Formula për ndryshimin e bazës së një logaritmi. Logaritmet: shembuj dhe zgjidhje

Janë dhënë vetitë kryesore logaritmi natyror, grafiku, domeni i përkufizimit, bashkësia e vlerave, formulat bazë, derivati, integrali, zgjerimi në seri fuqie dhe paraqitjen e funksionit ln x duke përdorur numra kompleks.

Përkufizimi

Logaritmi natyrorështë funksioni y = në x, inversi i eksponencialit, x = e y, dhe është logaritmi me bazën e numrit e: ln x = log e x.

Logaritmi natyror përdoret gjerësisht në matematikë, sepse derivati ​​i tij ka formën më të thjeshtë: (ln x)′ = 1/ x.

I bazuar përkufizimet, baza e logaritmit natyror është numri e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Grafiku i funksionit y = në x.

Grafiku i logaritmit natyror (funksionet y = në x) merret nga grafiku eksponencial imazh pasqyre në raport me drejtëzën y ​​= x.

Logaritmi natyror është përcaktuar në vlerat pozitive ndryshorja x. Ajo rritet në mënyrë monotonike në fushën e saj të përkufizimit.

Në x → 0 kufiri i logaritmit natyror është minus pafundësia (-∞).

Si x → + ∞, kufiri i logaritmit natyror është plus pafundësi (+ ∞). Për x të madh, logaritmi rritet mjaft ngadalë. Çdo funksioni i fuqisë x a me një eksponent pozitiv a rritet më shpejt se logaritmi.

Vetitë e logaritmit natyror

Domeni i përkufizimit, grupi i vlerave, ekstremet, rritja, zvogëlimi

Logaritmi natyror është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat kryesore të logaritmit natyror janë paraqitur në tabelë.

ln x vlerat

ln 1 = 0

Formulat bazë për logaritmet natyrore

Formulat që vijnë nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë:

Vetia kryesore e logaritmeve dhe pasojat e saj

Formula e zëvendësimit të bazës

Çdo logaritëm mund të shprehet në terma të logaritmeve natyrore duke përdorur formulën e zëvendësimit të bazës:

Vërtetimet e këtyre formulave janë paraqitur në seksionin "Logaritmi".

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e logaritmit natyror është eksponenti.

Nese atehere

Nese atehere.

Derivati ​​ln x

Derivati ​​i logaritmit natyror:
.
Derivati ​​i logaritmit natyror të modulit x:
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Integrali llogaritet me integrim sipas pjesëve:
.
Kështu që,

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e ndryshores komplekse z:
.
Le të shprehim ndryshoren komplekse z nëpërmjet modulit r dhe argumenti φ :
.
Duke përdorur vetitë e logaritmit, kemi:
.
Ose
.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Nëse vendosni
, ku n është një numër i plotë,
do të jetë i njëjti numër për n të ndryshëm.

Prandaj, logaritmi natyror, si funksion i një ndryshoreje komplekse, nuk është një funksion me një vlerë të vetme.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Kur bëhet zgjerimi:

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Udhëzimet

Shkruani të dhëna shprehje logaritmike. Nëse shprehja përdor logaritmin e 10, atëherë shënimi i saj shkurtohet dhe duket kështu: lg b është logaritmi dhjetor. Nëse logaritmi ka për bazë numrin e, atëherë shkruani shprehjen: ln b – logaritmi natyror. Kuptohet se rezultati i çdo është fuqia në të cilën duhet të rritet numri bazë për të marrë numrin b.

