enačbe s tremi neznankami

Sistem treh enačb s tremi neznankami morda kljub temu nima rešitev zadostna količina enačbe. Lahko ga poskusite rešiti z metodo zamenjave ali s Cramerjevo metodo. Cramerjeva metoda vam poleg reševanja sistema omogoča, da ocenite, ali je sistem rešljiv, preden najdete vrednosti neznank.

Navodila

Metoda substitucije je sestavljena iz zaporednega zaporedja ene neznanke skozi dve drugi in substitucije dobljenega rezultata v enačbah sistema. Naj bo podan sistem treh enačb splošni pogled:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izrazite x iz prve enačbe: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - in nadomestite v drugo in tretjo enačbo, nato izrazite y iz druge enačbe in nadomestite v tretjo. Dobili boste linearni izraz za z preko koeficientov sistemskih enačb. Zdaj pa pojdite "nazaj": zamenjajte z v drugo enačbo in poiščite y, nato pa nadomestite z in y v prvo in rešite x. Postopek je na splošno prikazan na sliki pred iskanjem z. Nadaljnje pisanje v splošni obliki bo v praksi preveč okorno, z zamenjavo lahko zlahka najdete vse tri neznanke.

Cramerjeva metoda je sestavljena iz konstruiranja sistemske matrike in izračuna determinante te matrike ter še treh pomožnih matrik. Sistemska matrika je sestavljena iz koeficientov za neznane člene enačb. Stolpec s številkami na desni strani enačb, stolpec desnih strani. Ne uporablja se v sistemu, ampak se uporablja pri reševanju sistema.

Video na temo

Opomba

Vse enačbe v sistemu morajo zagotoviti dodatne informacije, neodvisne od drugih enačb. V nasprotnem primeru bo sistem poddefiniran in ne bo mogoče najti enoznačne rešitve.

Koristen nasvet

Po rešitvi sistema enačb nadomestite najdene vrednosti v prvotni sistem in preverite, ali izpolnjujejo vse enačbe.

Samo po sebi enačba s tremi neznano ima veliko rešitev, zato je največkrat dopolnjena še z dvema enačbama ali pogojema. Od tega, kakšni bodo začetni podatki, bo v veliki meri odvisen potek odločitve.

Boste potrebovali

• - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Navodila

Če imata dva od treh sistemov le dve od treh neznank, poskusite izraziti nekatere spremenljivke z drugimi in jih nadomestiti v enačba s tremi neznano. Vaš cilj v tem primeru je, da ga spremenite v normalno enačba z neznano osebo. Če je to , je nadaljnja rešitev precej preprosta - najdeno vrednost nadomestimo v druge enačbe in poiščemo vse ostale neznanke.

Nekatere sisteme enačb je mogoče odšteti od ene enačbe z drugo. Poglejte, ali je mogoče pomnožiti eno od ali spremenljivko tako, da se dve neznanki izničita hkrati. Če obstaja takšna priložnost, jo najverjetneje izkoristite, nadaljnja rešitev ne bo težka. Ne pozabite, da morate pri množenju s številom množiti kot leva stran, in pravega. Prav tako se je pri odštevanju enačb treba tega spomniti desni del je treba tudi odšteti.

Če prejšnje metode niso pomagale, uporabite na splošen način rešitve poljubnih enačb s tremi neznano. Če želite to narediti, prepišite enačbe v obliki a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Zdaj ustvarite matriko koeficientov za x (A), matriko neznank (X) in matriko prostih (B). Upoštevajte, da z množenjem matrike koeficientov z matriko neznank dobite matriko, matriko brezplačni člani, to je A*X=B.

Poiščite matriko A na potenco (-1), tako da najprej ugotovite , upoštevajte, da ne bi smelo biti enako nič. Po tem pomnožite dobljeno matriko z matriko B, kot rezultat boste prejeli želeno matriko X, ki označuje vse vrednosti.

