Kuptimi fizik i modulit të një numri. Përcaktimi i modulit të një numri

Udhëzimet

Nëse moduli paraqitet në formë funksion të vazhdueshëm, atëherë vlera e argumentit të tij mund të jetë pozitive ose negative: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Është e lehtë të shihet se mbledhja dhe zbritja e numrave kompleks ndjek të njëjtin rregull si mbledhja dhe .

Prodhimi i dy numrave kompleks është i barabartë me:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Meqenëse i^2 = -1, atëherë rezultati përfundimtar e barabartë me:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Veprimet e fuqizimit dhe nxjerrjes së rrënjës për numrat kompleks përcaktohen në të njëjtën mënyrë si për numrat realë. Megjithatë, në rajonin kompleks, për çdo numër, ekzistojnë saktësisht n numra b të tillë që b^n = a, domethënë n rrënjë të shkallës së n-të.

Në veçanti, kjo do të thotë se çdo ekuacioni algjebrik fuqia e n-të me një ndryshore ka saktësisht n rrënjë komplekse, disa prej të cilave mund të jenë dhe .

Video mbi temën

Burimet:

• ligjërata " Numrat kompleks“ në vitin 2019

Një rrënjë është një ikonë që përfaqëson operacion matematik gjetja e një numri ngritja e të cilit në fuqinë e treguar përpara shenjës së rrënjës duhet të japë numrin e treguar pikërisht nën këtë shenjë. Shpesh, për të zgjidhur problemet që përfshijnë rrënjët, nuk mjafton vetëm të llogaritet vlera. Është e nevojshme të kryhen operacione shtesë, njëra prej të cilave është futja e një numri, ndryshoreje ose shprehjeje nën shenjën e rrënjës.

Udhëzimet

Përcaktoni eksponentin e rrënjës. Një eksponent është një numër i plotë që tregon fuqinë në të cilën duhet të rritet rezultati i llogaritjes së rrënjës për të marrë shprehjen radikale (numri nga i cili është nxjerrë kjo rrënjë). Eksponenti i rrënjës si një mbishkrim përpara ikonës së rrënjës. Nëse kjo nuk është e specifikuar, është rrënjë katrore, shkalla e së cilës është dy. Për shembull, eksponenti i rrënjës √3 është dy, eksponenti i 3√3 është tre, eksponenti i rrënjës ⁴√3 është katër, etj.

Ngrini numrin që dëshironi të futni nën shenjën e rrënjës në një fuqi, e barabartë me treguesin këtë rrënjë që keni përcaktuar në hapin e mëparshëm. Për shembull, nëse duhet të futni numrin 5 nën shenjën e rrënjës 4√3, atëherë indeksi i shkallës së rrënjës është katër dhe ju duhet rezultati i ngritjes së 5 në fuqinë e katërt 5⁴=625. Ju mund ta bëni këtë në çdo mënyrë të përshtatshme për ju - në kokën tuaj, duke përdorur një kalkulator ose shërbimet përkatëse të pritura.

Vendosni vlerën e marrë në hapin e mëparshëm nën shenjën e rrënjës si një shumëzues i shprehjes radikale. Për shembullin e përdorur në hapin e mëparshëm me shtimin e ⁴√3 5 (5*4√3) nën rrënjë, ky veprim mund të bëhet kështu: 5*4√3=⁴√(625*3).

Thjeshtoni shprehjen radikale që rezulton nëse është e mundur. Për shembull nga hapat e mëparshëm, ju vetëm duhet të shumëzoni numrat nën shenjën e rrënjës: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=4√1875. Kjo përfundon operacionin e futjes së numrit nën rrënjë.

Nëse problemi përmban variabla të panjohur, atëherë hapat e përshkruar më sipër mund të kryhen në pamje e përgjithshme. Për shembull, nëse duhet të futni një ndryshore të panjohur x nën rrënjën e katërt, dhe shprehja radikale është 5/x³, atëherë e gjithë sekuenca e veprimeve mund të shkruhet si më poshtë: x*4√(5/x³)=4 √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

Burimet:

• si quhet shenja e rrënjës?

Numrat realë nuk janë të mjaftueshëm për të zgjidhur ndonjë ekuacion kuadratik. Më e thjeshta nga ekuacionet kuadratike, duke mos pasur rrënjë midis numrave realë - kjo është x^2+1=0. Gjatë zgjidhjes së tij, rezulton se x=±sqrt(-1), dhe sipas ligjeve të algjebrës elementare, nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga negative. numratështë e ndaluar.