Kur gjeni shumën e dy funksioneve, thjesht duhet t'i dalloni ato një nga një dhe të shtoni rezultatet: (u+v)" = u"+v";

Gjatë gjetjes së derivatit të produktit të dy funksioneve, është e nevojshme të shumëzohet derivati ​​i funksionit të parë me të dytin dhe të shtohet derivati ​​i funksionit të dytë të shumëzuar me funksionin e parë: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Për të gjetur derivatin e herësit të dy funksioneve, është e nevojshme të zbritet nga produkti i derivatit të dividendit shumëzuar me funksionin pjesëtues, produkti i derivatit të pjesëtuesit të shumëzuar me funksionin e dividentit dhe të pjesëtohet. e gjithë kjo me funksionin e pjesëtuesit në katror. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Nëse jepet një funksion kompleks, atëherë është e nevojshme të shumëzohet derivati ​​i funksioni i brendshëm dhe derivati ​​i atij të jashtëm. Le të jetë y=u(v(x)), pastaj y"(x)=y"(u)*v"(x).

Duke përdorur rezultatet e marra më sipër, mund të dalloni pothuajse çdo funksion. Pra, le të shohim disa shembuj:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ekzistojnë gjithashtu probleme që përfshijnë llogaritjen e derivatit në një pikë. Le të jepet funksioni y=e^(x^2+6x+5), duhet të gjesh vlerën e funksionit në pikën x=1.
1) Gjeni derivatin e funksionit: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Llogaritni vlerën e funksionit në pikë e dhënë y"(1)=8*e^0=8

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Mësoni tabelën e derivateve elementare. Kjo do të kursejë ndjeshëm kohë.

Burimet:

• derivat i një konstante

Pra, cili është ndryshimi? ir ekuacioni racional nga racionalja? Nëse ndryshorja e panjohur është nën shenjën e rrënjës katrore, atëherë ekuacioni konsiderohet irracional.

Udhëzimet

Metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla është metoda e ndërtimit të të dy anëve ekuacionet në një shesh. Megjithatë. kjo është e natyrshme, gjëja e parë që duhet të bëni është të hiqni qafe shenjën. Kjo metodë nuk është teknikisht e vështirë, por ndonjëherë mund të çojë në telashe. Për shembull, ekuacioni është v(2x-5)=v(4x-7). Duke kuadruar të dyja anët ju merrni 2x-5=4x-7. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë nuk është e vështirë; x=1. Por numri 1 nuk do të jepet ekuacionet. Pse? Zëvendësoni një në ekuacion në vend të vlerës së x dhe ana e djathtë dhe e majtë do të përmbajnë shprehje që nuk kanë kuptim, d.m.th. Kjo vlerë nuk është e vlefshme për një rrënjë katrore. Prandaj 1 është një rrënjë e jashtme, dhe për këtë arsye ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë.

Pra, një ekuacion irracional zgjidhet duke përdorur metodën e katrorit të të dy anëve të tij. Dhe pasi të keni zgjidhur ekuacionin, është e nevojshme të ndërpritet rrënjët e jashtme. Për ta bërë këtë, zëvendësoni rrënjët e gjetura në ekuacionin origjinal.

Konsideroni një tjetër.
2х+vх-3=0
Sigurisht, ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur të njëjtin ekuacion si ai i mëparshmi. Lëviz Komponimet ekuacionet, të cilat nuk kanë rrënjë katrore, në anën e djathtë dhe më pas përdorni metodën e katrorit. zgjidhin ekuacionin racional që rezulton dhe rrënjët. Por edhe një tjetër, më elegante. Futni një ndryshore të re; vх=y. Prandaj, do të merrni një ekuacion të formës 2y2+y-3=0. Kjo është, e zakonshme ekuacioni kuadratik. Gjeni rrënjët e tij; y1=1 dhe y2=-3/2. Më pas, zgjidhni dy ekuacionet vх=1; vх=-3/2. Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë nga i pari gjejmë se x=1. Mos harroni të kontrolloni rrënjët.

Zgjidhja e identiteteve është mjaft e thjeshtë. Për ta bërë këtë ju duhet të bëni transformimet e identitetit derisa të arrihet qëllimi. Kështu, me ndihmën e më të thjeshtëve veprimet aritmetike detyra në fjalë do të zgjidhet.

Do t'ju duhet

• - letër;
• - stilolaps.