Z Cramerjevo metodo lahko najdete tudi rešitev sistema treh enačb. Če želite to narediti, poiščite determinanto tretjega reda ∆, ki ustreza sistemski matriki. Nato zaporedno poiščite še tri determinante ∆1, ∆2 in ∆3, pri čemer nadomestite vrednosti prostih členov namesto vrednosti ustreznih stolpcev. Zdaj poiščite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Viri:

• rešitve enačb s tremi neznankami

Ko začnete reševati sistem enačb, ugotovite, kakšne vrste enačb so. Metode za reševanje linearnih enačb so bile precej dobro raziskane. Nelinearne enačbe največkrat ne upajo. Obstajajo samo eni posebni primeri, od katerih je vsak praktično individualen. Zato je treba preučevanje tehnik reševanja začeti z linearnimi enačbami. Takšne enačbe je mogoče rešiti celo čisto algoritemsko.

imenovalci najdenih neznank so popolnoma enaki. Da, in števniki kažejo nekaj vzorcev v svoji konstrukciji. Če bi bila dimenzija sistema enačb večja od dveh, bi metoda izločitve vodila do zelo okornih izračunov. Da bi se jim izognili, so zasnovani izključno algoritemske metode rešitve. Najenostavnejši med njimi je Cramerjev algoritem (Cramerjeve formule). Kajti morali bi izvedeti splošni sistem enačb iz n enačb.

Sistem n linearni algebraične enačbe z n neznankami ima obliko (glej sliko 1a). V njem so aij koeficienti sistema,
xj – neznanke, bi – prosti členi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tak sistem lahko strnjeno zapišemo matrična oblika AX=B. Tukaj je A matrika sistemskih koeficientov, X je stolpčna matrika neznank, B je stolpčna matrika prostih členov (glej sliko 1b). Po Cramerjevi metodi je vsaka neznanka xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanto ∆ matrike koeficientov imenujemo glavna determinanta, ∆i pa pomožna. Za vsako neznanko poiščemo pomožno determinanto tako, da i-ti stolpec glavne determinante nadomestimo s stolpcem prostih členov. Cramerjeva metoda za primer sistemov drugega in tretjega reda je podrobno predstavljena na sl. 2.

Sistem je kombinacija dveh ali več enačb, od katerih vsaka vsebuje dve ali več neznank. Obstajata dva glavna načina za reševanje sistemov linearnih enačb, ki se uporabljata znotraj šolski kurikulum. Eden od njih se imenuje metoda, drugi - metoda dodajanja.

Standardna oblika sistema dveh enačb

Reševanje sistema z metodo seštevanja

Denimo, da je podan sistem, sestavljen iz dveh enačb. Prvi od njih ima obliko 2x+4y=8, drugi ima obliko 6x+2y=6. Ena od možnosti za dokončanje naloge je, da drugo enačbo pomnožimo s koeficientom -2, kar jo pripelje do oblike -12x-4y=-12. Prava izbira koeficient je ena izmed ključnih nalog v procesu reševanja sistema s seštevanjem, saj določa celoten nadaljnji potek postopka iskanja neznank.

Zdaj je treba sešteti obe enačbi sistema. Očitno bo medsebojno uničenje spremenljivk s koeficienti enake vrednosti, vendar nasprotnega predznaka, vodilo do oblike -10x=-4. Po tem je treba rešiti to preprosto enačbo, iz katere jasno sledi, da je x = 0,4.

Zadnji korak v procesu reševanja je zamenjava najdene vrednosti ene od spremenljivk v katero koli prvotno enakost, ki je na voljo v sistemu. Če na primer nadomestite x=0,4 v prvo enačbo, lahko dobite izraz 2*0,4+4y=8, iz katerega je y=1,8. Tako sta x=0,4 in y=1,8 korena vzorčnega sistema.

Da bi se prepričali, ali so bile korenine pravilno najdene, je koristno preveriti tako, da najdene vrednosti zamenjamo v drugo enačbo sistema. Na primer, v v tem primeru dobimo enakost oblike 0,4*6+1,8*2=6, kar drži.

Video na temo