Moduli i numrave vetë ky numër quhet nëse është jo negativ, ose i njëjti numër me shenjë e kundërt, nëse është negative.

Për shembull, moduli i numrit 5 është 5, dhe moduli i numrit -5 është gjithashtu 5.

Domethënë, nënkuptojmë me modulin e një numri vlerë absolute, vlerë absolute ky numër pa marrë parasysh shenjën e tij.

Shënohet si më poshtë: |5|, | X|, |A| etj.

Rregulli:

Shpjegim:

|5| = 5
Lexohet kështu: moduli i numrit 5 është 5.

|–5| = –(–5) = 5
Lexohet kështu: moduli i numrit –5 është 5.

|0| = 0
Lexohet kështu: moduli i zeros është zero.

Karakteristikat e modulit:

Kuptimi gjeometrik i modulit.

Moduli i një numri është distanca nga zero në atë numër.

Për shembull, le të marrim përsëri numrin 5 Distanca nga 0 në 5 është e njëjtë me atë nga 0 në –5 (Fig. 1). Dhe kur është e rëndësishme për ne të dimë vetëm gjatësinë e segmentit, atëherë shenja ka jo vetëm kuptim, por edhe kuptim. Sidoqoftë, kjo nuk është plotësisht e vërtetë: ne matim distancën vetëm në numra pozitivë - ose numrat jonegativë. Le të jetë çmimi i ndarjes së shkallës sonë 1 cm, atëherë gjatësia e segmentit nga zero në 5 është 5 cm, nga zero në -5 është gjithashtu 5 cm.

Në praktikë, distanca matet shpesh jo vetëm nga zero - pika e referencës mund të jetë çdo numër (Fig. 2). Por kjo nuk e ndryshon thelbin. Shënimi i formës |a – b| shpreh distancën ndërmjet pikave A Dhe b në vijën numerike.

Shembulli 1. Zgjidhja e ekuacionit | X – 1| = 3.

Zgjidhje .

Kuptimi i ekuacionit është se distanca ndërmjet pikave X dhe 1 është e barabartë me 3 (Fig. 2). Prandaj, nga pika 1 ne numërojmë tre ndarje në të majtë dhe tre ndarje në të djathtë - dhe ne i shohim qartë të dyja vlerat X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Mund ta llogarisim.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Përgjigje: X 1 = –2; X 2 = 4.

Shembulli 2. Gjeni modulin e shprehjes:

Zgjidhje .

Së pari, le të zbulojmë nëse shprehja është pozitive apo negative. Për ta bërë këtë, ne e transformojmë shprehjen në mënyrë që të përbëhet nga numra homogjenë. Le të mos kërkojmë rrënjën e 5 - është mjaft e vështirë. Le ta bëjmë më thjeshtë: le të ngremë 3 dhe 10 në rrënjë dhe më pas krahasojmë madhësinë e numrave që përbëjnë diferencën:

3 = √9. Prandaj, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Ne shohim që numri i parë është më i vogël se i dyti. Kjo do të thotë që shprehja është negative, domethënë përgjigja e saj është më e vogël se zero:

3√5 – 10 < 0.

Por sipas rregullit, moduli i një numri negativ është i njëjti numër me shenjën e kundërt. ne kemi shprehje negative. Prandaj, është e nevojshme të ndryshoni shenjën e saj në atë të kundërt. E kundërta e 3√5 – 10 është –(3√5 – 10). Le të hapim kllapat në të dhe të marrim përgjigjen:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Përgjigje .

Moduli i një numri racional ata e quajnë distancën nga origjina në pikën në vijën koordinative që i përgjigjet këtij numri.

Meqenëse distanca (gjatësia e një segmenti) mund të shprehet vetëm si një numër pozitiv ose zero, mund të themi se moduli i një numri nuk mund të jetë negativ.

Karakteristikat e modulit:

Moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë numrin.
|a| = a, nëse a > 0;

Moduli i një numri negativ është i barabartë me numrin e kundërt.
|-a| = a nëse a< 0;

Moduli zero e barabartë me zero.
|0| = 0 nëse a = 0;

Numra të kundërt kanë module të barabarta.
|-a| = |a|;

Shembuj të moduleve numrat racionalë:

4.Metodat bazë të zgjidhjes ekuacionet irracionale dhe pabarazitë.