Udhëzimet

Transformimet më të thjeshta të tilla janë shumëzimet e shkurtuara algjebrike (të tilla si katrori i shumës (diferenca), ndryshimi i katrorëve, shuma (diferenca), kubi i shumës (diferenca)). Përveç kësaj, ka shumë formulat trigonometrike, të cilat janë në thelb të njëjtat identitete.

Në të vërtetë, katrori i shumës së dy termave e barabartë me katrorin plusi i parë dyfishohet prodhimi i të parit me të dytin dhe plus katrori i të dytit, pra (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Thjeshtoni të dyja

Parimet e përgjithshme të zgjidhjes

Metoda e zëvendësimit të variablave

Zgjidhja e integraleve të llojit të dytë

Zëvendësimi i kufijve të integrimit

Fokusi i këtij artikulli është logaritmi. Këtu do të japim përkufizimin e logaritmit, trego emërtimi i pranuar, do të japim shembuj të logaritmeve dhe do të flasim për logaritmet natyrore dhe dhjetore. Pas kësaj do të shqyrtojmë identitetin bazë logaritmik.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi i logaritmit

Koncepti i një logaritmi lind kur zgjidh një problem në në një kuptim të caktuar anasjelltas, kur duhet të gjesh eksponentin e vlera e njohur shkalla dhe baza e njohur.

Por mjaft parathënie, është koha për t'iu përgjigjur pyetjes "çfarë është një logaritëm"? Le të japim përkufizimin përkatës.

Përkufizimi.

Logaritmi i b në bazën a, ku a>0, a≠1 dhe b>0 është eksponenti në të cilin duhet të ngrini numrin a për të marrë b si rezultat.

Në këtë fazë, vërejmë se fjala e folur "logaritëm" duhet të ngrejë menjëherë dy pyetje vijuese: "çfarë numri" dhe "mbi çfarë baze". Me fjalë të tjera, thjesht nuk ka logaritëm, por vetëm logaritëm të një numri në një bazë.

Le të hyjmë menjëherë shënim logaritmi: logaritmi i një numri b në bazën a zakonisht shënohet si log a b. Logaritmi i një numri b në bazën e dhe logaritmi në bazën 10 kanë emërtimet e tyre të veçanta lnb dhe logb, përkatësisht, domethënë, ata nuk shkruajnë log e b, por lnb, dhe jo log 10 b, por lgb.

Tani mund të japim: .
Dhe të dhënat nuk kanë kuptim, pasi në të parën prej tyre ka nën shenjën e logaritmit një numër negativ, në të dytin ka një numër negativ në bazë, dhe në të tretën ka një numër negativ nën shenjën e logaritmit dhe një njësi në bazë.

Tani le të flasim për Rregullat për leximin e logaritmeve. Shënimi log a b lexohet si "logaritmi i b në bazën a". Për shembull, log 2 3 është logaritmi i tre në bazën 2 dhe është logaritmi i dy pikave dy të tretat ndaj bazës 2 Rrenja katrore nga pesë. Logaritmi në bazën e quhet logaritmi natyror, dhe shënimi lnb lexon "logaritmi natyror i b". Për shembull, ln7 është logaritmi natyror i shtatë, dhe ne do ta lexojmë atë si logaritëm natyror i pi. Logaritmi bazë 10 gjithashtu ka emër i veçantë – logaritmi dhjetor, dhe lgb lexohet si "logaritmi dhjetor i b". Për shembull, lg1 është logaritmi dhjetor i një, dhe lg2.75 është logaritmi dhjetor i dy pikave shtatë pesëqindëshe.

Vlen të ndalemi veçmas në kushtet a>0, a≠1 dhe b>0, në të cilat jepet përkufizimi i logaritmit. Le të shpjegojmë se nga vijnë këto kufizime. Një barazi e formës së quajtur , e cila rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i logaritmit të dhënë më sipër, do të na ndihmojë ta bëjmë këtë.