E quajmë irracionale një ekuacion ose pabarazi nëse përmban një ndryshore nën radikalët, pra nën shenjat e rrënjës katrore, kubike etj. Ekuacionet dhe pabarazitë irracionale kanë një specifikë të caktuar.

Le të kujtojmë se diapazoni i vlerave të lejuara (shkurtuar si VA) i një ekuacioni ose pabarazie është grupi i vlerave të një ndryshoreje për të cilën të dyja palët ekuacioni i dhënë ose pabarazitë kanë kuptim. Në çdo detyrë, ju mund të bëni pa kërkuar (dhe pa përmendur) ODZ, kështu që nuk ka nevojë të veçantë për këtë koncept. Por nuk ka asnjë të keqe as në të; Për më tepër, në situata të caktuara, gjetja e ODZ rezulton të jetë shumë e dobishme. Kështu, në disa ekuacione dhe pabarazi iracionale nuk zbret në ndonjë teknikë specifike - vetëm një vështrim i afërt dhe duke marrë parasysh ODZ.

Transformimet ekuivalente

Ne vazhdojmë të shqyrtojmë llojet standarde ekuacionet dhe pabarazitë irracionale. Këtu, një kërkim paraprak për DZ rezulton të jetë, si rregull, një hap i panevojshëm; Këto probleme zgjidhen në mënyrë më efektive me ndihmën e tranzicioneve të përshtatshme ekuivalente. Ekuacionet e formës √ A = √ B

Le të fillojmë me një shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin √ x = √ 2x + 1. Për shkak të monotonitetit të funksionit √ x, shprehjet radikale duhet të jenë të barabarta: x = 2x+1, prej nga x = −1. Megjithatë, zëvendësimi i kësaj vlere x në ekuacion jep numra negativ nën radikalët; prandaj, x = −1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni dhe për këtë arsye nuk ka zgjidhje. Tani le të shqyrtojmë situatë e përgjithshme. Le të ketë një ekuacion √ A = √ B, ku A dhe B janë disa shprehje që përmbajnë një ndryshore. Pastaj, së pari, shprehjet radikale duhet të jenë të barabarta: A = B. Së dyti, të dyja shprehjet radikale duhet të jenë jonegative; por për shkak të barazisë së tyre, mjafton të kërkohet që njëri prej tyre të jetë jo negativ. Kështu, kemi: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 ose √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. Në këtë rast, është e natyrshme të kërkohet që shprehja të jetë më e thjeshtë nuk është negative.

5. Grafikimi i një funksioni, shprehjet analitike që përmban moduli:

Moduli i një numri është distanca nga pika e referencës në pikën që korrespondon me këtë pikë.

Algoritmi për vizatimin e y=|f(x)|.

1. Ndërtoni një grafik y=f(x)

2. Lërini pjesët e grafikut të shtrirë mbi boshtin e abshisave të pandryshuara.

3. Zonat që shtrihen nën boshtin x janë pasqyruar në lidhje me këtë bosht.

Algoritmi për vizatimin e y=f(|x|).

1. Të ndërtojmë një grafik y=f(x).

2. fshini të gjitha pikat që ndodhen në të majtë të boshtit OY.

3. Të gjitha pikat që shtrihen në boshtin op-amp dhe në të djathtë të tij do të pasqyrohen në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin op-amp.

Algoritmi për vizatimin |y|=|f(x)|

1.Ndërtoni një grafik y=f(x).

2.ndërtoni një grafik y=|f(x)|.

3.Bëni atë të pasqyrojë imazhin në lidhje me boshtin Ox.

6.Vetitë dhe orari funksioni katror y=ax+bx+c

Një funksion që mund të specifikohet me formulën y=ax2+bx+c, ku a,b,c∈R dhe a≠0,

quhet funksion kuadratik.

Fusha e përcaktimit të funksionit y=ax2+bx+c ( vlerat e pranueshme argumentet x) janë të gjitha numra realë(R).

Orari funksion kuadratikështë një parabolë.

Abshisa e kulmit të një parabole (xo;yo) mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Për të vizatuar një funksion kuadratik ju duhet:

1) njehsoni koordinatat e kulmit të parabolës: x0=−b/2a dhe y0, e cila gjendet duke zëvendësuar vlerën x0 në formula e funksionit,

2) shënoni kulmin e parabolës në plan koordinativ, vizatoni boshtin e simetrisë së parabolës,

3) përcaktoni drejtimin e degëve të parabolës,

4) shënoni pikën e kryqëzimit të parabolës me Oy bosht,

5) krijoni një tabelë vlerash duke zgjedhur vlerat e kërkuara argumenti x.