Le të fillojmë me a≠1. Meqenëse një për çdo fuqi është e barabartë me një, barazia mund të jetë e vërtetë vetëm kur b=1, por log 1 1 mund të jetë çdo numër real. Për të shmangur këtë paqartësi, supozohet a≠1.

Le të arsyetojmë përshtatshmërinë e kushtit a>0. Me a=0, sipas përcaktimit të një logaritmi, do të kishim barazi, e cila është e mundur vetëm me b=0. Por atëherë log 0 0 mund të jetë çdo numër real jo zero, pasi zero për çdo fuqi jo zero është zero. Kushti a≠0 na lejon të shmangim këtë paqartësi. Dhe kur a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Së fundi, kushti b>0 rrjedh nga pabarazia a>0, pasi , dhe vlera e një fuqie me bazë pozitive a është gjithmonë pozitive.

Për të përfunduar këtë pikë, le të themi se përkufizimi i deklaruar i logaritmit ju lejon të tregoni menjëherë vlerën e logaritmit kur numri nën shenjën e logaritmit është një fuqi e caktuar e bazës. Në të vërtetë, përkufizimi i një logaritmi na lejon të deklarojmë se nëse b=a p, atëherë logaritmi i numrit b në bazën a është i barabartë me p. Kjo do të thotë, regjistri i barazisë a a p =p është i vërtetë. Për shembull, ne e dimë se 2 3 = 8, pastaj log 2 8 = 3. Ne do të flasim më shumë për këtë në artikull.

Një nga elementët e algjebrës së nivelit primitiv është logaritmi. Emri vjen nga gjuha greke nga fjala "numër" ose "fuqi" dhe nënkupton shkallën në të cilën duhet të rritet numri në bazë për të gjetur numrin përfundimtar.

Llojet e logaritmeve

• log a b – logaritmi i numrit b në bazën a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritmi dhjetor (logaritmi në bazën 10, a = 10);
• ln b – logaritmi natyror (logaritmi në bazën e, a = e).

Si të zgjidhni logaritmet?

Logaritmi i b në bazën a është një eksponent që kërkon që b të ngrihet në bazën a. Rezultati i marrë shqiptohet kështu: "logaritmi i b në bazën a". Zgjidhje problemet logaritmikeështë që ju duhet të përcaktoni këtë shkallë me numra nga numrat e treguar. Ekzistojnë disa rregulla bazë për të përcaktuar ose zgjidhur logaritmin, si dhe për të konvertuar vetë shënimin. Duke i përdorur ato, bëhet zgjidhja ekuacionet logaritmike, gjenden derivatet, zgjidhen integralet dhe kryhen shume veprime te tjera. Në thelb, zgjidhja e vetë logaritmit është shënimi i tij i thjeshtuar. Më poshtë janë formulat dhe vetitë bazë:

Për çdo një ; a > 0; a ≠ 1 dhe për çdo x; y > 0.

• a log a b = b – identiteti bazë logaritmik
• log a 1 = 0
• logo a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, për k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula për kalimin në një bazë të re
• log a x = 1/log x a

Si të zgjidhni logaritmet - udhëzime hap pas hapi për zgjidhje

• Së pari, shkruani ekuacionin e kërkuar.

Ju lutemi vini re: nëse logaritmi bazë është 10, atëherë hyrja shkurtohet, duke rezultuar në një logaritëm dhjetor. Nëse ia vlen numri natyror e, më pas e shkruajmë, duke e reduktuar në logaritmin natyror. Kjo do të thotë se rezultati i të gjitha logaritmeve është fuqia në të cilën numri bazë është ngritur për të marrë numrin b.

Drejtpërdrejt, zgjidhja qëndron në llogaritjen e kësaj shkalle. Para se të zgjidhni një shprehje me një logaritëm, ajo duhet të thjeshtohet sipas rregullit, domethënë duke përdorur formula. Identitetet kryesore mund t'i gjeni duke u kthyer pak pas në artikull.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve me dy numra të ndryshëm, hundë në të njëjtat arsye, zëvendësohet me një logaritëm me prodhimin ose pjesëtimin e numrave përkatësisht b dhe c. Në këtë rast, mund të aplikoni formulën për të kaluar në një bazë tjetër (shih më lart).