Pasi kemi zgjidhur ekuacionin kuadratik ax2+bx+c=0, marrim pikat e prerjes së parabolës me boshtin Ox ose rrënjët e funksionit (nëse diskriminuesi D>0)

nëse D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Moduli i numrave është një koncept i ri në matematikë. Le të hedhim një vështrim më të afërt se çfarë është një modul numrash dhe si të punojmë me të?

Le të shohim një shembull:

U larguam nga shtëpia për të shkuar në dyqan. Kemi ecur 300 m, matematikisht kjo shprehje mund të shkruhet si +300, kuptimi i numrit 300 nga shenja "+" nuk do të ndryshojë. Largësia ose moduli i një numri në matematikë është e njëjta gjë dhe mund të shkruhet kështu: |300|=300. Shenja e modulit të një numri tregohet nga dy vija vertikale.

Dhe më pas ecëm 200 metra në drejtim të kundërt. Matematikisht, ne mund ta shkruajmë rrugën e kthimit si -200. Por ne nuk themi “dolëm minus dyqind metra”, megjithëse u kthyem, sepse distanca si sasi mbetet pozitive. Për këtë qëllim, koncepti i një moduli u prezantua në matematikë. Distanca ose moduli i numrit -200 mund të shkruhet kështu: |-200|=200.

Karakteristikat e modulit.

Përkufizimi:
Moduli i një numri ose vlera absolute e një numriështë distanca nga pika e fillimit deri në pikën e destinacionit.

Moduli i një numri të plotë jo i barabartë me zero është gjithmonë një numër pozitiv.

Moduli është shkruar kështu:

1. Moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë numrin.
| a|=a

2. Moduli i një numri negativ është i barabartë me numrin e kundërt.
|- a|=a

3. Moduli i zeros është i barabartë me zero.
|0|=0

4. Modulet e numrave të kundërt janë të barabarta.
| a|=|-a|=a

Pyetje të ngjashme:
Cili është moduli i një numri?
Përgjigje: Moduli është distanca nga pika e fillimit deri në pikën e destinacionit.

Nëse vendosni një shenjë "+" përpara një numri të plotë, çfarë ndodh?
Përgjigje: numri nuk do të ndryshojë kuptimin e tij, për shembull, 4=+4.

Nëse vendosni një shenjë "-" përpara një numri të plotë, çfarë ndodh?
Përgjigje: numri do të ndryshojë në, për shembull, 4 dhe -4.

Cilët numra kanë të njëjtin modul?
Përgjigje: numrat pozitivë dhe zero do të kenë të njëjtin modul. Për shembull, 15=|15|.

Cilët numra kanë modulin e numrit të kundërt?
Përgjigje: për numrat negativ, moduli do të jetë i barabartë me numrin e kundërt. Për shembull, |-6|=6.

Shembulli #1:
Gjeni modulin e numrave: a) 0 b) 5 c) -7?

Zgjidhja:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Shembulli #2:
A ka dy numra të ndryshëm, modulet e të cilëve janë të barabartë?

Zgjidhja:
|10|=10
|-10|=10

Modulet e numrave të kundërt janë të barabartë.

Shembulli #3:
Cilët dy numra të kundërt kanë modulin 9?

Zgjidhja:
|9|=9
|-9|=9

Përgjigje: 9 dhe -9.

Shembulli #4:
Ndiqni këto hapa: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Zgjidhja:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Shembulli #5:
Gjeni: a) modulin e numrit 2 b) modulin e numrit 6 c) modulin e numrit 8 d) modulin e numrit 1 e) modulin e numrit 0.
Zgjidhja:

a) moduli i numrit 2 shënohet si |2| ose |+2| është e njëjta gjë.
|2|=2

b) moduli i numrit 6 shënohet si |6| ose |+6| është e njëjta gjë.
|6|=6

c) moduli i numrit 8 shënohet si |8| ose |+8| është e njëjta gjë.
|8|=8

d) moduli i numrit 1 shënohet si |1| ose |+1| është e njëjta gjë.
|1|=1

e) moduli i numrit 0 shënohet si |0|, |+0| ose |-0| është e njëjta gjë.
|0|=0