Nëse përdorni shprehje për të thjeshtuar një logaritëm, ka disa kufizime për t'u marrë parasysh. Dhe kjo është: baza e logaritmit a është vetëm një numër pozitiv, por jo e barabartë me një. Numri b, si a, duhet të jetë më i madh se zero.

Ka raste kur, duke thjeshtuar një shprehje, nuk do të jeni në gjendje të llogaritni logaritmin në forma numerike. Ndodh që një shprehje e tillë të mos ketë kuptim, sepse shumë fuqi janë numra irracionalë. Në këtë kusht, lini fuqinë e numrit si logaritëm.

Logaritmi i një numri N bazuar në A i quajtur eksponent X , në të cilën ju duhet të ndërtoni A për të marrë numrin N

Me kusht që
,
,

Nga përkufizimi i logaritmit del se
, d.m.th.
- kjo barazi është identiteti bazë logaritmik.

Logaritmet me bazën 10 quhen logaritme dhjetore. Në vend të
shkruaj
.

Logaritmet në bazë e quhen natyrore dhe caktohen
.

Vetitë themelore të logaritmeve.

Logaritmi i një është i barabartë me zero për çdo bazë.

Logaritmi i produktit e barabartë me shumën logaritmet e faktorëve.

3) Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve

Faktori
quhet moduli i kalimit nga logaritmet në bazë a te logaritmet në bazë b .

Duke përdorur vetitë 2-5, shpesh është e mundur të reduktohet logaritmi i një shprehjeje komplekse në rezultatin e veprimeve të thjeshta aritmetike në logaritme.

Për shembull,

Shndërrime të tilla të një logaritmi quhen logaritme. Shndërrimet e kundërta me logaritmet quhen fuqizim.

Kapitulli 2. Elementet e matematikës së lartë.

1. Kufijtë

Kufiri i funksionit
është një numër i fundëm A nëse, si xx 0 për çdo të paracaktuar
, ekziston një numër i tillë
që sapo
, Kjo
.

Një funksion që ka një kufi ndryshon prej tij me një sasi infinite të vogël:
, ku- b.m.v., d.m.th.
.

Shembull. Merrni parasysh funksionin
.

Kur përpiqet
, funksion y priret në zero:

1.1. Teorema themelore rreth kufijve.

Kufiri vlerë konstante e barabartë me këtë vlerë konstante

.

Kufiri i shumës (diferencës). numër i kufizuar funksionet është e barabartë me shumën (diferencën) e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i prodhimit të një numri të kufizuar funksionesh e barabartë me produktin kufijtë e këtyre funksioneve.

Kufiri i herësit të dy funksioneve është i barabartë me herësin e kufijve të këtyre funksioneve nëse kufiri i emëruesit nuk është zero.

Kufij të mrekullueshëm

,
, Ku

1.2. Shembuj të llogaritjes së kufirit

Sidoqoftë, jo të gjitha kufijtë llogariten kaq lehtë. Më shpesh, llogaritja e kufirit zbret në zbulimin e një pasigurie të llojit: ose .

.

2. Derivat i një funksioni

Le të kemi një funksion
, e vazhdueshme në segment
.

Argumenti ka pasur një rritje
. Pastaj funksioni do të marrë një rritje
.

Vlera e argumentit korrespondon me vlerën e funksionit
.

Vlera e argumentit
korrespondon me vlerën e funksionit.

Prandaj, .

Le të gjejmë kufirin e këtij raporti në
. Nëse ky kufi ekziston, atëherë ai quhet derivat i funksionit të dhënë.

Përkufizimi 3 Derivat i një funksioni të dhënë
me argument quhet kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, kur rritja e argumentit tenton në mënyrë arbitrare në zero.

Derivat i një funksioni
mund të caktohet si më poshtë:

; ; ; .

Përkufizimi 4Veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet diferencimi.

2.1. Kuptimi mekanik i derivatit.

Le të shqyrtojmë lëvizjen drejtvizore të një trupi të ngurtë ose pikë materiale.

Lëreni në një moment në kohë pikë lëvizëse
ishte në distancë nga pozicioni i fillimit
.

Pas një periudhe kohe
ajo lëvizi një distancë
. Qëndrimi =- Shpejtësia mesatare pikë materiale
. Le të gjejmë kufirin e këtij raporti, duke marrë parasysh atë
.

Prandaj, përkufizimi shpejtësia e menjëhershme lëvizja e një pike materiale zbret në gjetjen e derivatit të shtegut në lidhje me kohën.

2.2. Kuptimi gjeometrik derivatore

Le të kemi një funksion të përcaktuar grafikisht
.

Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i derivatit

Nëse
, pastaj tregoni
, do të lëvizë përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës
.

Prandaj
, d.m.th. vlera e derivatit për një vlerë të caktuar të argumentit numerikisht e barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja në një pikë të caktuar me drejtimin pozitiv të boshtit
.

2.3. Tabela formulat bazë diferencimi.

Funksioni i fuqisë

Funksioni eksponencial

Funksioni logaritmik

Funksioni trigonometrik

Funksioni trigonometrik i anasjelltë

2.4. Rregullat e diferencimit.

Derivat i

Derivat i shumës (diferencës) së funksioneve

Derivat i prodhimit të dy funksioneve

Derivat i herësit të dy funksioneve

2.5. Derivat i funksion kompleks.

Le të jepet funksioni
e tillë që mund të paraqitet në formë

Dhe
, ku ndryshorja është një argument i ndërmjetëm, pra

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të dhënë në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Shembulli 1.

Shembulli 2.

3. Funksioni diferencial.

Le të ketë
, i diferencueshëm në disa intervale
le të shkojë në ky funksion ka një derivat

,

atëherë mund të shkruajmë

(1),

Ku - një sasi pafundësisht e vogël,

qe kur

Duke shumëzuar të gjitha kushtet e barazisë (1) me
ne kemi:

Ku
- b.m.v. rendit më të lartë.

Madhësia
quhet diferencial i funksionit
dhe është caktuar

.

3.1. Vlera gjeometrike e diferencialit.

Le të jepet funksioni
.

Fig.2. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

.

Natyrisht, diferenciali i funksionit
është e barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes në një pikë të caktuar.

3.2. Derivatet dhe diferencialet e rendeve te ndryshme.

Nëse atje
, Pastaj
quhet derivati ​​i parë.

Derivati ​​i derivatit të parë quhet derivat i rendit të dytë dhe shkruhet
.

Derivat i rendit të n-të të funksionit
quhet derivat i rendit (n-1) dhe shkruhet:

.

Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë.

.

.

3.3 Zgjidhja problemet biologjike duke përdorur diferencimin.

Detyra 1. Studimet kanë treguar se rritja e një kolonie mikroorganizmash i bindet ligjit
, Ku N - numri i mikroorganizmave (në mijëra), t – koha (ditët).

b) A do të rritet apo ulet popullsia e kolonisë gjatë kësaj periudhe?

Përgjigju. Madhësia e kolonisë do të rritet.

Detyra 2. Uji në liqen testohet periodikisht për të monitoruar përmbajtjen e baktereve patogjene. përmes t ditë pas testimit, përqendrimi i baktereve përcaktohet nga raporti

.

Kur liqeni do të ketë një përqendrim minimal të baktereve dhe a do të jetë e mundur të notosh në të?

Zgjidhje: Një funksion arrin max ose min kur derivati ​​i tij është zero.

,

Le të përcaktojmë se maksimumi ose min do të jetë në 6 ditë. Për ta bërë këtë, le të marrim derivatin e dytë.

Përgjigje: Pas 6 ditësh do të ketë një përqendrim minimal të baktereve.